八下春季数学课程第十五讲期末复习(一)

初二数学十五章积累知识点第一节：分式的乘法与除法1.分式的乘法：两个分式相乘时，只需将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

如：12×34=1×32×4=38。

2.分式的除法：两个分式相除时，只需将第一个分式乘以第二个分式的倒数（即分子与分母互换位置）即可。

如：12÷34=12×43=1×42×3=46=23。

第二节：一元一次方程1.一元一次方程的定义：一元一次方程是指含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的方程。

如：2x+3=7。

2.解一元一次方程的步骤：–将方程中的常数项移到等号右边；–整理方程，使得未知数的系数为1；–两边同时乘以倒数得到方程的解。

第三节：平方根与立方根1.平方根的定义：一个数的平方根是指乘以自己后等于该数的数。

如：√9=3。

2.求平方根的方法：可以通过试探法或使用计算器等工具来求平方根。

3.立方根的定义：一个数的立方根是指乘以自己三次后等于该数的数。

如：√83=2。

4.求立方根的方法：可以通过试探法或使用计算器等工具来求立方根。

第四节：多项式的加法与减法1.多项式的加法：多项式的加法是指将同类项相加。

如：(2x2+3x+1)+(4x2+2x+5)=6x2+5x+6。

2.多项式的减法：多项式的减法是指将同类项相减。

如：(6x2+5x+ 6)−(2x2+3x+1)=4x2+2x+5。

第五节：二次根式与分式的乘法与除法1.二次根式的定义：二次根式是指含有平方根的表达式。

如：2√3。

2.二次根式的乘法：二次根式的乘法可以类比分式的乘法，将系数相乘，并将根号内的数相乘。

如：2√3×3√2=6√6。

3.二次根式的除法：二次根式的除法可以类比分式的除法，将系数相除，并将根号内的数相除。

如：√63√2=2√3。

第六节：一元一次不等式1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。

一、选择题1．(0分)[ID ：10229]如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，√3)，则点C 的坐标为( )A ．(－√3，1)B ．(－1，√3)C ．(√3，1)D ．(－√3，－1)2．(0分)[ID ：10227]若63n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．(0分)[ID ：10222]一次函数y kx b =+的图象如图所示，点()3,4P 在函数的图象上.则关于x 的不等式4kx b +≤的解集是( )A ．3x ≤B ．3x ≥C ．4x ≤D ．4x ≥4．(0分)[ID ：10218]某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：鞋的尺码/cm 2323.5 24 24.5 25 销售量/双 1 3 3 6 2 则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）A ．24.5，24.5B ．24.5，24C ．24，24D ．23.5，245．(0分)[ID ：10211]一次函数111y k x b =+的图象1l 如图所示，将直线1l 向下平移若干个单位后得直线2l ，2l 的函数表达式为222y k x b =+．下列说法中错误的是（ ）A ．12k k =B ．12b b <C ．12b b >D ．当5x =时，12y y >6．(0分)[ID ：10209]估计()-⋅1230246的值应在（ ） A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．4和5之间7．(0分)[ID ：10147]正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y x k =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：10191]在体育课上，甲，乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．方差9．(0分)[ID ：10186]如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 边的中点，AH ⊥BC 于H ，FD ＝8，则HE 等于（ ）A．20B．16C．12D．810．(0分)[ID：10181]若一个直角三角形的两边长为12、13，则第三边长为（）A．5B．17C．5或17D．5或√313 11．(0分)[ID：10175]函数y=x√x+3的自变量取值范围是( )A．x≠0B．x＞﹣3C．x≥﹣3且x≠0D．x＞﹣3且x≠0 12．(0分)[ID：10173]如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG＝GH，则AE的长为( )A．23B．1C．32D．213．(0分)[ID：10172]如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．-2B．﹣1+2C．﹣1-2D．1-214．(0分)[ID：10170]如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法不一定成立的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD15．(0分)[ID：10159]将根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是( )A ．h 17cm ≤B ．h 8cm ≥C ．7cm h 16cm ≤≤D ．15cm h 16cm ≤≤二、填空题16．(0分)[ID ：10325]将一次函数y=3x ﹣1的图象沿y 轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为__．17．(0分)[ID ：10321]如图，在▱ABCD 中，∠D ＝120°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE.若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为_______.18．(0分)[ID ：10316]45与最简二次根式321a -是同类二次根式，则a ＝_____．19．(0分)[ID ：10311]若2(3)x -=3-x ，则x 的取值范围是__________．20．(0分)[ID ：10299]已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当y ＜0时，自变量x 的取值范围是______.21．(0分)[ID ：10286]一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③关于x 的方程kx ﹣x=a ﹣b 的解是x=3；④当x ＞3时，y 1＜y 2中．则正确的序号有____________．22．(0分)[ID ：10268]在三角形ABC 中，点,,D E F 分别是,,BC AB AC 的中点，AH BC ⊥于点H ，若50DEF ∠=，则CFH ∠=________.23．(0分)[ID ：10256]已知一次函数y=kx+b 的图象如图，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是______.24．(0分)[ID ：10249]如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______25．(0分)[ID ：10247]已知数据：﹣1，4，2，﹣2，x 的众数是2，那么这组数据的平均数为_____．三、解答题26．(0分)[ID ：10408]如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-+过点(6,m)A 且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C ．过点C 且与3y x =平行的直线交y 轴于点D ．（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围．27．(0分)[ID ：10383]已知正方形 ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ．（1）如图 1，E ，G 分别是 OB ，OC 上的点，CE 与 DG 的延长线相交于点 F ． 若 DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ；（2）如图 2，H 是 BC 上的点，过点 H 作 EH ⊥BC ，交线段 OB 于点 E ，连结DH 交 CE 于点 F ，交 OC 于点 G ．若 OE ＝OG ，①求证：∠ODG ＝∠OCE ；②当 AB ＝1 时，求 HC 的长．28．(0分)[ID：10342]已知：如图，在▱ABCD中，设BA＝a，BC＝b．（1）填空：CA＝（用a、b的式子表示）（2）在图中求作a+b．（不要求写出作法，只需写出结论即可）29．(0分)[ID：10339]如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．∆中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过30．(0分)[ID：10335]如图所示，ABC=，连接BF．点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF BD（1）求证：D是BC的中点；=，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．（2）若AB AC【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．D3．A4．A5．B6．B7．B8．D9．D10．D11．B12．B13．D14．D15．C二、填空题16．y=3x+2【解析】【详解】将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后可得y=3x﹣1+3=3x+2故答案为y=3x+217．45°【解析】【分析】由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D＝108°AB∥CD得出∠BAD ＝180°﹣∠D＝60°由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE＝75°即可得出∠EBC的度数【详解18．3【解析】【分析】先将化成最简二次根式然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程解出即可【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式∴解得：故答案为：【点睛】本题考查了最简二次根式的化简以及19．【解析】试题解析：∵=3﹣x∴x-3≤0解得：x≤320．﹣1＜x＜1或x＞2【解析】【分析】观察图象和数据即可求出答案【详解】y＜0时即x轴下方的部分∴自变量x的取值范围分两个部分是−1＜x＜1或x＞2【点睛】本题考查的是函数图像熟练掌握图像是解题的关键21．①③④【解析】【分析】根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k＜0a＜0所以当x＞3时相应的x的值y1图象均低于y2的图象【详解】根据图示及数据可知：①k＜0正确；②a＜0原来的说法错误；③方22．80°【解析】【分析】先由中位线定理推出再由平行线的性质推出然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到HF=CF最后由三角形内角和定理求出【详解】∵点分别是的中点∴（中位线的性质）又∵∴（两直23．【解析】【分析】直接利用一次函数图象结合式kx+b＞0时则y的值＞0时对应x的取值范围进而得出答案【详解】如图所示：关于x的不等式kx+b＞0的解集是：x＜2故答案为：x＜2【点睛】此题主要考查了一24．—1【解析】【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长进而得到AE的长再根据A点表示-1可得E点表示的数【详解】∵AD长为2AB长为1∴AC=∵A点表示-1∴E点表示的数为：-1故答案为-1【点睛】本题25．【解析】试题分析：数据：﹣142﹣2x的众数是2即的2次数最多；即x=2则其平均数为：（﹣1+4+2﹣2+2）÷5=1故答案为1考点：1众数；2算术平均数三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A【解析】试题分析：作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图：过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE ，再利用“角角边”证明△AOD 和△OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD ，CE=OD ，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可．∴点C 的坐标为（-，1）故选A ．考点：1、全等三角形的判定和性质；2、坐标和图形性质；3、正方形的性质． 2．D解析：D【解析】【分析】 63n 63n 273n ⨯7n 7n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为7．【详解】 63n 273n ⨯7n 7n∴7n 7n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为7．故选：D ．【点睛】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.a b ab =b b a a=.解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式. 3．A解析：A【解析】【分析】观察函数图象结合点P 的坐标，即可得出不等式的解集．【详解】解：观察函数图象，可知：当3x ≤时，4kx b +≤．故选：A ．【点睛】考查了一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图象，观察函数图象，找出不等式4kx b +≤的解集是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得．【详解】这组数据中，24.5出现了6次，出现的次数最多，所以众数为24.5，这组数据一共有15个数，按从小到大排序后第8个数是24.5，所以中位数为24.5， 故选A ．【点睛】本题考查了众数、中位数，熟练掌握中位数、众数的定义以及求解方法是解题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】根据两函数图象平行k 相同，以及平移规律“左加右减，上加下减”即可判断【详解】∵将直线1l 向下平移若干个单位后得直线2l ，∴直线1l ∥直线2l ，∴12k k =，∵直线1l 向下平移若干个单位后得直线2l ，∴12b b >，∴当x 5=时，12y y >故选B ．【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．6．B解析：B【解析】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】(==2，而，所以2<2<3，所以估计(2和3之间，故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.7．B解析：B【解析】【分析】=的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数先根据正比例函数y kx的性质进行解答即可．【详解】解：正比例函数y kx=的函数值y随x的增大而增大，＞，＜，∴-k k00=-的图象经过一、三、四象限．∴一次函数y x k故选B．【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与正比例函数的性质，解题关键是先根据正比例函数的性质判断出k的取值范围．8．D解析：D【解析】【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。

第15讲期末练习——图形与几何知识点一..求长方形和正方形的周长和面积知识点二：观察物体（1）从不同方向观察同一立体图形的形状要想画出观察到的图形，必须学会想象，建立空间观念，或者把图形分成几部分来逐一画出。

（2）根据给定的平面图形的形状还原立体图形，确定搭成这个立体图形所需要的小正方体的数量范围根据给定的平面图形确定搭成这个立体图形的形状时,可以通过动手操作的方法进行验证。

知识点三：作物体的三视图三视图怎么看： 1．从正面看，为主视图2．从侧面看，为左视图3．从上面看，为俯视图展开图为空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形．综合练习一．选择题（共9小题）1．（2019•怀化模拟）长方形中有（）组对边分别平行．A．1B．2C．42．（2020春•新野县期末）把三个棱长3cm的小正方体拼成个长方体，长方体的表面积比三个小正方体的表面积之和少（）cm2A．27B．36C．54D．723．（2020春•龙岗区校级期末）把一个棱长为2厘米的正方体截成两个长方体，截成的这两个长方体的表面积总和是（）平方厘米。

A．24B．28C．324．（2020春•龙岗区校级期末）计算如图中长方体露在外面的面积是（）平方厘米。

A．64B．48C．112D．805．（2020春•龙岗区校级期末）将四个长10cm，宽6cm，高2cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（）A．B．C．D．6．（2020春•铁西区期末）制作一个棱长为30cm的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要（）的玻璃．A．5400cm2B．4500cm2C．2700cm27．（2020春•陕州区期末）把一个高6分米，底面半径2分米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体（如图）．这时表面积（）A．不变B．增加了12平方分米C．增加了24平方分米D．减少了24平方分米8．（2020春•阳信县期末）把一个棱长为3分米的正方体木块，切成棱长为1分米的小正方体，可以切成（）块．A．3B．9C．18D．279．（2020春•灌阳县期末）将一个长9cm，宽5cm，高4cm的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是（）cm3．A．25B．64C．80二．填空题（共6小题）10．（2020春•文水县期末）一个饼干盒长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4平方厘米，这张商标纸的面积是平方厘米．11．（2020春•浦城县期末）淘气和奇思各有一个表面积为12平方厘米的正方体小木块，他们把这两个正方体木块拼成一个长方体（如图），拼成的长方体的表面积是平方厘米．12．（2020秋•南京期中）有两个完全一样的长方体磁带盒，长10厘米，宽6厘米，高2厘米，将它们包装在一起，表面积之和最多减少平方厘米。

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八年级下数学期末总复习第十六章二次根式a1、;22)8321464(÷+- 2、2)223(+3、5321322302⨯⨯4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷12131125、()()2626-+ 6、()2252-7、()38512•+ 8、()()23322332-+9、2764148•⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 10、123132+++第十七章 勾股定理一．基础知识点：1:勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方.(即：a 2+b 2＝c 2） 其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边，则c =，b =,a =（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边,不妨设最长边长为：c;(2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2〉a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

第15章《一次函数》复习教案同学们已经知道了一次函数是研究函数的入门知识，也是今后学习其它函数的基础．为了使大家能牢固地掌握一次函数的性质与简单应用，现从以下几个方面帮助同学们搞好一次函数重点知识的回顾．一、要点解读1，知识总揽一次函数是函数大家族中的主要成员之一，是研究两个变量和学习其它函数的基础，它的表达式简单，性质也不复杂，但在我们的日常生活中的应用却十分广泛，与其它函数的联系也十分密切，许多实际问题只要我们注意细心观察，认真分析，及时将问题转化为一次函数模型，再得用一次函数的性质即可求解．2，疑点、易错点（1）若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y ＝kx +b (k ≠0)，则称y 是x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数，就是说，正比例函数是一次函数的特例，而一次函数包含正比例函数，是正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．如y ＝－x 是正比例函数，也是一次函数，而y ＝－2x －3是一次函数，但并不是正比例函数．因此，同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念，注意掌握它们之间的区别和联系．（2）一次函数的图象是一条直线，它所经过的象限是由k 与b 决定的，所以在复习巩固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固，从而可以避免因k 与b 的符号的干扰．如，在如图中，表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx (m 、n 是常数且mn ≠0)图象是（ ）对于两不同函数图象共存同一坐标系问题，常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题．例如，假设选项B 中的直线y ＝mx +n 正确则m ＜0，n ＞0，mn ＜0则正比例函数y ＝mnx 则应过第二、四象限，而实际图象则过第一、三象限，所以选项B 错误．同理可得A 正确．故应选A ．O x y A O x y B O x y C O x y D（3）虽然一次函数的表达式简单，性质也并不复杂，且一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象是一条直线，它的位置由k 、b 的符号确定．但是，涉及实际问题的一次函数图象与自变量的取值范围，画出来的图象不一定是直线，可能是线段或其他图形，这一点既是学习一次函数的疑点，也是难点，更是解题量的易错点．如，拖拉机开始工作时，油箱中有油40L ，如果每小时耗油5L ，那么工作时，油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系用图象可表示为（ ）依题意可以得到油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系为Q ＝40－5t ，就这个一次函数的解析式而言，它的图象是一条直线，所以不少同学就会选择A ，而事实上，自变量t 有一个取值范围，即0≤t ≤8，所以正确的答案应该选择C ．二、思想方法复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固．具体地说，一次函数的知识涉及常见的思想方法有：（1）函数思想所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的关系．确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．例1 长方形的长是20，宽是x ，周长是y ．写出x 和y 之间的关系式．简析 （1）由长方形的周长公式，得y ＝2(x ＋20)＝2x +40；说明 在依据题意写出两个变量之间的关系式时，会经常用到以前学到的各种公式，所以对以前常用的公式我们要熟练掌握，分析每一个公式的结构特征，做到运用自如，方可避免常见错误．（2）数形结合思想数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 408O t Q B408O t Q A 408O t Q D 408O t Q C例2 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题，还要保证一定的门票收入．因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图2所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?解 设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y ＝kx +b ． 由题意，得107000,154500.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得500,12000.k b =-⎧⎨=⎩所以y ＝－500x +12 000．而根据题意，得xy ＝40 000，即x (－500x +12 000)＝40 000，x 2－24x +80＝0，所以方程变形为(x －12)2＝64，两边开平方求得x 1＝20，x 2＝4．把x 1＝20，x 2＝4分别代入y ＝－500x +12 000中得y 1＝2 000，y 2＝10 000．因为控制参观人数，所以取x ＝20，y ＝2 000．即每周应限制参观人数是2 000人，门票价格应是20元．说明 本题中得到方程x 2－24x +80＝0，虽然没有学过不会解，但通过适当变形还是可以求解的．（3）待定系数法待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法．它是方程思想的具体运用．例3 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：第一档 第二档 第三档 第四档 凳高x (cm)37．0 40．0 42．0 45．0 桌高y (cm) 70．0 74．8 78．0 82．8 （1）小明经过对数据探究，发现：桌高y 是凳高x 的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出x 的取值范围)；（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm ，凳子的高度为43．5cm ，请你判断它们是否配套，说明理由． 票价人数(人)10002000400030005000700060002015105O 图2解（1）设y＝kx+b(k≠0)，依题意得3770,4074.8.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1.6,10.8.kb=⎧⎨=⎩所以这个一次函数的关系式y＝1．6x+10．8；（2）当小明家写字台的高度y＝77cm时，由（1）中的一次函数的关系式y＝1．6x+10．8得77＝1．6x+10．8，解得x＝41．375＜凳子的高度43．5cm，所以小明家的写字台和凳子的高度是不配套的．说明对于（2）中的问题也可以利用凳子的高度x，求出写字台的高度y，再与77cm 比较．由此，用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：“一设二列三解四还原”．就是说，一设：设出一次函数解析式的一般形式y＝kx+b(k≠0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k、b 的值；四还原：将已求得（4）方程思想方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．方程思想是最重要的一种数学思想，在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活．从例1、例2和例3中，我们都可以看出用到了方程思想求解．三、考点解密（所选例题均出自中考试卷）考点1 确定自变量的取值范围确定函数解析式中的自变量的取值范围，只需保证其函数有意义即可．例1（盐城市）函数y＝11x-中，自变量x的取值范围是．分析由于函数的表达式是分式型的，因此必需保证分母不等于0即可．解要使函数y＝11x-有意义，只需分母x－1≠0，即x≠1．说明确定一个函数的自变量的取值范围，对于函数是整式型的可以取任何数，若是分数型，只需使分母不为0，对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义．考点2 函数图象把一个函数的自变量x与对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做函数函数图象．例2（泉州市）小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家．如图1中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离．．．．．s (千米)与所用时间t （分）之间的关系（ ）分析 依据题意，并观察分析每一个图象的特点，即可作出判断．解 依题意小明所在学校离家距离为2千米，先行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，即能大致描述他回家过程中离家的距离s (千米)与所用时间t （分）之间的关系只有D 图符合，故应选D ．说明 求解时要充分发挥数形结合的作用，及时从图象中捕捉求解有用的信息，并依据函数图象的概念对图象作出正确判断．考点3 判断图象经过的象限对于一次函数y ＝kx +b ：①当k ＞0，b ＞0时，图象在第一、二、三象限内；②当k ＞0，b ＜0时，图象在第一、三、四象限内；③当k ＜0，b ＞0时，图象在第一、二、四象限内；④当k ＜0，b ＜0时，图象在第二、三、四象限内．特别地，b ＝0即正比例函数y ＝kx 有：①当k ＞0时，图象在第一、三象限内；②当k ＜0时，图象在第二、四象限内．例3（十堰市）已知直线l 经过第一、二、四象限，则其解析式可以为＿＿＿（写出一个即可）．分析 由题意直线l 经过第一、二、四象限，此时满足条件的解析式有无数个． 解 经过第一、二、四象限的直线有无数条，所以本题是一道开放型问题，答案不唯一．如：y ＝－x +2，y ＝－3x +1．等等．说明 处理这种开放型的问题，只要选择一个方便而又简单的答案即可．考点4 求一次函数的表达式，确定函数值要确定一次函数的解析式，只需找到满足k 、b 的两个条件即可．一般地，根据条件列出关于k 、b 的二元一次方程组，解出k 与b 的值，从而就确定了一次函数的解析式．另外，图1对于实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约．例4（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x (吨)与应付水费(元)的函数关系如图2．（1）求出当月用水量不超过5吨时，y 与x 之间的函数关系式；（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少?分析 观察函数图象我们可以发现是一条分段图象，因此只要分0≤x ≤5和x ≥5求解．解（1）由图象可知：当0≤x ≤5时是一段正比例函数，设y ＝kx ，由x ＝5时，y ＝5，得5＝5k ，即k ＝1．所以0≤x ≤5时，y ＝x ．（2）当x ≥5时可以看成是一条直线，设y ＝k 1x + b 由图象可知1155,12.510.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1 1.5,2.5.k b =⎧⎨=-⎩所以当x ≥5时，y ＝1．5x －2．5；当x ＝8时，y ＝1．5×8－2．5＝9．5(元)． 说明 确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件；确定一次函数的表达式需要两个独立的条件．对于在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值．在处理本题的问题时，只需利用待定系数法，构造出相应的二元一次方程组求解．另外，在处理这类问题时，一定要从图形中获取信息，并把所得到的信息进行联系处理．考点5 比较大小利用一次函数的性质可以比较函数值的大小，具体地应由k 的符号决定．例5点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2）是一次函数y ＝－4x +3 图象上的两个点，且 x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＞y 2 ＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＝y 2分析 要比较y 1与y 2的大小，只要知道一次函数中k 的符号．解 因为在一次函数y ＝－4x +3中k ＝－4＜0，所以当x 1＜x 2时，y 1＞y 2．故应选A ． 说明 在一次函数y ＝kx +b 中，①当k ＞0，y 随x 的增大而增大；②当k ＜0，y 随x 的增大而减小．考点6 图象与坐标轴围成的面积问题图2对于一次函数y ＝kx +b 与坐标轴的两个交点坐标分别是（0，b ）和（－kb ，0），由此与坐标轴围成的三角形的面积为12b b k -⋅＝122b k． 例6（日照市）已知直线y ＝mx －1上有一点B （1，n ），它到原点的距离是10，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．12B ．14或12C ．14或18D ．18或12分析 若能利用直线y ＝mx －1上有一点B （1，n ），它到原点的距离是10求出n ，则可以进一步求出了m ，从而可以求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．解 因为点B （1，n ）到原点的距离是10，所以有12+ n 2＝10，即n ＝±3，则点B 的坐标为（1，3）或（1，－3）．分别代入y ＝mx －1，得m ＝4，或m ＝－2．所以直线的表达式为y ＝4x －1或y ＝－2x －1，即易求得直线与坐标轴围成的三角形的面积为14或18．故应选C ． 说明 要求直线与两坐标轴围成的三角形的面积，只要能求出直线与坐标轴的交点坐标即可，这里的分类讨论是正确求解的关键．考点7 利用一次函数解决实际问题利用一次函数解决实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约．例7我市某乡A 、B 两村盛产柑桔，A 村有柑桔200吨，B 村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A ，B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y A 元和y B 元．（1）请填写下表，并求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式； CD 总计 A x 吨200吨 B300吨 总计240吨 260吨 500吨 收地 运地（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．分析依题意可以知道从A村运往C仓库的柑桔重量、从A村运往D仓库的柑桔重量、从B村运往C仓库的柑桔重量和从B村运往D仓库的柑桔重量，这样就可以求得y A、y B与x 之间的函数关系式，进而利用不等式和一次函数的性质求解．解（1）依题意，从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，则从A村运往D仓库的柑桔重量应为(200－x)吨，同样从B村运往C仓库的柑桔重量为(240－x)吨，从B村运往D仓库的柑桔重量应为(300－240+x)吨，即(60+x)吨．所以表中C栏中填上(240－x)吨，D栏中人上到下依次填(200－x)吨、(60+x)吨．从而可以分别求得y A＝－5x+5000(0≤x≤200)，y B＝3x+4680(0≤x≤200)．（2）当y A＝y B时，－5x+5000＝3x+4680，即x＝40；当y A＞y B时，－5x+5000＞3x+4680，即x＜40；当y A＜y B时，－5x+5000＜3x+4680，即x＞40；所以当x＝40时，y A＝y B即两村运费相等；当0≤x≤40时，y A＞y B即B村运费较少；当40＜x≤200时，y A＜y B即A村费用较少．（3）由y B≤4830，得3x+4680≤4830，所以x≤50．设两村运费之和为y，所以y＝y A+y B，即y＝－2x+9680，又0≤x≤时，y随x增大而减小，即当x＝50时，y有最小值为9580y（元）．所以当A村调往C仓库的柑桔重量为50吨，调往D仓库为150吨，B村调往C仓库为190吨，调往D仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．说明一次函数的重点内容之一就是利用一次函数图象的特征来解决解决实际应用问题，所以同学们一定要在应用上下功夫．另外，一次函数的应用问题是近年来中考的热点，其试题的形式活泼，题型新颖，情景生动，富有时代气息，体现新课程的理念，同学们应注意巩固和运用．练习题1，函数y＝1x 中自变量劣的取值范围是＿＿＿．2，如图，直线y＝－43x+4与y轴交于点A，与直线y＝45x+45交于点B，且直线y＝4 5x+45与x轴交于点C，则△ABC的面积为＿＿＿．BAy3，打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）4，如图，已知直线l1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线l2经过点B，且与x轴交于点P（m，0）．（1）求直线l1的解析式；（2）若△APB的面积为3，求m的值．5，近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：［信息一］招聘对象：机械制造类和规划设计类人员共150名．［信息二］工资待遇：机械类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1000元/月．设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x人、y人．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）若公司每月付给所招聘人员的工资为p 元，要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，求p 的取值范围．参考答案：1，≥1；2，4；3，D ；4，（1）设直线l 1的解析式为 y ＝kx + b ，由题意，得0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得 1,1.k b =⎧⎨=⎩所以，直线l 1的解析式为 y ＝x +1．（2）当点P 在点A 的右侧时，AP ＝m －（－1）＝m +1，有1(1)332APC Sm =⨯+⨯=．解得 m ＝1，此时，点P 的坐标为（1，0）；当点P 在点A 的左侧时，AP ＝－1－m ，有1(1)332APC S m =⨯--⨯=．解得 m ＝－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）．综上所述，m 的值为1或－3；5，（1）y ＝150－x ．（2）根据题意，得：y ≥2x ，所以150－x ≥2x ，解得：x ≤50，又x ≥0，150－x ≥0，即0≤x ≤50，所以p ＝600x +1000(150－x )＝－400x +150000；又因为p 随x 的增大而减小，并且0≤x ≤50，所以－400×50+150000≤p ≤－400×0+150000，即130000≤p ≤150000．。

初二数学期末总复习华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：期末总复习二. 重、难点知识梳理：（一）分式1. 分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解．2. 解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验．学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验．3. 由于引进了零指数幂与负整数指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示．（二）函数及其图象1. 从实际问题中了解变量、函数的概念，以及函数的表示法．学习时，要能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，并会结合函数图象分析简单的函数关系．2. 直角坐标系是研究函数图象的基础，在直角坐标系中，点与有序实数对之间是一一对应的．3. 一次函数（包括正比例函数）和反比例函数是两种常见的简单函数，它是反映现实世界两类常见的数量关系和变化规律的数学模型．要联系实际，理解一次函数和反比例函数的图象和性质，并能应用它解决简单的实际问题．4. 待定系数法是一项重要的数学方法，要了解它在确定一次函数和反比例函数表达式中的应用，更要熟悉它的基本思想，并在以后的学习中加以应用．5. 通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索，提高自主学习和对知识综合应用的能力．（三）全等三角形1. 理解命题、定理的条件与结论，以及公理与定理、原命题与它的逆命题、原定理与它的逆定理之间的关系，这些术语在今后的学习中会经常遇到．2. 本章研究的主要内容是三角形全等的判定方法．三角形全等的三个基本的判定方法是通过操作、说理得出的，这些都视作公理，都可作为今后证明中的推理依据．3. 本章还介绍了仅用直尺（没有刻度）与圆规的尺规作图方法，并使用尺规作图方法作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线这五种基本作图．（四）平行四边形的判定1. 平行四边形的运用：掌握这部分内容，首先搞清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的包含关系．注重把握特殊平行四边形与一般平行四边形的异、同点，才能准确地、灵活地运用．2. 梯形的运用：有关梯形问题，常常用添加辅助线的方法把梯形转化成特殊四边形与三角形的问题来解决．如：作高、平移一腰、平移对角线、延长两腰交于一点、过一腰中点作另一腰的平行线等．（五）数据的整理与初步处理1. 数据对我们了解所考察的对象非常重要，但过多的数据有时反而让我们无法把握，这时可以做两件事：一是制作形象的统计图表，对这组数据形成一个整体印象；二是计算代表这组数据的平均数、中位数和众数，以这几个指标概括这组数据．当然，不是在所有问题中这三个指标都有实际的意义，如果某个指标没意义，自然不必计算．有了好的数学工具还要用得恰当，选取一组数据的代表要注意平均数、中位数和众数的适用X 围．2. 对于给出的一组数据，可以通过求平均数、中位数和众数来反映数据的中心，与此同时，了解数据的离散程度也非常重要．因此，我们可以通过求极差、方差和标准差的方式来了解数据的离散程度．极差计算方便，但只对极端值较为敏感；方差计算比较复杂，但可以比较全面地反映数据的离散程度．3. 计算器和计算机具有强大的数据处理功能，可以将我们从繁杂的计算和绘图工作中解放出来．【典型例题】例1. 如果分式32x -+2|x|-1x 的值为零，那么x 等于（） A. －1 B. 1 C. －1或1 D. 1或2 解析：原分式即为：32x -+2|x|-1x ＝()()112x x x ---，当│x │－1＝0，即x ＝±1时，分式的分子为零，但当x ＝1时，分式的分母为零，分式无意义，所以x ＝－1．选A例2. 若方程()()11116=---+x mx x 有增根，则它的增根是（）． A. 0 B. 1 C. －1 D. 1和－1解析：由增根的定义可知，使得最简公分母的值为零的即是原分式方程的增根，所以本增根应为1和－1．选D ．例3. 某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．设原计划每天铺设管道x 米，则可得方程（）A.400040002010x x -=- B. 400040002010x x -=- C. 400040002010x x -=+ D. 400040002010x x -=+解析：设原计划每天铺设管道x 米，则后来每天铺设管道（x ＋10）米 原计划时间为：x 4000，后来所用的时间为：104000+x ． 后来所用时间＝原计划时间－20，即原时间－后来时间＝20所以正确方程为选项D ．方法整合：做应用题，要注意分析的方法，我们建议用一个简单的表格来分析（平时做题打草稿时不用画表格线），把未知数、已知数、要表达的关系式分别表示出来．例如本题可表示为：原来 后来 V （速度） xx ＋10T （时间） x4000104000+x S （工作量）40004000然后由时间关系得到201040004000++=x x 即400040002010x x -=+，借助表格分析的好处就是搭起了一个未知和已知之间的桥梁．例4. 先化简，再求值：（22x x x x --+）÷42xx -，其中x ＝2005． 解析：按照分式的运算法则进行运算：原式＝2222(2)(2)x x x x x x +-++-·24x x -＝12x +＝20071例5. 函数21+-=x y 中，自变量x 的取值X 围是（） A. x ≠2 B. x ≤－2C. x ≠－2D. x ≥－2解析：中考试题中考察自变量的取值X 围的较常见，考虑问题时要全面．常见的为分式、二次根式的形式．对于本题，自变量的取值应该使解析式（分式）有意义，所以由分母x ＋2≠0得x ≠－2，选择C ．例6. 如果点P （y x ,）关于原点的对称点为（－2，3），则=+y x ．解析：关于原点对称，横坐标与纵坐标互为相反数，所以点P 为（2，－3），故=+y x 2＋（－3）＝－1．例7. 一次函数y ＝ax ＋b ，若a ＋b ＝1，则它的图象必经过点（） A. （－1，－1） B. （－1， 1）C. （1，－1）D. （1， 1）解析：由a ＋b ＝1，结合解析式可得当x ＝1时，y ＝1，所以图象必经过点（1，1）．例8.一根蜡烛长20cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的长度为y （cm ）与燃烧时间x （小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ）解析：蜡烛长20cm ，每小时燃烧5cm ，所以应该是4小时燃烧完，燃烧时间x 的取值X 围应该是0≤x ≤4，且蜡烛是越来越短直到4小时后烧完为止故选B ．注意：函数的图象是一条线段，不是一条直线．例9. 如图，l 1表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；l 2表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系．⑴写出销售收入与销售量之间的函数关系式； ⑵写出销售成本与销售量之间的函数关系式；⑶当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；⑷当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润＝收入－成本）分析：利用一次函数图像与方程的关系是今后命题的方向，要善于从函数图像中获取基本数据及信息并挖掘未知的关系．本题用待定系数法可求出一次函数的解析式，直线的交点为函数值相等的点．解：⑴正比例函数经过了点（1，1）解析式为y ＝x⑵设y kx b =+∵直线过（0，2）、（4，4）两点 ∴2y kx =+又442k =+∴12k = ∴122y x =+ ⑶由图象知，当4x =时，销售收入等于销售成本或122x x =+∴4x = ⑷由图象知：当4x >时，工厂才能获利或1(2)02x x -+>时，即4x >时，才能获利．例10. 已知点A （－2，y 1）、B （－1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数4y x=的图象上，则（） A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 3<y 1<y 2D. y 2<y 1<y 3解析：反比例函数4y x=中的k ＝4＞0，所以此反比例函数的图象在第一三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小．大致图象如图：所以正确答案应为D ．例11. 如图，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断： （1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）∠B ＝∠D ；（4）AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．EFCBDA分析：解答此题可以反复运用从“选择”到“试解”这一过程．如：能否由（1）（2）（3）得到（4）；能否由（1）（2）（4）得到（3），等等．解：已知：AE ＝CF ，∠B ＝∠D ，AD ∥BC ． 求证：AD ＝BC ． 证明：∵AE ＝CF ， ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ． 即AF ＝CE ． 又∵AD ∥BC ， ∴∠A ＝∠C ．∵,,,AF CE B D A C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE ， ∴AD ＝BC ．点拨：由结论去寻找已知条件，即“由果索因”；或者由已知条件去得到结论，即“由因导果”，这两种方法是图形说理题的常用思路．而本题却是给你一些论断，其中一些作条件，另一个作为结论，综合性比较强，需要对全等三角形的性质、识别法熟练掌握才行．例12. 已知：∠AOB ，点M 、N ．求作：点P ，使点P 在∠AOB 的平分线上，且PM ＝PN ． （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）解析：尺规作图在中考命题中所占比例不大，通常不会直接考尺规作图题．但对尺规作图基本操作方法的掌握是一切作图的基础．在平时学习中，应了解其在生活生产实践中的作用及地位，体会作图是美化生活的基础，给人一种美的感觉．本题可假设点P 已经画出，那么点P 应该在∠AOB 的平分线上，又由PM ＝PN 可知，点P 还必须在线段MN 的垂直平分线上．所以，可按下列步骤作图：⑴画∠AOB 的平分线；⑵画线段MN 的中垂线．两条线的交点即为所求点P ．例13. 如图，在□ABCD 中，EF//AB ，GH//AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有（）A. 7 个B. 8个C. 9个D. 11个H GD OFEC BA解析：根据平行四边形的的概念，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由题中的已知条件就能得出图中的平行四边形共有9个，所以选C ．例14. 如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ． 求证：BE ＝CF ．解析：本题关键是熟练运用矩形的特征结合三角形全等的特征和识别方法，要证明BE ＝CF ，可以通过全等．可以证△BOE ≌△COF ，或者证△ABE ≌△DCF ．∵四边形ABCD 为矩形， ∴AC ＝BD ，则BO ＝CO ．∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ， ∴∠BEO ＝∠CFO ＝90°． 又∵∠BOE ＝∠COF ， ∴△BOE ≌△COF ． ∴BE ＝CF ．点拨：这道题还有别的简单的解法．我们把BE 和CF 看成是△ABO 和△DCO 的高，只要证得△ABO 和△DCO 的面积相等，就可以，这由矩形的特征可以得到，然后用等底等高的三角形面积也相等，问题可迎刃而解．例15. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC ＝45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ，若AD ＝2，BC ＝8．求BE 的长．分析：本题运用轴对称及等腰梯形的性质可解决解：由题意得△BEF≌△DFE，∴DE＝BE，∵在△BDE中，DE＝BE，∠DBE＝45°，∴∠BDE＝∠DBE＝45°，∴∠DEB＝90°，∴DE⊥BC．∴EC＝12（BC－AD）＝12（8－2）＝3．∴BE＝5．例16. 某商场为了解本商场的服务质量，随机调查了本商场的100名顾客，调查的结果如图所示．根据图中给出的信息，这100名顾客中对该商场的服务质量表示不满意的有_________人．解析：根据统计图提供的信息可知顾客中对该商场的服务质量表示不满意的人数所占的比例是1－46%－38%－9%＝7%，则顾客中对该商场的服务质量表示不满意的人数是100×7%＝7（人）所以应填7．例17. 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下：甲：乙：⑴甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？⑵哪位运动员的成绩更为稳定？⑶若预测，跳过就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过才能得冠军呢？分析：这类题是平均数、中位数、众数的综合应用．通过比较两组数据，判断各自的稳定性．当两组数据的平均数相同或接近时，通常要通过比较两组数据的方差来判断其稳定性，方差越大，越不稳定，越小的越稳定，同时还要考虑中位数和众数．在日常生活中选拔运动员时，有时会考虑其它的因素，比如心理因素、平时的训练成绩等，因此在做这类题时要注意，只要说得有道理都是正确的．解：⑴考查如何求平均数．用公式x＝1n（1x＋2x＋…＋nx）计算甲、乙的平均成绩得，；⑵考查怎样求方差．用方差公式2s ＝1n[（1x －x ）2＋（2x －x ）2＋…＋（n x －x ）2]计算甲、乙的方差得20.0006s =甲，20.0035s =乙，因为22s s <乙甲，故甲稳定．⑶考查用哪个数据来衡量甲、乙的成绩好差，是一个实际应用的题．若预测，跳过就很可能获得冠军，可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过而乙有3次低于1.65m.预测跳过才能得冠军，可能选乙参加，因为甲仅3次超过．【模拟试题】（答题时间：70分钟）一. 选择题：1. 在一次射击练习中，甲、乙两人前5次射击的成绩分别为（单位：环） 甲：10 8 10 10 7 乙：7 10 9 9 10 则这次练习中，甲、乙两人方差的大小关系是（）A. S 2甲>S 2乙B. S 2甲<S 2乙C. S 2甲＝S 2乙D. 无法确定 2. 某省某市2005年4月1日至7日每天的降水百分率如下表：日期（日） 1234567降水百分率30% 10% 10% 40% 30% 10% 40%则这七天降水的百分率的众数和中位数分别为（）．A. 30%，30%B. 30%，10%C. 10%，30%D. 10%，40%3. 将一X 矩形纸片ABCD 如图那样折起，使顶点C 落在C'处，其中AB ＝4，若∠C•'ED ＝30°，则折痕ED 的长为（）．A. 4B. 43C. 8D. 534. 在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）． A. AC ＝BD ，AD //CB ；B. AD ∥BC ，∠A ＝∠C ；C. AO ＝BO ＝OC ＝DO ；AC ⊥BDD. AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC二. 填空题：5. x_______时，分式5345x x -+有意义； 6. 请在下面横线上填上适当的内容，使其成为一道正确并且完整的分式加减的运算题_________＝1x x -； 7. 若a ＝23，则2223712a a a a ---+的值等于________．8. 如果反比例函数的图象经过点（•1，－•2），那么这个反比例函数的解析式为________．9. 已知一组数据：－2，－2，3，－2，x，－1，若这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是________．10. 如图所示，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是________．11. 如图所示，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：______•使四边形AECF是平行四边形．12. 如图所示，正方形ABCD中，AB＝1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC•为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是________．13. 如图所示，梯形纸片ABCD，∠B＝60°，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝6，将纸片折叠，使点B•与点D重合，折痕为AE，则CE＝_______．14. 如图所示，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，则∠1＝______度．三. 解答题：15. 有一道题“先化简”，再求值：（22xx-+＋244xx-）÷214x-，其中“x3，小玲做题时把“x3x3，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？16. 某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示：年龄组13岁14岁15岁16岁参赛人数 5 19 12 14⑴求全体参赛选手年龄的众数、中位数；⑵小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%，你认为小明是哪个年龄组的选手？请说明理由．17. 如右图，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．⑴求证：CD＝FA⑵若使∠F＝∠BCF，□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明（不要再增添辅助线）18. 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．⑴写出y与S的函数关系式；⑵求当面条粗2时，面条的总长度是多少？19. 甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发1小时30分钟后，B•骑摩托车也从甲地去乙地，已知B的速度是A的速度的倍，并且B比A早1小时到达，求A，B 两人的速度．20. 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．⑴观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；⑵图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．word 11 / 11【试题答案】一. 选择题．1. A2. •C3. C4. C二. 填空题．5. x ≠－546. 略7. －128. y ＝－2x9. －32 10. y ＝－3x 11. 略 12. 4 13. 4 14. 120三. 解答题． 15. 原式可化简为x 2＋4，∵3x ±=，x 2均为3，不会影响结果16. ⑴众数是：14岁，中位数是：15岁，⑵16岁年龄组的选手理由略．17. （1）略。

第15章《一次函数》复习教案同学们已经知道了一次函数是研究函数的入门知识，也是今后学习其它函数的基础．为了使大家能牢固地掌握一次函数的性质与简单应用，现从以下几个方面帮助同学们搞好一次函数重点知识的回顾．一、要点解读 1，知识总揽一次函数是函数大家族中的主要成员之一，是研究两个变量和学习其它函数的基础，它的表达式简单，性质也不复杂，但在我们的日常生活中的应用却十分广泛，与其它函数的联系也十分密切，许多实际问题只要我们注意细心观察，认真分析，及时将问题转化为一次函数模型，再得用一次函数的性质即可求解．2，疑点、易错点（1）若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y ＝kx +b (k ≠0)，则称y 是x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数，就是说，正比例函数是一次函数的特例，而一次函数包含正比例函数，是正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．如y ＝－x 是正比例函数，也是一次函数，而y ＝－2x －3是一次函数，但并不是正比例函数．因此，同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念，注意掌握它们之间的区别和联系．（2）一次函数的图象是一条直线，它所经过的象限是由k 与b 决定的，所以在复习巩固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固，从而可以避免因k 与b 的符号的干扰．如，在如图中，表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx (m 、n 是常数且mn ≠0)图象是（ ）对于两不同函数图象共存同一坐标系问题，常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题．例如，假设选项B 中的直线y ＝mx +n 正确则m ＜0，n ＞0，mn ＜0则正比例函数y ＝mnx 则应过第二、四象限，而实际图象则过第一、三象限，所以选项B 错误．同理可得A 正确．故应选A ．O xyA O xy BO xyCOxy D（3）虽然一次函数的表达式简单，性质也并不复杂，且一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象是一条直线，它的位置由k 、b 的符号确定．但是，涉及实际问题的一次函数图象与自变量的取值范围，画出来的图象不一定是直线，可能是线段或其他图形，这一点既是学习一次函数的疑点，也是难点，更是解题量的易错点．如，拖拉机开始工作时，油箱中有油40L ，如果每小时耗油5L ，那么工作时，油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系用图象可表示为（ ）依题意可以得到油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系为Q ＝40－5t ，就这个一次函数的解析式而言，它的图象是一条直线，所以不少同学就会选择A ，而事实上，自变量t 有一个取值范围，即0≤t ≤8，所以正确的答案应该选择C ．二、思想方法复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固．具体地说，一次函数的知识涉及常见的思想方法有：（1）函数思想所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的关系．确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．例1 长方形的长是20，宽是x ，周长是y ．写出x 和y 之间的关系式． 简析 （1）由长方形的周长公式，得y ＝2(x ＋20)＝2x +40；说明 在依据题意写出两个变量之间的关系式时，会经常用到以前学到的各种公式，所以对以前常用的公式我们要熟练掌握，分析每一个公式的结构特征，做到运用自如，方可避免常见错误．（2）数形结合思想数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．408OtQB408OtQA408OtQD408OtQC例2 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题，还要保证一定的门票收入．因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图2所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?解 设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y ＝kx +b ．由题意，得107000,154500.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得500,12000.k b =-⎧⎨=⎩所以y ＝－500x +12 000．而根据题意，得xy ＝40 000，即x (－500x +12 000)＝40 000，x 2－24x +80＝0， 所以方程变形为(x －12)2＝64，两边开平方求得x 1＝20，x 2＝4．把x 1＝20，x 2＝4分别代入y ＝－500x +12 000中得y 1＝2 000，y 2＝10 000． 因为控制参观人数，所以取x ＝20，y ＝2 000．即每周应限制参观人数是2 000人，门票价格应是20元．说明 本题中得到方程x 2－24x +80＝0，虽然没有学过不会解，但通过适当变形还是可以求解的．（3）待定系数法待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法．它是方程思想的具体运用． 例3 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：第一档 第二档 第三档 第四档 凳高x (cm) 37．0 40．0 42．0 45．0 桌高y (cm)70．074．878．082．8（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y 是凳高x 的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出x 的取值范围)；（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm ，凳子的高度为43．5cm ，请你判断它们是否配套，说明理由．票价人数(人)10002000400030005000700060002015105O图2解（1）设y＝kx+b(k≠0)，依题意得3770,4074.8.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1.6,10.8.kb=⎧⎨=⎩所以这个一次函数的关系式y＝1．6x+10．8；（2）当小明家写字台的高度y＝77cm时，由（1）中的一次函数的关系式y＝1．6x+10．8得77＝1．6x+10．8，解得x＝41．375＜凳子的高度43．5cm，所以小明家的写字台和凳子的高度是不配套的．说明对于（2）中的问题也可以利用凳子的高度x，求出写字台的高度y，再与77cm 比较．由此，用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：“一设二列三解四还原”．就是说，一设：设出一次函数解析式的一般形式y＝kx+b(k≠0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k、b 的值；四还原：将已求得（4）方程思想方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．方程思想是最重要的一种数学思想，在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活．从例1、例2和例3中，我们都可以看出用到了方程思想求解．三、考点解密（所选例题均出自中考试卷）考点1 确定自变量的取值范围确定函数解析式中的自变量的取值范围，只需保证其函数有意义即可．例1（盐城市）函数y＝11x-中，自变量x的取值范围是．分析由于函数的表达式是分式型的，因此必需保证分母不等于0即可．解要使函数y＝11x-有意义，只需分母x－1≠0，即x≠1．说明确定一个函数的自变量的取值范围，对于函数是整式型的可以取任何数，若是分数型，只需使分母不为0，对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义．考点2 函数图象把一个函数的自变量x与对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做函数函数图象．例2（泉州市）小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家．如图1中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离．．．．．s(千米)与所用时间t（分）之间的关系（）图1分析依据题意，并观察分析每一个图象的特点，即可作出判断．解依题意小明所在学校离家距离为2千米，先行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，即能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t（分）之间的关系只有D图符合，故应选D．说明求解时要充分发挥数形结合的作用，及时从图象中捕捉求解有用的信息，并依据函数图象的概念对图象作出正确判断．考点3 判断图象经过的象限对于一次函数y＝kx+b：①当k＞0，b＞0时，图象在第一、二、三象限内；②当k＞0，b＜0时，图象在第一、三、四象限内；③当k＜0，b＞0时，图象在第一、二、四象限内；④当k＜0，b＜0时，图象在第二、三、四象限内．特别地，b＝0即正比例函数y＝kx有：①当k＞0时，图象在第一、三象限内；②当k＜0时，图象在第二、四象限内．例3（十堰市）已知直线l经过第一、二、四象限，则其解析式可以为＿＿＿（写出一个即可）．分析由题意直线l经过第一、二、四象限，此时满足条件的解析式有无数个．解经过第一、二、四象限的直线有无数条，所以本题是一道开放型问题，答案不唯一．如：y＝－x+2，y＝－3x+1．等等．说明处理这种开放型的问题，只要选择一个方便而又简单的答案即可．考点4 求一次函数的表达式，确定函数值要确定一次函数的解析式，只需找到满足k、b的两个条件即可．一般地，根据条件列出关于k、b的二元一次方程组，解出k与b的值，从而就确定了一次函数的解析式．另外，对于实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约．例4（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x (吨)与应付水费(元)的函数关系如图2．（1）求出当月用水量不超过5吨时，y 与x 之间的函数关系式； （2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少?分析 观察函数图象我们可以发现是一条分段图象，因此只要分0≤x ≤5和x ≥5求解． 解（1）由图象可知：当0≤x ≤5时是一段正比例函数，设y ＝kx ，由x ＝5时，y ＝5，得5＝5k ，即k ＝1．所以0≤x ≤5时，y ＝x ．（2）当x ≥5时可以看成是一条直线，设y ＝k 1x + b 由图象可知1155,12.510.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1 1.5,2.5.k b =⎧⎨=-⎩所以当x ≥5时，y ＝1．5x －2．5；当x ＝8时，y ＝1．5×8－2．5＝9．5(元)． 说明 确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件；确定一次函数的表达式需要两个独立的条件．对于在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值．在处理本题的问题时，只需利用待定系数法，构造出相应的二元一次方程组求解．另外，在处理这类问题时，一定要从图形中获取信息，并把所得到的信息进行联系处理．考点5 比较大小利用一次函数的性质可以比较函数值的大小，具体地应由k 的符号决定．例5点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2）是一次函数y ＝－4x +3 图象上的两个点，且 x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＞y 2 ＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＝y 2 分析 要比较y 1与y 2的大小，只要知道一次函数中k 的符号．解 因为在一次函数y ＝－4x +3中k ＝－4＜0，所以当x 1＜x 2时，y 1＞y 2．故应选A ． 说明 在一次函数y ＝kx +b 中，①当k ＞0，y 随x 的增大而增大；②当k ＜0，y 随x 的增大而减小．考点6 图象与坐标轴围成的面积问题图2对于一次函数y ＝kx +b 与坐标轴的两个交点坐标分别是（0，b ）和（－kb，0），由此与坐标轴围成的三角形的面积为12b b k -⋅＝122b k．例6（日照市）已知直线y ＝mx －1上有一点B （1，n ），它到原点的距离是10，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．12 B ．14或12 C ．14或18 D ．18或12分析 若能利用直线y ＝mx －1上有一点B （1，n ），它到原点的距离是10求出n ，则可以进一步求出了m ，从而可以求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．解 因为点B （1，n ）到原点的距离是10，所以有12+ n 2＝10，即n ＝±3，则点B的坐标为（1，3）或（1，－3）．分别代入y ＝mx －1，得m ＝4，或m ＝－2．所以直线的表达式为y ＝4x －1或y ＝－2x －1，即易求得直线与坐标轴围成的三角形的面积为14或18．故应选C ． 说明 要求直线与两坐标轴围成的三角形的面积，只要能求出直线与坐标轴的交点坐标即可，这里的分类讨论是正确求解的关键．考点7 利用一次函数解决实际问题利用一次函数解决实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约．例7我市某乡A 、B 两村盛产柑桔，A 村有柑桔200吨，B 村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A ，B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y A 元和y B 元．（1）请填写下表，并求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式；C D总计 A x 吨200吨 B300吨 总计240吨260吨500吨收 地运地（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．分析依题意可以知道从A村运往C仓库的柑桔重量、从A村运往D仓库的柑桔重量、从B村运往C仓库的柑桔重量和从B村运往D仓库的柑桔重量，这样就可以求得y A、y B与x 之间的函数关系式，进而利用不等式和一次函数的性质求解．解（1）依题意，从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，则从A村运往D仓库的柑桔重量应为(200－x)吨，同样从B村运往C仓库的柑桔重量为(240－x)吨，从B村运往D仓库的柑桔重量应为(300－240+x)吨，即(60+x)吨．所以表中C栏中填上(240－x)吨，D栏中人上到下依次填(200－x)吨、(60+x)吨．从而可以分别求得y A＝－5x+5000(0≤x≤200)，y B＝3x+4680(0≤x≤200)．（2）当y A＝y B时，－5x+5000＝3x+4680，即x＝40；当y A＞y B时，－5x+5000＞3x+4680，即x＜40；当y A＜y B时，－5x+5000＜3x+4680，即x＞40；所以当x＝40时，y A＝y B即两村运费相等；当0≤x≤40时，y A＞y B即B村运费较少；当40＜x≤200时，y A＜y B即A村费用较少．（3）由y B≤4830，得3x+4680≤4830，所以x≤50．设两村运费之和为y，所以y＝y A+y B，即y＝－2x+9680，又0≤x≤时，y随x增大而减小，即当x＝50时，y有最小值为9580y（元）．所以当A村调往C仓库的柑桔重量为50吨，调往D仓库为150吨，B村调往C仓库为190吨，调往D仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．说明一次函数的重点内容之一就是利用一次函数图象的特征来解决解决实际应用问题，所以同学们一定要在应用上下功夫．另外，一次函数的应用问题是近年来中考的热点，其试题的形式活泼，题型新颖，情景生动，富有时代气息，体现新课程的理念，同学们应注意巩固和运用．练习题1，函数y ＝1x 中自变量劣的取值范围是＿＿＿．2，如图，直线y＝－43x+4与y轴交于点A，与直线y＝45x+45交于点B，且直线y＝4 5x+45与x轴交于点C，则△ABC的面积为＿＿＿．CBAxOy3，打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）4，如图，已知直线l1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线l2经过点B，且与x轴交于点P（m，0）．（1）求直线l1的解析式；（2）若△APB的面积为3，求m的值．5，近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：［信息一］招聘对象：机械制造类和规划设计类人员共150名．［信息二］工资待遇：机械类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1000元/月．设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x人、y人．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）若公司每月付给所招聘人员的工资为p 元，要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，求p 的取值范围．参考答案： 1，≥1；2，4；3，D ；4，（1）设直线l 1的解析式为 y ＝kx + b ，由题意，得0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得 1,1.k b =⎧⎨=⎩所以，直线l 1的解析式为 y ＝x +1．（2）当点P 在点A 的右侧时，AP ＝m －（－1）＝m +1，有1(1)332APC S m =⨯+⨯=V ．解得 m ＝1，此时，点P 的坐标为（1，0）；当点P 在点A 的左侧时，AP ＝－1－m ，有1(1)332APC S m =⨯--⨯=V ．解得 m ＝－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）．综上所述，m 的值为1或－3；5，（1）y ＝150－x ．（2）根据题意，得：y ≥2x ，所以150－x ≥2x ，解得：x ≤50，又x ≥0，150－x ≥0，即0≤x ≤50，所以p ＝600x +1000(150－x )＝－400x +150000；又因为p 随x 的增大而减小，并且0≤x ≤50，所以－400×50+150000≤p ≤－400×0+150000，即130000≤p ≤150000．。

华师大版初二数学下册期末知识点总结(一)运用公式法:我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有:a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子: a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言:两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到:a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数:三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)bull;(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意:1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤:① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据:分式的基本性质.5.通分的关键:确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是:同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

名师第十五讲平行四边形平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角,菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊的性质.对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小,连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法,特殊三角形性质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务．熟悉以下基本图形、基本结论:例题求解【例1】如图，在矩形ＡBCD中,已知AＤ=1２，AB=5，P是AD边上任意一点,PE⊥BD于E，PF⊥A Ｃ于F,那么PＥ+PF的值为 .（全国初中数学联赛试题）思路点拨分别求出PＥ、PF困难,△AＯD为等腰三角形,若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解.注特殊与一般是对立统一的,在一定条件下可以互相转化，相对于一般而言,特殊的事物往往更简单、更直观、更具体．因而人们常常通过特殊去认识一般;另一方面,一般概括了特殊，一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质，所以人们也往往通过一般去了解特殊．一般与特殊,是知识之间联系的一种重要形式,知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中，不斩地得到延伸与拓展．【例2】已知四边形AＢＣＤ,从下列条件中:(1)AB∠ＣD，(２)BC∥AD;(3)AB=ＣD；（4)BC=AD;（5)∠Ａ=∠Ｃ；(6)∠Ｂ=∠D.任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）A.4种 B．９种 C．13种 D. 15种(山东省竞赛题)思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定.【例３】】如图，在△ＡDＣ中，∠ＤAC＝90°,ＡD⊥BC,DC、ＡF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G,求证:ＧF∥AＣ．(湖北省荆州市中考题）思路点拨从角的角度证明困难,连结CF,在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGＦE 为特殊平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形.【例４】如图，设Ｐ为等腰直角三角形ACＢ斜边ＡB上任意一点，PE⊥ＡＣ于点E，PＦ⊥BＣ于点F，PG⊥EＦ于G点,延长ＧP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC,求证:BC⊥BD,且BC=BD．(全国初中数学联赛试题)思路点拨尽管图形复杂，但证明目标明确，只需证明△CPB≌△DＰＢ,应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形，充分运用它们的性质为证题服务.【例５】如图,在等腰三角形AＢC中，延长边ＡB到点D,延长边CA到点E,连结DE，恰有AD＝ＢC＝ＣE=DＥ．求∠BAC的度数.(北京市竞赛题)思路点拨 题设条件给出的是线段的等量关系,要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形,为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.注 课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的,一般情况是，从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类,任意组合就产生许多判定平行四边形的命题.其中有真命题与假命题,对于假命题，要善于并熟悉构造反例．构造反例是学习数学的一种重要技能,可以帮助我们理解概念.培养推理能力,数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例.若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素，则通过作平行线，构造平行四边形，这是解四边形问题的常用技巧，这是由于平行四边形能使角的位置更理想，送线段到恰当的地方，使线段比良性传递．学力训练1．如图，BD 是平行四边形ＡBCD 的对角线,点E 、F 在B Ｄ上，要使四边形A ＥＣF 是平行 四边形,还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考 虑所有可能情形)（宁波市中考题)2．(1)如图，已知矩形ABC Ｄ中,对角线A Ｃ、ＢD 相交于O ，AE ⊥B Ｄ于E ，若∠ＤAE:∠B ＡE ＝3：１，则∠CAC ＝ ； (河南省中考题)(2）矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分,则这个矩形的面积为 cm 2． (武汉市中考题)3.如图,以△AB Ｃ的三边为边在B Ｃ的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD 、△B ＣE 、△ACF ．(1)四边形ＡDEF 是 ;(2)当△ＡBC 满足条件 时，四边形A ＤＥF 为矩形；(3)当△ABC 满足条件 时,四边形ADEF 不存在． (2000年贵州省中考题)4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为１，另两边之和为1＋3,则这两边之积为 . (2０01年天津市选拔赛试题)5．四边形的四条边长分别是a 、b 、c 、d,其中ａ、c 为对边，且满足cd ab d c b a 222222+=+++,则这个四边形一定是（）A.平行四边形B.两组对角分别相等的四边形Ｃ．对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形6.如图，周长为6８的矩形ＡBCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABＣD的面积为(）A．98 B.１９6 Ｃ．2８0 D. ２84(湖北省荆州市中考题)7.如图,菱形花坛ＡBＣＤ的边长为6m,∠B=6０°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为( )A．１２3 m B．20m C. ２２m Ｄ.２4ｍ(吉林省中考题)8．在凸四边形ＡBCＤ中,AB∥CＤ，且AB+BＣ=CＤ＋ＤＡ，则（）A.ＡD>BC B．ＡD<BCC.ＡD=BC Ｄ．ＡD与BC的大小关系不能确定(“希望杯”邀请赛试题)9．如图,△ABC为等边三角形,D、F分别是BC、AB上的点,且ＣD=BF,以AD为边作等边△ADC.(1)求证：△ACD≌△ＣNBF;(2)当D在线段ＢC上何处时,四边形CDEＦ为平行四边形,且∠ＤＥF=3０°?证明你的结论． (南通市中考题)10．如图，在Ｒt△ABC中,AB=AＣ，∠A=９0°,点Ｄ为ＢＣ上任一点,DF⊥AB于F,DＥ⊥AC于C,Ｍ为BC的中点，试判断△ＭＥF是什么形状的三角形，并证明你的结论.(黑龙江省中考题)１1.如图,△ＡBＣ中，点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥ＢC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BＣＡ的外角平分线于点F.(1)求证：CO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AEＣF是矩形?并证明你的结论.(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ＡECF是正方形?12．如图,在平行四边形ＡＢCD中,EF∥BC,GH∥AB，EF、ＧH的交点P在BＤ上,图中有对四边形面积相等，它们是．(常州市中考题)１３.如图，菱形ABCD的对角线ＡC、BD相交于O,△AＯB的周长为3＋3,∠AＢC＝60°,则菱形ABCＤ的面积为 .1４．如图，矩形ABCD的对角线相交于Ｏ，AE平分∠BAD交BC于E，∠ＣAＥ=1５°,则∠BOＥ= . 15．如图,矩形ＡBCＤ中,AB=8，ＢC＝４,将矩形沿ＡC折叠,点Ｄ落在点D′处，则重叠部分△ＡFC的面积为 . (山东省竞赛题)16．如图,平行四边形AＢCＤ中，∠ＡBC＝7５°，AF⊥BC于F，AF交ＢD于E，若DE=2AＢ，则∠AEＤ的大小是( )A.60°B．6５° C.７０° D.７5° (“希望杯”邀请赛试题)1７．如图,正△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等,点Ｅ、Ｆ分别在BC 、C Ｄ上,则∠Ｂ的度数是( ) Ａ．70° B.7５° C ．80° D ．95°（重庆市竞赛题)18.如图,正方形ABCD 外有一点P,P 在BC 外侧,并在平行线AB 与CD 之间,若PA=17,PB=2，ＰC ＝5，则PD ＝（ )A.25B.19 C .32 D.17 (“五羊杯”竞赛题）19．如图，在平行四边形AB ＣD 中，B Ｃ=2AB,ＣＺ⊥AB 于E ，Ｆ为AD 的中点,若∠AEF=5４°，则∠B=（ )Ａ．54° Ｂ．６0° C ．66° D.7２°(武汉市选拔赛试题)２0.如图,在Ｒt △ABC 中，∠ＡＢC=９0°,∠C ＝60°,BC=2,D 是AC 的中点，以Ｄ作DE ⊥ＡC 与C Ｂ的延长线交于E,以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ，连结DF ，求DF 的长.21.如图，菱形的对角线AC 与B Ｄ交于点O ，延长BA 到E ，使AE=21A Ｂ,连结ＯE ，延长DE 交ＣA 的延长线于F.求证：OE=21DF ． ２2.阅读下面短文：如图1,△ABC 是直角三角形,∠C=9０°，现将△ABC 补成矩形，使△ＡＢC 的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个便点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个:矩形ACB Ｄ和矩形ＡE ＦB （如图2).解答问题；(1）设图2中矩形ACＢD和矩形AＥFB的面积分别为Ｓｌ、Ｓ2,则S1 S2(填“＞”，“=”或“<”）; (2）如图3,△ABＣ是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出个,利用图3把它画出来;（３)如图4，△AＢC是锐角三角形且三边满足BC>AＣ>AＢ,按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个,利用图４把它画出来;（4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么?（陕西省中考题)23.如图,在△ABC中，∠C=90°，点Ｍ在BＣ上，且BＭ=AC,N在ＡC上,且ＡN=ＭC，ＡM与BＮ相交于P，求证：∠BPM=４５°．(杭州市“求是杯”竞赛题)24．如图，在锐角△ＡBＣ中，AD、ＣZ分别是BＣ、AＢ边上的高,AD、CE相交于Ｆ,BＦ的中点为P,AC的中点为Ｑ，连结ＰQ、DＥ.（1）求证;直线PQ是线段DE的垂直平分线;(2)如果△ABC是钝角三角形,∠ＢAC>９０°，那么上述结论是否成立?请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.(“希望杯”邀请赛试题)。