2015高考数学(理)一轮题组训练：2-6对数与对数函数

对数与对数函数第Ⅰ组：全员必做题1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________.3．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为________．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是____________．5．(2014·常州期末)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>k ，k ， f (x )≤k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为________． 6．计算：(log 29)·(log 34)＝________.7．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________． 8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________. 9．(2014·长春模拟)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域．(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．10．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·徐州联考)函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．2．(2014·无锡模拟)若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)，x 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]．答案：(－2,8]2．解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .答案：log 2x3．解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a ＞b ＞c .答案：a ＞b ＞c4．解析：当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1； 当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)5．解析：因为f (x )＝log 3|x |，k ＝13，所以由f (x )>k 得log 3|x |>13，解得x <－33或x >33.同理由f (x )≤k 得－33≤x <0或0<x ≤33，所以f k (x )＝⎩⎨⎧ log 3|x |，x <－33或x >33，13，－33≤x <0或0<x ≤33，所以函数f k (x )的单调减区间为(－∞，－33)．(闭区间也对)答案：(－∞，－33)⎝⎛⎭⎫或(－∞，－33]6．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：47．解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3. 答案：(－∞，－3]8．解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m＝2， ∴1lg m＝2，即m ＝10. 答案：109．解：∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为 (－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．解：当a >1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ log a 13≥－1，log a 2≤1，解得a ≥3. ∴此时a 的取值范围是a ≥3.当0<a <1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2 上单调递减，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧log a 13≤1，log a 2≥－1，解得0<a ≤13. ∴此时，a 的取值范围是0<a ≤13. 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：取x －1＝1得原函数的图像恒过定点A (2,1)，代入直线方程得2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即2m ＝n ＝12时等号成立，故最小值为8.答案：82．解析：因为g (lg x )>g (1)，所以f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1.解得0<x <110或x >10.答案：⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)。

1．(2013·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg (x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg (xy )＝2lg x ·2lg y解析： 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确． 答案：D2．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( )解析：∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C.答案：C3．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：B4. (2012·海口模拟)已知a ，b ∈R ，则“log 2a ＞log 2b ”是 “⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a >b >0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，但由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b⇒a >b ⇒ / log 2a >log 2b .故选A.答案：A5．(2012·重庆卷)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B. 答案：B6. (2013·河北石家庄质检)函数f (x )＝log a x 与g (x )＝b －x(其中a ＞0，a ≠1，ab ＝1)的图象可能是( )解析：若a ＞1，则f (x )＝log a x 是(0，＋∞)上的增函数，因为ab ＝1，所以1b＝a ＞1，于是g (x )＝b －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx 是R 上的增函数．故选C.答案：C7．(2013·揭阳二模)若点(a ，－1)在函数y ＝log 13x 的图象上，则tan 4πa的值为________．解析：将x ＝a ，y ＝－1代入函数解析式得：－1＝log 13a ，解得：a ＝3，则tan 4πa ＝tan 4π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π 3＝tan π3＝ 3. 答案： 38．(2013·山西四校联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，－2x＋1，x ≤0，则函数f (x )的零点为__________．解析：当x ＞0时，由log 2x ＝0得，x ＝1；当x ≤0时，由－2x＋1＝0得x ＝0.所以函数的零点为0和1.答案：0和19．(2013·北京东城区检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．解析： (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}． 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1.解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是{x |0＜x ＜1}．10．设x ，y ，z ∈R ＋，且3x ＝4y ＝6z.(1)求证：1z －1x ＝12y；(2)比较3x,4y,6z 的大小．证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，因为x ，y ，z ∈R ＋，所以k ＞1，x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .(1)1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y . 即1z －1x ＝12y成立． (2)解析：因为k ＞1，所以lg k ＞0,所以3x －4y ＝lg klg 3×lg 4(lg 64－lg 81)＜0，4y －6z ＝lg klg 2×lg 6(lg 36－lg 64)＜0，所以3x ＜4y ＜6z .。

高考数学一轮复习学案：2.6 对数与对数函数（含答案）2.6对数与对数函数对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象3.体会对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yaxa0，且a1与对数函数ylogaxa0，且a1互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择.填空题，中低档难度.1对数的概念一般地，如果axNa0，且a1，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数2对数的性质与运算法则1对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么logaMNlogaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaMnR2对数的性质logaNa__N__；logaaN__N__a0，且a13对数的换底公式logablogcblogcaa0，且a1；c0，且c1；b03对数函数的图象与性质ylogaxa100；当00且a1与对数函数ylogaxa0且a1互为反函数，它们的图象关于直线yx对称知识拓展1换底公式的两个重要结论1logab1logba；2logmnabnmlogab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故00且a1在0，上是增函数3函数yln1x1x与yln1xln1x的定义域相同4对数函数ylogaxa0且a1的图象过定点1,0且过点a,1，1a，1，函数图象只在第一.四象限题组二教材改编2P68T4log29log34log45log52________.答案23P82A组T6已知a132，blog213，c121log3，则a，b，c的大小关系为________答案cab解析0ab.4P74A组T7函数y23log21x的定义域是______答案12，1解析由23log21x0，得00，a1的图象如图，则下列结论成立的是Aa1，c1Ba1,00且a1的图象如图所示，则下列函数图象正确的是答案B解析由题意ylogaxa0且a1的图象过3,1点，可解得a3.选项A中，y3x13x，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，yx3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3x的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.2当01时，直线yxa与ylog2x只有一个交点题型三题型三对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用命题点1对数函数的单调性典例1xx届河南信阳高中大考设alog412，blog515，clog618，则AabcBbcaCacbDcba答案A解析a1log43，b1log53，c1log63，log43log53log63，abc.2xx江西九江七校联考若函数fxlog2x2ax3a在区间，2上是减函数，则实数a的取值范围是A，4B4,4C，42，D4,4答案D解析由题意得x2ax3a0在区间，2上恒成立且函数yx2ax3a在，2上单调递减，则a22且222a3a0，解得实数a的取值范围是4,4，故选D.命题点2和对数函数有关的复合函数典例已知函数fxloga3axa0且a11当x0,2时，函数fx恒有意义，求实数a的取值范围；2是否存在这样的实数a，使得函数fx在区间1,2上为减函数，并且最大值为1如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解1a0且a1，设tx3ax，则tx3ax为减函数，x0,2时，tx的最小值为32a，当x0,2时，fx恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a的取值范围为0,11，32.2假设存在这样的实数a.tx3ax，a0，函数tx为减函数fx在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，tx的最小值为32a，fx的最大值为f1loga3a，32a0，loga3a1，即acbBbcaCcbaDcab 答案D解析alog32b，所以cab.2已知函数fxloga8axa0，且a1，若fx1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是__________答案1，83解析当a1时，fxloga8ax在1,2上是减函数，由fx1在区间1,2上恒成立，则fxminloga82a1，且82a0，解得11，且82a0.a4，且abcBacbCbacDbca答案A解析因为alog3log331，blog23b，又bc12log2312log32log2321，c0，所以bc，故abc.2xx新乡二模设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是Aac.故选B.3若实数a，b，c满足loga2cBbacCcabDacb答案B解析易知yfx是偶函数当x0，时，fxf1x|log2x|，且当x1，时，fxlog2x单调递增，又af3f3，bf14f4，所以bac.。

第6讲对数与对数函数一、填空题1．已知函数f(x）＝错误!则f错误!＝________.解析因为f错误!＝log2错误!＝－2，所以f错误!＝f(－2）＝3－2＝错误!.答案错误!2．函数y＝ln（1－x)的图象大致为________．解析由1－x〉0，知x<1，排除①、②；设t＝1－x（x〈1)，因为t＝1－x为减函数,而y＝ln t为增函数，所以y＝ln（1－x)为减函数，故选③。

答案③3．若实数x满足log3x＝1＋sin θ，则｜x－1|＋|x－9｜的值为________．解析log3x＝1＋sin θ∈［0，2］，x＝31＋sin θ∈［1,9］，｜x－1｜＋｜x－9|＝x－1＋9－x＝8.答案84．已知函数f（x）＝错误!若f(3－2a2)＞f(a）,则实数a的取值范围为________．解析画图象可得f(x)是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数,于是由f(3－2a2）＞f（a)，得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0，解得a＜－3 2或a＞1。

答案错误!∪（1,＋∞)5．已知函数f（x)＝lg x．若f(ab)＝1，则f(a2）＋f（b2)＝________.解析∵f(x)＝lg x，f(ab)＝1，∴lg（ab)＝1，∴f（a2)＋f(b2）＝lg a2＋lg b2＝2lg a＋2 lg b＝2lg(ab）＝2。

答案26．已知2a＝5b＝错误!，则错误!＋错误!＝________.解析∵2a＝5b＝错误!，∴a＝log2错误!，b＝log5错误!，利用换底公式可得：错误!＋错误!＝log错误!2＋log错误!5＝log错误!10＝2.答案2[来源：学科网]7．设a>0且a≠1，函数f（x）＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a(x2－5x＋7)〉0的解集为________．解析∵函数y＝lg(x2－2x＋3）有最小值,f(x）＝a lg（x2－2x＋3)有最大值，∴0〈a〈1。

第6讲 对数与对数函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )．A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析 ∵log 12x ＜log 12y ＜log 121，又y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1. 答案 D2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝ ( )．A ．－1B ．－3C ．1D ．3解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 A3．(2013·宣城二模)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a ＞c ，排除B ，C ；b ＝ln 2·ln 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝ln 264＝a ，排除D. 答案 A4．若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a 的值等于( )．A.12 B.14 C ．－14D ．4解析 令h (x )＝ax 2＋2x －1，由于函数g (x )＝log 3h (x )是递增函数，所以要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝4＋4a ≥0，－4a －44a ＝3，解得a ＝－14，此即为实数a 的值．答案 C5．已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,3)D ．(3，＋∞) 解析 记u ＝(3－a )x －a ，当1＜a ＜3时，y ＝log a u 在(0，＋∞)上为增函数， u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为增函数， ∴此时f (x )在其定义域内为增函数，符合要求． 当a ＞3时，y ＝log a u 在其定义域内为增函数， 而u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为减函数， ∴此时f (x )在其定义域内为减函数，不符合要求．当0＜a ＜1时，同理可知f (x )在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B. 答案 B 二、填空题6．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝______.解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 27．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1，∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 188．(2014·深圳中学模拟)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是________．解析 当x ∈(－∞，0)时，则－x ∈(0，＋∞)， 所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ) ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，0，0，－log 2(－x )，x ＜0，由f (x )＜－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 2x ＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－log 2(－x )＜－1，解得0＜x ＜12或x ＜－2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，或x ＜－2三、解答题9．已知f (x )＝log 4(4x －1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的值域． 解 (1)由4x －1＞0解得x ＞0， 因此 f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0＜x 1＜x 2，则0＜4x 1－1＜4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)＜log 4(4x 2－1)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上递增，又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f (2)＝log 415， 因此f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[0，log 415]． 10．已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围．解 (1)由题意知ax －2x －1>0，当0<a <2时，解得x <1或x >2a ；当a <0时，解得2a<x <1.故当0<a <2时，f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1，或x >2a ； 当a <0时，f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <1. (2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2,4)上是减函数，只需u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1在(2,4)上单调递增且为正． 故由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，u (2)＝2a －22－1≥0， 得1≤a <2.故a ∈[1,2)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·河南洛阳二模)如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P 1(1,1)，P 2(1,2)，P 3⎝⎛⎭⎫12，12，P 4(2,2)中，“好点”的个数为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 设指数函数和对数函数分别为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)，y ＝log b x (b ＞0，b ≠1)．若为“好点”，则P 1(1,1)在y ＝a x 的图象上， 得a ＝1与a ＞0，且a ≠1矛盾；P 2(1,2)显然不在y ＝log b x 的图象上；P 3⎝⎛⎭⎫12，12在y ＝a x ，y ＝log b x 的图象上时，a ＝14，b ＝14； 易得P 4(2,2)也为“好点”．答案 B2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时， f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )．A ．1 B.45 C ．－1D ．－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(＋15)＝－1. 答案 C 二、填空题3．如果函数y ＝f (x )图象上任意一点的坐标(x ，y )都满足方程lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ， 那么y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是________．解析 由lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝xy ，由x ＋y ＝xy 得y ＝f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1(x ≠1)．则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是f (4)＝1＋14－1＝43. 答案 43三、解答题4．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)，∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a .。

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．函数f (x )＝log 0.5(4x －1)的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 答案 C 解析由题意易知⎩⎨⎧log 0.5(4x －1)≥04x －1>0整理得0<4x －1≤1，解得14<x ≤12，即函数f (x )＝log 0.5(4x －1)的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12，故选C.2．[2015·重庆高考]“x >1”是“log 12 (x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由log 12 (x ＋2)<0，得x ＋2>1，解得x >－1，所以“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.3．[2015·石家庄一模]设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2答案 B解析 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12，故选B.4．函数f (x )＝2x ＋1和函数g (x )＝log 2(x ＋3)的图象的交点一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝log 2(x ＋3)的图象可以由基本的指数函数f (x )＝2x 和对数函数g (x )＝log 2x 的图象分别向左平移1个单位和3个单位得到，由f (x )＝2x ＋1，g (x )＝log 2(x ＋3)的图象可知，其交点在第二象限，选B.5．[2014·辽宁高考]已知a ＝2－13 ，b ＝log 213，c ＝log 12 13，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 答案 C解析 0<a ＝2－13 ＝12 13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 12 13＝log 23>1.∴c >a >b .6．[2014·福建高考]若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误；D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．7．[2016·云南名校联考]设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )， 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 D解析 由a >b >1知1a <1b ，又c <0，所以c a >cb ，①正确；由幂函数的图象与性质知②正确；由a >b >1，c <0知a －c >b －c >1－c >1，由对数函数的图象与性质知③正确，故选D.8．[2016·河北五校质监]函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92答案 D解析 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.9．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)解析 当g (lg x )>g (1)时，f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1，解得0<x <110或x >10.10．已知函数y ＝f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，给出以下结论：①函数y ＝f (x )的图象关于点(k,0)(k ∈Z )对称；②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；③当x∈(－1,0)时，f(x)＝－log2(1－x)；④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增．其中，正确结论的序号是________．答案①②③解析因为f(x)是周期为2的奇函数，奇函数的图象关于原点(0,0)对称，故函数y＝f(x)的图象也关于点(2,0)对称，先作出函数f(x)在(1,3)上的图象，左右平移即得到f(x)的草图如图所示，由图象可知f(x)关于点(k,0)(k∈Z)对称，故①正确；由y＝f(x)的图象可知y＝|f(x)|的周期为2，故②正确；当x∈(－1,0)时，2<2－x<3，f(2－x)＝log2(1－x)＝－f(x)，即f(x)＝－log2(1－x)，故③正确；y＝f(|x|)在(－1,0)上为减函数，故④错误．11．[2015·珠海月考]函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，x.当x>0时，f(x)＝log12(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log1(－x)．2因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1， 又当x 2－1＝0即x ＝±1时，f (0)＝0>－2符合题意． ∴不等式的解集为(－5，5)．12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围． 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝－log a (1－x )(x <1)． 所以g (x )＝－log a (1－x )(x <1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a 1＋x 1－x ≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x，x ∈[0,1)．由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为F (x )在[0,1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0. 故m 的取值范围是(－∞，0]．[B 组·能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案 B解析 如图所示，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．故选B.2．定义函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数c ，对任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )＝ln x ，x ∈[1，e 2]，则函数f (x )＝ln x 在x ∈[1，e 2]上的均值为( )A.12 B ．1 C ．e D.1＋e 22答案 B解析 只有x 1x 2＝e 2，才有x 1∈[1，e 2]时，x 2＝e2x 1∈[1，e 2]，所以函数f (x )＝ln x 在x ∈[1，e 2]上的均值为ln x 1＋ln x 22＝ln (x 1x 2)2＝ln e 22＝1.3．[2016·山西质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.4．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]，故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3，综上，k ∈(－∞，－3)．。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-6指数与指数函数课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)函数y ＝log 2x 的图像大致是( )A B C D[答案]C[解析]考查对数函数的图像．(理)函数f (x )＝2|log 2x |的图像大致是( )[答案]C[解析]∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C. 2．设f (x )＝lg 2＋x 2－x，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)[答案]B[解析]f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，要使f (x 2)＋f (2x)有意义应满足⎩⎨⎧ x ≠0，－2<x 2<2，－2<2x <2，解得－4<x <－1或1<x <4，故B 正确． 3．(2013·某某高考)设a ，b ，c 为均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c[答案]B[解析]本题考查对数的运算法则，运算性质．由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，B 正确．4．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a，b ) B ．(10a,1－b ) C ．(10a，b ＋1) D ．(a 2,2b ) [答案]D[解析]该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．由题意知b ＝lg a ，对于A 选项，lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ， 对B 选项lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ≠1－b .对C 选项lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1， 对D ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，故(a 2,2b )在图像上．5．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．不单调的函数[答案]A[解析]由于x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，所以a >1，因而f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．6．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)且a >b >c >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c的大小关系是( ) A.f (a )a >f (b )b >f (c )c B.f (c )c >f (b )b >f (a )aC.f (b )b >f (a )a >f (c )cD.f (a )a >f (c )c >f (b )b[答案]B[解析]∵f (a )a 、f (b )b 、f (c )c可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像及a >b >c >0可知f (c )c >f (b )b >f (a )a.故选B. 二、填空题7．(2013·某某高考)lg 5＋lg 20的值是________．[答案]1[解析]本题考查对数的运算． lg 5＋lg 20＝lg5 12 ＋lg20 12 ＝12lg5＋12lg20 ＝12(lg5＋lg20)＝12lg100＝1. 8．(文)方程log 2(x 2＋x )＝log 2(2x ＋2)的解是________．[答案]x ＝2[解析]原方程⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x >0，2x ＋2>0，x 2＋x ＝2x ＋2，解得x ＝2.(理)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．[答案] 5[解析]log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4x ＋1，解得x ＝±5(负值舍去)，所以x ＝ 5.9．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．[答案](－∞，0)[解析](等价转化法)令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的单调减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是(－∞，0)．三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值X 围．[解析](1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值X 围是{x |0<x <1}.能力强化训练一、选择题1．(2013·某某高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f (lg 12)＝() A ．－1 B ．0C ．1D ．2[答案]D[解析]本题主要考查函数的性质与换底公式．∵f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1 ＝－ln(1＋9x 2＋3x )＋1，f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，∴f (x )＋f (－x )＝2， 又lg 12＝－lg2，∴f (lg2)＋f (lg 12)＝2，故选D. 2．(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14B.12C ．2D ．4[答案]B[解析]∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性．∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12. (理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e － 12 ，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x[答案]D[解析]本小题主要考查了对数、指数的性质的运用．∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e － 12 ＝1e且e<2<log 25 ∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D.二、填空题3．(改编题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值X 围是________． [答案](－∞，－1)∪(0，33)[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 3a <13，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值X 围是________．[答案]{x |－1<x ≤0或x >2}[解析]当x ≤0时，由3x ＋1>1，得x ＋1>0，即x >－1.∴－1<x ≤0.当x >0时，由log 2x >1，得x >2.∴x 的取值X 围是{x |－1<x ≤0或x >2}．三、解答题5．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是x 的减少的，若存在，求a 的取值X 围．[分析] 参数a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a 的取值X 围的制约．[解析]∵a >0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 是x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]是减少的，∴函数y ＝log a u 是u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎨⎧a >12－a >0即1<a <2. ∴a 的取值X 围是(1,2)．6．(文)已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)求f (x )在[－1,0)上的解析式；(2)求f (log 1224)的值．[解析](1)令x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1]，∴f(－x)＝2－x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，∴f(x)＝－⎝⎛⎭⎫12x＋1.(2)∵log1224＝－log224∈(－5，－4)，∴log1224＋4∈(－1,0)，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(log1224)＝f(log1224＋4)＝－⎝⎛⎭⎫12log1224＋4＋1＝－24×116＋1＝－12.(理)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)．[解析](1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74. (2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或0<x <1，－1<x <2⇒0<x <1. ∴x 的取值X 围为(0,1)．。

2015届高考数学一轮总复习 2-5对数与对数函数基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1[答案] C[解析] ∵f (a )＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3， ①或⎩⎪⎨⎪⎧a >3，log 2(a ＋1)＝3. ② ①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，选C.2．(文)已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( ) A ．1<n <m B ．1<m <n C ．m <n <1 D ．n <m <1[答案] A[解析] 由0<a <1得函数y ＝log a x 为减函数． 又由log a m <log a n <0＝log a 1，得m >n >1，故应选A. (理)(2013·山东威海期末)下列四个数中最大的是( ) A ．(ln2)2 B ．ln(ln2) C ．ln 2 D ．ln2[答案] D[解析] 由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于y ＝ln x 为增函数，因此ln 2<ln2；那么最大的只能是A 或D ；因为0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.3．(文)(2013·宣城二模)若a ＝ln 264，b ＝ln2·ln3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >a >c[答案] A[解析] ∵ln6>lnπ>1，∴a >c ，排除B ，C ；b ＝ln2·ln3<(ln2＋ln32)2＝ln 264＝a ，排除D ，故选A.(理)若x ∈(110，1)，a ＝lg x ，b ＝lg 2x ，c ＝12lg x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a[答案] B[解析] ∵110<x <1，∴－1<lg x <0，∴0<lg 2x <1，∵a －c ＝lg x －12lg x ＝12lg x <0，∴a <c ，故a <c <b ，故选B.4．(文)(2013·开封一模)已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1,2)时，f (x )＝( )A ．－log 2(4－x )B ．log 2(4－x )C ．－log 2(3－x )D ．log 2(3－x ) [答案] C[解析] 依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈(1,2)时，x －4∈(－3，－2)，4－x ∈(2,3)，故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x )，选C.(理)(2013·乌鲁木齐第一次诊断)函数f (x )＝log 2(1＋x )，g (x )＝log 2(1－x )，则f (x )－g (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既不是奇函数又不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 [答案] A[解析] f (x )－g (x )的定义域为(－1,1)，记F (x )＝f (x )－g (x )＝log 21＋x 1－x ，则F (－x )＝log 21－x1＋x＝log 2(1＋x 1－x )－1＝－log 21＋x1－x＝－F (x )，故f (x )－g (x )是奇函数．5．(文)函数f (x )＝|log 12x |的图象是( )[答案] A[解析] f (x )＝|log 12x |＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ≥1)，－log 2x (0<x <1).故选A. [点评] 可用筛选取求解，f (x )的定义域为{x |x >0}，排除B 、D ，f (x )≥0，排除C ，故选A. (理)(2012·河南豫东、豫北十所名校段测)函数y ＝ln|1x |与y ＝－x 2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为( )[答案] C[解析] y ＝ln|1x |为偶函数，当x >0时，y ＝ln 1x ＝－ln x 为减函数，故排除A 、B ；y ＝－x 2＋1≤0，其图象在x 轴下方，排除D ，故选C.6．(文)(2012·湖南文，7)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ； ②ac <b c ； ③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③[答案] D[解析] 本题考查不等式性质，比较大小．c a －c b ＝c (b －a )ab ，∵a >b >1，c <0，∴c (b －a )ab >0，c a >cb ，①正确；a >b >1，ac <b c ，②正确；∵a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，③正确． [点评] 比较大小的方法有作差法、单调性法等．(理)(2013·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A (1,0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2log 3(x －1)，x >2，则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log 31>log 3m >log 3n ，故0<n <m <1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312<2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确．故选C.二、填空题 7．(文)函数y ＝log 23－x 2的定义域为________． [答案] {x |1≤x <2或－2<x ≤－1}[解析] 要使函数有意义，应满足log 23 (2－x 2)≥0，∵y ＝log 23 x 为减函数，∴0<2－x 2≤1，∴1≤x 2<2，∴1≤x <2或－2<x ≤－1.(理)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1的定义域是________．[答案] (－∞，0)∪(1，＋∞)[解析] 要使f (x )有意义，应有1＋1x －1>0，∴xx －1>0，∴x <0或x >1. 8．(文)(2013·河南鹤壁一模)若正整数m 满足10m －1<2512<10m ，则m ＝________.(lg2≈0.3010) [答案] 155[解析] 不等式10m－1<2512<10m 两边同时取以10为底的对数，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1<512lg2，m >512lg2，∴154.112<m <155.112，∴m ＝155.(理)(2013·天津塘沽一模)若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，则a ＝________.[答案] 10或1010[解析]9．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． [答案] x ＝5[解析] 原方程化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，由于log 3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x 2－10＝3x ，解之得x 1＝5，x 2＝－2.∵要使log 3x 有意义，应有x >0，∴x ＝5.三、解答题10．(文)(2013·广西桂林一模)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0. [证明] (1)由a x －1>0，得a x >1.当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧； 当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧．(理)(2013·北京朝阳期末)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f (x )的最小值是1.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解析] 假设存在实数a ，b 使命题成立，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )取得最小值1， ∴log 31＋a ＋b 1＝1，∴a ＋b ＝2.∵f (x )在(0,1)上是减函数， 设0<x 1<x 2<1， ∴f (x 1)>f (x 2)恒成立，即x 21＋ax 1＋b x 1>x 22＋ax 2＋b x 2恒成立，整理得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2>0恒成立．∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， ∴x 1x 2－b <0恒成立，即x 1x 2<b 恒成立， 而x 1x 2<1，∴b ≥1.同理，f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 可得b ≤1，∴b ＝1.又∵a ＋b ＝2，∴a ＝1. 故存在a ＝1，b ＝1同时满足题中条件.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2012·广东深圳市一调)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意得f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln 2x ， x >1，－ln 2x ， x ＝1，－1－ln 2x ， 0<x <1，则令1－ln 2x ＝0⇒x ＝e 或x ＝1e(舍去)；令－ln 2x ＝0⇒x ＝1；当－1－ln 2x ＝0时，方程无解，所以f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 有两个零点，故选C.(理)已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0[答案] B[解析] 若实数x 0是方程f (x )＝0的解，即x 0是函数y ＝(15)x 和y ＝log 3x 的图象的交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，画图易知(15)x 1>log 3x 1，所以f (x 1)恒为正数．12．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2014x ＋log 2014x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] C[解析] 当x >0时，f (x )＝0即2014x ＝－log 2014x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2014x ，f 2(x )＝－log 2014x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.13．(2013·湖南张家界一模)若log m n ＝－1，则m ＋3n 的最小值是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 D.52[答案] B[解析] 由log m n ＝－1，得m －1＝n ，则mn ＝1.由于m >0，n >0，∴m ＋3n ≥23mn ＝2 3.故选B. 二、填空题14．(文)(2013·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m ＋ln x 的保值区间是[e ，＋∞)，则m 的值为________．[答案] －1[解析] 由题意得，g (x )的值域为[e ，＋∞)，由x ≥e 时，g ′(x )＝1＋1x >0，所以当x ≥e 时，g (x )为增函数，由题意可得g (e)＝e ＋m ＋1＝e ，解得m ＝－1.(理)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，(a ≤b )，b ，(a >b ).则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x的值域为________．[答案] (－∞，0][解析] 易知函数f (x )的定义域为(23，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝log 12 (3x －2)和y ＝log 2x 的图象，由a *b 的定义可知，f (x )的图象为图中实线部分，∴由图象可得f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，(23<x ≤1)，log 12(3x －2)，(x >1).的值域为(－∞，0]．15．(文)(2013·四川)lg 5＋lg 20的值是________．[答案] 1[解析] lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg10＝1.(理)(2013·北京)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12 x ，x ≥12x ， x <1的值域为________．[答案] (－∞，2)[解析] 当x ≥1时，log 12 x ≤log 12 1，即log 12 x ≤0；当x <1时，0<2x <21，即0<2x <2.故f (x )的值域为(－∞，2)．三、解答题16．(文)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1，∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <32.∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，∴a ＝32，此时f (x )＝log 32 ⎝⎛⎭⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在． (理)已知函数f (x )＝log 12 2－axx －1(a 是常数且a <2)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)∵2－axx －1>0，∴(ax －2)(x －1)<0，①当a <0时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)； ②当a ＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)； ③当0<a <2时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎫1，2a .(2)∵f (x )在(2,4)上是增函数，∴只要使2－axx －1在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g (x )＝2－axx －1，即当x ∈(2,4)时g ′(x )≤0恒成立且g (4)≥0. 解法一：g ′(x )＝－a (x －1)－(2－ax )(x －1)2＝a －2(x －1)2，∴当a －2<0，即a <2时，g ′(x )≤0.g (4)≥0，即1－2a ≥0，∴a ≤12，∴a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，12. 解法二：∵g (x )＝2－ax x －1＝－a ＋2－ax －1，∴要使g (x )＝－a ＋2－ax ＋1在(2,4)上是减函数，只需2－a >0，∴a <2，以下步骤同解法一．考纲要求1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)． 补充说明1．掌握对数函数图象过定点(1,0)且过(a,1)；熟悉对数的性质、运算法则和换底公式；会用对数函数单调性比较对数式的大小和解对数不等式；熟练进行指对互化；清楚对数函数图象的分布规律．2．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 3．忽视对数函数的定义域是解题过程中常犯的错误，要引起足够重视． [例] 函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，13)D ．(3，＋∞)[错解] 由于a >0，且a ≠1，∴y ＝ax －3是增函数，若函数f (x )为增函数，则y ＝log a x 必为增函数，所以a >1，故选A. [错因分析] 本题解答出错的根源就在于忽视了“函数在[1,3]上单调递增”这一条件，即要求函数f (x )在[1,3]上需有意义，也就是需使y ＝ax －3在[1,3]上恒大于零．[正确解答] 由于a >0，且a ≠1，∴y ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则y ＝log a x 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D.4．(1)同底数的对数比较大小用单调性．(2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式． (3)作差或作商法(4)利用中间量0、1比较．5．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y 轴(逆时针底数依次变小)，在直线x ＝1右侧，底大图低(区分x 轴上方与下方)．6．在对数运算中，常常先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指对互化的运用．备选习题1．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] C[解析] ∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，于是1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥8.等号在n ＝12，m ＝14时成立．2．(2013·湖南)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [答案] C[解析] 画出两函数的大致图象，可得两图象的交点个数为2. 3．已知函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则( ) A ．0<a <12或1<a <2B ．0<a <12或a >2C.12<a <1或1<a <2 D.12<a <1或a >2 [答案] C[解析] ①若a >1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是增函数，且当x ≥2时，f (x )>0. 由|f (x )|>1得f (x )>1，即log a x >1. ∵当x ∈[2，＋∞)时，log a x >1恒成立， ∴log a 2>1，∴log a 2>log a a ，∴1<a <2.②若0<a <1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是减函数．11 同理可得12<a <1. [点评] 用数形结合法解更简便些．4．(2013·江西省七校联考)设a ＝0.64.2，b ＝70.6，c ＝log 0.67，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <c <bD ．a <b <c[答案] B[解析] 依题意，0<0.64.2<0.60＝1,70.6>70＝1，log 0.67<log 0.61＝0，因此c <a <b ，选B.5．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数[答案] D[解析] 由题意可知，f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x 1－x，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.。