高中数学人教a版选修4-5学案：第1讲 1-2 基本不等式 含解析

选修4--5 不等式选讲一、课程目标解读选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。

通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

二、教材内容分析作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。

回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。

对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。

通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。

第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。

其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。

这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。

本讲内容也是本专题的一个基础内容。

第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。

2．基本不等式 1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题． 2．能运用基本不等式(两个正数的)解决某些实际问题．, [学生用书P5])1．重要不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2的应用：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值，最大值为S 24． ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值，最小值为2P ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a ，b 的算术平均数是ab ，几何平均数是a ＋b 2.( ) (2)应用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”．( )(3)若a 2＋b 2≥2ab 对任意a ，b 恒成立，则a ＋b ≥2ab 也对任意实数a ，b 恒成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b ＞2abD ．b a ＋a b≥2 答案：D3．已知x ＞3，则x ＋4x －3的最小值为( ) A ．2 B ．4C ．5D ．7答案：D4．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解析：因为1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14. 答案：14利用基本不等式证明不等式[学生用书P6]已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9. 【证明】 法一：因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即1a ＋1b ＋1c≥9. 法二：因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c＋1 ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≥9.利用基本不等式证明不等式的方法与技巧(1)方法：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．(2)技巧：对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用基本不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到．1.已知：a 、b 、c 、d 都是正数，求证：(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd .证明：由a 、b 、c 、d 都是正数得：ab ＋cd 2≥ab ·cd >0， 当且仅当ab ＝cd 时，等号成立．ac ＋bd 2≥ac ·bd >0， 当且仅当ac ＝bd 时，等号成立．所以14(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥abcd . 即(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd .当且仅当b ＝c ，且a ＝d 时，等号成立．2．已知a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．证明：由不等式a 2＋b 2≥2ab ，得a 2＋b 22≥a ＋b 2，即a 2＋b 2≥a ＋b 2， 同理b 2＋c 2≥b ＋c 2，c 2＋a 2≥c ＋a 2， 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2（a ＋b ＋c ）2＝2(a ＋b ＋c )．(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)利用基本不等式求函数最值[学生用书P6](1)当x ＞0时，求f (x )＝2x x 2＋1的值域； (2)设0＜x ＜32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； (3)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 【解】 (1)因为x ＞0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. 因为x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x≤12. 所以0＜f (x )≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．即f (x )的值域为(0，1]．(2)因为0＜x ＜32，所以3－2x ＞0. 所以y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立． 所以y ＝4x (3－2x )的最大值为92. (3)因为x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1， 所以x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，有(x ＋y )min ＝16.应用基本不等式求最值的步骤(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．1.设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析：选A.因为x <0，所以f (x )＝2x ＋1x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（－x ）＋1（－x ）－1 ≤－22（－x ）·1（－x ）－1＝－22－1.当且仅当2(－x )＝－1x ， 即x ＝－22时，等号成立． 故f (x )max ＝－22－1.2．已知lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为________． 解析：因为lg x ＋lg y ＝2，所以lg(xy )＝2.所以xy ＝102.所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2100100＝15，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立． 答案：153．设x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．解：由2x ＋8y －xy ＝0得，y ＝2x x －8， 所以x ＋y ＝x ＋2x x －8＝(x －8)＋2（x －8）＋16x －8＋8 ＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2（x －8）×16（x －8）＋10 ＝18，当且仅当x －8＝16x －8， 即x ＝12，y ＝6时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.基本不等式的实际应用[学生用书P7]某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定为：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费都为40元．(1)若每个同学游8次，每人至少应交多少元钱？(2)若每个同学游4次，每人至少应交多少元钱？【解】 设买x 张游泳卡，总开支为y 元．(1)每批去x 名同学，共需去48×8x批， 总开支又分为：①买卡所需费用240x 元，②包车所需费用⎝⎛⎭⎫48×8x ×40元． 所以y ＝240x ＋48×8x×40(0＜x ≤48，x ∈Z )． 因为y ＝240⎝⎛⎭⎫x ＋64x ≥240×2x ×64x＝3 840，x 所以每人至少应交3 84048＝80(元)． (2)每批去x 名同学，共需去48×4x批， 总开支又分为：①买卡所需费用240x 元，②包车所需费用⎝⎛⎭⎫48×4x ×40元． 所以y ＝240x ＋48×4x×40(0＜x ≤48，x ∈Z )， 即y ＝240⎝⎛⎭⎫x ＋32x ≥240×2x ×32x＝1 9202， 当且仅当x ＝32x，即x ＝42时，等号成立． 由0＜x ≤48，5＜42＜6，x ∈Z 可知，当x 1＝5时，y 1＝240×⎝⎛⎭⎫5＋325＝2 736； 当x 2＝6时，y 2＝240×⎝⎛⎭⎫6＋326＝2 720. 因为y 1＞y 2，所以当x ＝6时，y 有最小值，y min ＝2 720.故每人至少应交2 72048≈56.67(元)．利用基本不等式解决应用题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值，然后分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)，最后利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围的制约．为确保世界杯总决赛的顺利进行，组委会决定在体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72 m 2(如图所示)，要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育场外墙对面留一个长度为2 m 的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m.设该矩形区域的长为x (单位：m)，租用铁栏杆的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数．(2)试确定x ，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小值．解：(1)依题意有：y ＝100⎝⎛⎭⎫72x ×2＋x －2，其中x ＞2. (2)由基本不等式可得：y ＝100⎝⎛⎭⎫72x ×2＋x －2＝100⎝⎛⎭⎫144x ＋x －2≥100(2144－2)＝2 200，x综上：当x ＝12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2 200元．1．由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)； (3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)； (4)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4(a ，b ∈R ＋)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .2．利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．1．已知正数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________． 解析：正数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋y 2≥2xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，取得最小值2.答案：22．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值是________． 解析：因为3是3a 与3b 的等比中项，所以3a ·3b ＝3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 答案：43．当x ＞12时，函数y ＝x ＋82x －1的最小值为________． 解析：因为x ＞12，所以x －12＞0， 所以y ＝x ＋82x －1＝⎝⎛⎭⎫x －12＋4x －12＋12≥4＋12＝92， 当且仅当x －12＝4x －12，即x ＝52时，取“＝”． 答案：924．已知正实数x ，y 满足(x －1)(y ＋1)＝16，求x ＋y 的最小值．解：因为(x －1)(y ＋1)＝16＞0，y ＞0，所以x －1＞0，即x ＞1.法一：由基本不等式，有x＋y＝(x－1)＋(y＋1)≥2（x－1）（y＋1）＝8，当且仅当x －1＝y＋1，即x＝5，y＝3时等号成立．故x＋y的最小值为8.法二：由基本不等式，有x＋y＝x＋16x－1－1＝x－1＋16x－1≥216＝8，当且仅当x＝5，y＝3时等号成立．故x＋y的最小值为8.。

2.基本不等式一、选择题1.若a,b,c都是正数,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析:∵a(a+b+c)+bc=4-2,∴(a+b)(a+c)=4-2,∵a,b,c>0,∴(a+c)(a+b)≤,当且仅当a+c=a+b,即b=c时,等号成立.∴2a+b+c≥2=2(-1)=2-2.答案:D2.下列结论中不正确的是( )A.a>0时,a+≥2B.≥2C.a2+b2≥2abD.a2+b2≥解析:选项A、C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥成立;而选项B中,≥2不成立,因为若ab<0,则不满足基本不等式成立的条件.答案:B3.函数y=3x2+的最小值是( )A.3-3B.-3C.6D.6-3解析:y=3x2+=3x2+3+-3,∵3x2+3>0,>0,∴y≥2-3=6-3,当且仅当3x2+3=时,y取得最小值6-3.答案:D4.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是( )A.10B.6C.4D.18解析:3x+3y≥2=2=2=18.答案:D5.若x,y>0,且x+2y=3,则的最小值是( )A.2B.C.1+D.3+2解析:=1+,当且仅当时,等号成立,取得最小值1+.答案:C二、非选择题6.若a>3,则+a的最小值为.解析:由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7,当且仅当=a-3,即a=5(a=1舍去)时,等号成立.答案:77.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3,∴t≥3或t≤-1(舍去).∴≥3.∴ab≥9,当a=b=3时,等号成立.答案:[9,+∞)8.函数y=log a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为.解析:函数y=log a(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,则×(2m+n)==2++4·+2≥4+2=4+4=8,当且仅当m=,n=时取等号.答案:89.求函数y=(x≥0)的最小值.解:原式变形,得y==x+2++1.因为x≥0,所以x+2>0.所以x+2+≥6,所以y≥7,当且仅当x=1时,等号成立.所以函数y=(x≥0)的最小值为7.10. 若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多少时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)解:设y为流出的水中该杂质的质量分数,则y=,k>0,k为比例系数,依题意,即求a,b的值,使y最小.依题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),所以b=(0<a<30).①于是y====≥=.当a+2=时,等号成立,y取最小值.这时a=6,a=-10(舍去),将a=6代入①,得b=3.故当a为6,b为3时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.三、备选习题1.已知a>2,试判断log a(a-1)·log a(a+1)与1的大小关系.解:∵a>2,∴log a(a-1)>0,log a(a+1)>0,且log a(a-1)≠log a(a+1),∴log a(a-1)·log a(a+1)<==1,∴当a>2时,log a(a-1)·log a(a+1)<1.2.一艘船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时),且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/时)的函数,并指出其定义域;(2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解:(1)由于船每小时航行的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用y=kv2·,故所求函数是y=ks·(p<v≤q),定义域是(p,q].(2)y=ks·=ks=ks·≥ks=4ksp.其中取“=”的充要条件是v-p=,即v=2p.①当v=2p∈(p,q],即2p≤q时y min=f(2p)=4ksp.②当v=2p∉(p,q],即2p>q.任取v1,v2∈(p,q],且v1<v2,则y1-y2=ks=·[p2-(v1-p)(v2-p)],而p2-(v1-p)(v2-p)>p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)>0,∴y1-y2>0.故函数y在区间(p,q]内单调递减,此时y(v)≥y(q),即y min=y(q)=ks.此时,船的前进速度等于q-p.故为使全程燃料费用最小,当2p≤q时,船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/时);当2p>q 时,船的实际前进速度为q-p(千米/时).。

基本不等式
预习案
一、预习目标及范围
．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．
．理解定理和定理(基本不等式)．
．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．
二、预习要点
教材整理两个定理及算数平均与几何平均
．两个定理
定理内容等号成立的条件
定理＋≥(，∈)当且仅当时，等号成立定理≥(，＞)当且仅当时，等号成立.算术平均与几何平均
如果，都是正数，我们称为，的算术平均，为，的几何平均．
教材整理利用基本不等式求最值
已知，为正数，＋＝，＝，则
()如果是，那么当且仅当时，取得最小值；
()如果是，那么当且仅当＝时，取得最大值.
三、预习检测
．下列不等式中，正确的个数是()
①若，∈，则≥；
②若∈，则＋＋≥；
③若∈，则＋＋≥；
④若，为正实数，则≥.
．．．
．若≠，则()＝－－的最大值是，取得最值时的值是.
．已知，是正数，求证：
()≥；
()≥.
探究案
一、合作探究
题型一、利用基本不等式证明不等式
例已知，，都是正数，求证：＋＋≥＋＋.
【精彩点拨】观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．
[再练一题]
．已知，，均为正数，求证：＋＋≥＋＋.
题型二、利用基本不等式求最值
例设，，均是正数，－＋＝，则的最小值为．
【精彩点拨】由条件表示，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．
[再练一题]。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式 1.1.2 基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2≥2ab ， 而a b ＋ba≥2等价于ab >0， 所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba≥2”的必要不充分条件．答案：B2．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ；②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2；③若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：显然①不正确；对于②，虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；③不正确，如a ＝1，b ＝4. 答案：B3．函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：原式变形为y ＝1x －3＋x －3＋3.因为x >3，所以x －3>0，所以1x －3>0，所以y ≥2（x －3）·1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x＝4时等号成立．答案：A4．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋yb ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．所以a ＋b 的最小值为4. 答案：C5．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值及此时x 的值为( )A.16， 3 B.16，± 3 C.16，－ 3 D.16，±3 解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2(x ≠0)， 因为x 2＋9x2≥2x 2·9x 2＝6，所以y ≤16，当且仅当x 2＝9x 2，即x ＝±3时，y max ＝16.答案：B 二、填空题6．若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x2的最大值是________，取得最值时x 的值是________．解析：f (x )＝2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x 2≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x 2，即x ＝±2时取等号．答案：－10 ±27．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值是________． 解析：3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7，当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．答案：78．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析：设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60.1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·4x ＋9y 60＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2 4x y ·9y x ＝160×(13＋12)＝512.当且仅当4x y ＝9yx ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时等号成立，故应填6和4. 答案：6 4 三、解答题9．(1)已知x <2，求函数f (x )＝x ＋4x －2的最大值． (2)已知0<x <12，求函数y ＝x (1－2x )的最大值．解：(1)因为x <2，所以2－x >0，所以f (x )＝x ＋4x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）＋42－x ＋2≤－2（2－x ）·42－x＋2＝－2，当且仅当2－x ＝42－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x －2的最大值为－2.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0.所以y ＝x (1－2x )＝12·2x (1－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（1－2x ）22＝18， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，等号成立．所以函数y ＝x (1－2x )的最大值为18.10．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ac ＞0.且上述三个不等式中等号不能同时成立． 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc .所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .B 级 能力提升1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：由已知：y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．答案：A2．(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为a ，b ∈R ，ab ＞0， 所以a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.答案：43．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：由x ＞0，知原不等式等价于0＜1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x＋3恒成立．又x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，所以x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0＜1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。

1.1.2 基本不等式学习目标1.了解两个正数的算术平均与几何平均．2．理解定理1和定理2.3．掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1 函数f (x )＝x ＋1x的最小值是2吗？探究2 在基本不等式a ＋b 2≥ab 中，为什么要求a >0，b >0?探究3 利用a ＋b 2≥ab 求最值的条件是怎样的？探究4 你能给出基本不等式的几何解释吗？名师点拨1.常用基本不等式(1)(a －b )2≥0⇔a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(2)均值不等式a ＋b 2≥ab(a ，b ∈R ＋)． 这两个不等式都是在a ＝b 时，等号成立．而(1)只要求a ，b ∈R ，而公式(2)条件加强了，要求a >0，b >0.注意区别．(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式：a ＋1a≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)． 当ab >0时，b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取等号)． a 2＋b 2≥a ＋b 22≥2ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2．均值不等式的应用应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值．(1)x ，y ∈R ＋，且xy ＝m (m 为定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2m ；(2)x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝n (n 为定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值n24. 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相等”．否则会得出错误的结果.例1 已知a ，b ，c 为正实数，求证：(1)（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ≥8；(2)a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c )．例2 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．变式练习2．求函数f (x )＝－2x2＋x －3x (x ＞0)的最大值及此时x 的值．例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．仓库底面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？变式练习3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．参考答案探究1【提示】 函数f (x )＝x ＋1x的最小值不是2. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x≥2 x·1x＝2； (当且仅当x ＝1时取等号) 当x <0时，f (x )＝x ＋1x＝－1()x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦≤－2. (当且仅当x ＝－1时取等号)显然f (x )无最小值，也无最大值.探究2【提示】 对于不等式a ＋b 2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a ，b 都为负数时，不等式不成立；当a ，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．探究3【提示】 利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．探究4【提示】 如图，以a ＋b 为直径的圆中，DC ＝ab ，且DC ⊥AB .因为CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a ＋b 2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab ≤a ＋b 2.显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．例1 [精讲详析] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．(1)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0，由上面三式相乘可得(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8ab ·bc ·ca ＝8abc .即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ≥8.(2)∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，由上面三式相加可得(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca .即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .变式练习1．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2.又a ，b ，c ∈R ＋，∴a2＋b2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b )． 同理：b2＋c2≥22(b ＋c )， c2＋a2≥22(a ＋c )．三式相加， 得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c )．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.例2 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.变式练习2．解：f (x )＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x . 因为x ＞0，所以2x ＋3x≥26， 得－(2x ＋3x)≤－26，因此f (x )≤1－26， 当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时， 式子中的等号成立．由于x ＞0，因而x ＝62时，等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62. 例3 [精讲详析] 本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决．设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy ，由题意，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200， 由基本不等式，得3 200≥240x·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16＞0， ∴S －10≤0，从而S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此求得x ＝15，即铁栅的长应是15 m.变式练习3．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9x （x ＋1）＋900x ＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809≥2 900x·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x， (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉．平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.9 ＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)， 令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2＞x 1≥35， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x1＋100x1－⎝⎛⎭⎫x2＋100x2 ＝（x2－x1）（100－x1x2）x1x2.∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，100－x 1x 2＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x当x ≥35时为增函数，∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2≈10 069.7＜10 989.∴该厂应接受此优惠条件．。