时间序列的小波分析及等值线图小波方差制作

时间序列的小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

时间序列小波变换
时间序列小波变换是一种基于小波分析的数据处理技术，可以用于分析具有时间相关性的数据。

它将时间序列分解成不同频率的小波分量，从而可以更好地理解时间序列的特征和规律。

时间序列小波变换的主要步骤包括：
1. 对时间序列进行小波分解。

这一步骤可以使用不同类型的小波函数，例如Haar小波、Daubechies小波等。

2. 根据小波分解结果，选择感兴趣的小波分量进行重构。

通常选择重构的小波分量需要满足一定的信噪比要求。

3. 对重构后的小波分量进行分析，例如计算平均值、方差、相关系数等指标。

时间序列小波变换已经广泛应用于信号处理、金融分析、医学诊断等领域。

例如，在股票市场分析中，可以使用小波变换来分析不同频率的价格波动，从而确定股票的趋势和周期性。

在医学诊断中，小波变换可以用来分析心电图信号，从而帮助医生判断心脏疾病的类型和程度。

总之，时间序列小波变换是一种非常有用的数据处理技术，可以帮助人们更好地理解时间序列数据的特征和规律。

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时间序列的小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

时间序列的小波分解之阳早格格创做时间序列（Time Series）是天教钻研中时常逢到的问题.正在时间序列钻研中，时域战频域是时常使用的二种基础形式.其中，时域分解具备时间定位本收，但是无法得到关于时间序列变更的更多疑息；频域分解（如Fourier变更）虽具备准确的频次定位功能，但是仅符合稳固时间序列分解.然而，天教中许多局里（如河川径流、天震波、暴雨、洪流等）随时间的变更往往受到多种果素的概括效率，多数属于非稳固序列，它们没有单具备趋势性、周期性等特性，还存留随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具备多条理演变顺序.对付于那类非稳固时间序列的钻研，常常需要某一频段对付应的时间疑息，或者某一时段的频域疑息.隐然，时域分解战频域分解对付此均无计可施.20世纪80年代初，由Morlet提出的一种具备时-频多辨别功能的小波分解（Wavelet Analysis）为更佳的钻研时间序列问题提供了大概，它能浑晰的掀穿出隐躲正在时间序列中的多种变更周期，充分反映系统正在分歧时间尺度中的变更趋势，并能对付系统已去死少趋势举止定性预计.暂时，小波分解表里已正在旗号处理、图像压缩、模式辨别、数值分解战大气科教等稠稀的非线性科教范围内得到了广大的应.正在时间序列钻研中，小波分解主要用于时间序列的消噪战滤波，疑息量系数战分形维数的预计，突变面的监测战周期身分的辨别以及多时间尺度的分解等.一、小波分解基根源基本理1. 小波函数小波分解的基础思维是用一簇小波函数系去表示或者迫近某一旗号或者函数.果此，小波函数是小波分解的关键，它是指具备震荡性、不妨赶快衰减到整的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且谦脚：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ（1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩战时间轴上的仄移形成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ其中，0a R,b a,≠∈（2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度果子，反映小波的周期少度；b 为仄移果子，反当令间上的仄移.需要证明的是，采用符合的基小波函数是举止小波分解的前提.正在本量应用钻研中，应针对付简直情况采用所需的基小波函数；共一旗号或者时间序列，若采用分歧的基小波函数，所得的截止往往会有所好别，偶尔以至好别很大.暂时，主假如通过对付比分歧小波分解处理旗号时所得的截止与表里截止的缺面去判决基小波函数的佳坏，并由此选定该类钻研所需的基小波函数. 2. 小波变更假如)t (b ,a ψ由（2）式给出的子小波，对付于给定的能量有限旗号)R (L )t (f 2∈，其连绝小波变更（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为：dt )abt (f (t)a)b ,a (W R2/1-f ⎰-=ψ （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变更系数；f(t)为一个旗号或者仄圆可积函数；a 为伸缩尺度；b 仄移参数；)ab x (-ψ为)ab x (-ψ的复共轭函数.天教中瞅测到的时间序列数据大多是失集的，设函数)t k (f ∆，（k=1,2,…,N;t ∆为与样隔断），则式（3）的失集小波变更形式为：)ab-t k (t)f(k t a)b ,a (W N1k 2/1-f ∆∆∆=∑=ψ （4） 由式（3）或者（4）可知小波分解的基根源基本理，即通过减少或者减小伸缩尺度a 去得到旗号的矮频或者下频疑息，而后分解旗号的概貌或者细节，真止对付旗号分歧时间尺度战空间局部特性的分解.本量钻研中，最主要的便是要由小波变更圆程得到小波系数，而后通过那些系数去分解时间序列的时频变更特性. 3. 小波圆好将小波系数的仄圆值正在b 域上积分，便可得到小波圆好，即db )b a,(W )a (Var 2f ⎰∞∞-= (5)小波圆好随尺度a 的变更历程，称为小波圆好图.由式(5)可知，它能反映旗号动摇的能量随尺度a 的分集.果此，小波圆好图可用去决定旗号中分歧种尺度扰动的相对付强度战存留的主要时间尺度，即主周期.二、小波分解真例-时间序列的多时间尺度分解(Multi-time scale analysis) 例题河川径流是天理火文教钻研中的一个要害变量，而多时间尺度是径流演化历程中存留的要害特性.所谓径流时间序列的多时间尺度是指：河川径流正在演化历程中，本去没有存留真真意思上的变更周期，而是其变更周期随着钻研尺度的分歧而爆收相映的变更，那种变更普遍表示为小时间尺度的变更周期往往嵌套正在大尺度的变更周期之中.也便是道，径流变更正在时间域中存留多条理的时间尺度结媾战局部变更特性.表1给出了某流域某火文瞅测站1966-2004年的真测径流数据.试使用小波分解表里，借帮Matlab R2012a、suffer 12.0战其余相关硬件（Excel、记事本等），完毕下述任务：（1）预计小波系数；（2）画造小波系数图（真部、模战模圆）、小波圆好图战主周期变更趋势图，并分别证明各图正在分解径流多时间尺度变更特性中的效率.表1 某流域某火文瞅测站1966-2004年真测径流数据（×108m3）年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量19661974198219901998 19671975198319911999 19681976198419922000 19691977198519932001 19701978198619942002 19711979198719952003 19721980198819962004 1973198119891997分解1. 采用符合的基小波函数是前提正在使用小波分解表里办理本量问题时，采用符合的基小波函数是前提.惟有采用了符合简直问题的基小波函数，才搞得到较为理念的截止.暂时，可采用的小波函数很多，如Mexican hat小波、Haar小波、Morlet小波战Meyer小波等.正在本例中，咱们采用Morlet连绝复小波变更去分解径流时间序列的多时间尺度特性.本果如下：1.1径流演变历程中包罗“多时间尺度”变更特性且那种变更是连绝的，所以应采与连绝小波变更去举止此项分解.1.2真小波变更只可给出时间序列变更的振幅战正背，而复小波变更可共时给出时间序列变更的位相战振幅二圆里的疑息，有好处对付问题的进一步分解.1.3 复小波函数的真部战真部位出进为π/2，不妨与消用真小波变更系数动做判据而爆收的真假振荡，使分解截止更为准确.2. 画造小波系数图、小波圆好图战主周期变更趋势图是关键当采用佳符合的基小波函数后，下一步的关键便是怎么样通过小波变更赢得小波系数，而后利用相关硬件画造小波系数图、小波圆好图战主周期变更趋势图，从而根据上述三种图形的变更辨别径流时间序列中存留的多时间尺度.简直步调1. 数据要收的转移2. 鸿沟效力的与消或者减小3. 预计小波系数4. 预计复小波系数的真部、模、模圆、圆好5. 画造小波系数真部、模、模圆等值线图6. 画造小波圆好图7. 画造主周期趋势图底下，咱们以上题为例，分离硬件Matlab R2012a、suffer 12.0、Excel、记事本等，仔细证明小波系数的预计战各图形的画造历程，并分别证明各图正在分解径流多时间尺度变更特性中的效率.1. 数据要收的转移战死存将存搁正在Excel表格里的径流数据（以时间为序排为一列）转移为Matlab R2012a识别的数据要收（.mat）并存盘.简直支配为：正在Matlab R2012a界里下，单打“F ile-Import Data”，出现文献采用对付话框“Import”后，找到需要转移的数据文献（本例的文献名为runoff.xls），单打“挨启”.等数据转移完毕后，单打“Finish”，出现图1隐现界里；而后单打图1中的Runoff，弹出“Array Editor: runoff”对付话框，采用File文献夹下的“Save Workspace As”单打，出现图2所示的“Save to MAT-File:”窗心，采用存搁路径并挖写文献名（runoff.mat），单打“死存”并关关“Save to MAT-File”窗心.图1 数据要收的转移图2数据的死存2. 鸿沟效力的与消或者减小果为本例中的真测径流数据为有限时间数据序列，正在时间序列的二端大概会爆收“鸿沟效用”.为与消或者减小序列启初面战中断面附近的鸿沟效力，须对付其二端数据举止蔓延.正在举止完小波变更后，去掉二端蔓延数据的小变更系数，死存本数据序列时段内的小波系数.本例中，咱们利用Matlab R2012a小波工具箱中的旗号蔓延（Signal Extension）功能，对付径流数据二端举止对付称性蔓延.简直要收为：正在Matlab R2012a界里的“Command Window”中输进小波工具箱调用下令“Wavemenu”，按Enter键弹“Wavelet Toolbox Main Menu”（小波工具箱主菜单）界里（图３）；而后单打“Signal Extension”，挨启Signal Extension / Truncation窗心，单打“File”菜单下的“Load Signal”，采用runoff.mat文献单打“挨启”，出现图4旗号蔓延界里.Matlab R2012a的Extension Mode菜单下包罗了6种基础的蔓延办法（Symmetric、Periodic、Zero Padding、Continuous、Smooth and For SWT）战Direction to extend菜单下的3种蔓延模式（Both、Left and Right），正在那里咱们采用对付称性二端蔓延举止预计.数据蔓延的简直支配历程是：Desired Length不妨任性选，只消比本初旗号少度大，提议正在本初旗号的前提上加20（那样安排对付称天蔓延10个数据），那里采用默认的64；Dircetion to extend下采用“Both”；Extension Mode 下采用“Symmetric”；单打“Extend”按钮举止对付称性二端蔓延预计，而后单打“File”菜单下的“Save Tranformed Signal”，将蔓延后的数据截止存为erunoff.mat文献.从erunoff文献可知，系统自动将本时间序列数据背前对付称蔓延12个单位，背后蔓延13个单位.3. 预计小波系数采用Matlab R2012a 小波工具箱中的Morlet 复小波函数对付蔓延后的径流数据序列（erunoff.mat ）举止小波变更，预计小波系数并存盘.小波工具箱主菜单界里睹图3，单打“Wavelet 1-D”下的子菜单“ComplexContinuousWavelet1-D”，挨启一维复连绝小波界里，单打“File”菜单下的“Load Signal”按钮，载进径流时间序列erunoff.mat （图5）.图5的左侧为旗号隐现天区，左侧天区给出了旗号序列战复小波变更的有关疑息战参数，主要包罗数据少度（Data Size ）、小波函数典型（Wavelet ：cgau 、shan 、fbsp 战cmor ）、与样周期（Sampling Period ）、周期树立（Scale Setting ）战运止按钮（Analyze ），以及隐现天区的相关隐现树立按钮.本例中，咱们采用cmor (1-1.5)、与样周期为1、最大尺度为32，单打“Analyze”图3小波工具箱主菜单图4 径流时间序列的蔓延图5 小波变更菜单界里运止按钮，预计小波系数.而后单打“File”菜单下的“Save Coefficients”，死存小波系数为cerunoff.mat文献.4. 预计Morlet复小波系数的真部、模、模圆、圆好正在Matlab R2012a界里下的Workspace中将cerunoff.mat文献导进，睹图6.图6 小波系数导进到Matlab而后单打“coefs”挨启，删掉掉蔓延数据的小波变更系数（本例中去掉前12列战后13列），死存.接下去启初预计Morlet复小波系数的真部、模、模圆、圆好，简直支配为：正在“Command Windows”中间接输进函数“shibu=real(coefs);”，面打“回车”键，预计真部；输进函数“mo=abs(coefs);”，面打“回车”键，预计模；输进函数“mofang=(mo).^2;”，面打“回车”键，预计模圆；输进函数“fangcha=sum(abs(coefs).^2,2);”，面打“回车”键，预计圆好.睹图7.图7预计出的真部、模、模圆、圆好成果注意：上头波及到的数据死存，其要收均为.mat.5.画造小波系数真部、模、模圆等值线图真部、模、模圆等值线图的画造要收一般，那里仅以真部等值线图为例.最先，将小波系数真部数据复造到Excel中依照图8要收排列，其中列A为时间，列B为尺度，列C为分歧时间战尺度下所对付应的小波系数真部值.其次，将图9数据转移成Suffer 12.0识别的数据要收.简直支配为：正在Surfer 12.0界里下，单打“网格”菜单下的“数据”按钮，正在“挨启”窗心采用要挨启的文献（小波系数真部.xls），单打“挨启”后弹出“网格化数据”对付话框（图10）.它给出了多种分歧的网格化要收、文献输出路径及网格线索几许教等疑息.那里咱们采用“克里格“网格要收”，单打“决定”，完毕数据要收的转移.图8 小波系数真部数据要收图10 小波系数真部数据要收转移末尾，画造小波系数真部等值线图.正在Surfer 12.0界里下，单打“天图”菜单下的“等值线图-新建等值线图”按钮，弹出“挨启网格”窗心后，采用“小波系数真部.grd”文献，单打“挨启”，完毕等值线图的画造并死存（图11）.5.2 小波系数真部等值线图正在多时间尺度分解中的效率小波系数真部等值线图能反映径流序列分歧时间尺度的周期变更及其正在时间域中的分集，从而能推断正在分歧时间尺度上，径流的已去变更趋势.为能比较收会的证明小波系数真部等值线图正在径流多时间尺度分解中的效率，咱们利用Surfer 12.0对付其进一步处理战建饰，得到图12隐现的小波系数真部等值线图.其中，横坐标为时间（年份），纵坐标为时间尺度，图中的等值直线为小波系数真部值.当小波系数真部值为正时，代表径流歉火期，正在图中咱们用真线画出，“H”表示正值核心；为背时，表示径流枯火期，用真线画出，“L”表示背值核心.由图12不妨收会的瞅到径流演化历程中存留的多时间尺度特性.总的去道，正在流域径流演变历程中存留着18~32年，8~17年以及3~7年的3类尺度的周期变更顺序.其中，正在18~32年尺度上出现了枯-歉接替的准二次震荡；正在8~17年时间尺度上存留准5次震荡.共时，还不妨瞅出以上二个尺度的周期变更正在所有分解时段表示的非常宁静，具备齐域性；而3~10年尺度的周期变更，正在1980s 以去表示的图12 小系数真部等值线图较为宁静.参照5.1，画造小波系数模战模圆等值线图（图13、14）.图13 小波系数模等值线图图14 小波系数模圆等值线图Morlet小波系数的模值是分歧时间尺度变更周期所对付应的能量稀度正在时间域中分集的反映，系数模值愈大，标明其所对付当令段或者尺度的周期性便愈强.从图13不妨瞅出，正在流域径流演化历程中，18~32年时间尺度模值最大，证明该时间尺度周期变更最明隐，18~22年时间尺度的周期变更次之，其余时间尺度的周期性变更较小；小波系数的模圆相称于小波能量谱，它不妨分解出分歧周期的震荡能量.由图14知，25~32年时间尺度的能量最强、周期最隐著，但是它的周期变更具备局部性（1980s前）；10~15年时间尺度能量虽然较强，但是周期分集比较明隐，险些吞噬所有钻研时域(1974~2004年).6. 画造小波圆好图正在图7的“fangcha”上左打，采用“Graph”，正在下推菜单中采用“plot”，即出小波圆好图，睹图15，正在Matlab中可继承好化.也可单打“fangcha”，将数据复造到其余硬件（如Excel）中，以小波圆好为纵坐标，时间尺度a为横坐标，画造小波圆好，如图16.(d)02040608010012014005101520253035时间尺度/a小波方差图15 Matlab 画造的小波圆好图图16 小波圆好图小波圆好图能反映径流时间序列的动摇能量随尺度a 的分集情况.可用去决定径流演化历程中存留的主周期.流域径流的小波圆好图中（图15）存留4个较为明隐的峰值，它们依次对付应着28年、14年、8年战4年的时间尺度.其中，最大峰值对付应着28年的时间尺度，证明28年安排的周期震荡最强，为流域年径流变更的第一主周期；14年时间尺度对付应着第二峰值，为径流变更的第二主周期，第三、第三峰值分别对付应着8年战4年的时间尺度，它们依次为流域径流的第三战第四主周期.那证明上述4个周期的动摇统造着流域径流正在所偶尔间域内的变更特性.根据小波圆好考验的截止，咱们画造出了统造流域径流演变的第一战第二主周期小波系数图（图17）.从主周期趋势图中咱们不妨分解出正在分歧的时间尺度下，流域径流存留的仄衡周期及歉-枯变更特性.图16a 隐现，正在14年特性时间尺度上，流域径流变更的仄衡周期为9.5年安排，约莫经历了4个歉-枯变更期；而正在28年特性时间尺度上（图16b ），流域的仄衡变更周期为20年安排，约莫2个周期的歉-枯变更.图17大沽夹河流域年径流变更的13年战28年特性时间尺度小波真部历程线参照文献王文圣，丁晶，李耀浑. 2005. 火文小波分解[M]. 北京：化教工业出版社曹素华等. 1998. 真用医教多果素统计要收[M]. 上海：上海医科大教出版社圆启泰. 1989. 真用多元统计分解[M]. 上海：华东师范大教出版社何浑波，苏炳华，钱卑. 2002. 医教统计教及其硬件包[M]. 上海：上海科教技能文献出版社胡秉民. 1987. 微电脑正在农业科教中的应用[M]. 北京：科教出版社孙尚拱. 1990.. 真用多元变量统计要收与预计步调[M]. 北京：北京医科大教、华夏协战医科大教共同出版社唐守正. 1986. 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时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

如何使用小波变换进行时序数据分析时序数据是指按时间顺序排列的数据序列，如股票价格、气温变化等。

对于时序数据的分析，小波变换是一种常用的方法。

小波变换是一种数学工具，可以将时域数据转换为频域数据，从而更好地理解和分析时序数据的特征。

本文将介绍如何使用小波变换进行时序数据分析。

一、小波变换的基本原理小波变换是一种多尺度分析方法，它将信号分解成不同尺度的小波基函数，从而获得不同频率的信息。

小波变换的基本原理是将信号与小波基函数进行卷积运算，得到小波系数，然后通过逆变换将小波系数重构成原始信号。

小波基函数具有时域和频域的局部性，因此可以更好地表示信号的局部特征。

二、小波变换的步骤使用小波变换进行时序数据分析的步骤如下：1. 选择小波基函数：小波基函数的选择是进行小波变换的第一步。

常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波等。

不同的小波基函数适用于不同类型的信号，选择合适的小波基函数可以提高分析的准确性。

2. 进行小波分解：将时序数据进行小波分解，得到不同尺度的小波系数。

小波分解可以通过多级分解实现，每一级分解得到一组小波系数。

3. 分析小波系数：对小波系数进行分析，了解不同尺度上的频率信息。

可以通过绘制小波系数的图像或计算小波系数的统计特征来分析信号的频域特征。

4. 进行小波重构：根据分析结果，选择合适的小波系数进行小波重构，得到重构后的信号。

小波重构可以通过多级重构实现，每一级重构使用一组小波系数。

三、小波变换的应用小波变换在时序数据分析中有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 趋势分析：通过小波变换可以分析时序数据中的趋势成分。

将时序数据进行小波分解，可以得到不同尺度上的小波系数，从而分析不同频率的趋势成分。

2. 周期性分析：小波变换可以用于分析时序数据中的周期性成分。

通过小波分解和重构，可以提取出信号中的周期性波动，从而了解信号的周期性特征。

3. 异常检测：小波变换可以用于检测时序数据中的异常点。

小波分析完美教程经典小波分析是一种数学方法，用于在时间序列或信号中检测和描述局部的频率特征。

它具有在不同尺度上进行分析的能力，并且可以有效地处理非平稳和非线性的数据。

小波分析最早由法国数学家莫尔斯特尔在20世纪80年代提出，并且在信号处理、图像处理、模式识别等领域中得到了广泛的应用。

相对于傅里叶分析而言，小波分析更适用于局部信号特征的提取，因为它可以在时间和频率上同时进行分析。

小波分析主要包含以下几个步骤：1. 选择小波基函数：小波基函数是小波分析的基础，它决定了在不同尺度上对信号进行分析时的特征。

常见的小波基函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。

选择适合的小波基函数对于小波分析的结果具有重要的影响。

2.进行小波变换：小波变换是将信号在不同尺度上进行分解的过程。

通过将信号与小波基函数进行卷积，可以得到不同频率的小波系数。

小波变换可以分为连续小波变换和离散小波变换两种。

连续小波变换适用于连续信号，而离散小波变换适用于离散信号。

3.进行小波重构：小波重构是将小波系数重新组合成原始信号的过程。

通过将不同尺度上的小波系数进行反变换，可以得到原始信号的近似和细节部分。

小波重构的过程可以用于信号的降噪、压缩等应用。

在实际应用中，小波分析可以用于信号的时频分析、图像的压缩与去噪、模式识别等方面。

其优点在于可以提供更准确的局部信息，对非平稳和非线性信号具有更好的适应性，并且具有多尺度分析的能力。

然而，小波分析也存在一些问题。

首先，小波基函数的选择需要根据具体的应用场景进行判断，不同的小波基函数可能对信号的特征有不同的适应性。

其次，小波分析的计算量较大，对于大规模信号的处理可能会耗费较长的时间。

综上所述，小波分析是一种强大的信号处理工具，它可以在不同尺度上对信号进行分析，并且可以用于时频分析、图像处理、模式识别等领域。

通过选择合适的小波基函数和进行小波变换和重构，可以获得准确的局部信号特征。

时间序列的小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

第六章 时间序列的小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

时间序列的小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

时间序列小波分析时间序列分析是一种用于研究和预测时间序列数据的方法，而小波分析则是一种有效的时间序列分析方法之一、本文将详细介绍时间序列小波分析的原理、方法以及应用。

一、小波分析的原理和方法小波分析是通过分析时间序列信号的高频和低频成分来研究和预测时间序列数据的方法。

它基于小波变换的原理，将时间序列信号分解成不同频率成分的叠加，从而获得更详细和准确的信号信息。

小波变换是一种时频局部化分析的方法，它将时间序列信号表示为时间与频率两个维度上的函数。

相比于传统的傅里叶变换，小波变换能够提供更多的细节和局部信息。

小波分析的基本思路是将时间序列信号分解成多个不同频率的小波系数，然后分析每个小波系数的特性和规律。

具体来说，小波分析主要包括以下几个步骤：1.选择合适的小波函数：小波函数是用来描述小波变换的基函数，不同的小波函数有不同的频率特性和时域分辨率。

在小波分析中，选择适合于分析数据特性的小波函数非常重要。

2.进行小波分解：利用选定的小波函数对时间序列信号进行分解，得到不同频率的小波系数。

分解的过程是通过低通滤波和高通滤波来实现的，其中低通滤波用于提取低频成分，高通滤波用于提取高频成分。

3.小波系数的阈值处理：由于小波变换是一种连续变换，分解得到的小波系数包含了大量的噪声和无用信息。

因此，需要对小波系数进行阈值处理，去除噪声和无用信息，保留有用的信号成分。

4.重构信号：将经过阈值处理后的小波系数进行重构，得到去噪后的时间序列信号。

5.进行时间序列分析和预测：利用重构信号进行时间序列的分析和预测，包括描述统计量、自相关、谱分析等方法。

二、小波分析的应用小波分析具有一系列优点，例如能够提供时间和频率上的局部信息、能够适应非平稳时间序列等，因此在各个领域都得到了广泛的应用。

以下将介绍几个常见的应用。

1.金融数据分析：小波分析在金融数据分析中有着广泛的应用。

通过对金融时间序列数据进行小波分解，可以提取不同频率的波动成分，用于研究市场的周期性和波动性。

小波方差制作步骤小波方差（Wavelet Variance）是一种用于分析时间序列数据的方法，它可以捕捉到序列中的不同频率成分，并衡量这些成分在不同时间尺度上的方差。

下面将介绍小波方差的制作步骤。

步骤一：数据预处理对于给定的时间序列数据，首先需要进行数据预处理。

这包括去噪和平滑处理，以减少数据中的噪声和异常值对分析结果的影响。

常用的方法包括移动平均、中值滤波和小波去噪等。

步骤二：小波变换接下来，将预处理后的数据进行小波变换。

小波变换可以将时间序列数据转换为时频域上的频谱图。

它能够提供数据的局部频率信息，并且具有多尺度分析的能力。

常用的小波变换包括离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）和连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）。

步骤三：选择小波函数和尺度在进行小波变换时，需要选择合适的小波函数和尺度。

小波函数决定了小波变换的基函数，而尺度则决定了小波函数在时间和频率上的分辨能力。

常用的小波函数有Daubechies小波和Haar小波等，而尺度则可以根据需要进行调整。

步骤四：计算小波系数通过小波变换，我们可以得到时间序列数据在各个尺度和频率上的小波系数。

小波系数表示了数据在不同频率和时间尺度上的强度。

我们可以使用小波系数来计算小波方差。

步骤五：计算小波方差小波方差可以通过对小波系数进行平方和求平均得到。

具体而言，对于每个小波系数c，计算其平方c^2，并对所有系数的平方求平均。

这样，就可以得到小波方差。

步骤六：选择阈值为了得到有效的小波方差分析结果，我们需要选择适当的阈值。

阈值用于对小波系数进行筛选，只有大于阈值的系数才被纳入到方差计算中。

一般来说，较高的阈值会产生较低分辨率的方差，而较低的阈值会产生较高分辨率的方差。

步骤七：计算小波方差通过选取合适的阈值，并将阈值以下的小波系数置零，我们可以计算出修正后的小波方差。

修正后的小波方差可以用来描述时间序列数据在不同频率和尺度上的变化情况。

时间序列小波变换
时间序列小波变换是一种信号处理技术，它可以将时间序列信号分解成不同尺度的频带，从而更好地理解信号的特征。

小波变换相比于传统的傅里叶变换具有更好的时域局部性和多分辨率特性，能够更好地捕捉信号的短时变化。

时间序列小波变换的基本思想是将原始信号分解成一组小波基
函数，这些基函数具有不同的频率和尺度，可以分别表示不同频率的信号成分。

在分解过程中，小波基函数被匹配到信号中的不同频带，形成小波系数。

通过对小波系数的分析，可以了解信号在不同频带的特性。

时间序列小波变换的应用非常广泛，包括信号降噪、趋势分析、周期检测等。

在金融领域中，时间序列小波变换也被广泛应用于股市预测、风险管理等方面。

当然，小波变换也有其局限性，例如对于非平稳信号的处理效果可能不佳。

因此，在实际应用中需要结合具体问题进行分析和选择合适的方法。

- 1 -。

－、绘制原理1.需要用到的小波工具箱中的三个函数COEFS = cwt(S,SCALES,'wname')说明：该函数能实现连续小波变换，其中S为输入信号，SCALES为尺度，wname为小波名称。

FREQ = centfrq('wname')说明：该函数能求出以wname命名的母小波的中心频率。

F = scal2frq(A,'wname',DELTA)说明：该函数能将尺度转换为实际频率，其中A为尺度，wname为小波名称，DELTA 为采样周期。

注：这三个函数还有其它格式，具体可参阅matlab的帮助文档。

2.尺度与频率之间的关系设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率Fa为Fa=Fc×fs/a(1)显然，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。

在实际应用中，只需取尺度足够大即可。

3.尺度序列的确定由式(1)可以看出，为使转换后的频率序列是一等差序列，尺度序列必须取为以下形式：c/totalscal,...,c/(totalscal-1),c/4,c/2,c(2)其中，totalscal是对信号进行小波变换时所用尺度序列的长度(通常需要预先设定好)，c 为一常数。

下面讲讲c的求法。

根据式(1)容易看出，尺度c/totalscal所对应的实际频率应为fs/2，于是可得c=2×Fc/totalscal(3)将式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。

4.时频图的绘制确定了小波基和尺度后，就可以用cwt求小波系数coefs（系数是复数时要取模），然后用scal2frq将尺度序列转换为实际频率序列f，最后结合时间序列t，用imagesc(t,f,abs(coefs))便能画出小波时频图。

注意：直接将尺度序列取为等差序列，例如1:1:64，将只能得到正确的尺度－时间－小波系数图，而无法将其转换为频率－时间－小波系数图。