2020-2021学年九年级上学期期中考试 数学

2020-2021学年河南省郑州市新郑市九年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.1．已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣22．已知2a＝3b，且a≠0，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（）A．B．2C．2D．44．下列说法正确的是（）A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为B．50个人中一定有两人生日相同C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为D．13个人中有两个人生肖相同的概率为15．已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（）A．60°B．50°C．70°D．60°或50°6．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（）A．2B．2C．4D．47．定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根8．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（）米．A．4.14B．2.56C．6.70D．3.829．如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠CBD B．＝C．AB2＝AD•AC D．＝10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2+B．2+2C．4+2D．4+4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.11．一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝．12．如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝．13．一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是．14．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x 元，可列方程为．（不需要化简）15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为．三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．解方程（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．17．已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB 边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC 相似？18．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．19．从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为．（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？20．如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．（1）求CG的长；（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．22．如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？23．如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝；（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣2【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．解：一元二次方程3x2＝﹣4+2x化为一般形式可得：3x2﹣2x+4＝0，∴二次项系数、一次项系数分别为：3，﹣2．故选：A．2．已知2a＝3b，且a≠0，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据比例的性质直接解答即可．解：∵2a＝3b，且a≠0，∴＝．故选：A．3．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（）A．B．2C．2D．4【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，∴AC＝2AO＝2，∵菱形ABCD的边长为，∴AB＝，∴BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝4，∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，故选：D．4．下列说法正确的是（）A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为B．50个人中一定有两人生日相同C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为D．13个人中有两个人生肖相同的概率为1【分析】利用概率的意义逐项进行判断即可．解：A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的频率为，不是概率为，由于实验次数少，不能确定正面朝上的概率，所以选项A不符合题意；B．50个人中不一定有两人生日相同，也可能这50人的生日均不相同，因此选项B不符合题意；C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率不一定是，因此选项C不符合题意；D．根据“抽屉”原理可知，13个人中一定有两人的生肖相同，因此选项D符合题意，故选：D．5．已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（）A．60°B．50°C．70°D．60°或50°【分析】△ABC中，根据三角形内角和定理即可求得∠C的度数，根相似三角形的对应角相等即可求得答案．解：在△ABC中，∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．∵△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∴∠F＝∠C＝50°；故选：B．6．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据菱形的性质和30度角所对直角边等于斜边一半可得CE＝AD，再根据菱形面积即可得菱形的边长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AB∥CD，∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝DC＝，∴菱形ABCD的面积＝AD•CE＝AD AD＝AD2＝4，∴AD＝2（负值舍去），则菱形的边长为2．故选：A．7．定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新定义得到x2+2kx﹣k2﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．解：由新定义得x2+2kx﹣k2﹣1＝0，∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8k2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．8．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（）米．A．4.14B．2.56C．6.70D．3.82【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x﹣0.618x＝1.58，然后解方程即可．解：设该车车身总长为xm，∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，∴x﹣0.618x＝1.58，解得x≈4.14，即该车车身总长约为4.14米．故选：A．9．如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠CBD B．＝C．AB2＝AD•AC D．＝【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．解：∵AB2＝AD•AC，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2+B．2+2C．4+2D．4+4【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB ＝AC＝2，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，推出中点四边形GHIJ是矩形，求出IJ．IH，即可解决问题．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，∴BC＝2AC＝4，AB＝AC＝2，∵BD＝CD，∴AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，∴中点四边形GHIJ是矩形，∵AD＝AC＝DC，∴∠ADC＝60°，∵AE∥DB，∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∵AE＝AD，∴△AED是等边三角形，∴AD＝DE＝2，∵AJ＝JE，AI＝ID，∴IJ＝DE＝1，∵BH＝DH，AI＝ID，∴IH＝AB＝，∴四边形GHIJ的周长＝2（1+）＝2+2，故选：B．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.11．一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝1．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．解：∵一元二次方程ax2+x﹣2＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0，∴a+1﹣2＝0，解得，a＝1；故答案是：1．12．如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝2．【分析】证明ADE∽△ABC，则利用相似比得到AE＝AC＝3，然后计算AC﹣AE即可．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AE＝AC＝×5＝3，∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．故答案为2．13．一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是．【分析】先画出树状图，共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，然后由概率公式求解即可．解：画树状图如图：共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，∴两次取出的都是红球的概率为＝，故答案为：．14．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x 元，可列方程为（2﹣x）（100+80×）＝270．（不需要化简）【分析】设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，根据该超市每天销售口罩的利润＝每个口罩的盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，依题意得：（2﹣x）（100+80×）＝270．故答案为：（2﹣x）（100+80×）＝270．15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为．【分析】过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，由“HL”可证Rt△NFE≌Rt△BEC，可得∠BCE＝∠NEF，可证∠FEC＝90°，由勾股定理可求FC的长，通过证明△FHG∽△CDG，可得＝，即可求解．解：过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，设∠BAD的外角为∠MAD，∵AF平分∠MAG，FH⊥AD，FN⊥AM，∴∠FAH＝45°，FN＝FH，∵FH⊥AD，∴∠FAH＝∠AFH＝45°，∴AH＝FH，∴AF＝FH＝，∴FH＝AH＝1，∴FN＝FH＝1，∵点E是边AB上靠近点B的四等分点，∴BE＝1，∴EC＝＝＝，∵将线段EC绕点E旋转，∴EC＝EF，在Rt△NFE和Rt△BEC中，，∴Rt△NFE≌Rt△BEC（HL），∴∠BCE＝∠NEF，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠BEC+∠NEF＝90°，∴∠FEC＝90°，∴CF＝EC＝，∵∠FHG＝∠D＝90°，∠FGH＝∠CGD，∴△FHG∽△CDG，∴＝，∴FG＝FC＝．三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．解方程（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）原方程可化为2x2﹣4x＝1，即x2﹣2x＝，配方得：x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（2）原方程可化为（x﹣1）2+3﹣3x＝0，即（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，提取公因式，得（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，则x﹣1＝0或（x﹣1﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝4．17．已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB 边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC 相似？【分析】分两种情况利用相似三角形的性质解答即可．解：设运动时间为t秒，则由题意得：AD＝tcm，AE＝（8﹣2t）cm，当△ADE∽△ABC时，∴，即，解得：t＝2.4，当△ADE∽△ACB时，∴，即，解得：t＝，∴经过2.4秒或秒．△ADE与△ABC相似．18．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到Δ＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＞0，然后解不等式确定m的取值范围；（2）把x＝1是方程的一个根，代入方程求得m+m2+1＝0，解得m的值，代入求得答案即可．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＝﹣2m﹣3＞0，∴m＜﹣；（2）∵方程有一根为1，将x＝1代入原方程中，得m+m2+1＝0，解这个方程，得m1＝m2＝﹣2，把m＝﹣2代入原方程中，得x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，即方程的另一根为2．19．从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为．（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）先列表，共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，然后由概率公式求解即可．解：（1）选择地理的概率为，故答案为：；（2）把化学、生物、思想政治、地理分别记为A、B、C、D，列表如下：共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，∴小王选择合适科目的概率为＝．20．如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．（1）求CG的长；（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．【分析】（1）由EF∥BD，推出＝＝，由FG∥AC，推出＝＝，可得结论．（2）由EF∥BD，推出＝，可得结论．解：（1）∵EF∥BD，∴＝＝，∵FG∥AC，∴＝＝，∵BG＝4，∴CG＝6．（2）∵CD＝2，CG＝6，∴DG＝CG﹣CD＝4，∵BG＝4，∴BD＝BG+DG＝8，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴EF＝21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线互相垂直，再根据已知条件即可得四边形AODE 是矩形；（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AD 长，由四边形AODE的面积为12，可得AO•OD＝12，根据勾股定理可得AO+OD＝7，进而可得四边形AODE的周长．解：（1）四边形AODE是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AO，DO⊥AO，∴∠EAO＝∠DOA＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，∴∠AED＝90°，∵点G是矩形AODE对角线AD的中点，∴EG＝AD＝，∴AD＝5，∵四边形AODE的面积为12，∴AO•OD＝12，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得AO2+OD2＝AD2＝25，∴（AO+OD）2＝AO2+2AO•OD+OD2＝25+24＝49，∴AO+OD＝7，∴四边形AODE的周长为14．22．如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？【分析】（1）把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解；（2）结合（1）求出每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），进而可得结论．解：（1）设水平道路和铅直道路的宽分别为3x米和4x米，由题意有（80﹣4x）（60﹣2×3x）＝3456，解得x1＝28（舍去），x2＝2．答：水平道路的宽为6米，铅直道路的宽为8米．（2）每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），∴将水平道路改为铅直道路，也能保证剩余空地面积为3456平方米．23．如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝1；（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．【分析】（1）证明△APE∽△ABC，得到，进而证明△BAP∽△CAE，即可求解；（2）由（1）知，，即可求解；（3）证明AD⊥EF，由△BAP∽△CAE得到＝，由菱形ABCD的面积求出AO＝，进而求解．解：（1）连接AC，则△ABC为等腰三角形，BA＝BC，∵△APE为等腰三角形，且∠APE＝∠ABC，∵AP＝PE，∴∠EAP＝∠CAB，∴△APE∽△ABC，∴，∵∠EAP＝∠BAC，∴∠EAP＝∠PAC＝∠BAC＝∠PAC，即∠CAE＝∠BAP，在△BAP和△CAE中，∵，∠BAP＝∠CAE，∴△BAP∽△CAE，∴，故答案为1；（2）由（1）知，，而＝k（k≠1），故＝k；（3）连接AO交BD于点O，设CE交AD于点F，∵＝，BP＝6，由（1）知＝＝，故CE＝4，四边形ABCD为菱形，则∠DAC＝∠BAC，由△BAP∽△CAE得，∠ABP＝∠ACF，∵∠BAC+∠ABP＝90°，∴∠DAC+∠ACE＝90°，即AD⊥EF，∵△BAP∽△CAE，∴＝（三角形相似高的比等于相似比），设AB＝3x，则AC＝2x，AO＝x，则BO＝＝2x，则菱形ABCD的面积＝×AC•BD＝2AO•BO＝2x•2x＝8，解得x＝，故AO＝x＝，而＝，故AF＝，则DF＝AD﹣AF＝AB﹣AF＝3﹣＝，故△DCE的面积＝CE•DF＝×4×＝．。

2020-2021学年江苏省徐州市新沂市九年级上学期数学期中考试题及答案一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 方程x 2－4＝0的解是A. x ＝2B. x ＝－2C. x ＝±2D. x ＝±4 【答案】C【解析】【分析】方程变形为x 2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．【详解】解：x 2－4＝0x 2=4，∴x=±2．故选：C ．2. 用配方法解一元二次方程时应在等式两边同时加上4的是（ ）A.B. 223x x +=2-43x x =C.D. 22-43x x =2443x x +=【答案】B【解析】【分析】根据配方法的步骤，确定答案即可．【详解】解：A 、根据配方的要求，常数项等于一次项系数一半的平方，两边应加1，故本项错误；B 、两边同时加上-4的一半的平方，即同时加4，故本项正确；C 、先两边同时除2，再两边加上-2的一半的平方，即同时加上1，故本项错误；D 、．两边同时加上1，故本项错误；故选：B ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程和完全平方式是解题的关键．3. 下列四个函数中，图象的顶点在轴上的函数是（ ）y A. B. C. D. 232y x x =-+25y x =-22y x x =-+244y x x =-+【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质，图象的顶点在y 轴上，则顶点的横坐标x=0，根据题意，计算出即可解答．【详解】A 、二次函数y=x 2-3x+2，顶点的横坐标x=−=≠0，故本项错误； 2b a 32B 、二次函数y=5-x 2，顶点的横坐标x=−=0，故本项正确； 2b aC 、二次函数y=-x 2+2x ，顶点的横坐标x=−=1≠0，故本项错误； 2b a D 、二次函y=x 2-4x+4，顶点的横坐标x=−=2≠0，故本项错误； 2b a故选B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，应熟记二次函数的顶点坐标公式，本题读懂题意是关键．4. 已知⊙O 的半径为3，OA=3，直线l 经过点A ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交【答案】D【解析】【分析】根据圆心到直线的距离进行判断即可．【详解】解：∵OA=3，直线l 经过点A ，∴圆心O 到直线l 的距离≤3，∵⊙O 的半径为3，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交．故选D ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断时注意分情况讨论．5. 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠AOB=50°，则∠ACB 的度数为 （ ）A. 100°B. 50°C. 25°D. 35°【解析】 【分析】根据圆周角定理∠ACB=∠AOB 计算即可．12【详解】解：∵∠ACB=∠AOB，∠AOB=50°，12∴∠ACB=25°．故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6. 如图，⊙O 的直径垂直于弦，垂足是点，，，则AB CD E 22.5CAO ∠=o 6OC =CD 的长为( )A.B. C. 6 D. 12 【答案】A【解析】【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，CE DE =245BOC A ∠=∠=o可得为等腰直角三角形，所以的长． OCE △CE ==CD 【详解】∵，AB 为直径，CD AB ⊥∴， CE DE =∵∠BOC 和∠A 分别为所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°， BC∴，2222.545BOC A ∠=∠=⨯=o o ∴为等腰直角三角形，OCE △∵OC=6，∴， 6CE ===∴2CD CE ==故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的7. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线22y x =对应的函数关系式是 （ ）A. B. C. D. 2(2-1)-3y x =22(-1)-3y x =2(21)-3y x =+22(1)-3y x =+【答案】B【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线y= 的顶点坐标为(0，0)，22x 向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，所以,所得图象的解析式为y=2 -3．2(1)x -故选：B【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．8. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图像，对于下列说法：①abc＞0，②，③a+b+c 240b ac ->＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a＞0，-＞0，c ＜0， 2b a∴abc＞0，∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确；由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0，故③正确；由图象可得，当0<x<-时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； 2b a∴正确的个数有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分）9. 一元二次方程的一次项为___________.2320x x ++=【答案】3x【解析】【分析】根据一元二次方程一次项的定义写出该方程的一次项．【详解】解：一元二次方程的一次项是3x ．2320x x ++=故答案是：3x ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．10. 抛物线的顶点坐标是_________．2(1)-1y x =+【答案】(-1，-1)【解析】【分析】利用顶点式直接求得交点坐标即可．【详解】解：∵抛物线，2(1)-1y x =+∴顶点坐标是（-1，-1）．故答案为：（-1，-1）．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．11. 若是方程的一个根，则＝____.x a =2220x x +-=2124a a --【答案】-3【解析】【分析】先把代入方程中，然后利用整体思想进行求解即可．x a =2220x x +-=【详解】解：把代入方程得：x a =2220x x +-=，即，2220a a +-=222a a +=∴；()22124122143a a a a --=-+=-=-故答案为-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解是解题的关键．12. 设、是一元二次方程的两根，则____.1x 2x 2210x x --=12x x +=【答案】2【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两根1x 2x 2210x x --=∴． 12221b x x a -+=-=-=故答案是：2【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根和、两根积的公式是解题的关键．13. 若抛物线 的图像与轴有交点，那么的取值范围是________.22y x x m =++x m 【答案】1m £【解析】【分析】由抛物线 的图像与轴有交点可知，从而可求得22y x x m =++x 240b ac ∆=-≥的取值范围．m 【详解】解：∵抛物线 的图像与轴有交点22y x x m =++x ∴令，有，即该方程有实数根0y =220x x m ++=∴240b ac ∆=-≥∴．1m £故答案是：1m £【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点情况与一元二次方程分的情况的关系、解一元一x 次不等式，能由已知条件列出关于的不等式是解题的关键．m 14. 圆锥的侧面展开图的面积为18π，母线长为6，则圆锥的底面半径为________．【答案】3【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设底面周长为C ，底面半径为r ．∵侧面展开图的面积为18π， ∴18π=C×6，C=6π=2πr，12∴r=3．故答案为：3【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．关键是根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2解答．15. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝________°．【答案】125【解析】【分析】根据三角形内角和性质，结合题意，可计算得的值；根据内切圆ABC ACB ∠+∠的性质分析，可计算得的值，从而完成求解．OBC OCB ∠+∠【详解】∵∠A＝70°∴180110ABC ACB A ∠+∠=-∠= ∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴， 12OBC ABC ∠=∠12OCB ACB ∠=∠∴ 11111055222OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯= ∴180********BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=-= 故答案为：125．【点睛】本题考查了三角形内角和、三角形内切圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形内切圆的性质，从而完成求解．16. 如图，直线、相交于点，半径为1cm 的⊙的圆心在直线AB CD ,30O AOC ∠=︒P AB 上，且与点的距离为8cm ，如果⊙以2cm/s 的速度，由向的方向运动，那么_________O P A B 秒后⊙与直线相切.P CD【答案】3或5【解析】【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE⊥CD 与E ，根据切线的性质得到PE=1cm ，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm ，则⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，即可得到⊙P 移动所用的时间；当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE⊥CD 与F ，同前面一样易得到此时⊙P 移动所用的时间．【详解】当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE⊥CD 与E ，∴PE=1cm，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间==3（秒）； 822-当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE⊥CD 与F ，∴PF=1cm，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8+2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间==5（秒）． 822+故答案为3或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质.17. 抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，则关于x 的一元二次方程的解是________________．()2220a x bx b c -+-+=【答案】121,6x x =-=【解析】【分析】由题意得当y=0时，则有的两个根为，进而根据同20ax bx c ++=123,4x x =-=解方程可进行求解．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，∴当y=0时，则有的两个根为，20ax bx c ++=123,4x x =-=∴的解为：或，()2220a x bx b c -+-+=23x -=-24x -=解得：；121,6x x =-=故答案为．121,6x x =-=【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．18. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________．　【解析】【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS 证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P 在以AB 为直径的圆上运动，运动路径是弧BG ，连接OC 交圆O 于P ，如图，则此时PC 最小，进一步即可求解．【详解】解：由题意得：BM ＝CN ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB ＝BC ＝2，在△ABM 和△BCN 中，∵AB＝BC ，∠ABM＝∠BCN，MB ＝CN ，∴△ABM≌△BCN（SAS ），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，设圆心为O ，运动路径是弧，是这个圆的，如图 BG14所示：连接OC 交圆O 于P ，此时PC 最小，∵AB＝2，∴OP＝OB ＝1，由勾股定理得：OC ，=；1-．1-【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和圆的有关性质等知识；熟练掌握上述知识，证出点P 在以AB 为直径的圆上运动是解题关键．三、解答题（本大题共有4小题，每小题6分，共24分）19. 解方程：．240x x +=【答案】x 1=0，x 2=-4【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：240x x +=(4)0x x +=x 1=0，x 2=-4【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确选择因式分解法是解题的关键．20. 解方程：． 22520x x -+=【答案】， 112x =22x =【解析】 【分析】原式运用公式法求解即可得到答案．【详解】解：22520x x -+=这里2,5,2a b c ==-=22=4(5)422251690b ac ∆-=--⨯⨯=-=> 5322x ±∴=⨯∴， 112x =22x =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用解题方法是解答本题的关键．21. 已知关于的方程.x 2-3-30x x a +=（1）若此方程有两个实数根，求的取值范围；a （2）在（1）的条件下，当取满足条件的最小整数时，求此时方程的解．a 【答案】（1）；（2）， 34a ≥11x =22x =【解析】【分析】（1）因为方程有实数根，所以可得判别式大于或等于零，得到不等式后，即可求得答案；（2）由（1）结论以及取满足条件的最小整数可求得参数的取值，再代入原方程即可得a 解．【详解】解：（1）∵关于的方程有两个实数根x 2-3-30x x a +=∴()()22434130b ac a ∆=-=--⨯⋅-+≥∴； 34a ≥（2）∵有（1）可知，，取满足条件的最小整数 34a ≥a ∴1a =∴把代入原方程得：1a =2320x x -+=∴，．11x =22x =【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解不等式、解方程等，体现了数学运算的核心素养．22. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且BC ＝2cm ，AC ＝4cm ，∠ABD＝45º．（1）求弦BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2） BD =5542π-【解析】 【分析】（1）先添加辅助线连接，由是的直径可得，再由勾股OD AB O 90ACB ∠=︒定理求得、，即可得到等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求得答案；AB OB （2）根据即可求得结论．OBD OBD S S S =- 阴影扇形【详解】解：（1）连接，如图：OD∵是的直径AB O ∴90ACB ∠=︒∵，2BC =4AC =∴ AB =∴OB =∵且45ABD ∠=︒OB OD ==∴90BOD ∠=︒∴在中，Rt BOD BD ==（2）∵，90BOD ∠=︒OB OD ==∴， 522OBD OB OD S ⋅==V 54OBD S π==扇形∴． 5542OBD OBD S S S π-=-=V 阴影扇形【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、扇形的面积、三角形的面积，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．四、解答题（本大题共有3小题，每小题8分，共24分）23. 已知：二次函数过点（0，－3），（1，－4）2y x bx c =++（1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x＜3时，y 的取值范围是 ．【答案】（1）；（2）见解析；（3）－4≤y＜02-2-3y x x =【解析】【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y 的取值范围即可．【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数得： 2y x bx c =++， 314c b c =-⎧⎨++=-⎩解得：， 23b c =-⎧⎨=-⎩所以，二次函数的表达式为：；223y x x =--（2）二次函数的图象如下：（3）∵()214y x =--∴当x ＝1时，有最小值－4，当x ＝0时，y ＝（0−1）2－4＝−3，当x ＝3时，y ＝（3−1）2－4＝0，又对称轴为x ＝1，∴当0≤x＜3时，y 的取值范围是−4＜y≤0．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．24. 如图，在长40m 、宽22m 的矩形地面内，修筑两条同样宽且垂直于矩形的边的道路，余下的部分铺上草坪（即阴影部分），要使草坪的面积达到760m 2，道路的宽应为多少米？【答案】道路的宽应为米2【解析】【分析】根据题意设道路的宽应为米，则种草坪部分的长为，宽为x ()40x m -，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．()22x m -【详解】解：设道路的宽应为米，则种草坪部分的长为，宽为，根x ()40x m -()22x m -据题意得：()()4022760x x --=2-621200x x +=()()2600x x --=，20x -=600x -=∴，（不合题意舍去）12x =260x =答：道路的宽应为米．2【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，要求学生能根据题目中的等量关系建立方程，同时也考查了学生的阅读理解能力．25. 已知△ABC，请按以下要求完成本题：（1）请作出△ABC 的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O 的直径AD 交CB 于E ，则∠DEC = ．【答案】（1）见解析；（2）60°【解析】【分析】（1）分别作出AB 与AC 的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O 即可；（2）连接BD ．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角形外角的性质即可求出∠DEC．【详解】解：（1）如图所示：（2）连接BD ．∵AD 是直径，∴∠ABD=90°，∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°，又∵∠D=∠ACB=40°，∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．五、解答题（共有2小题，第26题8分，第27题10分，共18分）26. 如图，已知直线l与⊙O相离，过圆心O画OA⊥l于点A，交⊙O于点P且OA=5，点B 为⊙O上一点BP的延长线交直线l于点C且AB=AC.（1）判断AB与⊙O有怎样的位置关系，并说明理由；PC（2）若，求⊙O的半径.【答案】（1）AB与⊙O相切，理由见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OB，由题意易得∠ACB=∠ABC，∠OAC=90°，则有∠APC=∠OBP，进而可证OB⊥AB，则问题可证；（2）设⊙O的半径为x，由（1）得OP = OB = x，则有PA = 5-x，然后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：（1）AB与⊙O相切，理由：连接OB，如图所示：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，又∵OA⊥l，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC = 90°，又∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，∴∠APC=∠OBP，∴∠OBP+∠ABC = 90°，即OB⊥AB，∵点B是半径OB的外端点，∴AB 是⊙O 的切线；(2)设⊙O 的半径为x ，∴OP = OB = x又∵OA = 5，PC =∴ PA = 5-x在Rt△ACP 中∴ AC 2 =PC 2 -PA 2 =， (()2225105x x x --=-+-在Rt△OAB 中∴ AB 2 =OA 2 -OB 2 =222525x x -=-又∵AB = AC∴，2225105x x x -=-+-解得：x =3∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．27. 某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)与增种果树x(棵)之间的函数关系如图所示．（1）求每棵果树产果y(千克)与增种果树x(棵)之间的函数关系式；（2）设果园的总产量为w(千克)，求w 与x 之间的函数表达式；（3）试说明（2）中总产量w(千克)随增种果树x(棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？【答案】（1）；（2） ；（3）当x=50时，w 的最1802y x =-+215048002w x x =-++大值为．6050【解析】 【分析】（1）由图像可得坐标，设，然后代入求解即可；()()12,74,28,66y kx b =+（2）根据（1）及题意可直接进行求解；（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1））由图像可得坐标，则设，把点()()12,74,28,66y kx b =+()()12,74,28,66代入得：，解得：， 12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩1280k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴； 1802y x =-+（2）由（1）及题意得：； ()()16060802w x y x x ⎛⎫=+⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭215048002x x =-++（3）由（2）得：， ()221150480050605022w x x x =-++=--+∴，开口向下，对称轴为直线， 102a =-<50x =∴当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，50x ≤50x ≥∴当时，w 取最大，最大值为．50x =6050【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．六、解答题（本大题10分）28. 如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，213-222y x x =-点M 是线段BC 下方抛物线上的任意一点，点M 的横坐标为m ，过点M 画MN⊥x 轴于点N ，交BC 于点P ．（1）填空：A （ ， ），C （ ， ）；（2）探究△ABC 的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m 取何值时线段PM 的长度取得最大值，最大值为多少？【答案】（1）-1，0；0，-2；（2）；（3）当m=2时，PM 的最大值是2 3,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用抛物线解析式容易求得A 、C 的坐标；（2）证明△AOC∽△COD，Rt△ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，由此求得圆心的坐标即可；（3）可求得直线BC 的解析式，利用m 可表示出PM 的长，则可利用二次函数的性质求得PM 的最大值．【详解】解：（1）当y=0，则=0，得方程的解 213-222y x x =-121,4x x =-=∴A（-1,0）B （4,0），当x=0时，y=-2∴C（0，-2）．（2）1,2,4OA OC OB ===∠AOC=∠COB=90°∴ 12OA OC OC OB ==∴△AOC∽△COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt△ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，∵A（-1,0）B （4,0），∴圆心的坐标（）． 3,02（3）C （0，-2），B （4，0） 又∵直线BC 解析式1y 22x =-，M （m, ） 1(,2)2p m m -213222m m --PM=（）-（） 122m -213222m m -- 2122PM m m =-+ 21=(2)22m --+当m=2时，PM最大值=2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．。

2020－2021学年度第一学期期中质量检测九年级数学试题(2020.11)一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若x=1是关于x的方程x2＋x＋a=0的一个根，则a的值为( )A. 1B. 2C. －1D. －22. 如图所示的几何体的主视图为( )A B C D3. 若反比例函数kyx的图象经过点(－2，3)，则此图象一定经过下列哪个点( )A.(3，2)B.(－3，－2)C.(－3，2)D.(－2，－3)4. 用配方法解方程x2−6x＋4=0，原方程应变为( )A. (x＋3)2=9B. (x－3)2=13C. (x−3)2=5D. (x＋3)2=55. 一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到红球的机会为34，则可估计袋中红球的个数为( )A. 12B. 4C. 6D. 不能确定6. 如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF 的长是()A.5B.6C.7D.87. 函数kyx和y=－kx＋2(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图象是( )A B C D8. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC.若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m.则路灯的高度OP为( )A. 3mB. 4mC. 4.5mD. 5m9.如图，△OE'F'与△OEF关于原点O位似，相似比为1:2，已知E（-4，2），F（-1，-1），则点E的对应点E'的坐标为（）A.（2，1）B.1122⎛⎫⎪⎝⎭， C.（2，-1） D.122⎛⎫-⎪⎝⎭，10.如图，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（）A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm211.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=3，BC=4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A.325B.245C.125D.6512.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG.以下四个结论：①∠EAB=∠GAD；②△AFC∽△AGD；③DG⊥AC；④2AE2=AH·AC.其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）13.已知23ab=，则aa b+的值为.14.一元二次方程x（x-1）=0的解是.15.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是 .16.已知菱形的周长为20，一条对角线的长8，则它的面积等于_________.17.如图，在☐ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，在DC 的延长线上取一点E ，连接OE 交BC 于点F .已知AB =4，BC =6，CE =2，则CF 的长=___________.18.如图，平行四边形OABC 的周长为14，∠AOC =60°，以O 为原点，OC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，函数)0(>=k xk y 的图像经过☐OABC 顶点A 和BC 的中点M ，则k 的值为_________.三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.解下列一元二次方程：（每小题4分，共8分）①2)2(3-=-x x x ②03522=+-x x20.（本小题满分8分）如图所示，在菱形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上两点，AE =AF .（1）求证：CE =CF ；（2）若∠ECF =60°，∠B =80°，试问BC =CE 吗？请说明理由.21.(本小题满分8分)为了传承中华优秀传统文化，培养学生自主、团结协作能力，某校推出了以下四个项目供学生选择:A.家乡导游:B.艺术畅游:C.体育世界:D.博物旅行.学校规定:每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目，学校对某班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题:（1）该班学生总人数为___________；（2）B项目所在扇形的圆心角的度数为_____________；（3）将条形统计图补充完整；（4）该校有1200名学生，请你估计选择“博物旅行”项目学生的人数.22.（本小题满分8分）如某农户准备建一个长方形鸡场，养鸡场一边靠墙，若墙长为18m，另三边用篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙.（1）要成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少?（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2?请说明理由23.（本小题满分10分）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB=6，AE=4，AC=9.(1)求CD的长；(2)求证：△ABE∽△ACB.24.（本小题满分12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒.求：(1)当t=3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少?(2)当t为多少时PQ的长度等于410；(3)当t为多少时，以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似?25.（本小题满分12分）如图，函数 的图像经过A （n ，2）和B 两点.（1）求n 和k 的值；（2）将直线OA 沿x 轴向左移动得直线DE ，交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，交(0)k y x x =＞ 于点C ，若S △ACO =6，求直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F ，使得△DEF 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由.26.（本小题满分12分）(1)如图1，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，直线AD 和直线BE 交于点F .①求证：AD =BE ；②求∠AFB 的度数.(2)如图2，△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ABC =∠DEC =90°，直线AD 和直线BE 交于点F . ①求证：AD =2BE ；②若AB =BC =3，DE =EC =2，将△CDE 绕着点C 在平面内旋转，当点D 落在线段BC 上时，在图3中画出图形，并求BF 的长度.(0)k y x x =＞8(23)5n -，。

2020-2021学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷1.下列方程是一元二次方程的是()A. 2x2+y=1B. 9y=3y−1C. 2x2=1D. 3x−2x2=82.如图所示的4个三角形中，相似三角形有()A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3.根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c=10(a、b、c为常数，a≠0)的一个解x的范围为()x00.51 1.52 ax2+bx+c−15−8.75−2 5.2513A. 0<x<0.5B. 0.5<x<1C. 1<x<1.5D. 1.5<x<24.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD=1：3，则∠EOA的度数为()A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°5.青岛第四届海上马拉松比赛将在2020年11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是()A. 13B. 23C. 19D. 296.如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是()A. 3cmB. 4cmC. 4.8cmD. 5cm7.下列结论正确的是()A. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形．B. 如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形．C. 如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形．D. 一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取EF=BE，连接DF.下列说法中正确的有()(1)GH：FD=1：2；(2)BD2=BF⋅BC；(3)四边形EBHD是菱形；(4)S△ADF=29S△ABC．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.已知x2=y4≠0，则3x+y2y=______ ．10.在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球30个，这些球除颜色外都相同.某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回袋中，不断重复上述过程，试验数据如下表：摸球的次数10020050080010001200摸到白球的次数4281201324402481根据上表数据，估算口袋中黑球有______ 个.11.如图，直线a//b//c，直线AC与DF交于点O，且与直线a、b、c分别交于点A、B、D、E、F，如果DE=2，EF=5，AC=6，那么AB的长为______ ．12.书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，该校这两个月借阅图书的月均增长率是______ ．13.如图，四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，图中阴影部分的面积是______ cm2．14.现有30张相同的菱形纸片(如图1，有一个内角为60°)，小亮用其中3张密铺成一个如图2所示的正六边形；若小芳想密铺出一个与图②相似但面积比它大的正六边形，则她至少要用______ 张菱形纸片(不得将菱形纸片剪开)．15.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：一个菱形，使它的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上．16.解方程：x2+2x+2=8x+4(配方法)．17.解方程：8x2−2x−3=0．18.已知：关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根.求：k的最小整数解．19.用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色“游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；(2)求游戏者获胜的概率．20.如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF=∠DAG．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)若DE=3，ADAB =25，求BC的长．21.有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．22.已知：在△ABC中，CB=CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．(1)求证：AD=CF；(2)连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．23.尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．(1)若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是______ 件(直接填写结果)；(2)不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？(3)在(2)的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．24.古希腊数学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比又被称为黄金比，其比值是√5−12.古希腊很多矩形建筑中，宽与长之比都等于黄金比，在艺术领域，许多优美的曲线也与黄金比有关，黄金比在我们的生活中彰显着丰富的美学价值．【探索发现】：如图1，若点P1是线段AB靠近点B的黄金分割点，则AP1=√5−12AB，所以BP1=(1−√5−12)AB=3−√52AB．若P2是线段BP1靠近点B的黄金分割点，则BP2=3−√52BP1，所以BP2=______ AB．若P3是线段BP2靠近点B的黄金分割点，则BP3=3−√52BP2，所以BP3=______ AB．……【归纳提炼】若P n是线段BP n−1靠近点B的黄金分割点，则BP n=______ AB．【解释应用】：如图2，矩形ABCD中，宽BC与长AB的比为黄金比，则称矩形ABCD为“黄金矩形”．在课本“想一想”中我们已经知道，该矩形有如下特点：作正方形①，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P1为线段AB的黄金分割点；以此类推：作正方形②，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q1为线段BC的黄金分割点；作正方形③，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P2为线段______ 的黄金分割点；作正方形④，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q2为线段______ 的黄金分割点；……显然，这样变换可以无限的进行下去．借助对“BP2与AB，BQ2与BC的比例关系”的探究，写出当“黄金矩形”ABCD 的周长为a时，以BP2，BQ2为领边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：______ ．【拓展延伸】：(1)设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a1，a2，a3，a4，请直接写出a1+a2+a3+a4=______ .(用含有a的代数式表示)(2)如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：______ .(用含有a的代数式表示)25.已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s.过点Q作QE⊥AC，QE与BC相交于点E，连接PQ.设)，解答下列问题：运动时间为t(s)(0<t≤165(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？(2)设四边形BPQC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使△CDF为等腰三角形？若存在，直接写出t的值(不需提供解答过程)；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C.是一元二次方程，故本选项符合题意；D.是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程．2.【答案】A【解析】解：观察图象可知，图中有3个直角三角形，一个锐角三角形，其中左边的两个直角三角形的直角边的比都是1：2，所以这两个直角三角形相似．故选：A．根据相似三角形的判定方法判断即可．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．3.【答案】D【解析】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c−10=−4.75，当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c−10=3，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10(a≠0)的一个解x的范围是1.5<x<2，故选：D．根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解．本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解，本题属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∠BAD=90°，∴∠OAB=∠OBA，∵∠EAB：∠EAD=1：3，∴∠EAB=22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=67.5°，∴∠OBA=∠OAB=67.5°，∴∠AOB=45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．根据∠EAB：∠EAD=1：3，∠BAD=90°，可以求得∠BAE的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到∠EOA的度数．本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5.【答案】A【解析】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有3种情况，∴两人恰好选择同一组的概率为39=13；故选：A．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一组的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵BD=6cm，S菱形ABCD ═12AC×BD=24cm2，∴AC=8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴OE=12AC=4cm，故选：B．由菱形的性质得出BD=6cm，由菱形的面积得出AC=8cm，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：A.若一个四边形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，则这个四边形是菱形或矩形，故本选项不合题意；B.如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形可以是菱形，故本选项不合题意；C.若一个菱形绕对角线的交点旋转90°后所得图形与原图形重合，则这个菱形是正方形，本选项符合题意；D.一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四辺形一定是矩形，故本选项不合题意；故选：C．依据菱形、矩形以及正方形的判定方法，即可得出结论．本题考查了菱形、矩形、正方形的判定与性质；熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质，并能进行推理论证是解答本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，DH//AB，∴四边形DEBH是平行四边形，∴GH=EG，BG=DG，又∵EF=BE，∴EG//DF，GE=12DF，∴GH=12DF，∴GH：DF=1：2，故①正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵DE//BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，∴BE=DE=EF，∴∠BDF=90°=∠C，又∵∠ABD=∠DBC，∴△BDF∽△BCD，∴BDBC =BFBD，∴BD2=BC⋅BF，故②正确；∵BE=DE，四边形DEBH是平行四边形，∴四边形DEBH是菱形，故③正确；条件不足，无法证明S△ADF=29S△ABC.故④错误，故选：C．①由题意可证四边形DEBH是平行四边形，可得GH=EG，BG=DG，由三角形中位线定理可得EG//DF，GE=12DF，可得GH=12DF；②通过证明△BDF∽△BCD，可得BDBC =BFBD，可证BD2=BC⋅BF；③由菱形的判定可证四边形EBHD 是菱形；④条件不足，无法证明．本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．9.【答案】54【解析】解：∵x 2=y 4≠0， ∴y =2x ，则3x+y 2y =3x+2x 4x=54． 故答案为：54．直接利用已知得出y =2x ，即可代入化简得出答案．此题主要考查了比例的性质，得出y 与x 之间的关系是解题关键．10.【答案】18【解析】解：根据图表给出的数据可得，摸到白球的频率将会接近0.4，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数是：30×0.4=12(个)，则口袋中黑球有30−12=18(个)．故答案为：18．根据图表给出的数据得出白球的频率，再用总球的个数乘以白球的频率，求出白球的个数，再用总个数减去白球的个数即可得出黑球的个数．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．11.【答案】127【解析】解：∵直线a//b//c，∴DEEF =ABBC=25，∴ABAC =DEDF=22+5，∴AB6=27，解得：AB=127，故答案为：127．平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据平行线分线段成比例解答即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．12.【答案】30%【解析】解：该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，依题意，得：500(1+x)2=845，解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不合题意，舍去)．故答案为：30%．该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，根据该校9月份及11月份借阅图书数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13.【答案】(3√3−3)【解析】解：如图，连接BE，交AC于O，∵△ACE是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴EA=EC，BA=BC，∴BE垂直平分AC，∵四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，∴AB=BC=√6(cm)，∴AC=√2AB=2√3(cm)，∴AE=2√3(cm)，AO=12AC=√3(cm)，∴Rt△AOE中，EO=√AE2−AO2=3(cm)，∴阴影部分面积=S△ACE−S△ACD=12×AC×EO−12×6=12×2√3×3−3=(3√3−3)cm2，故答案为：(3√3−3).连接BE，交AC于O，依据等边三角形和正方形的性质，即可得到AO的长，依据勾股定理即可得到EO的长，最后根据阴影部分面积=S△ACE−S△ACD进行计算．本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理的运用，正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．14.【答案】12【解析】解：观察图象可知，至少要用12张菱形纸片．故答案为：12．利用图象法，画出图形判断即可．本题考查相似多边形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题．15.【答案】解：如图，四边形EFGH即为所求．【解析】过平行四边形的对角线的交点，画两条互相垂直直线EG ，FH ，J 交平行四边形ABCD 的边于E ，G ，F ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ，四边形EFGH 即为所求． 本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：x 2+2x +2=8x +4，x 2+2x −8x =−2+4，x 2−6x =2，配方得：x 2−6x +9=2+9，(x −3)2=11，开方得：x −3=±√11，解得：x 1=3+√11，x 2=3−√11．【解析】移项，合并同类项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．17.【答案】解：8x 2−2x −3=0，b 2−4ac =(−2)2−4×8×(−3)=100，x =−b±√b 2−4ac 2a=2±√1002×8， x 1=34，x 2=−12．【解析】先求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．18.【答案】解：根据题意，得：△=22−4×(k −1)×(−1)>0且k −1≠0， 解得k >0且k ≠1，所以k 的最小整数解为2．【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出△=22−4×(k −1)×(−1)>0，结合一元二次方程的定义知k −1≠0，从而得出答案．本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．19.【答案】解：(1)根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数；(2)∵共有6种等可能的结果数，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种，∴游戏者获胜的概率是36=12．【解析】(1)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可；(2)找出一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】(1)证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB=90°，∠AGD=90°，∴∠BAF+∠B=90°，∠DAG+∠ADG=90°，∵∠BAF=∠DAG，∴∠B=∠ADG，又∵∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△ADE；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵ADAB =25，BC=3，∴25=3BC，∴BC=152．【解析】(1)由直角三角形的性质得出∠B=∠ADG，可证明△ABC∽△ADE；(2)由相似三角形的性质可得出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】解：设这个正方形的边长为x cm，则原长方形的长为(x+5)cm，宽为(x+ 2)cm，依题意，得：(x+5)(x+2)=54，整理，得：x2+7x−44=0，解得：x1=4，x2=−11(不合题意，舍去)．答：这个正方形的边长为4cm．【解析】设这个正方形的边长为xcm，则原长方形的长为(x+5)cm，宽为(x+2)cm，根据原长方形的面积为54cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵CB=CA，∴∠A=∠B，∵∠ACM=∠A+∠B，∴∠A=12∠ACM，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF=12∠ACM，∴∠A=∠ACF，∵E是AC的中点，∴AE=CE，在△ADE与△CFE中，{∠A=∠ECFAE=CE∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE(ASA)，∴AD=CF；(2)解：当∠ACB=90°，四边形ADCF是正方形，理由：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF=12∠ACM=45°，∴∠DAC=∠ACF，∴AD//CF，由(1)知AD=CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵点D是AB的中点，∴AD=CD，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴∠DCF=90°，∴矩形ADCF是正方形．【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据外角的性质定理得到∠A=1 2∠ACM，由角平分线的定义得到∠ACF=12∠ACM，求得∠A=∠ACF，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；(2)由已知条件得到△ACB是等腰直角三角形，求得∠BAC=45°，推出AD//CF，由(1)知AD=CF，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD=CD，求得∠ACD=∠CAD=45°，根据正方形的判定定理得到结论．本题考差了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】280【解析】解：(1)80+5÷0.5×20=280(件)． 故答案为：280．(2)设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为(25−15−x)元，平均每天可售出80+x0.5×20=(40x +80)件，依题意，得：(25−15−x)(40x +80)=1280， 整理，得：x 2−8x +12=0， 解得：x 1=2，x 2=6， ∴25−x =23或19．答：每件商品的定价应为23元或19元．(3)当x =2时，40x +80=160<200，不合题意，舍去； 当x =6时，40x +80=320>200，符合题意， ∴25−x =19．答：商品的销售单价为19元．(1)根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；(2)设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为(25−15−x)元，平均每天可售出80+x 0.5×20=(40x +80)件，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；(3)由(2)的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x 的值，再将其代入(40x +80)中即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)将x 的值代入(40x +80)中，求出平均每天的销售量．24.【答案】(3−√52)2(3−√52)3 (3−√52)n BP 1 BQ 1 y =(√5−12)4a (√5−1)223a +(√5−1)324a +(√5−1)425a +(√5−1)526a πa ⋅[(√5−1)22+(√5−1)322+(√5−1)423+(√5−1)423]【解析】解：【探索发现】：由题意可知：BP 2=(3−√52)2AB ，BP 3=(3−√52)3AB ， 故答案为：(3−√52)2，(3−√52)3．【归纳提炼】：由规律可知：BP n =(3−√52)nAB ． 故答案为：(3−√52)n．【解释应用】：且点P 2为线段P 1B 的黄金分割点，点Q 2为线段BQ 1的黄金分割点， ∵BC =√5−12AB ，BP 1=√5−12BC ，BQ 1=√5−12BP 1，BP 2=√5−12BQ 1，所有矩形相似， ∴BP 2，BQ 2为领边的“黄金矩形”的周长y 与a 的关系式：y =(√5−12)4a. 故答案为：BP 1，BQ 2，y =(√5−12)4a.【拓展延伸】：(1)设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a 1，a 2，a 3，a 4， 设AB =x ，BC =y ，则2x +2y =a ， ∴2x +2⋅√5−12x =a ， ∴x =√5−14a ，y =(√5−1)223a ， ∴a 1+a 2+a 3+a 4=(√5−1)223a +(√5−1)324a +(√5−1)425a +(√5−1)526a.(2)如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”． 请直接写出这条曲线的长度：14⋅π(a 1+a 2+a 3+a 4)=14π⋅[(√5−1)223a +(√5−1)324a +(√5−1)425a +(√5−1)526a]=πa ⋅[(√5−1)22+(√5−1)322+(√5−1)423+(√5−1)423]. 故答案为：πa ⋅[(√5−1)22+(√5−1)322+(√5−1)423+(√5−1)423]. 【探索发现】：根据黄金分割的定义计算即可； 【归纳提炼】：探究规律，利用规律解决问题即可；【解释应用】：根据相似多边形的性质相似比等于周长比，解决问题即可； 【拓展延伸】：(1)分别求出a 1，a 2，a 3，a 4即可解决问题； (2)利用弧长公式计算即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，黄金分割，解直角三角形，相似多边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵AB=6cm，BC=9cm，∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10，∵EQ⊥AC，∴∠EQC=∠B=90°，∵∠ECQ=∠ACB，∴△ECQ∽△ACB，∴EQAB =CQCB=ECAC，∴EQ6=2t8=EC10，∴EQ=32t，EC=52t，∵点E在BQ的垂直平分线上，∴EB=EQ，∴8−52t=32t，∴t=2．(2)如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10−2t，QH=45AQ=45(10−2t)，∵AP=t，∴S△APQ=12⋅AP⋅QH=12⋅t⋅45(10−2t)=−45t2+4t，∴y=S△ABC−S△APQ=12×6×8−(−45t2+4t)=45t2−4t+24(0<t≤165).(3)①如图2−1中，当DC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．∵∠ABC=90°，AJ=JC，∴BJ=AJ=JC=12AC=5，∴∠JBC=∠JCB，∴∠BJH=∠BCJ+∠JCB=2∠JCB，∵E，F关于AC对称，∴∠ACE=∠ACF，CF=CE=52t ∴∠FCE=2∠ACB=∠BJH，∵FK⊥CD，CB⊥CD，∴FK//CB，∴∠CFK=∠FCE=∠BJH，∵BH⊥AC，∴S△ACB=12⋅AB⋅CB=12⋅AC⋅BH，∴BH=AB⋅BCAC =245，∵FD=FC，FK⊥CD，∴CK=KD=3，∵∠BJH=∠CFK，∴sin∠BJH=sin∠CFK，∴BHBJ =CKCF，∴2455=352t，∴t=54，②当CF=CD时，52t=6，∴t=125，综上所述，满足条件的t 的值为54或125．【解析】(1)证明△ECQ∽△ACB ，可得EQAB =CQCB =ECAC ，可得EQ6=2t 8=EC10，推出EQ =32t ，EC =52t ，由题意点E 在BQ 的垂直平分线上，推出EB =EQ ，由此构建方程，求解即可．(2)如图2中，过点Q 作QH ⊥AB 于H ，则AQ =10−2t ，QH =45AQ =45(10−2t)，根据y =S △ABC −S △APQ ，求解即可．(3)分两种情形：①如图2−1中，当DC =DF 时，连接DF ，取AC 的中点J ，连接BJ ，和点B 作BH ⊥AC 于H ，过点F 作FK ⊥CD 于K.证明∠BJH =∠CFK ，可得sin∠BJH =sin∠CFK ，由此构建方程求解．②当CF =CD 时，构建方程，求解即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2020-2021学年河南省南阳市唐河县九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝12．如图，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为（）A．9sin31°米B．9cos31°米C．9tan31°米D．9米3．将方程x2﹣6x+2＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+3）2＝﹣2B．（x﹣3）2＝﹣2C．（x﹣3）2＝7D．（x+3）2＝7 4．在中，最简二次根式的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．6．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）9．如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（）A．（50﹣）x＝900B．（60﹣x）x＝900C．（50﹣x）x＝900D．（40﹣x）x＝90010．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A．B．C．1D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：＝．12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝．13．若（x2+y2）（x2+y2﹣2）＝3，则x2+y2＝．14．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、BC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为．三、解答题（本大题满分75分）16．计算或解方程：（1）+4﹣（6+4）；（2）tan60°+sin45°﹣cos60°；（3）x2﹣4x+3＝0．17．先化简，再求值：÷（﹣a），其中a＝2+，b＝2﹣．18．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积．19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．20．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．21．某公司投资新建了一商场，共有商铺30套．据预测，当每套的年租金定为10万元时，可全部租出．若每套的年租金每增加5000元，则少租出商铺1套．该公司要为租出的商铺每套每年交各种费用1万元，未租出的商铺每套每年交各种费用5000元．（1）当每套商铺的年租金定为13万元时，能租出套；（2）当每套商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为275万元？（收益＝租金﹣各种费用）22．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．23．如图，已知A，B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6），点P，Q同时出发分别做匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒．（1）求t的取值范围；（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，求此时t的值；（3）是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝1【分析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．解：A．＝9，此选项计算错误；B．|﹣2|＝﹣2，此选项错误；C．（﹣）﹣1＝﹣2，此选项正确；D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C．2．如图，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为（）A．9sin31°米B．9cos31°米C．9tan31°米D．9米【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数关系，AC＝AB•sin∠ABC．代入数据即可得出AC 的长度．解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC＝31°，由三角函数关系可知，sin31°＝＝，AC＝AB•sin31°＝9sin31°米，即扶梯高AC的长为9sin31°米，故选：A．3．将方程x2﹣6x+2＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+3）2＝﹣2B．（x﹣3）2＝﹣2C．（x﹣3）2＝7D．（x+3）2＝7【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形后，即可得到结果．解：方程x2﹣6x+2＝0，变形得：x2﹣6x＝﹣2，配方得：x2﹣6x+9＝7，即（x﹣3）2＝7，故选：C．4．在中，最简二次根式的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．解：＝3，＝3，＝，＝，都不是最简二次根式，是最简二次根式，故选：A．5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．解：∵EF∥BC，∴＝，∵EG∥AB，∴＝，∴＝，故选：C．6．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tanα＝＝，∴AF＝b•tanα，∴AB＝AF+BF＝a+b tanα，故选：A．7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，∵BG＝6，∴AD＝BC＝2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，∴＝，解得：OA＝1，∴OB＝3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．9．如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（）A．（50﹣）x＝900B．（60﹣x）x＝900C．（50﹣x）x＝900D．（40﹣x）x＝900【分析】设AD＝xm，则AB＝（60﹣x）m，根据矩形面积公式列出方程．解：设AD＝xm，则AB＝（60﹣x）m，由题意，得（60﹣x）x＝900．故选：B．10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A．B．C．1D．【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH＝MH＝AM＝，再根据角平分线性质得BM＝MH＝，则AB＝2+，于是利用正方形的性质得到AC＝AB＝2+2OC＝AC＝+1，所以CH＝AC﹣AH＝2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．解：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴AH＝MH＝AM＝×2＝，∵CM平分∠ACB，∴BM＝MH＝，∴AB＝2+，∴AC＝AB＝（2+）＝2+2，∴OC＝AC＝+1，CH＝AC﹣AH＝2+2﹣＝2+，∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴＝，即＝，∴ON＝1．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：＝5．【分析】利用绝对值、零指数幂和负整数指数的意义计算．解：原式＝5﹣+2×+3+1﹣4＝5﹣++4﹣4＝5．故答案为5．12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝ 2.4．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．解：∵AC＝2，AE＝5，∴CE＝3，AB∥CD∥EF，∴，即，∴BD＝2.4，故答案为：2.413．若（x2+y2）（x2+y2﹣2）＝3，则x2+y2＝3．【分析】先设x2+y2＝t，则方程即可变形为t（t﹣2）＝3，解方程即可求得t即x2+y2的值．解：设x2+y2＝t（t≥0）．则原方程可化为：t（t﹣2）＝3，即（t﹣3）（t+2）＝0，∴t﹣3＝0或t+2＝0，解得t＝3，或t＝﹣2（不合题意，舍去）；故答案是：3．14．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．【分析】如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、BC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为或．【分析】先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC＝6cm，再根据折叠的性质得到BE＝DE，直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，△ADE恰好为直角三角形，有两种可能：①∠ADE＝90°，②∠AED＝90°，设BE＝x，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3．直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE＝DE设BE＝x，则DE＝x，AE＝10﹣x①当∠ADE＝90°时，则DE∥BC，∴＝∴＝解得：x＝②当∠AED＝90°时，则△AED∽△ACB∴＝∴＝解得：x＝故所求BE的长度为：或．故答案为：或．三、解答题（本大题满分75分）16．计算或解方程：（1）+4﹣（6+4）；（2）tan60°+sin45°﹣cos60°；（3）x2﹣4x+3＝0．【分析】（1）化简二次根式，然后合并二次根式；（2）将特殊锐角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则依次计算即可．（3）利用因式分解法求解即可．【解答】（1）解：原式＝＝；（2）解：原式＝＝3+1﹣＝；（3）解：x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3．17．先化简，再求值：÷（﹣a），其中a＝2+，b＝2﹣．【分析】根据分式的化简求值过程进行计算即可求解．解：当，时，＝．18．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积．【分析】（1）由等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，角的和差得∠BAD ＝∠EDC，两角相等证明△ABD∽△DCE；（2）由相似三角形的性质，一元一次方程，线段的和差求出等边三角形的边长为16，再根据勾股定理计算出AH的长为，面积公式求出△ABC的面积为64．【解答】证明：如图所示：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠BAD+∠ADB＝120°，又∵∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE；（2）过点A作AH⊥BC交BC于点H，∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝4，CE＝3，∴设AB＝4x，则DC＝3x．又∵BD+DC＝AC，∴4+3x＝4x，解得：x＝4，∴AB＝AC＝BC＝16，在Rt△ABH中，由勾股定理得：＝＝，∴＝＝．19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出，由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，解得m＝8．20．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE 是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴AE＝BE•tan22°，即x＝（16+x）×0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m），减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．21．某公司投资新建了一商场，共有商铺30套．据预测，当每套的年租金定为10万元时，可全部租出．若每套的年租金每增加5000元，则少租出商铺1套．该公司要为租出的商铺每套每年交各种费用1万元，未租出的商铺每套每年交各种费用5000元．（1）当每套商铺的年租金定为13万元时，能租出24套；（2）当每套商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为275万元？（收益＝租金﹣各种费用）【分析】（1）利用租出商铺的数量＝30﹣年租金增加的金额÷0.5，即可求出当每套商铺的年租金定为13万元时能租出24套；（2）设每套商铺的年租金为x万元，则能租出（50﹣2x）套，利用收益＝租金﹣各种费用，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出当该公司的年收益为275万元时每套商铺的年租金．解：5000元＝0.5万元．（1）30﹣＝24（套）．故答案为：24．（2）设每套商铺的年租金为x万元，则能租出30﹣＝（50﹣2x）套，依题意得：（x﹣1）（50﹣2x）﹣0.5×[30﹣（50﹣2x）]＝275，整理得：2x2﹣51x+315＝0，解得：x1＝15，x2＝10.5．答：每套商铺的年租金定为10.5 或15万元．22．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2＝BE•BC，求出BC，则可求出AD．（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则DE＝EF，可求出DG，则答案可求出．解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝，∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．23．如图，已知A，B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6），点P，Q同时出发分别做匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒．（1）求t的取值范围；（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，求此时t的值；（3）是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点P在OA上运动和点Q在OB上运动，即可得出结论；（2）如果以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，由于∠POQ＝∠AOB，那么O与O是对应点，所以分两种情况进行讨论：①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，即可求解；（3）分三种情况进行讨论：①OP＝OQ；②PO＝PQ；③QO＝QP．解：由运动知，OQ＝2t，AP＝3t，∵点B（8，6），∴OB＝10，∴0≤2t≤10，∴0≤t≤5，∵A（18，0），∴OA＝18，∴0≤3t≤16，∴0≤t≤6，∴0≤t≤5；（2）设从出发起，运动了t秒钟，以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．∵AP＝3t，OQ＝2t，∴OP＝18﹣3t．分两种情况：如图1，①如果△POQ∽△AOB，那么＝，＝，解得t＝；②如果△POQ∽△BOA，那么＝，＝，解得t＝；故以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似时，t的值为或；（3）△OPQ为等腰三角形时，分三种情况：①如果OP＝OQ，那么18﹣3t＝2t，t＝；②如果PO＝PQ，如图2，过点P作PF⊥OQ于F，则OF＝FQ＝OQ＝•2t＝t．∵在Rt△OPF中，∠OFP＝90°，∴OF＝OP•cos∠POF＝（18﹣3t）•＝（18﹣3t），∴t＝（18﹣3t），解得t＝；③如果QO＝QP，如图3，过点Q作QG⊥OP于G，则OG＝GP＝OP＝•（18﹣3t）＝9﹣t．∵在Rt△OQG中，∠OGQ＝90°，∴OG＝OQ•cos∠QOG＝2t•＝t，∴9﹣t＝t，解得t＝．综上所述，所求t的值为或或．。

2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期中试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. B.3561x x -=-（）2310x y -+=C. D. 2270x x --=213x x=+【答案】C【解析】 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此判断即可．【详解】解：A 、该方程中的未知数x 的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意；B 、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；C 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；D 、该方程不属于整式方程，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这20ax bx c ++=是在做题过程中容易忽视的知识点．2. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】据中心对称图形概念，逐项检验作答．【详解】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有选项B 可以看作是中心对称图形．故选：B ．【点睛】考查中心对称图形，容易题，错误原因是不会区分轴对称图形和中心对称图形．3. 一元二次方程化为一般形式后，，，的2531x x x -=+()200++=≠ax bx c a a b c 值分别是（ ）A. ，，B. ，， 5a =4b =-1c =-5a =4b =1c =C. ，，D. ，，4a =5b =-1c =5a =-4b =1c =-【答案】A【解析】【分析】直接利用移项、合并同类项，即可得出a ，b ，c 的值．【详解】一元二次方程化为一般形式后， 2531x x x -=+20ax bx c ++=，25410x x --=则，，．5a =4b =-1c =-故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．4. 一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为269x +=（），则另一个一元一次方程为（ ）63x +=A. B. C. D. 63x -=-69x +=-69x +=63x +=-【答案】D【解析】【分析】利用直接开平方法求解可得答案．【详解】解：∵，269x +=（）∴x+6=3或x+6=-3，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5. 用配方法解方程时，配方所得的方程为（ ）2640x x ++=A. B. C. D. ()235x +=()234-=x ()2313x +=()265x +=【答案】A【解析】【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．【详解】解：∵，2640x x ++=∴，264x x +=-∴，即．2695x x ++=()235x +=故选：A ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可x 20x px q ++=12x =23x =-化为（ ）A.B. ()()230x x ++=()()230+-=x xC.D. ()()230x x --=()()230x x -+=【答案】D【解析】【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的两根分别为=2，=-3， 20x px q ++=1x 2x ∴2-3=-p，2×（-3）=q ，∴p=1，q=-6，∴原方程为，260x x +-=∴原方程可化为（x-2）（x+3）=0．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．7. 一元二次方程的两个根分别为和，则二次函数 20ax bx c ++=3-1-2y ax bx c =++的对称轴是（ ）A.B. C. D. 2x =-2x =3x =-1x =-【答案】A【解析】【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为−3和−1， 20ax bx c ＋＋＝∴ ＝−4． 12b x x a-＋＝∴二次函数的对称轴为x ＝−＝． 2y ax bx c =++2b a ()114222b a ⎛⎫⨯-=⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A ．【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．8. 若点，，都在二次函数的图象上，则，1(3,)A y -()2B 2,y -()32,C y 223y x x =--1y ，的大小关系是（ ）2y 3y A. B. C. D. 123y y y <<213y y y <<321y y y <<312y y y <<【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x ＜1时，y 随x 的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：∵，()222314y x x x =--=--∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，C （2，）关于直线x=1的对称点是（0，），3y 3y ∵-3＜-2＜0＜1，∴＜＜，3y 2y 1y 故选：C ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）A. x （x+1）=28B.12(1)28x x -=C.D. x （x-1）=28 (1)28x x +=12【答案】D【解析】 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设比赛组织者应邀请x 个队参赛， 根据题意得：x （x-1）=4×7， 12即x （x-1）=28． 12故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．10. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处．那么旋转的角度等于（ ）A. 55°B. 60°C. 65°D. 80°【答案】B【解析】 【详解】试题分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB 1是等边三角形，即可得出旋转角度．解：∵在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，∴AB 1=BC ，BB 1=B 1C ，AB=AB 1，12∴BB 1=AB=AB 1，∴△ABB 1是等边三角形，∴∠BAB 1=60°，∴旋转的角度等于60°．故选B ．11. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A.B. C. D. 8101214【答案】B【解析】【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x （x+1）人，依题意列方程：1+x+x （1+x ）=121，解方程即可求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，依题意得1+x+x （1+x ）=121，即，2(1)121x +=解方程得=10，=-12（舍去）．1x 2x 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1．E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为，则S 关于的函数图象大致是（ ）x xA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件可知，设为，则，AEH BFE CGF DHG △≌△≌△≌△AE x 1AH x =-根据勾股定理，进而可求出函数解析式，由此可求出答22222(1)EH AE AH x x =+=+-案．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，∴，，AB BC CD DA ===90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒又∵，AE BF CG DH ===∴，BE CF DG AH ===（SAS ）．AEH BFE CGF DHG ∴△≌△≌△≌△设为，则，AE x 1AH x =-根据勾股定理，得，22222(1)EH AE AH x x =+=+-即22(1)s x x =+-2221x x =-+22()1x x =-+ 2112(144x x =-+-+， 2112()22x =-+所求函数图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线． ∴12x =由题意可知自变量的取值范围是．01x <<故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断二次函数的自变量取值范围，开口方向及对称轴．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 在平面直角坐标系中，为原点，将点绕点逆时针旋转得点，则点O ()2,0A O 90︒A 'A '的坐标为_____． 【答案】02（，）【解析】【分析】利用图象法，画出图形解决问题即可．【详解】解：如图，观察图象可知，A′（0，2）．故答案为：（0，2）．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．14. 二次函数的最大值为_______．22y x x =-+【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的性质直接求解即可．【详解】解：22y x x =-+∵a=-1＜0∴当时有最大值 2=--12-2b x a ==即：2=-1211y +⨯=故答案为：1．【点睛】本题考查二次函数的最值，根据抛物线的开口方向，在时，函数有最值． =-2b x a 15. 若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的2610x x -+=()20x p q ++=p q +值为______．【答案】11-【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得出p 、q 的值，据此可得答案．【详解】解：∵-6x+1=0，2x ∴-6x=-1，2x ∴-6x+9=-1+9，即，2x ()()2380x +-+-=⎡⎤⎣⎦∴p=-3，q=-8，则p+q=-3-8=-11，故答案为：-11．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16. 若，则关于的方程的实数根的个数为_______．2k ≥x 22210x k x k k -+-+=【答案】2【解析】【分析】计算根的判别式，根据k 的取值范围，得到判别式的取值范围，即可得到结论．【详解】解：∵，22210x k x k k -+-+=∴△= 22(2)4(1)k k k ---+=，4(1)k -因为，2k ≥所以，4(1)0k -＞故方程有两个不相等的实数根，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．17. 某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，则2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为______【答案】10%【解析】【分析】设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，根据题意列一元二次方程，x 解方程可得答案．【详解】解：设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为，则x()220000124200,x +=()21 1.21,x ∴+=或 1 1.1x ∴+=1 1.1,x +=-1210%, 2.1,x x ∴==-经检验：不合题意，舍去，2 2.1x =-答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.故答案为：10%.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题，掌握一元二次方程的增长率问题的解答是求解的关键．18. 若抛物线（为常数）与轴的两个交点都在轴的正半轴上，则的取2y x x k =--k x x k 值范围是______．【答案】## 104-<<k 0.250k -<<【解析】【分析】根据题意可得：抛物线与y 轴交于正半轴，从而 且()()2140k ∆=--⨯-> ，即可求解．0k ->【详解】解：设x 1，x 2是抛物线和x 轴的交点横坐标，∵抛物线y ＝x 2﹣x﹣k 与x 轴的两个交点都在x 轴正半轴上，∴ 且 ，()()2140k ∆=--⨯->12·0x x k =->解得：． 104-<<k 故答案为：． 104-<<k 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和图象，熟练掌握二次函数的性质和图象，运用数形结合思想是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． ABC ()50A ，()32B -，()13C --，（1）请在图中作出关于原点对称的，并写出各顶点的坐标；ABC A B C '''V A B C '''V （2）求的面积．A B C '''V S 【答案】（1）见解析 （2）的面积A B C '''V 8S =【解析】【分析】（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点A′，点B′，点C′的坐标，然后描出点A′，点B′，点C′，最后顺次连接点A′，点B′，点C′即可；（2）根据△A′B′C′的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个小三角形面积求解即可．【小问1详解】关于原点对称的图形如图所示．ABC点A 的对称点的坐标为； A '()50-，点的对称点的坐标为； B B '()32-，点的对称点的坐标为． C C '()13，【小问2详解】解：由题意可得： 11185256382222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯．18=【点睛】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．20. 解下列关于的方程．x （1）；()2130x --=（2）．23620x x --=【答案】（1），11x =-21x =（2）， 1x =2x =【解析】【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；（2）利用公式法求解即可．【小问1详解】解：移项，得． 213x -=（）开方得：，1-=x解得，11x =-21x =【小问2详解】解：∵23620x x --=∴，，．3a =6b =-2c =-∴．()()2246432600b ac ∆=-=--⨯⨯-=>∴方程有两个不等的实数根∴ x =解得，． 1x =2x =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．21. 已知关于的一元二次方程（为常数）．x 220x x m ++=m（1）若是该方程的一个实数根，求的值；1x =m （2）当时，求该方程的实数根；6m =-（3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．m 【答案】（1）3m =-（2）， 132x =22x =-（3）的取值范围是 m 18m <【解析】 【分析】（1）代入x=1可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值；（2）代入m=-6，利用因式分解法解一元二次方程，即可得出方程的实数根；（3）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．【小问1详解】解：将x=1代入原方程，得：2+1+m=0，解得：m=-3，∴m 的值为-3；【小问2详解】解：当m=-6时，原方程为，2260x x +-=∴（2x-3）（x+2）=0，解得：=，=-2， 1x 322x ∴该方程得实数根为=，=-2； 1x 322x 【小问3详解】解：∵该方程有两个不相等的实数根，∴，21420m ∆=-⨯⨯>∴m＜， 18∴m 的取值范围为m ＜． 18【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）代入x=1求出m 值；（2）代入m 的值，解一元二次方程；（3）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．22. 已知二次函数的图象为抛物线．243y x x =-+C （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；C （2）当时，求该二次函数的函数值的取值范围；23x -≤≤y （3）将抛物线先向左平移个单位长度，得到抛物线；再将抛物线向上平移个单C 11C 1C 2位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线，对应的函数解析式．2C 1C 2C 【答案】（1）抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为C C 2x =()2,1-（2）函数值的取值范围是y 115y -≤≤（3）抛物线对应的函数解析式为；抛物线对应的函数解析式为1C 22y x x =-2C ．222y x x -=+【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质进行解题即可；（2）根据二次函数的增减性进行解题即可；（3）根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减进行解题即可．【小问1详解】解：∵，=10a >∴抛物线的开口向上．C ∵，224321y x x x =-+=--（）∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．C 2x =21-（，）【小问2详解】解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 22x -≤≤y x 23x ≤≤y x ∵当时，；当时，，x=2时，y=-1，2x =-15y =3x =0y =∴函数值的取值范围是：．y 115y -≤≤【小问3详解】解：∵抛物线向左平移个单位长度：，1222+11=2y x x x =---（）∴抛物线对应的函数解析式为；1C 22y x x =-∵再向上平移两个单位：222y x x -=+∴抛物线对应的函数解析式为．2C 222y x x -=+【点睛】本题考查二次函数的性质和平移．熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．23. 一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个30A ∠=︒90C ∠=︒12AB =矩形CDEF ，其中，点D ，E ，F ，分别在AC ，AB ，BC 上．设AE 的长为x ，矩形CDEF 的面积为S ．（1）写出S 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当矩形CDEF 的面积为AE 的长；（3）当AE 的长为多少时，矩形CDEF 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1） ()2012CDEF S x x =+<<矩形（2）AE 的长为4或8（3）当点E 为AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大，最大面积是【解析】【分析】（1）先确定，再由矩形的性质得到，根据含30°角直角012x <<90AFE ∠=︒三角形的性质解得，，接着由勾股定理得到12EF AE =162BC AB ==，最后根据矩形的面AC ==CF AC AF AE =-=积公式解答即可；（2）由矩形CDEF 的面积为，再)26x -+=利用直接开平方解题；（3）利用配方法得到，据此解答． )26CDEF S x =-+矩形【小问1详解】解：解：∵，，点E 与点A 点B 均不重合，12AB =AE x =∴，012x <<∵四边形CDEF 是矩形，∴，90AFE ∠=︒∵，30A ∠=︒∴， 12EF AE =在中，，，，Rt ABC △90C ∠=︒30A ∠=︒12AB =∴， 162BC AB ==根据勾股定理得：AC ==∴， CF AC AF AE =-=∴； ()210122CDEF S CF EF x x x x ⎛⎫=⋅==+<< ⎪ ⎪⎝⎭矩形【小问2详解】根据题意得，2CDEF S x =+=矩形2(6)36x ⎡⎤--=⎣⎦， )26x -+=()264x -=62x ∴-=±解得：，，14x =28x =∴AE 的长为4或8； 【小问3详解】∵ ()2012CDEF S x =+<<矩形212)x x =-2221266)x x =-+-2(6)36x ⎤=--⎦， )26x =-+∴当时，矩形CDEF 的面积最大，6x =即当点E 为AB 的中点时，矩形CDEF 的面积最大，最大面积是．【点睛】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，涉及解一元二次方程、求二次函数的最值、矩形的性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．24. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点Rt ABC △90ACB ∠=︒ABC C DEC 的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．B E A D AB DE BC F BE（1）求证：平分；DC ADE ∠（2）试判断与的位置关系，并说明理由；BE AB （3）若， 求的大小（直接写出结果即可）．BE BD =ABC ∠【答案】（1）见解析 （2），理由见解析BE AB ⊥（3）的大小为ABC ∠22.5︒【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可；（2）结论：AB⊥BE．证明∠DBE+∠DCE=180°，即可解决问题；（3）连接AF ．过点B 作BH⊥CD 交CD 的延长线于H ，作BT⊥CE 于T ，证明△BHD≌△BTE，推出CB 是∠DCE 的角平分线，得到∠ACD=45°，据此求解即可解决问题．【小问1详解】证明：∵△DCE 是由△ACB 旋转得到，∴CA=CD，∠A=∠CDE，∴∠A=∠CDA，∴∠CDA=∠CDE，∴CD 平分∠ADE；【小问2详解】解：结论：BE⊥AB．由旋转的性质可知，∠ACD=∠BCE，∵CA=CD，CB=CE ，∴∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB，∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB=180°，∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE=180°，∴∠DCE+∠DBE=180°，∵∠DCE=90°，∴∠DBE=90°，∴BE⊥AB；【小问3详解】解：如图，连接AF ，过点B 作BH⊥CD 交CD 的延长线于H ，作BT⊥CE 于T ，∵∠H=∠BTC=∠HCT=90°，∴∠HBT=∠DBE=90°，∴∠DBH=∠EBT，∵BD=BE，∠H=∠BTE=90°，∴△BHD≌△BTE（AAS ），∴BH=BT，∵BH⊥CH，BT⊥CE，∴CB 是∠DCE 的角平分线， ∴∠DCB=∠ECB=∠DCE=45°，12∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠FCD=45°，∵AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC==67.5°， 180452︒-︒∴∠ABC=90°-∠CAD=22.5°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△BHD≌△BTE．25. 已知抛物线（为常数，）交轴于点，点，26y ax bx =++a 0a ≠x ()6,0A ()1,0B -交轴于点．y C （1）求点的坐标和抛物线的解析式；C （2）是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴平行线，交直线于点，P AC P y ACD 当取得最大值时，求点的坐标；PD P（3）是抛物线的对称轴上一点，为抛物线上一点；当直线垂直平分的M l N AC AMN 边时，求点的坐标．MN N【答案】（1）y ＝−x 2＋5x ＋6，C （0，6）；（2）P （3，12）；（3）（）或72） 72【解析】【分析】（1）当x ＝0时，y ＝6，可求点C 坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）先求出直线AC 的解析式，再设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），知P （t ，−t 2＋5t ＋6），从而得PD ＝−（t −3）2＋9，据此可得答案；（3）先判断出NF∥x 轴，进而求出点N 的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线经过点A （6，0），B （−1，0）， 26y ax bx =++∴， 6036660a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴， 15a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y ＝−x 2＋5x ＋6，当x ＝0时，y ＝6，∴点C （0，6）；（2）如图（1），∵A（6，0），C （0，6），∴直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6，设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），则P （t ，−t 2＋5t ＋6），∴PD＝−t 2＋5t ＋6−（−t ＋6）＝−t 2＋6t ＝−（t −3）2＋9，当t ＝3时，PD 最大，此时，−t 2＋5t ＋6＝12，∴P（3，12）；（3）如图（2），设直线AC 与抛物线的对称轴l 的交点为F ，连接NF ，∵点F 在线段MN 的垂直平分线AC 上，∴FM＝FN ，∠NFC＝∠MFC，∵l∥y 轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，∴NF∥x 轴，由（2）知，直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6，由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x= 52当x ＝时，y ＝， 5272∴F（，）， 5252∴点N 的纵坐标为， 72设N 的坐标为（m ，−m 2＋5m ＋6），∴−m 2＋5m ＋6＝， 72或m∴点N ，，）． 7272【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD ＝PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．。

2020-2021学年天津市九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在平面直角坐标系中，点P(4,−2)关于原点对称的点的坐标是()A. (−4,2)B. (4,2)C. (−2,4)D. (−4,−2)2.已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为()A. a>0，b>0B. a<0，b>0C. a>0，b<0D. a<0，b<03.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D.4.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B的度数是()A. 15°B. 40°C. 75°D. 35°5.在抛物线y=2x2−3x+1上的点是()A. (0,−1)B. (0,1)C. (−1,5)D. (3,4)6.二次函数y=2(x−1)(x−2)的图象与y轴的交点坐标是()A. (0,1)B. (0,2)C. (0,4)D. (0,−4)7.一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长是()A. 10mB. 12mC. 13mD. 14m8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BOD的度数为()A. 70°B. 90°C. 110°D. 140°9.抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.等边△ABC如图放置，A(1,1)，B(3,1)，等边三角形的中心是点D，若将点D绕点A旋转90°后得到点D′，则D′的坐标()A. (1+√33,0)B. (1−√33,0)或(1+√33,2)C. (1+√33,0)或(1−√33,2)D. (2+√33,0)或(2−√33,0)11.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是()A. AC=ADB. AB⊥EBC. BC=DED. ∠A=∠EBC12.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标为(1,n)，与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间(包含端点)，下列结论：①当x>3时，y<0；②−1≤a≤−2；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其3中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.方程x2−1=0的根为______ ．14.周长为10cm的长方形的一边长为xcm，其面积y(cm2)与x(cm)之间的关系式为______．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC=_________．16.已知圆O的半径长为6，若弦AB=6√3，则弦AB所对的圆心角等于______ ．17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△ADE可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，点D与点B是对应点，点E与点C是对应点)，连接CE，则∠CED的度数是______．18.如图，线段AB的长为6，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作两个等边三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE的最小值是_____________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.已知二次函数y=x2+bx−3(b是常数)(1)若抛物线经过点A(−1,0)，求该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)P(m,n)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在该抛物线上时，求m的值；(3)在−1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是−6，求b的值．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20.在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象，并标出对称轴和顶点坐标(1)y=12(x+2)2−2(2)y=12(x−1)2+221.在方格纸中画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°后的△A′BC′．22.如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF，求证：(1)△OEF是等腰三角形．(2)AC⏜=BD⏜．23.某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出的小分支是多少？24.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE。

九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。

2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选中只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）方程（x﹣1）（x+3）＝0的解是（）A．x＝1B．x＝﹣3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1 2．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．（3分）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16）B．（﹣1，﹣16）C．（﹣3，﹣8）D．（3，24）5．（3分）如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC 交圆O于点D，则CD的最大值为（）A．2B．2C．D．6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（）A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C．D．OD＝DE 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．（3分）如图，若△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C1重合，则∠AB1B＝（）A．50°B．55°C．60°D．65°9．（3分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝11010．（3分）关于二次函数y＝2x2+x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣11．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），c（5，y3）在二次函数y＝﹣3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.13．（3分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．14．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣6x+11化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果为．15．（3分）如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转°．16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是．17．（3分）已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为．18．（3分）当m﹣2≤x≤m时，函数y＝x2﹣4x+4的最小值为4，则m的值为．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2+2x﹣1＝0．20．（8分）已知，关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．（Ⅰ）若x＝1是方程的一个根，求k的值及方程的另一根；（Ⅱ）若k为任意实数，判断此时方程的根情况．21．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是．（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是．22．（10分）大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元（x为非负整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？这时每件商品的利润率是多少？23．（10分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．24．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，点B，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若在x轴上方有一点P（m，n），连接P A后满足∠P AB＝∠CAB，记△PBC的面积为S，求S与m的函数关系．25．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（Ⅰ）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G，求证：AG＝GF；（Ⅱ）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB），连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选中只有一项是符合题目要求的。

2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（1，﹣2）3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，则∠BCD等于（）A．16°B．24°C．34°D．46°（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（）4．A．2018 B．2019 C．2020 D．20225．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．07．（3分）如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，垂足为P，CP：PO＝1：2（）A．B．C．16 D．88．（3分）函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠ABC＝90°，OA＝21B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣3，0）10．（3分）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m二、填空题（每题3分，共15分）（3分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为．11．12．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为．13．（3分）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，根据题意，可列方程为．14．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，则的长度为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°），当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（x﹣3）2＝2x﹣617．（9分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．18．（9分）如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB交半圆O于点C，连接BC小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，请补充完整．对于动点P 在AB 上的不同位置，画图，测量，CP ，PD 的长度的几组值位置长度 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10AP /cm 0.37 0.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51CP /cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65PD /cm1.40 1.962.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.39 0.89 0.48 在AP ，CP ，PD 的长度这三个量中，CP 的长度和PD 的长度都是这个自变量的函数．（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，分别画出CP ，PD 的长度关于AP 的长度的函数图象．（2）结合函数图象，解决问题：当CP ＝2PD 时，AP 的长度约为 cm ．（精确到0.1cm ）19．（9分）地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售（个）与每个降价x （元）（0＜x ＜20）之间满足一次函数关系（1）求y 与x 之间的函数解析式．（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？20．（9分）如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，BC 为⊙O 的直径（不与端点重合），作DG ⊥BC ，分别交AC 和⊙O 于点E ，F ，已知AG ＝EG ．（1）求证：AG 为⊙O 的切线．（2）已知AG ＝2，填空：①当∠AEG ＝ 时，四边形ABOF 为菱形；②若OC ＝2DC ，当AB ＝ 时，△AGE 为等腰直角三角形．21．（10分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）求方程x3＝6x2+16x的解．拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．22．（10分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，∠ACD＝90°，CA＝CD，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为，位置关系为；拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，若AB＝5，AC＝323．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点（﹣4，0），AO＝2BO．（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（1，﹣2）【解答】解：∵抛物线为y＝﹣2（x﹣1）7+1，∴顶点坐标（1，7）．故选：C．3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，则∠BCD等于（）A．16°B．24°C．34°D．46°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝56°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，∴∠BCD＝∠A＝34°，故选：C．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（）4．A．2018 B．2019 C．2020 D．2022【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+4b＝0得1+a+5b＝0，∴a+2b＝﹣3，∴2020﹣2a﹣4b＝2020﹣7（a+2b）＝2020﹣2×（﹣4）＝2022．故选：D．5．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：连接OA、OB∵∠AOB＝＝60°，∴∠APC＝∠AOC＝30°，故选：B．6．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．0【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣k＝6有实数根，∴Δ＝4+4k≥7，解得：k≥﹣1．故选：D．7．（3分）如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，垂足为P，CP：PO＝1：2（）A．B．C．16 D．8【解答】解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AP＝BP，∵CD＝12，∴OC＝6，∵CP：PO＝1：3，，∴OP＝4，在Rt△OAP中，AP＝，∴AB＝2AP＝4．故选：A．8．（3分）函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠6）的图象经过第一、三，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠2）的图象经过第一、二，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知C正确．故选：C．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠ABC＝90°，OA＝21B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣3，0）【解答】解：连接AC交OB于E．由题意，OA＝OC＝2，∠ABC＝90°，∵四边形AOCB关于x轴对称，∴∠AOE＝30°，∠ABE＝45°，∴OE＝OA•cos30°＝．AE＝EB＝OA•sin30°＝2，∴B（+1，B6（0，+3），B2（﹣﹣8，B3（0，﹣﹣1），观察图象可知，4次一个循环，∵2021÷4＝505…1，∴B2021的坐标与B1相同，故选：A．10．（3分）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m【解答】解：如图，由题意建立坐标系，0.5），8）．设抛物线的解析式为y＝ax2+c，代入得，，∴抛物线的解析式为．当x＝0.4时，y＝0.48，当x＝0.7时，y＝0.32．∴B1C2+B2C2+B4C3+B4C2＝2×（0.48+5.32）＝1.6m，故选：B．二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为x＝﹣．【解答】解：把x＝代入方程得：c＝3，方程为x2﹣3＝0，即x2＝3，开方得：x＝或x＝﹣，则另一根为x＝﹣．故答案为：x＝﹣．12．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为 2 ．【解答】解：把抛物线y＝（x﹣3）2﹣4向右平移1个单位长度后得到y＝（x﹣3﹣3）2﹣2，即y＝（x﹣6）2﹣2．∵经过A（2，m），∴m＝（2﹣4）2﹣2＝2，解得：m＝8．故答案是：2．13．（3分）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，根据题意，可列方程为x（x﹣1）＝45 ．【解答】解：设参加比赛的球队有x支，依题意得：x（x﹣6）＝45．故答案为：x（x﹣4）＝45．14．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，则的长度为．【解答】解：如图，设直线y＝﹣x+2交坐标轴于点C、D，当x＝0时，y＝2，x＝2，∴点C的坐标为（0，2），0），∴CD＝2，∵S△COD＝CD•OE＝，∴OE＝，∵△OAB是等边三角形，∴OA＝＝＝，∴的长度为：＝．故答案为：．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°），当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为40°或100°．【解答】解：当BC＝BP时，如图1．∵∠ACB＝90°，O为斜边AB的中点，∴CO＝OA＝OP＝OB，∴△COB≌△POB，∴∠ABP＝∠ABC＝20°，∴θ＝2×20°＝40°；当BC＝PC时，如图8，∴∠P＝∠ABC＝∠OCB＝∠OCP＝20°，∴∠COP＝∠COB＝140°，∴θ＝140°﹣40°＝100°．故答案为：40°或100°．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（x﹣3）2＝2x﹣6 【解答】解：∵（x﹣3）2＝4（x﹣3），∴（x﹣3）6﹣2（x﹣3）＝8，则（x﹣3）（x﹣5）＝6，∴x﹣3＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝2，x2＝5．17．（9分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作；A1（1，6），B1（2，6）；（2）如图，△A2B2C2为所作．（3）如图，△A3B3C4为所作．18．（9分）如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB交半圆O于点C，连接BC小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，请补充完整．对于动点P 在AB 上的不同位置，画图，测量，CP ，PD 的长度的几组值位置长度 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10AP /cm 0.37 0.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51CP /cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65PD /cm1.40 1.962.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.39 0.89 0.48 在AP ，CP ，PD 的长度这三个量中，CP 的长度和PD 的长度都是这个自变量的函数．（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，分别画出CP ，PD 的长度关于AP 的长度的函数图象．（2）结合函数图象，解决问题：当CP ＝2PD 时，AP 的长度约为 4.50 cm ．（精确到0.1cm ）【解答】解：（1）作函数图象如下：（2）由图象可推断：当CP ＝2PD 时，线段AP 的长度约为4.50．故答案为：3.50．19．（9分）地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售（个）与每个降价x （元）（0＜x ＜20）之间满足一次函数关系（1）求y 与x 之间的函数解析式．（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，当x＝1时，y＝110，y＝140，∴解得∴y与x之间的函数解析式为y＝10x+100（8＜x＜20）．（2）设该玩具每个降价x元时，小王获利最大．根据题意得w＝（60﹣40﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+100x+2000，∴w＝﹣10（x﹣5）6+2250，故该玩具每个降价5元时，小王获利最大．20．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC和⊙O于点E，F，已知AG＝EG．（1）求证：AG为⊙O的切线．（2）已知AG＝2，填空：①当∠AEG＝60°时，四边形ABOF为菱形；②若OC＝2DC，当AB＝4时，△AGE为等腰直角三角形．【解答】（1）证明：如图，连接OA，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠GDC＝90°，∴∠ACO+∠DEC＝90°，∵∠DEC＝∠GEA，∴∠GEA+∠ACO＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO+∠GAE＝90°，即∠GAO＝90°，∵OA为半径，∴OA⊥AG，∴AG为⊙O的切线；（2）解：①如图，连接OA，AF，∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为：60°；②如图，连接OA，∵△AGE是等腰直角三角形，∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，∵OB＝OC，∴AO⊥OC，∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，∴四边形AODG是矩形，∴AG＝OD＝2，∴OC＝2OD＝5，∴BC＝2OC＝8，∴AB＝AC＝6，故答案为：4．21．（10分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ 3 ，x3＝﹣1 ．（2）求方程x3＝6x2+16x的解．拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+5）＝0．∴x﹣3＝8或x+1＝0．∴x＝5或x＝﹣1．故答案为：3，﹣6；（2）方程x3＝6x3+16x，可化为x3﹣6x2﹣16x＝0，∴x（x2﹣6x﹣16）＝0，∴x（x+2）（x﹣7）＝0．∴x＝0或x+4＝0或x﹣8＝2，∴x1＝0，x4＝﹣2，x3＝2．（3），方程两边平方2，即x6+2x﹣15＝0，∴（x+5）（x﹣3）＝0，∴x+3＝0或x﹣3＝7，∴x1＝﹣5，x5＝3．当x＝﹣5时，＝＝5≠﹣5，故﹣4不是原方程的解，舍去；当x＝3时，＝＝3．∴x＝3是原方程的解．22．（10分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，∠ACD＝90°，CA＝CD，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为AE＝BD，位置关系为AE⊥BD；拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，若AB＝5，AC＝3【解答】解：（1）如图1，延长BD交AE于H，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，∵∠CDB＝∠HDE，∴∠EHD＝∠DCB＝90°，即AE⊥BD，故答案为：AE＝BD；AE⊥BD；（2）AE与BD之间的关系仍然成立，理由如下：如图2，设BD，∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，∵∠FPE＝∠CPB，∴∠EFP＝∠PCB＝90°，即AE⊥BD；（3）如图5，连接BD，由（2）的方法可得：△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，在Rt△ACD中，AC＝CD＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，当点A在BD上时，BD最大，∴线段AE的最大值为5+3．23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点（﹣4，0），AO＝2BO．（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，0），∴点B的坐标为（4，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣4），且过点C（0，∴﹣8a＝﹣7，解得，∴抛物线的解析式为，即；（2）存在，理由如下：如图1，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣6，0）代入y＝kx﹣3，得，∴直线AC的解析式为，设点D的坐标为（m，m2+m﹣3），﹣m﹣3），∴，∵，∴当m＝﹣2时，DE有最大值，∴点E的坐标为（﹣2，﹣）；（3）如图2，以线段AC为直径作⊙M，Q两点，MQ，垂足为N，∵点A的坐标为（﹣6，0），﹣3），∴AC中点M的坐标为（﹣8，﹣），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣8，∴MN＝﹣1﹣（﹣2）＝6，由勾股定理得AC＝5，∴，在Rt△MNP中，，MN＝1，∴，∵点N的坐标为（﹣8，﹣）；∴点P的坐标为（﹣6，﹣+），点Q的坐标为（﹣1，﹣﹣），由圆周角定理知∠OPC＝∠OQC＝∠OAC，故点P的坐标为（﹣1，﹣﹣）或（﹣4，﹣+）．。

2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）1．（2分）若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞02．（2分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE 与△ABC相似的条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．D．4．（2分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．（2分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是136．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．07．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或49．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根10．（2分）下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．11．（2分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+12．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）13．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为．15．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为．16．（3分）如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为17．（3分）方程（x+1）2＝9的根是．18．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．19．（3分）如图，EF是△ABC纸片的中位线，将△AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D处，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为．20．（3分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°+cos230°＝；sin245°+cos245°＝；sin260°+cos260°＝；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝．三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）21．（8分）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？22．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10093.5100%70%10080分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100频数05253040请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．23．（10分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．24．（12分）如图，BE、CD是△ABC的高，连接DE．（1）求证：AE•AC＝AB•AD；（2）若∠BAC＝120°，点M为BC的中点，求证：DE＝DM．25．（12分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）1．（2分）若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞0【解答】解：∵函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2，故选：A．2．（2分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE 与△ABC相似的条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．D．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；C、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；D、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．故选：C．4．（2分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，故选：A．5．（2分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D 符合题意；＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；故选：D．6．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．0【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．7．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或4【解答】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．9．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．10．（2分）下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选：B．11．（2分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tanα＝＝，∴AF＝b•tanα，∴AB＝AF+BF＝a+b tanα，故选：A．12．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）13．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．14．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为2．【解答】解：根据题意得△OAB的面积＝×|4|＝2．故答案为：2．15．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．【解答】解：根据题意得：2000×＝1100（人），答：其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．故答案为：1100人．16．（3分）如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为m【解答】解：在Rt△ABC中，cos A＝，∴AB＝＝，故答案为：m．17．（3分）方程（x+1）2＝9的根是x1＝2，x2＝﹣4．【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．18．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是1．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．19．（3分）如图，EF是△ABC纸片的中位线，将△AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D处，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为14．【解答】解：∵EF是△ABC纸片的中位线，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2，∴，∴S＝28，△ABC∵将△AEF沿EF所在的直线折叠，∴S＝S△DEF＝7，△AEF∴阴影部分的面积为＝28﹣7﹣7＝14，故答案为14．20．（3分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°+cos230°＝1；sin245°+cos245°＝1；sin260°+cos260°＝1；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝1．【解答】解：sin230°+cos230°＝（）2+（）2＝+＝1，sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝+＝1，sin260°+cos260°＝＝（）2+（）2＝+＝1，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴sin A＝，cos A＝，a2+b2＝c2，∴sin2A+cos2A＝＝（）2+（）2＝＝＝1，故答案为：1，1，1，1；三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）21．（8分）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？【解答】解：设应多种x棵桃树，则由题意可得：（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）整理，得：x2﹣400x+7600＝0，即（x﹣20）（x﹣380）＝0，解得：x1＝20，x2＝380因为所种桃树要少于原有桃树，所以x＝380不符合题意，应舍去，取x＝20，答：应多种20棵桃树．22．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是方案三．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10093.5100%70%10080分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100频数05253040请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析，是最符合题意的．故答案为：方案三；（2）①样本100人中，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在90≤x＜95，因此中位数在90≤x＜95组中；②由题意得，1200×70%＝840（人），答：该校1200名学生中达到“优秀”的有840人．23．（10分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．【解答】解：（1）把A（1，3）代入y2＝得n＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为y2＝，把B（3，m）代入y2＝得3m＝3，解得m＝1，则B（3，1），把A（1，3），B（3，1）代入y1＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y1＝﹣x+4；（2）当0＜x＜1或x＞3时，y1＜y2；（3）设P（t，0），∵△OAP的面积为6，∴×|t|×3＝6，解得t＝4或﹣4，∴P点坐标为（﹣4，0）或（4，0）．24．（12分）如图，BE、CD是△ABC的高，连接DE．（1）求证：AE•AC＝AB•AD；（2）若∠BAC＝120°，点M为BC的中点，求证：DE＝DM．【解答】证明：（1）∵BE、CD是△ABC的高，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，而∠EAB＝∠DAC，∴△AEB∽△ADC，∴AB：AC＝AE：AD，∴AE•AC＝AB•AD；（2）连接ME，如图，∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＝60°，∴∠EBA＝30°，∵点M为BC的中点，∴MB＝ME＝MD＝MC，∴点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，∴∠DME＝2∠EBD＝2×30°＝60°，∴△MED为等边三角形，∴DE＝DM．25．（12分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴≈0.40，∴CD≈2，∴AD＝CD＝2，∴BD≈7﹣2≈5，∴AC＝2≈2.82，BC＝≈≈5.41，∴AC+BC≈2.82+5.41≈8.2（km）．答：新建管道的总长度约为8.2km．。

江苏省常州市武进区2020～2021学年度九年级上学期期中考试数学试题一、选择题（每小题2分，共16分）1．下列各图形中，是轴对称图形的是 --------------------------------------------------------- 【 】A ．B ．C ．D ．2．下列将一元二次方程5)3()2(=-+x x 化成一般形式正确的是 ---------------------- 【 】 A ．2110x x +-= B ．2110x x --=C ．260x x --=D ．260x x +-=3．下列一元二次方程有两个异号的实数根的是 --------------------------------------------- 【 】 A ．2310x x --= B ．212202x x -+=C ．2440x x -+=D ．2102x x -+-= 4．已知⊙O 的半径为6cm ，OP ＝7cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 ---------------- 【 】A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．无法确定5．正九边形的每个内角的度数为 ---------------------------------------------------------------- 【 】A ．40B ．80C ．120D ．1406．某电动自行车厂四月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，六月份的产量提高到1210辆，则该厂五、六月份的月平均增长率为 ----------------------------------------- 【 】A ．10%B ．11%C ．12.1%D ．21%7．已知关于x 的方程290x kx -+=可以配方成2()0x m -=的形式，则k 的值为 - 【 】 A ．3B ．6C ．6-D ．6±8． 如图，60MPN ∠=︒，点O 是∠MPN 的角平分线上的一点，半径为4的⊙O 经过点P ，将⊙O 向左平移，当⊙O 与射线PM 相切时，⊙O 平移的距离是 ------------------------------------------------------ 【 】A ．2B ．334C ．323D ．32 2020.11OPNM二、填空题（每小题2分，共20分） 9．一元二次方程22=x 的根是 .10．已知1-=x 是方程032=-+mx x 的一个根，则m 的值为 . 11．圆锥的高为3cm ，底面半径为2cm ，则圆锥的侧面积是 2cm ． 12．当x= 时，代数式(1)(5)x x +-与31)(1)x x -+（的值相等． 13．四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A ∶∠C ＝4∶1，则∠A ＝ °． 14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则其外接圆的直径为 ．15．一个两位数等于它的两个数字的积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2，设个位上的数字为x ，根据题意，可以列出方程 ．16．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是AB 两侧⊙O 上的点，若∠CAB ＝34°，则∠ADC ＝ °．16题图 17题图 18题图17．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点M 是AB 上一点，AM ＝3，以AM 为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AC 于点N ，劣弧MN 长为2π，则BC 的长为 ．18．如图，⊙O ，以⊙O 的内接正八边形的一边向⊙O 内作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积为 ． 三、解下列方程（每题4分，共16分） 19．⑴ 05)2(2=--x ⑵ 0652=+-x x⑶ x x x -=-+3)3()1( ⑷ 09)1(422=--x xB四、尺规作图题（共6分）20．如图，点A 是⊙O 上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）⑴ 画出⊙O 的内接正△ABC ．⑵ 在⊙O 上画出M 、N 两点，使得∠MAN ＝30°．（画一种即可）五、解答题（共42分，其中第21、22、23题各6分，第24、25、26题8分） 21．（6分）已知关于x 的一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根．⑴ 求n 的取值范围；⑵ 当n 取最大值时，求方程)0(0122≠=+-n x nx 的根．22．（6分）如图，⊙O 的半径为2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，22=AB ．⑴ 求∠C 的度数；⑵ 求图中阴影部分的面积．23．（6分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2cm ，BC ＝3cm ，点E 从点B 沿边BC 以2cm /s 的速度向点C 移动，同时点F 从点C 沿边CD 以1cm /s 的速度向点D 移动，当E 、F 两点中有一点到达终点时，则另一点也停止运动．当△AEF 是以AF 为底的等腰三角形时，求点E 运动的时间．24．（8分）某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到1200元？A BCDEF25．（8分）国庆假期，小明做数学题时遇到了如下问题：如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 是⊙O 的直径，直线l 经过点A ，∠ABD ＝∠DAE ＝30°．试说明直线l 与⊙O 相切．小明添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．⑴ 请你根据小明的思考，写出解决这一问题的过程； ⑵ 图2中，若AD ＝7，AB ＝4，求DC 的长．ElElF26. （8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (－3，0)，B (1，1)，C (0，3)．过点B 作BD⊥x 轴，垂足为点D ．连接CD ．⑴ 若点M 是y 轴上一点，当AM ⊥CD 时，点M 的坐标为 ； ⑵ 若点P 是△ABC 的外心，求点P 的坐标；⑶ 在x 轴上是否存在点Q ，使得∠BQD ＝∠ACB ，若存在，直接写出．．．．点Q 的坐标；若不存在，说明理由．yxABC DOy xA BCDO备用图九年级数学参考答案及评分意见一、选择题（每小题2分，共16分）二、填空题（每小题2分，共20分）9．2±=x10．－211．π13212．－1或－2 13．144° 14．34 15．x x x x +-=-)2(10)2(3 16．5617．3618．224-三、解下列方程（每题4分，共16分） 19．⑴ 05)2(2=--x52±=-x---------------------------- 2分 52±=x------------------------------ 4分 ⑵ 0652=+-x x 0)3()2(=--x x --------------------------- 2分3,221==x x --------------------------------- 4分⑶ x x x -=-+3)3)(1(0)2)(3(=+-x x ---------------------- 2分2321-==x x ， ----------------------- 4分⑷ 09)1(422=--x x 0]3)1(2][3)1(2[=--+-x x x x ---------- 2分2,5221-==x x ----------------------------- 4分四、尺规作图题（共6分）20．⑴ 如图，△ABC 为求作的图形 ----------------------------------------------------------------------- 4分⑵ 作等边△MON ，则∠MAN ＝30°（作法不唯一，画对即可） -------------------------- 2分五、解答题（共42分，其中第21、22、23题各6分，第24、25、26题8分）21．⑴ n n ac b 44142422-=⋅⋅-=- -------------------------------------------------------------------- 1分由“关于x 的方程有实数根”得：b 2－4ac ≥0，即：4－4n ≥0 ------------------------- 2分解得：1≤n --------------------------------------------------------------------------------------------- 3分∴ n 的取值范围是01≠≤n n 且 -------------------------------------------------------------------- 4分⑵ 由01≠≤n n 且得：n 的最大值为1 ------------------------------------------------------------- 5分把n ＝1代入原方程得：化简得：0122=+-x x 解得：121==x x ------------------ 6分22．⑴ 连接OA ，OB .△OAB 中，OA ＝OB ＝2，AB ＝22∴ 8222222=+=+OB OA ，8)22(22==AB∴ 222AB OB OA =+----------------------------------------------------- 2分 ∴ ∠AOB ＝90°---------------------------------------------------------- 3分∴ ︒=∠=∠4521AOB C -------------------------------------------------4分 ⑵ ππ=⨯⨯=436090OAB S 扇形，22221=⨯⨯=∆OAB S ------------------ 5分∴ 2-=π阴影S----------------------------------------------------------- 6分 23．解：设点E 运动的时间是x 秒.根据题意可得：2222)23()2(2x x x +-=+----------------------------------------------------3分解这个方程得：31631621+=-=x x ， --------------------------------------------------- 4分)(5.123s =÷， )(212s =÷ ∴ 两点运动了1.5s 后停止运动. 由6315<<得：2313160<<-<，2311316>>+ ---------------------------------5分答：当△AEF 是以AF 为底的等腰三角形时，点E 运动的时间是)316(-秒 ---- 6分24．解：当每件衬衫应降价x 元时，商场平均每天盈利达到1200元.根据题意得：（40－x ）（20＋2x ）＝1200 -------------------------------------------------- 3分解得：x 1＝10，x 2＝20 ---------------------------------------------------------------------------- 5分当10=x 时，平均每天售出： 20＋2×10＝40 ---------------------------------------------- 6分当20=x 时，平均每天售出： 20＋2×20＝60 ---------------------------------------------- 6分要使库存减少最快，则x ＝20 ------------------------------------------------------------------ 7分答：当每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利达到1200元. ----------------- 8分25．⑴ ∵ AE 是⊙O 的直径∴ ∠ADE ＝90°∴ ∠AED ＋∠EAD ＝90° --------------------------------------------- 1分 ∵ ∠ABD ＝∠AED ，∠ABD ＝∠DAE ---------------------------- 2分 ∴ ∠DEA ＝∠AED∴ ∠EAD ＋∠DAE ＝90° 即：OA ⊥AE --------------------------- 3分 ∵ 点A 是半径OA 的外端∴ 直线l 与⊙O 相切 ---------------------------------------------------- 4分 ⑵ 过点A 点AF ⊥BD ，垂足为点F ，∴ ∠AFB ＝∠AFD ＝90° ∵ ∠ABD ＝30° ∴ ∠AED ＝30°lA E∴ 直径AE ＝2AD ＝72＝BC ---------------------------------------- 5分 ∵ ∠ABD ＝30°，AB ＝4 ∴ AF ＝AB 21＝2 ----------------- 6分 ∴ 32242222=-=-=BF AB BF32)7(2222=-=-=AF AD DF∴ BD ＝BF+DF ＝33 --------------------------------------------------- 7分 ∵ BC 是直径 ∴ ∠BDC ＝90°∴ 1)33()72(2222=-=-=BD BC CD -------------------- 8分26．⑴ M （0，1） ---------------------------------------------------------------------------------------------- 1分⑵ 过点O 作直线MN ⊥AC ，垂足为点E . ∵ 点C (0，3)，点A （－3，0） ∴ OA ＝OC ＝3∴ MN 垂直平分AC ，∠COE ＝∠AOE ＝45° ∴ △ABC 的外心P 在直线MN 上直线MN 的表达式为：y ＝－x --------------------------------------------------------------------- 2分设P （a ，－a ）由PA ＝PB 可得：2222)1()1()3()(-+--=--+-a a a a解得：67-=a ------------------------------------------------------------------------------------------3分∴ 点P 的坐标为（67-，67） -------------------------------------------------------------------4分⑶ 1Q （32，0），2Q （34，0）分。

2020-2021学年徐州市九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.方程x=x2的解为()A. x=1B. x=0C. x=±1D. x1=0，x2=12.如果关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A. k<1B. k<1且k≠0C. k>1D. k≤1且k≠03.把方程x2−8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m，n的值是()A. 4，13B. −4，19C. −4，13D. 4，194.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x=m是方程0=ax2+bx+c的一个解，则下列选项中正确的是()A. 1.6<m<1.8B. 1.8<m<2.0C. 2.0<m<2.2D. 2.2<m<2.45.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，若a>0，则下列结论错误的是()A. 当x>2时，y随着x的增大而增大B. (a+c)2=b2C. 若A(x1,m)、B(x2,m)是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=cD. 若方程a(x+1)(5−x)=−1的两根为x1、x2，且x1<x2，则−1<x1<5<x26.抛物线y1=−x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式y1>y2的解集是()A. x<0B. 0<x<4C. 0<x<2D. 2<x<47.如图，⊙P与y轴相切于点C(0,3)，与x轴相交于点A(1,0)，B(9,0).直线y=kx−3恰好平分⊙P的面积，那么k的值是()A. 65B. 12C. 56D. 28.在△ABC中，已知∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=1.如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为()A. π4B. π−√32C. π−√34D. √32π二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.已知，函数y=ax2−6ax+9a+1与线段AB有交点，且已知点A(0,1)与点B(2,3)的坐标，则a的取值范围______．10.如果关于x的一元二次方程2x(kx−4)−x2+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是______．11.写出一个有根x=1的一元二次方程为______ ．12.在平面直角坐标系中，把抛物线y=12x2+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是______ ．13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为______．14.如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2√3，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为______．15.如图，圆锥的高PC=4，母线PB=5，则此圆锥的全面积为______．16.如图1，正方形每条边上放置相同数目的小球，设一条边上的小球数为n，请用含n的代数式表示正方形边上的所有小球数；将正方形改为立方体，如图2，每条边上同样放置相同数目的小球，设一条边上的小球数仍为n，请用含n的代数式表示立方体上的所有小球数．17.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，图中阴影部分的面积是12π，则⊙O的半径为______．18.若关于x的方程x2−2ax+a−2=0的一个实数根为x1≥1，另一个实数根x2≤−1，则抛物线y=−x2+2ax+2−a的顶点到x轴距离的最小值是______．三、计算题（本大题共2小题，共30.0分）19.解方程：(1)x2−5x−6=0；(2)3x2−x−2=0．20.某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1600万元；(1)从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前800户(含第800户)每户每天奖励10元，800户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2018年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．四、解答题（本大题共6小题，共66.0分）21.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外一点，连接AC，BC，AC与⊙O交于点D，弦DE与直径AB交于点F，∠C=∠E．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若DE⊥AB，AE⏜=2BE⏜，AB=2√3，求CD的长．22.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2−4ax+3a的对称轴交于点A(m,−1)，点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．(1)求抛物线的对称轴及a的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线y=kx+b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W．①当k=1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．23.列方程解应用题．白鹿原位于西安市东南方向，白鹿原的上万亩樱桃树在每年五月硕果累累.某水果商以每斤10元的价格从白鹿原上批发樱桃，再按每斤20元价格到市区销售，平均每天可售出100斤，经过调查发现，如果每斤樱桃的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加20斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．(1)若将樱桃每斤的价格降低x元，则每天的销售量是______ 斤(用含x的代数式表示)；(2)水果商销售樱桃每天盈利1120元，每斤樱桃的售价应降至多少元？(其他成本忽略不计)24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=3cm，BC=4cm，求AD，CD的长．25.如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的DGD′部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，AD和A′D′的两侧高为5.5米的支柱，OA和OA′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1：4．(1)求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及CC′的长；(2)BE和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区．试求AB和A′B′的宽；(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从OA(或OA′)区域安全通过？请说明理由．26.如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t(a>0)交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E．(1)求抛物线的对称轴方程．(2)若t=√3时，抛物线与x轴只有一个交点，求抛物线的解析式．(3)若点B的坐标为(−1,0)，过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，当∠APD=∠ACP时，连接CA与抛物线的对称轴交于点D，求抛物线的解析式．。

密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ． cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 的值全变 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．64B ．16C ．24D ．32封线内不得10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（﹣4），求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根（1）求x1+x2，x1x2的值；（2）求2x12+6x2﹣2015的值．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题20．如图所示，△ABC 与点O 在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M 能盖住△ABC ，则⊙M 的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为E ，点D 在CA 的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°（1）求∠AOB 的度数； （2）若AE=1，求BC 的长．22．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是：S=60t ﹣1.5t 2（1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t 的取值范围；（3）画出函数S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停来？23．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：密封 线 内 不 得①求∠AFC 的度数； ②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B ． 2．A ． 3． B ．4.C ．5.D ．6.D ．7.B ．8.D ． 9. D ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为 0 ．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离 7cn 或17cm ．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为 ﹣2 ．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 x ＞3或x ＜﹣1 ．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 （2﹣3）a ≤DE ≤a ． ．三、解答题（共8小题，共72分）17． 解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0，题解得：x 1=1，x 2=﹣2．18.解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19.解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20.解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作； （2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21.解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2， 解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．23.解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ，密 封 内∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，则有FG=AF=x ，BG=CF=y ． 在Rt △BHG 中，BH=BG •sin ∠BGH=BG •sin60°=y ，GH=BG •cos ∠BGH=BG •cos60°=y ， ∴FH=FG ﹣GH=x ﹣y ． 在Rt △BHF 中，BF 2=BH 2+FH 2 =（y ）2+（x ﹣y ）2=x 2﹣xy+y 2．∴==1；（2）过点E 作EN ⊥AB 于N ，连接MC ，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t ，CE=2（t ﹣3）=2t ﹣∴BE=6﹣（2t ﹣6）=12﹣2t ，BN=BE •cosB=BE=6﹣t ， ∴DN=t ﹣（6﹣t ）=2t ﹣6， ∴DN=EC ．∵△DEM 是等边三角形， ∴DE=EM ，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC ． 在△DNE 和△ECM 中，，∴△DNE ≌△ECM ， ∴∠DNE=∠ECM=90°，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴M 点运动的路径为过点C 垂直于BC 的一条线段．当t=3时，E 在点B ，D 在AB 的中点， 此时CM=EN=CD=BC •sinB=6×=3；当t=6时，E 在点C ，D 在点A ， 此时点M 在点C ．∴当3≤t ≤6时，M 点所经历的路径长为3．24.解：（1）设抛物线上有一点（x ，y ）， 由定义知：x 2+（y ﹣）2=|y+|2，解得y=ax 2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x 2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x 2﹣n 2由y=x 2向下平移n 2个单位所得， ∴其焦点为A （0，﹣n 2），准线为y=﹣﹣n 2， 由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ， ∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2， ∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2），设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 线 得 人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ）A ．y=2（x+1）2+3B ．y=2（x ﹣1）2﹣3C ．y=2（x+1）2﹣3D ．y=2（x ﹣1）2+3 10．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y51﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x= 13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解方程：x 2﹣4x+2=0．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时， y= ；（2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．21．已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，总面积为5万平方米，费用的5%开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，定位每平方米3000100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2发商不再出售，准备作为商业用房对外出租）每平方米多少元？23．正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EGEG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．B ．2. C ．3. B ．4. C ．5．B ．6．A ．7．A ．8．D ．9．A ． 10.B ．11.B ．12.D ．13.A ．14.D ．15.C ．二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解：x 2﹣4x=﹣2 x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或 ∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4， ∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形．答 题∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19.解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元；20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求；（2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求；（3）x 的值为6或7．21.解：（1）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2， 原方程为x 2﹣5x+6=0⇒x 1=2，x 2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2． 则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x 2﹣4x+4=0⇒x 1=x 2=2 即，等腰三角形的三边为2，2，3． 则周长为7，面积为22.解：（1）15×100=1500万， 1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万， 1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万． 答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x 个100元，依题意有 （5﹣0.1x ）=8660+7300， 解得x 1=12，x 2=8，又因为当x 1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，所以舍去；当x 2=8时，卖房时间为20个月； 则房价为3000+8×100=3800元． 答：房价应定为每平方米3800元．23.解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ． ∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ， ∴∠BAE=∠DAF ． 在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ） ∴AE=AF ；（2）如图②，连接AG ， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．密 封 题∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ， ∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ， ∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ，∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24.解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0．∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 的坐标为（3，1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0① 由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。

2020-2021学年江苏省徐州市九年级（上）期中数学试卷1.方程x(x−1)=0的根是()A. x=0B. x=1C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=−12.下列一元二次方程没有实数根的是()A. x2+x+1=0B. x2+x−1=0C. x2−2x−1=0D. x2−2x+1=03.把一元二次方程x2−6x−3=0配方后可变形为()A. (x+3)2=12B. (x−3)2=12C. (x+3)2=6D. (x−3)2=64.二次函数y=−(x+1)2−2的顶点是()A. (−1,2)B. (−1,−2)C. (1,2)D. (1,−2)5.若二次函数y=ax2+1的图象经过点(−2,0)，则关于x的方程a(x−2)2+1=0的实数根是()A. x1=−2，x2=6B. x1=2，x2=−6C. x1=0，x2=4D. x1=0，x2=−46.若A(−4,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在二次函数y=−(x+2)2+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y3<y1<y2C. y2<y1<y3D. y3<y2<y17.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°.下列结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC.其中正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 38.如图，Rt△OAB的顶点A(−2,4)在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为()A. (√2,√2)B. (2,2)C. (√2,2)D. (2,√2)9.若二次函数y=ax2的图象过点(1,−2)，则a的值是______．10.关于x的一元二次方程kx2−x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．11.已知关于x的方程x2−3x+m−1=0的一个根是1，则它的另一个根是______．12.将二次函数y=x2+1图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为______．13.若点A到圆O上的点的最大距离为5cm，最小距离为3cm，则圆O的半径为______cm．14.如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，连接AC，AD，若∠BAC=35°，则∠ADC=______．15.如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为______．16.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为______cm．17.如图，AB是圆O的弦，AB=2√3，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB=60°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长度的最大值是______．18.若点P(a,b)在抛物线y=−2x2+2x+1上，则a−b的最小值为______．19.计算：)−1；(1)计算：20200−|−2|+√(−3)2−(14(2)解方程：2x2−x−3=0．20.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．(1)求证：BD=CD；(2)若圆O的半径为3，求BC⏜的长．21.如图，已知一次函数y1=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是2、−1，若二次函数y2=x2的图象经过A、B两点．(1)完成下表并画出二次函数y2=x2的图象；x…______ ______ ______ ______ ______ …y2=x2…______ ______ ______ ______ ______ …(2)y1>y2时x的取值范围是______．22.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．23.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E.连接OC，BE，相交于点F．(1)求证：EF=BF；(2)若DC=4，DE=2，求直径AB的长．24.如图，小李从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为35m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需30元钱，问小李购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？25.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)有如下关系：y=−x+ 60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数解析式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？26.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(−1,0)、B(4,0)、C(0,2)．(1)求该二次函数的表达式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一动点，直线PA分别交BC，y轴于点E、F，若△BPE、△BEF的面积分别为S1、S2，是否存在点P，使得S1=S2.若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析【解析】解：∵x(x−1)=0，∴x1=0，x2=1，故选：C．由题意推出x=0，或(x−1)=0，解方程即可求出x的值．本题主要考查解一元二次方程，关键在于根据题意推出x=0，或(x−1)=0即可．2.【答案】A【解析】解：A、在方程x2+x+1=0中，△=12−4×1×1=−3<0，∴该方程没有实数根；B、在方程x2+x−1=0中，△=12−4×1×(−1)=5>0，∴该方程有两个不相同的实数根；C、在方程x2−2x−1=0中，△=(−2)2−4×1×(−1)=8>0，∴该方程有两个不相同的实数根；D、在方程x2−2x+1=0中，△=(−2)2−4×1×1=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选：A．根据方程的系数结合根的判别式△=b2−4ac，逐一分析四个选项方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根”是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：x2−6x−3=0，x2−6x=3，x2−6x+9=3+9，∴(x−3)2=12．故选：B．先把常数项移到方程右侧，然后把方程两边加上9即可．本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．【解析】解：二次函数y=−(x+1)2−2的图象的顶点坐标是(−1,−2)．故选：B．根据顶点式的意义直接解答即可．本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的顶点坐标为(ℎ,k)．5.【答案】C【解析】解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点(−2,0)，∴4a+1=0，∴a=−1，4(x−2)2+1=0，∴方程a(x−2)2+1=0可化为−14解得：x1=0，x2=4，故选：C．，代入方程二次函数y=ax2+1的图象经过点(−2,0)，得到4a+1=0，求得a=−14a(x−2)2+1=0即可得到结论．本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵y=−(x+2)2+3，∴图象的开口向下，对称轴是直线x=−2，∵A(−4,y1)关于直线x=−2的对称点是(0,y1)，∵−1<0<2，∴y3<y1<y2，故选：B．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=−2，根据x>−2时，y 随x的增大而减小，即可得出答案．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．【解析】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC=90°，又∵∠A=30°，∴∠ABD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．∴∠C=∠BDC=30°，∴BD=BC，②成立；∴AB=2BC，③成立；∴∠A=∠C，∴DA=DC，①成立；综上所述，①②③均成立，故选：D．连接OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A=30°，可以得出∠ABD=60°，△ODB 是等边三角形，∠C=∠BDC=30°，再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立．本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵Rt△OAB的顶点A(−2,4)在抛物线y=ax2上，∴4=a×(−2)2，解得：a=1∴解析式为y=x2，∵Rt△OAB的顶点A(−2,4)，∴OB=OD=2，∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD//x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2，∴令y=2，得2=x2，解得：x=±√2，∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：(√2,2)故选C．首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D 的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D 的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．9.【答案】−2【解析】解：把(1,−2)代入y=ax2得−2=a，即a=−2．故答案为−2．把已知点的坐标代入y=ax2即可得到a的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足该二次函数的解析式．10.【答案】k<1且k≠04【解析】解：∵kx2−x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1−4k>0，且k≠0，且k≠0；解得，k<14且k≠0．故答案是：k<14根据一元二次方程kx2−x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2−4ac>0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．11.【答案】2【解析】解：设方程的另一个根为t，根据题意得1+t=3，解得t=2，即方程的另一个根为2．故答案为2．设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到1+t=3，然后解关于t的方程即可．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．12.【答案】y=(x−1)2+1【解析】解：将二次函数y=x2+1图象向右平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为：y=(x−1)2+1．故答案为：y=(x−1)2+1．直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．13.【答案】4或1【解析】解：点A应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点A在圆内时，直径是5+3=8(cm)，因而半径是4cm；当点A在圆外时，直径是5−3=2(cm)，因而半径是1cm．故答案为：4或1．只要分清点A应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论：当点A在圆内，当点A在圆外，本题易解．此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是注意此题应分为两种情况来解决．14.【答案】55°【解析】解：连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠CAB=35°，∴∠B =55°， ∴∠ADC =∠B =55°， 故答案为：55°．连接BC ，由圆周角定理求出∠ABC 即可解决问题．本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】54【解析】解：根据勾股定理得，OA =OB =√32+42=5，AB =√12+72=5√2， ∴OA 2+OB 2=AB 2， ∴△AOB 为直角三角形， ∴∠AOB =90°，设这个圆锥的底面半径为r ， 根据题意得2πr =90⋅π⋅5180，解得r =54，即这个圆锥的底面半径为54． 故答案为54．利用勾股定理的逆定理证明△AOB 为直角三角形，则∠AOB =90°，设这个圆锥的底面半径为r ，利用这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr =90⋅π⋅5180，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】2√3【解析】解：过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，连接OA ， ∵OA =2OD =2cm ，∴AD =√OA 2−OD 2=√22−12=√3cm ， ∵OD ⊥AB ，∴AB =2AD =2√3cm ． 故答案为：2√3．通过作辅助线，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据折叠的性质可知OA =2OD ，根据勾股定理可将AD 的长求出，通过垂径定理可求出AB 的长． 本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．17.【答案】2【解析】解：连接AO 并延长交圆O 于点D ，连接BD ，如图，∴∠ADB =∠ACB =60°， ∵AD 为圆O 的直径， ∴∠ABD =90°， ∴AD =ABsin60∘=√3√32=4，∵点M 、N 分别是AB 、BC 的中点， ∴MN =12AC ，当AC 为直径时，AC 的值最大， ∴MN 的最大值为2． 故答案为：2．如图，连接AO 并延长交圆O 于点D ，连接BD ，根据圆周角定理得到∠ADB =∠ACB =60°，求出AD =4，再根据三角形中位线性质得到MN =12AC ，然后利用AC 为直径时，AC 的值最大可确定MN 的最大值．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．18.【答案】−98【解析】解：∵点P(a,b)在抛物线y =−2x 2+2x +1上， ∴b =−2a 2+2a +1，∴a −b =a −(−2a 2+2a +1)=2a 2−a −1， ∵a −b =2a 2−a −1=2(a −14)2−98， ∴a −b 的最小值为−98，故答案为−98．把点P(a,b)代入y =−2x 2+2x +1求得b =−2a 2+2a +1，进而即可求得a −b =2a 2−a −1，化成顶点式a −b =2a 2−a −1=2(a −14)2−98，根据二次函数的性质即可求得．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)原式=1−2+3−4=−2；(2)2x 2−x −3=0， (x +1)(2x −3)=0， x +1=0或2x −3=0， 解得x 1=−1，x 2=32．【解析】(1)根据二次根式的化简，零指数幂和负整数指数幂即可进行计算； (2)利用因式分解法解方程即可．本题考查了解一元二次方程、实数的运算，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法和二次根式化简．20.【答案】【解答】(1)证明：∵四边形ABCD 内接于圆O ， ∴∠DCB +∠BAD =180°， ∵∠BAD =105°，∴∠DCB =180°−105°=75°， ∵∠DBC =75°， ∴∠DCB =∠DBC =75°， ∴BD =CD ；(2)解：∵∠DCB =∠DBC =75°， ∴∠BDC =30°，由圆周角定理，得，BC ⏜的度数为：60°， 故BC ⏜=nπR 180=60π×3180=π， 答：BC⏜的长为π．【解析】【分析】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出∠DCB的度数是解题关键．(1)直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；(2)首先求出BC⏜的度数，再利用弧长公式直接求出答案．21.【答案】−1<x<2【解析】解：(1)完成表格如下：x…−2−1012…y2=x2…41014…函数图象如下：(2)由函数图象可知，当−1<x<2时y1>y2时．(1)将x=−1，−2，0，1，2分别代入y2=x2中，求出对应的值，根据表格找出5个点的坐标，描在平面直角坐标系中，然后用平滑的曲线作出函数图象即可；(2)结合两个函数图象解答可得到y1>y2时x的取值范围本题主要考查二次函数与不等式，解题的关键是熟练将不等式的解集转化为二次函数的图象问题解决．22.【答案】解：(1)设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400(1−x)2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为5%．(2)361×(1−5%)=342.95(万元)．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】(1)设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1−下降率)，即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据数量关系，列式计算．23.【答案】(1)证明：∵OC⊥CD，AD⊥CD，∴OC//AD，∠OCD=90°，∴∠OFE=∠OCD=90°，∵OB=OE，∴EF=BF；(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠OCD=∠CFE=90°，∴四边形EFCD是矩形，∴EF=CD，DE=CF，∵DC=4，DE=2，∴EF=4，CF=2，设⊙O的为r，∵∠OFB=90°，∴OB2=OF2+BF2，即r2=(r−2)2+42，解得，r=5，∴AB=2r=10，即直径AB的长是10．【解析】(1)根据题意和平行线的性质、垂径定理可以证明结论成立；(2)根据题意，利用矩形的性质和勾股定理可以解答本题．本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24.【答案】解：设长方体箱子宽为x 米，则长为(x +2)米．依题意，有x(x +2)×1=35． 整理，得x 2+2x −35=0， 解得x 1=−7(舍去)，x 2=5，∴这种运动箱底部长为7米，宽为5米． 由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为 (7+2)×(5+2)=63，∴做一个这样的运动箱要花63×30=1890(元)． 答：小李购回这张矩形铁皮共花了1890元．【解析】本题可设无盖长方体箱子宽为x 米，则长为(x +2)米，根据刚好能围成一个容积为35m 3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案．本题主要考查一元二次方程的应用，解答时由长方体的体积公式建立方程求解是关键． 25.【答案】解：(1)w =(x −30)⋅y =(−x +60)(x −30)=−x 2+30x +60x −1800=−x 2+90x −1800，w 与x 之间的函数解析式w =−x 2+90x −1800；(2)根据题意得：w =−x 2+90x −1800=−(x −45)2+225， ∵−1<0，当x =45时，w 有最大值，最大值是225．(3)当w =200时，−x 2+90x −1800=200，解得x 1=40，x 2=50， ∵50>48，x 2=50不符合题意，舍去，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【解析】(1)每天的销售利润w =每天的销售量×每件产品的利润； (2)根据配方法，可得答案；(3)根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．26.【答案】解：(1)将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得{a −b +c =016a +4b +c =0c =2，解得{a =−12b =32c =2， 故抛物线的表达式为y =−12x 2+32x +2①；(2)由点A 、C 的坐标知，OA =1，OC =2，则tan∠CAO =OCOA =2=tan∠DBA ， 当点D 在AB 上方时， 延长BD 交y 轴于点R ，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ， ∵tan∠DBA =2=tan∠DBH ，设点D 的坐标为(m,n)，tan∠DBH =2=OROB =OR 4，则OR =8，故点R 的坐标为(0,8)，由点R 、B 的坐标知，直线BD 的表达式为y =−2x +8②， 联立①②并解得{x =3y =2或{x =4y =0(舍去)， 故点D 的坐标为(3,2)； 当点D(D′)在AB 下方时，同理可得BD′的表达式为y =2x −8③， 联立①③可求得点D′(−5,−18)， 综上，点D 的坐标为(3,2)或(−5,−18)；(3)存在，理由：设直线BC 的表达式为y =sx +t ，则{0=4s +t t =2，解得{s =−12t =2， 故直线BC 的表达式为y =−12x +2， 设点P 的坐标为(m,−12m 2+32m +2)，同理可得直线AP 的表达式为y =12(4−m)x +2−12m ， ∵S 1=S 2，故点F 的坐标为(0,2−12m)，则点E 是PF 的中点， 根据中点公式得，点E 的坐标为(12m,−14m 2+12m +2)，将点E 的坐标代入直线BC 的表达式得，−14m 2+12m +2=−12×12m +2， 解得m =0(舍去)或3， 故点P 的坐标为(3,2)．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)分点D 在AB 上方、点D 在AB 下方两种情况，求出BD 的表达式，进而求解； (3)由S 1=S 2得点E 是PF 的中点，再求出点E 的坐标，最后将点E 的坐标代入直线BC 的表达式，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中点公式的运用、三角形面积公式的运用、解直角三角形等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．。

2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题是（）A．任意两个平行四边形都相似B．任意两个菱形都相似C．任意两个矩形都相似D．任意两个正方形都相似2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小C．不变D．无法确定3．（3分）已知2x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．4．（3分）已知抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）5．（3分）如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A （2，1），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，4）D．（4，2）6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值等于（）A．B．C．D．7．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣258．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2 9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1C．2﹣D．10．（3分）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，则tan A的值是．12．（3分）抛物线y＝2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是．13．（3分）若3a＝2b，则的值为．14．（3分）比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为m2．15．（3分）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m ，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．16．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、20题各10分，19题9分，共39分）17．（10分）计算：|﹣2|×cos60°﹣sin45°．18．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，求tan∠OCD的值．19．（9分）如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC 与△BPD相似吗？为什么？20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…01234…y…41014…（1）根据表格，画出此函数图象草图；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当y＞3时，求x的取值范围．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．22．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．求：四边形ABCD的面积．23．（10分）如图，矩形ABCD且BC＝2，∠ACB＝30°，动点E在对角线AC上，连接ED，过点E作EF⊥DE，交BC于点F．（1）如图1，当AC平分角∠DEF时，求AE的长度；（2）若AE：CE＝1：2，求BF：FC．五、解答题（本题共3小题，其中24、25小题各11分，26小题12分，共34分）24．（11分）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝5，BD⊥AC于点D，BD＝3，P在AB上，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF＝90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，AP的长度为x ．（1）填空：BP PE（填写＞或＝或＜）；（2）当F在边AC上时，求线段AP的长；（3）求S与x之间的函数关系式．25．（11分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上一点，连接AD．（1）如图1，AB＝CB，E是AB延长线上一点，CE与AD垂直．求证：BD＝BE；（2）如图2，AB＝CB，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF并延长交AB于点G．求证：＝；（3）如图3，若AB＝kBC且D是BC的中点，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF 并延长交AB于点G，直接写出tan∠BFG的值（用含k的式子表示）．26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m．（1）抛物线的顶点坐标；（含m的式子表示）（2）当m＝1时，①抛物线上一点P到x轴的距离为5，求点P的坐标；②当n≤x≤时，函数值y的取值范围是﹣≤y≤2﹣n，求n的值；（3）当2m﹣1≤x≤2m+1时，抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为﹣5，求：m ．2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题是（）A．任意两个平行四边形都相似B．任意两个菱形都相似C．任意两个矩形都相似D．任意两个正方形都相似【分析】利用相似多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、任意的平行四边形不一定相似，故错误，是假命题，不符合题意；B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意；C、任意两个矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意；D、任意两个正方形都相似，正确，是真命题，符合题意，故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小C．不变D．无法确定【分析】根据锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦解答即可．【解答】解：设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sin A＝，如果各边长都扩大5倍，∴sin A＝＝，故∠A的正弦值大小不变．故选：C．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．3．（3分）已知2x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．【解答】解：∵2x＝5y，∴．故选：B．【点评】本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键．4．（3分）已知抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．【解答】解：因为y＝（x﹣2）2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．故选：B．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标．5．（3分）如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A （2，1），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，4）D．（4，2）【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点A的坐标为（2，1），∴点C的坐标为（2×2，1×2），即（4，2），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值等于（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则cos B＝sin A＝．故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．7．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．8．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2x2向上平移3个单位可得到函数y＝2x2+3，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1C．2﹣D．【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC＝AC，DE＝EC＝DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC＝AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝DC＝AC．∴tan∠DBC＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．10．（3分）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【分析】根据函数y＝ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项．【解答】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，则tan A的值是．【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形，再根据正切的定义即可求解．【解答】解：在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，∵122+52＝169，132＝169，∴122+52＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴tan A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．对于常见的勾股数如：3，4，5或5，12，13等要注意记忆．12．（3分）抛物线y＝2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是（0，6）．【分析】根据题意得出x＝0，然后求出y的值，即可以得到与y轴的交点坐标．【解答】解：令x＝0，得y＝6，故与y轴的交点坐标是：（0，6）．故答案为：（0，6）．【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题难度不大．13．（3分）若3a＝2b，则的值为﹣．【分析】直接利用已知得出a＝b，进而代入原式求出答案．【解答】解：∵3a＝2b，∴a＝b，∴＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确代入化简是解题关键．14．（3分）比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为4×104m2．【分析】根据面积比是比例尺的平方比，列比例式求得该区域的实际面积．【解答】解：设实际面积为xcm2，则400：x＝（1：1000）2，解得x＝4×108，4×108cm2＝4×104m2．故实际面积为4×104m2．故答案为：4×104．【点评】本题考查了比例线段、比例尺的定义，掌握面积比是比例尺的平方比是解题的关键，注意单位间的换算．15．（3分）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m ，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是0.8m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．【分析】首先根据三角函数求得BC的长，然后根据CD＝BC﹣BD即可求解．【解答】解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．【点评】本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得BC的长是解题关键．16．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为10米．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、20题各10分，19题9分，共39分）17．（10分）计算：|﹣2|×cos60°﹣sin45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：原式＝＝1＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．18．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，求tan∠OCD的值．【分析】将A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入一次函数y＝kx+b，组成方程组，即可求出k、b的值，从而得到一次函数解析式，求出直线与x轴、y轴的交点坐标，即可求出tan ∠OCD的值．【解答】解：将A（﹣2，﹣1），B（1，3）分别代入y＝kx+b得，，解得，∴y＝x+，当x＝0时，y＝；当y＝0时，x＝﹣；∴C（﹣，0），D（0，），故OD＝，OC＝．在Rt△OCD中，∴tan∠OCD＝＝＝．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、锐角三角函数的定义，找到∠OCD 所在的三角形是解题的关键．19．（9分）如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC 与△BPD相似吗？为什么？【分析】由PC＝PD＝CD可判断△PCD为等边三角形，则∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，利用邻补角得到∠3＝∠4＝120°，又由于∠APB＝120°，可计算出∠1+∠2＝60°，加上∠A+∠2＝60°，所以∠1＝∠A，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△P AC∽△BPD．【解答】解：△APC与△BPD相似．理由如下：如图，∵PC＝PD＝CD，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠3＝∠4＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠1+∠2＝120°﹣60°＝60°，∵∠PCD＝∠A+∠2＝60°，∴∠1＝∠A，∴△P AC∽△BPD．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等边三角形的判定与性质．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…01234…y…41014…（1）根据表格，画出此函数图象草图；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当y＞3时，求x的取值范围．【分析】（1）描点、连线画出函数图象即可；（2）可将该二次函数解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得该二次函数的解析式；（3）把y＝3代入y＝（x﹣2）2得到关于x的方程，求得方程的解，然后根据图象即可求得结果．【解答】解：（1）描点、连线画出函数图象如图：（2）由图象知，二次函数顶点坐标为（2，0），设y＝a（x﹣2）2，又二次函数过点（0，4），代入得，4＝4a，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4；（3）把y＝3代入y＝（x﹣2）2得3＝（x﹣2）2；解得x＝2+或x＝2﹣，∵图象开口向上，∴当y＞3时，求x的取值范围是x＜2﹣或x＞2+．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21．（9分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．【分析】根据矩形的性质得AD＝BC，∠BAD＝90°，再利用等角的余角相等得∠BAC ＝∠ADE＝α，然后在Rt△ABC中利用正弦的定义得到＝，设BC＝4x，则AC＝5x ，AB＝3x，则3x＝4，解得x＝，于是得到AD＝BC＝．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠DAE＝90°，而∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠ADE＝α，在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，∴＝，设BC＝4x，则AC＝5x，∴AB＝3x，∴3x＝4，解得x＝，∴BC＝∴AD＝．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了矩形的性质．22．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．求：四边形ABCD的面积．【分析】四边形ABCD的面积＝BD×（x C﹣x A）＝2×（3+1）＝4；【解答】解：由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1得到顶点A（2，﹣1）．由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）得到B（3，0），D（1，0）．令x＝0，则y＝3，故C（0，3）．综上所述，点B、D、C、A的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；所以，四边形ABCD的面积＝×BD×（x C﹣x A）＝×2×（3+1）＝4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．23．（10分）如图，矩形ABCD且BC＝2，∠ACB＝30°，动点E在对角线AC上，连接ED，过点E作EF⊥DE，交BC于点F．（1）如图1，当AC平分角∠DEF时，求AE的长度；（2）若AE：CE＝1：2，求BF：FC．【分析】（1）作DM⊥AC于M，利用矩形的性质结合解直角三角形可求解AB＝2，AC ＝4，再由30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义可求解CM，EM的长，进而可求解；（2）作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．结合已知条件易求AE＝，EC＝，通过证明△END∽△EMF，列比例式可求解．【解答】解：（1）如图1中，作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∵∠ACB＝30°，∴AB＝CD＝BC•tan30°＝2，AC＝2AB＝2CD＝4，在Rt△CDM中，∵∠CMD＝90°，∠DCM＝60°，CD＝2，∴∠CDM＝30°，∴CM＝CD＝1，DM＝CM＝，∵∠DEF＝90°，EM平分∠DEF，∴∠DEM＝∠DEF＝45°，∴EM＝DM＝，∴AE＝AC﹣EM﹣CM＝3﹣．（2）作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．∵AB＝CD＝2，AC＝4，AE：EC＝1：2，∴AE＝，EC＝，在Rt△CEN中，∵∠ECN＝30°∴CN＝EC＝，EN＝CN＝，∴DN＝2﹣＝，在Rt△CEM中，∵∠ECM＝30，∴EM＝EC＝，CM＝EM＝，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠NEM＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠END＝∠EMF＝90°，∴△END∽△EMF，∴，可得MF＝，∴CF＝CM﹣MF＝，BF＝﹣CF＝，∴BF：CF＝4：5．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，矩形的性质等知识的综合运用．五、解答题（本题共3小题，其中24、25小题各11分，26小题12分，共34分）24．（11分）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝5，BD⊥AC于点D，BD＝3，P在AB上，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF＝90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，AP的长度为x ．（1）填空：BP＝PE（填写＞或＝或＜）；（2）当F在边AC上时，求线段AP的长；（3）求S与x之间的函数关系式．【分析】（1）由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠PEB＝∠ABC，可得BP＝PE；（2）由勾股定理可求AD＝4，通过证明Rt△APF～Rt△ABD，，可得AF＝AP ＝x，由平行四边形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质分别求出AM，PM，PF的长，即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，∴∠ABC＝∠ACB，∵PE∥AC，∴∠ACB＝∠PEB＝∠ABC，∴BP＝PE，故答案为：＝；（2）如图1，∵AB＝AC＝5，BD⊥AC，BD＝3，∴AD＝＝＝4，当F在边AC上时，∵PE∥AC，EF∥AB，∴四边形AFEP是平行四边形，∠AFP＝∠EPF＝90°＝∠ADB，又∵∠A＝∠A，∴Rt△APF～Rt△ABD，∴，∴AF＝AP＝x，∵四边形AFEP是平行四边形，∴AF＝PE＝PB，∴x＝5﹣x，∴x＝，∴AP的长度为；（3）如图2中，当0＜x＜时，重叠部分是四边形PMNE．∵∠AMP＝∠ADB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴Rt△APM～Rt△ABD，∴，∴AM＝AP，PM＝AP，∵P A＝x，∴，，，∴S＝×x（5﹣x+5﹣x）＝﹣x2+3x；如图3中，当时，重叠部分是△PEF．∵EF∥AB，PE∥AC，∴∠A＝∠BPE＝∠PEF，又∵∠EPF＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△EFP，∴，∵PB＝PE＝5﹣x，∴PF＝（5﹣x），∴S＝PE•PF＝（5﹣x）×（5﹣x）＝x2﹣x+，综上所述：S＝．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．25．（11分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上一点，连接AD．（1）如图1，AB＝CB，E是AB延长线上一点，CE与AD垂直．求证：BD＝BE；（2）如图2，AB＝CB，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF并延长交AB于点G．求证：＝；（3）如图3，若AB＝kBC且D是BC的中点，过点B作BF⊥AD，F为垂足，连接CF 并延长交AB于点G，直接写出tan∠BFG的值（用含k的式子表示）．【分析】（1）如图1中，延长AD交CE于点H．证明△ABD≌△CBE（ASA），可得结论．（2）如图2中，作CE∥BF交AB的延长线于E．利用平行线分线段成比例定理以及（1）中结论，即可解决问题．（3）作CH∥AB交BF的延长线于N，过点C作CN⊥BH于N．设BC＝2m，则AB＝2mk ，BD＝CD＝m，由tan∠BAD＝tan∠CBH，推出＝，推出＝，推出CH＝，由tan∠CBH＝＝，推出＝＝，再证明BF＝FN，根据tan∠BFG＝tan∠CFN＝，可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，延长AD交CE于点H．∵AH⊥CE，∴∠AHE＝∠ABC＝∠CBE＝90°，∴∠BAD+∠E＝90°，∠E+∠ECB＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，∵BA＝BC，∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△ABD≌△CBE（ASA），∴BD＝BE．（2）证明：如图2中，作CE∥BF交AB的延长线于E．∵CE∥BF，∴＝，∵BF⊥AD，CE∥BF，∴AD⊥CE，∴BD＝BE，∴＝．（3）解：作CH∥AB交BF的延长线于N，过点C作CN⊥BH于N．设BC＝2m，则AB ＝2mk，BD＝CD＝m，∵AB∥CH，∴∠ABC＝∠BCH＝90°，∵CN⊥BH，∵∠BAD＝∠CBH，∴tan∠BAD＝tan∠CBH，∴＝，∴＝，∴CH＝，∵tan∠CBH＝＝，∴＝＝，∵AD⊥BH，CN⊥BH，∴DF∥CN，∵BD＝DC，∴BF＝FN，∴tan∠BFG＝tan∠CFN＝＝＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m．（1）抛物线的顶点坐标（m，﹣m2﹣3m）；（含m的式子表示）（2）当m＝1时，①抛物线上一点P到x轴的距离为5，求点P的坐标；②当n≤x≤时，函数值y的取值范围是﹣≤y≤2﹣n，求n的值；（3）当2m﹣1≤x≤2m+1时，抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为﹣5，求：m ．【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）①由点P到x轴的距离可得出点P的纵坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；②利用二次函数的性质找出关于n的一元二次方程，解之取其负值即可得出结论；（3）分m＜2m﹣1，2m﹣1≤m≤2m+1及m＞2m+1三种情况考虑，利用二次函数的性质结合函数图象，即可得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx﹣3m＝（x﹣m）2﹣m2﹣3m，∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣m2﹣3m），故答案为（m，﹣m2﹣3m）；（2）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，无解，综上所述：点P的坐标为（﹣2，5），（4，5）；②∵当时，y值随x值的增大而减小，且函数值y的取值范围是，∴n2﹣2n﹣3＝2﹣n，解得：，（舍去），∴n的值为；（3）∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，设抛物线y＝x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为y0，∴分三种情况考虑：①当m＜2m﹣1，即m＞1时，如图1，在2m﹣1≤x≤2m+1上，y值随x值的增大而增大，∴；②当2m﹣1≤m≤2m+1，即﹣1≤m≤1时，如图2，y0＝m2﹣2m•m﹣3m＝﹣m2﹣3m，即﹣m2﹣3m＝﹣5，解得m＝（不合题意，舍去）；③当m＞2m+1，即m＜﹣1时，如图3，在2m﹣1≤x≤2m+1上，y值随x值的增大而减小，∴y0＝（2m+1）2﹣2m（2m+1）﹣3m＝﹣m+1，即﹣m+1＝﹣5，解得m＝6（舍去），综上所述：．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，找出抛物线的对称轴；①利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点P的坐标；②利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元二次方程；（3）分m＜2m﹣1，2m﹣1≤m≤2m+1及m＞2m+1三种情况，找出y0与m之间的函数关系式．。

武汉市梅苑学校2020～2021 学年度上学期期中质量检测九年级数学试卷考试时间：2020 年11 月全卷满分：120 分★祝考试顺利★考生注意：1.本试卷共4 页，满分120 分，考试用时120 分钟.2.全部答案必须在答题卡上完成，答在其他位置无效，请认真核对每题答案是否在答题卡的对应框中.3.答题前请认真阅读答题卡的“注意事项”，考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题（本大题共10 小题，共30 分）1.方程2x2－5x＝9 的二次项系数是2，则一次项系数和常数项分别为A．5 和－9 B．－5 和9 C．－5 和－9 D．5 和92.在平面直角坐标系中，点A(－4，1)关于原点对称的点的坐标为A．(4，1) B．(4，－1) C．(－4，－1) D．(－1，4)3.用配方法解方程x2＋6x＋4＝0，下列变形正确的是A．(x＋3)2＝－4 B．(x－3)2＝4 C．(x－3)2＝5 D．(x＋3)2＝54.要得到抛物线y=2(x－4)2－1，可以将抛物线y=2x2A.向左平移4 个单位长度，再向上平移1 个单位长度B.向左平移4 个单位长度，再向下平移1 个单位长度C.向右平移4 个单位长度，再向上平移1 个单位长度D.向右平移4 个单位长度，再向下平移1 个单位长度5.对于抛物线y = (x - 2)2 + 3 ，下列判断正确的是A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的顶点坐标是（－2，3）C. 对称轴为直线x = 2D. 当x > 2 时，y 随着x 的增大而减小6.某校去年对实验器材的投资为2 万元，预计今明两年的投资总额为8 万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率是x，则所列方程正确的是A．2(1＋x)2＝8 B．2(1＋x)＋2(1＋x)2＝8 C．2(1＋2x)＝8 D．2(1＋x2)＝87.下列图形中，是轴对称而不是中心对称图形的是A．等边三角形B．矩形C．平行四边形D．菱形8.如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，其旋转中心是A.点AB. 点BC. 点CD. 点D9.二次函数y=－x2－2x+m 在-3 ≤x ≤ 2 的范围内有最小值－5，则m 的值为A．3 B．－6 C．－2 D．－510.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，0）和点B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a(x-1)2＋c＝b－bx 的解是A．－1 和3 B．－1 和5 C．－3 和3 D．－2 和4二、填空题（本大题共 6 小题，共18 分）11.关于x 的方程x m + 3x = 0 是一元二次方程，则m 的值为.12.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛,应邀请x 个队参赛,则可列方程为．13.如图，在△ABC 中，∠CAB＝66°，在同一平面内，将△ABC 绕点A旋转至△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′等于．14.二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x 与函数y 的对应值如表：x…－5 －4 －3－2 －1 0…y…40－2－2 04…y 随x 的增大而增大；④二次函数的最小值是－2．其中正确的是．（填序号）15.若x1和x2是方程x2+x－4=0的两个实数根，则代数式(x2+3x-4)(x2+3x-4)的值为.1 12 216.直线y=3kx+2(k-1)与抛物线y=x2+2kx－2 在-1 ≤x ≤ 3 范围内有唯一公共点，则k 的取值范围为．三、解答题（本大题共8 小题，共72 分）17.（本题满分8 分）解一元二次方程x2 - 2x - 2 = 0 .18.（本题满分8 分）如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1. 在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．求矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是200 m2.19.（本题满分8 分）在平面直角坐标系中，已知A(2，0)、B(3，1)、C(1，3)．（1）以点C 为对称中心，画出△ABC 关于点C 对称的△A1B1C ；（2）以坐标原点为旋转中心，将△ABC 顺时针方向旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出C2 的坐标；（3）在（2）的变化过程中，直接写出点C 的运动路径长．20.（本题满分8 分）已知关于x 的一元二次方程x2 +(2k +1)x +k 2 =0（1）求k 的取值范围；有两个不相等的实数根. （2）设方程的两个实数根分别为x1 , x2 ，且(1+ x1 )(1+ x2 ) = 3 ,求k的值.21.（本题满分8 分）如图，抛物线y1=(x-1)2-4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C.直线AC的解析式为y2 =kx +b .点M 是抛物线对称轴上一动点.（1）求k，b 的值；（2）当y1 >y2 时，直接写出x 的取值范围；（3）当AM+BM 最小时，直接写出点M 的坐标；（4）若y1 =p( p ≤ 0)有整数根，则p的值有个．22.（本题满分10 分）某商场销售的某种商品每件标价是64 元，每件的进价为40 元，若按标价销售，此时该种商品每星期可卖出220 件，市场调查发现：在标价的基础上，该种商品每降价1 元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的销售量为y件．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式．(2)当该商品每件降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少元？(3)当该商品某个星期的售价均为每件m 元时，这个星期的利润不低于6000 元，请直接写出m 的取值范围．23.（本题满分10 分）(1)如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC＝120°D，E 为BC 边上的点，且∠DAE＝60°，若BD=1，EC=2，求DE 的长．思考如下：注意到条件中有AB=AC，∠BAC＝120°，不妨把△ACE 绕点A 顺时针旋转120°，得到△ABF. 连接DF，易证△ADE≌△ADF，从而将线段BD，DE，EC 集中在了△BDF 中，因为∠FBD 的度数是，BF=EC=2，BD=1，所以DE 的长为.(2)如图，△ABC 是等边三角形，D，E 为BC 边上的点，且∠DAE＝30°，BD=2，EC = 长. 3.求DE 的2(3)如图，E 是正方形ABCD 内一点，∠AEB＝90°，F 是BC 边上一点，且∠EDF＝45°. 若AB=2，直接写出当DE 取最小值时，CF 的长为.24.（本题满分12分）已知抛物线y=x2－2x+c与x轴交于点A（－1，0）和点B，交y轴于点C.点E（－2，n）和点F 在抛物线上.（1）如图1，求点C 和点E 的坐标.（2）如图1，若△CEF 的面积为5，求点F 的坐标.7（3）如图2，若点F 在第一象限，且点F 到直线BC 的距离是 2 ，直接写出点F 的坐标.8图1 图2。