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第二次数学危机PB08207005 蒋晓澄第二次数学危机发生在十七世纪。
十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
而这个理论基础问题存在于微积分的主要创始人们在推导过程中引用的一个无穷小的量。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此微积分早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？莱布尼茨也在这些问题上没有办法自圆其说。
此后微积分得以迅猛发展，虽然有人在指责微积分的不严密性，但人们看见的更多的是微积分在解决问题时的出色表现。
但这个情况并没有持续多久，贝克莱出现了。
贝克莱是一名哲学家，也是一名神职人员。
他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的威胁。
1734 年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书。
“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。
贝克莱抱怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有说明理由。
贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面积》中进行的一些代数运算，也就是之前提到的关于无穷小量的矛盾。
贝克莱说，这是对矛盾律的蔑视，神学中不允许这样的推理。
他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有限的范围。
第二次数学危机的历史意义第二次数学危机是20世纪初期数学领域发生的一场危机，它包含了数学的基础、发展和应用等多个方面。
其历史意义不仅在于对数学的发展造成了深远的影响和启示，同时也对于其他领域的发展产生了重要的推动作用。
下面从以下几个方面来介绍第二次数学危机的历史意义。
1.数学的基础问题第二次数学危机凸显了数学基础问题的重要性。
数学作为一门基础学科，它的发展离不开对于本质概念的明确和严谨的证明。
在危机中，数学家们发现在一些理论中，基础假设并不是真正严谨的，这些假设的不确定性最终导致了理论的崩溃。
这个问题的意义在于，它促进了数学的基础研究，提高了数学的严谨性和有效性。
2.数学的发展方向第二次数学危机揭示了数学在发展中应考虑的方向和重点。
危机中，当时的数学家认为，研究数学的细节过多，研究范围过于琐碎，造成了研究的乏味和虚假。
因此，随着对于数学实践的认识逐渐深入，数学家们把更多的注意力集中在数学的背后思想和基础问题上，从根本上探究数学现象产生的原因和规律。
这也为现代数学的创新提供了思想上的启示。
3.数学应用的深入第二次数学危机的爆发也推动了数学应用的深入研究。
在当时，数学已经在物理学和工程学等多个领域有了广泛的应用，同时也揭示了现有的数学并不足以支撑这些领域的发展。
因此，在危机中，数学家们需要深刻性地思考，将现有的数学知识和理论与实际应用相结合，提出有效的理论解决问题，这也促进了数学知识在现实生活中的更广泛应用。
4.数学研究的国际化第二次数学危机对于数学研究的国际化也产生了重要的推动作用。
危机发生时，德国在数学领域处于领先地位，但是在第一次世界大战后，德国的科学发展遭受了重大打击，这也影响了德国在数学领域的地位。
同时，其他国家开始崛起，并且在数学研究上取得了显著成果。
这也为数学研究提供了更多的国际性交流和合作机会，推动了全球数学研究水平的提高。
总之，第二次数学危机不仅对于数学的研究和发展产生了深远的影响，同时也对于现代科学研究的发展和人类文明的进步产生了积极的推动作用。
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
