第二次数学危机

第二次数学危机PB08207005 蒋晓澄第二次数学危机发生在十七世纪。

十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。

而这个理论基础问题存在于微积分的主要创始人们在推导过程中引用的一个无穷小的量。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此微积分早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？莱布尼茨也在这些问题上没有办法自圆其说。

此后微积分得以迅猛发展，虽然有人在指责微积分的不严密性，但人们看见的更多的是微积分在解决问题时的出色表现。

但这个情况并没有持续多久，贝克莱出现了。

贝克莱是一名哲学家，也是一名神职人员。

他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的威胁。

1734 年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书。

“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。

贝克莱抱怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有说明理由。

贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面积》中进行的一些代数运算，也就是之前提到的关于无穷小量的矛盾。

贝克莱说，这是对矛盾律的蔑视，神学中不允许这样的推理。

他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有限的范围。

第二次数学危机的历史意义第二次数学危机是20世纪初期数学领域发生的一场危机，它包含了数学的基础、发展和应用等多个方面。

其历史意义不仅在于对数学的发展造成了深远的影响和启示，同时也对于其他领域的发展产生了重要的推动作用。

下面从以下几个方面来介绍第二次数学危机的历史意义。

1.数学的基础问题第二次数学危机凸显了数学基础问题的重要性。

数学作为一门基础学科，它的发展离不开对于本质概念的明确和严谨的证明。

在危机中，数学家们发现在一些理论中，基础假设并不是真正严谨的，这些假设的不确定性最终导致了理论的崩溃。

这个问题的意义在于，它促进了数学的基础研究，提高了数学的严谨性和有效性。

2.数学的发展方向第二次数学危机揭示了数学在发展中应考虑的方向和重点。

危机中，当时的数学家认为，研究数学的细节过多，研究范围过于琐碎，造成了研究的乏味和虚假。

因此，随着对于数学实践的认识逐渐深入，数学家们把更多的注意力集中在数学的背后思想和基础问题上，从根本上探究数学现象产生的原因和规律。

这也为现代数学的创新提供了思想上的启示。

3.数学应用的深入第二次数学危机的爆发也推动了数学应用的深入研究。

在当时，数学已经在物理学和工程学等多个领域有了广泛的应用，同时也揭示了现有的数学并不足以支撑这些领域的发展。

因此，在危机中，数学家们需要深刻性地思考，将现有的数学知识和理论与实际应用相结合，提出有效的理论解决问题，这也促进了数学知识在现实生活中的更广泛应用。

4.数学研究的国际化第二次数学危机对于数学研究的国际化也产生了重要的推动作用。

危机发生时，德国在数学领域处于领先地位，但是在第一次世界大战后，德国的科学发展遭受了重大打击，这也影响了德国在数学领域的地位。

同时，其他国家开始崛起，并且在数学研究上取得了显著成果。

这也为数学研究提供了更多的国际性交流和合作机会，推动了全球数学研究水平的提高。

总之，第二次数学危机不仅对于数学的研究和发展产生了深远的影响，同时也对于现代科学研究的发展和人类文明的进步产生了积极的推动作用。

数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。

这次危机通过实数理论的建立得到解决。

2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。

微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。

最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。

3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。

这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。

至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。

数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。

在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。

而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。

数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。

一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。

它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。

他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。

日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。

为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。

于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

有理数有一种简单的几何解释。

在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。

以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。

于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。

但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。

特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。

于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。

第二次数学危机十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。

从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。

微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论)，出现了这样那样的问题，被一些别有用心的人钻了空子。

事实往后百多年亦没有人能清楚回答这些问题。

这就是历史上的第二次数学危机，而这危机的引发和牛顿有直接的关系。

四悖论早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。

古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。

这造成数与量的长期脱离。

古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。

他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：运动不存在第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。

跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。

因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。

这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。

飞矢不动与游行队伍悖论而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。

第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。

第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。

这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。

当然他们无法解决这些矛盾。

希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。

它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。

他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。

第二次数学危机名词解释
嘿，你知道啥是第二次数学危机不？这可不是一般的事儿啊！
就好比你正在走一条路，本来走得好好的，突然前面出现了一团迷雾，让你一下子不知道该往哪儿走了。

第二次数学危机就有点像这样。

在历史的长河中啊，数学家们一直在探索数学的奥秘。

微积分的出现，那可是个超级大突破！就像给数学世界打开了一扇全新的大门。

但随之而来的，就是各种问题和争议。

比如说无穷小量，这玩意儿到底是个啥呀？有时候感觉它好像存在，有时候又好像不存在，这可把数学家们给难住了。

这就好像你看到一
个影子，你想抓住它，可怎么抓都抓不住。

当时的数学家们那是争论不休啊，“这怎么解释呀？”“这样对不对呀？”大家都在努力寻找答案。

牛顿和莱布尼茨，这两位大佬，他们可是微积分的重要推动者。

但
他们对于一些概念的解释也不是那么清晰，这就引发了更多的疑问和
讨论。

经过了很长时间的探索和争论，数学家们才慢慢搞清楚这些问题，
让数学又向前迈进了一大步。

这第二次数学危机啊，就像是数学发展道路上的一个坎儿，跨过去可不容易，但一旦跨过去，那就是一片新的天地！它让我们看到了数学的严谨性和不断发展的过程。

我觉得啊，第二次数学危机虽然给数学家们带来了很多困扰，但也正是因为有了这些挑战，才让数学变得更加精彩，更加有魅力呀！你说是不是？。

第7讲第二次数学危机-幽灵般的无穷小课时题目：第二次数学危机—微积分数学基础的重建课时目标：微积分自由发展后的回归严谨的过程教学难点：无拘束发展的微积分为什么会遇到危机，严谨的基础是如何重建的课时安排：1课时本课思考主题：数学发展周期：自由蓬勃发展-遭遇危机-回归严谨什么是数学危机?危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。

从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

人类最早认识的是自然数。

从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。

但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用整数之比来表示？于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。

可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。

几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。

在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。

这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。

这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。

非欧几何学的诞生欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。

尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。

尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。

十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。

特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。

既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。

数学的三次危机第二次数学危机数学的三次危机——第二次数学危机十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。

从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。

这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。

——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。

“阿基里斯(《荷马史诗》中的善跑的英雄)追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。

这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。

“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。

“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。

从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。

运动是矛盾的，所以运动是不可能的。

芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。

前两个悖论诘难了关于梁。

英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。

”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。

贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。

当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。

例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。

”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。

18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。

数学三大危机简介数学三大危机，涉及无理数、微积分和集合等数学概念。

今天小编在这给大家整理了数学三大危机资料，接下来随着小编一起来看看吧!数学三大危机第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。

而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。

小小根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的根号2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

第二次数学危机出现第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。