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第一讲：长方体和正方体的表面积同学们，我们已经知道长方体（或正方体）6个面的总面积，叫做它的表面积。
在实际生产和生活中，有时不需要计算6个面的总面积，只需要计算某几个面的总面积，解题时需要根据具体情况思考要求哪几个面的面积和，再进行计算。
解答这类问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和观察能力、作图能力和空间想象能力，还要掌握一些解题的方法和技巧。
例题1：小明和妈妈一起给奶奶买了一份礼物，营业员阿姨用一个长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体盒子装好，并用彩带捆扎起来（打结处的彩带长15厘米），一共需彩带多少厘米？【思路点拨】要求彩带的长度，应该将这些彩带分类整理。
这段彩带包括了打结的15厘米，高有4段，共32厘米，长宽各有2段，共有30×2+20×2=100厘米。
最后只要将这些彩带的长度相加即可。
想一想：还有别的解法吗？例题2：用5个相同的立方体，粘接成一个长方体，总棱长84厘米。
这个长方体的表面积是多少？【思路点拨】要求长方体的表面积的关键是求出长方体的长、宽、高；由于这个长方体是有立方体粘接成，若立方体棱长是a，那么长方体的长和高都是a，宽等于5a；根据题意，得4a×2+5a×4=84，a=3，表面积=a×a×2+5a×a×4=3×3×2+3×15×4=198（平方厘米）例题3：一个立方体增高2厘米（这样底面不变）后，得到一个长方体。
长方体的表面积比原来立方体的表面积增加了96平方厘米。
原来立方体表面积是多少平方厘米？现在长方体的表面积是多少？【思路点拨】长方体比立方体表面积增加了96平方厘米，就是增加了侧面的面积，即4个相等的长方形面积，这个长方形的宽是2厘米，长96÷4÷2=12厘米，长就是立方体的棱长。
立方体的表面积是：12×12×6=864（平方厘米）长方体的表面积是：864+96=960（平方厘米）想一想：还有别的解法吗？1、小明给教师买了一个教师节礼物，他用一个长方体纸盒装礼物，长方体纸盒长35厘米、宽20厘米、高8厘米把它用彩绳包扎起来，打结处需要20厘米(如图)，一共需要彩绳多少厘米?2、一个长方体的长是6厘米，宽和高都是2厘米。
每月最后一天的公式篇一：每个月都有不同的天数，有些是30天，有些是31天，还有二月份只有28天或29天。
不过，我们可以使用一个公式来计算每个月的最后一天是几号。
首先，我们可以得知每年都有12个月。
如果我们设定一个变量'month'来表示月份，那么1月对应的值就是1，2月对应的值就是2，以此类推。
接下来，我们需要考虑每个月的天数。
我们可以使用一个数组来存储每个月的天数，例如[31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31]。
数组的第一个元素对应1月的天数，第二个元素对应2月的天数，以此类推。
然后，我们可以使用一个公式来计算每个月的最后一天。
假设当前月份是month，那么最后一天的公式可以表示为：last_day = days_in_month[month-1]这个公式中，我们使用了数组'days_in_month'来获取当前月份对应的天数。
注意，我们需要将月份减去1，因为数组的索引是从0开始的。
举个例子，如果要计算7月的最后一天，我们将month的值设为7，那么公式就变成了：last_day = days_in_month[7-1] = days_in_month[6] = 31所以，7月的最后一天是31号。
使用这个公式，我们可以轻松计算每个月的最后一天。
无论是平年还是闰年，只要设定好月份和天数数组，就能得到准确的结果。
篇二：每月最后一天的公式是根据当年和当月的日期来计算得出的。
公式的目的是为了确定每月的最后一天是哪一天，并且可以在不同的年份和月份中使用。
一种常用的公式是使用每个月的天数来确定最后一天的日期。
大多数月份有30或31天，而二月份有28或29天，取决于是否是闰年。
根据这些规则，我们可以得出以下公式:1. 如果月份是1、3、5、7、8、10、12月，那么最后一天是31号。
2. 如果月份是4、6、9、11月，那么最后一天是30号。
3. 如果月份是2月，根据是否是闰年来决定最后一天是28或29号。
小升初六年级全册数学思维训练PDF版目录第1讲图解法解题（一） (1)第2讲图解法解题（二） (4)第3讲长方体和正方体（一） (8)第4讲长方体和正方体（二） (12)第5讲分数简便运算（一） (15)第6讲分数简便运算（二） (19)第7讲分数简便运算（三） (22)第8讲分数简便运算（四） (26)第9讲巧用比解应用题（一） (29)第10讲巧用比解应用题（二） (33)第11讲巧用比解应用题（三） (37)第12讲对应法解题 (41)第13讲转化单位一（一） (44)第14讲转化单位一（二） (49)第15讲倒推法解题（一） (53)第16讲分数百分数应用题 (57)第17讲假设法解题（一） (60)第18讲假设法解题（二） (63)第19讲设数代入法（一） (66)第20讲设数代入法（二） (70)第21讲工程问题（一） (73)第22讲工程问题（二） (77)第23讲较复杂的百分数应用题 (81)第24讲成本和利润 (84)第25讲浓度问题 (87)第26讲假设法解题练习 (90)第27讲较复杂的行程问题 (94)第28讲圆柱和圆锥 (97)第29讲用比例解题 (105)第30讲不定方程 (109)应用题综合练习 (112)综合练习（一） (120)综合练习（二） (124)综合练习（三） (127)六年级数学思维训练第1讲图解法解题（一）例1：有甲乙两个车间，如果从甲车间调10人到乙车间，则两个车间的人数正好相等；如果从乙车间调20人到甲车间，则甲车间的人数恰好是乙车间的3倍，原来两个车间各有多少人？例2：甲乙两数的和是52，甲数的3倍与乙数的5倍的和是202。
求甲乙两数各是多少？例3：某学校运来两堆煤，第一堆比第二堆多40吨，两堆各用去30吨后，剩下的第一堆煤是第二堆煤的3倍。
求两堆煤原来各多少吨？-1-关注每一个孩子的成长让每一位学生都有进步例4：甲油库原存油是乙油库的6倍，若两油库各增加60吨后，则甲库的存量是乙库的3倍。
六年级数学思维训练
1、修一段公路，如果将速度降低20%，时间会多用6天，当按照原来的速度建好18千米时，增加了施工力量，修建速度提高了40%，这样比计划提前6天完成修建任务，这条公路要修多少千米？
2、长方体①和长方体②恰好能拼成一个正方体。
长方体①的表面积是长方体②50%，那么那么长方体①的体积是②体积的几分之几？
3、小游轮在一条流速为每秒3米的河中以每小时40千米的速度逆流航行。
一只救身圈掉到了河中，这条船又继续前行了24分钟后掉头行驶，速度不变，问：游船顺流大约多少时间追上救生圈？
4、下午15时49又11分之1分，时针分针之间的夹角是多少度？
5、有一杯120克含盐30%的盐水和一杯180克含盐18%的盐水，都倒出相同质量的盐水交换倒入另一杯 中，使两杯盐水含盐率相同。
每杯中倒出多少克盐水？
6、在平行四边形MNOP 中，NP 是对角线，A 、B 分别是NO 和OP 上任意一点且线段AB 平行于NP 。
CN=2CM.三角形ACN 的面积是36平方厘米。
那么三角形BMP 的面积是多少平方厘米？
7、6.如图，在三角形ABC 中，AE=2EC ，D 为BC 的中点，三角形ADC 的面积是
21三角形BCE 的面积的61c 求阴影部分的面积。
小学六年级上册数学经典题型思维训练（含解析）【知识视窗】：能识别求一个数的几分之几是多少的应用题的结构特征，分辨分数带单位和不带单位的区别。
【典例精析】例1、一根绳子长36米，第一次用去，第二次用去米，问还剩下多少米?【分析】：分数不带单位表示两个数量的倍数关系，带单位表示一个具体的量，因此题中所给的两个表示不同意思，不能混为一谈。
【解答】：36—36× —=36—9—=26 (米)。
答：还剩下26 米。
例2、一件衣服原价100元，先降价，再涨价，问衣服现在的价格是多少?【分析】：这题先降价，再涨价，看似降价和涨价一样多，实际上是不一样的。
第一次是在100元的基础上降价，第二次是在降价后的价格(90)上涨价，因此衣服的价格发生了变化。
【解答】：100×(1— )=90(元)90×(1+ )=99(元)答：衣服现在的价格是99元。
例3、一篮子鸡蛋有81个，第一位顾客买走，第二位顾客买走剩下的，第三位顾客买走剩下的，第四位顾客买走剩下的，这时篮子里还剩多少个鸡蛋?【分析】：把原来篮子里的鸡蛋看作单位“1”，那么第一次买走了总数的，第二次买走了总数的，第三次买走了总数的，第四次买走了总数的，也就是说每次买走的都是总数的，共买了四次，还剩下总数的。
【解答】：(个)答：还剩下45个鸡蛋。
例4、甲、乙、丙、丁四人共植树60棵，甲植树的棵树是其余三人的，乙植树是其余三人，丙植树是其余三人的，丁植树几棵?【分析】：题目中出现三次“其余三人”但“其余三人”所包含的对象不同，因此，三个单位“1”不同。
我们可以把四人的种棵树作为单位“1”，“甲植树的棵数是其余三人的”，就可理解为甲植树的棵数占1份，其余三人占2份，那么甲植树的棵数占总棵数的= ，同理，乙植树的棵数占总棵数的= ，丙植树的棵数占总棵数的= ，这些过程就是所谓的转化单位“1”，使单位“1”统一为总棵数。
【解答】：丁植树的棵数占总棵数的：1- - - =丁植树棵数是：60× =13(棵)答：丁植树13棵。
第一讲比赛中的推理本讲中咱们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题，这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至有讨论进球数、失球数的。
不同类型的问题我们都可能用图表法来处理。
例题1：编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘，现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？[分析] 为了让问题更加直观，我们可以用6个点来分别表示这6个同学，比赛过的两个同学之间就把对应的点用线连起来，标出各自比赛的盘数，使抽象的问题变得直观。
练习1A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛，不同学校间只比赛1场，比赛进行若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、3、2、1。
这时候A校足球队已赛过多少场？例题2 A、B、C、D、E、F六年国家的足球队进行单循环比赛（每队都与其他球队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛。
已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C。
那么第五天与A队比赛的是哪个队？[分析] 题目的条件比较多，如何才能化繁为简呢？这种问题我们通常可以运用列表法来分析。
如图，第二列从上到下依次表示A在5天分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推，观察表格，这个表格中的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？练习2 五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空。
已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与以的比赛在B与D的比赛之间进行，那么C与E在哪一天比赛？例题3 甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定：胜者得2分，平局各得1分，输者得0分。
请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、两并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？[分析]（1）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四人中挑出两人的方法数（四选二）；（2）比赛的胜负情况有多少种可能？那么总分也有多少种可能呢？只要稍加考虑每场比赛双方得分之和就清楚了；（3）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不能太大，也不能太小，那么会是多少呢？练习3 有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队比赛一场，比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分。
六年级数学上册思维训练（一）
姓名： 成绩：
1.有两根一样长的绳子,第一根用去了53m,第二根用去了它的 53。
哪一根用去的多?
2.食堂有面粉54t,第一天用了245，第二天用了245t,这两天一共用了多
少吨?
3.婷婷有13.5元零花钱,如果她拿出自己零花钱的9
1给妹妹,那么两人的钱一样多,妹妹原来有多少钱?(可先画图,再解答)
4. 四大名著之一《水浒传》共429页,小玲第一天看了全书的11
1,第二天看的页数是第一天的1310，两天一共看了多少页？
5.一种遥控玩具飞机原价是250元,国庆节期间降价51促销,节后又涨价51
销售。
这种玩具汽车节后价格是多少元？
6.学校“希望林”要修一条长240m 的石子小,第一天修了这条小路的31,第二天修了余下的8
3，这条小路还有多少米没有修？
7.六年级四个班共同完成720个道具的任务,一班完成了其他三个班的一半,二班完成了其他三个班的31,三班完成了其他三个班的41，四班完成了多少个道具?
8.甲、乙两厂共有2000名工人。
如果甲厂调出原有工人的4
1 乙厂调出110人,则甲、乙两厂剩下的人数相等。
甲、乙两厂原有工人多少名?
9. 学校图书室有科技书1200册,故事书比科技书多8
1,工具书是故事书的5
3。
图书室有故事书多少册？
10. 一根木料长59m,把它锯成103m 长的小段木料。
每锯一次需要2分
钟,一共需要多少分钟?。
第十六讲面积计算（二）第一部分：趣味数学两球间隙哪个大在兴趣小组活动中，老师给同学们出了这样一道题：假定我们给地球腰上打一个箍，也给小小的足球的腰上打一个箍，要求箍打得不大不小，刚好紧紧地套住球。
如果现在这两个箍的周长都增加了1米，试问把这两个箍分别套到这两个“球”上去时，“箍”和“球”之间的间隙哪个大？【答案】一样大第二部分：习题精讲【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米[3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。
把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习一：1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）2．如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。
求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。
如图所示。
3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。
第1讲 比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：（1）比较这几个分数的大小： 52、73、2310、2912、3715（2）试比较77755和7777555，那个分数大？……如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。
本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。
例1： 已知A 321⨯=B ÷43 = C 109⨯= D 54⨯=E 511÷(ABCDE 都不等于0)，将A 、、B 、C 、D 、E 按从大倒小的顺序排叠起来。
分析与解 为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成A 321⨯=B 311⨯=C 109⨯=D 54⨯=E 65⨯。
下面我们可以运用倒数的知识来解决这一问题。
首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。
那么，A 就是321的倒数，即53；同理，B 应是43，C 是911，D 是411，E 是511。
这样，我们很容易就能比较出这五个数的大小。
因为411＞511＞911＞43＞53,所以D ＞E ＞C ＞B ＞A.随堂练习一：如果a=b 521⨯=65c=d 54⨯(a 、b 、c 、d 均不等于0)，a 、b 、c 、d 四个数中，谁最大?谁最小？例2：将下列分数从小到大排列起来：52 、73、2310、2912、3715。
分析与解 比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。
就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。
因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化为：15060、14060、13860、14560、14860。
由150＞148 ＞145＞ 140＞ 138，可以得到：15060﹤14860﹤14560﹤14060﹤13860，即52﹤3715﹤2912﹤73﹤2310。
方法点评 如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。
我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。
随堂练习二：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。
175、196、4615、3310、3730 例3：已知A=55555555555553，B=666663666661。
试比较A 与B 的大小。
分析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。
但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。
我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。
因为比A 比1少55555552，B 比1少6666632，而55555552﹤6666632，所以A ﹥B 。
方法点评 如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与1的差，再确定这两个数的大小。
随堂练习三：试比较下列两个分数的大小。
445443和559557例4：比较77755和7777555，那个分数大？ 分析与解 这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。
仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。
想一想，这是为什么？77755的倒数是55714，7777555的倒数是555714，因为55714﹥555714，所以77755﹤7777555。
方法点评 从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。
随堂练习四：试比较19219和17217的大小。
例5：试比较下面两个分数的大小。
10061207和20062207分析与解 观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。
但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母2006=1006+1000，即第一个分数10061207的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数20062207。
方法点评 当a ﹥b 时， b a ﹥k b ka ++,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，得到的新分数比原分数小，所以10061207﹥20062207。
同理，一个真分数的分子和分母都加上同一个数，得到的分数比原分数大。
随堂练习五：比较2329与123129的大小 拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。
1918、3736、3231、4847、1615 2、比较下面两个分数的大小。
999499和1001501 3、比较332221和665443的大小。
4、比较123456789987654321与20091234567892009654321987+++的大小。
5、比较83837171与838383717171的大小。
第2讲 速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。
因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。
本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。
例1：计算下面各题。
（1）17164÷9 （2）2003÷200420032003分析与解 同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1）17164分成一个9的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003后，计算就很简便了。
（1）17164÷9 （2）2003÷200420032003=（63+1711）÷9 =（2003÷2003）÷（200420032003÷2003）=63 ÷9 + 1711÷9 =1÷（2003÷2003+20042003÷2003） =7+911718⨯ =1÷200411=1727 =20052004方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。
随堂练习一：计算：（1）555655⨯（2）167168167167÷例2：计算：（1+61514131+++）⨯（1+5141+）—（1+5141+）⨯（61514131+++）分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。
设61514131+++=A 1+5141+=B ，原来的算式可以转化成： （1+A ）⨯B-B ⨯A=B+AB-AB =B所以本题的结果为：1+5141+=2091 方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。
随堂练习二：计算：（1+978573++）×（52+978573++）-（1+52+978573++）×（978573++）例3：计算 (31)3233323121222111+++++++++501502...50485049505050495048...503502501+++++++++++ 分析与解 这组分数的特点是：分母为1的分数有1个，分母为2的分数有3个，分母为3的分数有5个……且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5…这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）×项数÷2=数列的和。
原式=1+2+3+4+…+49+50 =（1+50）×50÷2 =1275方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。
随堂练习三： 计算：...313233323121222111++++++++++201..202.201920202019...203202201++++++++ 例4：计算：（1）（1321111213+）÷（135115+） （2）032003200320200320032003022002200220200220022002++++分析与解 （1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：1321111213+=1314511145+=145×(131111+),135115+=5×(131111+).所以， 原式=（1314511145+）÷（135115+）=145×(131111+)÷5×(131111+)=145÷5=29 （2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和2003组成。
因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。
因为2002=2002×120022002=2002×10001200220022002=2002×1000110001所以2002+20022002+200220022002=2002×（1+10001+100010001） 同理2003+20032003+200320032003=2003×（1+10001+100010001） 原式=)100010001100011(2003)100010001100011(2002++⨯++⨯=20032002随堂练习四：计算：（1）（91111119+）÷（94114+） （2）2323232323232323232317171717171717171717++++++例5：计算 20191...431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 分析与解 这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。
下面我们来分析一下：211⨯=1-21，321⨯=3121-，….20191⨯=201191- 20191...431321211⨯++⨯+⨯+⨯=1-21+3121-+…+201191- =1-201 =2019 方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。
但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。
