数学分析4.1函数连续性概念(习题)

第四章 函数的连续性 1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f(x)=1x ；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=1x 的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞) 当x,x 0∈D 时，有 1x −1x 0= x −x 0|x||x 0|由三角不等式可得：|x|≣|x 0|-|x-x 0|，∴ 1x −1x 0≢ x −x 0|x0|2−|x −x 0||X 0|对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有 x −x 0|x 0|2−|x −x 0||X 0|<δ|x 0|2−δ|X 0|∴要使 1x −1x 0<ε，只要使δ|x 0|2−δ|X 0|=ε，即当δ=εx 021+ε|X 0|>0时，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在其定义域内连续. (2)f(x)=|x|在R 上都有定义。

任取x, x 0∈R ，有||x|-|x 0||≢|x-x 0|. 对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有||x|-|x 0||<δ ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在R 连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=x +1x ；(2)f(x)=sinx|x|；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)； (6)f(x)= x, x 为有理数−x, x 为无理数；(7)f(x)= 1x+7, x <−7x, −7≤x ≤1 x −1 sin 1x −1, x >1.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点. (2)f(x)在x=0间断. ∵lim x →0+sinx|x|=lim x →0+sinx x=1，lim x →0−sinx|x|=lim x →0−sinx −x= -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=n π间断，(n=0,±1,±2,…)∵limx→nπ+[|cos x|]=0，limx→nπ−[|cos x|]=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点.(4)f(x)在x=0间断，∵limx→0+sgn |x|=1，limx→0−sgn |x|=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±π2间断，(k=0,±1,±2,…)∵limx→(2kπ+π2)+sgn(cosx)=-1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= 1；limx→(2kπ−π2)+sgn(cosx)= 1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= -1，∴x=2kπ±π2是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵limx→−7+f(x)=-7，limx→−7−f(x)不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又limx→1+f(x)=0，limx→1−f(x)=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=x3−8x−2；(2)f(x)=1−cos xx2；(3)f(x)=xcos1x.解：(1)∵f(x)=x 3−8x−2在x=2没有定义，且limx→2x3−8x−2=limx→2(x2+2x+4)=12；∴延拓函数得F(x)=x3−8x−2, x≠212, x=2在R上连续.(2)∵f(x)=1−cos xx2在x=0没有定义，且limx→01−cos xx2=limx→02sin x22x2=limx→0sin x222x22=12；∴延拓函数得F(x)=1−cos xx2, x≠012, x=0在R上连续.(3)∵f(x)=xcos1x 在x=0没有定义，且limx→0xcos1x=0；∴延拓函数得F(x)=xcos1x, x≠00, x=0在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≣||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<M2，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<εM.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≢|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<εM·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =x, x为有理数−x, x为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则limx→0f(x)=f(0)；limx→0g(x)=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴limx→0f(x)=limx→0g(x)，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。

第四章函数的连续性第一节 连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）x x f 1)(=； （2）x x f =)(。

证：（1）xx f 1)(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有0011x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有02011x x x x x x x x ---≤-对任意给的正数ε，取,01020>+=x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-=-0011)()(x x x f x f 可见)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。

(2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。

2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1+； （2）=)(x f xx sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ；（6）=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11sin )1(17,7,71解： （1）)(x f 在0=x 间断，由于)1(lim xx x +∞→不存在，故0=x 是)(x f 的第二类间断点。

（2）)(x f 在0=x 间断，由于 1sin lim )(lim 00==++→→xxx f x x ， 1sin lim )(lim 00-=-=--→→xxx f x x 故0=x 是)(x f 的跳跃间断点。

第四章 函数的连续性(计划课时：1 2 时)§1 函数的连续性( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义. 定义 (用).()(lim 00x f x f x x =→)定义 (“δε-”定义.)定义 (用0lim 0=∆→∆y x ) 先定义x ∆和.y ∆例1 函数12)(+=x x f 在点20=x 连续.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(x x xx x f 在点00=x 连续. 例3 函数)()(x xD x f =在点00=x 连续.注: 若函数)(x f 在点0x 连续,则)()(lim 00x f x f x x =→,又因00l i mx x x x =→,从而)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=,即在)(x f 的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序.3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th1 (单、双侧连续的关系)例4⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=.0 ,2,0,,0 ,2)(x x x A x x x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性. 二.间断点及其分类:图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况(即)0(0+x f 或)0(0-x f 中至少有一个不存在)称为第二类间断点. 例5 讨论函数x x f sgn )(=的间断点类型.例6 延拓函数,sin )(xxx f = 使在点00=x 连续. 例7 讨论函数][)(x x f =的间断点类型.例8讨论函数xx f 1sin )(=的间断点类型.例9讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性. 三．区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex [1]P 73 1—5.§2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为Th 1—4.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数f 在点0x 连续,函数g 在点0u 连续,且)(00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续. ( 证 )注:Th 4 可简写为 ()().)()lim ()(lim )(lim 0000x f g x f g x f g x f g x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→例1求极限 ).1sin(lim 21x x -→例2求极限:⑴;sin 2lim 0x x x -→⑵.sin 2lim xxx -∞→例3 求极限 .)1ln(lim0xx x +→(x ln 的连续性见后).二、闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性:先定义最值. Th 5 ( 最值性 ) 系 ( 有界性 )2. 介值性: 定义介值. Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系 ( 零点定理 )例4 证明: 若,0>r n 为正整数,则存在唯一正数0x ,使得r x n=0(0x 称为r 的n 次正根(即算术根),记作n r x =0).例5 设f 在],[b a 上连续,满足],[]),([b a b a f ⊂,证明:],,[0b a x ∈∃使得00)(x x f =.二. 反函数的连续性:Th 7 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1-f 在相应的定义域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续. ( 证 )关于函数αx x x y , , arcsin =等的连续性Ex [1]P 80—81 1—10四． 函数的整体连续性 —— 一致连续： 1． 连续定义中δ对0x 的依赖性 ：例6考查函数xx f 1)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性.对], 1 , 0 (0∈∀x 作限制,12≤<x x 就有 . 22 11 20000000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>∀ε , 取 }. 2, 2 min{020xx εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ. 本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.例6考查函数xx f 1)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2, 2 min{2cc εδ= 该δ却与0x 无关, 可 记为)(εδ.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对0>∀ε, 确证)0(>δ存在. 为此, 从不失真地放大 式 )()( x f x f ''-'入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x x ''-'之外, 其余部分中不含 有x '和x '', 然后使所得式子ε<, 从中解出.x x ''-'例8 验证函数 )0( )(≠+=a b ax x f 在) , (∞+∞-内一致连续.例9 验证函xx f 1sin )(=在区间 )10( ) 1 , (<<c c 内一致连续. 证 ,c o s 2s i n 2 1s i n 1s i n 22121212121212121c x x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-例10 若函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续, 则)(x f 在),(b a 内有界.3. 一致连续的否定: 否定定义.例11 证明函数xx f 1)(=在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10<∀=δε 取}, 21, min{δ='x 与,2x x '='' 便有 .22δδ<≤'=''-'x x x 但 .12121 11 0ε=>≥'=''-'=''-'x x x x x 证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz 连续与一致连续: 定义Lipschitz 连续.例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ⇒在I 上一致连续. ( 证 )但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.(为证明x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明不等式: ,0, 21≥∀x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上,21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+利用该不等式, 为使=-221 )()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 .221ε<-x x )却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈∀x x 有, )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-则当21x x ≠时，应成立.121L x x ≤+但若取,4 ,12221nx n x ==就有 ). ( ,3121∞→∞→=+n nx x 矛盾. 5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, )( x f ⇒在],[b a 上一致连续. 例13 见[1]P80例10.Ex [1]P 102 8，9，10.§3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例1求函数2ln 1)(-+=x x x f 的连续区间和间断点.解). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+⋃⋃⋃-=f D∴)(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+. 间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续 ).二. 利用函数的连续性求极限: 例2.cos )1ln(lim20xx x +→例3.1111lim 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例4().1lim sec 0xctgxx tgx +→ 解I = ()().)1(lim )1(lim 1sec lim 0sec 0e e tgx tgx xctgxx xctgx x x ==+=+→→→例5().sin 1sinlim x x x -++∞→解=-+x x sin 1sin .21cos 21sin2xx x x ++-+,021lim sin 21sin lim ,121cos=-+=-+≤++∞→+∞→xx x x x x x x∴I = .0Ex [1]P 84 1，2；。

函数连续性判定方法例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。

它不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际问题的解决中也有着广泛的应用。

本文将通过一些例题来详细讲解函数连续性的判定方法，并对相关知识点进行总结。

一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。

用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在区间内的每一点都连续，就称函数在该区间上连续。

二、函数连续性的判定方法1、利用定义判定直接根据连续性的定义，计算函数在某点的极限是否等于该点的函数值。

例 1：判断函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处的连续性。

解：＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} x^2 ＝ 1^2 ＝ 1$，而＄f(1) ＝ 1^2 ＝ 1$，因为＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝ f(1)＄，所以函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处连续。

2、左右极限相等且等于该点函数值如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值，则函数在该点连续。

例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 3, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。

解：左极限＄＼lim_{x ＼to 1^｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^｝（x ＋1) ＝ 2$，右极限＄＼lim_{x ＼to 1^＋｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^＋｝（x 1) ＝ 0$，因为左极限和右极限不相等，所以函数＄f(x)＄在＄x＝ 1$ 处不连续。

函数连续性与间断点例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。

理解函数的连续性和间断点对于解决许多数学问题都有着至关重要的作用。

下面我们将通过一些例题来深入探讨这一概念，并对相关知识点进行总结。

一、函数连续性的定义如果函数$f(x)＄在点$x_0$的某个邻域内有定义，并且当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)＄的极限等于函数在$x_0$处的函数值，即$＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄，那么我们就说函数$f(x)＄在点$x_0$处连续。

通俗地说，函数在某一点连续，意味着在这一点附近，函数的图像没有“断裂”。

二、函数间断点的定义如果函数$f(x)＄在点$x_0$处不满足连续的条件，那么我们就称点$x_0$为函数$f(x)＄的间断点。

间断点可以分为以下几种类型：1、可去间断点：函数在该点的极限存在，但函数在该点无定义，或者函数在该点的函数值与极限值不相等。

例如，函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，在$x ＝ 1$处无定义，但$＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝＼lim_{x ＼to 1} （x ＋ 1)＝ 2$，所以$x ＝ 1$是可去间断点。

2、跳跃间断点：函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。

比如，函数$f(x) ＝＼begin{cases} 1, ＆ x ＜ 0 ＼＼ 2, ＆ x ＼geq 0＼end{cases}＄，在$x ＝ 0$处，左极限为$1$，右极限为$2$，左右极限不相等，所以$x ＝ 0$是跳跃间断点。

3、无穷间断点：函数在该点的极限为无穷大。

例如，函数$f(x) ＝＼frac{1}｛x}＄，在$x ＝ 0$处的极限为无穷大，所以$x ＝ 0$是无穷间断点。

4、振荡间断点：函数在该点的极限不存在，且函数值在某个区间内来回振荡。

比如，函数$f(x) ＝＼sin ＼frac{1}｛x}＄，在$x ＝ 0$处，极限不存在，函数值在$－1$和$1$之间来回振荡，所以$x ＝0$是振荡间断点。

函数的连续性问题(讲解)连续性是函数学中一个十分重要的概念，它涉及到极限、导数等多个知识点的运用。

本文将结合数学公式和图形，讲解函数连续性的相关问题。

什么是函数的连续性函数的连续性是指当自变量取一个接近某一值时，函数值也随之接近一个确定的值，换言之，函数在该点附近的图像不会出现突变。

换一种说法，如果一个函数在某个点的左侧、右侧和该点处的值都存在并相等，那么这个函数就是在该点的连续的。

函数的间断点具体来说，如果一个函数在某个点的值不存在，或者存在但和左右两侧的值不相等，那么这个点就是函数的间断点。

常见的间断点有可去间断点和跳跃间断点。

可去间断点是指，在函数的某个点上左极限、右极限存在，并且相等，但是函数本身在该点的值会“跳跃”，例如$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$在$x=0$处的函数值即为可去间断点。

跳跃间断点是指，在函数的某个点上左极限和右极限都存在，但是值不相等，例如$f(x)=[x]$在整数处的函数值即为跳跃间断点。

连续函数与间断函数函数有时可以用连续函数和间断函数的形式表示。

如果一个函数在定义域内的所有点处都是连续的，那么这个函数就是连续函数。

反之，如果一个函数在定义域内至少有一个点是不连续的，那么这个函数就是间断函数。

应用举例举个例子，我们可以来看一下函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$的连续性。

首先，我们可以求这个函数在$x=0$处的极限。

因为$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$，所以$f(0)$的定义为$1$。

由于$f(x)$在$x=0$处的极限存在并且等于$f(0)$，因此$f(x)$是在$x=0$处连续的。

再举个例子，我们可以来看一下函数$g(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的连续性。

因为$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$不存在，因此$g(x)$在$x=0$处不连续。

总结本文简单讲解了函数的连续性问题，包括连续性的具体定义、间断点的分类、连续函数和间断函数的区别，以及应用举例。

函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。

如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。

2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。

如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。

3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。

如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。

4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。

由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。

例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。