矩形的性质(一)

第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定（一）教学目标知识与技能：了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．过程与方法：经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．情感态度与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重难点、关键重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．教学准备教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．学法解析1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，•积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．教学过程一、联系生活，形象感知【显示投影片】教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，•平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）[来源:21世纪教育网学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．[来源:学*科*网Z*X*问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，•那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才∠α变为90°，可以得到∠α的补角也是90°，从而得到：矩形的四个角都是直角．评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等。

矩形的认识与性质矩形是我们在日常生活中经常遇到的一种形状。

矩形具有一些独特的性质和特点，通过深入了解矩形的认识和性质，我们能够更好地应用它们在实际问题中。

一、矩形的定义和特征矩形是一种具有四条边的平面图形，其内部的四个角是直角。

矩形的特征包括：1. 四个角度都是直角；2. 相对的边是相等的，即对边互相平行且长度相等；3. 对角线相等且互相平分。

二、矩形的性质1. 对角线相等矩形的对角线相等，并且互相平分。

这意味着从一个角到另一个相对角的距离相等，可以通过这个性质来进行测量和计算。

2. 边长关系在矩形中，相对的边是相等的。

这意味着一个矩形的宽度和长度相等，或者说它的边长相等。

3. 周长和面积矩形的周长可以通过两倍的长度加上两倍的宽度来计算，即2 × (长度 + 宽度)。

而面积可以通过长度乘以宽度来计算，即长度 ×宽度。

4. 矩形的对称性矩形具有一个或多个对称轴。

比如，如果将矩形沿着它的中心水平或垂直折叠，两边会完全重合。

这是矩形对称性的体现。

5. 矩形的角度关系矩形的四个角都是直角，这是它的基本特征之一。

直角具有独特的性质，可以通过直角关系来解决实际问题。

三、矩形的应用矩形在现实生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 建筑设计矩形是建筑设计中常见的形状，例如房屋的墙壁、窗户和门等。

通过矩形的性质，我们可以计算房间的面积和周长，从而进行设计和施工。

2. 地图和测量在地图上，我们经常使用矩形来表示建筑物、土地和街道等。

通过对矩形形状的测量，我们可以计算出相应地区的面积或距离，为规划和导航提供便利。

3. 制作家具很多家具都是矩形形状的，比如桌子、书柜、床等。

通过了解矩形的特征和性质，我们可以更好地设计和制作家具，使其更稳定、美观。

4. 数学问题矩形在数学问题中也经常出现。

例如，在计算面积、周长和对角线的长度时，矩形的性质可以用来简化计算步骤，提高解题效率。

总结：矩形是我们生活中常见的形状之一，具有直角、边长相等以及对角线相等等特征。

什么是矩形_矩形的性质矩形是一种平面图形，包括长方形与正方形，那么你对矩形了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是矩形的内容，希望大家喜欢!什么是矩形矩形(rectangle)是一种平面图形，包括长方形与正方形。

是特殊的平行四边形，因为平行四边形具有不稳定性，所以当改变一个内角大小，而不改变各边长并仍保证为平行四边形矩形至直角时，便有了矩形。

所以矩形的四个角都是直角，同时矩形的两组对边分别相等，对角相等，邻角互补，对角线相等且互相平分，故两条对角线可以将一个矩形分为四个面积相等的等腰三角形，而且在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

还有我们知道，在任意四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为平行四边形{可用中位线定理证明}。

而在一个对角线互相垂直的四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为矩形。

判定矩形一般有3种基本方法：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形{定义判定法}2.有三个角是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形{即对角线相等且互相平分的四边形}是矩形矩形的判定1.一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形。

3.三个内角都是直角的四边形是矩形。

说明：矩形和正方形都是平行四边形。

平行四边形的定义在矩形上仍然适用。

矩形的性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形判定应用例1：已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4.求这个平行四边形的面积。

分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形(如图个4-37)，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积为例2：已知：如图4-38在ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形.分析：根据定义去证明一个角是直角，由△ABM≌DCM(SSS)即可实现。

自学资料一、矩形及其性质【知识探索】1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也是长方形．2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的两条对角线相等．【说明】（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形．对称中心是其对角线的交点，对称轴是每组对边的垂直平分线．【错题精练】例1．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）cm．第1页共7页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 20；B. ；C. ；D. 25．例2．已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．例3．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积例4．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为__________ ．第2页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．3．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．4．如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB=6，BC=8，则四边形OECD的周长为__________ ．第3页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________ 度二、矩形的判定【知识探索】1．矩形的判定：（1）对角线相等的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．【错题精练】例1．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线与点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50∘，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．例2．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．第4页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．2．已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．1．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．2．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）第5页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. △AFD≌△DCEB. AF=ADC. AB=AFD. BE=AD﹣DF3．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．（1）证明：CE=CF；（2）若∠B=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．（如图2所示）4．如图，在直线MN上和直线MN外分别取点A、B，过线段AB的中点作CD平行于MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C、D．求证：四边形ACBD是矩形．5．如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA=EB．求证：▱ABCD是矩形．6．下列说法中，错误的是（）第6页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形第7页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训。

D BCA ODBCAODB CAO北师大版九年级上数学科导学案（4）课题：1.1 矩形的性质与判定（1） 主备： 审核：初三备课组班级 姓名 学号 家长签名教学目标：1.理解掌握矩形的性质和直角三角形的性质3 2．灵活应用矩形的性质进行有关的计算 一、 知识回顾（可做小测）1. 菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23cm,则另一条对角线的长是2. 菱形的一边与两条对角线所构成两角之比为5∶4，则它的各内角度数为_______。

2、如图，AD 是△ABC 的角平分线.DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，四边 形AEDF 是菱形吗？说明你的理由。

（写在上面空白处） 二． 预习交流（课前完成）阅读第11—13页，回答： 1. 定义：有一个角______的平行四边形是矩形.数学语言表示:∵在□ABCD 中，∠A=______∴□ABCD 是矩形2.矩形性质：(1)具有平行四边形的所有性质：a b c 等 (2)边 （3)角：对角 邻角 （4）对角线： (5)矩形还具有对称性：是___ 对称图形，它有___ 条对称轴； 又是___ 对称图形，它的对称中心是 .3.已知：如图，在矩形ABCD 中，∠ABC=90°对角线AC 与BD 相较于点O. 求证： （1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DBA=90°；（2）AC=BD 证明：小结：定理：1.矩形的四个角都是直角。

2.矩形的对角线相等。

三．互助探究（先各自独立完成，再师友互助）1.P12）B A O EDC BAD BCA OEDCBA2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相较于O 点,已知∠AOD=120°，AB=2.5， 求这个矩形对角线的长。

四．分层提高1、 已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相较于点O ，AB=6，OA=4. 求BD 与AD 的长。

2、 一个矩形的对角线的长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长。

《矩形的性质与判定》（1）教学设计教材来源：北师大版九年级数学（上）第一章第二节第一课时授课对象：九年级学生设计者荥阳市第一初级中学张炎赵亚萍一、内容和内容解析：《矩形的性质》一课属于初中平面几何重点知识。

本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的性质与判定的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容菱形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。

依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。

矩形是平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。

二、目标和目标解析：课标要求：？理解矩形的概念，以及它与平行四边形的关系；探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等。

根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为：(1) 通过一个活动的平行四边形教具演示,描述出矩形的定义，能说出矩形与平行四边形的关系。

(2) 通过小组合作观察，测量、猜想矩形的性质，并能进行推理证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题。

针对本节课的三个学习目标，评价任务如下评价任务一：用自己的语言描述矩形的定义，说出矩形与平行四边形的关系。

#评价任务二：准确说出矩形的性质并进行推导证明。

评价任务三：独立思考，完成例题及练习题三、教学问题诊断分析：1、学生的已有基础：学生在小学时对矩形已经有了初步的了解，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。

2、学生面临的问题：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。

6.2矩形的性质与判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.（2）四个角都是直角.（3）对角线相等.（4）是轴对称图形，有4条对称轴.定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.基础闯关矩形的定义与性质1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。

A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 .7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。

8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。

设F 、H分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。

第1题第2题第4题 第6题 第9题 第12题 《18.2.1 矩形的性质》练习一、选择——基础知识运用1．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．5cm 2．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，EF ⊥AD交AD 于点F ，若EF =3，AE =5，则AD 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角为30°，最短边长为5cm ，则最长边上的中线是（ ）A ．5cmB ．15cmC ．10cmD ．2.5cm4．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF =7，BC=10，则△EFM 的周长是（ ）A ．17B ．21C ．24D ．27 5．如图，在矩形ABCD 中，AF ⊥BD 于E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，则图中面积相等但不全等的三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC ，OA =3，OC =6，将△ABC沿对角线AC 翻折，使点B 落在点B ′处，AB ′与y 轴交于点D ，则点D的坐标为（ ）A ．（0，-）B ．（0，-）C ．（0，-）D ．（0，-）7.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）8.已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）A .B .C .D .9.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（ ）A .1.6B .2.5C .3D .3.410.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或2011.菱形具有而矩形不具有性质是（ ）第5题第13题 第14题 第15题 第16题 第18题 A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分且相等12.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ，延长AF .EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED ．正确的是（ ）A.②③B.③④C.①②④D.②③④13.如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF 、GH 的交点P 在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）A.3对B.4对C.5对D.6对14. 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠AED 的大小是（ ）A.60°B.50°C.75°D.55°15.如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于E ，F 点，连接CE ，则△CDE 的周长为（ ）A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm16.如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，则图中全等的直角三角形共有（ ）A.6对B.5对C.4对D.3对17.矩形ABCD 中的顶点A 、B 、C 、D 按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B 、D 两点对应的坐标分别是（2，0）.（0，0），且A 、C 两点关于x 轴对称，则C 点对应的坐标是（ ）A.（1，1）B.（1，﹣1） C .（1，﹣2） D.（，﹣）18.如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）A.600m 2B.551m 2C.550m 2D.500m 2二、填空——知识巩固运用19．如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是（0，0），右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），则右上方的点的坐标是 .20．长方形ABCD 面积为12，周长为14，则对角线AC 的长为 .21.如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上．若OB ＝，21＝OC BC ，求点A ′的坐标为 ．22.在矩形ABCD 中，A （4，1），B （0，1），C （0，3），则点D 的坐标为 ．23.如图，一张矩形纸片沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于_________．第21题 第22题 第24题第23题24.如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小关系为______________．三、解答——知识提高运用25．如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF =BD，连接AF，求∠BAF的大小.26．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，DC⊥DB，BE⊥EC，F为BC上的一个动点，猜想：当F为于BC上的什么位置时，△FDE是等腰三角形，并证明你的猜想是正确的.27．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.（1）求证：AF=EF；（2）求EF长．第27题28．八年级（12）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？29.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是多少？30.如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝8，DF＝4，则菱形ABCD的边长为多少？31.如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系？32.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是多少？4.参考答案一、选择——基础知识运用1．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D。

长方形也称矩形，是特殊的平行四边形之一。

即有一个角是直角的平行四边形称为长方形 [1]。

中国古算书中，将矩形田称为直田，也称矩形图形为直田。

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。

性质定理
在小学，矩形是我们最熟悉的图形之一。

很自然地，我们可以得出矩形的以下性质：
矩形的性质定理1 [2]
1、矩形的对边平行且相等。

2、矩形的四个角都是直角。

矩形的性质定理2
1、矩形的对角线相等。

平行四边形ABCD：AC=BD
2、矩形的对角线相互平分。

平行四边形ABCD是矩形：OA=OC，OB=OD
矩形的对角线相等，我们可以通过勾股定理证明。

证明：∵△ABC中，∠ABC =90°，
∴AC2=a2+b2
∵△DCB中，∠BCD =90，
∴BD2= a2+ b2
∴AC2=BD2
∴AC=BD
判定定理
要画矩形，最简单的办法，就是用直角三角板依次画三个直角，所得的四边形就是矩形。

判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。

这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。

二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。

4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定。

2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。

（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。

正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。

另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。

（）分析：不正确。

反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。

2、对角线相等的四边形是矩形。

分析：不正确。

因为对角线不平分，未必是平行四边形。

反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。

3、四个角都相等的四边形是矩形。

分析：正确。

因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。

4、对角线互相垂直的四边形是菱形。

矩形性质知识点总结一、矩形的定义矩形是一种拥有四条边的四边形，其内部角度均为直角，也就是说，矩形的每个内角都为90度。

同时，矩形的对边长度相等且平行，这是矩形与其他四边形的明显区别。

二、矩形的性质1. 内角均为90度矩形的每个内角都是90度，这是矩形最基本的性质。

也就是说，矩形的四个内角相加等于360度。

2. 对边相等且平行矩形的对边长度相等且平行，这是矩形的另一重要性质。

也就是说，矩形的相邻边长度相等，且相对边平行。

3. 对角相等矩形的对角相等，即对角相等。

也就是说，由对角的对边相等。

4. 对角的互补性矩形的对角相互补充，即相互补充。

5. 对角二等分矩形的对角可以二等分。

也就是说，对角的二等分线能互相垂直。

6. 中点连线相等对于矩形的对边，中点连线相等。

也就是说，四条对角都是矩形的中点的连线相等。

7. 对角三角形相等对于矩形对角相等的两边，对角的三角形也是相等的。

8. 对角的对边相等矩形的对角的对边相等。

也就是说，对于矩形，相对的两边相等。

9. 外接矩形矩形的外接矩形就是将一个矩形的每个角点连接成一个新的矩形，所得的新矩形成为外接矩形。

10. 内接矩形矩形的内接矩形就是将一个矩形的中点连接成一个新的矩形，所得的新矩形成为内接矩形。

11. 矩形的面积和周长矩形的面积可以用长和宽相乘得到，即S=长×宽。

矩形的周长则是将长和宽相加后乘以2，即P=2×(长+宽)。

12. 矩形的对角线矩形的对角线长度可以用长、宽或面积表示，即d=√(长^2+宽^2)，d=2×√S。

13. 矩形的高、宽比矩形的高、宽比为1:2，即h:W=1:2。

14. 矩形的对角线和面积之间的关系矩形的面积等于对角线的一半乘以对角线的另一半，即S=1/2×d1×d2。

15. 矩形的性质与实际应用矩形的性质不仅仅是数学中的抽象概念，也在现实世界中有着广泛的应用。

比如，房屋的窗户、门等常常采用矩形形状，矩形的布局结构也被广泛运用在建筑设计中。

矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。

初中数学什么是矩形它有哪些特点和性质矩形是一种特殊的四边形，具有一些独特的特点和性质。

在本篇文章中，我们将详细探讨矩形的定义、特点和性质。

矩形的定义：矩形是一种四边形，其四个内角都是直角（90度）。

矩形的对边是平行的且相等。

在矩形中，相邻的两条边也是相等的。

矩形的特点和性质：1. 直角特性：矩形的四个内角都是直角（90度）。

这意味着矩形的边与边之间相互垂直。

2. 对边特性：矩形的对边是平行的且相等。

这意味着矩形的相对边长相等，并且它们之间没有交叉。

3. 相邻边特性：矩形的相邻的两条边也是相等的。

这意味着矩形的宽度和长度相等。

4. 对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分。

对角线是连接矩形的相对顶点的线段，它们相互垂直且相等长度。

5. 对角线的长度：矩形的对角线长度可以根据矩形的宽度和长度计算得出。

根据勾股定理，对角线的长度等于宽度的平方加上长度的平方的开平方。

6. 面积特性：矩形的面积可以通过宽度和长度的乘积计算得出。

矩形的面积等于宽度乘以长度。

7. 周长特性：矩形的周长可以通过将宽度和长度乘以2，然后相加计算得出。

矩形的周长等于宽度乘以2加上长度乘以2。

8. 对称性：矩形具有对称性。

矩形的中心是对称轴，如果将矩形绕着中心旋转180度，它仍然是自身。

9. 最大面积：对于固定的周长，矩形是能够得到最大面积的四边形。

这是因为矩形的对角线长度最大。

10. 矩形的判定：如果一个四边形的四个内角都是直角，并且相邻边相等，那么它就是矩形。

通过了解矩形的定义、特点和性质，我们可以更好地理解和应用矩形的概念。

矩形在几何学和实际生活中都有广泛的应用，例如建筑物的设计、家具的制作和地图的绘制等。

熟练掌握矩形的特点和性质，可以帮助我们解决与矩形相关的数学问题，并提升我们的几何思维能力。

数学九年级矩形知识点矩形是我们在数学九年级学习的一个重要的几何形状，在几何学中得到广泛应用。

本文将对矩形的定义、性质、计算方法和相关应用等知识点进行详细介绍。

一、矩形的定义矩形是一个有四个直角的四边形，也就是说，它的四个内角都是直角（即90度角）。

它的对边相等且平行，相邻两边也相等。

二、矩形的性质1. 对角线相等：矩形的两条对角线相等，可以互相重合。

2. 对边平行且相等：矩形的对边分别平行且相等，这意味着矩形的两个相对边长相等。

3. 内角为直角：矩形的四个内角都是直角，每个内角都等于90度。

4. 对边垂直：矩形的两对相邻边是垂直的，也就是说，相邻的两条边之间的夹角是直角。

三、矩形的计算方法1. 周长：矩形的周长是所有边长的和，可以用公式C=2*(a+b)计算，其中a和b分别表示矩形的两条相邻边的长度。

2. 面积：矩形的面积可以用公式A=a*b计算，其中a和b分别表示矩形的两条相邻边的长度。

四、矩形的相关应用1. 建筑设计：矩形的特性使其在建筑设计中得到广泛应用。

许多建筑物的房间、窗户和门等结构都采用了矩形的形状，使得建筑更加坚固和稳定。

2. 数字编码：矩形的性质允许我们进行数字编码和数据存储。

例如，条形码和二维码的设计都是基于矩形的形状，以便于数据的识别和读取。

3. 艺术设计：矩形的几何形状在艺术设计中也被广泛运用。

许多绘画、摄影和平面设计作品中都能看到矩形的元素，给人以美感和和谐感。

总结：矩形是一个重要的几何形状，具有对角线相等、对边平行且相等、内角为直角和对边垂直等性质。

我们可以通过计算矩形的周长和面积来解决相关问题。

矩形在建筑设计、数字编码和艺术设计等领域中有广泛的应用，为我们的生活和工作带来了便利和美感。

了解和熟悉矩形的知识点，对于数学九年级的学习和几何学的深入理解具有重要意义。

课题：矩形的性质1学习目标：1．掌握矩形的性质；2．应用矩形的性质解决相关问题．【预习案】平行四边形有哪些性质？（填在下面的表格中）二、自主学习：认真阅读教材52页，结合教具思考下列问题。

1. 从边、角、对角线方面进行观察平行四边形在变化过程中不变的是什么？改变的又是什么？2. 平行四边形在变化过程中还是平行四边形吗？为什么？还具有平行四边形性质吗？3.在变化过程中，有没有一个形状特殊的平行四边形？怎样特殊？4.这时的平行四边形是什么图形。

5.你能用一句话来描述矩形吗？6.（先猜想）画一个矩形，结合图形，利用测量方法或其他方法，对比平行四边形性质来猜想矩形性质，并完成下表。

三、合作探究（一汇报）汇报你的自学成果：矩形定义（二交流）小组合作交流：利用表格进行对比找出矩形特有的性质（提示：平行四边形有的性质不找，找出平行四边形不具有的性质）（三验证）推理验证猜想【探究案】例1 （1）在下列性质中，矩形具有而平行四边形不具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．两组对角相等D．两组对边相等（2）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AB例2如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长．变式1：将例2中的条件“∠AOB ＝60°”改为“AB ＝OB ”呢变式2：将例2中的条件“∠AOB ＝60°”改为“AE 垂直平分OB ”呢？变式3：将例2中的条件“∠AOB ＝60°”改为“AE ⊥OB 于E ，且BE ：ED ＝1：3”呢？例3 如图，四边形ABCD 是矩形，DE ∥AC 且交BC 的延长线于点E ．判断△DBE 的形状，并证明你的结论．ABC DE变式：设AC 、BD 交于点O ，当AB ＝3，AD ＝4时，求△OBE 的面积．练习：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边BC 上，且EF ⊥DF ，EF ＝DF ，求证：BE ＝CFA B CDEF【训 练 案】1．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在边EF 上．若矩形ABCD 和矩形AEFC 的面积分别为1S 和2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）A ．21S S >B ．21S S =C ．21S S <D ．2123S S =AB CDEF（第1题图） （第2题图） （第6题图）FABCDEFABCDEP2．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE于F，下列结论中不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AB＝AF C．AD＝2AF D．BE＝AD－DF3．矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝6，BC＝8，则△AOD的周长为．4．一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°，则这个矩形的边长分别为和．5．已知，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝AO，AC＝6．则∠ABD的度数为；△AOD的面积是．6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边长AB、BC的长分别是6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC、BD的距离之和是．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AE平分∠BAD，若∠EAC=15°，求∠BOE的度数．。