数列试题

第三章 数列§1 数列的概念一．选择题1． 某数列{}n a的前四项为①1(1)nn a ⎡⎤=+-⎣⎦ ②n a =③0n a =⎪⎩ )(n n 为奇数为偶数）（ 其中可作为{}n a 的通项公式的是（）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 2． 设函数()f x 满足()()212f n n f n ++=()n N *∈，且()12f =，则()20f =（） A ．95 B ．97 C ．105 D ．1923． 已知数列中{}n a ，11a =，()111nn n n a a a --=+- ()2,n n N *≥∈，则35a a 的值是（） A ．1516 B ．158 C ．34 D ．384． 已知数列{}n a 的首项11a =，且121n n a a -=+ (2)n ≥，则5a 为（）A ．7B ．15C ．30D ．31 5．已知n a =，()n N *∈，则在数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是（）A ．1a ，50aB ．1a ，8aC ．8a ，9aD ．9a ，50a提示：化为1n a -=，作出图像，则可直接求解.二．填空题 6．38，524-，748，980- … 一个通项公式是____ 7．已知11a =，111n n a a -=+(2)n ≥，则5a ＝____ 8．数列{}22293n n -++中的最大项的值是____9．已知{}n a 是递增数列，且对任意n N *∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是____三．解答题10．数列满足()()1232312n a a a na n n n ++++=++ ，求n a11．已知数列的前三项依次是1，2，3，它的前n 项和为23n S an bn cn =++. 试求a 、b 、c 的值.12．已知一个数列的通项为sin 2n n a πα⎛⎫=+⎪⎝⎭()n N *∈，再构造一个新数列12a a ，34a a ，56a a ，…，这个数列是否为常数列？证明你的结论.§2 等差数列一．选择题1．（2004武汉市高考模拟题）已知数列{}n a 是等差数列，且31150a a +=，又413a =，则2a 等于（ ）A ．1B ．4C ．5D ．62．在等差数列{}n a 中，32a =，则该数列的前5项和为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．323．在{}n a 中，115a =，1332n n a a +=- ()n N *∈，则该数列中相邻两项的乘积是负数的项是（ ） A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a4．数列{}n a 是等差数列的一个充要条件是（n S 是该数列前n 项和）（ ） A ．n S an b =+B ．2n S an bn c =++C ．2n S an bn =+ ()0a ≠D ．2n S an bn =+5．已知数列{}n a ，225n a n =-+，当n S 达到最大值时，n 为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．136．设{}n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知636S =，324n S =，()61446n S n -=>，则n 等于（ ） A ．15 B ．16 C ．17D ．18 提示：设2n S an bn =+二．填空题7．设等差数列{}n a 的公差为2-，且1479750a a a a +++⋅⋅⋅+=，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+=______． 提示：312a a d =+，642a a d =+，…，99972a a d =+． 8．已知()lg 72x -，()lg 45x -，()lg 1x +成等差数列，则log x =______．9．设等差数列{}n a 的首项是3，前n 项和2n S an bn c =++,2lim n n na S →∞=______．10．若数列{}n a 的通项41n a n =-，由12k k a a a b k++⋅⋅⋅+= ()k N *∈所确定的数列{}k b 的前n 项和为______．三．解答题11．数列{}n x 中，11x =，1n x +=，求数列{}n x 的通项公式12．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的利润是8元/件；每提高一个档次，利润每件增加2元，每提高一个档次，产量减少3件，在相同时间内，最低档次的产品可生产60件．问：在相同时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？（最低档次为第一档次）§3．等比数列一．选择题1．若lg a 、lg b 、lg c 成等差数列，则（ ）A ．2a c b +=B ．()1lg lg 2b a b =+ C ．a 、 b 、c 成等差数列 D ．a 、 b 、 c 成等比数列2．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ） ABCD3．已知a 、 b R +∈，A 是a 、 b 的等差中项，G 是a 、 b 的等比中项，则（ ）A ．ab AG ≤B ．ab AG ≥C.ab ≤∣AG ∣ D ．ab>∣AG∣4．若数列{}n a 是等比数列，下列命题正确的个数为（ ）① {}2n a 、{}2n a 均为等比数列； ②{}ln n a 成等差数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭、{}n a 成等比数列； ④{}n ca 、{}n a k ±均为等比数列 A ．4B ．3C ． 2D ．15．公比1q ≠的等比数列的前n 项和公式恒等于11n a a +-，则这样的数列（ ）A ．不存在B ．必存在，且公比可确定而首项不能确定C ．必存在，且公比不确定而首项确定D ．必存在，但公比和首项均不能确定6．某企业在1996年初贷款M 万元，年利率为m ，从该年末开始，每年偿还的金额都是a 万元，并恰好在10年间还清，则a 的值等于（ ） A ．()()1010111M m m ++- B ．()101Mmm + C ．()()1010111Mm m m ++- D ．()1011Mmm +-二．填空题7．等比数列中{}n a ，公比1q ≠±，200100S =，则40201S q =+______．8．正项等比数列{}n a 的首项512a -=，其前11项的几何平均数为52，若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是52，则抽取一项的项数为______．9．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1％．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款______元．三．解答题10．设有数列{}n a ，156a =，若以1a ，2a ，…，n a 为系数的二次方程：2110n n a x a x --+=（*n N ∈且2n ≥）都有根α、β满足331ααββ-+=（1）求证12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求n a ；（3）求n a 的前n 项和n S ．11．家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，共付12次，即购买后一年付清，如果按月利率8‟，每月复利一次计算，那么每期应付款多少？12．（2004年湖北八校联考）数列{}n a 中，首项12a =，前n 项和为n S ，对任意点()1,n n n p S S +，点n p 都在平面直角坐标系xoy 的曲线C 上，曲线C 的方程为()4388x t y t -+=．其中3t <-，n ＝1，2，3 …（1）判断{}n a 是否为等比数列，并证明你的结论；（2）若对每个正整数n ，则n a ，1n a +，2n a +为边长能否构成三角形，求t 的范围．§4．等差数列与等比数列一．选择题1．互不相等的三个正数a 、b 、c 成等比数列，又x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，那么2x 、2b 、2y 三个数（ ）A ．成等差非等比数列B ．成等比非等差数列C ．既成等差又成等比数列D ．既不成等差也不成等比数列2．（2004湖北八校联考）等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．297（提示：413a =，69a =，()46992a a S +=）3．（2004江苏溧阳中学高考模拟题）一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折，（即沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为（ ） A ．188a b ，B ．16464a b ，C ．1128128a b ，D ．1256256a b ，4．（2004山西省试验中学高考模拟题）已知等比数列{}n a 的公比为0q <，前n 项和为n S ，则45S a 与54S a 的大小关系是（ ） A ．4554S a S a =B ．4554S a S a >C ．4554S a S a <D ．以上都不正确5．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则313233l o g l o g l o g l o g a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．32log 5+6．公差不为零的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题7．在等差数列{}n a 中，已知34a a =，0d <，则使它的前n 项和n S 取得最大值的自然数n ＝______．8．等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且71427n n A n B n +=+，则n na b =______． 9．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，则3n S =______．10．某企业2003年12月份的产值是这年一月份产值的p 倍，则该企业2003年年度产值的月平均增长率是______． 三．解答题11．项数都是41n - ()*n N ∈的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为a ()0a >，且它们的末项相等，试比较中间项的大小．12．一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站的邮袋一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第k 站出发时，邮政车厢内共有k a （k ＝1，2，…，n ）个邮袋．试求： （1）数列{}k a 的通项公式；（2）k 为何值时，k a 最大？求出k a 的最大值．§5．数列求和一．选择题1．数列{}n a 中，160a =-，且13n n a a +=+，则这个数列的前30项的绝对值之和为（ ） A ．495B ．765C ．3105D ．1202．化简()()2111222222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+⨯+的结果是（ ）A ． 1222n n ++-- B ．122n n +-+C ．22nn --D ．122n n +--3．在项数为21n +的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为（ ） A ．1n n+ B ．12n n+ C ．21n n+ D ．14．等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A ．66B ．64C ．2663D ．26035．在50和350之间所有末位数是1的整数之和是（ ） A ．5880 B ．5539 C ．5208 D ．4877 6．数列{}n a 的通项公式是n a =，若前n 项和为10，则项数n 为（ ）A ．11B ．99C ．120D ．121二．填空题7．一条信息，若一人收知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间可传遍______人． 8．()()13579121nn -+-+-+⋅⋅⋅+--=______．9．对于每个自然数n ，抛物线()()22211y n n x n x =+-++与x 轴交于两点n A 、n B ，则200420042211...B A B A B A +++的值为______．10．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分别为______．三．解答题11．（1）{}n a 是等差数列，0n a ≠，求12231111n na a a a a a -++⋅⋅⋅+（2）求数列212n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 12．（2004湖南师大附中高考模拟题）已知二次函数()2f x ax bx c =++经过点()0,0，导数()21f x x '=+，当[]()*,1x n n n N ∈+∈时，()f x 是整数的个数记为n a ．（1）求a b c 、、的值； （2）求数列{}n a 的通项公式 （3）令12n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n S §6．数学归纳法一．选择题 1．已知()1111231f n n n n =++⋅⋅⋅++++，则()1f k +等于（ ） A ．()()1311f k k +++B ．()132f k k ++C ．()11113233341f k k k k k +++-++++ D ．()11341f k k k +-++2．用同数学归纳法证明221111n n a a a a a++-+++⋅⋅⋅+=- ()1a ≠，在验证1n =时，左端计算所得项为（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++3．某个命题与自然数n 有关，如果n k = ()*k N ∈时，该命题成立，那么可推出当1n k =+时，该命题成立，现已知当5n =时该命题不成立，那么（ ） A ．当6n =时该命题不成立 B ．当6n =时该命题成立C ．当4n =时该命题不成立D ．当4n =时该命题成立4．用数学归纳法证明不等式22nn ≥时，n 应取的第一个值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．用数学归纳法证明不等式111131224n n n n ++⋅⋅⋅+>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ）A ．增加了一项()121k +B ．增加了两项121k +、()121k +C ．增加了B 项中的两项，但又减少了另一项11k +D ．增加了A 项中的一项，但又减少了另一项11k +二．填空题6．用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++时，第一步应验证左式是______，右式是_______． 7．用数学归纳法证明11112321n n +++⋅⋅+<- ()*,1n N n ∈>时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加了的项数是______．8．用数学归纳法证明22nn n a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭（a 、b 是非负实数，*n N ∈）时，假设n k =命题成立之后，证明1n k =+命题成立的关键是______．三．解答题 9．求证：422135n n +++能被14整除10．已知()f x 是定义在*N 上的数值函数，满足： （1）()22f =；（2）对任意*,m n N ∈有()()()f mn f m f n =⋅；（3）当m n >时，()()f m f n >． 求证：()f x x =在*N 上恒成立．§7．归纳、猜想、证明一．填空题1．()22x f x x =+，11x =，()11n n x f x -=+ ()*2,n n N ≥∈则234x x x 、、分别为______，猜想n x =______．2．有浓度为%a 的酒精满瓶共m 升，每次倒出n 升()n m <，再用水加满，一共倒了10次，加了10次水后，瓶内的酒精浓度为______． 3．在数列{}n a 中，已知12a =，131n n n a a a +=+ *n N ∈，依次计算2a ，3a ，4a 后，归纳、推测出n a 的表达式是______． 4．数列12，25，310，417，526，637的第20项是______． 5．已知{}n a 满足：存在正数t ，使得对所有正整数n2nt a +=成立（其中n S 为数列{}n a 前n 项和），则可通过计算1S 、2S 、3S ，猜得n S ＝______．6．设()0f n >，*n N ∈，对任意*,x y N ∈恒有()()()f x y f x f y +=⋅，又()24f =，则()1f =_______，()3f =______，()4f =______．7．若001a b ==，112n n n a a b --=+，11n n n b a b --=+ ()1,2,n =⋅⋅⋅则22112a b -=_______，22222a b -=______，22332a b -=______，22200520052a b -=______．8．平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线百平面分成()f k 个区域，则1k + 条直线把平面分成的区域数()()1f k f k +=+ ______二．解答题9．已知数列{}n a 满足2n n S n a =- ()*n N ∈，求出前四项，推测的表达式，再证明．10．已知()n n n nx x f x x x---=+，对*n N ∈，试比较f 与2211n n -+的大小，并且说明理由．数列与数学归纳法单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．数列{n a }中，前三项依次为 11+x ，x 65，x1 则101a 等于 （ ）A ．50B ．13C ．24D ．82．若a 、b 、c 成等差数列，则函数c bx ax x f ++=2)(的图像与x 轴的交点的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定3．差数列{}n a 中，公差d ＝1，174a a +＝8，则20642a a a a ++++ ＝ （ ）A ．40B ．45C ．50D ．554．已知数列{a n }的通项公式是249n a n =-，则S n 达到最小值时，n 的值是（ ）A ．23B ．24C ．25D ．265．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在S n 中最大的负数为 （ ）A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 206．已知数列{}n a 的前n 项和)(3为常数k k S n n +=，那么下述结论正确的是 （ ）A ．k 为任意实数时，{}n a 是等比数列B ．k = －1时，{}n a 是等比数列C ．k =0时，{}n a 是等比数列D ．{}n a 不可能是等比数列7．数列{}n a 中，{}1,0+>n n n a a a 且是公比为)0(>q q 的等比数列，满足（ ）211++++n n n n a a a a )(32N n a a n n ∈>++，则公比q 的取值范围是 （ ）A ．2210+<<q B ．2510+<<qC ．2210+-<<q D ．2510+-<<q 8．数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(n ∈N*)，则此数列为 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列 9．数列{a n }的前n 项和S n =5n －3n 2(n ∈N +)，则有（ ）A ．S n ＞na 1＞na nB ．S n ＜na n ＜na 1C ．na n ＞S n ＞na 1D ．na n ＜S n ＜na 110．已知某数列前n 项之和为3n ，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ）A ．)1(32+-n nB ．)34(2-n nC ．23n -D ．321n 11．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为1，且公差d ≠1，公比q ＞0且q ≠1，则集合{}n n n a b =的元素最多有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12、已知8079--=n n a n ，（+∈N n ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）A ．501,a aB ．81,a aC ．98,a aD ．509,a a二、填空题：13．数列{}n a 的前ｎ项的和S n =3n 2+ n +1，则此数列的通项公式a n =_______. 14．在11+n n和之间插入n 个正数，使这n +2个正数成等比数列，则插入的n 个正数之积为 .15．等差数列{}n a 中，公差d ≠0，a 1，a 3 ，a 9 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++= ____ .16．当x ≠1，0时，1+3x +5x 2 +……+(2n －1)x n －1 = ___________________. 三、解答题：17．（本题满分12分）已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S . （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G . 18．（本题满分12分）数列{}n a 的通项公式).1()1)(1)(1()(*),()1(13212n n a a a a n f N n n a ----=∈+=设 （1）求：f (1)、f (2)、f (3)、f (4)的值；（2）由上述结果推测出计算f (n)的公式，并用数学归纳法加以证明.19．（本题满分12分）设S n 为数列{a n }的前ｎ项的和，且S n =23(a n －1)(n ∈N*)， 数列 {b n }的通项公式b n = 4n +5.①求证：数列{a n }是等比数列；②若d ∈{a 1 ，a 2 ，a 3 ，……}∩{b 1 ，b 2 ，b 3 ，……}，则称d 为数列{a n }和{b n }的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d n }，求数列{d n }的通项公式. 20．（本题满分12分）已知数列{}n a 中，11=a ，前n 项和n S 与通项n a 满足)2,(,1222≥∈-=n N n S S a n nn ，求通项n a 的表达式.21．（本题满分12分）甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：（A ）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡：（B ）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个. 请你根据提供的信息解答下列问题：（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？ （2）哪一年的规模最大？为什么？ 22．（本题满分14分）对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点.如果函数),()(2N c b cbx a x x f ∈-+=有且只有两个不动点0，2，且,21)2(-<-f（1）求函数)(x f 的解析式；（2）已知各项不为零的数列1)1(4}{=⋅nn n a f S a 满足，求数列通项n a ；（3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时，恒有3<n a 成立.数列与答案§1 数列的概念一．选择题 1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 二．填空题 6．()()12211211n n n a n ++=-+- 7．858．108 9．()3,-+∞ 三．解答题10．[解析]：11236a =⨯⨯=当2n ≥时 ∵ ()()1232312n a a a na n n n ++++=++ ① ()()()123123111n a a a n a n n n -++++-=-+ ② ①－②得 ()31n na n n =+ ∴ ()31n a n =+ 当1n =时 上式1236a =⨯= ∴ ()31n a n =+.[评析]：此题的解法与已知n S 求n a 的方法类似. 11．解析：由已知可得 11S =，23S =，36S =∴ 1248339276a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得 12a =，12b =，0c = 12．证： 设这个数列的第n 项为n C ，则212n n n C a a -= ()n N *∈∴ ()212212sin sin 22n n n n n C a a ππαα--⎡⎤⎛⎫==++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()=sin sin 2n n παπαπ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭()()cos sin n n απαπ=-++ ()11sin 22sin 222n απα=-+=- （为常数）∴ 这个数列是常数列.[评析]：1．此题的关键是找出新数列的第n 项n C 与已知数列{}n a 的关系式212n n n C a a -=()n N *∈.2．思考问题时，不要仅停留在前几项，而更重要的是要抽象到第n 项，这是数学的重要思想方法.§2 等差数列一．选择题1．C 2．A 3．C 4．D 5．C 6．D 提示：设2n S an bn =+二．填空题7．—82 提示：312a a d =+，642a a d =+，…，99972a a d =+． 8．329．4 10．22n n +三．解答题11．[解析]思路1：计算出2x ，3x ，4x ，猜想n x ，再证明． 思路2：∵1n x +=∴ 221222n n n x xx +=+ ∴22221211122n n n nx x x x ++==+ 即2211112n n x x +-= ∴ 数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2111x =，公差为12的等差数列 ∴()()22111111111222n n n n x x +=+-⨯=+-= 由已知可得 0n x >∴n x =12．[解析]10个档次的产品的每件利润构成等差数列：8，10，12，…，()82126n a n n =+-=+()110n ≤≤，10个档次的产品相同时间内的产量构成数列：60，57，54，…，()6031633n b n n =--=- ()110n ≤≤∴ 在相同时间内，生产第n 个档次的产品获得的利润()()26633y n n =+-()2696144n =--+⨯．当9n =时 max 6144864y =⨯=（元） ∴ 生产低9档次的产品可获得最大利润．§3．等比数列一．选择题1．D 2．D 3．C 4．C 5．B 6．C二．填空题7．100 8．6 9．1255元三．解答题10． [解析]（1）证明：∵ 1n n a a αβ-+=， 11n a αβ-= 代入331ααββ-+= 得 11133n n a a -=+ ∴11111113322322n n n n a a a a --+--==--为定值 ∴ 数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列（2）∵ 115112623a -=-= ∴ 111112333n nn a -⎛⎫⎛⎫-=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴ 1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3） 21113332n n n S ⎛⎫=++⋅⋅⋅++⎪⎝⎭111331213n n⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-11223nn +=-⨯ 11．[解析]法一：设每期付款数x 元，则第一次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为()1110.008x + 第二次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为()1010.008x + ……第十一次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为()10.008x + 第十二次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为x所以各期付款连同利息之和为()12111.00811 1.008 1.008 1.0081x x -++⋅⋅⋅+=- 又所购电器的现价及其利息之和为122000 1.008⨯于是有12121.00812000 1.0081.0081x -=⨯- 得175.46x ≈ 即每期应付款元175.46元法二：设每期付款数x 元，第k 月后欠款为k a 元（k ＝1，2，…，12） 则 ()1200010.008a x =⨯+- ()2110.008a a x =⨯+- ……()110.008n n a a x -=⨯+- 设 ()11.008n n a a λλ--=- 则0.008xλ＝ ∴ 11.0080.0080.008n n x x a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ∴ 数列0.008n x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭构成等比数列 ∴ 11 1.0080.0080.008n n x x a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵ 120a = 即 111 1.00800.0080.008n x x a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ 将12016a x =-代入上式 得175.46x ≈ 即每期应付款元175.46元[评析]两种解法从不同角度解决分期付款问题，解法一即教材所提供的解法，通过两种解法的比较，也可进一步加深对分期付款问题的理解．12． [解析]（1）由112S a ==，21222S a a a =+=+ ()()2422388t a t t +-+= 得2382t a t += 于是21384a t a t+= 又 ()14388n n tS t S t +-+= ()14388n n tS t S t --+= ()2n ≥ 两式相减得 ()11438n n ta t a +-=+ ()2n ≥ 故1384n n a t a t ++=()2n ≥ ∴ 1384n n a t a t++= ()*n N ∈ ∴ {}n a 是首项为2，公比为384t t+的等比数列． （2）由（1）知13824n n t a t -+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∵ 3t <- ∴ 38014t t+<< 又 120a => ∴ {}n a 是一个单调递减的数列从而n a ，1n a +，2n a +为边长能构成三角形的充要条件是 12n n n a a a +++>即 1138383822222n n n t t t t t t +-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得85t >-+ 或85t <-- 又 3t <- ∴8t <-[评析]此题（1）中证明21384a t a t+=是必要的．充分利用已知条件对构成三角形的充要条件进行简化，能达到事半功倍的效果．§4．等差数列与等比数列一．选择题1．A 2．B （提示：413a =，69a =，()46992a a S +=） 3．C 4．B 5．B 6．C 二．填空题 7．5或6 8．1481119．63 10．1 三．解答题11．[解析]设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则它们的中间项分别为 2(21)n a a n d =+-，212n n b aq -= 由4141n n a b --=得 ()2(21)221n a n d a q-+-=∴ ()()2212221n aq a n d a a-+--=⎡⎤⎣⎦∴ 2222n n b a a a -= 即 ()222212n n a b a a =+ ∴ ()22222212n n n n a b b a b a -=+- ()22102n b a a=-≥当且仅当n b a =，即1q =时，上式等号成立． 故当1q =时，22n n a b =，当1q ≠时，22n n a b >．[评析]将2n a 用2n b 表达是解答本题的关键；作差后的配方是判断符号的需要，也体现了“集中变量”这一重要的数学思想．12． [解析]由题设知11a n =-，()()2121a n n =-+--， ()()()312312a n n n =-+-+---，…在第k 站出发时，前面放上的邮袋共有()()()12n n n k -+-+⋅⋅⋅+-个，而从第二站起，每站放下的邮袋为12(1)k ++⋅⋅⋅+-个．故a k=（n-1）+(n-2)+…+(n -k)-[1+2+…(k -1)]()[]1212(1)k n k k =-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+- 2(1)(1)22k k k k kn kn k +-=--=- （k ＝1，2，3，…，n ） （2）由（1）知2224k n n a k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭若n 为偶数，则当2n k =时，k a 的最大值为24n若n 为奇数，则当12n k -=或12n k +=，k a 的最大值为214n -．§5．数列求和一．选择题1．B 2．D 3．A 4．D 5．A 6．C二．填空题7．2421- 8．()()n n n n ⎧⎨-⎩为偶数为奇数 9．20042005 10．11，7三．解答题11． [解析]：裂项求和111111k k k k a a a a d--⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭ 答：11nn a a - （2）求数列212n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 [解析]：错位相减法 答：2332nn +-12． [解析]（1）∵ ()f x 的图像过()0,0 ∴ 0c = 又 ()221f x ax b x '=+=+ ∴ 1a =，1b = （2）∵ ()2f x x x =+ ∴ 对称轴为12x =-∴ ()f x 在[],1x n n ∈+上单调递增 而 ()2f n n n =+，()()()2211132f n n n n n +=+++=++∴ ()()1123n a f n f n n =+-+=+ （3）()()1221123252325n n n b a a n n n n +===-++++ ∴ 123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+ 11111157792325n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11525n =-+ ()2525nn =+§6．数学归纳法一．选择题1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 二．填空题 6．112-，111+ 7．2k 8．两边同乘以2a b + 三．解答题9． 证明：（1）当1n =时 412211358546114⨯+⨯++==⨯ 能被14整除， ∴1n =时命题成立（2）假设n k =时命题成立，即422135k k +++能被14整除则1n k =+时 ()()()()41221142421242142135353535k k k k k k +++++++++++=++⋅-⋅()()()44221212444221213355533355414k k k k k k ++++++=++-=+-⋅⋅能被14整除∴ 1n k =+时，命题成立．综合（1）、（2）知命题对一切*n N ∈均成立．[评析]第二步证明中想方设法配出假设中的代数式422135k k +++是此类问题的解题规律．10． 证明：由条件（1）、（2）知 ()()()()221221f f f f ==⋅= ∴ ()11f = 即当1x =时，()f x x =成立假设x =1，2，3，…，k 时，有()f x x = 则当1x k =+时，若12k s += ()1s k ≤≤， 则()()()()12221f k f s f f s s k +====+； 若121k t +=+ ()1t k ≤≤ 则()()()22212222t f t f t f t t =<+<+=+ 即 ()22122t f t t <+<+由于()f x 是在*N 上的数值函数，故()2121f t t +=+ 即()11f k k +=+，综上所述，()f x x =对*x N ∈恒成立[评析]这一题的证明充分显示出数学归纳法的威力．§7．归纳、猜想、证明一．填空题1．23，24，25；21n + 2．101%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭3．265n a n =- 4．40120 5．2tn6．2，8，16，2n7．1，－1，1，1 8．1k +二．解答题9．[解析]∵ 11121a S a ==⨯- ∴ 11a = 21222122S a a a a=+=+=⨯- ∴ 232a = 31233331232S a a a a a =++=++=⨯- ∴ 374a =41234443712424S a a a a a a =+++=+++=⨯- ∴ 4158a = 由此猜想1212n n n a --= ()*n N ∈，下面用数学归纳法证明：证：1º当1n =时，1102112a -==，等式成立 2º假设n k =时，等式成立 即 1212k k k a --=，则当1n k =+时，∵ ()1121k k S k a ++=+- 2k k S k a =-∴ ()()111212k k k k k a S S k a k a +++=-=+---⎡⎤⎣⎦ 112k k k a a a ++=-+∴ ()11112122222k k k k a a +-⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭11112121222k k k k++---=⋅=即1n k =+时，等式成立综合1º、2º对*n N ∈，1212n n n a --=均成立．10．[解析]21212121n nn nnn nf ----===-+++ 而 22212111n n n -=-++ ∴f与2211n n -+的大小等价于 2n 与2n 的大小．当1n =时，1221> 当2n =时，2222= 当3n =时，3223< 当4n =时，4224=当5n =时，5225>猜想当5n ≥时，22nn >，以下用数学归纳法证明 1º当5n =，由上可知不等式成立2º假设()5n k k =≥时，不等式成立 即22kk > 则当1n k =+时，122222k k k +=⋅>又 ∵ ()()22221120k k k -+=--> （∵ 5k ≥） 即 ()2121k k +>+∴ 1n k =+时 不等式成立综合1º、2º 对*5,n n N ≥∈不等式22nn >成立 所以 当1n =或5n ≥时，2211n fn ->+当3n =时，2211n fn -<+当2n =或4时，2211n fn -=+数列与数学归纳法单元测试题参考答案13、⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)2(26)1(5n n n a n14、2)1(nnn + 15、1613 16、21)1()12()12(1x x n x n x n n --++-++ 三、17、（Ⅰ）由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩……3分 由233)1(5+=∴⋅-+=n a n a n n ……………………………6分（Ⅱ）设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n b ………………… 9分 .2)12(62)2222(3321n n G n n n +-=+++++=∴*)(,62231N n n G n n ∈-+⋅=∴+ ……………………………………12分 18、解：（1）,432111)1(21=-=-=a f ,649843)1)(1()2(21=⋅=--=a a f ,85161564)1)(1)(1()3(321=⋅=---=a a a f .106252485)1)(1)(1)(1()4(4321=⋅=----=a a a a f 。