2011届苏州高三学情考试 数学(内部资料)

2011年江苏一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合A=−1,1,2,4，B=−1,0,2，则A∩B=．2. 函数f x=log52x+1的单调增区间是．3. 设复数z满足i z+1=−3+2i（i是虚数单位），则z的实部是．4. Read a,bIf a>b Then m←aElse m←bEnd IfPrint m根据上述伪代码，当输入a,b分别为2,3时，最后输出的m的值是．5. 从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．6. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=．7. 已知tan x+π4=2,则tan xtan2x的值为．8. 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f x=2x的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是．9. 函数f x=A sinωx+φ，（A,ω,φ是常数，A>0,ω>0）的部分图象如图所示，则f0=．10. 已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a=e1−2e2，b=ke1+e2，若a⋅b=0，则k的值为．11. 已知实数a≠0，函数f x=2x+a,x<1,−x−2a,x≥1.若f1−a=f1+a，则a的值为．12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f x=e x x>0的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．13. 设1=a1≤a2≤⋯≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．14. 设集合A=x,y m2≤x−22+y2≤m2,x,y∈R ，B=x,y2m≤x+y≤2m+ 1,x,y∈R，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．二、解答题（共12小题；共156分）15. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．（1）若sin A+π6=2cos A，求A的值；（2）若cos A=13，b=3c，求sin C的值．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60∘，E，F分别是AP，AD的中点．求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm．（1）若广告商要求包装盒侧面积S cm2最大，试问x应取何值?（2）若广告商要求包装盒容积V cm3最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB．19. 已知a,b是实数，函数f x=x3+ax,g x=x2+bx，fʹx和gʹx分别是f x，g x的导函数，若fʹx gʹx≥0在区间I上恒成立，则称f x和g x在区间I上单调性一致．（1）设a>0，若函数f x和g x在区间−1,+∞上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a<0且a≠b，若f x和g x在以a,b为端点的开区间上单调性一致，求 a−b 的最大值．20. 设M为部分正整数组成的集合，数列a n的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n>k时，S n+k+S n−k=2S n+S k都成立．（1）设M=1,a2=2，求a5的值；（2）设M=3,4，求数列a n的通项公式．21. 如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2r1>r2，圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB:AC为定值．22. 已知矩阵A=1121，向量β=12，求向量α，使得A2α=β．23. 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x=5cosφy=3sinφ φ为参数的右焦点，且与直线x=4−2ty=3−t t为参数平行的直线的普通方程．24. 解不等式：x+2x−1<3．25. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1−DN−M的大小为θ．（1）当θ=90∘时，求AM的长；（2）当cosθ=66时，求CM的长．26. 设整数n≥4，P a,b是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,b∈1,2,3,⋯,n,a>b．（1）记A n为满足a−b=3的点P的个数，求A n；（2）记B n为满足13a−b是整数的点P的个数，求B n．答案第一部分1. −1,22. −12,+∞3. 14. 3【解析】该代码的作用是求两个数中的最大值．5. 136. 1657. 49【解析】tan x=tan x+π4−π4=tan x+π4−11+tan x+4=1 3．tan x tan2x =tan x2tan x1−tan x=1−tan2x =4.8. 4【解析】设交点分别为P x,2x 、Q −x,−2x，则PQ=2x2+4x≥4，当且仅当x=±2时取等号．9. 62【解析】由图可知，A=2，T4=7π12−π3=π4，所以T=2πω=π，ω=2．从而2×7π12+φ=2kπ+3π2，φ=2kπ+π3，其中k∈Z．则f0=2sin2kπ+π3=62．10. 5411. −34【解析】当a>0时，f1−a=f1+a⇒2−2a+a=−1−a−2a，解得a=−32，矛盾；当a<0时，f1−a=f1+a⇒−1+a−2a=2+2a+a，解得a=−34．12. 12e+1e【解析】设P x0,e x0，则l:y−e x0=e x0x−x0．所以M0,1−x0e x0．过点P作l的垂线y−e x0=−e−x0x−x0,则N0,e x0+x0e−x0．则有t=11−x0e x0+e x0+x0e−x0=e x0+1x0e−x0−e x0,tʹ=1e x0+e−x01−x0．所以，t在0,1上单调增，在1,+∞单调减，t max=12e+1e.13. 33【解析】由题意，得1=a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤a2+2≤a1q3,即1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3,所以a2≤q≤a2+1,a2+1≤q2≤a2+2,q3≥a2+2≥3,而a2≥1，所以a2、a2+1、a2+2的最小值分别为1、2、3，故q min=33．14. 12,2+2【解析】因为A∩B≠∅，所以A≠∅，则m2≥m ,即m≥12或m≤0;显然B≠∅．因为圆x−22+y2=m2m≠0与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点时，需2≤ m2≤ m ,所以2−22≤m≤2+2,①当m<0时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅；②当m=0时，点2,0不在0≤x+y≤1内，此时A∩B=∅．③当12≤m≤2+2时，圆x−22+y2=m2与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点，此时A∩B≠∅；④当m>2+2时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅．综上所述，满足条件的m的取值范围为12,2+2．第二部分15. （1）因为sin A+π6=32sin A+12cos A=2cos A,所以sin A=A，所以A=π3．（2）因为cos A=13，b=3c，所以a2=b2+c2−2bc cos A=8c2,a=22c.由正弦定理得：22c=c,而sin A=1−cos2A=223，所以sin C=13．16. （1）因为E，F分别是AP，AD的中点，所以EF∥PD,又因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以直线EF∥平面PCD．（2）因为AB=AD，∠BAD=60∘，F是AD的中点，所以BF⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥面PAD，又BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．17. （1）S=602−4x2−60−2x2=240x−8x20<x<30,所以x=15 cm时侧面积最大．（2）V=2x 2⋅22⋅60−2x=22x230−x0<x<30,所以，Vʹ=62x20−x,当0<x<20时，V递增，当20<x<30时，V递减，所以，当x=20时，V最大．此时，包装盒的高与底面边长的比值为2260−2x2x=12．18. （1）依题意可得a=2，b=M−2,0，N 0,−．M，N的中点坐标为 −1,−22，所以k=22．（2）由y=2x,x2+2y2=4,得P 2,4,A −2,−4,C2,0,AC方程为y −43=x−23−23−23,即y=x−23．所以点P到直线AB的距离d=23−43−232=22.（3）由题意设P x0,y0，A−x0,−y0，B x1,y1，则C x0,0，因为A，C，B三点共线，所以y1 x1−x0=y02x0=y1+y0x1+x0,又因为点P，B在椭圆上，所以x02 4+y022=1,x124+y122=1,两式相减得：k PB=−x0+x1 01,所以k PA k PB=y0−x0+x101=−y1+y0x0+x11001=−1,所以PA⊥PB．19. （1）因为函数f x和g x在区间−1,+∞上单调性一致，所以，∀x∈−1,+∞,fʹx gʹx≥0,即∀x∈−1,+∞,3x2+a2x+b≥0,∵a>0，∴∀x∈−1,+∞,2x+b≥0,即∀x∈−1,+∞,b≥−2x,所以b≥2.（2）令fʹx=0，解得x=±−a 3 ,若b>0，由a<0得0∈a,b，又因为fʹ0gʹ0=ab<0,所以函数f x和g x在a,b上单调性不一致，因此b≤0.由此得当x∈−∞,0时，gʹx<0,当x∈ −∞,−−a3时，fʹx>0,因此，当x∈ −∞,−−a3时，fʹx gʹx<0,故由题设得a≥−−a3且b≥−−a3，从而−13≤a<0,于是−13≤b≤0,因此a−b ≤1 ,且当a=−13,b=0时等号成立．又当a=−13,b=0时，fʹx gʹx=6x x2−1 9 ,从而当x∈ −13,0时，fʹx gʹx>0,故函数f x和g x在 −13,0上单调性一致．因此 a−b 的最大值为13．20. （1）∵k=1，∴∀n>1,S n+1+S n−1=2S n+S1，所以S n+2+S n=2S n+1+S1,即a n+2+a n=2a n+1,所以，n>1时，a n成等差数列，而a2=2,S2=3,S3=2S2+S1−S1=7,∴a3=4，∴a5=8．（2）由题意：∀n>3,S n+3+S n−3=2S n+S3, ⋯⋯①∀n>4,S n+4+S n−4=2S n+S4, ⋯⋯②∀n>3,S n+4+S n−2=2S n+1+S3, ⋯⋯③∀n>4,S n+5+S n−3=2S n+1+S4, ⋯⋯④当n≥5时，由①②得：a n+4−a n−3=2a4, ⋯⋯⑤由③④得：a n+5−a n−2=2a4, ⋯⋯⑥由①③得：a n+4+a n−2=2a n+1, ⋯⋯⑦由②④得：a n+5+a n−3=2a n+1, ⋯⋯⑧由⑦⑧知：a n+4,a n+1,a n−2成等差，a n+5,a n+1,a n−3成等差；设公差分别为：d1,d2，由⑤⑥得：a n+5=a n−3+2d2=a n+4−2a4+2d2, ⋯⋯⑨a n+4=a n−2+2d1=a n+5−2a4+2d1, ⋯⋯⑩由⑨⑩得：a n+5−a n+4=d2−d1,2a4=d1+d2,a n−2−a n−3=d2−d1;∴a n n≥2成等差，设公差为d，在①②中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2+15d=22a1+5a2+4d,2a1+8a2+28d=22a1+7a2+9d,即4a2−7d=−2,3a2−5d=−1,∴a2=3,d=2，∴a n=2n−1n≥2，经检验，n=1时也符合．所以a n=2n−1,n∈N∗．21. 如图，连接AO1，BO1，CO2．由弦切角定理可得△AO2C∼△AO1B，所以AB=O1B2=r12.所以AB:AC为定值．22.A2=3243.设α=xy，由A2α=β，得3243xy=12,所以3x+2y=1,4x+3y=2,解得x=−1,y=2,所以α=2.23. 椭圆的普通方程为x225+y29=1，右焦点为4,0；直线的普通方程为2y−x=2，斜率为12；故所求直线方程为y=12x−4，即x−2y−4=0．24. 原不等式等价于：x−3<2x−1<3−x,解得−2<x<4 3 ,故解集为 −2,43．25. （1）以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系．则A1,0,0,A11,0,2，N12,1,0，C0,1,0．设M0,1,t，面MDN的法向量m=x1,y1,z1，则m⋅DN=0,m⋅DM=0,即x1+2y1=0,y1+tz=0,取x1=2t，则m=2t,−t,1.设面A1DN的法向量为n=x0,y0,z0，则DA1⋅n=0,DN⋅n=0,即x0+2z0=0,x0+2y0=0,取x0=2,则n=2,−1,−1,由题意得m⋅n=5t−1=0,解得t=1 5 .从而M0,1,1 ,所以AM=1−02+0−12+0−1 52=51.（2）由题意得cosθ=m⋅nm⋅n=5t−16⋅5t2+1=66,解得t=1,t=0舍.从而CM的长为12.26. （1）因为满足a−b=3,a,b∈1,2,3,⋯,n,a>b的每一组解构成一个点P,所以A n=n−3.（2）设k为正整数，记f n k为满足题设条件以及a−b=3k的点P的个数，只要讨论f n k≥1的情形．由1≤b=a−3k≤n−3k知f n k=n−3k,且k≤n−1,设n−1=3m+r，其中m∈N∗，r∈0,1,2，则k≤m,所以B n=f n kmk=1=n−3kmk=1=mn−3m m+1=m2n−3m−3,将m=n−1−r3代入上式，化简得B n=n−1n−26−r r−16,所以B n=n n−36,n3是整数, n−1n−2,n不是整数.。

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔江苏省苏州中学2011届高三年3月份调研考试 数学试卷 参考公式：1．样本数据123,,,n x x x x ⋅⋅⋅的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数．2．柱体、锥体的体积公式：1,3V Sh V Sh==柱体锥体，，其中S 是柱(锥)体的底面面积，h 是高．第一部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合2{|1},{|4}P x x Q x x =<==，则P Q = ____________． 2．在复平面内，复数(1)i i -对应的点在第____________象限．3．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2）其中产量比较稳定的小麦品种是 ．4．函数sin()4y x π=-在[0,]π上的单调递增区间是____________． 5．执行右边的流程图，最后输出的n 的值是 ．6．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率 是____________．7．已知,41)6sin(=+πx 则)3(sin )65sin(2x x -+-ππ=____________．8．已知点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最（第5题图）大值为____________．9．将一边长为4的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正 四棱锥的体积为 .10．在数列{}n a 中，111a =，且*1332()n n a a n +=-∈N ，则该数列中相邻两项乘积的最小值为__________.11．已知点1F ，2F 分别是双曲线2222 1 (0,0)x ya b a b -=>>的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲 线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是____________．12．设O 为坐标原点,给定一个定点(4,3)A , 而点)0,(x B 在x 正半轴上移动,)(x l 表示AB 的长,则△OAB中两边长的比值)(x l x的最大值为 ．13．若对[],1,2x y ∈且2xy =总有不等式24ax y-≥-成立，则实数a 的取值范围是__________．14．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,m m ,使得12()()f m f m =,就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，{1,2,3}A =,B A ⊆, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 共有____________个． 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤） 15、（本小题满分14分）设已知(2cos sin )22a αβαβ+-= ，，(cos 3sin )22b αβαβ+-= ，，其中(0,)αβπ∈、．(1)若32πβα=+，且2a b =，求βα、的值；(2)若52a b ⋅=，求βαtan tan 的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，侧面PAD 是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD ，点G 为AD 的中点.（1）求证：BG ⊥面PAD ；（2）E 是BC 的中点，在PC 上求一点F ，使得PG //面DEF.F EGDCBAP17．（本小题满分15分）某企业有两个生产车间分别在A ，B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工，现要在公路AC 上找一点D ，修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A ，B ，C 中任意两点间的距离均有1 km ，设∠BDC ＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S ．（1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； （2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程S 最少？18．（本小题满分15分） 如图，椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 是椭圆短轴的一个端点，过1F 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，12MF F ∆的面积为4，2ABF ∆的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线12,PF PF 都相切，如存在，求出P19．（本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：1n a ≠±，112a =，2213(1)2(1)n n a a +-=-，记数列21n n b a =-，221n n n c a a +=-（n N *∈）.（1）证明数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n c 的通项公式；（3）是否存在数列{}n c 的不同项,,i j k c c c （i j k <<）使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项,,i j kc c c （i j k <<）；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数32(1)()ln (1)x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩的图象过点(1,2)-，且在点(1,(1))f --处的切线与直线510x y -+=垂直． (1) 求实数,b c 的值；(2) 求()f x 在[1,]e - （e 为自然对数的底数）上的最大值；(3) 对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？附加题（选修部分） 21．（1）选修4—2：矩阵与变换变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应的变换矩阵是211 01M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求点(2,1)P在变换1T作用下的点'P的坐标；（2）求函数2y x=的图象依次在变换1T，2T作用下所得曲线的方程．22．一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．（1）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；（2）求该人两次投掷后得分ξ的数学期望Eξ．23．设)0,1(F，点M在x轴上，点P在y轴上，且⊥=,2（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）设),(),,(),,(332211yxDyxByxA是曲线C上的点，且|||,||,|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点)0,3(E时，求B点坐标.参考答案：解答题： 15．（1）∵32πβα=+，∴a = (1，)3sin(πα-)，b = (21，)3sin(3πα-) ……2分由2a b = ，得0)3sin(=-πα，(0,)απ∈ ……4分∴33ππαβ==，(k ∈Z) ……7分（2）∵a ·b = 2cos22)cos(13)cos(12sin 3)2cos(22βαβαβαβα--⨯+++=--+=)cos(23)cos(25βαβα--++ ……10分∴25)cos(23)cos(25=--++βαβα，即 )cos(23)cos(βαβα-=+整理得βαβαcos cos sin sin 5=-， ……12分 ∵A ∈βα、，∴51tan tan -=βα。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：（1）样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．（2）直棱柱的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 为高． （3）棱柱的体积V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,0,2}B =-，则AB = ▲ ．2．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 ▲ ．3．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为 ▲ ．5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ▲ ．6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s = ▲ ． 7．已知tan()24x π+=，则xx2tan tan 的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ▲ ．9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是 ▲ ． 10．已知1e ，2e 是夹角为π32的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若0a b ⋅=，则实数k 的值为 ▲ ． 11．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ▲ ．13．设1271a a a =≤≤≤…，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 ▲ ． 14．设集合{(,)|A x y =222(2)2mx y m ≤-+≤，},x y R ∈，{(,)|B x y =2m x y ≤+≤21m +，},x y R ∈，若A B ≠∅， 则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,． （1）若sin()2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD ∠=，,E F 分别是,AP AD 的中点．求证：（1）直线//EF 平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD ．P EFABC17．（本小题满分14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x （cm ）． （1）某广告商要求包装盒的侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ．设直线PA 的斜率为k ．CDP（1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当2k =时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意0k >，求证：PA PB ⊥．19．（本小题满分16分）已知,a b 是实数，函数3()f x x ax =+，2()g x x bx =+，)(x f '和)(x g '是()f x 和()g x 的导函数．若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致．（1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，求实数b 的取值范围； （2）设0a <且b a ≠，若)(x f 和)(x g 在以,a b 为端点的开区间上单调性一致，求||a b -的最大值．20．（本小题满分16分）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项的和为n S ，已知对任意整数k M ∈，当n k >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立． （1）设{1}M =，22=a ，求5a 的值； （2）设{3,4}M =，求数列}{n a 的通项公式．2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ（附加题）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4-1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与2r （12r r >）．圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上）． 求证：:AB AC 为定值．B ．选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分） 已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．C ．选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．D ．选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分） 解不等式：|21|3x x +-<．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB =，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．设二面角1A DN M --的大小为θ． （1）当90θ=时，求AM 的长；（2）当cos 6θ=时，求CM 的长．23．（本小题满分10分）设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,a b ∈{}1,2,3,,n …，a b >．（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求n B ．ABC D1A1B1C1DNM。

Read a，b If a>b Then m←a Elsem←bEnd IfPrint m2011江苏一、填空题1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B=-=-则_______,=⋂BA答案：{－1，2}2、函数f (x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．解析函数f (x)的定义域为(－12，＋∞)，令t＝2x＋1(t＞0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在(－12，＋∞)上为增函数，故函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为(－12，＋∞)．3、设复数i满足izi23)1(+-=+(i是虚数单位)，则z的实部是_________答案：14、根据如图所示的伪代码，当输入ba,分别为2，3时，最后输出的m的值是________答案：35、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______答案：136、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s解析：可以先把这组数都减去6再求方差，1657、已知tan()24xπ+=，则xx2tantan的值为__________解析：22tan()11tan tan1tan44tan tan(),2tan443tan229tan()141tanx x x x x xxxxxππππ+-+-===++（－）＝＝＝－8、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数xxf2)(=的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________解析：4，设交点为2(,)xx，2(,)xx--，则224(2)()4PQ xx=+≥9、函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．解析因为由图象可知振幅A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，故周期T＝π＝2πω，解得ω＝2，将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，解得一个符合的φ＝π3，从而y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴f (0)＝62． 10、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为解析：由0=⋅→→b a 得：k=211、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________解析：30,2212,2a a a a a a >-+=---=-，30,1222,4a a a a a a <-+-=++=- 12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t的最大值是_____________ 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，故，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+．13、设7211a a a ≤≤≤≤Λ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________解析：由题意：231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤，222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+，3223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++Q 的最小值分别为1，2，3；故min q = 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=， },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=， 若A B ϕ≠I ，则实数m 的取值范围是__________解析：当0m ≤时，集合A 是以(2，0)为圆心，以||m 为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，(102m m +=+>Q，因,φ≠⋂B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以(2，0)||m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有,m m≥≤，xxABD C 故21212m -≤≤+．又因为21,2122m m m ≤∴≤≤+ 二、解答题：15、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,． ⑴．若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；⑵．若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值．解析：⑴．sin()2cos ,sin 3cos ,63A A A A A ππ+=∴=∴=Q⑴．22221cos ,3,2cos 8,223A b c a b c bc A c a c ==∴=+-==Q ，由正弦定理得：22sin sin c c A C =，而222sin 1cos ,3A A =-=1sin 3C ∴=．(也可以先推出直角三角形) 16、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB =AD ，∠BAD =60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：(1)直线EF ‖平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD解析：(1)因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，,EF PD ∴P 又,,P D PCD E PCD ∈∉Q 面面 ∴直线EF‖平面PCD(2)AB=AD,BAD=60,∠oQ F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD ∴⊥面故，平面BEF ⊥平面PAD ．17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．P解析：(1)2222604(602)2408S x x x x =---=-(0<x<30)，故x=15cm 时侧面积最大，(2)222(2)(602)42(30)(030)2V x x x x x =-=-<<，故，'122(20),V x x =- (16)第题图当020,x <<时，2030V x V <<递增，当时，递减，故，当x=20时，V 最大．2x 122x=（60－2）2 18、如图，在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆22142x y +=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．⑴．当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； ⑵．当2k =时，求点P 到直线AB 的距离d ； ⑶．对任意0k >，求证：PA PB ⊥．答案：⑴．由题意知(2,0),(0,2),M N MN -的中点坐标为2(1,2--，直线PA 平分线段MN 时，即直线PA 经过MN 的中点，又直线PA 经过原点，故2k =． ⑵．直线PA 的方程为2y x =，由222,2 4.y x x y =⎧⎨+=⎩得，24242(,),(,),(,0),33333P N C AC --的方程为：203x y --=，故点P 到直线AB 的距离242||2233332d --==．⑶．法一：由题意设000011(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则0(,0)C x ，因,,A C B 三点共线，故ACAB k k =，即0100102y y y x x x +=+，又点,P B 在椭圆上，则222200111,14242x y x y +=+=，两式相减得：010101012()PB y y x x k x x y y -+==--+，故00101010010101()()[]12()()()PA PB y x x x x y y k k x y y x x y y +++=-=-=-+++，故PA PB ⊥．法二：将直线PA 的方程y kx =代入22142x y +=，解得212x k =+，记212kμ=+MP AxyB C(,),(,)P k A k μμμμ--，于是(,0)C μ，故直线AB 的斜率为02k k μμμ+=+，其方程为()2ky x μ=-，代入椭圆方程得，22222(2)2(32)0k x k x k μμ+--+=，解得22(32)2k x k μ+=+或x μ=-，因此2322(32)(,)22k k B k k μμ+++．于是直线PB 的斜率11k k=-，因此11k k =-，故PA PB ⊥． 法三：设1122(,),(,)P x y B x y ，则12120,0,x x x x >>≠，又111(,),(,0)A x y C x --．设直线,PB AB 的斜率分别为12,k k ，因C 在直线AB 上，故22kk =，从而211122112112y y k k k k x x -+=+=+⋅- 222221212222222221212121()22(2)4410()y y y y x y x x x x x x x x ---+-=+===-----，因此11k k =-，故PA PB ⊥． 法四：设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)N x y ，则121(,),(,0),,,P x y C x A C B ---三点共线，故2211212112PBy y y y k x x x x x -===+-，又点,A B 在椭圆上，则222222111,14242x y x y +=+=，两式相减得：0012ABy x k =-，故01011212ON PA AB AB y y k k k x x k =⋅=-⨯=-，因//ON PB ，故PA PB ⊥． 法五：由22,2 4.y kx x y =⎧⎨+=⎩得，(P A C ，故2ACkk =，故直线AC的方程为：(2k y x =，代入22142x y +=得到：22(1)2k x +-22246012k x k +-=+，解得2B x =，故1B P PB B Py y k x x k -==--，故PA PB k k = 1()1k k-=-，即PA PB ⊥．19．已知,a b 是实数，函数32(),()f x x ax g x x bx =+=+，'()f x 和'()g x 是(),()f x g x 的导函数，若''()()0f x g x ≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性一致．⑴．设0a >，若函数()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上单调性一致，求实数b 的取值范围； ⑵．设0a <且a b ≠，若函数()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上单调性一致，求||a b -的最大值．解：⑴．因32(),()f x x ax g x x bx =+=+，'2'()3,()2f x x a g x x b =+=+．又()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上单调性一致，故''[1,),()()0x f x g x ∀∈-+∞≥，即2[1,),(3)(2x x a x ∀∈-+∞++)0b ≥，因20,30a x a >+>，故[1,),20x x b ∀∈-+∞+≥，即[1,),2x b x ∀∈-+∞≥-，即2b ≥；实数b 的取值范围是[2,)+∞．⑵．解法一：由'()0f x =可得，x =．若 0b >，则由''0,0(,),(0)(0)a a b f g ab <∈=< 0，()f x 和()g x 在区间(,)a b 上不是单调性一致，故0b ≤．因为'(,0),()0x g x ∈-∞<；又''(,()0,(()0x f x x f x ∈-∞>∈<．故要使''()()0f x g x ≥，只有a ≥-1110,0,||333b a b a b ≥-≤<-≤≤-≤，取''221,0,()()6(3a b f x g x x x =-==- 1)9，当1(,0)3x ∈-时，''()()0f x g x ≥，因此max 1||3a b -=． 解法二：(i)当 b a <时，因()f x 和()g x 在区间(,)b a 上单调性一致，故(,)x b a ∀∈，''()()0f x g x ≥，即2(,),(3)(2)0x b a x a x b ∀∈++≥，因为0b a <<，故(,),2x b a x b ∀∈+<0，故2(,),3x b a a x ∀∈≤-，故23b a b <<-，设z a b =-，考虑点(,)b a 的可行域，函数y =-23x 的斜率为1的切线的切点设为00(,)x y ，则0001161,,612x x y -==-=-，故max 1(12z =--- 11)612=； (ii)当0a b <<时，因()f x 和()g x 在区间(,)a b 上单调性一致，故''(,),()()0x a b f x g x ∀∈≥，即2(,),(3)(2)0x a b x a x b ∀∈++≥，因为0b <，故(,),20x a b x b ∀∈+<，故2(,),3x a b a x ∀∈≤-，故23a a ≤-，故103a -≤≤，故max 1()3b a -=；当0a b <<时，因函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 上单调性一致，故(,)x a b ∀∈，''()()0f x g x ≥，即(,)x a b ∀∈，2(3)(2)0x a x b ++≥，又0b >，而0x =时，2(3)(2)0x a x b ab ++=<，不符合题意，(iii)当0a b <=时，由题意：2(,0),2(3)0x a x x a ∀∈+≥，故2(,0),30x a x a ∀∈+≤，故230a a +<，故103a -<<，则13b a -<，综上可知，max 1||3a b -=．20．设M 为部分正整数组成的集合，数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，已知对任意的整数k ∈M ，当整数n ＞k 时，S n ＋k ＋S n －k ＝2(S n ＋S k )都成立．⑴．设M ＝{1}，a 2＝2，求a 5的值；⑵．设M ＝{3，4}，求数列{a n }的通项公式．【解】⑴．由题设知，当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，即(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1，从而a n ＋1－a n ＝2a 1＝2．又a 2＝2，故当n ≥2时，a n ＝a 2＋2(n －2)＝2n －2．故a 5的值为8．⑵．由题设知，当k ∈M ＝{3，4}且n ＞k 时，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n ＋2S k 且S n ＋1＋k ＋S n ＋1－k ＝2S n ＋1＋2S k ，两式相减得a n ＋1＋k ＋a n ＋1－k ＝2a n ＋1，即a n ＋1＋k －a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋1－k ，故当n ≥8时，a n －6，a n －3，a n ，a n ＋3，a n ＋6成等差数列，且a n －6，a n －2，a n ＋2，a n ＋6也成等差数列．从而当n ≥8时，2a n ＝a n ＋3＋a n －3＝a n ＋6＋a n －6，(*)且a n ＋6＋a n －6＝a n ＋2＋a n －2．故当n ≥8时，2a n ＝a n ＋2＋a n －2，即a n ＋2－a n ＝a n －a n －2．于是当n ≥9时，a n －3，a n －1，a n ＋1，a n ＋3成等差数列，从而a n ＋3＋a n －3＝a n ＋1＋a n －1，故由(*)式知2a n ＝a n ＋1＋a n －1，即a n ＋1－a n ＝a n －a n －1．当n ≥9时，设d ＝a n －a n －1．当2≤m ≤8时，m ＋6≥8，从而由(*)式知2a m ＋6＝a m ＋a m ＋12，故2a m ＋7＝a m ＋1＋a m ＋13．从而2(a m ＋7－a m ＋6)＝a m ＋1－a m ＋(a m ＋13－a m ＋12)，于是a m ＋1－a m ＝2d －d ＝d ．因此，a n ＋1－a n ＝d 对任意n ≥2都成立．又由S n ＋k ＋S n －k －2S n ＝2S k (k ∈{3，4})可知，(S n ＋k －S n )－(S n －S n －k )＝2S k ，故9d ＝2S 3且16d ＝2S 4．解得a 4＝72d ，从而a 2＝32d ，a 3＝52d ，又由S 3＝92d ＝a 1＋a 2＋a 3，故a 1＝d2．因此，数列{a n }为等差数列，由a 1＝1知d ＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．B 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β． 解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243，设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤324 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2．C ．选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解 由题意知，椭圆的长半轴长为a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知直线的参数方程化为普通方程得x －2y ＋2＝0，故所求的直线的斜率为12，因此所求的方程为y ＝12(x－4)，即x －2y －4＝0.22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB ==，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角1A DN M --的大小为θ．(1)当090θ=时，求AM 的长； (2)当6cos θ=时，求CM 的长． 解析：以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，DD 1为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，A 1(1，0，2)，N(12，1，0)，22第题图C(0，1，0) )，设M(0，1，z)，面MDN 的法向量1111(,,)n x y z =u r，11(1,0,2),(,1,0),(0,1,)2DA DN DM z ===u u u u r u u u r u u u u r ，设面A 1DN 的法向量为000(,,)n x y z =r ，则00100200,0,102x z DA n DN n x y +=⎧⎪==∴⎨+=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，取0002,1,1,x y z ==-=-则即(2,1,1)n =--r ，(1)由题意：1111111111120,0,,0020x y DN n DM n nn y zz x y z ⎧+=⎪⎪===∴+=⎨⎪--=⎪⎩u u u r u r u u u u r u r r u r ，取11112,1,5,;5x y z z ==-==则AM ∴==(2)由题意：10DN n ⋅=u u u r u r ，10DM n ⋅=u u u u r u r，11||6||||n n n n ⋅=r u r r u r ，即111121111111102034420x y y zz x x y x z y z ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪--+=⎪⎩取 11112,1,2,;2x y z z ==-==则1.2CM ∴=23．设整数n ≥4，P (a ，b )是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a ，b ∈{1，2，3，…，n }，a ＞b ． (1)记A n 为满足a －b ＝3的点P 的个数，求A n ； (2)记B n 为满足13(a －b )是整数的点P 的个数，求B n ．解析：(1)点P 的坐标满足条件1≤b ＝a －3≤n －3，故A n ＝n －3．(2)设k 为正整数，记f n (k )为满足条件以及a －b ＝3k 的点P 的个数，只要讨论f n (k )≥1的情形． 由1≤b ＝a －3k ≤n －3k 知f n (k )＝n －3k ，且k ≤n －13，设n －1＝3m ＋r ，其中m ∈N *，r ∈{0，1，2}，则k ≤m ，故B n ＝∑mk ＝1f n(k )＝∑mk ＝1 (n －3k )＝mn －3m （m ＋1）2＝m （2n －3m －3）2，将m ＝n －1－r3代入上式，化简得B n＝（n －1）（n －2）6－r （r －1）6，故B n＝⎩⎨⎧n （n －3）6，n3是整数，（n －1）（n －2）6，n3不是整数.。