概率6-1

二
在玩中学数学,用数学
小明和小亮用如图所示的转盘做 游戏,转动两个转盘各一次. 若两次数字和为奇数,则小明获 胜,若数字和为偶数则小亮胜.这 个游戏对双方公平吗?说说你的 理由.
2 3 1 5
4
2 3 4 5 6
转动两个转盘各一次.若两次数字和为奇数, 则小明获胜,若数字和为偶数则小亮胜.这个 游戏对双方公平吗?说说你的理由.
1.频率与概率的应用(3) “配紫色”游戏
回顾与思考
用树状图或表格来求概率 利用树状图或表格可以清晰地表 示出某个事件发生的所有可能出 现的结果;从而较方便地求出某 些事件发生的概率.
表格法只能针对两步实验求概率： 树状图可以针对多步实验求概率：
(1)在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同 的3个小球，其中一个红色球、两个黄色球.如果第 一次先从袋中摸出一个球后再放回摇匀，第二次 再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球的概 率是 _____.
红 红 (红,红) (红,蓝) (蓝,红) (蓝,蓝) 蓝 红
蓝
1200
红
开始
蓝
蓝 红 蓝
并据此求出游戏者获胜的概率是1/2.
“配紫色”游戏的变异
小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份, 分别记作“红色1”,“红色2”,然后制作了下 表,据此求出游戏者获胜的概率也是1/2.
红色 蓝色
(红1,蓝) (红2,蓝) (蓝,蓝)
选两个可以自由转动的转盘，每个转盘 分成面积相等的几个扇形，游戏者转动 两个转盘，如果转出两个都是红色，那 么它就赢了，并且赢的概率是1/3
一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等 的8个扇形，游戏者两次转动转盘，如果两次转出 的结果分别为红色或黄色，那么游戏者就赢了，游 戏者获胜的可能性是多少？

此定义可以推广到任意有限多个事件的情形 :
一般, 个事件, 一般 设A1,A2,...,An(n≥2)个事件 如果对于其中 ≥ 个事件 任意2个 任意3个 任意n个事件的积事件的概 任意 个, 任意 个, ..., 任意 个事件的积事件的概 都等于各事件概率之积, 则称事件A 率, 都等于各事件概率之积 则称事件 1,A2,...,An 相互独立. 相互独立
2 1 2 1 1 P( A) = = , P(B) = = , P( AB) = , 4 2 4 2 4 1 P(B | A) = . 2
可知P(B|A)=P(B), 而P(AB)=P(A)P(B). 可知
是试验的两事件, 设A,B是试验的两事件,若P(A)>0,则可定义 是试验的两事件 ,则可定义P(B|A). 一般, 的发生对 发生的概率有影响 的发生对B发生的概率有影响时 一般,A的发生对 发生的概率有影响时, P(B|A) ≠P(B) 影响不存在时 影响不存在时,P(B|A)=P(B),此时有 , P(AB)=P(B|A)P(A)=P(B)P(A) 定义:若两事件 定义:若两事件A,B满足 P(AB)= P(A) P(B), 满足 , 则称A 相互独立, 独立. 则称 ,B相互独立,简称 ,B独立 相互独立 简称A 独立
§6独立性
首先我们考虑下面问题: 首先我们考虑下面问题: 个产品, "有放回抽样"的产品抽样问题,总共a个产品, 有放回抽样"的产品抽样问题,总共 个产品 其中有b个次品,若前后抽样两次,有放回抽样, 其中有b个次品,若前后抽样两次,有放回抽样, 则注意到第1次是否取得正品并不影响第2 则注意到第1次是否取得正品并不影响第2次取得 正品的概率,即假设Ai表示"第i次取得正品", 正品的概率,即假设A 表示" 次取得正品" i=1,2, i= ,则P(A2|A1)=P(A2), 此时乘法公式为P(A1A2)=P(A1)P(A2) 此时乘法公式为 这就是说,已知事件 发生 并不影响事件B发生的概 这就是说 已知事件A发生 并不影响事件 发生的概 已知事件 发生,并不影响事件 这时称事件A 独立. 率,这时称事件 ,B独立 这时称事件 独立

一、统计量
定义1 设X1, X2, …, Xn是总体X的样本，样本函数g(X1, X2, …, Xn)是样 本的实体函数，且不含有任何未知参数，则称这类样本函数g(X1, X2, …, Xn)为统计量。
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即对 一次具体的观测或试验，它们都是具体的数值，但当脱离开具体的某 次观测或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量。
n i 1
( xi
x )2
1n (
n 1 i1
xi2
nx 2 )
。
（3）样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
它的观测值记为 s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
。
（6-5）
（4）样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k
1，2 ，3，
)
它的观测值记为 ak
解 将样本的观察值由小到大排列为 1 2 3 3 4 4 4 5 6 8
所以样本的频率分布如表所示
X
1
2
3
4
5
6
8
fn
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
例1 设总体服从泊松分布，容量为10的样本观察值如下：
214 3 5 6 4 8 4 3 试构造样本的分布函数F10(x)。
例1 设随机变量 X ~ (0 ，1) 分布，求D(X)。
解 因为 X ~ (0 ，1)
所以 又
E(X ) p E( X 2 ) 0 (1 p) 12 p p

(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
概率的综合应用：
3.有长度分别为2cm，2cm，4cm，5cm的小棒 各一根，放在不透明的纸盒中，每次从中任 意取一根小棒（不放回），取了三次，取得 的三根小棒恰好能构成一个三角形的概率是 多少？
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
3
4 5 6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4)(6,5) (6,6)
(2) 取3枚硬币：在第一枚的正面贴上 红色标签，反面贴上蓝色；在第二枚的正 面贴上蓝色标签，反面贴上黄色；在第三 枚的正面贴上黄色标签，反面贴上红色， 同时抛三枚硬币，落地后颜色各不相同的 机会有多大？
概率是 2/3 ； （2）随机从中摸出一球，记录下颜色后 放回袋中，充分混合后再随机摸出一球， 两次都摸到红球的概率为 ； （3）随机从中一次摸出两个球，两球 均为红球的概率是 。
（2）随机从中摸出一球，记录下颜色后 放回袋中，充分混合后再随机摸出一球， 两次都摸到红球的概率为 4/9 ；
红球 红球 红球 红球 兰球 兰球 1 2 3 4 5 6
2一般地，不确定事件发生的可能性 是有大小的。 表示方式一：
1（或100%） 必然事件发生的可能性:_______________ 不可能事件发生的可能性:____________ 用0来表示 不确定事件发生的可能性是 大于0小于1的 。
表示方式二：
用线段图可表示为：
0
不可能 发生
½(50%)
明白了
懂得了
合作交流的重要性