2014年下期新田一中选修2-1测试二

2014年下期新田一中选修2-1第二章测试题（二）2014.9一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是 ( )． A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，116) D ．(116，0)2．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一焦点的距离为( )．A ．2B ．3C ．5D ．7 3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )． A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝04．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是 ( )．A.x 216－y 248＝1B.x 29－y 227＝1C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对5．已知椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为 ( )．A.x 220＋y 225＝1B.x 225＋y 220＝1C.x 225＋y 25＝1D.x 25＋y 225＝16．已知椭圆x 241＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为 ( )．A ．10B ．20C ．241D ．441 7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( )．A ．2 B. 3 C. 2 D.328．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是 ( )．A ．(34π，π) B ．(π4，34π) C ．(π2，π) D ．(π2，34π) 9．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m 等于 ( )． A.32 B ．2 C.52 D ．310．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )． A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知点(－2，3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝________.12．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________．13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．14．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．15．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(12分)双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．17．(12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．18．(12分)已知抛物线y2＝2x，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．19．(13分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．20．(13分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35， (1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．21．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，－2），点C满足αβα其中,+=、12,=-∈βαβ且R（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 交于两点M 、N ，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值2211ba -.2014年下期新田一中选修2-1第二章测试题（二）2014.9一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是 ( )． A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，116) D ．(116，0)解析 将抛物线方程变为x 2＝2×18y ，知p ＝18，又焦点在y 轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，116)．答案 C2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一焦点的距离为( )．A ．2B ．3C ．5D ．7 解析 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，10－3＝7.选D. 答案 D3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )． A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析 因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点， 所以圆的半径r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案 D4．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是 ( )．A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析 当顶点为(±4，0)时，a ＝4， c ＝8，b ＝43，x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6， b ＝33，y 29 －x 227＝1.答案 C5．已知椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为 ( )．A.x 220＋y 225＝1B.x 225＋y 220＝1 C.x 225＋y 25＝1 D.x 25＋y 225＝1 解析 双曲线x 23－y 22＝1中a 12＝3，b 12＝2，则c 1＝a 12＋b 12＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝15，则a＝5，a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.答案 B6．已知椭圆x 241＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为 ( )．A ．10B ．20C ．241D ．441解析 |AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|B F 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝441. 答案 D7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( )．A ．2 B. 3 C. 2 D.32解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，依题意b a ·(－b a ) ＝－1，故b 2a2＝1， 所以c 2－a 2a 2＝1即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.故选C.答案 C8．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是 ( )．A ．(34π，π) B ．(π4，34π)C ．(π2，π)D ．(π2，34π)解析 椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π， ∴π2<α<3π4. 答案 D9．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m等于 ( )． A.32 B ．2 C.52 D ．3 解析 依题意k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 而y 2－y 1＝2(x 22－x 12)，得 x 2＋x 1＝－12，且(x 2＋x 12，y 2＋y 12)在直线y ＝x ＋m 上，即y 2＋y 12＝x 2＋x 12＋m ，y 2＋y 1＝x 2＋x 1＋2m ， ∴2(x 22＋x 12)＝x 2＋x 1＋2m ， 2[(x 2＋x 1)2－2x 2x 1]＝x 2＋x 1＋2m ， 2m ＝3，m ＝32.答案 A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )． A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析 圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，c ＝3，根据已知得3b a 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，得a 2＝c 2－b 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．) 11．已知点(－2，3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝________. 解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得（p2＋2）2＋（－3）2＝5.解得p ＝4. 答案 412．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________． 解析 当0<m <1时，y 21m＋x 21＝1，e 2＝a 2－b 2a 2＝1－m ＝34， m ＝14，a 2＝1m＝4，a ＝2；当m >1时，x 21＋y 21m ＝1，a ＝1.应填1或2.答案 1或213．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________． 解析 由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，因此所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案 x 24－y 23＝17．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎪⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．14．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 解析 由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形， 所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， |PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)， 所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.答案2－1三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．解 由共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1，点P (3，4)在椭圆上，16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40， 双曲线的过点P (3，4)的渐近线为 y ＝b 25－b 2x ，即4＝b 25－b2×3，b 2＝16. 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1.17．(10分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程． 解 由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝2x ，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0， Δ＝4－16k >0⇒k <14(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2k ，y 1·y 2＝4k，⎩⎨⎧x 1＝12y 12x 2＝12y22⇒x 1·x 2＝14(y 1·y 2)2＝4k 2OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， ∴4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1. 所以所求直线方程为y ＝－x ＋2， 即x ＋y －2＝0.18．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2. (1)求椭圆的方程；(2)求△CDF 2的面积．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋（－2）2|x 1－x 2| ＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·（－169）2－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.19．(12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35，(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋22（1－m ）2－4·m24＝5（1－2m ）.由|AB |＝35，即5（1－2m ）＝35⇒m ＝－4.(2)设P (a ，0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋（－1）2＝2|a －2|5， 又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |， 2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5 或a ＝－1，故点P 的坐标为(5，0)和(－1，0)．19．（本小题满分12分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，－2），点C 满足αβα其中,+=、12,=-∈βαβ且R（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆过原点，求证：为定值2211ba -. 解答：（1）解：设)2,0()0,1(),(,),,(-+=+=βαβαy x y x C 则因为 1122=+∴=-⎩⎨⎧-==∴y x y x βαβα即点C 的轨迹方程为x+y=1 ……4分002)(:11)2(22222222222222≠-=--+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a b b a a x a x a b b y a x y x 由题意得得由2222221222212211,2:),,(),,(a b b a a x x a b a x x y x N y x M -+-=--=+则设分为定值即即为直径的圆过原点因为以12 211,020)(2212)(1)1)(1(0,0,22222222222222212122212121 =-∴=--=-+--+=++-=--+∴=+=⋅b a b a a b a b b a a a b a x x x x x x x x y y x x MN。