高等土力学-1.9Ducan-Zhang本构关系

1.9 土的试验本构关系模型－Duncan-Chang模型1. 9.1概述土力学问题可分为二大类：变形问题和稳定问题。

变形计算中必须用到土的本构关系，即土的应力应变关系式，也称本构定律（constitutive law）、本构方程（constitutive equation）。

土的应力应变关系十分复杂，除了受时间影响外，还受温度、湿度等因素影响。

其中时间是个主要影响因素，与时间有关的土的本构模型主要是反映土流变性的理论。

而在大多数情况下，可以不考虑时间对土的应力-应变和强度（主要是抗剪强度）的影响。

土的本构模型大体上可分为弹性模型、弹塑性模型、粘弹塑性模型、内时塑性模型等几类。

这些模型有的是理论推导模型，有的主要是根据试验成果拟合推导模型。

本章介绍的主要是与时间无关的试验本构模型－邓肯-张双曲线模型。

1. 9.2邓肯-张双曲线模型到目前为止，国内外学者提出的土体本构模型不计其数，但是真正广泛用于工程实际的模型却为数不多，邓肯-张模型为其中之一。

该模型是一种建立在增量广义虎克定律基础上的非线性弹性模型，可经反映应力～应变关系的非线性，模型参数只有８个，且物理意义明确，易于掌握，并可通过静三轴试验全部确定，便于在数值计算中运用，因而，得到了广泛地应用。

1.邓肯-张双曲线模型的本质邓肯-张双曲线模型的本质在于假定土的应力应变之间的关系具有双曲线性质，见图1.3.8(a)。

（a ）12()~a σσε-双曲线（b ）1131/()~εσσε-关系 图1.3.8 三轴试验的应力应变典型关系1963年，康纳（Kondner ）根据大量土的三轴试验的应力应变关系曲线，提出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验13()~a σσε-曲线，即a ab a εεσσ+=-31 （1）其中，,a b 为试验常数。

对于常规三轴压缩试验，轴应变1a εε=。

邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一种目前被广泛应用的增量弹性模型，一般被称为邓肯——张（Duncan-Chang ）模型。

2.切线变形模量t E 邓肯—张计算公式在常规三轴压缩试验中，式（1）也可以写成1112a b εεσσ=+- （2）将常规三轴压缩试验的结果按1113~εεσσ-的关系进行调整，则二者近似成线性关系，如图1.3.8(b)。

其中，a 为直线的截距；b 为直线的斜率。

在常规三轴压缩试验中，由于230d d σσ==，所以切线模量为13211()()t d aE d a b σσεε-==+ （3）在试验的起始点，10ε=，t i E E =，则：1i E a =（4）这表明a 代表的是在这个试验中的起始变形模量(初始切线模量)的倒数。

在式（1）中，如果1ε→∞，则：131()ult bσσ-=（5）或者 131()ultb σσ=- （6）由此可看出b 代表的是双曲线的渐进线所对应的极限偏差应力13()ult σσ-的倒数。

在土的试样中，如果应力应变曲线近似于双曲线关系，则往往是根据一定的应变值（如115%ε=来确定土的强度13()f σσ-，而不可能在试验中使1ε无限大，求取13()ult σσ-；对于有峰值点的情况，取1313()()f σσσσ-=-峰，这样1313()()f ult σσσσ-<-。

定义破坏比f R 为：破坏比：1313()()ff ultR σσσσ-=- （7）R f 值一般在0.75~1.0之间13121()()fultf R b σσσσ==-- （8）将式（8）、式（4）代入式（3）中，得2113111()t f i i f E R E E εσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（9） 式（9）中t E 表示为应变1ε的函数，使用时不够方便，可将t E 表示为应力的函数形式。

从式（1）可以得到13113()1()a b σσεσσ-=-- （10）将式（10）代入式（3），得222131********1()()111()1()1()t aE ab b a a a b b b σσσσσσσσσσ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤--++⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （11）将式（8）、式（4）代入式（11），得213131()t i ff E E R σσσσ⎡⎤-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（12） 根据莫尔－库仑强度准则，有3132cos 2sin ()1sin f c ϕσϕσσϕ+-=- （13）如果绘出lg(/)i a E p 与3lg(/)a p σ直线，则其截距等于lgK ，斜率等于n ，参见图1.3.9。

lgEi/Palg /Pa 3图1.3.9lg(/)i a E p 与3lg(/)a p σ间的试验关系图（注：Pa 为大气压，单位与Ｅi 相同，以便使E i /Pa 、3σ/Pa 成为无量纲数）K 、n 为无因次基数和无因次指数,是决定于土质的试验常数，由lg(E i /Pa)与lg(σ3/Pa)直线关系确定，其截距为lgK 、斜率为n 。

E i 为初始切线模量，E i ＝1/a, Pa 大气压力。

aai P n k P E 3lglg lgσ+=naa i P KP E )(3σ= （14）将式（13）和式（14）代入式（12）则得到任一应力（σ1，σ3）时的切线模量的邓肯－张计算公式：21333()(1sin )()12cos 2sin f nt a a R E K p p c σσϕσϕσϕ--⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦（15）可见切线变形模量的公式中共包括5个材料常数：K 、n 、ϕ、c 、f R 。

2. 切线泊松比iv 邓肯—张计算公式邓肯等人根据一些试验资料，发现在常规三轴压缩试验中，轴向应变1ε与侧向应变3ε-之间也存在双曲线关系，见图1.3.10（a ）。

313()f D εεε-=+- （16）或者 3133/()f D f D εεεε-=+-=- （17）从式（17）可以看出，试验得到的31/εε-与3ε-的关系为直线关系，见图1.3.10（b ）,从而可确定截距f 与斜率D 。

从式（17）和图1.3.10（b ）可见，当30ε-→时，3310(/)i f v εεε-→-==，i v 即为初始泊松比，D 为13~εε-关系渐进线的倒数（见图（1.3.10a ））。

试验表明土的初始泊松比i v 与试验围压3σ有关，将它们画在单对数坐标中，可假设是一条直线，见图1.3.10（c ），这样33lg(/)i v f G F p σ==- （18）,G F 为试验常数，其确定见图1.3.10（c ）。

（a ）13~εε-双曲线（b ）313/~εεε--线性关系（c ）3~lg(/)i a p νσ关系 图1.3.10 切线泊松比有关参数将式（16）微分，得：31122111(1)(1)(1)it d v D f D fv d D D εεεεεε--+===-- （19）将式（4）、式（8）、式（10）和式（18）代入式（19），则得到任一应力（σ1，σ3）时的泊松比的邓肯－张计算公式：32131333lg(/)()1()(1sin )()12cos 2sin a t f na a G F p v D R K p p c σσσσσϕσϕσϕ-=⎧⎫⎪⎪-⎪⎪-⎨⎬--⎡⎤⎪⎪-⎢⎥⎪⎪+⎣⎦⎩⎭（20）这样在切线泊松比t v 的计算公式中又引人了G 、F 、D 等3种材料常数，加上t E 中的5个常数，共有8个常数。

其中D 可取若干不同围压的三轴试验平均值。

根据弹性理论，00.5t ν<<。

邓肯—张模型的八大参数：K 、n 、ϕ、c 、f R ，G 、F 、D1.9.3 三轴试验确定邓肯-张双模型８大参数的方法（1）固结排水剪切试验从现场取回原状土样lO桶，制成圆柱形试样(若需要饱和，则需先饱和)，在三轴压缩试验装置（见图1.3.11）上进行试验。

图1.3.11 静三轴试验仪主要试验步骤为：①记录体变管的初始读数；②对试样加周围压力σ3，并在周围压力下固结，并记下排水管的读数；③开动马达，合上离合器，按0．0065%/min的剪切应变速对试样加载。

按百分表读数为O，30，6O，90，120，150，180，210,240，300，360，420，480，540，600，660⋯的间隙记读排水管读数和量力环量表读数，直到试样破坏为止。

取低应变速率的目的是保证剪切过程中不产生孔隙水压力。

(2)试验数据整理对试验数据进行整理，可得周围压力σ3分别为0．1MPa，0．2MPa，0．3MPa，的主应力差σ1-σ3与轴应变ε1之间的关系，以及轴应变ε1与体积应变εv之问的关系(见图1.3.12)。

在本次试验中，取轴向应变为15％所对应的主应力差为试样的抗剪强度。

不同周围压力σ3下的试样破坏应力值列于表1。

图1.3.12 亚粘土的(σ1-σ3)~ε1和ε1~εv关系曲线表1 亚粘土在不同围压下的破坏应力值①c、ϕ值由表1可绘出不同围压力下的摩尔应力圆(见图1.3.13)，从图中可得：C＝0.032MPa ϕ=26.088o图1.3.13 亚粘土在不同围压下的摩尔应力圆②E i、R f值因实际的应力应变并非完全全符合所假定的双曲线，往往在开始和最后接近破坏的一段，将(σ1-σ3)~ε1应力应变双曲线关系转换成[ε1 /(σ1-σ3)]~ε1直线关系时，试验数据对线性关系有偏离，为了减少人为因素，使整体符合得好，在取a（直线的截距，a=1/E i）值和b(b=1/(σ1-σ3)ult)值时，使直线通过应力水平S=70%及S=95%的点，据此可获得表2的结果。

由表2可绘出[ε1 /(σ1-σ3)]~ε1的关系直线（如图1.3.14所示）。

由图3可确定a、b值，并进一步得到E i、R f值（见表3）.图1.3.14 [ε1 /(σ1-σ3)]~ε1的关系直线③K、n值由表3可求得表4的数值。

表中取大气压p a=0.1033MPa由表4可绘出图1.3.15，并从图1.3.15中可以得到：K＝134.586 n=0.40图1.3.15 lg(σ3/p a) ~lg(E i/p a)。