高数复习题 11-12上

第十一章
曲线积分
习题课
高等数学
1
知识梳理 一、 两类曲线积分
定义 对弧长的曲线积分 ∫ f ( x, y)ds
L
对坐标的曲线积分
∫ P( x, y)dx = lim ∑P(ξ ,η )∆x λ
L →0
n
= lim∑ f (ξi ,ηi )∆Si
λ→0
i =1
n
∫ Q( x, y)dy = lim ∑Q(ξ ,η )∆y λ
（7）求 ）
其中
是以 点 A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) 为 y
B (0,1)
顶点的三角形的正向边界曲线. 顶点的三角形的正向边界曲线 解 上式积分 =
C (-1,0) o
x
A(1,0)
由格林公式，得 由格林公式，
高等数学
13
例2.螺旋形弹簧一圈的方程为 螺旋形弹簧一圈的方程为
二、四个等价命题
条件：在单连通区域 内 条件：在单连通区域G内，函数P ( x , y ) , Q ( x , y ) 具有一阶 连续偏导数 以下四个命题等价： 以下四个命题等价： 内与路径无关； 1 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在G 内与路径无关；
L
2
∫
∂Q ∂P 3 在 G 内恒成立 内恒成立; = ∂x ∂y 4 Pdx + Qdy = du( x , y ), 即Pdx + Qdy 为某一 u( x , y )的全微分 的全微分.
此时不能用格林公式
2 xy − 3 y x 2 − 5x dx + 2 dy 解 ∫ 2 2 2 x +y L x + y 1 = 2 ∫ (2 xy − 3 y )dx + (x 2 − 5 x )dy a L 1 = 2 ∫∫ [(2 x − 5 ) − (2 x − 3 )]dxdy a x 2 + y 2 ≤a 2

上册目 录第一讲: 极限与连续 (2)单元一: 未定型极限(1)……………………………………………………………………………2 单元二: 未定型极限(2)……………………………………………………………………………3 单元三: 未定型极限(3)……………………………………………………………………………4 单元四: 未定型极限(4)(含()xaf t dt) (6)单元五: 特殊求极限法........................................................................................7 单元六: 无穷小比较............................................................................................9 单元七: 函数连续性..........................................................................................10 单元八: 渐近线讨论..........................................................................................12 单元九: 介值定理 (13)第二讲: 导数和应用 (14)单元一: 定义求导............................................................................................14 单元二: 公式与法则.........................................................................................16 单元三: 特殊求导法.........................................................................................18 单元四: 斜率与切线.........................................................................................20 单元五: 单调性与极值......................................................................................20 单元六: 单调性应用.........................................................................................23 单元七: 二阶导应用.........................................................................................26 单元八: 中值定理............................................................................................28 单元九: 泰勒公式.. (30)第三讲: 一元积分学 (32)单元一: 原函数与不定积分.................................................................................32 单元二: 定积分性质..........................................................................................35 单元三: 定积分计算..........................................................................................36 单元四: 定积分几何应用....................................................................................39 单元五: 定积分物理应用 (41)第四讲: 微分方程 (43)单元一: 一阶方程.............................................................................................43 单元二: 可降阶方程..........................................................................................44 单元三: 高阶线性方程.......................................................................................45 单元四: 应用方程 (46)第一讲: 极限与连续单元一: 未定型极限(1)1. 若 2lim ()4x f x →=, 则: [D ]:(2)4A f =; :(2)4B f ≠; 0:(2)D x U ∈时()4f x <; 0:(2)D x U ∈时,3()5f x <<2. (1)lim[coscos cos]242n n x x x →∞ [sin sin lim 2sin 2n n nx x x x →∞=] (2)lim 1nxnxn x ee →∞++; [01,0201x x x x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩]3. (1)lim x →+∞;[lim1x =](2)lim )x x x →-∞[lim5]x =-(3)x →∞[1112lim lim (0())3515x x x x x x x →∞→∞=-+=]4. 设()f x 是多项式, 且320()2()lim2,lim 3x x f x x f x x x→∞→-==, 求()f x . [32()223f x xx x =++] 5. lim ()]0,(0)x kx d a →+∞+=>,求,k d 与,,a b c 的关系.[22lim0,x k d =∴==]6. 02lim []x x x x→, 其中: (1)3x →; (2)x →∞; (3)2x →[(1)32lim []0x x x→=; (2)(),()0f f -∞=+∞+∞=; (3)(2)2,(2)0f f -=+=]7. 222lim 22x x ax b x x →++=--,求:,a b . 2(2)(4)[lim ,2,8](2)(1)x x x a b x x →-+=∴==--+ 8. 1111()arctan 1xxe f x x e +=-, 求: 0lim ()x f x → [(0)(0)2f f π-=+=]1. 求极限:(1)∞(1)()tan 2lim sin x x x π→. [1] (2)321lim (1)x x x→-∞+[0] (3)()tan 21lim 2x x x π→-[2e π] (4)csc 03lim()2xx x ex→-+[1e -] (5)210sin lim()x x x x→[16e -] (6)()1lim ln x e x e x -→ [1e e ] (7)()21lim cos sin x x x x x →+ [12e ] (8)210ln lim()ln x x x x a x a b x b →-- [221(ln ln )2a b e -](9)1cotlim (1)xxx e -→+∞+ [lim01xx xe ee →+∞==](10)110(1)lim[]xx x x e →+ [11ln(1)122001ln(1)1lim [1]lim ;2x xx x x x e e x x +--→→+--==-]2. ,,0K L λ>, 求: 10lim[(1)]xxxx KL λλ---→+-[11[(1)(1)][ln (1)ln ]10lim x x K L x k x L xxx eeK L λλλλλλλλ----+--------→==]3.求极限(对比)(1)134lim()2x xxx →+ [3ln34ln 4ln(34)ln 23400lim lim x x x x x xxx x ee++-+→→=== (2)134lim ()2x x x x →+∞+ [3ln34ln 4ln(34)ln 234lim lim 4x x xx x xxx x e e++-+→+∞→+∞===]4.求极限 (1)lim(cossin )n n x x n n λ→∞+; [1lim (cos sin 1)lim [0()];x n n x x x n n x e n n n nλλλλ→∞→∞+-=+=](2)21lim(tan )n n n n→∞ [13e ](3)lim(1n n →∞+ [lim lim 1x x →+∞→+∞==](4)sin 0lim(cot)xx →+ [sin lncot 00lim 1x xx ee →+==]1. 254lim1sinx x x x →∞- [54lim 5x x x →∞-=]2. 求极限:0()0(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ [2013sin cos3lim 22x x x x x →+=] (2)11limln x x x x x →-ln 1111[lim lim 1]ln ln x x x x x x e x x x x→→--== (3)21limln cot(1)x x x →⋅- [2211ln 11limlim 112x x x x x x →→-==--] (4)4lim tan 2tan()4x x x ππ→-414[lim ]cos 22x xx ππ→-=(5)1ln cos(1)lim1sin2x x xπ→-- [2ln cos cos 14limlim1sin(1)1cos22t t t t t tπππ→→-==--+-](6)22arctan(2)lim sin 3x x x xπ→- [2200arctan(2)222lim lim lim sin 3sin 3(2)sin 33x t t x x t t x t t ππππ→→→-===+](7)220ln(1)ln(1)lim sec cos x x x x x x x →+++-+- [2420ln(1)lim 1x x x x →++=](8)21(1lim (1)x x →- [2211(1)1lim 6(1)6x x x →-=-](9)20limx x → [201sin cos 1lim 22x x x x x →+-=]3. 求极限(洛必达法则):(1)0tan sin lim sin x x xx x→--[3] (2)03ln 31lim1cos x x x x →---2[ln 3] (3)30arctan limln(1)x x x x →-+1[]3- (4)30sin(sin )lim x x x x →-1[]3(5)202lim x x →1[]4(6)211000lim x x e x --→[0](7)()lim0x ax a a x a x a→->-[(ln 1)]a a a - (8)10(1)limxx x e x →+-[]2e- (9)0ln sin 5limln sin 2x x x→+[1] (10)20ln limln(sin )x x x →+1[]2 (11)20ln ln lim()x x x a b a b x x →---221[(ln ln )]2a b - (12)3012cos lim[()1]3xx x x →+-3002cos sin 1[lim ln()lim )]32(2cos )6x x x x x x x x →→+-==-+ 4. 求极限(对比)(1)011lim ln x x e x x →-; [00111lim()lim 1(1)2x x x xx x x e xe e e x x e →→-+-==--] (2)11lim ln x x e x x→+∞- [11lim ()lim 11(1)x x x xx x x e xe e e x x e →+∞→+∞-+-==--] 5. lim[(2)ln(2)2(1)ln(1)ln ]x x x x x x x →+∞++-+++[11lim[(2)ln(1)ln(1)]11011x x x x x →+∞+++-=-=++] 6. 求极限(泰勒公式)(1)222012lim (cos )sin x x x e x x →--[112-] (2)24261cos 12limx x x exx -→-+[7360](3)21lim[ln(1)]x x x x →∞-+1[]2(4)2201lim[()ln(1)]x a a ax x x →--+ [22a ]7. 已知: 220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=, 求: ,a b [2222010()52lim 2,1,2x x x x ax bx a b x →-+--===-]单元四: 未定型极限(4)(含()xaf t dt ⎰)1. 求极限: (1)2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰(2)1121cos 2lim4n n t dt n t→∞⎰120cos 21[lim ]44x x t x dt t →+==⎰(3)sin 0tan 00limx x →+⎰⎰0[lim1]x →=2.设21()(1),(0)2x t xf x x t =+>⎰, 求1lim ()sin n f n n →∞.[()limx f x x→+∞==3. ()f x 在[0,)+∞上连续, lim ()0x f x A →+∞=≠, 证明: 1lim()n f nx dx A →∞=⎰.[0()()limlimlim ()nxn x x f t dt f t dt f x A nx→∞→+∞→+∞====⎰⎰]4. 设2()()xax F x f t dt x a =-⎰,其中()f x 为连续函数()0a ≠,则()lim x a F x →= [B ] ()A 2a ; ()B ()2a f a ; ()C 0; ()D 不存在5.()f x 连续,(0)1f =,求220(()limln(1)x x x f t dt x x →+-+⎰.[2222220200()2()2()2()1limlim 363x x x f t dt x f x x f x xf x x x →+→++-==⎰] 6. ()f x 连续,证明:01lim [()()]xah f t h f t dt h →+-⎰()()f x f a =-[01lim [()()]()()x ha h x a h f t dt f t dt f x f a h++→-=-⎰⎰]单元五: 特殊求极限法 1. 求: lim n n x →∞(1)n x =[2009n x ≤≤](2)[]n n b x a n =; [({})n n n b n bx a a n a n -≤≤] (3)()11111nn x n n n n =-+⋅⋅⋅+-++ [10n x n≤≤] (4)2!n n x n = [40nx n ≤≤](5))n x n =+ [20!n n x n ≤≤](6)21(!)n n x n =[1n x ≤≤]2. 设lim 0n n x a →∞=>, 求: lim !n n n x n →∞ [(1)0()!!nnn x a n N n n +<<>] 3. {}n a 非负不增,1n n a ∞=∑发散, 证明: 2421321lim1nn n a a a a a a →∞-+++=+++[35211321113211321132111n n n n n n a a a a a a a x a a a a a a a a a +----++++++-≤≤≤=+++++++++]4. 1()n n a +∞=为单调递增正数列, 证明: 112lim[]lim nnn n nn n n a a a a →∞→∞+++=.[n n n a x ≤] 5. (),()[,]f x g x C a b ∈,且()0,()f x g x >非负,求:lim(ban g x →∞⎰[(),()()]b bn aaN f x M g x dx x g x dx ≤≤≤≤6. 设非负连续函数()f x 在[0,)+∞上单调递减,11()()(1,2,3,)nnn k a f k f x dx n ==-=∑⎰,证明数列{}n a 的极限存在 11[()()0nn n n a a f n f x dx ---=-≤⎰,()n a f n ≥]7. 设1111,11n n n x x x x--==++()2,3,n =, 证明数列{}n x 极限存在,并求此极限.[21231,()1,'()0,21(1)nx x x f x f x x x x =>=+=>++, 且2n x <, 1lim 2n n x →∞+=]8. 设222111(1)(1)(1)(2,3,)23n a n n =+++=, 证明: {}n a 收敛. [法(1)221ln(1)n n ∞=+∑收敛; 法(2)444222111(1)(1)(1)123,21111(1)(1)(1)232n n n a a n n n---=≤<+---] 9. 11n a a+==求: lim n n a →∞.[法(1):准则13,1n n n a a a +<=>; 法(2):11124233nn a +++=→]10. 设11112,(),(1,2,3,)2n n na a a n a +==+=, 证明: lim n n a →∞存在, 并求出其极限a .[21111511,1,(1)()042nn n n n n n a a a a a a a a a +--=<≥-=--<,11(),12a a a a=+=] 11. 设1(1)n x n +≥, 证明: lim n n x →∞存在, 并求出其极限a , 其中: (1)若110x = [,0,lim 3n n n n x x x →∞≥=](2)若10x =[,3,lim 3n n n n x x x →∞≤=]12. (1)lim (sinx →+∞[lim cos 0x ξ→+∞==](2)2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+- [22lim11()x x x θ→+∞=++] 13. (1))()n[1ln(1)4x dxe e+⎰==] (2)lim n n →∞ [1ln 1xdx e e⎰==] 14. 1sin lim nn i in i n nπ→∞=+∑. [1011112sin sin ,lim sin 1n n nn n i i i i x x xdx n n n n ππππ→∞==≤≤==+∑∑⎰]单元六: 无穷小比较1. 当 x →∞ 时, 变量是21x 的( D )无穷小. :A 高阶; :B 同阶不等价; :C 等价; :D 低价.2. 当0x →时,()232x xf x =+-是x 的什么无穷小？[0232limln 6x x x x→+-=同阶不等价]3. 当0x →时, cos x 2x 的什么无穷小?[00x →=, 高阶] 4. 当0x →时,1ln x是x 的什么无穷小？ [01limln x x x →=∞,低价] 5. 当n →∞时, 1(1)ne n+-是1n的什么无穷小? [11(1)[ln(1)1]2n ee e n n n n+-=+--,同阶不等价]6. 当0x +→时, x μ, 求: μ[8]7. 当0x +→时,比较无穷小:2230cos ,,xx t dt t dt αβγ===⎰⎰的阶[22'cos 1,'2tan 2,'sin 22x xx xx x xxαβγ===232,,34x x x βγα]8. 当0x →时, tan xx ee -是x 的几阶无穷小?[222(tan )'sec 1tan x x x xx -=-=, tan tan 31(1)tan 3x x x x x e e e e x xx ----] 9. 当0x →时,111(1)1xx x-+--是x 的几阶无穷小? [3ln(1)1ln(1)12x x x x ++--] 10. 当0x →时,()?n f x kx , 其中: ()f x =(1)22ln(2)?xx e + [22212x x e x +-](2)ln(1arctan )?xt dt +⎰[2012xtdtx ⎰](3)20arctan()xt x dt-⎰? 223001[arctan ]3xxt dtt dtx ⎰⎰ (4)2ln(1)?x x x ++-; [2222211()()22x x x x x o x x =+-+-+](5)3sin()?x x x +- [3333315()()3!6x x x x x o x x =+-+-+]?[22221111111211(2)()(2)1(3)()(3)()222232332x x x x o x x =+-+⋅------⋅--+] 11. f 有连续导数,且0()lim 0x f x a x→=≠,当0x →时,20()()()x F x x t f t dt =-⎰?'()?F x[2200'()'()2()()(),lim xx F x F x xf t dt x f x xf x a x→=+-=-⎰,3()3ax F x -,2'()F x ax -]12.()f x 在 0x = 的某邻域内具有一阶连续导数, 且 (0)0,'(0)0f f ≠≠, 若:()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小, 求: ,a b . [(0)(1)(0)0,'(0)(2)'(0)02,1]F a b f F a b f a b =+-==+=⇒==-13. 设,αβ为无穷小, 且αβ≠, (1)证明:()()ln 1ln 1αβαβ+-+-;()()[ln 1ln 1ln(1)]1αβαβαββ-+-+=+-+ (2)问:()()ln 1ln 1αβαβ++++?()()[ln 1ln 1αβαβαβ+++++, 否]单元七: 函数连续性1. 设()f x 和()g x 在(,)-∞+∞内有定义,()f x 为连续函数,且()0,()f x g x ≠有间断点, 则 必有间断点的函数是: []D:A [()]g f x ; :B 2[()]g x ; :C [()]f g x ; :D ()()g x f x 2. 考察函数连续性:(1)11()1x xf x e-=-;[(1)0lim ()0x f x x →=∞⇒=无穷; (2)(1)0,(1)11f f x -=+=⇒=跳跃](2)21()(1)arctan1f x x x =+- [(1)1lim ()01x f x x →-=⇒=-可去; (2)(1),(1)1f f x ππ-=+=-⇒=跳跃]3. 设()31x x f x -+=写出连续区间; (2)确定间断点,并判别其类型.[(1)[1,3),(3,4]-; (2)316lim ()37x f x x →=-⇒=可去] 4. 求tan()4()(1)xx f x x π-=+在(0,2)π内的间断点, 并判别类型[(1)37,44x ππ=可去; (2)5,44x ππ=第二类] 5. ()ln x bb pa qa x b f x x b a a x b ⎧+≠⎪=-⎨⎪=⎩,确定,p q ,使()f x 在x b =处连续.[0,ln ln ,1,1bbp q pa a a a p q +==∴==-] 6. 考察()f x 在0x =处为何种间断点, 其中()f x : (1)[]()x xf x e-= [(0)0,(0)10f f x -=+=⇒=跳跃](2)1()[]1f x x=+ [(0)1,(0)00f f x -=+=⇒=跳跃] (3)1()[]1f x x=+ [0lim ()0,(0)10x f x f x →==⇒=可去]7. 设221(),,()2(1),251135xx x x f x g x x x x x x x ≤⎧≤⎧⎪==-<≤⎨⎨>-⎩⎪+>⎩, 考察[()]f g x 的连续性. [()g x 连续, ()11g x x =⇒=时, [()]f g x 为跳跃间断点]8. 求2(1)()lim 1n n x f x nx →∞-=+的间断点, 并判别类型. [1,0(),000x f x x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩无穷]单元八: 渐近线讨论1. 求曲线1()ln()(0)f x x e x x=+>的渐近线. [0()11lim (),lim ()0,lim1,lim[()]x x x x f x f x f x a b f x x y x x e e→+∞→+→+∞→+∞=∞====-=⇒=+]2. 求曲线ln ()312xf x x x=++的渐近线方程. [(1)0;(2)31x y x ==+]3. 考察下列函数曲线的渐近线.(1)1sin y x x = [1y =] (2)1cos y x x= [y x =](3)1(1)cos y x x=+ [1y x =+](4)(y x=+ [12y x =+](5)1xy xe = [1y x =+]4. 已知1lim[(1)]0xx x ax b x→∞+--=, 求: ,a b .[1011(1)lim(1);lim[(1)]lim2txxx x t t e ea eb x ex xxt →∞→∞→+-=+==+-==-]单元九: 介值定理1. ()f x 在[0,)+∞上连续, 且()()11,lim 02x f x f x dx x→+∞<-=⎰, 证明: ()0,ξ∃∈+∞, 使:()0f ξξ+=.[()()F x f x x =+,(1)()1110[0,1],()0F x dx x F x <⇒∃∈∍<⎰,(2)()22lim11,()0x F x x F x x→+∞=⇒∃>∍>,(0,),()0F ξξ∴∃∈+∞∍=]2. ()y f x =在[0,1]上非负连续,(1)证明:0(0,1)x ∃∈,使在0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面 积等于在0[,1]x 上以()y f x =为曲边的梯形面积 (2)又若()f x 在(0,1)内可导,且2()'()f x f x x>-, 则证明(1)中的0x 是唯一的 [(1)1()()(),(0)0,(1)0xx xf x f t dt Φ=-Φ<Φ>⎰, (2)'()2()'()0x f x xf x Φ=+>]3. ()f x 在[0,1]上连续, 非负, 且(0)(1)0f f ==, 证明: (01),[0,1]l l ξ∀<<∃∈,使得:()()f f l ξξ=+[()()()(0)(),(1)(1)F x f x f x l F f l F l f l =-+⇒=--=-异号()0F ξ⇒=]4. 若()f x 在[,]a b 上连续, ,0m n ≥, 证明: [,]a b ξ∃∈, 使得:()()()()m n f mf a nf b ξ+=+[min max ()()mf a nf b f f m n+≤≤+]第二讲: 导数和应用单元一: 定义求导1. 设(0)1,'(0)2f f ==-, 求: 0()cos 1limx f x x x→- [0[()cos ]'2x f x x ===-][0()(cos 1)()(0)lim 10'(0)2x f x x f x f f x→-+-=⨯+=-]2. 设()f x 可导, ()()01,'00f f =≠, 求: 0(sin )1limln ()x f x f x →-(sin )(0)0sin [lim1]sin 0ln ()ln (0)x f x f x xx f x f x→--⨯⨯=--3. 设()limx af x b A x a →-=-, 求: sin ()sin limx a f x bx a→--. [sin ()sin ()limcos ()x a f x b f x bA b f x b x a→--⨯=--]4. 设(1)(),'(0)(,0)f x af x f b a b +==≠, 求: '(1)f . [00(1)(1)[()(0)]'(1)limlim x x f x f a f x f f ab x x→→+--===] 5. 设(1)3(1)8(1sin )f x f x x x +--=+, 并且()f x 可导, 求'(1)f .08(1sin )(1)3(1)[(1)0,'(1)3'(1)limlim 8,'(1)2]x x x x f x f x f f f f x x→→++--=+==== 6. ()y y x =满足:ln[tan()]()y x x x o x ∆=+∆∆+∆, 求:',"y y . [01'limln(tan ),"sin cos x y y x y x x x∆→∆===∆] 7. 若()y f x =在0x x =处有:122(1)1()y x x =+-+, 则在0x x =处有:?dy = [011'lim ,22x y y dy dx x →===] 8. 求()'f a ,其中()f x 分别为:(1)()()()f x x a x ϕ=-,ϕ连续; [()()lim()x a x a x a x aϕϕ→-=-](2)()()f x x a x ϕ=-,ϕ连续,()0a ϕ=; [()lim0x ax a x x aϕ→-=-](3)2()()()f x x a x ϕ=-,ϕ有界. [2()()lim0x a x a x x aϕ→-=-]9. ()2a xf x -=, 求: '()f a . [''()ln 2,()ln 2,'()f a f a f a -+=-=不存在]10.(),()f x g x 在(,)-∞+∞上满足: (1)()()()()()f x y f x g y g x f y +=+ (2)(0)0,(0)1,'(0)1,'(0)0f g f g ====, 证明: '()()f x g x =. [0()()'()lim()'(0)()'(0)()x f x x f x f x f x g g x f g x x∆→+∆-===+=∆]11. 问()f x 在0x =处是否连续?可导?(1)1,0()10,0x xx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩ [''(0)1,(0)0f f -+==](2)20()(),0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 有界 [''(0)(0)'(0)0f f f -+===] (3)212,0()00x x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩[22102'(0)lim lim 02xt x t t f x -→→∞===](4)1()cos ,0()00g x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 且(0)'(0)0g g ==.[01()cos'(0)lim 0x g x x f x →==] 12. 奇函数()f x 在0x =处可导,问:(sin )(),0()00x x f x x F x xx +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处是否连续? 可导? [20(sin )()(0)0,'(0)lim2'(0)x x x f x f F f x→+===] 13. 设21cos ,0()00x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩且()f x 在0x =处可导,令()[()]F x f x ϕ=,求'(0)F [(0)0,'(0)0,'(0)'[(0)]'(0)'(0)00]F f f ϕϕϕϕ====⋅= 14. 设函数()x ϕ在(,)-∞+∞上连续, 又()cos ()f x x ϕ=,'()sin ()f x x ϕ=, 证明: 对满 足()x n ϕπ≠的一切x , '()1x ϕ=-.0cos ()cos ()['()limsin ()'()]x x x x f x x x xϕϕϕϕ→+-==-⋅15. 考察函数1arctan ,0()00x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性,可导性,以和'()f x 的连续性. [20011'(0)limarctan ,'()arctan (0),lim '()'(0)212x x x f f x x f x f x x x ππ→→===-≠==+]16. 若()f x 有连续的导数,且(0)0f =,设201()0()0xtf t dt x F x x cx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰,确定常数c ,使()F x 连续,并问此时'()F x 是否连续?[203()2()'(0)'(0)lim (0)0,'(0),'(),lim '()33xx x x f x tf t dtf f F c F F x F x x →→-=====⎰]单元二: 公式与法则 1. 设32()32x y f x -=+,且2'()arctan f x x =,求:x dy dx =. [232123'()32(32)4x x f x x π=-=⨯=++] 2.()f x 在1x =处具有连续导数, 且'(1)2f =,求0limx df dx→+.[0lim 1x f →+-=-]3.f 可导,()(0)(1)2,'(0)'(1)1,()(ln )f x f f f f F x e f x ==-==-=,求:1()x dF x =[()21'(ln )('()(ln )),f x x f x dF ef x f x dx dF e dx x-==+=] 4. 求'y:(1)lnx e y = [221'12(1)e x y x x x +=+-++](2)y =[211'cot ]12x x e y e x x =++-] (3)()()12x x y x --= [(1)(2)(1)(2)'[(23)ln ]x x x x y xx x x----=-+](4)y =[11sin '[]24(cos )x y x x x -=++]5. 求'y:(1)y =[2221'2]y y x a == (2)2()bx y ay e dy +=⎰[222()(),'b xt b x a x a xy e dt y e e ++++==-⎰](3)ln(1)y x =+[1,01'1,01x x y x x ⎧<⎪⎪-=⎨⎪>⎪+⎩] (4)2(())y f x x x ϕ=++,求'y [22''(())[1(12)'()]y f x x x x x x ϕϕ=+++++] 6.ln()0(),,(0)0xx e x f x a a x +>⎧=>⎨≤⎩,求a .使'(0)f 存在.[''1(0)(0)1,(0),(0)ln ,f f f f a a e+-+=-====7. 选定参数,A C , 使立方抛物线:()()()y A x a x b x C =---,()a x b ≤≤与曲线12(),()k x a x a y k x b x b -<⎧=⎨->⎩ 光滑连接起来. [1212212,()k k k b k aA C a b k k ++==-+] [''''12(),()()();()()(),()f a k f a A a b a C f b A b a b C f b k -+-+==--=--=]8.()12(1)()lim 1n x n x n x e ax bf x e --→∞++=+, 问,a b 为何值时,()f x 可导, 并求'()f x21211[()(1),1,2,1,'(),]2121ax b x x f x a b x a b f x x x x x +<⎧⎪≤⎧⎪=++===-=⎨⎨>⎩⎪>⎪⎩9. (1)22sin y x x =,求()100x y=.[8810(10)812210!(),(0)45228!28!y x y⨯=-+=-=-⨯⨯](2)3()1x f x x=-,求(5)(0)f . [5(5)(),(0)5!120f x x f =++==](3)sin 0(),01xx f x x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩, 求"(0)f ; [211()1,"(0)3!3f x x f =-+=-](4)1,0()10x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩, 求:()(0)n f . [()11(),(0)(1)!1n n f x x f n n =++=++]10.(1)2cos 3y x =, 求(1)nn d y n dx ≥ [()6cos(6)12(1cos6),22n n n x y x y π+=+=](2)23()(1)(1)(1)f x x x x =---,求1'''()x f x =322[(1)(1)(1),"'6(1)(1),"'(1)36]f x x x x f x x x f =-+++=-++++=-(3)5()1x f x x =-, 求: (5)()f x .[432(5)615!()1()1(1)f x x x x x f x x x =+++++⇒=---] 11. 设()arctan f x x =, 证明: (1)2()(1)()(1)2()(1)()0(1)n n n fx x nxf x n n f n +-+++-=≥.[22()(1)'()1,[(1)'()]0n x f x x f x +=+=]单元三: 特殊求导法 1. 210yyt e e dt x +--=⎰确定()y y x =, 证明: ()y x 单调,并求'(0)y[211'0,;0,0,'(0)2y yy y x y y e e =>===+] 2. 设521y x x =++, 求其反函数()x y ϕ=的导数1y d dyϕ=[40101111,0,='522x y x d y x dyy x ϕ=======+] 3. ()y y x =由方程 33y y x +=确定, 求 '()y x . [211''33y x y ==+] 4. (cos )(sin )ϕθθϕ=,求:,d d d d θϕϕθ. [ln cos tan lnsin cot d d d d θϕϕθθϕθθϕϕ-=+] 5.3yxx y +=, 求: '(1)y . [11ln 1,2,2(1ln 2)ln y x y x dy yx y y x y dx x x xy--+===-=-++] 6.()y y x =由方程 30xy e x y -+=确定, 求 0x dy =[2020,1,()30,3xy x x y e ydx xdy dx y dy dy dx ===-+-+==] 7. 2()()yf x xf y x +=, f :可导, 求dydx. [2()'()()'()dy x f y yf x dx f x xf y --=+]8. 已知t y te x =+, 而 t 是由方程 2221y t x +-= 所确定的,x y 的函数, 求:dy dx. [(1)(1),(1)t ttdy t e dt dx dy t t xe dx t t yeydy tdt xdx ⎧=++++=⎨++=+=⎩] 9.()F x 可导单调,'()0F x ≠,(0)0F =,由()()()F xy F x F y =+⇒()y y x =,求x dy dx=[0,0!'()()'()'(),0x y F xy ydx xdy F x dx F y dy dx dy ==+=++=,1x dy dx==-]10. 设函数 ()y y x = 由等式 tan()y x y =+所确定, 求: 22d ydx。

设该企业裁员 x 人后纯收益为 y 万元。
3， 4
（ 1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围；
（ 2）当 140 a 280 时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：
在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）
．
20. 已知 y f x 定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 2x x2 ． （ 1）求 x 0 时， f x 的解析式； （ 2）问是否存在这样的正数 a,b ，当 x a,b 时， g x f x ，且 g x 的值域为
1,1 ，且 f a b 1 ， f a b 2 ，求 f a , f b 的值．
1 ab
1 ab
19. 某企业实行裁员增效， 已知现有员工 a 人，每人每年可创纯利润 1 万元， 据评估在生产
条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每年可多创收
0.01万元，但每年需付给
下岗工人 0.4 万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工人数的
16．解：（ 1）由 2k
2x
2k
2
6
，所以 k 2
xk 3
,k Z 6
所以，递增区间为 k
,k
k Z．
3
6
（2）在 0, 的最大值为 a 3 ， a 3 4 ，所以 a 1． 2
（3）由 2x
2k
6
，得 x k 2
k, Z ，所以 x | x k
,k Z ．
6
6
17．解：（ 1）因为 BP PA ，所以 BO OP PO OA ，即 2OP OB OA ，所以
AB 上，且 AP t AB 0 t 1 ，则 OA OP 的最大值为

高等数学（一）复习参考参考书目：《高等数学》第六版上册同济大学数学系编高教出版社考试涉及范围：第一章函数与极限极限的计算（包括两个重要极限的运用）；无穷小的比较；连续性的判断、间断点的类型；利用零点定理或介值定理证明方程存在根．第二章导数与微分导数：求导法则、隐函数导数、高阶导数、参数方程导数（求一阶导数和二阶导数）；微分．第三章微分中值定理与导数的应用中值定理证明等式或不等式；洛必达法则求极限；函数的单调性与单调区间；利用单调性证明不等式；曲线的凹凸性与拐点；函数的极值与最值．第四章不定积分不定积分的计算：换元积分、分部积分；第五章定积分定积分的性质；定积分的计算：换元积分、分部积分；无穷限反常积分与敛散型．第六章定积分的应用平面图形的面积与体积．第七章微分方程特解与通解的概念及求解：可分离变量的微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；二阶常系数齐次微分方程．考试题型：一、选择题（每小题3分，共5小题，共15分）二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分）三、计算题（每小题7分，共5小题，共35分）考点：求极限；隐函数与参数方程求导；不定积分计算；定积分计算；微分方程．四、应用题（第一小题11分，第二小题7分，共18分）考点：面积；体积；最值．五、证明题（每小题7分，共2小题，共14分）考点：证明不等式；证明等式．注意：以下内容不考：泰勒公式；曲率；函数图形的描绘；方程的近似解；反常积分的审敛法；极坐标的问题；弧长的计算；定积分在物理上的应用；二阶常系数非齐次微分方程．《祝考试顺利！》高等数学（一）复习题目参考一、选择题 1．函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为（ ） A ．)1,0(∪]4,1( B ．]4,0( C ．)4,0( D ．)1,0(∪)4,1( 2．下列函数中表示相同函数的是（ ） A ．2)1ln()(x x x x f -=与||)1ln()(x x x g -= B ．2ln )(x x f =与||ln 2)(x x g =C ．)]1(ln[)(-=x x x f 与x x x g ln )1ln()(+-=D ．)1()(-=x x x f 与1)(-=x x x g3．下列函数中是有界函数的是（ ）A ．x x y sin =B ．x e y =C ．)32sin(2+-=x x y D ．11ln2+=x y 4．21+=-x e y 的反函数是（ ）A ．)1ln(-=x yB ．)2ln(-=x yC ．2)1ln(+-=x yD ．1)2ln(+-=x y 5．下列函数中是奇函数的是（ ）A.sin y x x =⋅B.2x x e e y -+=C ．2ln(1)y x =+D.ln(y x = 6．xx e 10lim →=A.0B.∞+ C ．∞- D ．不存在 7．下列等式中，正确的是( ) A.∞=∞→xx em i l B ．e x m i l xx =-→10)1(C ．11=∞→x ni s x m i l x D ．)()(a f x f m i l ax =→ 8．下列各极限正确的是（ ）A.e x x x =-∞→)11(limB.111sinlim 0=→xx x C ．e x x x =--∞→1)11(lim D ．0sin sin tan lim 30=-→xx x x9．已知2lim e x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→，则a =（ ）A.2B.1 C ．2- D ．1-10．20lim 13xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.∞ B.1 C ．6e - D ．23e-11．当0→x 时，若112-+x 与ax 是同阶无穷小，则a =（ ）A.21B.1 C ．2 D ．3 12．当0→x 时，下列无穷小量中与x 等价的是（ ）A.2100x x + B.22x x - C ．x x sin 22+ D ．x 13．当0→x 时，)1ln(x x +-是2x 的（ ）A. 低阶无穷小 B ．高阶无穷小 C ．等价无穷小 D ．同阶但非等价无穷小 14．当0→x 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？（ ）A. 2x B ．x cos 1- C ．112--x D ．x x tan -15．设xxx f sin )(=，则函数)(x f （ ） A.在0=x 处左极限不存在 B ．有跳跃间断点0=x C ．在0=x 处右极限不存在 D ．有可去间断点0=x16．函数 设11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点 C ．第二类间断点 D ．连续点17．1=x 是函数221()32x f x x x -=-+的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．振荡间断点18．函数)1(2-=x x x y 在),(∞+-∞上的间断点情形是（ ）A.有一个间断点B. 有一个可去间断点和一个不可去间断点 C ．没有间断点 D ．有两个不可去间断点19．函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处可微的（ ）条件；函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 处可导的（ ）条件；函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处连续的（ ）条件．A ．充分 B.必要 C ．充要 D ．既不充分也不必要20．设函数)(x f y =在x 处成立关系式 ,)(x o y d y ∆=-∆下列结论中错误的是（ ） A ．)(x f y =在x 处可微 B.)(x f y =在x 处可导 C ．)(x f y =在x 处连续 D ．以上都不对21．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(x x xx x f ，()f x 在0=x 处（ ）A.不连续； B ．连续但不可导；C ．可导，但导数在该点不连续；D ．导函数在该点连续22．若函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x b ax x x x f 在1=x 处连续且可导，则（ ）A ．1,2-==b a B.0,1==b a C ．3,2=-=b a D ．2,1=-=b a 23．曲线x x y 22-=上切线平行于x 轴的点是（ ） A ．)1,1(- B.)1,1( C ．)0,2( D ．)2,0(24．曲线262y x x =-+在点(1,3)-处的切线与y 轴交点的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(0,2) C ．(0,3)- D ．(0,1)- 25．设1232)(610-+-=x x xx f ，则=-)1()10(f （ ）A ．!10 B.!20 C ．!102⋅- D ．!102⋅ 26．设x x f sin )(=，则=')]([x f f （ ）A ．)sin(sin x B.)cos(sin x C ．)sin(cos x D ．)cos(sin cos x x ⋅ 27．=++)3ln 3(3x d x （ ） A ．3133ln 32++x xB.dx x x )3133ln 3(2++ C ．233ln 3x x+ D ．dx x x )33ln 3(2+28．函数 在给定区间上满足罗尔定理条件．A ．⎪⎩⎪⎨⎧=<≤---=131211)(3x x x x x f ]1,2[- B. ⎩⎨⎧=-<≤-=1111)(x x x x f ]1,1[-C ．321)(x x f -= ]1,1[-D ．x x f cos )(= ],0[π 29．在[0,+∞）内，若,0)(,0)(<''>'x f x f 则 曲线)(x f y =在[0,+∞）内是（ ） A ．单调下降，凸的 B. 单调上升，凸的 C ．单调上升，凹的 D ．单调下降，凹的30．在开区间),(b a 内恒有0)(<'x f ，0)(>''x f ，则在),(b a 内曲线)(x f y =是（ ） A ．单调上升，凹的 B. 单调下降，凹的 C ．单调上升，凸的 D ．单调下降，凸的31．设R x x f x f ∈-=,)()(，在]0,(-∞内,0)(,0)(<''>'x f x f 则在[0,+∞）内曲线)(x f y =是（ ）A ．单调上升，凸的 B. 单调下降，凸的 C ．单调上升，凹的 D ．单调下降，凹的32．设)(x f 在0x 点连续但不可导，则0x （ ）A ．必是最大值点 B. 必是最小值点 C ．必是极值点 D ．可能是极值点 33．函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处都取得极大值，则a =（ ）A ．3- B. 3 C ．2- D ．2 34．已知()f x 在(,)-∞+∞上有定义，且21()(1)lim2(1)x f x f x →-=-，则(1)f 必是（ ）A ．()f x 的最小值 B.()f x 的最大值 C ．()f x 的极小值 D ．()f x 的极大值 35．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则必有（ ） A ．)()(x g x f = B. 为任意常数）C Cx g x f ()()(+= C ．⎰⎰=dx x g dxddx x f dx d )()( D ．⎰⎰=b a b a dx x g dx x f )()( 36．下列等式，正确的是( ) A ．⎰⎰=-C x d x f x d x f )()( B.⎰=x at f t d t f xd d)()(C ．⎰=)()(x f x f d D ．⎰=)()(x f x d x f d37．有关不定积分⎰xdx x cos sin 的计算结果，不正确的是（ ）A ．C x +-2cos 21 B. C x +2sin 21 C ．C x +-2cos 41 D ．C x +-2cos 2138．曲线sin y x =与x 轴在[]0,2π上围成的图形面积为（ ） A ．0 B. 2 C ．4 D ．639．4202cos xdx π=⎰（ ）A ．316π B.38π C ．34π D ．4π40．2b txd e dt dx-=⎰（ ） A ．2x e - B.2b xe e --- C ．22x xe -- D ．22x xe -41．若⎰⎰=201)2()(dx x xf k dx x xf ，则=k （ ）A ．1 B.2 C ．3 D ．4 42．下列各式中正确的是（ ） A ．⎰⎰≤13102dx x dx x B. ⎰⎰≤213212dx x dx xC ．⎰⎰≥+11)1ln(dx x dx x D ．⎰⎰+≤101)1(dx x dx e x43．下列说法，错误的是( ) A ．定积分⎰b ax d x f )(在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形的面积；B.一物体以速度)(t v 作直线运动，它在[]21,t t 这段时间内通过的路程可用定积分⎰21)(t t t d t v 来表示；C ．如果某国人口增长的速率为,)(t u 那么，定积分⎰21)(T T t d t u 表示在[]21,T T 这段时间内该国人口增加的数量； D ．定积分⎰b ax d x f )(2π在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．44．微分方程25)1(12+=+-y y x dy dx 是（ ）A ．可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C ．一阶线性微分方程 D ．贝努利方程 45．微分方程0)(22=-+xydy dx y x 是（ ）A ．可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C ．一阶线性微分方程 D ．贝努利方程 46．微分方程0=+''y y 的通解是（ ）A ．x C y cos = B. x C y sin =C ．x C x C y sin cos 21+=D ．)sin cos (21x C x C e y x += 47．微分方程02'"=-+y y y 的通解是( )A ．x x e e y 2-+= B. xxe c e c y 221-+=C ．x xe c ec y 221+=- D ．x n i s c x s o c c y 221+=二、填空题 1．21arcsin3-=x y 的定义域是 2．极限3323lim (1)x x x x →+∞-+-= ，=++-∞→301515)12()1()14(limx x x x3．极限()=+→xx x 1sin 31lim ，=+→xx x csc 30)sin 21(lim4．极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x x 2sin 2sin lim = 5．=-→xx x 20sin 12cos lim6．0tan 3sin limx x xx →-=7．已知函数⎩⎨⎧≥+=00)(x x a x e x f x 在),(∞+∞-内连续，则 =a8．函数3321()22x f x x x x -=+--的可去间断点是 9．设)(x f 在0x 点可导，且4)(0='x f ，则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x )2()3(lim00010．设)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=-→xx f tx f x )()(lim11．2ln arctan )(22-+=-x e x f x，则=')(x f12．设22sin3x xy e-=，则y '=13．曲线13+=x y 上点()9,2处的切线方程是 14．设6)10()(+=x x f ，则=''')0(f 15．设()x f 二阶可导，)(ln x f y =，则=''y16．已知方程3329(1)100y x x y -+-⋅+=确定了()y y x =，则1x dydx==17．已知x y sin ln =，则=dy18．已知)ln(22x a x y ++=，则=dy 19．已知32cos 1ln x y +=，则=dy 20．设x x y )sin 1(+=，则==0x dy21．设函数)(x y y =由方程y x xy +=2确定，则==0x dy22．设x x x f -=3)(在]3,0[上满足罗尔定理的条件，则由此确定的中值=ξ23．对函数2y px qx r =++在[1,3]-上应用拉格朗日中值定理时所得的中值ξ= 24．函数arctan y x x =-的单调递增区间是25．函数3()(1)(1)f x x x =-+的单调递增区间是 ，单调减少区间是 ，凹区间是26．曲线123223++=x x y 的拐点是 ，曲线x xe y -=的拐点为 27．函数7186223---=x x x y 在[]4,1上的最大值=M28．函数1933+-=x x y 的极大值是29．222sec 1x dx x ⎛⎫-= +⎝⎰30．22tan x x dx ⎛⎫-= ⎝⎰31．dx xx x )1112(22--+⎰= 32．dx e e x x12+⎰=33．①由定积分的几何可得，=⎰-3329dx x -②由奇偶性知，=-⎰-3324cos dx xx x34．=⎰12dx e x x35．若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=111211)(2x x x x x f ，则⎰20)(dx x f =36．设2101()11x x f x x xe x ⎧≤≤⎪=+⎨⎪>⎩，则31(1)f x dx -+=⎰37．=+⎰dt t dx d x x 3241138．dx x ⎰∞+141= 39．曲线21x y =+与直线x y +=1所围平面图形的面积为=40．由曲线)(()(x f x f y =＞)0，直线b x a x ==,及1-=y 所围平面图形绕直线1-=y 旋转一周所得旋转体的体积是41．微分方程032=-'-''y y y 的通解是 42．微分方程0ln =-xyy dx dy x的通解是 43．微分方程0)1(=++-y d y n i s e x d y os c x满足初始条件4)0(π=y 的特解是三、计算题 1．求极限：①⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∞→x x x x x sin 32sin lim ； ②23lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭； ③3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x④)1112(lim 21---→x x x ； ⑤⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ； ⑥111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭；⑦2tan)1(lim 1xx x π-→； ⑧4)sin (tan limxduu u x x ⎰-→； 0412(sin )limxx t t dtx→-⎰；⑨323(sin )limxx x t t t dtt dt→-⎰⎰；⑩0sin 0tan limarcsin xxx tdttdt→⎰⎰；⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx td et t d em i l 02222．2．已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ，求常数a ，b 的值． 3．求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点，并判断间断点的类型． 4．3sinarctan )13cos(sin π++-=x x ey x，求y '5．x x y )ln 1(+=，求y '6．设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=2221)(2x b ax x x x f ，且)2(f '存在，求a，b 的值．7．设曲线方程为32=--y x e xy ，求此曲线在纵坐标为0=y 的点处的切线方程与法线方程．8．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=10,1101),1ln()(x x x x x x f ，讨论)(x f 在0=x 处的连续性和可导性．9．设0=+--xy ee xy确定了)(x y y =，求dxdy． 10．设32tan arctan ln 333xx x y e-=+-，求dy．11．x e x y tan arctan +=，求dy ．12．求由方程yxe y +=1所确定的隐函数的二阶导数22dx yd ．13．由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2确定了)(x y y =，求dx dy ．14．已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=01sin 232y t e t t x y 求0=t dx dy ．15．求642+-=x x y 在]10,3[-上的最大值与最小值16．求4282y x x =-+在[3,3]-上的最大、最小值． 17．求函数32()26187f x x x x =---在[]4,2-上的最大值、最小值以及拐点．18．设函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，①试确定系数b a ,的值； ②求出)(x f y =的所有极值点和拐点． 19．计算不定积分 ①⎰-++-dx x x x x)23122(22； ②221tan (1)x dx x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭⎰； ③ dx ⎰；④⎰x d x n l x 2； ⑤33tan sec x xdx ⋅⎰； ⑥dx x ⎰arctan．20．计算定积分： ①12121x dx x -++⎰； ②1-⎰； ③dx x x ⎰---112491； ④1-⎰⑤221ln x x dx ⎰；⑥⎰-2228y d y ．21．计算无穷限积分⎰∞+++02)1()1(1x d x x ．22．求微分方程x e y dxdy-=+满足初始条件20-==x y 的特解． 23．求微分方程xx x y dx dy sin =+满足初始条件1==πx y 的特解． 24．求微分方程232++=+'x x y y x 的通解．四、应用题 1．设⎰⎰+-=122)(2)()(dx x f dx x f xx x f ，求)(x f ．2．求由曲线x y =2与直线2-=x y 所围平面图形的面积．3．求抛物线x p y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积． 4．求曲线ln y x =及其在点(,1)e 处的切线与x 轴所围平面图形的面积，并求由此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．5．设直线23y x =+和抛物线2y x =所围成的平面图形为W ．(1) 求W 的面积；(2) 求W 绕y 轴旋转一周所成旋转体的体积． 6．平面图形D 是由x 轴、y 轴、1x =以及xy e =围成，求： (1) D 的面积； (2) 由D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积．7．过曲线3)(x x f =上的点)1,1(A 作切线AB l 交x 轴于点B ，设该曲线与切线AB l 及x 轴所围成的平面图形为Γ．(1) 求切线AB l 的方程； (2) 求平面图形Γ的面积S ； (3) 求Γ绕x 轴旋转一周的旋转体的体积．8．从一块半径为R 的圆铁片上上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角α取多大时，做成的漏斗的容积最大？9．一边靠墙用篱笆围成一矩形场地，现有36米长的篱笆，问能围成的最大场地面积是多少？ 10．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租定为1000元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少时可获得最大收入？11．装饮料的易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，为了安全，顶盖的厚度是罐身的厚度的三倍，假设要制造的易拉罐的容积为V ，问如何确定易拉罐的底面半径和高才能使得用料的体积最省？12．某厂为了销售一新款收音机x 台，每台的价格（单位：元）为：x p -=800．而生产x 台的总成本可以表示成x x C 102000)(+=，为使利润最大化，工厂必须生产并销售多少台？五、证明题1．证明：①2cot arctan π=+x arc x ；②当||x ≤1时，恒有arcsin arccos 2x x π+=成立． 2．证明：若函数)(x f 在),(∞+∞-内满足关系式,)()('x f x f =且,1)0(=f 则x e x f =)(．3．证明方程015=-+x x 只有一个正根． 4．证明不等式：①当1>x 时，x e e x⋅>； ②当,20π<<x 时，x x π2sin >；③当x >0时，22)1(ln )1(-≥-x x x ； ④当0>x 时，xxx +>+1arctan )1ln(；⑤当e ＜a ＜b ＜2e 时，a n l b n l 22-＞)(42a b e -． 5．设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且e f f ==)0(,1)1(，试证至少存在一点)1,0(∈ξ，使)()(ξξf f -='．6．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(上可导，且1)0(=f ，0)1(=f ，求证在)1,0(内至少有一点ξ，使ξξξ)()('f f -=．7．设函数()f x 在[0,1]上可导，且1202()(1)xf x dx f =⎰，证明在(0,1)内必有一点c ，使1()()f c f c c'=-． 8．设)(x f 在],[b a 上可导，证明在),(b a 内必存在一点ξ，使)()()()(ξξξf f ba b bf a af '+=--．9．若()x f 在[]1,0上连续，证明⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f ．10．已知)(x f 是连续函数，证明：()[]dx x a b a f a b dx x f b a ⎰⎰-+-=1)()(．参考答案（此答案仅供参考，不保证100%的正确性）一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．D 11．C 12．A 13．D 14．D 15．D 16．B 17．A 18．B 19．C BA 20．D 21．B 22．A 23．A 24．A 25．D 26．D 27．D 28．A 29．B 30．B 31．B 32．D 33．D 34．C 35．B 36．A 37．C 38．C 39．B 40．C 41．D 42．B 43．A 44．C 45．B 46．C 47．B二、填空题1．[]3,1- 2．2 1 3．3e 6e 4．2 5．2- 6．2 7．1 8．1=x 9．20 10．()()01f t '- 11．42122x x ex++-- 12．3sin 422x xe x --3cos 3122x e x -+ 13．1512-=x y14．120000 15．()()3ln ln xx f x x f '-'' 16．-1 17．xdx cot 18．dx xa 221+ 19．()dx x x x 22cos 13sin 2+ 20．0 21．1-ln2 22．2 23．1 24．()+∞∞-, 25．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, ()1,-∞-()+∞⋃,026．⎪⎭⎫⎝⎛225,21-()22,2-e 27．29- 28．7 29．C x x x ++-arcsin 3arctan 2tan 30．C xx x x +++-2arcsin 3tan 2ln 2 31．()C x x +-+arcsin 1ln 2 32．C e x +arctan 33．π29 0 34．2-e 35．34ln321+ 36．4341e +π 37．81221213xx x x +-+ 38．31 39．29 40．()[]⎰+b a 21x f dx π 41．xx e C e C y 321+=-42．1ln +=Cx x y ； 43．()22sec 1=+y e x或 ()2ln 23cos ln 1ln +=+y e x三、计算题 1．求极限： ①2； ②6-e26363lim 13lim 145xx x x x x e →∞--→∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 分分；③原题目有误：将底数中分子分母之间的符号该为相同的“+”或“-”3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x （型∞1）311312lim +∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x x313131lim 21lim +∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x 3132-==e ee； 3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x （型∞1）313133lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--x x x x x 31311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x 3131lim+⋅--∞→=x x x e31e =；④)1112(lim 21---→x x x ；（P193 1（13） 略） ⑤⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ； ⑥21；212lim 21lim 1lim )1(1lim00200==-=--=---=→→→→x x xe x x e e x xe x x x x x x x x 解：原式1111111lim ln 11ln lim 1(1)ln 11lim31ln 1limln 11lim 4ln 11152x x x x x x x x x x xx x x xx x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪-⎝⎭--=--=-+-=+-=++= 分分分分⑦=-→2tan)1(lim 1xx x π=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→型002cot 1lim1x x x π=⋅--→22csc 1lim 21ππx x =→2sin lim 221x x πππ2；⑧81421.lim 4)cos 1(tan lim4sin tan lim3203030==-=-=→→→x x x x x x x x x x x x 解：原式；412(sin )limxx t t dtx →-⎰21=； （P242 例8 或 P242 9类似 略）⑨32322030200(sin )lim(sin )lim33sin lim31cos lim 59sin lim 6181718x x x x x x x t t t dtt dtx x x x x x x x x xxx →→→→→--=⋅-=-===⎰⎰分分分分 ⑩020tan lim 3cos (arcsin sin )sin lim 4cos 15x x x x x x x x →→=⋅=⋅= 原式分分分 解：⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx t d et t d emi l 02222222202x x x t x ex e t d e mi l ⎰⋅=→222x x t x ex td e mi l ⎰→=xtd e mi l x tx ⎰→=022⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+==→→x e x e e mi l e mi l x x x x x x 22122222002=． 2．已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ，求常数a ，b 的值． 解：当1→x 时，()02ln 2→-x，故02→++b ax x（否则极限不等于21-），有 01=++b a ①于是，)00()2ln(lim 221型b ax x x x ++-→a x x xx +--=→222lim 2121222lim x a x x x --⋅+=→21212-=+-=a ，得2=a ，因此由①得， 3-=b ．3．求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点，并判断间断点的类型．（P65 3（1）类似 略）答案：1=x 是第一类间断点中的可去间断点，3-=x 是第二类间断点中的无穷间断点． 4．3sinarctan )13cos(sin π++-=x x ey x，求y '。