高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A 版选择性必修第一册)第二章 直线和圆的方程 专题强化训练一：直线方程重难点必刷题 一、单选题1．和直线20x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．20x y -+-=B ．20x y -+-=C ．20x y ++=D ．20x y +-=2．已知直线1l ：()()()324220x y λλλ++++-+=（R λ∈），2l ：20x y +-=，若12//l l ，则1l 与2l 间的距离为（ ） A ．22 B ．2 C ．2 D ．223．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．设m R ∈，则“1m =”是直线1:210l x y -+=与直线2:240l x y m -+=平行的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 中点为()00,N x y ，且002y x >+，则00y x 的取值范围为（ ）A ．11,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,,25⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 7．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为()()3123--，，，，顶点D 在直线310x y -+=上移动，则顶点B 的轨迹方程为（ ）A ．()320013x y x --=≠B ．3100x y --=()13x ≠C ．()312013x y x --=≠D ．()39013x y x --=≠8．若动点A ，B 分别在直线1l ：–70x y +=和2l ：–10x y +=上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ）A ．322B ．32C ．22D ．39．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线680mx y m --+=交于点P ，若AB 的中点为C ，则PC =（ ） A ．9 B ．4 C ．5 D ．1010．已知直线21:20l a x y ++=与直线()22:110l bx a y -+-=互相垂直，则ab 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．1二、多选题 11．与直线:3410l x y --=平行且到直线l 的距离为2的直线方程是（ ）A ．34110x y --=B ．3490x y -+=C ．34110x y -+=D ．3490x y --=12．若O ()00，，A ()41-，两点到直线ax +a 2y 60+=的距离相等，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1 C ．4 D ．613．下列说法正确的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=14．若动点()11A x y ，，()22B x y ，分别在直线1:3410l x y -+=与2:6850l x y -+=上移动，则AB 的中点M 到原点的距离可能为（ ）A ．310B ．710C ．25D ．1215．直线2326023180x y x m y ++=-+=，和23120mx y -+=围成直角三角形，则m 的值可为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．49- 16．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是217．已知直线()1:120l a x ay +++=，()2:110l a x a y +--=，则（ ）A ．1l 恒过点()2,2-B ．若12l l //，则212a =C ．若12l l ⊥，则21a =D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限三、填空题18．已知直线21y kx k =+-过定点，则定点的坐标为__．19．若集合(){},20A x y x y =+-=，(){},240B x y x y =-+=，(){},3C x y y x b ==+，若()A B C ⊆，则b =______． 20．已知a ，b ，c 成等差数列，点()1,0P -到直线:0l ax by c ++=的距离为22，则直线l 的倾斜角是______. 21．已知直线l ：()()12130m x m y m ++--=过定点P ，则点P 的坐标为________．22．已知点P ，Q 的坐标分别为()1,1-，()2,2，直线l ：0x my m ++=与线段PQ 的延长线相交，则实数m 的取值范围是___________.23．设a ，b 是正数，若两直线()()()113210:R l m x m y m -+-+=∈和22:0l ax by ++=恒过同一定点，则12a b +的最小值为__________．四、解答题24．已知直线230x y -+=与直线320x y ++=交于点P ．（1）求过点P 且平行于直线3450x y +-=的直线1l 的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程写成一般式） （2）求过点P 且垂直于直线4320x y ++=的直线2l 的方程；（直线方程写成一般式）（3）求过点P 并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线3l 的方程．（直线方程写成一般式）25．已知ABC 中，()2,2A 、()4,0B -、()3,1C -.（1）求BC 边所在直线的一般式方程；（2）求BC 边上的高所在直线的一般式方程.26．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=.（1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少?（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.27．已知2y x =是△ABC 中C ∠的内角平分线所在直线的方程，若(4,2),(3,1)A B -．（1）求点A 关于2y x =的对称点P 的坐标；（2）求直线BC 的方程．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且ABC 的面积等于7，求点A 的坐标.29．已知直线1l ：230x y -+=与直线2l ：2380x y +-=的交点为M .（1）求过点M 且与直线3l ：310x y ++=平行的直线的方程.（2）求过点M ，且点P (4，0)到它的距离为3的直线的方程.30．已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ： 340x y n +-=.（1）求直线1l 过的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为 85； （2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线 l 的方程.【答案详解】1．C【详解】直线20x y -+=交x 轴于点()2,0-，且直线20x y -+=的斜率为1，故所求直线的方程为()2y x =-+，即20x y ++=.故选：C.2．B【详解】由12//l l 得32422112λλλ++-+=≠-，解得1λ=， 所以直线1l ：550x y +=，即0x y +=，所以1l 与2l 间的距离为d == 故选B ．3．C【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =，两直线重合，舍去；当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C4．A【详解】设直线l 过定点(,)P x y ，则直线:10l mx y m +--=可写成(1)10m x y -+-=， 令10,10,x y -=⎧⎨-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩∴直线l 必过定点(1,1)P ． 31421PA k --==--，213314PB k --==--．直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交， ∴由图象知，34m -≥或4m -≤-，解得34m ≤-或4m ≥， 则实数m 的取值范围是3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦．故选：A5．A【详解】解：若直线1:210l x y -+=与直线2:240l x y m -+=平行， 则12m ≠， 所以“1m =”是“12m ≠”的充分不必要条件， 即“1m =”是直线1:210l x y -+=与直线2:240l x y m -+=平行的充分不必要条件. 故选：A.6．A【详解】解：设()11,P x y ，00y k x =，则00y kx =， PQ ∵中点为()00,N x y ，()01012,2Q x x y y ∴--， P ，Q 分别在直线210x y +-=和230x y ++=上，11210x y ∴+-=，()010122230x x y y -+-+=，002420x y ∴++=即00210x y ++=，00y kx =，00210x kx ∴++=即0112x k=-+， 又002y x >+，代入得002kx x >+，即()012k x ->即()11212k k ⎛⎫--> ⎪+⎝⎭， 即51021k k +<+， 1125k ∴-<<-， 故选：A7．A【详解】设点()B x y ，，平行四边形ABCD 的两条对角线互相平分，即AC 的中点522⎛⎫- ⎪⎝⎭，也是BD 的中点， ∴点D 为()54x y ---，，而D 点在直线310x y -+=上移动，则()()35410x y ----+=，即3200x y --=，由于A ，B ，C ，D 不共线则应去除与直线AC 的交点()1319，， 故顶点B 的轨迹方程为()320013x y x --=≠.故选：A8．C【详解】由题意知，M 点的轨迹为平行于直线1l 、2l 且到1l 、2l 距离相等的直线l ，可设直线l 方程为0x y C ++=，直线1l 、2l 与y 轴的交点分别为()07，、()01，，则直线l 与y 轴的交点分别为()04，， 将()04，代入直线l 的方程得4C =-， 故其方程为40x y +-=，M ∴到原点的距离的最小值为d == 故选C ．9．C【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点()0,0A ，动直线680mx y m --+=即()680m x y --+=，经过定点()6,8B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点， 所以12PC AB =，又10AB ==，所以5PC =．故选：C ．10．C【详解】直线1l 与直线2l 斜率存在，且互相垂直，()2210a b a ∴-+=，即2210a b a+=>， 当0a >时，12ab ab a a ==+≥； 当0a <时，12ab ab a a=-=--≥， 综上，ab 的最小值为2.故选：C11．AB【详解】 解：设所求直线方程为340x y m -+=2=，解得9m =或11-. 故选：AB ．12．ACD【详解】=2466a a ∴--=±，当2466a a --=时，解得2a =-或6a =；当2466a a --=-时，解得4a =或0(a =舍去)；2a ∴=-或6或4．故选：ACD ．13．ABC【详解】解：当直线的倾斜角为90︒时，直线不存在斜率，所以所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，故A 正确；点()0,2与()1,1的中点坐标13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭满足直线方程1y x =+， 并且两点的斜率为：1-，所以点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1，故B 正确；直线20x y --=在两坐标轴上的截距分别为：2，2-， 与坐标轴围成的三角形的面积是：12222⨯⨯=， 故C 正确；经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或y x =， 所以D 不正确；故选:ABC.14．BCD【详解】由题意可知，直线1:3410l x y -+=即6820x y -+=与2:6850l x y -+=平行， 点M 在直线1l 与2l 之间且在到两条直线距离相等的直线上，设该条直线方程为680x y c -+==72c =， ∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线76802x y -+=的距离， 即7720d =，即AB 的中点M 到原点的距离的最小值为720， 故选:BCD ．15．ACD【详解】由题意，若3260x y ++=和223180x m y -+=垂直可得：()232230m ⨯+⨯-=，解得1m =±，经验证当1m =时， 后面两条直线平行，构不成三角形，故1m =-；同理，若3260x y ++=和23120mx y -+=垂直可得：660m -=，解得1m =，应舍去；若223180x m y -+=和23120mx y -+=垂直可得：2490m m +=，解得0m =或49m =-，经验证均符合题意， 故m 的值为：0，1-，49-． 故选：ACD16．ABD【详解】对于A ，1(1)0a a ⨯+-⨯=恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确； 对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确． 对于C ，在l 1上任取点(,1)x ax +，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(1,)ax x ---，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO ==MOD 正确. 故选：ABD.17．BD【详解】()()1:12020l a x ay a x y x +++=⇔+++=，当020x y x +=⎧⎨+=⎩，即2,2x y =-=，即直线恒过点()2,2-，故A 不正确； 若12l l //，则有()()211a a a +-= ，解得：212a =，故B 正确； 若12l l ⊥，则有()()110a a a a ++-=，得0a =，故C 不正确；若直线2l 不经过第三象限，则当10a -≠时，101a≥-，01a a -≤- ，解得：01a ≤<， 当10a -=时，直线2:1l x =，也不过第三象限，综上可知：01a ≤≤时，2l 不经过第三象限，故D 正确.故选：BD18．(2,1)--【详解】解：由21y kx k =+-，得：(2)(1)0k x y +-+=，故2x =-，1y =-，故直线恒过定点(2,1)--，故答案为：(2,1)--．19．2由20240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以{}(0,2)A B =， 因为()A B C ⊆，所以(0,2)C ∈，所以20b =+，得2b =，故答案为：220．π4【详解】解：a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，即2c b a =-，点(1,0)P -到直线:0l ax by c ++==∴=2()0a b +=，即=-b a ，则直线l 的斜率为1a b -=，故直线的倾斜角是4π， 故答案为：4π． 21．()1,1【详解】 ()()12130m x m y m ++--=化为()()230x y m x y +-+-=，因直线l 恒过定点，即无论m 取何值等式()()230x y m x y +-+-=都成立，即230x y +-=与0x y -=同时成立，由2300x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩， 所以点P 的坐标为()1,1．故答案为：()1,122．233m -<<- 解：如下图所示，由题知()211213PQ k -==--， 直线0x my m ++=过点()0,1M -.当0m =时，直线化为0x =，一定与PQ 相交，所以0m ≠，当0m ≠时，1l k m=-，考虑直线l 的两个极限位置. ()1l 经过Q ，即直线1l ，则()1213202l k --==-； ()2l 与直线PQ 平行，即直线2l ，则213lPQ k k ==， 因为直线l 与PQ 的延长线相交， 所以11332m <-<，即233m -<<-， 故答案为：233m -<<-. 23．4【详解】 直线1l 的方程可化为()1:2310l m x y x y --++=， 显然该直线恒过两直线20x y -=和310x y -++=的交点，由20310x y x y -=⎧⎨-++=⎩可得21x y =-⎧⎨=-⎩， 所以直线()()()113210:R l m x m y m -+-+=∈恒过点()2,1--，所以点()2,1--也在直线2l 上，故220a b --+=，即22a b +=．因为a ，b 是正数，所以()121121412444222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当224a b a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即12a =，1b =时等号成立， 故答案为：4.24．由230320x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，可得()1,1P -． （1）设直线1l 的方程为340x y λ++=，代入点P 的坐标得340λ-++=，解得1λ=-， 所以直线1l 的方程为3410x y +-=，所以两平行线间的距离54d ==； （2）设直线2l 的方程为340x y μ-+=，代入点P 的坐标得340μ--+=，解得7μ=． 所以直线2l 的方程为3470x y -+=；（3）当直线3l 过坐标原点时，设直线3l 的方程为y kx =，代入点P 的坐标可得1k -=，解得1k =-，此时， 直线3l 的方程为y x =-，即0x y +=；当直线3l 不过坐标原点时，设直线3l 的方程为1x y a a -=，代入点P 的坐标得111a a--=，解得2a =-， 所以直线3l 的方程的方程为122x y -+=，即20x y -+=． 综上所述，直线3l 的方程为0x y +=或20x y -+=． 25．（1）直线BC 的斜率为011437BC k +==---，所以，直线BC 的方程为()147y x =-+， 故BC 边所在直线的一般式方程为740x y ++=；（2）BC 边上的高所在直线的斜率为7，所以，BC 边上的高所在直线的方程为()272y x -=-，化为一般式方程为7120x y --=.26．（1）证明见解析；（2）47=m 时，距离最大，最大值为（3）AOB 面积的最小值为4，此时直线方程为240x y ++=.【详解】（1）由直线方程整理可得：()23240x y m x y -+++++=，由230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩得：12x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线恒过定点()1,2P --； （2）由（1）知：直线恒过定点()1,2P --，则当PQ 与直线垂直时，点Q 到直线距离最大，又PQ 所在直线方程为：214231y x ++=++，即3210x y --=， ∴当PQ 与直线垂直时，()()322210m m --+=，解得：47=m ； 则最大值PQ == （3）由题意知：直线斜率存在且不为零，令0x =得：3421m y m +=-+，即340,21m B m +⎛⎫- ⎪+⎝⎭； 令0y =得：342m x m +=--，即34,02m A m +⎛⎫- ⎪-⎝⎭； 又,A B 位于,x y 轴的负半轴，340213402m m m m+⎧-<⎪⎪+∴⎨+⎪-<⎪-⎩，解得：122m -<<； ()223413434122212232AOB m m m S m m m m +++=⨯⨯=⨯-+-++， 令34m t +=，则5102t <<，43t m -∴=， 222221191950252222550244223233AOB t t S t t t t t t ∴=⨯=⨯=⨯-+---⎛⎫-+--+⨯+ ⎪⎝⎭， 5102t <<，112105t ∴<<， 则当114t =，即0m =时，2max 5025928t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，()min 4AOB S ∴=，此时直线的方程为：240x y ++=.27．（1）(4,2)P -；（2）3100x y +-=.【详解】 （1）由题意，过A 且垂直于2y x =的直线方程为1(4)222x y x =-++=-， ∴2x y =-与2y x =的交点为(0,0)，即A 与P 关于(0,0)对称， ∴(4,2)P -.（2）由题意知：根据角平分线的性质，(4,2)P -一定在直线BC 上，∴直线BC 为1234y y x x -+=--，整理得：3100x y +-=， ∴直线BC 方程为3100x y +-=.28．（1）240x y +-=；（2）()3,4A 或()3,0-.（1）∵311222AB k -==---，采用点斜式设直线方程：11(2)2y x -=-- ∴240x y +-=（2）∵A 点在中线AD 上，把A 点坐标代入，2360-+=m n点A 到直线:240BC x y +-=的距离d =∵11||722ABC S d BC =⋅⋅=△ 即23603 2474m n m m n n -+=⎧=⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩或30m n =-⎧⎨=⎩ 所以，点A 的坐标为()3,4A 或()30A -,29．（1）370x y +-=；（2）512190x y -+=或1x =.【详解】（1）联立直线1l 和2l 起的方程有：2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩，即点M (1.2) 设该直线的方程为：30x y C ++=，将M (1，2)代入得：1320C +⨯+=，所以7C =-，所以该直线方程为：370x y +-=.（2）①当直线斜率存在时，设直线方程为：()21y k x -=-，即为20kx y k -+-=，设点P (4，0)到该直线的距离为d ，则3d ==，解得512k =， 即该直线方程为：()52112y x -=-，化简成一般式为：512190x y -+=， ②当直线斜率不存在时，则该直线方程为：1x =，此时点P (4，0)到直线1x =的距离恰好等于3，符合题意.综上：满足题意的直线方程有：512190x y -+=或1x =.30．（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-=【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=， 所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===， 解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-，因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+△，当且仅当2k =-时等号成立， 故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=扫码关注学科网数学服务号，获取优质数学教育资源↓↓↓。
