2018中考数学知识点：规律型：点的坐标

坐标规律知识点归纳总结一、坐标系的基本概念1. 坐标系的定义坐标系是用来描述位置的一种数学工具，它由一组垂直的线和一组水平的线组成，用来表示平面上点的位置。

2. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，由x轴和y轴组成，它把平面分成四个象限，分别用罗马数字I、II、III、IV来表示。

点的位置由其与x轴和y轴的交点，即坐标来表示。

3. 极坐标系极坐标系是由极轴和极径组成的坐标系，其中极轴是固定的，极径的长度和方向来描述点的位置。

二、坐标的表示和转化1. 点的坐标表示在直角坐标系中，点的坐标用一个有序对(x, y)表示，其中x是横坐标，y是纵坐标。

在极坐标系中，点的坐标用一个有序对(r, θ)表示，其中r是极径，θ是极角。

2. 坐标的转化在直角坐标系和极坐标系之间可以相互转化，利用三角函数可以实现坐标的转化。

三、坐标系中的位置关系1. 同一直线上的点的坐标关系若在直角坐标系中两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则这两点在同一直线上，当且仅当$\frac{{y - y₁}}{{x₂ - x₁}} = \frac{{y₂ - y₁}}{{x₂ - x₁}}$成立。

2. 点的对称性点关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)，关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)，关于原点对称的点的坐标为(-x, -y)。

3. 点到直线的距离点(x, y)到直线Ax + By + C = 0的距离为$\frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{A^2 + B^2}}}$。

四、坐标系中的图形1. 直线的方程在直角坐标系中，一般式直线方程为Ax + By + C = 0；斜截式直线方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

2. 圆的方程圆的方程为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。

3. 椭圆、双曲线、抛物线的方程椭圆的方程为$\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1$，双曲线的方程为$\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} - \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1$，抛物线的方程为$y = ax^2 + bx+ c$。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题05 平面直角坐标系【知识要点】考点知识一平面直角坐标系的基础有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。

【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。

平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。

两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。

平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。

坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。

象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。

按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。

点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。

考点知识二 点的坐标的有关性质（考点） 性质一 各象限内点的坐标的符号特征性质二 坐标轴上的点的坐标特征 1.x 轴上的点，纵坐标等于0； 2.y 轴上的点，横坐标等于0； 3.原点位置的点，横、纵坐标都为0. 性质三 象限角的平分线上的点的坐标1．若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2．若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1.在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；X点A 、B 的纵坐标都等于m ；2.在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；性质五 点到坐标轴距离在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1.点P 到x 轴的距离为b ； 2.点P 到y 轴的距离为a ；3.点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a性质六 平面直角坐标系内平移变化P （b a ,）abxy OXYABmXYCDn性质七 对称点的坐标1. 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；2. 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3.点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；小结： XP X-X【考点题型】考点题型一 用有序数对表示位置【解题思路】要确定位置坐标，需根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．典例1．（2021·湖北宜昌市中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A ．小李现在位置为第1排第2列B ．小张现在位置为第3排第2列C ．小王现在位置为第2排第2列D ．小谢现在位置为第4排第2列限(x,0)(0,y )(0,0)纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同 x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0 (m,m) (m,-m )变式1-1．（2018·广西柳州市中考模拟）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）变式1-2．（2017·北京门头沟区一模）小军邀请小亮去他家做客，以下是他俩的对话：小军：“你在公交总站下车后，往正前方直走400米，然后右转直走300米就到我家了”小亮：“我是按照你说的走的，可是走到了邮局，不是你家…”小军：“你走到邮局，是因为你下公交车后朝向东方走的，应该朝向北方走才能到我家…”根据两人的对话记录，从邮局出发走到小军家应( )A．先向北直走700米，再向西走100米B．先向北直走100米，再向西走700米C．先向北直走300米，再向西走400米D．先向北直走400米，再向西走300米考点题型二求点的坐标典例2．（2021·天津中考真题）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是()0,6，点C在第一象限，则点C的坐标是（）0,0，()A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6变式2-1．（2021·山东滨州市·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点M 的坐标为（） A ．()4,5-B ．(5,4)-C ．(4,5)-D ．(5,4)-变式2-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为()4,0，点C 的坐标为()4,4，点D 在y 轴上，则点B 的坐标为（）A ．(4,2)B ．(2,8)C ．(8,4)D ．(8,2)变式2-3．（2021·广东二模）已知点2,24()P m m +-在x 轴上，则点Р的坐标是（） A ．()4,0B ．()0,8C ．()4,0-D ．()0,8-变式2-4．（2021·广西一模）点M （3，1）关于y 轴的对称点的坐标为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（3，﹣1）C ．（﹣3．﹣1）D ．（1，3） 考点题型三 点的坐标的规律探索【解题思路】考查坐标的规律探索，解题的关键是根据题意找到坐标的变化规律. 典例3．（2021·山东中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2021的坐标为（）A ．（﹣1008，0）B ．（﹣1006，0）C ．（2，﹣504）D ．（1，505）变式3-1．（2021·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1变式3-2．（2021·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C 100的坐标为( )A ．121200,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()600,0C ．12600,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1200,0考点题型四 判断点的象限【解题思路】各象限内点的坐标的符号特征需记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．典例4．（2021·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可以．．是（ ） A ．1B ．32-C ．43D ．4或-4变式4-1．（2021·江苏扬州市中考真题）在平面直角坐标系中，点()22,3P x +-所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式4-2．（2021·湖北黄冈市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点(,)A a b -在第三象限，则点(,)B ab b -所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式4-4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知0,0a b ab +>>，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),a b --D ．(),a b - 考点题型五 点坐标的有关性质1.坐标轴上的点的坐标特征1．（2017·四川中考模拟）如果点P(a －4，a)在y 轴上，则点P 的坐标是( ) A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(－4,0)D ．(0，－4)2．（2018·广西柳州十二中中考模拟）点P （m +3，m +1）在x 轴上，则点P 坐标为（ ） A ．（0，﹣4）B ．（4，0）C ．（0，﹣2）D ．（2，0）3．（2021·甘肃中考真题）已知点(224)P m m ，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．(40)，B ．(04)，C ．40)(-，D ．(0,4)- 4．（2021·甘肃中考模拟）已知点P （m+2，2m ﹣4）在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．（4，0）B ．（0，4）C ．（﹣4，0）D ．（0，﹣4）5．（2021·广东华南师大附中中考模拟）如果点P (m +3，m +1)在平面直角坐标系的x 轴上，则m ＝( )A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣2D ．0 2.象限角的平分线上的点的坐标1. 已知点A （-3+a ，2a+9）在第二象限角平分线上，则a=_________2．（2018·广西中考模拟）若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( )A ．(2，2)B ．(－2，－2)C ．(2，2)或(－2，－2)D ．(－2，2)或(2，－2) 3.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1．（2021·广西中考模拟）已知点A （a ﹣2，2a +7），点B 的坐标为（1，5），直线AB ∥y 轴，则a 的值是（ ） A ．1B ．3C ．﹣1D ．52．（2018·天津中考模拟）如果直线AB 平行于y 轴，则点A ，B 的坐标之间的关系是（ ）A ．横坐标相等B ．纵坐标相等C ．横坐标的绝对值相等D ．纵坐标的绝对值相等3．（2021·广东华南师大附中中考模拟）已知点A （5，﹣2）与点B （x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，且B 到y 轴的距离等于4，那么点B 是坐标是（ ）A ．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B ．（4，2）或（﹣4，2）C ．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D ．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）4．（2021·江苏中考模拟）若线段AB ∥x 轴且AB ＝3，点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标为（ ）A ．（5，1）B ．（﹣1，1）C ．（5，1）或（﹣1，1）D ．（2，4）或（2，﹣2）5．（2018·江苏中考模拟）已知点M （﹣1，3），N （﹣3，3），则直线MN 与x 轴、y 轴的位置关系分别为（ ）A ．相交，相交B ．平行，平行C ．垂直，平行D ．平行，垂直4.点到坐标轴距离1．（2018·天津中考模拟）已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣52．（2018·江苏中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-3．（2017·北京中考模拟）点P 是第二象限的点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，则点P 的坐标是（ ）A．（﹣3，4）B．（3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）4.（2012·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x轴的距离为( ) A．3B．－3C．4D．－45.平面直角坐标系内平移变化1．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）2.（2021·北京中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为() A．(－5,4) B．(4,3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)3．（2015·广西中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（）A．(2，5)B．(－8，5)C．(－8，－1)D．(2，－1)4．（2016·四川中考真题）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）5．（2018·武汉市东西湖区教育局中考模拟）在坐标系中，将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标（）A．（2,4）B．(1,5)C．(1,-3)D．(-5,5)6.对称点的坐标1．（2021·广东中考模拟）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，2）D ．（﹣2，1）2．（2021·山东中考模拟）已知点P （a +1，2a ﹣3）关于x 轴的对称点在第二象限，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜B ．﹣＜a ＜1C ．a ＜﹣1D ．a >3．（2014·广西中考真题）已知点A （a ，2013）与点B （2014，b ）关于x 轴对称，则a+b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．34．（2018·广西中考模拟）已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是（ ）A ．a 1<-B ．31a 2-<<C ．3a 12-<<D ．3a 2> 5．（2021·辽宁中考模拟）已知点P （m ﹣1，4）与点Q （2，n ﹣2）关于x 轴对称，则m n 的值为（ ）A ．9B ．﹣9C ．﹣19D ．196．（2018·四川中考模拟）平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（ ）A ．（﹣3，2）B ．（3，﹣2）C ．（﹣2，3）D ．（2，3）。

2018中考数学知识点：特殊位置的点的坐标的特点
新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
特殊位置的点的坐标的特点：
1.x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。

2.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

3.在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 ．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角 形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在 射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为 ． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标 为 （ ） ．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。

中考坐标知识点总结一、直角坐标系1. 直角坐标系的概念直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴构成的一个平面坐标系，通常用来表示平面上的点的位置。

2. 坐标轴的方向在直角坐标系中，通常规定水平方向的轴为x轴，竖直方向的轴为y轴。

3. 坐标的表示在直角坐标系中，一个点的位置可以用(x, y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。

4. 坐标系的四象限直角坐标系被分为四个象限，第一象限为x轴和y轴的正半轴构成的区域，第二象限为x轴负半轴和y轴正半轴构成的区域，第三象限为x轴和y轴的负半轴构成的区域，第四象限为x轴正半轴和y轴负半轴构成的区域。

5. 轴上的点在直角坐标系中，原点的坐标为(0, 0)，x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。

6. 距离的计算在直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算，即两点(x1, y1)和(x2, y2)之间的距离d为d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。

二、坐标与图形1. 点的图形在直角坐标系中，点可以看作一个没有面积的小圆点，通常用来表示数据的位置。

2. 直线的表示在直角坐标系中，一条直线可以通过其方程来表示，通常形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

3. 圆的表示在直角坐标系中，一个圆可以通过其方程来表示，通常形式为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。

4. 矩形的表示在直角坐标系中，一个矩形可以通过其四个顶点的坐标来表示，通常形式为(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)。

5. 图形的对称性在直角坐标系中，图形可以通过其对称性来进行分析，如关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。

三、距离与中点1. 点到直线的距离在直角坐标系中，点到直线的距离可以通过点到直线的公式来计算，即点(x0, y0)到直线Ax + By + C = 0的距离为d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)。

点的坐标的知识点总结一、概念点是几何中最基本的元素之一，它是没有大小和形状的，只有位置的概念。

在平面几何中，一个点的位置可以由其和参考坐标系中的两个坐标值来确定。

这两个坐标值分别叫做横坐标和纵坐标，通常用小括号分别括起来，中间用逗号隔开表示。

例如，点A的坐标为（x,y）。

其中，x是横坐标，y是纵坐标。

横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。

二、表示方法在平面直角坐标系中，点的位置是由两个坐标值确定的。

横坐标和纵坐标的取值范围可以是实数，也可以是整数，具体取决于所使用的坐标系和具体问题的要求。

通常，我们可以使用平面直角坐标系、极坐标系和球面坐标系来表示点的位置。

1、平面直角坐标系：平面直角坐标系是最常用的表示点的坐标的方法之一。

在平面直角坐标系中，x轴和y轴互相垂直，起始于原点O，并且正方向分别被定义为正的方向。

点的坐标表示为（x,y），其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。

2、极坐标系：极坐标系是另一种表示点的坐标的方法。

在极坐标系中，点的位置不是由横纵坐标确定，而是由极径和极角确定。

极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点在极轴上的极角。

点的坐标表示为（r,θ），其中r是点到原点的距离，θ是点在极轴上的极角。

3、球面坐标系：球面坐标系用来描述三维空间中点的位置。

在球面坐标系中，点的坐标表示为（r,θ,φ），其中r是点到原点的距离，θ是点在xz平面上的极角，φ是点与z轴的夹角。

球面坐标系能够描述点在球面上的位置，适用于球面上的问题。

三、坐标系坐标系是用来描述点的位置的基础工具之一。

在平面几何中，常用的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和其他特殊的坐标系。

每种坐标系都有其独特的特点和适用范围。

1、直角坐标系：直角坐标系是最基本，也是最常用的坐标系。

在直角坐标系中，点的位置是由横坐标和纵坐标表示的。

横坐标和纵坐标的取值范围都是实数。

直角坐标系可以用于描述平面上的点的位置，以及平面上的图形和问题。

2018中考数学知识点：坐标法
新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
坐标法
坐标法是数学中一种重要的数学思想方法，它是借助于坐标系来研究几何图形的一种方法，是数形结合的典范.这种方法是在平面上建立直角坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程，间接地来研究曲线的性质.。

初中数学平面直角坐标系规律题技巧优质平面直角坐标系是数学中经常使用的工具，用于表示平面上的点和图形。

在初中数学中，学生需要熟练掌握平面直角坐标系并能够应用它来解决问题。

下面介绍一些关于平面直角坐标系的规律题技巧，以帮助学生提高解题效率和准确性。

1.点的坐标平面直角坐标系中，点的坐标表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

在解题时，首先要确定点的坐标，并根据题目中给出的条件来确定点的位置和性质。

2.对称性平面直角坐标系中，图形的对称性是解题的有效利器。

对称性分为原点对称、x轴对称和y轴对称三种。

利用对称性，我们可以通过已知的部分来确定未知的部分，从而简化解题过程。

3.距离和斜率平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用勾股定理来计算。

对于坐标点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]两点之间的斜率可以使用斜率公式来计算。

对于坐标点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的斜率k可以通过以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)利用距离和斜率的公式，可以解决相关的问题，如求两点之间的距离、确定直线的斜率等。

4.图形的方程平面直角坐标系中，不同的图形有不同的方程表示。

一些常见的图形方程如下：- 直线方程：y = kx + b-圆方程：(x-h)²+(y-k)²=r²其中，直线方程中的k表示斜率，b表示截距；圆方程中的(h,k)表示圆心坐标，r表示半径长度。

利用图形的方程，可以帮助我们确定图形的特点、方程等。

5.面积和周长平面直角坐标系中，可以通过计算图形的面积和周长来解决相关问题。

对于矩形、正方形、三角形等形状，可以利用坐标的计算公式或者通过多边形的面积公式来求解。

6.平行和垂直平面直角坐标系中，可以通过斜率的性质来确定两条直线的关系。

如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率之积为-1，则它们垂直。

2018中考数学：平面直角坐标系常考点汇总
常见考法
(1)由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置;(2)求某些特殊点的坐标。

误区提醒
(1)求点的坐标时，容易将横、纵坐标弄反，还容易忽略坐标符号;(2)思考问题不周，容易出现漏解。

(如点P到x轴的距离为1，这里点P的纵坐标应当是，而不是1)。

【典型例题】(2010江苏常州)点p(1,2)关于x轴的对称点p1的坐标是，点p(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是。

【解析】关于x轴的对称点的坐标是横坐标不变，纵坐标相反，关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都要乘以-1，故本题应当填(1,-2),(-1,-2)。

平面直角坐标系的应用:。

点坐标规律探究(解析版)点坐标规律探究（解析版）当我们学习坐标系时，常常需要描绘图形以及研究图形上的点坐标规律。

通过观察和分析，我们可以发现这些规律背后蕴含着许多有趣而重要的数学概念。

本文将通过几个具体示例，深入探讨点坐标规律并解析其背后的数学原理。

一、点的坐标表示在笛卡尔坐标系中，点的位置可以用(x, y)这种有序对来表示。

其中，x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。

通过这种方式，我们可以准确地描述和定位各种点。

二、线性关系的点坐标规律线性关系是最常见和简单的点坐标规律之一。

当两个变量之间存在一种直接的比例关系时，点的坐标往往呈现出线性规律。

例1：直线上的点坐标考虑一条直线，假设点A(x1, y1)和点B(x2, y2)分别为该直线上两个已知点的坐标。

我们可以发现，这条直线上的任意一点P(x, y)的坐标满足如下关系：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)这个关系称为直线的斜率公式，表示了直线上各个点坐标之间的比例关系。

例2：平行线的点坐标关系如果我们考虑两条平行直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2，且通过相同的截距b，则这两条直线上的任意一点P(x, y)的坐标满足以下关系：y - y1 = k(x - x1) （对于L1）y - y2 = k(x - x2) （对于L2）通过这两个等式，我们可以看到平行直线上的任意点的坐标之间存在一种平移关系。

三、二次函数的点坐标规律二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数。

二次函数的图象为抛物线，其中点的坐标规律研究十分有意义。

例3：顶点坐标和对称轴对于二次函数y = ax^2 + bx + c，它的顶点坐标可以通过以下公式求得：x = -b / 2ay = -(b^2 - 4ac) / 4a这个顶点坐标给出了二次函数的极值点，也是抛物线的最高点（若a>0）或最低点（若a<0）。

1．有序数对（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．2．点的坐标特征3．轴对称（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．4．中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．5．位似（1）位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．考向一有序数对有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．典例1 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，-1）表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为A．（-2，3）B．（0，-5）C．（-3，1）D．（-4，2）【答案】C1．我们用以下表格来表示某超市的平面示意图．如果用（C，3）表示“体育用品”的位置，那么表示“儿童服装”的位置应记作A．（A，3）B．（B，4）C．（C，2）D．（D，1）考向二点的坐标特征1．象限角平分线上的点的坐标特征（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．学=科网2．点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．典例2 在下列所给出的坐标中，在第二象限的是A．（2，3）B．（2，-3）C．（-2，-3）D．（-2，3）【答案】D2．点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是A．（4，2）B．（-2，-4）C．（-4，-2）D．（2，4）3．点A（m+3，m+1）在x轴上，则点A坐标为__________．考向三对称点的特征一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”．典例3 已知点（2，1），则它关于原点的对称点坐标为A．（1，2）B．（2，-1）C．（-2，1）D．（-2，-1）【答案】D【解析】（2，1）关于原点对称的点的坐标为（-2，-1），故选D ．典例4 已知点（x ，y ）与点（-2，-3）关于x 轴对称，那么x +y =__________．学+科网 【答案】1【解析】∵点（x ，y ）与点（-2，-3）关于x 轴对称，∴23x y =-=，，∴1x y +=，故答案为：1．4．点P （2，）关于y 轴的对称点的坐标是__________． 5．如图，已知A （0，4）、B （-2，2）、C （3，0）．（1）作△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点B 的对应点B 1的坐标； （2）求△A 1B 1C 1的面积S ．考向四 坐标确定位置确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，根据题中的已知条件，判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面内的位置．典例5 在雷达探测区域，可以建立平面直角坐标系表示位置．在某次行动中，当我方两架飞机在A （-1，2）与B（3，2）位置时，可疑飞机在（-1，-3）位置，你能找到这个直角坐标系的横、纵坐标的位置吗？把它们表示出来并确定可疑飞机的位置，说说你的做法．【解析】能．如下图，可疑飞机在第二象限的C点处，在点A的正北方向距A点2个单位．6．下图标明了李华同学家附近的一些地方．学+科网（1）根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标；（2）某星期日早晨，李华同学从家里出发，沿着（-2，-1），（-1，-2），（1，-2），（2，-1），（1，-1），（1，3），（-1，0），（0，-1）的路线转了一下然后回家，写出他路上经过的地方．考向五 位似1．两个位似图形的位似中心只有一个2．两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上． 3．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧．典例6 如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为A ．（3，3）B ．（4，3）C ．（3，1）D ．（4，1）【答案】A7．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是A ．点PB ．点OC ．点MD ．点N1．若点P在第二象限内，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是7，则点P的坐标是A．（-7，5）B．（7，-5）C．（-5，7）D．（5，-7）2．如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用（0，2）表示靠左边的眼睛，用（2，2）表示靠右边的眼睛，那么嘴的位置可以表示成A．（1，0）B．（-1，0）C．（-1，1）D．（1，-1）3．点P（2m-4，3）在第二象限，则m的取值范围是A．m>2 B．m<2C．m≥-2 D．m≤24．点P在直角坐标系中的坐标是（3，-4），则点P到坐标原点的距离是A．3 B．4C．5 D．4或35．如图是某城市的部分街道平面图的示意图，某人从P地出发到Q地，他的路径表示错误的是A．（2，1）→（5，1）→（5，3）B．（2，1）→（2，2）→（5，2）→（5，3）C．（2，1）→（1，5）→（3，5）D．（2，1）→（4，1）→（4，3）→（5，3）6．点P关于x轴对称的点P1的坐标是（4，-8），则P点关于y轴的对称点P2的坐标是A．（-4，-8）B．（-4，8）C．（4，8）D．（4，-8）7．在平面直角坐标系中，点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是A．（2，3）B．（-2，3）C．（-2，-3）D．（3，-2）8．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F的坐标是（1，1），点C的坐标是（4，2），则它们的位似中心的坐标是A．（0，0）B．（-1，0）C．（-2，0）D．（-3，0）9．课间操时，小颖、小浩的位置如图所示，小明对小浩说，如果我的位置用（0，0）表示，小颖的位置用（2，1）表示，那么小浩的位置可以表示成__________．10．若点P（m，-2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2018=__________．11．如图，点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为__________．学科=网12．已知A、B两点分别在反比例函数3myx=（m≠0）和25myx-=（m≠52）的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为__________．13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（-1，-2），B（-2，-4），C（-4，-1）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最小．14．如图，△ACC′是由△ABB′经过位似变换得到的．（1）求出△ACC′与△ABB′的相似比，并指出它们的位似中心；（2）△AEE′是△ABB′的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是，说明理由；（3）如果相似比为3，那么△ABB′的位似图形是什么？1．（2017•贵港）在平面直角坐标系中，点P（m-3，4-2m）不可能在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2017•湘西州）已知点P（2，3），则点P关于x轴的对称点的坐标为A．（-2，3）B．（2，-3）C．（3，-2）D．（-3，2）3．（2017•葫芦岛）点P（3，-4）关于y轴的对称点P′的坐标是A．（-3，-4）B．（3，4）C．（-3，4）D．（-4，3）4．（2017•宁夏）在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点是A．（-3，2）B．（-3，-2）C．（3，-2）D．（3，2）5．（2017•潍坊）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（-1，0）表示，右下角方子的位置用（0，-1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是A．（-2，1）B．（-1，1）C．（1，-2）D．（-1，-2）6．（2017•成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′=2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为A．4∶9 B．2∶5 C．2∶3 D7．（2017•六盘水）已知A（-2，1），B（-6，0），若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶，黑棋C的坐标为__________．8．（2017•大庆）若点M（3，a-2），N（b，a）关于原点对称，则a+b=__________．9．（2017•阿坝州）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=__________．10．（2017•兰州）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，3 5OE OA ，则FGBC=__________．。

【2018 年中考考点】律型：点的坐一、（共 5 小）1．（ 2018?城区二模）如，在一位 1 的方格上，△ AA1A2，△ A2A3A4，△A4A5A6，△ A6 A7A8，⋯，都是一在 x 上、分1， 2， 3，4，⋯的等三角形．若△ AA1A2的点坐分A（ 0，0），A1（），A2（ 1，0），依如所示律， A2018的坐（）A．（ 504， 0）（）（）D．（ 0， 504）B．C．2．（ 2012?自）一点P 从距原点 1 个位的M点向原点方向跳，第一次跳到OM的中点 M3，第二次从M3跳到 OM3的中点 M2，第三次从点M2跳到 OM2的中点 M1，如此不断跳下去，第n 次跳后，点到原点 O的距离（）A．B．C．D．3．（ 2018?德州）如，点P 从（ 0，3）出，沿所示方向运，每当碰到矩形的反，反反射角等于入射角，当点P 第 2018 次碰到矩形的，点P 的坐（）A．（ 1， 4）B．（5， 0）C．（ 6，4）D．（ 8， 3）4．（ 2018?州一模）在直角坐系中点A1的坐（ 1，0），点 A1作 x的垂交直y=2x 于 A2，点 A2作直 y=2x 的垂交 x 于 A3，点A3作 x 的垂交直y=2x 于 A4⋯，依此律，A10的坐（）A．（ 625， 0）B．（1250， 0）C．（ 625， 1250） D ．（ 1250，2500）5．（ 2018?徐州模）如，在直角坐系中，已知点P0的坐（ 1，0），将段 OP0按逆方向旋45°，再将其度伸OP0的 2 倍，得到段OP1；又将段 OP1按逆方向旋 45°，度伸 OP1的 2 倍，得到段 OP2；如此下去，得到段 OP3，OP4，⋯， OP n（ n 正整数），点 P2011的坐（）A．（22011，0）B．（?22011，?22011）C．（ 0， 22011）D．（?22010，?22010）二、填空（共 3 小）（除非特明，填准确）6．（ 2018?州）如，在直角坐系中，已知点 A（ 3，0）、B（ 0， 4），△ OAB作旋，依次得到△1、△2、△3、△4⋯，△2018的直角点的坐_________．7．（2018?湛江）如，所有正三角形的一平行于x ，一点在y 上．从内到外，它的依次2，4， 6， 8，⋯，点依次用A1、 A2、 A3、 A4⋯表示，其中A1 A2与 x 、底 A1 A2与 A4A5、 A4A5与 A7A8、⋯均相距一个位，点 A3的坐是_________，A92的坐是_________．8．（ 2018?聊城）如，在平面直角坐系中，一点从原点O出，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移，每移一个位，得到点A1（0，1）， A2（1，1），A3（ 1， 0）， A4（ 2，0），⋯那么点A4n+1（ n 自然数）的坐_________（用n表示）三、解答（共 2 小）（答，不自判卷）9．（ 2007?漳州）在平面直角坐系中，横坐、坐都整数的点称整点，察中每一个正方形上的整点的个数，解决下列：（1）你按此律画出由里向外的第四个正方形（用）；（2）算出由里向外第n 个正方形四上的整点个数的和是_________（用含有 n 的代数式表示）10．（ 2018?安徽）我把正六形的点及其称中心称作如 1 所示基本的特征点，然的基本共有7 个特征点，将此基本不断复制并平移，使得相两个基本的一重合，得到2， 3，⋯（1）察以上形并完成下表：形的名称基本的个数特征点的个数1172212331744_________⋯⋯⋯猜想：在（ n）中，特征点的个数_________（用 n 表示）；（2）如，将（ n）放在直角坐系中，其中第一个基本的称中心O1的坐（ x 1， 2）， x1 = _________；（2018）的称中心的横坐_________．【考点】律型：点的坐-1参考答案与解析一、（共 5 小）1．（ 2018?城区二模）如，在一位 1 的方格上，△ AA1A2，△ A2A3A4，△A4A5A6，△ A6 A7A8，⋯，都是一在 x 上、分1， 2， 3，4，⋯的等三角形．若△ AA1A2的点坐分A（ 0，0），A1（），A2（ 1，0），依如所示律， A2018的坐（）（A．（ 504， 0）B．考律型：点的坐．点：）（）D．（ 0， 504）C．1528832分根据已知象得出A2018的坐与 A1点的横坐位置相同，在平行于y 析：的直上，而得出 A 点的横坐特点，而得出答案．解解：由意可得出 A 点的坐化是 4 种化，分在 x 正半和x 答：半以及y 半以及横坐平行于y的直上，∵ 2018÷4=503⋯1，∴ A2018的坐与 A1点的横坐位置相同，在平行于y 的直上，∵ A1（），△ A4A5A6是一在x 上， 3 的等三角形，∴A5（，），同理可得出： A9（，）⋯∴A2018的横坐：，∵5=1×4+1， 9=2× 4+1， 13=3× 4+1，⋯∴2018=503× 4+1，其坐分母 2，分子是奇数与的，∴ A是与 A 点的横坐相同，且在平行于 y 的直上的第504 个数20181据，A2018的坐：=，∴ A的坐坐：（，）．2018故 B．点此主要考了点的律以及勾股定理和等三角形的性等知，：根据已知得出点的化律是解关．2．（ 2012?自）一点 P 从距原点 1 个位的 M点向原点方向跳，第一次跳到 OM 的中点 M3，第二次从 M3跳到 OM3的中点 M2，第三次从点 M2跳到 OM2的中点M1，如此不断跳下去，第 n 次跳后，点到原点 O的距离（）A．B．C．D．考律型：点的坐．1528832点：分根据题意，得第一次跳动到OM的中点 M 处，即在离原点的处，第二3析：次从 M 点跳动到M 处，即在离原点的（）2处，则跳动 n次后，即跳32到了离原点的处．解解：由于 OM=1，答：所有第一次跳动到OM的中点 M 处时， OM= OM=，33同理第二次从M 点跳动到 M 处，即在离原点的（2处，）32同理跳动 n 次后，即跳到了离原点的处，故选 D．点本题主要考查点的坐标，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中评：经常出现．解答本题的关键是找出各个点跳动的规律，此题比较简单．3．（ 2018?德州）如图，动点P 从（ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第 2018 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）A．（ 1， 4）B．（5， 0）C．（ 6，4）D．（ 8， 3）考规律型：点的坐标．1528832点：专压轴题；规律型．题：分根据反射角与入射角的定作出形，可知每 6 次反一个循析：依次循，用2018 除以 6，根据商和余数的情况确定所的点的坐即可．解解：如， 6 次反后点回到出点（0， 3），答：∵ 2018÷6=335⋯3，∴当点 P 第 2018 次碰到矩形的第336 个循的第 3 次反，点P 的坐（ 8， 3）．故 D．点本是点的坐的律化的考了，作出形，察出每 6 次反：一个循依次循是解的关，也是本的点．4．（ 2018?州一模）在直角坐系中点A1的坐（ 1，0），点 A1作 x的垂交直y=2x 于 A2，点 A2作直 y=2x 的垂交 x 于 A3，点A3作 x 的垂交直y=2x 于 A4⋯，依此律，A10的坐（）A．（ 625， 0）B．（1250， 0）C．（ 625， 1250） D ．（ 1250，2500）考规律型：点的坐标．1528832点：专规律型．题：分根据直线解析式求出A1A2的长，再判断出△OA1A2和△ A2 A3A1相似，根据析：相似三角形对应边成比例列式求出A1A3，然后求出OA3，同理求出A3A4，再求出 A3A5，然后求出 OA5，依此类推求出OA9，再求出 A9A10，即可得到点A10的坐标．解解：∵ A1的坐标为（ 1，0），过点 A1作 x 轴的垂线交直线 y=2x 于 A2，答：∴ y=2×1=2，∴A1A2 =2，由A2A3垂直于直线 y=2x ，易求△ OA1A2∽△ A2A3A1，∴=，即= ，解得 A1A3 =4，∴OA3=1+4=5，同理： A3A4=2×5=10，A3 A5=2A3A4=20，∴OA5=5+20=25；A5 A6=2×25=50，A5 A7=2A5A6=2× 50=100，∴OA7=25+100=125；A7 A8=2×125=250，A7 A9=2A7A8=500，∴OA9=125+500=625，A9 A10=2× 625=1250，∴点 A10的坐（ 625，1250）．故 C．点本考了点的坐的律化，主要利用了直上点的坐特征，：相似三角形的判定与性，根据直角三角形两直角的关系依次求出三角形的各直角的度是解的关．5．（ 2018?徐州模）如，在直角坐系中，已知点P0的坐（ 1，0），将段 OP0按逆方向旋45°，再将其度伸OP0的 2 倍，得到段 OP1；又将段 OP1按逆方向旋45°，度伸OP1的 2 倍，得到段 OP2；如此下去，得到段OP3，OP4，⋯， OP n（ n 正整数），点 P2011的坐（）A．（ 22011，0）B．（?22011，?22011）C．（ 0， 22011）D．（?22010，?22010）考律型：点的坐．1528832点：；律型．：分先根据伸的化律求出OP2011的度，再根据每8 次化一个循析：，求出点 P2011是第几第几次的化，然后确定出所在的象限，再根据等腰直角三角形的直角等于斜的倍解答即可．解解：由意可得，OP0=1，OP1=2×1=2，答： OP2=2× 2=22，OP3=2× 22=23，OP4=2× 23=24，⋯OP2011=2×22010=22011，∵每一次都旋45°， 360°÷ 45° =8，∴每 8 次化一个循，2011÷ 8=251⋯3，∴点 P2011是第 252 的第三次的点，与点P3在同一象限，都在第二象限的平分上，∵×22011=?22010，20102010∴点 P2011的坐（?2，?2）．点本考了点的坐的律探，懂意，需要从伸的化律：求出 OP2011的度，从旋的化律求出点P2011所在的象限两个方面考求解．二、填空（共 3 小）（除非特明，填准确）6．（ 2018?州）如，在直角坐系中，已知点A（3，0）、B（ 0， 4），△ OAB作旋，依次得到△1、△2、△3、△ 4⋯，△2018 的直角点的坐（ 8052， 0）．考律型：点的坐． 1528832点：；律型．：分根据勾股定理列式求出 AB的，再根据第四个三角形与第一个三角形析：的位置相同可知每三个三角形一个循依次循，然后求出一个循旋前的度，再用2018 除以 3，根据商 671 可知第 2018个三角形的直角点循的最后一个三角形的点，求出即可．解解：∵点 A（ 3， 0）、B（ 0， 4），答：∴ AB==5，由可知，每三个三角形一个循依次循，一个循前的度： 4+5+3=12，∵2018÷3=671，∴△ 2018 的直角点是第671 个循的最后一个三角形的直角点，∵671×12=8052，∴△ 2018 的直角点的坐（8052， 0）．故答案：（ 8052， 0）．点本是点的坐化律的考了，度不大，仔察形，得：到每三个三角形一个循依次循是解的关，也是求解的点．7．（2018?湛江）如，所有正三角形的一平行于x ，一点在y 上．从内到外，它的依次2，4， 6， 8，⋯，点依次用A1、 A2、 A3、 A4⋯表示，其中 A1 A2与 x 、底 A1 A2与 A4A5、 A4A5与 A7A8、⋯均相距一个位，点 A3的坐是（ 0， 1）， A92的坐是（ 31， 31）．考律型：点的坐．1528832点：；律型．：分根据等三角形的性求出第一个三角形的高，然后求出A3O即可得析：解；先根据每一个三角形有三个点确定出A92所在的三角形，再求出相的三角形的以及A92的坐的度，即可得解．解解：∵△ A1A2A3的 2，答：∴△ A1A2A3的高 2×=，∵ A1A2与 x 相距 1 个位，∴A3O=1，∴A3的坐是（ 0，1）；∵92÷ 3=30⋯ 2，∴ A92是第 31 个等三角形的第 2 个点，第31 个等三角形 2× 31=62，∴点 A92的横坐×62=31，∵ A1A2与 A4 A5、 A4A5与 A7A8、⋯均相距一个位，∴点 A92的坐 31，∴点 A92的坐（ 31， 31）．故答案：（ 0，1）；（31， 31）．点本是点的化律的考，主要利用了等三角形的性，度不：大，第二确定出点 A92所在三角形是解的关．8．（ 2018?聊城）如，在平面直角坐系中，一点从原点O出，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移，每移一个位，得到点A1（0，1）， A2（1，1），A3（ 1， 0）， A4（ 2，0），⋯那么点A4n+1（ n 自然数）的坐（ 2n，1）（用n表示）考规律型：点的坐标．1528832点：专压轴题；规律型．题：分根据图形分别求出n=1、2、3 时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规析：律写出即可．解解：由图可知，n=1 时， 4× 1+1=5，点 A5（ 2， 1），答： n=2 时， 4× 2+1=9，点 A9（ 4， 1），n=3 时， 4× 3+1=13，点 A13（6， 1），所以，点A4n+1（ 2n， 1）．故答案为：（ 2n，1）．n=1、2、3点本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出评：时对应的点A4n+1的对应的坐标是解题的关键．三、解答题（共 2 小题）（选答题，不自动判卷）9．（ 2007?漳州质检）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请观察图中每一个正方形边上的整点的个数，解决下列问题：（1）请你按此规律画出由里向外的第四个正方形（用实线）；（2）计算出由里向外第n 个正方形四边上的整点个数的总和是4n（用含有 n 的代数式表示）考规律型：点的坐标．1528832点：分（ 1）依次找到从内到外的第 4 个正方形上的整数点，画出由里向外的析：第四个正方形即可；（ 2）依次找到从内到外的几个正方形上的整数点，得到规律，由规律求得第 n 个正方形的整点个数．解解：（ 1）如图所示：答：（ 2）由内到外规律，第 1 个正方形边上整点个数为4× 1=4（个），第2 个正方形边上整点个数为 4× 2=8（个），第 3 个正方形边上整点个数为 4× 3=12（个），第 4 个正方形边上整点个数为 4× 4=16（个）；故第n 个正方形边上的整点个数为4n 个．故答案为：4n．点本考了坐与形的性，解决本的关是仔察，找到：律，按律运算．10．（ 2018?安徽）我把正六形的点及其称中心称作如 1 所示基本的特征点，然的基本共有7 个特征点，将此基本不断复制并平移，使得相两个基本的一重合，得到2， 3，⋯（1）察以上形并完成下表：形的名称基本的个数特征点的个数117221233174422⋯⋯⋯猜想：在（ n）中，特征点的个数5n+2（用 n 表示）；（2）如图，将图（ n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（ x 1， 2），则 x1 =；图（2018）的对称中心的横坐标为2018．考规律型：图形的变化类；规律型：点的坐标．1528832点：专压轴题．题：分（ 1）观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特析：征点增加 5 个，由此得出图 4 中特征点的个数为17+5=22 个，进一步猜想出：在图（ n）中，特征点的个数为：7+5（ n﹣ 1）=5n+2；（ 2）过点 O 作 OM⊥ y 轴于点 M，根据正六边形、等腰三角形的性质得11出∠ BOM=30°，再由余弦函数的定义求出OM= ，即 x = ；然后结合111图形分别得出图（2）、图（ 3）、图（ 4）的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图（2018）的对称中心的横坐标．解解：（ 1）由题意，可知图 1 中特征点有 7 个；答：图 2 中特征点有12 个， 12=7+5× 1；图3 中特征点有 17 个， 17=7+5× 2；所以图 4 中特征点有 7+5× 3=22 个；由以上猜想：在图（ n）中，特征点的个数为： 7+5（ n﹣ 1） =5n+2；（ 2）如，点O1作O1M⊥ y于点M，又∵正六形的中心角=60°， O1C=O1B=O1A=2，∴∠ BO1M=30°，∴O1M=O1B?cos ∠ BO1M=2× = ，∴x1= ；由意，可得（ 2）的称中心的横坐（ 2×2） =2，（ 3）的称中心的横坐（ 2× 3）=3，（ 4）的称中心的横坐（ 2× 4）=4，⋯∴ （ 2018）的称中心的横坐（ 2× 2018）=2018 ．故答案22，5n+2；，2018．点本借助正六形考了律型：形的化，度适中．关：是通察、与，得到其中的律；（2）要注意求的是整个形的称中心的横坐，而不是第2018 个正六形的称中心的横坐，也是本容易出的地方．。

2018年山东山东威海初中毕业考试数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．1．（2018山东威海，1，3分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．－1 2C．12D．－2【答案】A【解析】根据“负数的绝对值是它的相反数”得，﹣2的绝对值是－（－2）＝2，故选A．【知识点】绝对值．2．（2018山东威海，2，3分）下列运算结果正确的是( )A．a2·a3＝a6B．－（a－b）＝－a＋b C．a2＋a2＝2a4D．a8÷a4＝a2【答案】B【解析】根据“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”，a2·a3＝a5，选项A错误；根据去括号法则，－（a －b）＝－a＋b，选项B正确；根据合并同类项法则，a2＋a2＝2a2，选项C错误；根据“同底数幂的除法，底数不变，指数相减”，8a÷a4＝a4，选项D错误．故选B．【知识点】同底数幂的乘法法则、去括号法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则．3．（2018山东威海，3，3分）若点（－2，y1），（－1，y2），（3，y3）在双曲线y＝xk（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【答案】D【解析】如图，反比例函数y＝xk（k＜0）的图象位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大，而－2＜－1＜0＜3，∴y3＜y1＜y2．故选D．【知识点】反比例函数的图象与性质4．（2018山东威海，4，3分）下图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是( )左视图3主视图8A．25πB．24πC．20πD．15π【答案】C【解析】根据圆锥的主视图、左视图知，该圆锥的轴截面是一个底边长为8，高为3的等腰三角形（如图），AB ＝2234+＝5，底面半径＝4，底面周长＝8π，∴侧面积＝12×8π×5＝20π，故选C ． 【知识点】三视图、圆锥的侧面积5．（2018山东威海，5，3分）已知5x ＝3，5y ＝2，则52x －3y ＝（ ）A ．34B ．1C ．23D ．98【答案】D 【解析】逆用幂的乘方、同底数幂的除法法则，得52x－3y＝52x ÷53y ＝（5x ）2÷（5y ）3＝32÷23＝98．故选D ．【知识点】幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、求代数式的值 6．（2018山东威海，6，3分）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －21x 2 刻画，斜坡可以用一次函数y ＝21x 刻画，下列结论错误的是( )A ．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O 点水平距离为3mB ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．斜坡的坡度为1∶2 【答案】A【解析】根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7．5时，二次函数y ＝4x －12x 2的函数值为7．5，即4x －12x 2＝7．5，解得x 1＝3，x 2＝5，故当抛出的高度为7．5时，小球距离O 点的水平距离为3m 或5m ，A 结论错误；由y ＝4x －21x 2 得y ＝－21（x －4）2＋8，则抛物线的对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x －12x 2与y ＝21x 解得⎩⎨⎧==00y x ，或⎪⎩⎪⎨⎧==277y x ；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，27），C 结论正确；由点（7，27）知坡度为27∶7＝1∶2（也可以根据y ＝21x 中系数21的意义判断坡度为1∶2），D结论正确；故选A ．【知识点】抛物线的函数值、二次函数与一次函数的结合，斜坡的坡度7．（2018山东威海，7，分）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是－2，－1，0，1，卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】B 【解析】列表如图，故所取两数的积为负数的概率为412＝13． 两数积 －2 －1 0 1 －2 2 0 －2 －1 2 0 －1 0 0 0 0 1－2－1【知识点】求随机事件的概率8．（2018山东威海，8，3分）化简（a －1）＋（a1－1）·a 的结果是( ) A ．－a 2B ．1C ．a 2D ．－1【答案】A【解析】根据分式的加减乘除法则进行运算，运算时，要注意运算顺序． 原式＝（a －1）÷（a a -1）．a ＝（a －1）．aa-1．a ＝－a 2． 【知识点】分式的混合运算9．（2018山东威海，9，3分） 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，下列结论错误的是( )A ．abc ＜0B ．a ＋c ＜bC ．b 2＋8a ＞4acD ．2a ＋b ＞0【答案】D【解析】由函数图象的开口向下，判断a ＜0；由函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴上，判断c ＞0；由对称轴在y 轴的右侧，判断2ba-＞0，所以b ＜0，所以abc ＜0，A 结论正确；当x ＝－1时，函数值为负，故a －b ＋c ＜0，所以a ＋c ＜b ，B 结论正确；若C 正确，则有b 2＞4ac －8a ，b 2＞4a （c －2），24b a＜c －2，根据图象可知，c ＞2，则c －2＞0，故此时24b a ＞0不成立，则C 结论错误；2b a-＜1，所以－b ＞2a ，即2a ＋b ＜0，故D 结论错误；故选D ．【知识点】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与系数a 、b 、c 的关系10．（2018山东威海，10，3分）如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为»AB 的中点，若∠ABC ＝30°，则弦AB的长为( )C BA OA．12B．5 C．532D．53【答案】D【解析】如图，连接OA、OC，OC 交AB于点M．根据垂径定理可知OC垂直平分AB，因为∠ABC＝30°，故∠AOC＝60°，在Rt△AOM中，sin60°＝AM AM3==OA32，故AM＝235，即AB＝35．故选D．【知识点】垂径定理、锐角三角函数11．（2018山东威海，11，3分）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝( )A．1B．23C．22D．52【答案】C【思路分析】若要求GH的长，应先将其转化到三角形中，过点H作HM垂直于CG于点M，在Rt△GHM中，只要求出GM、HM，即可解决问题．【解题过程】过点H作HM垂直于CG于点M，设AF交CG于点O．OHG FEDMCBA根据题意可知△GOF∽△DOA，∴GF OG OF1===AD OD OA2，所以OF＝12OA＝13AF，即AF＝3OF，因为点H是AF 的中点，所以OH＝12AF－13AF＝16AF，即AF＝6OH，所以OH＝12OF．根据已知条件可知△HOM∽△GOF，可以推出HM ＝12；同理，通过△HOM ∽△AOD ，可以推出DM ＝12DG ，即GM ＝12DG ＝12，在Rt △GHM 中，GH ＝222HM +GM =2。

中考数学规律型问题专题【例题1】（2019•四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【例题2】（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【例题3】（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【例题5】（2019•甘肃庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【例题6】（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n 在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3一、选择题1.（2019湖南常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．82.（2018成都）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为（）A．S=3n B．S=3（n﹣1）C．S=3n﹣1 D．S=3n+13.（2019云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋14．（2019河南）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．5．（2019湖北宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A ．（，﹣） B ．（1，0） C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1） 6.（2019·广西贺州）计算++++…+的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．7．(2019•云南)按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，……第n 个单项式是( ) A ．121)1(---n n x B ．12)1(--n n x C ．121)1(+--n n x D ．12)1(+-n n x二、填空题8.（2018云南）观察下列各式：，，，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律是 ．9.（2019湖南怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分 数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．10.（2019·贵州安顺）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．11.（2019•海南省）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是，这2019个数的和是．12.（2019•贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是．（n为正整数）13．（2019苏州）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）14．（2019黑龙江省绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是．15. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．16.（2019•山东泰安）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．17．（2019•山东潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）三、解答题18．（2019湖南张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？19. （2019•四川自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．答案【例题1】（2019•四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【答案】D．【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝【例题2】（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【例题3】（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题5】（2019•甘肃庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【答案】13a+21b．【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b【例题6】（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n 在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，再由面积公式即可求解；解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n＝。

初中坐标口诀总结I. 坐标系简介在初中数学中，我们经常会用到二维坐标系来表示点的位置。

二维坐标系由两条互相垂直的数轴组成，分别是横轴和纵轴，也称为x轴和y轴。

点的位置可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示横轴上的位置，y表示纵轴上的位置。

II. 正负坐标在坐标系中，以原点为中心的四个象限分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

其中，第一象限的点坐标都是正的，第二象限的点的横轴坐标为负，纵轴坐标为正，第三象限的点都是负的，第四象限的点的横轴坐标为正，纵轴坐标为负。

III. 横纵坐标变化规律1. 横坐标变化规律在坐标系中，横轴上的数轴为x轴，点的横坐标表示在x轴上的位置。

横坐标的变化规律有以下几种情况： - 向右移动：横坐标增加。

- 向左移动：横坐标减少。

2. 纵坐标变化规律在坐标系中，纵轴上的数轴为y轴，点的纵坐标表示在y轴上的位置。

纵坐标的变化规律有以下几种情况： - 向上移动：纵坐标增加。

- 向下移动：纵坐标减少。

IV. 坐标口诀总结为了方便记忆和使用，我们可以使用坐标口诀来帮助我们确定点的位置。

1. 第一象限内的点在第一象限内，横坐标和纵坐标都为正值。

根据坐标口诀可以得出点的位置为：“斜右上，斜右上”。

2. 第二象限内的点在第二象限内，横坐标为负值，纵坐标为正值。

根据坐标口诀可以得出点的位置为：“斜左上，斜右上”。

3. 第三象限内的点在第三象限内，横坐标和纵坐标都为负值。

根据坐标口诀可以得出点的位置为：“斜左下，斜左下”。

4. 第四象限内的点在第四象限内，横坐标为正值，纵坐标为负值。

根据坐标口诀可以得出点的位置为：“斜右下，斜左下”。

V. 综合练习为了更好地理解和运用坐标口诀，我们进行一些练习。

1. 练习题1某个点的坐标为(-2, 3)，请根据坐标口诀判断它的位置。

根据坐标口诀可以得出，该点的位置为：“斜左上，斜右上”，即在第二象限内。

2. 练习题2某个点的坐标为(5, -4)，请根据坐标口诀判断它的位置。

2018初中数学学习方法之知识点记忆口诀各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了中考五大必考学科的知识点，主要是对初中三年各学科知识点的梳理和细化，帮助各位考生理清知识脉络，熟悉答题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《2018初中数学学习方法之知识点记忆口诀》，仅供参考！一、数与代数Ⅰ、数与式1.有理数的加法、乘法运算同号相加一边倒，异号相加“大”减“小”；符号跟着大的跑，绝对值相等“零”正好。

同号得正异号负，一项为零积是零。

【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

2.合并同类项合并同类项，法则不能忘；只求系数代数和，字母、指数不变样。

3.去、添括号法则去括号、添括号，关键看符号；括号前面是正号，去、添括号不变号；括号前面是负号，去、添括号都变号。

4.单项式运算加、减、乘、除、乘方，三级运算分得清；系数进行同级算，指数运算降级行。

5.分式混合运算法则分式四则运算，顺序乘除加减；乘除同级运算，除法符号须变；乘法进行化简，因式分解在先；分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。

6.平方差公式两数和乘两数差，等于两数平方差；积化和差变两项，完全平方不是它。

7.完全平方公式首平方又末平方，二倍首末在中央；和的平方加再加，先减后加差平方。

8.因式分解一提二套三分组，十字相乘也上数；四种方法都不行，拆项添项去重组；重组无望试求根，换元或者算余数；多种方法灵活选，连乘结果是基础；同式相乘若出现，乘方表示要记住。

【注】一提9.二次三项式的因式分解先想完全平方式，十字相乘是其次；两种方法行不通，求根分解去尝试。

10.比和比例两数相除也叫比，两比相等叫比例；基本性质第一条，外项积等内项积；前后项和比后项，组成比例叫合比；前后项差比后项，组成比例是分比；两项和比两项差，比值相等合分比；前项和比后项和，比值不变叫等比；商定变量成正比，积定变量成反比；判断四数成比例，两端积等中间积。

一、选择题1.（2018·济宁，10，3分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是 ··································································································· （ ）答案：C ．解析：观察发现，（1）从上到下第一行、第二行每行一共有10个点；（2）从左到右第三列、第四列每列一共有10个点．据此规律可知，第四行空白处有3个点；第1列空白处有1个点，第2列有3个点．2.（2018·绵阳，12，3分）将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 57 9 1113 15 17 19 21 23 25 27 29 …… ……按照以上排列的规律，第25行第20个数是 A ．639 B ．637 C ．635 D ．633答案：A ，解析：分析每一行的第一个数可知第n 行的第一个数为：n (n －1)＋1，所以第25行的第1个数为：2524＋1＝601，在每一行中相邻的两个数相差为2，所以第25行的第20个数为：601＋2＝639． 3．（2018·德州，11，4） 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下面的三角形解释二项式()na b +的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”一个计算8()a b +的展开式中从左起第四项的系数为（ ） A ．84 B ．56 C ．35 D ．28答案：．B ，解析：依规律，8()a b +…展开式共7项，各项的系数分别是1，8，28，56，70，56，28，8，1．故选B ． 4．（2018·绍兴，10，4分）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）.现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）.若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品A .16张B . 18张C . 20张D . 21张（第10题图）A．B．D ．C．答案：D ，解析：设这些作品共有mn 张（m 、n 均为正整数，且m ≤n ），则所需图钉总数为（m +1）(n +1)枚，由题意得（m +1）(n +1)≤34，∵5×5＜34＜6×6，∴m 可取1、2、3、4.①当m =1时，n 最大=16，mn 最大=16；②当m =2时，n 最大=10，mn 最大=20；③当m =3时，n 最大=7，mn 最大=21；④当m =4时，n 最大=5，mn 最大=20.综上， mn 的最大值为21，故选D .5．（2018·广州市，10，3）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m ，其行走路线如图5所示，第1次移动到A 1，第2次移动到A 2，…，第n 次移动到A n ，则△O A 2 A 2018的面积是（ ）． （A ）504 m 2 （B ）10092m 2 （C ）10112m 2（D ）1009 m 2答案：A ，解析：观察图形可以发现，每4个点为一个循环组依次循环，2018÷4＝540……2，可以得到A 2 A 2018＝504×2＝1008，所以△O A 2 A 2018＝12×1×1008＝504． 6．（2018·宜昌市，8，3）1261年，我国南宋数学家杨辉用下图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年．我们把这个三角形称为“杨辉三角”．请观察图中的数字排列规律，则a 、b 、c 的值分别为（ ）1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 1 a b c 156 1A ．a ＝1，b ＝6，c ＝15B ．a ＝6，b ＝15，c ＝20C ．a ＝15，b ＝20，c ＝15D ．a ＝20，b ＝15，c ＝6答案：B 解析：根据杨辉三角的规律，知a ＝1＋5＝6，b ＝5＋10＝15，c ＝10＋10＝20，故选B ．二、填空题1.（2018滨州，20，5分）观察下列各式：2211112++＝1＋112⨯， 2211123++＝1＋123⨯， 2211134++＝1＋134⨯， … …请利用你所发现的规律。