试题(5)参考答案
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《复变函数》考试试题（五）参考答案
一. 判断题.
1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√.
二. 填空题.
1.2, 3
π-, 1; 2. 2(,)a k i k z a π+∈为任意实数; 3. (21)k i π+, ()k z ∈; 4. 2,()k i k z π∈; 5. 0; 6. 0;
7. 亚纯函数; 8. 20(1)(1)n n n z z ∞=-<∑; 9. 0; 10. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩. 三. 计算题.
1. 解 令z a bi =+, 则
222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b
-+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z b z a b
-=+++. 2. 解 连接原点及1i +的直线段的参数方程为 (1)01z i t
t =+≤≤, 故{}11001Re Re[(1)](1)(1)2
c i zdz i t i dt i tdt +=++=+=⎰⎰⎰. 3. 令i z e θ=, 则dz
d iz
θ=. 当0a ≠时 212()(1)12cos 1()z a az a a a z z a z
θ----+=-++=, 故11()(1)z dz I i z a az ==--⎰, 且在圆1z <内1()()(1)
f z z a az =--只以z a =为一级极点, 在1z =上无奇点, 故211Re (),(01)11z a z a s f z a az a
====<<--, 由残数定理有 2
122Re (),(01)1z a I i s f z a i a ππ===≤<-. 4. 解 令(),f z z =- 则(),()f z z ϕ在1z ≤内解析, 且在:C 1z =上, ()1()z f z ϕ<=, 所以在1z <内, (,)(,)1N f C N f C ϕ+==, 即原方程在 1z <内只有一个根.
四. 证明题.
1. 证明 因为22(,),(,)0u x y x y v x y =+≡, 故2,2,0x y x y u x u y v v ====.
这四个偏导数在z 平面上处处连续, 但只在0z =处满足..C R -条件, 故()f z 只在除了0z =外处处不可微.
2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时, ()1!()!(0)2n
k k k z r k f z k Mr f dz z r
π+=≤≤⎰. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()(0)0k f =.
故0()n n n k f z c z
==∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.。
