从平面几何到立体几何学习过程中容易出现的问题

试析高中解析几何的学习障碍与解决方法高中解析几何是数学的一个重要分支，涉及到平面几何和立体几何的相关内容。

学习解析几何对于高中生来说是一项较为困难的任务，可能会面临以下几个学习障碍：一、抽象思维能力不足：解析几何需要学生具备较强的抽象思维能力，能够将实际问题转化为数学符号并进行推理。

由于高中生的思维方式尚未完全成熟，他们可能还无法把握、理解一些抽象的概念和推理过程。

二、几何形象感知困难：解析几何要求学生对几何图形和空间的形状、位置有一个准确的感知，但有些学生对几何图形的形状不够敏感，无法准确地理解、描绘和分析几何图形，从而导致解析几何的学习困难。

三、计算能力和逻辑思维能力不足：解析几何要求学生进行一系列准确的计算和推导，需要较强的计算能力和逻辑思维能力。

有些学生的计算能力不足，无法正确进行运算；有些学生的逻辑思维能力不足，无法理解、运用相关的几何定理和推导过程。

针对以上学习障碍，可以采取以下一些解决方法：一、强化抽象思维能力的培养：可以通过增加抽象思维的训练来提高学生的抽象思维能力。

可以尝试一些抽象思维的训练题目，让学生进行推理、归纳、演绎等思维活动，培养他们的抽象思维能力。

二、多角度感知几何图形：可以通过多角度观察和感知几何图形来帮助学生更好地理解几何图形的形状、特征和变化。

可以使用实物、模型、图形等不同的呈现方式，让学生从不同的角度观察和感知几何图形，提高他们的几何形象感知能力。

三、提高计算和推理能力的训练：可以通过大量的计算和推理训练来提高学生的计算能力和逻辑思维能力。

可以设计一些练习题目，要求学生进行准确的计算、推导和推理，帮助他们提高计算和推理能力。

四、注重实际问题的应用：可以将解析几何与实际问题相结合，让学生通过解析几何的知识去解决实际问题，增加学习的兴趣和动力。

可以设计一些与实际生活相关的解析几何问题，让学生进行实际应用和解决，提高他们的学习积极性和效果。

高中解析几何的学习障碍主要在于抽象思维能力不足、几何形象感知困难、计算能力和逻辑思维能力不足等方面。

1、注重激发兴趣, 渗透情感教育从平面几何到立体几何《立体几何》作为高中数学的重要组成部分，其在培养学生的空间思维能力、空间想象能力和严密的逻辑推理能力方面起着不可替代的作用。

实际教学中，明显感觉到大多学生对《立体几何》这一门课存在畏惧心理，思维比较难从平面几何里过渡进来，不能体会到其中的统一关系。

究其原因，认为主要有如下几点：（1）初、高中思维模式的差别巨大；（2）平面与空间的思维跨度大；（3）学生的学习兴趣取向没有形成。

所以实际教学中，如何精心设计问题情景和平台、注重导入技巧；如何把握《立体几何》的概念及思维特征、使学生转变观念和思维习惯显得至关重要。

首先：充分调动学习兴趣，借用平面几何基础、生活实例、实物模型及多媒体等教学手段，充实学生对客观事物（空间图形）的感知，引导从平面向立体转化，为学生进行形象思维创造条件，促使学生建立起一定的空间想象力。

在课堂上，除作了一些必要的生活铺垫，可以作一些趣味思考题，如：六根等长木棒任意搭建，最多可得多少正三角形？让学生分组（课前准备好道具）协作构思，极大地调动了学生的参与热情和探求欲望，在学生大多得出正确结果的基础上，用多媒体展示搭建过程，后提炼出“空间中思考问题”的实质，有效地培养了学生的空间思维能力及空间想象能力。

其次：在教学实践中，注意情感渗透。

不少学生（女生居多）一上来对学习《立体几何》就信心不足。

此时，教师宜尽量采用轻松、活泼的语言来分析问题与结论，缓解学生学习的心理压力，减少干扰因素，特别是针对一些“慢热”型学生更应注重情感交流，适时了解其学习困惑，建立起融洽的师生关系，使学生在一个宽松、和谐、平等的教学氛围中，积极主动地学习，最大限度地发挥出其聪明才智和创造性，从而获取最佳学习效益。

2、注重概念的导入教学，促进空间思维的建立立体儿何是平面儿何在空间的延伸，学好平面儿何是学好立体儿何的基础。

学生掌握的平面儿何概念（上位学习）对立体儿何的学习（下位学习）起着重要的作用：如果上位学习对下位学习产生积极有效的促进作用，在认知心理学上称之为正迁移；如果上位学习对下位学习引起障碍及抑制作用，在认知心理学上称• • •之为负迁移。

数学解决立体几何问题的常用方法和技巧在数学领域，立体几何是一个关键而有趣的分支，涉及到三维空间中的形状和对象的研究。

解决立体几何问题需要一些常用的方法和技巧，我们将在本文中探讨这些方法和技巧。

一、平面几何的基础知识在处理立体几何问题之前，我们首先需要掌握一些平面几何的基础知识。

这包括直线、角度、三角形和多边形等基本概念。

熟悉这些概念可以帮助我们更好地理解和解决立体几何问题。

二、几何图形的投影图形的投影是解决立体几何问题的重要方法之一。

当一个立体图形在不同的平面上投影时，会得到不同的图形。

通过观察和分析这些投影图形，我们可以推断出立体图形的性质和特征，从而解决问题。

三、空间坐标系空间坐标系是解决立体几何问题的另一种常用方法。

通过引入坐标系，我们可以将问题转化为代数方程的求解。

这在处理立体图形的位置、距离和角度等问题时非常有效。

四、欧拉公式欧拉公式是解决多面体问题的一条重要定理。

该定理表明，一个凸多面体的顶点数、棱数和面数之间存在着一种简单的关系。

应用欧拉公式，我们可以在已知条件下求解立体图形的未知数值，从而解决问题。

五、相似三角形和比例关系相似三角形和比例关系是解决立体几何问题的常用技巧之一。

当两个三角形的对应角相等时，它们就是相似三角形。

通过分析相似三角形之间的比例关系，我们可以求解立体图形的未知长度、面积和体积等问题。

六、空间角的性质空间角是解决立体几何问题的另一种重要工具。

通过研究空间角的性质，我们可以得到很多有用的结论。

例如，对于任意一个点，通过将其与多个点相连，可以形成不同的空间角，这些空间角之和为360度。

七、平面切割和截面图平面切割和截面图是解决立体几何问题的实用方法之一。

通过在立体图形上进行平面切割，我们可以得到截面图，从而更好地理解和分析立体图形的性质。

截面图可以帮助我们推断立体图形的形状、面积和体积等信息。

八、立体图形的拓扑性质立体图形的拓扑性质指的是图形在变形过程中保持的不变性质。

习过 程 中的一 大障碍 。 学生进 入 高 中初 步接 触 立体 几何 ， 既感 兴趣 又感 到头疼 ， 很 多 同学在 解答几 何证 明题 时 困难 多多。 学生 有 关 立 体几何 的学 习 困难 主要 是 平 面几何 的基 础不 扎 雾 ， 缺 乏 自信 心 ， 空间 想 象力差 ， 逻辑 思维 能力不 强等 等 。本 文 针对 这 些原 因提 出一 些
有利于提高数学立体几何教学效果的方法。 关键词 ： 提高； 立体几何 ； 教 学效 果
中 图分 类号 ： Ｇ ６ ３ ３ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ ９— ０ １ １ ７— ０ １
立 体几 何是 以公理 为基 础 的 ， 根 据 图 形 的点 线 面 的关 系来 研 如何 绘制 的 。通过 翻 转 的方 式 将 正 方 体 的构 建 清 晰 的 展 示 给 同 究 三维 空 间的图 形 。高 中的立 体 几 何 主要 是 有 关 圆柱 、 圆锥 、 圆 学们 ， 便 于他 们将 自己的所见 作到平 面 中去 ， 自绘 出正方 体 。 台、 正方 体 等立体 几何 图形 的证 明题 ， 以及 通 过 展 示 一个 图形 三 （ 二） 鼓励 学 生绘 制立体 图 ， 强 化学 生 的空 间 想象 力 视 图说 出 由几个 小 方块 组 成 等 问 题 。 比如 说 证 明 正方 体 内两 条 在学 生 的头脑 中有 了一定 空间 想象 力 后 ， 要鼓 励 学 生 努力 将 线垂 直 ， 两个 面相交 或者 是 研 究 两 条 线 交 角 的 度数 等 等 ， 这 些 主 头脑 中所想 的绘制 到 纸 上 ， 这 对 于发 展 空 间 想象 力 尤 为 关 键 ， 可 要就 是 高 中立 体 几何 教 学 过 程 所 要 掌 握 的 内 容 。由 于将 这 些 有 以进 一步 的强 化 学生 的空 间想 象 力 。绘 制 立 体 图 的重 要 的原 因 关 于线线 关 系的 问题 置 之 立 体几 何 中 ， 与 以 往 的平 面 证 明 不 同 ， 是 由于它更 加 的直 观 ， 能 在二 维 平 面 中 反 映 三维 形 体 ， 可 以增 强 虽然 证 明过程 用到 了很多 平面 证 明 的方 法 ， 但是 在 具 体 的证 明 过 学 生 的思维 能力 。由 于立 体 几何 中 的很 多 立体 图在 生 活 中都 有 程 中还是 存在 着很多 的 障碍 ， 主要 有表 现 在 学生 有 关 立体 几 何 的 原 型 ， 比如 长方 体 、 正方 体 、 圆柱 体 等等 ， 为 了加 深 学 生 对 这 些 立 学 习困难 主要是 平 面 几何 的基 础 不 扎 实 ， 缺 乏 自信 心 ， 空 间 想象 体 图形 的理 解 ， 教 师 应 当 鼓励 学 生 自己绘 制 ， 这 样 在 绘 制 的 过 程

《立体几何》教学过程中值得注意的几个问题摘要:在《立体几何》教学过程中值得注意以下几个问题:首先注重平面基本性质的教学,注意把空间图形的问题转化为平面图形的问题来解决;其次弄清立体几何与平面几何的联系;最后我们应该掌握立体几何中常见问题及其常用的处理方法。

关键词:立体几何;平面几何;注意事项立体几何教学的目的主要是让学生形成空间概念、培养学生的空间想象力并掌握空间图形的重要性质,从而掌握一些简单立体图形的画法以及距离、角、表面积、体积的计算方法。

教学中除了揭露教材的内在联系,线线、线面、面面的位置关系,以及柱、锥、球的性质进行归纳总结、对比分析外,还需注意以下几个问题。

一、注重平面的基本性质的教学,注意把空间图形的问题转化为平面图形的问题来解决平面基本性质是将立体几何问题转化为平面几何的理论依据,它是立体几何的基础。

教学中教师不仅应让学生熟悉掌握这些性质,更要通过实例巩固和应用这些性质。

平面图形是空间图形的基础,空间图形是平面图形的发展,它们之间有着千丝万缕的关系。

要解决空间图形问题最终要归结到解决平面图形中去进行。

如推导多面体的表面积公式、旋转体的侧面积公式等都是立体图形转化为平面图形的典型例子。

二、弄清立体几何与平面几何的联系是学好立体几何的关键立体几何与平面几何在体系上都是欧几里得公理体系,在内容上都是研究图形的位置关系、数量关系,在方法上都是演绎推理的方法。

因此,平面几何与立体几何诸多方面存在一致性,才有了用类比方法通过平面几何来研究立体几何的可能性。

(一)定义之间的类比。

如:“角与二面角”。

角是指从一点出发的两条射线所组成的图形。

二面角指的是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。

再如“圆与球”。

平面上与定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

空间中与定点的距离等于定长的点的集合叫做球。

(二)定理之间的类比。

如:平行三角形一边且与其他两边相交的直线所截得的三角形与原三角形相似,并且它们的面积比等于高的平方比;棱锥被平行于底面的平面所截,则截面与底面相似,并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比,从而可推出所截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于它们高的立方比。

立体几何教学反思立体几何教学反思1《立体几何》是高中数学较难理解的内容之一，就其原因，主要是学生受平面思维的束缚，尚未建立起相应的空间观念，缺乏空间想象能力和逻辑思维能力所致。

怎样让学生更好的学好空间几何呢?一、抓好入门教学，准确、牢固的理解和掌握概念、定理。

1、直观形象的引入观念。

在概念教学中应在对足够的感性材料加以比对、分析和抽象的基础上从感性认识出发引进新概念。

如：平面这一概念可借助平静的水面、平板玻璃的表面等这些给我们以平面形象的具体实物来引入。

需注意的是，几何中的平面是在空间无限延展的，平静的水面、平板玻璃等只能看做平面的一部分。

2、借助已知概念理解新概念。

如借助直线理解平面，一条直线有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

直线很直，平面必很平，直线无限延长，平面必无限延展。

利用学生对直线的认识加深对平面的理解。

3、抓住要点掌握概念。

如二面角的平面角概念教学中应抓住三个要点：(1)顶点必须在棱上;(2)两边分别在两个半平面内;(3)两边必须垂直于棱，再配以相关的图形，学生对这个概念的理解就比较准确了。

4、对比联系记忆概念。

如“不同在任一平面内的两条直线”与“在不同平面内的两条直线”有着本质的差异，前者是异面直线，而后者中的两条直线则有在同一平面内的可能。

这样，对比不同的`表述。

找出其相异点，才能更好的理解记忆所学概念。

5、抓住定理中的关键“字词”。

如在线面垂直的判定定理中，如果一条直线垂直于一个平面内的两条“相交直线”那么线面垂直。

“两条”与“垂直”缺一不可，而垂直是否过交点则不必考虑。

又如在射影定理中，“从平面外一点向一个平面引垂线段和斜线段”，必须强调“从平面外一点”和“一个平面”，否则会片面得出“射影长相等时斜线也相等”的错误结论。

6、把握实质，概括精髓，加强对定理的记忆。

记得牢才能用的好，如对于三垂线定理和逆定理的记忆，可概括为“影垂则斜垂，斜垂则影垂，又如记忆线面平行的判定定理和性质定理，可概括为”线线平行则线面平行，及线面平行则线线平行。

高中数学常用问题总结归纳在高中数学学习过程中，我们常常会遇到一些困难和难题。

本文将总结归纳高中数学常见的问题，帮助同学们更好地理解和应对这些困难。

以下是一些常见问题及解答：一、代数运算问题高中代数运算问题主要包括整式的运算、方程的解法等。

在解决整式的运算问题时，常常会碰到因式分解和配方法的困扰。

在解决方程的解法时，方程的分解、配方法及根的求解是常见的问题。

解决这些问题的关键在于理解代数运算的基本规则，熟练掌握因式分解和配方法，并且灵活运用这些规则和方法。

二、函数与图像问题函数与图像问题是高中数学中的重点内容。

常见问题包括函数的性质、图像的变换和对称性等。

在解决函数的性质问题时，需要掌握函数的定义、定义域、值域、单调性和奇偶性等基本概念。

在解决图像的变换问题时，了解平移、伸缩、翻转和旋转等变换方式，并能够根据给定的函数式进行图像的变换。

此外，对称性是函数与图像问题中的另一个重要方面，需要熟练掌握函数图像的对称性和判定方法。

三、几何问题高中几何问题包括平面几何和立体几何两个方面。

在解决平面几何问题时，常见的问题包括直线与圆的性质、相交定理、相似三角形等。

解决这些问题的关键在于几何图形的性质和定理的理解和运用。

在解决立体几何问题时，需要掌握立体图形的性质、体积和表面积的计算等。

在解决这些问题时，可以多画图、多列方程，以便更好地理解和解决问题。

四、概率与统计问题概率与统计问题是高中数学中的一块重要内容。

在解决概率问题时，常见的问题包括事件的概率计算、条件概率和独立事件等。

解决这些问题需要掌握基本的概率计算方法和公式，并能够运用它们解决实际问题。

在解决统计问题时，需要了解统计数据的收集和整理方法，以及数据的分析和解读。

同时，也需要掌握频率分布表、直方图和折线图等统计图形的绘制和解读。

总结：在高中数学学习过程中，我们会遇到各种各样的问题，但只要我们充分理解并掌握基本的数学概念和方法，灵活运用它们，就能够解决大多数的困难。

学几何画板后的心得体会在我们的学习生涯中，随着年级的不断升高，接触到几何的内容也变得越来越深入，学习几何画板也成为了一项必不可少的技能，是我们打下几何知识基础的好方法。

本文将分享我学习几何画板的经历，并从中感悟到的一些心得体会，以期能够启发更多的学子掌握这项技能。

几何画板是一种利用画板和尺规等几何工具绘制几何图形的方法，平面几何、立体几何均可应用。

学习几何画板有助于我们更好地理解几何图形的构成和性质，提高我们的观察能力、空间想象力和手工技能。

在我的学习过程中，我遇到了以下一些问题，也掌握了一些解决方法。

第一，画板与画笔的选择。

在使用几何画板之前，我们需要选择合适的画板和画笔，以确保绘制出更为精确的几何图形。

具体来说，选择画板时应该选择精读好、平整的表面且较耐用的硬质材料；选择画笔时则需要重视笔尖的硬度和粗细以及笔体的握持感，以充分发挥几何画板的优势。

第二，尺规的使用。

在使用几何画板时，尺规是必不可少的一个配件。

正确使用尺规可以使我们更为精确地测量线段的长度和角度，从而达到绘制准确的几何图形的目的。

当我们使用尺规时，应该注重以下几点：保持尺规与画板表面之间的垂直角度；恰当地使用不同形状的尺规头部以满足不同的测量需求；选择合适的尺规长度以便于操作。

第三，几何图形的绘制。

在绘制几何图形时，我们需要注意以下几点：首先，保持手的稳定以确保线条的平滑和精确；其次，注意画板与几何图形的相对位置，尽可能地减小人为绘制误差；最后，需要加强对几何知识的理解，通过多角度观察和绘制来深化对几何图形的认识和应用能力。

除了以上问题之外，我还从学习几何画板中体会到一些更为深刻的感悟。

首先，几何画板虽然在构建几何图形上有诸多优势，但是在实际应用中，我们需要克服一些困难，如加强个人手工技能、提高观察能力和敏锐的视觉观察能力，从而让几何画板成为我们继续深入学习几何知识的有力工具。

此外，我认为学习几何画板也可以促进我们对于几何知识的创新思维和想象能力，从而更好地理解和应用几何知识，培养创新能力和发掘个人才能。

总结初中几何中的常见错误总结初中几何是数学学科中的一门重要课程，涉及到平面几何和立体几何的基本概念、性质以及图形的推理和证明等等内容。

然而，由于初中生对于几何知识的理解和运用能力较弱，常会出现一些常见错误。

下面将对初中几何中的常见错误进行总结和分析。

1. 实际问题与几何图形的对应错误在解决与几何相关的实际问题时，学生常常将问题中的物理实体和几何图形之间的对应关系弄混。

例如，当问题描述到角度时，学生会将角度定义为物体的形状，而不是两条线之间的夹角。

这种错误通常会导致后面解题过程中出现混乱，进而影响到最终答案的正确性。

2. 变量设定的错误在解决几何问题的过程中，变量的设定是十分重要的一步。

然而，学生常常在设定变量时犯下错误。

例如，在证明两个几何图形相等时，学生会不恰当地将两个图形的边长设为相等的变量，而不是两个图形的对应边。

这样的设定错误会导致后续的证明过程出现错误，使得结论无法得到正确的证明。

3. 概念和定义的混淆初中几何中有许多重要的概念和定义，如角、直线、平行线等。

然而，学生往往会将这些概念和定义的含义弄混，导致在应用时出现错误。

例如，学生可能会将直线和线段的概念混淆，导致在题目中将线段误认为直线，从而得出错误的结论。

4. 图形的属性和性质的混淆初中几何中，图形的属性和性质是重要的基础知识。

然而，学生常常将图形的属性和性质混淆。

例如，在求解平行四边形的性质时，学生会将平行四边形的定义与其性质混淆，从而导致得出错误的结论。

正确理解和运用图形的属性和性质，是解决几何问题的重要基础。

5. 推理和证明的错误初中几何中，推理和证明是解决问题的重要方法。

然而，学生在进行推理和证明时常常出现错误。

例如，在证明两个三角形相似时，学生可能只根据边的比例关系来判断，而忽略了必要的角度相等条件。

这样的错误推理和证明会导致结论的错误，影响到问题的解决。

在总结和分析初中几何中的常见错误时，我们可以发现，这些错误大多源自于对几何知识的理解不深、记忆不牢固以及对问题的细节没有仔细思考等原因。

作业.(2010·浙江·理·T20)如图,平面PAC⊥平面ABC, △ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形.E,F,O分 别是PA,PB,AC的中点,AC＝16 , PA＝PC ＝10.
证明:在△ABO内存在一点M使得FM⊥平面BOE, 并求点M到OA,OB的距离.
z P
E
F
A
C
M
O
y
x
B
例3.(2011·福建·理·T20)
Hale Waihona Puke 几何方法:通过构造一C
个过点P且与AO垂直
的平面来确定点的Q
B
位置
AB 3 AQ
PO
M A
Q
例2.(2010·湖北·理·T18)如图,在四面体OABC中,OC ⊥ OA , OC ⊥ OB , ∠ AOB＝120°,且OA＝OB＝ OC＝1,P为AC中点,证明:在AB上存在一点Q,使得 PQ⊥ OA,并计算AB/AQ的值.
A
FG∥EC
D
B
C
例1.如图,在底面是菱形的四棱锥P－ABCD
中,∠ABC=60 °,PA=AC=1,PB=PD= 2 ,点E在PD
上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使
BF∥平面AEC ?证明你的结论.
P
A B
G E
F
O
C
思考3:若要确定平面
BFG∥平面AEC ,还需要
另一组平行线，你能通
C1
E
点F为C1D1的中点
A
MD
B
C 几何方法
向量方法
练习.(2010·湖南·理·T18)
如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中
点,在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE ?

形与几何的力从平面到立体的奇妙变化几何学作为数学的一个分支，研究的是空间的形状、大小、相对位置等属性。

而形状作为几何学的核心概念，影响着我们对世界的认知和理解。

本文将探讨形与几何的力在平面和立体中的奇妙变化。

一、平面几何：形与图形的力在平面几何中，形状与图形的力起到了至关重要的作用。

通过对线段、圆、三角形等基本图形的组合、分割和变形，我们能够创造出无尽的图形，展示出形与几何的奇妙力量。

1. 线段的力：线段是最简单的几何图形之一，通过改变线段的长度和位置，我们可以获得不同的形状。

例如，当我们将一条线段拉长或压缩，就能得到不同长度的线段，这展示了形对线段的力的影响。

2. 圆的力：圆是一种常见的几何图形，拥有独特的属性。

通过改变圆的半径，我们可以观察到形对圆的力的表现。

当半径增大时，圆的面积和周长也相应增大；反之，当半径减小时，圆的面积和周长也减小。

这种形与几何之间的力变化令人着迷。

3. 三角形的力：三角形作为三边形最简单的一种形式，呈现出了丰富多样的特征。

通过改变三角形的边长和角度，我们可以观察到形对三角形的力的作用。

例如，当三角形的边长不同，则三角形的形状也不同；当三角形两个角度不同，则三角形的形状也不同。

这种形与几何的力变化为我们理解三角形提供了新的视角。

二、立体几何：形的立体转变在平面几何转向立体几何时，形与几何的力呈现出了更加奇妙的变化。

在立体几何中，我们不仅需要考虑平面的形状，还要关注立体的体积、表面积等属性。

1. 立体图形的力：通过排列、组合或变形，我们可以创造出各种各样的立体图形。

例如，通过在正方体的各个面上粘贴不同大小的正方形，可以得到一个立方体；通过在三角形的三条边上加上等边三角形，则可以得到一个三棱柱。

这种形与几何的力变化使得我们能够创造和理解立体世界。

2. 体积与表面积的力：在立体几何中，体积和表面积是重要的属性。

通过改变立体图形的尺寸和形状，我们可以观察到形对体积和表面积的力的作用。

立体几何学不好的原因
立体几何学不好的原因可能有以下几个方面：
1. 缺乏空间想象力：立体几何需要学生具备较强的空间想象力，能够在脑海中构建出三维物体的形状和位置关系。

如果学生缺乏空间想象力，就会难以理解和掌握立体几何的概念和方法。

2. 数学基础不扎实：立体几何需要学生掌握一定的数学基础知识，如平面几何、代数等。

如果学生的数学基础不扎实，就会在学习立体几何时遇到困难。

3. 学习方法不正确：立体几何的学习需要学生采用正确的学习方法，如多做练习、多思考、多总结等。

如果学生没有采用正确的学习方法，就会导致学习效果不佳。

4. 缺乏兴趣：立体几何是一门比较抽象和枯燥的学科，如果学生对立体几何缺乏兴趣，就会缺乏学习的动力和热情，从而影响学习效果。

5. 教师教学方法不当：教师的教学方法也会影响学生的学习效果。

如果教师的教学方法单一、枯燥，或者没有针对学生的实际情况进行教学，就会导致学生学习困难。

针对以上问题，可以采取以下措施来提高立体几何的学习效果：
1. 培养空间想象力：可以通过观察实物、绘制立体图形、玩立体拼图等方式来培养空间想象力。

2. 加强数学基础知识的学习：可以通过复习和强化数学基础知识来提高学习立体几何的效果。

3. 采用正确的学习方法：可以多做练习、多思考、多总结，以及参加课外辅导班等方式来提高学习效果。

4. 提高学习兴趣：可以通过了解立体几何在实际生活中的应用、参加数学竞赛等方式来提高学习兴趣。

5. 改进教师教学方法：教师可以采用多样化的教学方法，如多媒体教学、实践教学等，以提高学生的学习效果。

@评价^ 立体几何问题常见的典型错误及应对策略王淼生#立体几何在高中数学中占有极其重要的地位.其 本质就是培养学生空间想象能力，优化数学思维品 质.但在命制或解答过程中，无论是教师还是学生甚 至专家都会出现这样或那样的典型错误.与高中数学 中其他知识模块不同的是，立体几何中出现的错误的 主要根源在于概念掌握不清.寻觅有效应对并减少乃 至杜绝这些错误的策略成为一线教师必须面对的课题•笔者从教三十余年，最大、最深的感受就是概念 及概念教学的重要性.概念是数学之魂、数学之根.笔 者近年来对高中数学主要知识模块（如三角、数列等）及核心概念（如定积分、基本（均值）不等式等）在教 授或应用过程中出现的常见典型错误进行深度剖析，有幸先后发表拙文[1] ~[1〇]等，其中文[3]、[6]、[7]全文转载在人大复印资料《高中数学教与学》上. 笔者有一个梦想,那就是渴望并继续将高中数学主要 知识模块及核心概念中常见、主要的典型错误归类，为师生奉献一份实用且珍贵的资料，让考生会且对、X#且全.基于这一心愿，本文在文[4 ]基础上进一步探究立体几何问题中常见的典型错误及应对策略.不当之处，敬请批评指正.1.书写不规范而导致错误【案例1】（注:这类案例在作业与考试中随处可见,囿于篇幅所限，此处略去具体案例）典型错误:证明过程中缺少关键词“相交直线”“直线在平面内”“在平面外'等等•应对策略:教师们批改作业时叹声一片:“为何这样粗心呢？为何不守规矩呢？……”其实教师并非责怪学生不会解答某一类试题，而是惋惜学生书写不规范，也就是常说的“会而不对，对而不全立体几何中，像这类因书写不规范而导致的常见典型错误主要有：① 证明直线与平面垂直时，没有强调“两条相交 直线”；② 证明平面与平面平行时，没有强调“两条相交 直线”；③ 证明直线与平面平行时，没有强调“平面内一 条直线、平面外一条直线”；*本文系全国教育科学“十二五”规划2015年度单位资助教育部规划课题“基于数学教学内容知识(MPCK)视角下的概念教学案例研究”（课题批准号FHB150464)研究成果.**王淼生,单位系福建省厦门第一中学，正高级教师，数学学科带头人，中国数学奥林匹克高级教练，厦门市专家型教师，厦门市杰出教师.68备考教学0)④证明直线与平面平行时，以为利用空间向量 (基底法或坐标法）求出直线方向向量与平面法向量 数量积为零即可，而没有强调“这条直线在平面外”.此外还有翻折问题中没有交代翻折前后角度及 距离是否变化;过点作平面垂线时没有铺垫两个平面 垂直，等等.2. 解答不严谨而导致错误【案例2】（注:这类案例在作业与考试中比比皆 是，囿于篇幅所限，此处略去具体案例）典型错误:求解三类角（异面直线所成角、直线与 平面所成角、二面角的平面角）时没有指明，更没有强 调所求角的取值范围.应对策略:教师们阅卷时痛心疾首:“这种问题天 天在强调！都已经讲过N 遍……”其实教师心塞的是 千叮咛、万嘱咐要特别注意立体几何中三类角的取值 范围，可学生在具体实施操作时根本就不顾及.像这 类因解答不严谨而导致的常见典型错误主要有：① 求异面直线所成角时，把角写成钝角或余弦值为负数；② 通过平移直线求异面直线所成角时往往说“则 就是……”，而没有指明“则(或其补角）就是……”；③ 求直线与平面所成角时，把角写成钝角或余弦值为负数；④求二面角的平面角时，一律看作锐角或者钝 角，而不会依据题意、图形先判断角的范围.此外还有不按右手法则建立空间直角坐标系;不 标明坐标轴;不加论证就默认三条直线两两垂直而建 系，等等.如果说上述两类典型错误的根源在于书写不规 范、论证不严谨，那么立体几何问题中，更多的错误根 源在于概念混淆、模糊不清.3. 对“平面”理解不透而导致错误【案例3】一个正四棱锥和一个正四面体的所有棱长都相等，将它们的一个三角形面重合在一起拼接 成一个新的几何体，则新的几何体是（）A .五面体B .六面体C .七面体D .八面体典型错误:命题专家认为有两个面重合，且重合 后“淹没”在新的空间几何体里面而“看不见”，因此 拼接得到的新几何体共有5 +4 -1 -1 = 7个面，即七面 体，故选C .错因及应对策略:案例3是一道美国竞赛试题， 那新的几何体到底有多少个面呢？请看：设满足条件的正四棱锥A与正四面体中的A 山重合，不难求得二面角与的平面角的余弦值分别为cos a = -f ，COS 0= ^■，故有= 即正四棱锥的面B y 与正四面体山的面在同一平面上， 同理可证正四棱锥的面C W 与正四面 体山M C 的面A 4'也在同一平面上，因此根据题意 可构成一个三棱柱，即为五面体，如图1，故选A .图1“平面”是不加以定义而直接描述的概念，是立体几何中最基础、最原始的概念.不少学生认为“平面” “简单”得可有可无，不少教师认为它“容易”得可讲 可不讲.事实上，“平面”是构建空间几何体最基本的 “原材料”，是一切空间图形的“基石”，因此必须舍得 花时间、花精力，采用“温火”方式细细“咀嚼”并贯穿 整个立体几何始终，方能品出其中内涵.4.因“凸凹”模糊不清而导致错误 【案例4】在棱长为6的正方体从中，36^ = 2^l 2拉 = ^X，连接E F ，F B ，E D ，，则几何体EFQ 的体积为_______________•典型错误1:如图2所示，由已知可得C = 4，求学^69C ，= 3，则心£F C i = 6，、■； = 18，依据台体体积公式可得V e f c _dbc = -^~x 6x (6+I S +^/6x 18 ) = 48 + 12v ^".◎评价D x Ecx图2典型错误2:连接仰，E C ，将几何体E F Q -/^C 分割成三棱锥扭X ：和四棱锥E -BCC ，，如图3所 示.由已知可得心£ = 4，(：，=3，依据锥体体积公式 可得图3错因及应对策略:上述两种解法看似正确，结果 却截然不同，原因何在呢？ “擒贼先擒王既然是求 空间几何体体积，那么必须从多面体概念“由若干个 平面多边形围成的几何体叫作多面体”入手.多面体 的概念看似极其简单，但要真正理解，却十分不易.我们顺着典型错误1的思路，即按棱台处理.要 利用棱台的体积公式来计算体积，首先几何体EFCi -必须是多面体，那这个几何体是多面体吗？显 然，由图2可知、A M C 、四边形DCC '、四边形5CC ，都是平面图形，但四边形根本就不是 平面四边形，为什么？我们从反证法视角来看:若四 边形是平面四边形，由于平面M C i )与平面 山仏平行，依据平面与平面平行的性质定理可得与平行，又与平行，则E F 与平行，这是不可能的，因为C = 4，C ，= 3.因此四边形B m F 不是平面四边形，当然几何体E F Q -Z )M不可能是多面体.既然不是多面体，那更不可能是棱台，这 正是上述典型错误1的根源所在.事实上，棱台可以视为用平行于棱锥底面的平面 去截棱锥，底面和截面之间的部分.既然棱台的“祖 宗”是棱锥，那么棱台就可以还原为棱锥，即棱台各条 侧棱延长后必然相交于一点.我们从逆否命题视角来看:若侧棱延长不相交于一点，那么就不是棱台.为此 我们假设的延长线与的延长线相交于点P ，则P 点必然在直线C Q 上，利用相似的性质可得PC , _FC x_3 PC , _EC X_ A、3 _4出现矛盾！故几何体E F Q -D B C 不可能是棱台， 再一次说明这种解法是错误的.初看典型错误2似乎正确，其实不然！因为由图 4发现几何体-D B C 其实是凹多面体，而上述典 型错误2本质上默认了所求几何体E F q -D B C 是凸 多面体，这正是上述典型错误2的症结所在.那正确 解法是什么呢？请看：连接，将几何体E F Q -D B C 分割成三棱 锥和四棱锥，如图4所示.由已知可得C '= 4，Q F = 3，依据锥体体积公式可得图4这一凸一凹正好相差6，这就是为何上述典型错 误2比正确解答的结果多6的原因所在.7〇EhM^目前各种版本教科书上呈现的几何体大多是凸多面体（注：教科书中的面积及体积公式也是针对凸多面体而言的），因此学生（甚至部分教师）误 以为多面体都是凸多面体，因此教师在教学中应该 明确指出并非所有几何体都是凸多面体，并适当举 一些凹多面体案例让学生辨析，同时恳请教科书主 编在再版时适当添加凸多面体概念，这样可以更加 有效地降低这些错误发生的概率.正如文[6]所 言，剖析概念就是“照镜子”，即深刻反思教师概念 教学中的失误之处，诚恳看作检查自己教学效果的 一面镜子，提高自身业务水平；剖析概念也是“治 病根”，即顺着思路，追根溯源，深究错误起因、深 挖错误根源，从本源上找出“元凶”、铲除“土壤”、肃清“根基”，真正巩固概念.类似错误经常发生在对复杂空间几何体分割或补体中.5."正棱柱”概念一知半解而导致错误【案例5】一个棱柱是正四棱柱的条件是（)A. 底面是正方形，有两个侧面是矩形B. 底面是正方形,有两个侧面垂直底面C. 底面是菱形，有一个顶点处的三条棱两两垂直D. 每个侧面都是全等矩形的四棱柱典型错误:几乎绝大部分考生不假思索地否定C 或D而毫不犹豫地选择A或B.错因及应对策略:案例5是某地高三模拟试题，是依据教材习题改编而来，看似简单但得分的统计结 果让人大跌眼镜，仅仅不到5%的学生答对！为什么？因为正棱柱定义明确要求底面必须是正多边形.殊不 知，正方形就是特殊的菱形，就是菱形与矩形的“交 集'况且正棱柱还有一个“致命”条件，即必须满足是 直棱柱，A中“两个侧面是矩形”并不能保证侧棱与底 面垂直;同理B中“两个侧面垂直于底面”也不能确保 侧棱与底面垂直，因而A和B都是错误的.其实只要 将A与B条件中添加两个汉字“相邻”，那么都是正 确的.因为“相邻两个侧面是矩形”与“相邻两个侧面 垂直于底面”的棱柱都可以证明是直棱柱，鉴于此，选 择支D必然是直棱柱，但是其底面可能是菱形，故只能选择C.由C中条件“有一个顶点处的三条棱两两 垂直”不仅容易证明侧棱与底面垂直，而且还可以得 到底面四边形有一个内角为直角，结合已知“底面是 菱形”，则底面是正方形，因此选择支C才是正确的.概念是数学的细胞，概念是数学的灵魂，概念是 形成数学能力的根基，唯有厘清概念才是解决问题的 法宝.类似错误也常见于正棱锥、正棱台的有关问题 中，应该引起师生的高度关注.6.难以构造恰当模型而导致错误【案例6】已知a,6是两条异面直线，以下四个 命题：① 过不在^ 6上的任意一点，可作一个平面与^ 6都平行；② 过不在a,6上的任意一点，可作一条直线与a, 6都相交；③ 过不在a,6上的任意一点，可作一条直线与a, 6都平行；④ 过a可以并且只可以作一个平面与6平行.其中假命题的序号为___________•典型错误:学生普遍对相关概念模糊不清，认为 命题①与命题②是真命题.错因及应对策略:面对案例6,很多考生几乎无 从下手，一会儿感觉上述命题都是真命题，可又无法 严密论证;一会儿感觉上述命题都是假命题，可又举 不出反例，只能瞎蒙.某地曾将案例6作为招聘教师 的考题，结果90%的教师答错.事实上，新课标教科 书与原来教科书之间的差异不仅体现在内容编排顺 序上,更凸显在课改理念上.新课标教科书自始至终 贯彻“直观感知、动手操作、论证推理、度量计算”的 理念，其中将“直观感知”突出体现在最熟悉、最简 单、最有效的“长方体”模型上.因此在解决立体几何 问题，尤其是涉及异面直线的问题时,我们更应该牢 记“长方体”这一最佳、最美载体，正可谓“得长方体 者得立体几何天下也其实,对于①，如图5所示，我们把棱皂R所 在直线分别看作异面直线《，6,确实存在过不在异面备考教学0)71直线a，6上的某些点，可以作一个平面与a，6都平行.比如过长方体从的棱C Q上的点M (不包括端点）所作的平行于平面的平面M7VP(?都满足条件.那么究竟有哪些点不满足呢？我 们知道对于异面直线a，6来说，必然存在一对分别过 a，6的平行平面a(即为平面皂)，（即为平面 ABC/))，此时只要点F落在平面a或平面0内（如图6 所示），那么过点F就不能得到满足题意的平面，故① 是假命题.这样做不仅使学生真正理解概念，而且心 中明白到底哪些点满足、哪些点不满足.学生一旦掌 握，以后再也不会出现类似错误.◎评价对于②，同理可得当F e平面从C D或点F e平 面皂仏Q仏（如图6所示），不可能作一条直线同时与 a，6都相交.至于③，利用反证法可以立即予以否定.④的本质就是求异面直线所成角时，将直线6平移到直线6'，且直线6'与直线a相交，此时相交直线确定 唯一的平面，即为所求作的唯一平面（如图7所示），故④是真命题.因此假命题的序号为①②③.新课标人教版教科书主编在书首“主编寄语”中明确指出，数学是清楚的.清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论.数学中的命题，对就是对，错就是 错，不存在丝毫的含糊.阐述数学概念，既可以从正面 给予严密论证，也可以从反面结合模型（即反例）进行 否定，这样一正一反，相得益彰，交相辉映，从而实现 概念清晰化、准确化、精致化.72 k h___7.无法与其他知识综合运用【案例7】如图8所示，在A从(：中，从= BC= 2, Z从C= 120。

第十八章立体几何学情与教材分析引言本文档旨在分析第十八章立体几何学的学情和教材，并提供相关建议。

通过对学情的了解和教材的分析，我们可以为教学过程的设计和研究效果的提升提供指导。

学情分析学生背景学生在进入第十八章时应已掌握了立体几何学的基础知识，包括平面几何的基本概念、几何变换以及相关定理和公式。

他们应该对点、线、面的性质和关系有基本理解，并能够运用几何知识解决简单问题。

研究态度学生的研究态度对立体几何学的研究效果至关重要。

在学情分析中，我们应关注学生对立体几何学的兴趣、动机和研究能力。

了解学生的研究态度有助于我们设计出能够激发他们研究兴趣和提高研究效果的教学策略。

研究困难与需求在学情分析中，我们还应关注学生在立体几何学研究过程中可能遇到的困难和需求。

这些困难和需求可能包括对抽象概念的理解困难、问题解决能力的培养需求以及数学推理能力的巩固等。

教材分析内容概述第十八章立体几何学主要涵盖了几何体的性质、计算表面积和体积的方法、几何体的投影和截面等内容。

通过研究这些内容，学生可以深入了解立体几何学的基本概念和相关推理方法，并能够应用这些知识解决实际问题。

教材特点教材在设计上应注重激发学生的兴趣和培养他们的思维能力。

合适的例题和题可以帮助学生巩固所学知识，并提供实际应用的机会。

此外，教材还应提供多样化的教学资源，如图示、实验或计算器等，以满足学生研究的不同需求。

教学建议针对学情和教材分析，我们提出以下教学建议：1. 创设情境：通过实际生活中的例子和实践活动，激发学生对立体几何学的兴趣和研究动机。

2. 强化基础知识：确保学生对基本几何概念和定理的理解和掌握，建立牢固的基础。

3. 提供实践机会：设计一些实际应用的问题和活动，让学生能够将所学知识应用到实际生活中，增强他们的问题解决能力。

4. 多元化教学资源：在教学过程中使用多样化的教学资源，如图示、实验或计算器等，以满足学生研究的不同需求。

5. 个性化辅导：对于研究困难的学生，提供个性化的辅导和帮助，帮助他们克服困难，提高研究效果。

立体几何问题中的易错点剖析作者：***来源：《中学生数理化·高考数学》2020年第12期立體几何是高中数学重要内容之一，高考常考题型有三视图、线面位置关系的证明与判断、空间角的计算、动态问题、翻折问题等，其主要考查同学们的空间思维能力和逻辑推理能力，有时一些角度和距离问题也可以用空间向量来解决，较多问题属于基础题，难度适中。

同学们在复习过程中会因认知受限，容易出现错解，本文对立体几何中的易错问题归类剖析，以助同学们解题时能乘风破浪，所向披靡。

易错点1——忽视了三视图中的虚线点睛：在三视图中，规定看得见的棱画成实线，看不见的棱要画成虚线，因此，我们在看三视图时一定要看清楚虚实线。

易错点2——混淆了三视图中长度的真正意义例2 已知某几何体的三视图如图4所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为____，最长棱长为 ___ 。

错解：最短棱长为√2;最长棱长为2√2。

错因剖析：将正视图和侧视图中的√2当作了底面边长，实际上，正视图中的√2指的是OA和OC的长，侧视图中的√2指的是OB和OD的长。

正解：根据三视图画出其直观图，该几何体是一个四棱锥（如图5），通过计算，易知最短棱PD及底面边长均为2，最长棱为PB =2√3。

点睛：三视图中的线段长并不能简单地认为就是棱的实际长度，当棱平行于所视方向时，看到的只是一个点，当棱斜对所视方向时，看到的长度小于实际长度，只有当棱垂直所视方向时，它代表的才是实际长度。

易错点3——无法～断翻折问题中角度的大小变化例3 如图6，在矩形ABCD中，AB =4，AD=3，E为边AD上的一点，DE=1，现将△ABE沿直线BE折成△A' BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A '-BE-C的大小为θ，直线A'B，A'C与平面BCDE所成的角分别为a，β，则（）。

眚 Ｉ ｝ 口 亿・ 教育教学研究
２ ０ １ ３ 第 １ １ 期 （ 总 第 ８ ３ 期 ）
如 何解 决立体 何教学 的难 点
口 刘庆 民
历年来立体几何 的学习都是个难点 ， 学生 在 立体几 何部 分 的学 习中易 出现 以下 几种 情 况： 空间想象力 不够 ； 概 念不清 ， 仅 注意概念 中 较 明显 的特征 ； 图形 中各元素关 系理解错误 ； 符 号语 言不会运 用 ； 语言 表述 欠准 确 ， 不 能准 确 使用 数学术语 ， 表达不 够规范 、 严谨 ； 语言 表达 能力差 ， 对“ 作、 证、 求” 三 个环节 交代 不清 ， 因 果关 系不充分 ， 从而导 致的证题 的书面表 达上 的错 误 ； 此外 ， 高 中课程 内容也多 ， 每节课 容量 远大于初 中 ， 这些都是 立体几何 “ 难 学” 的客观 性原则。 首先， 在 图形方面 ， 不但要学会看 图， 而 引导学 生发现规律 ，让学生通过 自己的努力得 且要学会画图 ，通过看图和画图培养 自己的空 到相应的结论 ，而不 是以简单方 式把结论直接 间想象能力是非常重要 的。其次 ， 在语言方面 ， 告诉学生， 同时让学生明白， 对不同问题只要不满 很多同学能把问题想清楚 ， 但是一落在纸 面上 ， 足于停留在表面， 敢于 自己主动发现问题 ， 敢于深 不成话。需要记住的一句话——几何语言最讲 入过去善于归纳总结 ， 就会有所发现， 有所创造 ， 究言之有据 ， 言之有理 。 也就是说没有根据的话 则此使学生感受到一种成功感 ， 增强了学习的兴 不要说 ， 不符合定理 的话不要说。 趣与自信， 切实变被动为主动 ， 变学会为会学 。 二、 激 发兴趣 ， 严 格要求 。 启发 学生的数 学 在证 明题 目 时要从以下两方 面去思考 ： 思维 。 提高学生的数学素质 是把几何 中所 有的定理分类 ：按定理 的 立体几何教材的编排， 为学生灵活运用知识 已知条件分类是性质定理 ， 按定理的结论分类是 原因 。 解决实际问题， 充分发挥学生发散思维和创 新思 判定定理。如 ： 平行于 同一条直线 的两条直线平 其教学 目标既注重学生数学 行 ， 针对这些 问题 ，在教学 中我认 为可以采取 维搭建了学习平 台， 既可以把它看成是两条直线平行的性质定理， 如下措施 ： 素养的培养， 又关 注学生创新思维和创 新能力的 也可 以把它看成是两条直线平行的判定定理。 放慢进 度 。 立足 基础 ． 培 养学 生的空 间 培 养， 注 重学生 自我学 习能力和 自我 发展的培 二是明确 自己要做什么 ：一定要 知道 自己 观念 。 增强学生的学 习信心 养。 教学 中应重视激发学生的学习兴趣 ， 启发学 要做什么 ！ 在证 明之前就要设计好路线 ， 明确 自 由于高中立体几何与初中几何基本没有联 生思维 的同时 ， 重视对学生数学素质 的培养。 在 己每一步 的 目的，学会做辅助线 ，学会 大胆假 系 ，所以在立体几何部分的入门教学 中要放慢 解题 时 ， 还要 经常注意引导学生从 不同的方面 ， 设， 仔细推理。 进度 ， 加强基本概念 、 基础知识的教学 。讲课时 探求解题途径 ， 以求最佳解法 。 鼓励学生有理有 立体几 何所研 究的 问题 是空 间中的 问题 ， 要注意 由浅人深 、由易到难 ，尽量降低学 习坡 据的 自由争辩 ，有利 于培养 学生独立思考和勇 这与初 中学习的平面几何有所不 同。 所 以， 立体 度， 分散难点 ， 给予模仿性练习 的机会 。降低教 于发表不 同见解 的思 维品质 ，寻找到独特 的解 几何 的学 习， 需要建立 空间的观念 ， 多画立体 图 材梯度 ， 培养学生的空间观念 ， 提高学生 的可接 题方法 。 形、 树立 图形观就显得很重要 了。但 是 ， 也不能 受性 ， 增强学生学习信心 ， 提高学生的学习积极 三、 精心 准备 。 训练 思维 。 引导学 生发 现解 被 图形所局 限， 否则 ， 问题 的本质有 时候 会把握 性。教学时可采取师生共 同探讨 ， 教师引导鼓励 题规律 ， 培养学生的解题能力 不住 。总之 ， 在 熟练掌握立体几何的基本公理 、 学生总结和发现规律 ，巧设质疑让学生 自 主探 学 习的 目的在于运用 ，在 运用中培养学生 定 理 、 推论 的大前提下 ， 多做一些 练习题 ， 渐渐 索， 在 自主探索 的同时感觉到一种成就感 ， 从而 的思维 与解题 能力 ， 是 数学教 学的一个重要环 地感觉就会很好 了 ，学 习立体几 何也就不会觉 对今后的学 习增强 自 信。 这样安排 ， 符合 学生 的 节 。立体 几何教 学中 ， 要 加强变式训练 ， 使学生 得 很 难 了。 年龄特点 ，也符合教学 中的可接受原则 与科学 理解和掌握知识的情况及时得到反馈 。教师应 （ 作者单位 ： 河南省方城县第一高级中学 ）

立体几何学习中需要注意的几个问题对于有些同学而言，立体几何学起来相当吃力，问题有很多方面。

学习立体几何首先要确立立体图形，就是说你首先要在脑子里确立立体图形，和要有比较强的绘画立体直观图形的能力。

我在这里给你提供几种增强识图的能力方法，一种方法是你看着物体然后在脑子里想它，在脑子里确立它;另一种方法是你仿照课本上的图形多画图。

如果你的识图能力增强，对学习立体几何相当有益。

再则你想找二面角，首先你要找到面与面的交线，然后在交线上一点出发做交线的垂线，所得到的角小的一角就是二面角了。

求二面角有两种办法，一种是直接根据余角定理求，另种是根据向量求，根据公式即可很好的求的。

另外，立体几何中抓住向量这个重要工具，如点到直线的距离，抓住直线的方向向量，找二面角的平面角而不是二面角，二面角的平面角等于二面角的大小。

具体你可以，比如先求平面的法向量，那么两个平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。

求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。

对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。

不断总结，才能不断提高。

立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

立体几何是中学数学的一个难点，学生普遍反映“几何比代数难学” 。

但很多学好这部分的同学，又觉得这部分很简单。

我这里只是从大的方面讨论学习方法。

、空间想象能力的提高开始学习的时候，首先要多看简单的立体几何题目，不能从难题入手。

自己动手画一些立体几何的图形，比如教材上的习题，辅导书上的练习题，不看原图，自己先画。

画出来的图形很可能和给出的图不一样，这是好事，再对比一下，那个图更容易解题。

、逻辑思维能力的培养培养逻辑思维能力，首先是牢固掌握数学的基础知识，其次掌握必要的逻辑知识和逻辑思维。

1.加强对基本概念理解数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一，理解与掌握数学概念是学好数学，提高数学能力的关键。