高数 第九章 超详细

f ( x + Δx , y , z ) − f ( x , y , z ) f x ( x, y, z ) = lim Δ x →0 Δx f y ( x, y , z ) = ?
（请自己写出 ）
o
o
{
}
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2. 区域 (1) 内点、边界点、聚点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P)⊂ E , 则称 P 为 E 的内点；
E
• 若点 P 的任一邻域中既含 E 的点也含不属于 E 的点 , 则称 P 为 E 的边界点. • 若点 P 的任一邻域中均含 E 的无穷多个点，则 称 P 为 E 的聚点. 注：E 的内点必属于 E , E 的内点必是聚点. E 的边界点、聚点可能属于 E, 也可能不属于 E .
{z
为函数的值域.
z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D }
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注1: 函数的相等： 定义域完全相同，对应点的值完全相等！ 1 如： z = ln xy ≠ ( ln x + ln y ) 2 注2: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ∈ D 的图像是 (x, y, f (x, y)) 构成的空间曲面.
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2
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lim lim lim lim 二次极限： x → x y → y f ( x, y ), y → y x→ x f ( x, y )
0 0 0 0
(1) 与二重极限 lim f ( x, y ) 不同.
x → x0 y → y0
xy , 例如, f ( x, y ) = 2 2 显然 x +y
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第三节 偏导数
一、偏导数的概念及其计算 二、高阶偏导数
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一、偏导数的概念及其计算
定义1. 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
f ( x0 + Δx , y0 ) − f ( x0 , y0 ) lim Δx Δx →0 存在, 则称此极限为 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x
2 2
x →0 y →0
要证 1 2 2 证: ∵ ( x 2 + y 2 ) sin 2 − 0 ≤ x + y <ε 2 x +y
∴ ∀ε > 0, ∃ δ = ε > 0, 当 0 < x 2 + y 2 < δ 时,
f ( x, y ) − 0 < ε
即证！
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注：若当点P (x , y )以不同方式趋于P0 (x0 , y0 ) 时, 函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定 函数极限不存在 .（唯一性，………….） xy 在点 (0, 0) 的极限. 例2. 讨论 f ( x, y ) = 2 2 x +y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = kx 趋于点 (0, 0) , 则有
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同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) = lim
f ( x0 , y0 + Δy) − f ( x0 , y0 )
Δ y →0
Δy
d = f ( x0 , y) y = y0 dy 若函数 z = f (x, y) 在定义域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
1 2
x
y o
x
1 2
o
x
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二、二元函数
定义1. 设 D 为平面非空点集，若对任意 ( x, y ) ∈ D, 变量 z 按照一定的对应法则 f 总有唯一确定的数 则称 z 是( x, y ) 的函数，或称 f 是定 值与之对应， 义在 D 上的二元函数，记作： z = f ( x, y ) 平面点集 D 称为函数的定义域，x , y 称为自变量， z 称为因变量, 称
P → P0
lim f ( P ) = lim f ( x, y ) = A
x → x0 y → y0
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1 例1. 设 f ( x, y ) = ( x + y ) sin 2 , ( x 2 + y 2 ≠ 0) 2 x +y 求证：lim f ( x, y ) = 0 .
kx k lim f ( x, y ) = lim 2 = 2 2 2 x →0 x →0 x + k x 1+ k
y = kx
2
因为k 值不同极限不同 ! 故 f ( x, y ) 在 (0,0) 点极限不存在.
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1 − cos x 2 + y 2 例3. 求 lim x →0 ln(1 + x 2 + y 2 ) y →0
解: 令 r =
x +y , 则
2 2
r2 / 2 1 1 − cos r = lim 2 = 原式 = lim 2 r →0 r r →0 ln(1 + r ) 2 r 1 r → 0 时， − cos r ∼ , ln(1 + r 2 ) ∼ r 2 注:（1） 2 （2）通过变量代换化为一元函数极限！
在全平面连续.
证: 在 ( x, y ) ≠ (0,0) 处 , f ( x, y ) 显然连续. 又
0≤
xy x2 + y2
x →0 y →0
1 2 1 x +y 2 = x +y ≤ 2 2 2 x +y 2
2
2
由夹逼准则
lim
xy x2 + y2
= 0 = f (0,0)
故 f (x, y) 在(0, 0)连续, 所以在全平面连续！
x →0 y →0
lim lim f ( x, y ) = 0 , lim lim f ( x, y ) = 0
y →0 x →0
但由例2 知它在 (0, 0) 点二重极限不存在 . (2) 如果它们都存在，则三者相等. （P306 定理1）
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二、二元函数的连续性
定义2. 设 P0 (x0 , y0 ) 为 z = f (x, y) 的定义域 D 的 聚点，且 P0 ∈ D , 如果 lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ),
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例如：
1 ⎧ 2 2 , ⎪( x + y ) sin 2 2 x +y f ( x, y ) = ⎨ ⎪ 0 ⎩
x2 + y 2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
在点(0 , 0) 连续（例1）. （在任意点均连续）
1 x2 + y2 = 1 又如：f ( x, y ) = 2 在圆周 2 x + y −1 上间断.
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三、有界闭区域上二元连续函数的性质*
定理：若 f (x ,y) 在有界闭域 D 上连续, 则 (1) f (x ,y) 在D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; （最值定理） (2) f (x ,y) 在D 有界 ; （有界定理） (3) 对任意 C ∈ [m , M ], 至少 ∃ (ξ ,η ) ∈ D，使 f (ξ ,η ) = C. （介值定理） (4) ……….. （零点定理） 注：多元函数…………..
{
}
为点 P0 的δ邻域.（以 P0 为圆心δ为半径的圆盘） (2)称 U (P0 , δ) = ( x , y ) 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 为点 P0 的去心δ邻域. 注： 若不强调邻域半径δ, 也记成 U ( P0 ) , U ( P0 ).
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例如，在平面上 ♣ { ( x, y ) x + y > 0 } ♣ { ( x, y ) 1 < x 2 + y 2 < 4 } ♣ { ( x, y ) x + y ≥ 0} ♣ { ( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 } y 闭区域 开区域
y o y o x
结论: 一切二元初等函数在其定义区域内连续. 求 lim
( x y + 1) − 1 1 1 = lim 解: 原式 = lim = x → 0 xy ( x y + 1 + 1) x →0 x y + 1 + 1 2
y →0
y →0
2
x →0 y →0
xy +1 −1 . xy
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第二节 二元函数的极限与连续
一、二元函数的极限 二、二元函数的连续性 三、有界闭区域上二元连续函数的性质
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一、二元函数的极限
定义1. 设 P0 (x0 , y0 ) 为二元函数 z = f (x, y) 定义域 D 的聚点，若存在常数 A 满足： ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 P ( x, y ) ∈ D ∩ U ( P0 , δ) 时， f ( x, y ) − A < ε , 则称 A 为z = f (x, y) 当 ( x, y ) → ( x0 , y0 ) 时的二重极限， 记作
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第九章 多元函数微分法及其应用
一元函数微分学