人教版2018最新版本高考数学一轮复习6.7直接证明与间接证明(专题拔高特训-通用版)

• (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条
件．( × )
• (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(× )
• (4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展
现解决问题的过程．( √ )
• 解析：(1)正确．
• (2)错误．分析法是从要证明的结论出发，逐 步寻找使结论成立的充分条件，不是充要条 件．
(2)分析法 ①定义：从要证明的__结__论____出发，逐步寻求使它成立的__充___分___条__件_，直至最 后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理 等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②框图表示： Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 得到一个明显成立的条件 .
• (2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可 以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、 公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的 矛盾必须是明显的．
【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a1＝1＋ 2，S3＝9＋3 2. (1)求数列an的通项an与前n项和Sn； (2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为比数列．
• (3)错误．用反证法证明时，推出的矛盾可以 与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛 盾．
• (4)正确．
• 2．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜
D，这里①是②的( B )
• A．充分条件
B．必要条件
• C．充要条件 要条件
D．既不充分也不必
• 解析：由题意可知，应有②⇒①，故①是② 的必要条件．
【例1】 已知a＞0，求证： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
证明：要证 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2，

∴当 n∈ N 且 n≥2 时， 3 3 2bn－ 1 1 1 bn＝ f(bn－ 1)＝ · ⇒bnbn－ 1＋ 3bn＝ 3bn－ 1⇒ － 2 2 bn－ 1＋3 bn bn－ 1 1 ＝ . 3
1 ∴ 是首项为 b n
1 1，公差为 的等差数列． 3
触类旁通 综合法证明的思路 (1)综合法是 “由因导果 ”的证明方法，它是一种从已知 到未知 (从题设到结论 )的逻辑推理方法，即从题设中的已知 条件或已证的真实判断 (命题 )出发，经过一系列中间推理， 最后导出所要求证结论的真实性． (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × ) 2．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成 立的充要条件．( × )
3 ． 用 反 证 法 证 明 结 论 “a ＞ b” 时 ， 应 假 设 “a ＜ b”．( × ) 4．证明不等式 2＋ 7＜ 3＋ 6最适合的方法是分析 法．( √ )
解析
b－ a 1 1 < 成立，即 <0 成立，逐个验证可得，①② a b ab
④满足题意．
4．[2017· 福建模拟] 设 a>b>0，m＝ a－ b，n＝
a－b，
m<n 则 m，n 的大小关系是________ ．
解析 解法一： (取特殊值法 )取 a＝2， b＝ 1，得 m<n. b2－ 2 ab <0 ，∴ m2<n2 ，∴ 解法二：(作差法 )由已知得 m>0，n>0，则 m2－ n2＝ a＋ b － 2 ab － a ＋ b ＝ 2b － 2 ab ＝ 2 m <n .

第五节 直接证明与间接证明1．直接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．( )(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法D ．归纳法B [要证明3＋7<25成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]3．用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根A [“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的反面是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”，故选A.]4．已知a ，b ，x 均为正数，且a >b ，则b a 与b ＋xa ＋x的大小关系是__________．b ＋x a ＋x >b a [∵b ＋x a ＋x －b a ＝x a －ba ＋x a>0， ∴b ＋x a ＋x >ba.] 5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角形．等边 [由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．]已知正方体11111111AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． [证明] (1)如图所示，因为EF 是△D 1B 1C 1的中位线，所以EF ∥B 1D 1.2分在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ，所以EF ∥BD ，4分 所以EF ，BD 确定一个平面， 即D ，B ，F ，E 四点共面.6分(2)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设平面A 1ACC 1确定的平面为α， 又设平面BDEF 为β. 因为Q ∈A 1C 1，所以Q ∈α. 又Q ∈EF ，所以Q ∈β， 则Q 是α与β的公共点.10分 同理，P 点也是α与β的公共点.13分 所以α∩β＝PQ . 又A 1C ∩β＝R ，所以R ∈A 1C ，则R ∈α且R ∈β， 则R ∈PQ ，故P ，Q ，R 三点共线.15分[规律方法] 综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤g (x ). 【导学号：51062204】 [解] (1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，2分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g＝f ，f＝g，解得a ＝0，b ＝1.7分(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x ) ＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.12分所以h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x ).15分已知a >0[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.4分 因为a >0，故只需要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，10分从而只需要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.15分[规律方法] 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．[变式训练2] 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. [证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1，3分 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，8分又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，13分即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立.15分设{a n }(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n1－q，q ≠1.7分(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1.12分 ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列.15分 [规律方法] 用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)[变式训练3] 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根. 【导学号：51062205】[证明] 假设三个方程都没有实数根，则。

第五节直接证明与间接证明1．直接证明——综合法、分析法内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果(顺推证法)执果索因(逆推证法)框图表示P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等，Q表示所要证明的结论P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……，所以……，或由……得……，或“⇒”要证(欲证)……，只需证……，即证……2．间接证明——反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q 是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法．,(1)分析法的特点①当命题不知从何入手时，可以运用分析法来解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效．②分析法证明过程不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件．(2)应用反证法证题注意事项应用反证法证题时，必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)一些常见词语的否定一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (3)用反证法证明结论“a ＞b ”时，应假设“a ≤b ”．( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、选填题1．命题“对任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论，故选B. 2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是( ) A ．假设三个内角都不大于60° B ．假设三个内角都大于60°C ．假设三个内角至多有一个大于60°D ．假设三个内角至多有两个大于60°解析：选B 根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.故选B.4．若2，3，x 成等比数列，则log 2x ＝________.解析：由题意得(3)2＝2·x ， 所以x ＝32，所以x ＝92.设log2x ＝y ，即⎝⎛⎭⎫32y ＝92＝⎝⎛⎭⎫322， 所以y ＝2，即log 2x ＝2.答案：25.6－22与5－7的大小关系是________． 解析：假设6－22＞5－7，由分析法可得， 要证 6－22＞5－7，只需证 6＋7＞5＋22， 即证13＋242＞13＋410，即42＞210. 因为42＞40，所以6－22＞5－7成立． 答案：6－22＞5－7考点一综合法的应用[师生共研过关][典例精析]数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞n n ＋1.[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1， ∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n＝2， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.法二：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞1，又∵1＞n n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞n n ＋1.[解题技法]掌握综合法证明问题的思路[过关训练]已知a ，b ，c 都为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明：(1)∵(a ＋b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤(a ＋b ＋c )＋(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝3，∴a ＋b ＋c ≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．(2)∵a ＞0，∴3a ＋1＞0， ∴43a ＋1＋(3a ＋1)≥2 43a ＋1(3a ＋1)＝4， 当且仅当43a ＋1＝3a ＋1，即a ＝13时取“＝”．∴43a ＋1≥3－3a ，同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ， 以上三式相加得4⎝⎛⎭⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32，当且仅当a＝b＝c＝13时取“＝”．考点二分析法的应用[师生共研过关][典例精析]若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[证明]要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2ac cos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[解题技法]1．利用分析法证明问题的思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．[过关训练]1．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：要证明2a3－b3≥2ab2－a2b，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即证2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即证(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.2．已知a＞0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明：要证 a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2，只要证a 2＋1a2＋2≥a ＋1a ＋ 2.因为a ＞0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22，即证a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥ 2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 考点三反证法的应用[师生共研过关][典例精析]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． [解] (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p ＜q ＜r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p ＜q ＜r ， 所以r －q ∈N *，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不等立． 所以假设不成立，原命题得证．[解题技法]用反证法证明数学命题需把握的3点 (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．[过关训练]1．已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，故假设错误．所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.2．已知f(x)＝ln(1＋e x)－mx(x∈R)，对于给定区间(a，b)，存在x0∈(a，b)，使得f(b)－f(a) b－a＝f′(x0)成立，求证：x0唯一．证明：假设存在x0′∈(a，b)，x0∈(a，b)，且x0′≠x0，使得f(b)－f(a)b－a＝f′(x0′)，f(b)－f(a)b－a＝f′(x0)成立，即f′(x0)＝f′(x0′)．因为f′(x)＝e x1＋e x－m，记g(x)＝f′(x)，所以g′(x)＝e x(1＋e x)2＞0，f′(x)是(a，b)上的单调递增函数．所以x0＝x0′，这与x0′≠x0矛盾，所以x0是唯一的．。