运筹学习题答案(第一章)

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运筹学课后习题答案

第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。

运筹学课后习题答案

运筹学习题答案(1)

第一章线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。

Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。

（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

运筹学习题答案(第一章)

无穷多最优解， x 1 1, x 2 1 3 , Z 3 是一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2 (2) 2 x1 x 2 2 st . 3 x 1 4 x 2 12 x , x 0 2 1
该问题无解
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School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
min Z 2 x 1 2 x 2 3 x 3 (2) x1 x 2 x 3 4 st 2 x1 x 2 x 3 6 x 0 , x 0 , x 无约束 2 3 1
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运筹学教程
第一章习题解答
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 3 x 2 6 x 3 3 x 4 9 8 x 1 x 2 4 x 3 2 x 5 10 st 3 x x6 0 1 x j 0（ j 1, , 6） , (1)
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
0 0 2/5
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0.5 0 0
2 1 11/5
0 1 0
5 5 43/5
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
max Z 10 x 1 5 x 2 (1) 3 x1 4 x 2 9 st . 5 x 1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2

运筹学1至6章习题参考答案

0
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
0
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]

运筹学答案第一单元

第1章训练题一．基本技能训练1．用图解法求解下列线性规划问题（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+≤++=0,41501053max 212212121x x x x x x x x x z （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,23364min 21212121x x x x x x x x z （3）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--≥-+=0,25.0122max 21212121x x x x x x x x z （4）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥-+=0,33022max 21212121x x x x x x x x z1．用图解法求解下列线性规划问题(1). 唯一最优解14,)4,2(**==z X T； (2). 唯一最优解9,)21,23(**==z X T ； (3). 无界解； (4). 无可行解；2．用单纯形法求解下列线性规划问题（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,1823122453max 21212121x x x x x x x x z （2） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≤+-≤+++-=0,,201026032max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤--++++=0,,,1032425823320446581026max 43214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤+-≤++-++=3,2,11722044132246max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z （5）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++≤++++=0,,1234166482212322532max 3213231321321321x x x x x x x x x x x x x x x x z （6）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤++++++=0,,,9005387800584548024821004016090max 43214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z（7）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≥+=0,4.126.18.018001000min 212121121x x x x x x x x x z （8）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0,,62382432min 32121321321x x x x x x x x x x x z （9）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥++≤++-≤++++=0,,52151565935121510max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z （10）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++=++-++=0,,,1022052153232max 432143213213214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （11）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0,,0222622max 3213231321321x x x x x x x x x x x x x z （12） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≤++++=无约束，3213213213213210,101632182635max x x x x x x x x x x x x x x x z （13）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-=0,5623min 21212121x x x x x x x x z （14）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤++=0,1262385max 21212121x x x x x x x x z（15）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++-+-=0,,1043223232min 321321321321x x x x x x x x x x x x z （16）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤-+≤+++-=0,,9362122max 32121321321321x x x x x x x x x x x x x x z（17）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-+≤-++-+--=0,,,41232642532min 4321431432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （18）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤+-≥+--≥---=0,16482623323min 212121212121x x x x x x x x x x x x z （19）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤+≤+++=0,,132173132343max 3213213231321x x x x x x x x x x x x x z （20）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≥+-≥++-+=0,,452233min 32132121321321x x x x x x x x x x x x x x z（21）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥++≤++++=0,,1 29002500350038007080 6560 670075008400min 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z（22）⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-+-=--++++=0,,,376284327432max 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x z(22). 唯一最优解5117,)57,0,0,534(**==z X T ；（23）⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++-+-=0,,,32274326325min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x z(23). 唯一最优解3,)1,1,0,0(**-==z X T；（24）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-=++-+=0,,10527532max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(24). 唯一最优解7102,)0,74,745(**==z X T ；（25）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,7742min 21212121x x x x x x x x z （26） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+++≥-+-≥++++++=0,,,1562522730542423min 43214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z(25). 1331,)1310,1321(**==z X T ； (26). 9,)0,0,0,3(**==z X T（27）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++≤+++++=0,,,1222282652max 432143214314321x x x x x x x x x x x x x x x z (27). 唯一最优解44,)4,4,0,0(**==z X T；（28）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++0,,4201013240085103001028321321321321321x x x x x x x x x x x x(28). 唯一最优解152029,)322,5116,15338(**==z X T ；（29）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30222010127max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(29). 唯一最优解220,)10,10,0(**==z X T；（30）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30222061615max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(30). 唯一最优解240,)0,15,0(**==z X T；（31）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+--≤-+-+=无正负号限制32121321321321,,63445322max x x x x x x x x x x x x x x z(31). 唯一最优解211,)49,411,49(**=--=z X T ；（32）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≤++++=0,,824322323max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(32). 唯一最优解4,)0,2,0(**==z X T；（33）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无正负号限制321321321321,0,06422min x x x x x x x x x x x x z(33). 唯一最优解12,)1,0,5(**-=--=z X T；（34）⎪⎩⎪⎨⎧≥=-=++0,,423232121321x x x x x x x x(34). 唯一最优解5,)1,0,2(**==z X T；（35）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≥+-+=0,2122min 21212121x x x x x x x x z(35). 无可行解；（36）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤++≤++++=30,52,40233421422253max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(36). 唯一最优解4123,)0,415,4(**==z X T ；（37）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--=++++=0,,40653025325max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(37). 唯一最优解150,)0,0,30(**==z X T ；（38）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++≤++++++=0,,,2023220322432max 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x z(38). 唯一最优解28,)4,4,0,0(**==z X T；（39）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,10536423425min 321321321321x x x x x x x x x x x x z(39). 唯一最优解3/22,)0,2,3/2(**==z X T；（40）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≤+=--+=0,,28242max 321323232132x x x x x x x x x x x x z (40). 唯一最优解8,)2,4,10(**==z X T； 2．用单纯形法求解线性规划问题 (1). 唯一最优解36,)6,2(**==z X T； (2). 唯一最优解25,)0,5,15(**==z X T； (3). 无界解；(4). 有无穷多最优解，其一47,)7,25.2,5.5(**==z X T； (5). 唯一最优解5.16,)2,5.1,1(**==z X T； (6). 唯一最优解18000,)140,0,25,0(**==z X T； (7). 唯一最优解1640,)8.0,1(**==z X T；(8). 有无穷多最优解，其一7,)8.1,8.0(**==z X T； (9). 无可行解；(10). 唯一最优解15,)0,5.2,5.2,5.2(**==z X T； (11). 无界解；(12). 唯一最优解46,)4,0,14(**=-=z X T； (13). 唯一最优解9,)3,0(**-==z X T； (14). 唯一最优解24,)3,0(**==z X T； (15). 唯一最优解5.5,)0,3,5.0(**-==z X T； (16). 有无穷多最优解，其一12,)6,0,6(**==z X T； (17). 唯一最优解368,)4,0,38,0(**-==z X T ； (18). 无界解；(19). 唯一最优解41,)2,11,0(**==z X T； (20). 无可行解；(21). 有无穷多最优解，其一321700,)31,32,0(**==z X T 。

解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题

项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2

运筹学教程(第三版)习题答案(第一章)

x1 0 0 0 0.75
maxZ 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
st
8x1 3x1
x2 x6
4x3 0
2x5
10
xj 0（ , j 1, ,6）
基可行解
x2
x3
x4
x5
x6
3 0 0 3.5 0
0 1.5 0 8 0
00350
0 0 0 2 2.25
运筹学教程
第一章习题解答
讨论cl.,5d的上值题如(1何)中变，化若，目使标该函问数题变可为行m域ax的Z每=个cx顶1 +点d依x2，次使目标函数达到最优。
解：得到最终单纯形表如下：
Cj→
c
CB 基 b x1
d x2 3/2 0
c x1 1 1
j
0
d
0
0
x2
x3
x4
1
5/14
-3/4
0
-2/14
X 0是 max Z CX 的最优解，故
CX 0 CX * 0;
X *是 max Z C * X 的最优解，故
C * X * C * X 0 0;
(C * C )( X * X 0 )
C(X 0 X *) C*(X * X 0) 0
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School of Management
C T X ( 2 ) , 所以 X 也是最优解。
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运筹学教程
第一章习题解答
1.10 线性规划问题max Z＝CX,AX＝b，X≥0，设 X0为问题的最优解。若目标函数中用C*代替C后，问题的最优解变为X*，求证

运筹学作业（清华版第一章习题）答案

运筹学作业（清华版第一章习题）答案运筹学作业（第一章习题）答案1．1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

（2）12121212m ax 322..34120,0z x x x x s t x x x x =++≤??+≥??≥≥?解：先画出问题的可行区域：如右图所示，两条边界直线所围成的区域没有公共部分，即可行区域是空的。

故该问题无可行解。

1．2将下述线性规划问题化成标准形式：（1）12341234123412341234m in 3425422214..232,,0,z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+-=-??+-+≤??-++-≥??≥?无约束, 解：由于4x 无约束，故引进两个新变量，即444x x x '''=-代入原问题，并对方程2和方程3分别引入新变量5x 和6x ，则此问题的标准形式为： 12344123441234451234461234456m ax ()342554222214..232,,,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x '''-=-+-+'''-+-+=-??'''+-+-+=??'''-++-+-=??'''≥?1．4分别用图解法和单纯型法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯表中的各基可行解对应图解法中可行区域的哪一顶点。

（1）12121212m ax 105349....5280,0z x x x x s t s t x x x x =++≤??+≤??≥≥? 解：图解法：先画出可行区域K ，如右图所示，K 即为OABC ，B 点为最优解。

运筹学1至6章习题参考答案

C(j)-Z(j)
0
2
11/8
0
-3/4
0
9
X4
0
0
0
9/8
1
7/16
-1/4
27/4
6
X1
3
1
0
-1/2
0
1/4
0
3
M
X2
2
0
1
[11/16]
0
-3/32
1/8
1/8
0.181818
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。
C(j)
3
2
-0.125
6重油
7残油
辛烷值
80
115
105
蒸汽压：公斤／平方厘米
1.0
1.5
0.6
0.05
每天供应数量(桶)
2000
1000
1500
1200
1000
1000
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。
解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。
10
-5
1
0
0
0
* Big M
5
3
1
0
0
0
X1
10
1
3/5
1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
-9
1
1
25
C(j)-Z(j)
0
-11
-1

运筹学习题答案(第一章)

School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
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第一章习题解答
(2) min st x 1 Z = 2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
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第一章习题解答
l.5 上题中，若目标函数变为上题(1)中若目标函数变为max Z = cx1 + dx2，讨论c,d的值如何变化的值如何变化，讨论的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依次使目标函数达到最优。次使目标函数达到最优。得到最终单纯形表如下：解：得到最终单纯形表如下： Cj→ CB d c 基 x2 x1 σj
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运筹学教程

运筹学第一章习题完整版

-1/2 3 1/6 4 -1/3 -8
0 点（0，0，15，24）
A 点（4，0，3，0）
Zmax=8
10.解 1）要使 A（0，0）成为最优解则需 C ≤ 0 且 d ≤ 0； 2）要使 B（8/5，0）成为最优解则 C ≥ 0 且 d=0 或 C>0 且 d<0 或 C/d ≥ 5/2 且 Cd>0； 3）要使 C（1，3/2）成为最优解则 -5/2 ≤ -C/d ≤ -3/4 且 Cd>0；即 5/2 ≥ C/d ≥ 3/4 且 Cd>0； 4）要使 D（0，9/4）成为最优解则 C<0 且 d>0 或 C=0，d>0
y5=（0，0，-5/2，8，0，0）T
y6=（0，0，3/2，0，8，0）T
y7=（1，0，-1/2，0，0，3）T
y8=（0，0，0，3，5，0）T
y9=（5/4，0，0，-2，0，15/4）T
y10=（0， 3，-7/6，0，0，0）T
y11=（0，0，-5/2，8，0，0）T
y12=（0，0，-5/2，3，5，0）T
x1，x2，x3，x'4，x"4，x'5，x 6 ≥ 0
（2）
max
z'
=
2 x1'
+
2 x2
−
3x
' 3
+
3x"3
+
0x
4
st. x1'
+
x
2
+
x
' 3
−
x"3 = 4
2x1' + x2 − x'3 + x"3 +x 4 = 6

运筹学第一章作业答案

第一章作业1．对于下列线性规划模型，找出顶点和约束之间的对应关系（图解法）122121212 max 25156224..50,0z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩（答案略: 任何一个顶点对应两个约束的交点）2．用单纯形法求解线性规划模型12121212 max 2324..50,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩（答案略：最好两阶段法和大M 法均练习一遍）3．通过观察，判断下列线性规划模型有无最优解、在有解的情况下是否为无界解(说明理由)（1）12121212 max 25..2280,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩因为 125x x +≥和12228x x +≤是两个矛盾的条件，所以问题无解（2）12312312312 max 225..32580,0z x x x x x x s t x x x x x =++-+≥⎧⎪--≥⎨⎪≥≥⎩ 因为(M ，0，0)是模型的一个可行解，所以可认为问题为无界解。

4．判断题(说明理由)1．最优解不唯一，那么一定有两个最优基可行解。

错误。

最优解不唯一，可能存在一个基可行解，也可能存在r(r ≥2)个基可行解。

举一例子进行反驳即可。

（注意区分基可行解和可行解）2．在最优单纯形表中，如果某个非基变量的检验数值为0，且相应的技术系数均小于等于0，则相应的线性规划有无界解。

错误。

判定无界解的原则有二：（1）某一单纯表中某一非基变量的检验数为正(目标函数求最大值时，求最小值时正好相反)，而该变量的技术向量P ≤0；（2）某一单纯表中某一非基变量的技术向量P ≤0，而该变量的价值系数又大于0(目标函数求最大值时，求最小值时正好相反)。

（注意：区分无界解和无穷多最优解） 5 线性规划问题max ,,0z CX AX b X ==≥，如果*X 是该问题的最优解，又0λ>为一常数，分别讨论下述情况时最优解的变化：（a ）目标函数变为 max z CX λ= 方法1: 使用检验数进行讨论最优单纯表中, 变量X 的检验数为1B C C B A σ-=-, 显然 10B C C B A --≤设这时的最优解为*X . 当价值系数变为C λ时, *X 仍然是新问题的可行解,但变量X 的检验数变为111()B B C C B A C C B A σλλλ--=-=-仍有10σ≤, 因而两个问题具有同样的最优基, 进而有同样的最优解,仅仅最优目标函数值变化了λ倍.方法2: 设*X 为原问题的一个最优解, X 是原问题的任意一个可行解因而必有*CX CX ≥由于*X 和X 均也为新问题的可行解,由于0λ≥, 因而 *CX CX λλ≥ 因而*X 也是新问题的最优解.（b ）目标函数变为 max ()z C X λ=+提示: 通过选择具体的例子, 分析目标函数的变化, 最优解可能发生改变, 也可能不变. 6．已知线性规划问题1122331111221334121122223352max ..01,2,3,4jz c x c x c x a x a x a x x b s t a x a x a x x b x j =++⎧+++=⎪+++=⎨⎪≥ =⎩试确定模型中各参数的值解法1: 直接使用矩阵变换.解法2: 使用B 和1B -解题(关键知识点), 具体略.11/201/61/3B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦7． (证明题)线性规划问题max ,,0z CX AX b X ==≥，设0X 是问题的最优解，若目标函数中用*C 替换C 后，问题的最优解为*X ，则必有**()()0C C X X --≥证明：对于原问题，由于0X 和*X 均为可行解，0X 为最优解，因而有0*CX CX ≥ （7.1）对于替换后的问题，由于0X 和*X 均为可行解，*X 为最优解，因而有 ***C X C X ≥ （7.2）结合（7.1）和（7.2）命题成立.8．(选做题)对于大M 法和两阶段法下面线性规划需要引入m 个人工变量, 你是否可以设计一种方法只引入一个人工变量就可112211112211211222221122 m i n .................0,1,2,...,n n n n n n m m mn n mi z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x bx i n=++++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪⎨⎪+++≥⎪≥=⎪⎩ 9．（选做题）证明标准的线性规划模型，要么不存在可行解，要么至少存在一个基可行解。

运筹学1至6章习题参考答案

5
-6
-7
0
0
0
0
* Big M
-2
-6
2
1
0
0
0
X2
-6
1/5
1
-3/5
-1/5
0
1/5
0
3
M
S2
0
31/5
0
32/5
-6/5
1
6/5
0
38
95/16
A3
M
4/5
0
[8/5]
1/5
0
-1/5
1
2
5/4
C(j)-Z(j)
31/5
0
-53/5
-6/5
0
6/5
0
* Big M
-4/5
-1/2
17/2
-7/4
0
0
0
-5/4
X5
0
32
0
15
0
1
11
-1
120
M
X2
1
5
1
5/2
0
0
2
-1/2
10
10
X4
5
8
0
7/2
1
0
3
-1/2
20
M
C(j)-Z(j)
-43
0
-23
0
0
-17
3
因为λ7＝3>0并且ai7<0(i=1,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。
(3)
【解】
C(j)
3
2
-0.125
0
-3
1
6
0.75
C(j)-Z(j)

运筹学1至6章习题参考答案

运筹学1至6章习题参考答案第1章线性规划1.1 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则（1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。

已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。

1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。

（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。

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x1 0 0 0 0.75
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x2 3 0 0 0
基可行解 x3 x4 x5 0 0 3.5 1.5 0 8 0 3 5 0 0 2
x6 0 0 0 2.25
Z 3 3 0 2.25
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第一章习题解答
(2) min Z = 5 x1 2 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 7 st 2 x1 + 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3 x ≥ 0 , ( j = 1, 4 ) j
School of Management
( 3)
max Z = x1 + x 2 6 x1 + 10 x 2 ≤ 120 st . 5 ≤ x1 ≤ 10 5≤ x ≤8 2
( 4)
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第一章习题解答
(1) min Z = 2 x1 + 3 x 2 4 x1 + 6 x 2 ≥ 6 st . 2 x1 + 2 x 2 ≥ 4 x ,x ≥ 0 1 2 1 , Z = 3是一个最优解 3
运筹学教程(第二版) 运筹学教程(第二版) 习题解答
安徽大学管理学院
洪文
电话: 电话:5108157(H),5107443(O) , E-mail: Hongwen9509_cn@
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第一章习题解答
1.1 用图解法求解下列线性规划问题.并指出问用图解法求解下列线性规划问题. 题具有惟一最优解,无穷多最优解, 题具有惟一最优解,无穷多最优解,无界解还是无可行解. 行解.
max Z = 2 x1 + 2 x 2 3 x 31 + 3 x 32 x1 + x 2 + x 31 x 32 = 4 st 2 x1 + x 2 x 31 + x 32 + x 4 = 6 x1 , x 2 , x 31 , x 32 , x 4 ≥ 0
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第一章习题解答
(2) min st x 1 Z = 2 x1 2 x 2 + 3 x 3 x1 + x 2 + x 3 = 4 2 x1 + x 2 x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
最优值(上界) 最优值(上界)为:21
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第一章习题解答
取小, 取大取大) 解:下界对应的模型如下( c,b取小,a取大) 下界对应的模型如下( 取小
max Z = x1 + 4 x 2 3 x1 + 5 x 2 ≤ 8 st . 4 x1 + 6 x 2 ≤ 10 x ,x ≥ 0 1 2
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b 3/2 1
c x1 0 1 0
d x2 1 0 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/4
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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第一章习题解答
之间时最优解为图中的A点当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的点 ; 当在到之间时最优解为图中的 c/d大于且c大于等于时最优解为图中的点;当c/d 大于5/2且大于等于时最优解为图中的B点大于等于0时最优解为图中的大于小于3/10且 d大于时最优解为图中的点 ; 当 c/d大于大于0时最优解为图中的小于且大于时最优解为图中的C点大于 5/2且c小于等于时或当小于小于等于0时或当小于3/10且d小于时最优解小于0时最优解且小于等于时或当c/d小于且小于为图中的原点. 为图中的原点.
min Z = 5 x1 2 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 7 st 2 x1 + 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3 x ≥ 0 , ( j = 1, 4 ) j
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(1)
min st x 1 Z = 2 x1 2 x 2 + 3 x 3 x1 + x 2 + x 3 = 4 2 x1 + x 2 x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
(1)
(2)
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第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解, 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解,指出哪些是基可行解,并确定最优解. 些是基可行解,并确定最优解.
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 x 6 = 0 x j ≥ 0( j = 1, , 6) ,
(2)
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第一章习题解答
(1) max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 x 6 = 0 x j ≥ 0( j = 1, , 6) ,
min Z = 2 x1 + 3 x 2 4 x1 + 6 x 2 ≥ 6 st . 2 x1 + 2 x 2 ≥ 4 x ,x ≥ 0 1 2
(1)
( 2)
max Z = 3 x1 + 2 x 2 2 x1 + x 2 ≤ 2 st .3 x1 + 4 x 2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2 max Z = 5 x1 + 6 x 2 2 x1 x 2 ≥ 2 st . 2 x1 + 3 x 2 ≤ 2 x ,x ≥ 0 1 2
x1 0 0 2/5
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x2 0.5 0 0
基可行解 x3 2 1 11/5
x4 0 1 0
Z 5 5 43/5
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第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题, 问题 , 并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点. 法中可行域的哪一顶点.
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第一章习题解答
l.6 考虑下述线性规划问题: 考虑下述线性规划问题:
max Z = c1 x1 + c 2 x 2 a11 x1 + a12 x 2 ≤ b1 st . a 21 x1 + a 22 x 2 ≤ b2 x1 , x 2 ≥ 0

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第一章习题解答
min Z = 2 x1 + 3x2 + x3 x1 + 4 x2 + 2x3 ≥ 8 (2) st.3x1 + 2x2 ≥ 6 x , x ≥ 0 1 2 该题是无穷多最优解. 9 4 最优解之一: 1 = , x2 = , x3 = 0, Z = 6 x 5 5
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第一章习题解答
l.5 上题中,若目标函数变为上题(1)中若目标函数变为max Z = cx1 + dx2, 讨论c,d的值如何变化的值如何变化, 讨论的值如何变化,使该问题可行域的每个顶点依次使目标函数达到最优. 次使目标函数达到最优. 得到最终单纯形表如下: 解:得到最终单纯形表如下: Cj→ CB d c 基 x2 x1 σj
式中, ≤ 式中,1≤c1≤3, 4≤c2≤6, -1≤a11≤3, 2≤a12≤5, ≤ ≤ ≤ 8≤b1≤12, 2≤a21≤5, 4≤a22≤6, 10≤b2≤14,试确定 ≤ ≤ ≤ ≤ 试确定目标函数最优值的下界和上界. 目标函数最优值的下界和上界.
page 15 7 July 2010
page 4 7 July 2010
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第一章习题解答
1.2 将下述线性规划问题化成标准形式. 将下述线性规划问题化成标准形式.
min Z = 3 x1 + 4 x 2 2 x3 + 5 x 4 4 x1 x 2 + 2 x3 x 4 = 2 x + x x + 2 x ≤ 14 2 3 4 st 1 . 2 x1 + 3 x 2 + x3 x 4 ≥ 2 x1 , x 2 , x3 ≥ 0, x 4 无约束
无穷多最优解, x1 = 1, x 2 =

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