13.1命题、定理与证明

13.1命题、定理与证明A卷基础达标题组一命题的判断及组成1.下列语句不是命题的是( )A.无限小数是无理数B.过点A作CD的垂线C.互为倒数的两数乘积等于1D.两条直线相交,只有一个交点【解析】选B.因为选项B是作图语句,没有作出任何判断.2.下列语句不是命题的是( )A.两点之间线段最短B.山峰必有最高点C.x与y的和等于0吗?D.对顶角不相等【解析】选C.A,B,D都符合命题的定义;C是问语不是命题.3.下列语句是命题的是( )A.延长线段AB到CB.用量角器画∠AOB=90°C.两点之间线段最短D.任何数的平方都不小于0吗?【解析】选C.“延长线段AB到C”和“用量角器画∠AOB=90°”都是描述性语言,它们都不是命题;“任何数的平方都不小于0吗?”是疑问句,它不是命题;“两点之间线段最短”是命题.4.命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是.【解析】“直角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角,结论是这两个锐角互余.答案:一个直角三角形中的两个锐角5.下列句子中哪些是命题?(1)动物需要水.(2)猴子是动物的一种.(3)玫瑰花是动物.(4)美丽的天空.(5)负数都小于0.(6)你的作业做完了吗?(7)所有的质数都是奇数.(8)过直线l外一点作l的平行线.(9)如果a=b,a=c,那么b=c.【解析】(1)动物需要水,是命题.(2)猴子是动物的一种,是命题.(3)玫瑰花是动物,是命题.(4)美丽的天空,不是命题.(5)负数都小于0,是命题.(6)你的作业做完了吗?不是命题.(7)所有的质数都是奇数,是命题.(8)过直线l外一点作l的平行线,不是命题.(9)如果a=b,a=c,那么b=c,是命题.【知识归纳】表示祈使、感叹、疑问语气的句子,都不是命题.题组二真假命题的判断1.说明命题“如果a,b,c是△ABC的三边,那么长为a-1,b-1,c-1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是( )A.a=2,b=2,c=3B.a=2,b=2,c=2C.a=3,b=3,c=4D.a=3,b=4,c=5【解析】选A.当a=2,b=2,c=3时,a-1=1,b-1=1,c-1=2,此时:1+1=2,所以不能构成三角形.2.下列命题中,为真命题的是( )A.相等的角是对顶角B.同旁内角互补C.若|x|>|y|,则x>yD.若x=y,则x+1=y+1【解析】选 D.相等的角不一定是对顶角;同旁内角互补的条件是两直线平行;当x=-4,y=-3时,是选项C的一个反例;根据等式的性质可知选项D是一个真命题.【知识归纳】判断假命题最简捷的方法(1)与学过的正确知识相矛盾的结论.(2)能举出一个反例.3.请写出命题“两个不同的无理数的差一定不是整数”的反例的两个数是.(只要写出一种情况即可)【解析】命题:“两个不同的无理数的差一定不是整数”,反例的两个数可以是:-1,+1. 答案:-1,+1(答案不唯一)4.举反例说明下面命题是假命题.(1)互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角.(2)两个负数的差一定是负数.(3)一正一负两个数的和为0.【解析】(1)两个直角互补,所以,互补的两个角一定是一个锐角,一个钝角是假命题.(2)-1-(-2)=1,所以,两个负数的差一定是负数是假命题.(3)-1+2=1,所以,一正一负两个数的和为0是假命题.题组三证明1.如图,因为∠AOC=∠BOD,所以∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是( )A.等量加等量和相等B.等量减等量差相等C.等量代换D.整体大于部分【解析】选A.因为∠AOC=∠BOD,∠AOB=∠AOB,所以∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB.等号左右两边分别加上了一个相等的量,其结果仍然相等.2.如图,下列条件中能判定直线l1∥l2的是( )A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180°D.∠3=∠5【解析】选C.根据∠1=∠2不能推出l1∥l2;∵∠5=∠3,∠1=∠5,∴∠1=∠3,即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2;∵∠1+∠3=180°,∴l1∥l2;根据∠3=∠5不能推出l1∥l2.3.小聪、小玲、小红三人参加“普法知识竞赛”,其中前5题是选择题,每题10分,每题有A,B两个选项,有且只有一个选项是正确的,三人的答案和得分如下表,试问:这5道题的正确答案(按1～5题的顺序排列)依次是.【解析】根据得分可得小聪和小玲都是只有一个题答错,小红有两个题答错.第5题,三人选项相同,若不是选A,则小聪和小玲的其他题目的答案一定相同,与已知矛盾,则第5题的答案是A;第3题、第4题小聪和小玲都不同,则一定在这两题上其中一人有错误,则第1,2题正确,即1的答案是B,2的答案是A;则小红的错题是1和2,则3和4正确,则3的答案是B,4的答案是B.所以,这5道题的正确答案(按1～5题的顺序排列)依次是BABBA.答案:BABBA4.小红、小强、小华三名同学中有一个把教室打扫得干干净净,事后,老师问他们三人是谁做的好事.小红说:“是小强做的”;小强说:“不是我做的”;小华说:“不是我做的”.如果他们三人中有两人说了假话,一人说了真话,那么老师能判定教室是谁打扫的吗?(要有分析)【解析】若小红说的是对的,那么小强、小华就是错的,那么小红与小华的话相矛盾;若小华说的是对的,那么小红、小强就是错的,那么三人之话也相矛盾;所以小强所说的是对的.分析得出是小华做的.所以教室是小华打扫的.【易错警示】推理应有依据,不能想当然!首先假设其中两人所说的是假话,进行分析,得出与已知的矛盾,进而得出符合要求的答案.5.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.求证:CF∥AB.【证明】∵CF平分∠DCE,∴∠1=∠2=∠DCE,∵∠DCE=90°,∴∠1=45°.∵∠3=45°,∴∠1=∠3,∴CF∥AB.【鉴前毖后】对命题“同角的补角相等”.画图,并写出已知、求证.(不证明)(1)错因:______________________.(2)纠错:_________________________________________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ ___________________________________________________________ 答案: (1)把同角当成了相等的角(2)如图已知:∠AOC和∠BOD是∠AOB的补角.求证:∠AOC=∠BOD.B卷能力达标(测试时间30分钟试题总分50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1..下列语句是命题的是( )A.延长线段ABB.你吃过午饭了吗?C.锐角都小于90°D.连结A,B两点【解析】选C.A是作图语言,不符合命题的定义;B是一个问句,不符合命题的定义;C符合命题的定义;D是作图语言,不符合命题的定义.【知识归纳】基本事实、定理、命题之间的联系(1)有些命题,是公认的真命题,不需要证明,这就是基本事实.(2)有些命题,经过证明确定是真命题,这就是定理.(3)所有的基本事实、定理都是命题中的真命题.2.下列选项中,可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是( )A.∠A=30°,∠B=50°B.∠A=30°,∠B=70°C.∠A=30°,∠B=90°D.∠A=30°,∠B=110°【解析】选 A.当∠A=30°,∠B=50°,而∠A+∠B=80°,即这两个锐角的和为锐角,所以命题“两个锐角的和是钝角”是假命题.3.下列命题错误的是( )A.所有的实数都可用数轴上的点表示B.等角的补角相等C.无理数包括正无理数,0,负无理数D.两点之间,线段最短【解析】选C.0不是无理数,无理数包括正无理数和负无理数.二、填空题(每小题4分,共12分)4.命题“如果a+b>0,那么a>0,b>0”是命题(填“真”或“假”).【解析】当a=2,b=-1时,a+b>0成立,但a>0,b>0不成立.故命题“如果a+b>0,那么a>0,b>0”是假命题.答案:假5.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= .(写出一个x的值即可)【解析】当x=-2时,代数式的值为-1,不是正数.答案:-2(答案不唯一)6.把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 .【解析】条件为:两条直线平行于同一条直线,结论为:平行,故写成“如果……那么……”的形式是:如果两条直线平行于同一条直线,那么它们平行. 答案:如果两条直线平行于同一条直线,那么它们平行三、解答题(共26分)7.(8分)下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题?(1)若a,b互为相反数,则a+b=0.(2)两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补吗?(3)画线段AB=5cm.(4)若a3=b3,则a≠b.(5)解方程3x+5=11.(6)x=5不是方程3x2-2x-65=0的解.【解题指南】解答本题的关键解答本题需要准确判断每一个语句所表示的语气,一般情况下表示祈使、感叹、疑问的语句都不是命题.【解析】(1)(4)(6)是命题,而(2)(3)(5)不是命题.8.(8分)指出下列命题的条件和结论,并指出该命题是真命题,还是假命题.(1)一个锐角的补角大于这个角的余角.(2)不相等的两个角不是对顶角.(3)异号两数相加得零.【解析】(1)条件:一个角是锐角;结论:这个角的补角大于这个角的余角.真命题.(2)条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角.真命题.(3)条件:两个数异号;结论:这两个数相加得零.假命题,如-3和5是异号两数,但-3+5=2≠0. 【培优训练】9.(10分)命题:“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题还是假命题?如果认为是假命题,请说明理由;如果认为是真命题,请给出证明.【解析】“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题.理由:设两个连续奇数为2n+1,2n-1,它们的平方差是(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,故两个连续奇数的平方差是8的倍数.。

理清证明思路要说明一个命题是真命题,除了公理外，其他的则需要推理，推理的过程就是证明，初学证明要注意以下两点：一、掌握基本的定义、公理、定理正确地理解几何定义、公理、定理是学好证明的前提，是推理的依据.如：“两点之间线段最短”是证明三角形两边之和大于第三边的依据等.当一个命题被证明了是真命题时，它又可以作为证明其他命题是真命题的依据.如：三角形内角和定理是证明四边形内角和等于360°的依据等.二、掌握证明的书写过程几何证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过程，证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、公理、已学过的定理.在初学证明时要把根据写在每一步推理后面的括号里，像“已知”、“根据定义（如角平分线定义）”以及“等量代换”等.证明一个几何命题一般分为以下几步：1.根据题意，画出符合题意的图形.2.根据条件、结论，结合图形，写出已知求证.3.经过分析，找出由已知条件推出所要求的结论的途径，写出证明过程.有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.证明的关键是思路的打开，分析问题的思路一般有两个类型.1.由果导因：从已知条件出发，逐步推理得到结论.2.执果索因：由结论向条件追溯.下面我们就一道例题来体会一下证明的思路.【例题】已知DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，求证∠FDE＝∠DEB.【思考与分析】（1）由条件DE∥BC，可利用平行线的性质定理得同位角、内错角相等，同旁内角互补.（2）要证明∠FDE＝∠DEB，只要证明DF∥BE即可.证明：∵DE∥BC（已知），∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）.∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC（已知），∴∠ADF＝∠ABE（角平分线定义）.∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行）.∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等）.【小结】本题运用了平行线的性质和角平分线的定义，采用了由已知条件挖掘新条件，由结论进行逆推，从而找寻思路的方法，在以后的学习中我们要慢慢体会这种方法。

命题、定理与证明知识讲解【要点梳理】要点一、命题、基本事实与定理1. 命题一般地，判断某一件事情的语句叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“开始的部分是结论.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．2.基本事实人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.如：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短等.3.定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.要点诠释：满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.要点二、证明1.证明根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．2.证明表述格式证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点诠释：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.【典型例题】类型一、命题1.判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； (4)a，b两条直线平行吗?(5)鸟是动物； (6)若24a =，求a 的值；(7)若22a b =，则a =b ．【答案与解析】句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.【总结升华】主要考察命题的定义.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a b ＜，则＜-b a -；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程2230x x --=；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．2. 下列命题是真命题的是（ ）A ．如果|a|=1，那么a=1B ．有两条边相等的三角形是等腰三角形C ．如果a 为实数，那么a 是有理数D ．有两边和一角相等的两个三角形全等；【答案】C举一反三：【变式】下列命题中，真命题的个数有（ ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．3个B ．1个C ．4个D ．2个【答案】Ｂ３.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。

冀教版数学八年级上册13.1《命题与证明》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册13.1《命题与证明》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深化对数学概念、性质、法则的理解和运用的一个重要章节。

本节内容主要包括命题的概念、分类及证明的方法，是学生初步接触数学证明的起点，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了基本的数学运算能力和一定的逻辑思维能力，但对数学证明的概念和方法还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解命题的概念，掌握证明的方法，并能够运用证明解决实际问题。

三. 教学目标1.了解命题的概念，能够正确判断一个语句是否为命题。

2.掌握命题的分类，能够区分各类命题的特点。

3.学习证明的方法，能够运用证明解决实际问题。

四. 教学重难点1.命题的概念和分类。

2.证明的方法和步骤。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论，自主探索命题的概念和分类，培养学生的逻辑思维能力。

2.通过案例分析和实践操作，让学生掌握证明的方法和步骤，提高学生解决问题的能力。

3.利用多媒体教学手段，提供丰富的教学资源，增加学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题，用于引导学生进行思考和练习。

2.准备多媒体教学课件，用于辅助讲解和展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学语言来表述这些问题，从而引出命题的概念。

2.呈现（15分钟）讲解命题的概念，让学生理解什么是命题，如何判断一个语句是否为命题。

并通过一些例子，让学生区分各类命题的特点。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，分析一些给定的命题，判断它们属于哪一类命题，并说明理由。

每组选取一个代表性的例子进行汇报。

4.巩固（15分钟）讲解证明的方法和步骤，让学生了解如何用数学语言来进行证明。

并通过一些简单的例子，让学生尝试进行证明。