中考数学压轴题专项汇编专题15角含半角模型

模型系列：角含半角模型半角模型已知如图：①2∠2=∠AOB；②OA=OB.连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE是公共边，∴△OEF≌△OEF′.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.模型实例例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN．（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．证明：（1）延长ND到E，使DE=BM，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB．在△ADE和△ABM中，∴△ADE≌△ABM．∴AE=AM，∠DAE=∠BAM∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．∴∠MAN=∠EAN=45°．在△AMN和△AEN中，∴△AMN≌△AEN．∴MN=EN．∴BM+DN=DE+DN=EN=MN．（2）由（1）知，△AMN≌△AEN．∴S△AMN=S△AEN．即．又∵MN=EN，∴AH=AD．即AH=AB．例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．图①图②解答（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．（2）猜想：BM+NC=MN．证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴∠MBD=∠NCD=90°．在△MBD与△ECD中，∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．在△MDN和△EDN中，∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS）．∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．图③例3 如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE-FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG和△ADF中，∴△ABG ≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠GAF=∠BAD．∴∠EAF=∠BAD=∠GAF．∴∠GAE=∠EAF．在△AEG和△AEF中，∴△AEG ≌△AEF（SAS）．∴EG=EF．∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．跟踪练习：1．已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°．求证：MN=DN-BM．【答案】证明：如图，在DN上截取DE=MB，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°．在△ABM和△ADE中，∴△ABM≌△ADE．∴AM=AE，∠MAB=∠EAD ．∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN=45°．∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN．在△AMN和△AEN中，∴△ABM≌△ADE．∴MN=EN．∵DN-DE=EN．∴DN-BM=MN．2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E 分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①∴△ACE≌△ABE′．∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．∴E′B2+BD2=E′D2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．∴△AE′D≌△AED．∴DE=DE′．∴DE2=BD2+EC2．（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②∴△AFD≌△ABD．∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠CAE．又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE．∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．即DE2=BD2+EC2．3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°．（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．【答案】结论：（1）AM=CN+MN；如图①图①（2）成立；证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC．∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．又∵AE=CN，∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，∠AOE=∠CON．∴∠EON=∠AOC=120°．∵∠MON=60°，∴∠MOE=∠MON=60°．∴△MOE≌△MON．∴ME=MN．∴AM=AE+ME=CN+MN．图②（3）如图③，AM=MN-CN．图③4．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F 分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF．求证：∠EAF=∠BAD．【答案】证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF．∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC+∠ABG=180°．∴点G、B、C共线．∵BE+FD=EF，∴BE+BG=GE=EF．在△AEG和△AEF中，∴△AEG≌△AEF．∴∠EAG=∠EAF．∴∠EAB+∠BAG=∠EAF．又∵∠BAG=∠DAF，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF．∴∠EAF=∠BAD．5．如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF．（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，EF与DF、BE 之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC 互补，当∠EAF＝∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．（3）在（2）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结论）解答：（1）EF=DF-BE（2）EF=DF-BE证明：如图，在DF上截取DM=BE，连接AM，∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°∵D=ABE∵AD=AB在△ADM和△ABE中，∴△ADM≌△ABE∴AM=AE，∠DAM=∠BAE∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，∴∠DAM+∠BAF=∠BAD∴∠MAF=∠BAD∴∠EAF=∠MAF在△EAF和△MAF中∴△EAF≌△MAF∴EF=MF∵MF=DF-DM=DF-BE，∴EF=DF-BE（3）∵EF=DF-BE∴△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF =BC+CD+2CF=15。

几何模型之半角模型一、旋转性质1.图形对应边相等（易得等腰，且等腰均相似）2.对应角相等3.对应点与旋转中心连线构成旋转角，旋转角处处相等二、半角模型半角模型（90°含45°）条件模型结论①等腰直角△ABC;②∠DAE=45°DE2=BD2+CE2①等腰直角△ABC;②∠DAE=45°DE2=BD2+CE2①正方形ABCD;②∠EAF=45°①EF=BE+DF；②△CEF的周长是正方形周长的一半；③点A到EF的距离等于正方形的边长.①正方形ABCD;②∠EAF=45°EF=DF-BE三、模型演练1.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF 于点H．若EF=BF+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD；③∠EAF=45°；④S△E A F=S△A B E+S△A D F；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的是．2.在Rt△ABC中，AB=AC，D､E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（）A.②④B.①④C.②③D.①③3如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=25．若∠EOF=45°，则F点的坐标是．5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）6.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE=45°．（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN=MN，试求∠MAN的大小．。

半角模型1、产生条件：共顶点、等线段，一个小角等于大角的一半，对角互补的四边形。

2、常见形式：图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况，还有2α套α的情况。

求证的结论一般是“a+b=c 或者a -b=c ”。

3、解题方法: 通过辅助线“截长补短”，构造全等三角形，转移边角。

旋转移位造全等，翻折分割构全等。

4、经典题型：4.1、正方形半角模型：90°→ 45°例1、如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。

求证： （1）EF=BE+DF ． （2）∠EFC 周长 = 2AB （3）EA 平分∠BEF变式训练：如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。

求证：EF=DF - BEBB4.2、等腰直角三角形半角模型：90°→ 45°例2、如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 、EF 、CF 的数量关系。

变式训练：如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 2 + CF 2 = EF 2。

FE4.3、对角互补、邻边相等四边形半角模型：2α → α例3、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC ，E 、F ，分变式训练：如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC ，若E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且∠EBF=60°，求证：AF=EF+CE ．专题训练：1、如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将∠AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．CBAE2、 如图，∠ABC 中，CA=CB ，∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°，求证:AD+DE= BE.3、 如图，∠A=∠B=90°，CA=CB=4， ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3， BF=2，求五边形ABCDE 的面积.A。

专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则EF，BE，DF之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求AF的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中， AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D ∠都不是直角，则当B Ð与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．且∠EAF＝128．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关∠EAF=12系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB 上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

）））））））））1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（）正方形的性质：（2①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

））））））））））．）））））））））．又易知：GM=BM22 -1）而 BM=BD-DM=2，-2=2（2 -1）．∴AG=BM=2（10CD10PB?ABCDPA?PP，求正，并且例2 ．如图，边的距离也等于为正方形点到内一点，ABCD方形的面积？DCEFPABEF?交．【解析】：过作于于1)xBF?(10?x?PF?xEF?10设．，，则2222BF?PFPB?由．1222)10?x??x(10可得：．46x?故．2256??S16．ABCD CDBCABCDMFEEF?AM，，例3. 如图，上的一点，、?分别为正方形的边垂足为、DF?AM?ABEF?BE，则有，为什么？，．只要能说明△AMEABE≌△DF=FM【解析】：要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，即可，而连结AE、AF 即可．ADF≌△AMF△．、AF 理由：连结AE 公用，，⊥BCAM⊥EF，AE，由AB=AMAB ∴△ABE≌△AME．．∴BE=ME AMF．≌△同理可得，△ADF ．∴DF=MF∴EF=ME+MF=BE+DF．））））））））））．）））））））））∴∠ADF﹢∠BAE=45°∴∠GAB﹢∠BAE=45°即∠GAE=45° AEG（SAS）∴△AEF≌△DF﹢﹢BG=EB∴EF=EG=EBCDBCABCDFE使两、点边上取，正例5. 如图，在方形、的45??EAF GAB?AGAG?EF . 求证：于，，就图形直观来看，【解析】：欲证 AG=AB. 全等，但条件不够Rt△ABE与Rt△AGE应证？∠EAF=45°怎么用呢.显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了AHB.°至△A点旋转90△【证明】：把 AFD绕. 2=45°∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠. °∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45AE=AE. ，又由旋转所得 AH=AFAEH. ∴△AEF≌△BCABCDFE,中,点分别在边1,例6.(1) 如图在正方形,?90??AOF OCDBFAE.,交于点上,,CF?BE.求证：GABCDABFEH,,,分别在边如图(2) 2,在正方形中,点,?90?FOH?OGHBCCDEFDA4EF?. 上,,,,,交于点,GH. 的长求 2图CDBCGABCDDAFEHAB ,,,,,分别在矩形的边上，,1.已知点?90FOH??OGHEF4?EF.直接写出下列两题的答案：,交于点, ,））））））））））．）））））））））【解析】ABCD1，∵四边形为正方形，(1) 证明：如图BCDABCABBC =∠∴°，=,∠=90AEBEAB. +∠°∴∠=90AOFEOB,∠°＝∵∠90= FBCAEBEABFBC∠∠=90°，∴∠，∠∴ =+1图 ABEBCFBECF = ，∴∴△．≌△MAMGHBCA //于作交，(2) 解：如图2,过点NBNFEAMHG和四边形均为平行四边形，则四边形/OAMBNBBNEFCDN过点交于点作，//,交与于GH=AMEF=BN，,∴M /AEF//BNFOH AMGHNO, ∠90°,=90//，°, ∴∵∠＝′O BNABMBCN AM≌△，，, △=∴得故由(1) EFGH．∴=4=2 图n．(3) ① 8．② 4巩固训练【双基训练】cm53BGcmDEFGABCDA，1. 如图6，点?在线段上，四边形其边长分别为与和都是正方形，2cm CDE 的面积为________则．(6) (7)，1所示图形．2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为 ________且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为．CEBCABCDAFFABE、分别为边、、上的点．353.如图9，已知正方形的面积为平方厘米，GBEGF?BCEABF?的平方厘米，?那么四边形平方厘米，相交于，并且的面积为145的面积为））））））））））．）））））））））、4.如图，。

半角模型专题知识解读【专题说明】角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。

它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。

解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

【方法技巧】类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD+CE=DE.旋转法翻折法作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD+CE=DE.（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：等边三角形中120°含60°的半角模型作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF类型三：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小【典例分析】【类型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典例1】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，若将△ABC绕着点C 逆时针旋转90°得△EDC．（1）求证：∠ADC+∠CDE＝180°；（2）若AB＝3cm，AC＝，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的周长和面积．【解答】（1）证明：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，则∠B+∠ADC＝180°．∵将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△EDC，∴△ABC≌△EDC，∴∠CDE＝∠CBA，∴∠ADC+∠CDE＝180°；（2）解：∵将△ABC绕着点C逆时针旋转90°得△EDC，∴AC＝EC＝，AB＝ED＝3cm，∠ACE＝90°，∴AE＝AC＝8cm，∴AD＝AE﹣EC＝AE﹣AB＝5cm；（3）解：如图，连接BD．由（2）知，AD＝5cm．则在直角△ABD中，由勾股定理得到：BD＝＝．又∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝＝，∴四边形ABCD的周长为：AB+AD+2BC＝3+5+2＝8+2；∵△ABC≌△EDC，∴四边形ABCD的面积＝△ACE的面积＝AC•CE＝×4×4＝16（cm2）．综上所述，四边形ABCD的周长为（8+2）cm，面积为16cm2．【变式1-1】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E为BC边上两点，∠DAE ＝45°，过A点作AF⊥AE，且AF＝AE，连接DF、BF．下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，则AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵AF⊥AE，∴∠F AE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠F AE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠F AB＝∠EAC，∵AB＝AC，AF＝AE，∴△ABF≌△ACE（SAS），故①正确；∵∠DAE＝45°，∠F AE＝90°，∴∠F AD＝∠F AE﹣∠DAE＝45°，∴∠F AD＝∠DAE，∵AD＝AD，AF＝AE，∴△F AD≌△EAD（SAS），∴∠FDA＝∠EDA，∴AD平分∠EDF，故②正确；在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB，∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝CE＝3，∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°，∴DF＝＝＝5，∵△F AD≌△EAD，∴FD＝ED＝5，∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12，∴AB＝6，故③正确；∵AB＝BE，∠ABE＝45°，∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝67.5°，∴∠ADB＝∠AEC，∵AB＝AC，∠ABE＝∠C＝45°，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE，∵BF＝CE，∴BD＝BF，∵∠FBD＝90°，∴DF＝BD，∴DE＝BD，∴S△ADE＝S△ABD，故④错误；综上所述，正确的个数有3个，故选：C【变式1-2】如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为．【解答】解：将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF，∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF．∠2＝∠3，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠1+∠3＝∠1+∠2＝90°﹣45°＝45°＝∠NAF，在△MAN和△F AN中∴△MAN≌△F AN，∴MN＝NF，∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FCN＝90°，∵CF＝BM＝1，CN＝3，∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN＝NF＝＝，故答案为：．【类型二：等边三角形中120°含60°的半角模型】【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，连接D'E．（Ⅰ）如图1，当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D'E；（Ⅱ）如图2，当DE＝D'E时，请写出∠DAE与∠BAC的数量关系，并说明理由．（Ⅲ）当∠BAC＝90°，DE＝D'E，EC＝CD'时，请直接写出BD与DE的数量关系（不必说明理由）．【解答】（I）证明：∵将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，∴AD＝AD'，∠CAD'＝BAD，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D'AE＝∠CAD'+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，∴∠DAE＝∠D'AE，在△ADE与△AD'E中，，∴△ADE≌△AD'E（SAS），∴DE＝D'E；（Ⅱ）解：∠DAE＝，理由如下：在△ADE与△AD'E中，，∴△ADE≌△AD'E（SSS），∴∠DAE＝∠D'AE，∴∠BAD+∠CAE＝∠CAD'+∠CAE＝∠D'AE＝∠DAE，∴∠DAE＝；（Ⅲ）解：DE＝BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝45°，∴∠ECD＝90°，∵EC＝CD'，∴△ECD'是等腰直角三角形，∴D'E＝CD'＝BD，∵DE＝D'E，∴DE＝BD．【变式4-1】（2017秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点．（1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明）（2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度；（3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明．【解答】解：（1）结论：EF2＝BE2+CF2．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图1中，∴AG＝AE，CG＝BE，∠ACG＝∠B，∠EAG＝90°，∴∠FCG＝∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°，∴FG2＝FC2+CG2＝BE2+FC2；又∵∠EAF＝45°，而∠EAG＝90°，∴∠GAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠GAF，∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∴EF2＝BE2+CF2．（2）如图2中，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴将△ABE绕点A逆时针旋转60°得△ACG，连接FG，作GH⊥BC交BC的延长线于H．∵∠BAC＝60°，∠EAF＝30°，∴∠BAE+∠CAF＝∠CAG+∠CAF＝∠F AG＝30°，∴∠EAF＝∠F AG，∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，在Rt△CGH中，∵CG＝BE＝3，∠GCH＝60°，∴∠CGH＝30°，∴CH＝CG＝，GH＝CH＝，在Rt△FGH中，FG＝＝＝7，∴EF＝FG＝7．（3）结论：EF2＝EC2+BF2理由：如图3中，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接FG．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△ACE≌△ABG，∴∠CAE＝∠BAG，EC＝BG，∠ACE＝∠ABG＝45°，∴∠CAB＝∠EAG＝90°，∠GBF＝90°，∴∠F AG＝360°﹣∠EAF﹣∠EAG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠F AE＝∠F AG，∵F A＝F A，AG＝AE，∴△F AE≌△F AG（SAS），∴EF＝FG，在Rt△FBG中，∵∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2+BF2，∵FG＝EF，BG＝EC，∴EF2＝EC2+BF2．【变式4-2】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．【解答】解①BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．②猜想：结论仍然成立．证明：在CN的反向延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，③证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【类型三：正方形中角含半角模型】【典例2】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC 边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，由旋转得：∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠DCF+∠DCM＝180°，∴F、C、M三点在同一条直线上，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，∴∠EDF＝FDM，∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDF（SAS）；（2）设CF＝x，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x，由旋转得：AE＝CM＝2，∴BE＝AB﹣AE＝3，FM＝CF+CM＝2+x，∵△EDF≌△MDF，∴EF＝FM＝2+x，在Rt△EBF中，BE2+BF2＝EF2，∴9+（5﹣x）2＝（2+x）2，∴x＝，∴EF＝2+x＝，∴EF的长为．【变式2-1】（2022春•路北区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的长为．【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，【变式2-2】（2021秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解答】解：成立．证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，∴△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠F AD，AM＝AF，MB＝DF，∴∠MBE＝∠ABM+∠ABE＝180°，∴M、B、E三点共线，∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠F AD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝60°，∴∠MAE＝∠F AE，∵AE＝AE，AM＝AF，∴△MAE≌△F AE（SAS），∴ME＝EF，∴EF＝ME＝MB+BE＝DF+BE．【典例3】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）【解答】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案为：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延长CB至E，使BE＝DN，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四边形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，设NH＝x，则MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3【变式3-1】探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．【解答】解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，则△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，∴∠EAF＝∠EAF′，又∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠ABF′+∠ABE＝180°，∴F′、B、E三点共线，在△AEF与△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又∵EF′＝BE+BF′，∴EF＝BE+DF；（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF＝BE﹣DF．理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，∴△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠F AE＝∠F AE，即∠F′AE＝∠F AE，在△F′AE与△F AE中，，∴△F′AE≌△F AE（SAS），∴EF＝EF′，又∵BE＝BF′+EF′，∴EF′＝BE﹣BF′，即EF＝BE﹣DF．【变式3-2】已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．【解答】（1）证明：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，∴∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，∵M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，∴△AMN≌△AM′N′，∴MN＝NM′，∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，∴MN＝BM+DN．（2）解：∵∠AED＝45°+∠BAE，∠F AB＝45°+∠BAE，∴∠AED＝∠F AB，∵∠ABF＝∠ADE，∴△BF A∽△DAE，∴＝，∴＝，∴y＝．。

半角模型1、角含半角模型条件：（1）正方形ABCD （2）结论：（1）EF=DF+BE（2）D CEF周长为正方形ABCD周长的一半也可以这样：条件：（1）正方形ABCD （2）EF=DF+BE结论：条件：（1）正方形ABCD （2）结论：（1）EF=DF-BE条件：（1）结论：D AHE为等腰直角三角形证明：连接AC\ÐDAH=ÐCAE\D ADH相似于D ACE\DAAH=ACAE\D AHE相似于D ADC条件：（1）等腰直角D ABC（2）结论：BD2+CE2=DE2若ÐDAE旋转到D ABC外部时结论：BD2+CE2=DE2经典例题1．如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF．2．如图，在正方形ABCD中，E和F分别是BC和CD上的点，AG⊥EF，∠EAF=45°，求证：AG=AD．3、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）4、如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．5．（2014秋•安阳校级期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E均在边BC 上，且∠DAE=45°，试猜想BD．DE．EC应满足的数量关系，并写出推理过程．6．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在直线BC上，∠DAE=45°，（1）写出图中的相似三角形；（2）求证：BE•CD=2S△ABC，并探究BD、DE、CE之间的数量关系，给以证明．7．已知在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，将△ABD绕着点A旋转，得到△ACD′，接连D′E交AC于点O．（1）如图1，当△BAC=120°，△DAE=60°时，求证：DE=D′E；（2）如图2，当△DAE=45°，△BAC=90°，BD=DE时，在不舔加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有的全等三角形．8．（2014秋•通山县期中）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是BC 边上的任意两点，且∠DAE=45°．（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN=MN，试求△MAN 的大小．9．△ABC的边BC在直线l上，点D，E是直线l上的两点，且BA=BD，CA=CE（1）如图1，若AB=AC，△BAC=90°，求△CAE的度数；（2）如图2，若△BAC=90°，求△CAE的度数；（3）如图3，设△BAC=α，△DAE=β，请直接写出α与β的关系式．10．（2011秋•朝阳区期末）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D、E在BC边上（均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧），且∠DAE=45°．（1）请在图△中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上，；（2）设BE=m，CD=n，求m与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）如图△，当BE=CD时，求DE的长；（4）求证：无论BE与CD是否相等，都有DE2=BD2+CE2．11．（2014•平谷区一模）（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN2=BM2+DN2，请证明这个等量关系；（2）在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．△如图2，当△BAC=60°，△DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是；△如图3，当△BAC=α，（0°＜α＜90°），△DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是．[参考：sin2α+cos2α=1]12．（2015•海宁市模拟）（1）探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．△如图1，若△B、△ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；△如图2，若△B、△D都不是直角，则当△B与△D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（2）拓展：如图3，在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且△DAE=45°．若BD=1，求DE的长．13．（2015•滑县一模）（1）问题发现如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，△EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；（2）类比引申如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，△BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，△EAF=45°，若△B，△D都不是直角，则当△B与△D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）联想拓展如图3，在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且△DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．14．（2014•山西校级模拟）已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连结D′E．（1）如图1，当△BAC=120°，△DAE=60°时，求证：DE=D′E；（2）如图2，当DE=D′E时，△DAE与△BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．（3）如图3，在（2）的结论下，当△BAC=90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC 是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）。

几何图形之半角模型主题半角模型教学容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的附属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形在联系，培养学生辩证观点。

知识构造正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质〔由学生和教师一起总结〕。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：〔1〕正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图〔2〕正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2〔2-1〕， ∴AG=BM=2〔2-1〕．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如以下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。

中考数学几何模型3 —角含半角模型角含半角模型模型，即一个角包含着它的一半大小的角。

它主要包含：等腰直角三角形含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。

阶段类似问题的常见办法有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

类型一：等腰直角三角形含半角模型（1）如图：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.（2）如图：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则BD2+CE2=DE2.（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF,过点A作AG⊥EF于点G，则EF=BE+DF，AG=AD.（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=DF-BE.（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD，连接EF，则EF=BE+DF.∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=12类型三：角含半角模型之 120°（60°）（1）如图，在四边形ABDC 中，∠B+∠D=180°，BC=DC ，∠BCD=120°，以C 为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点．连接EF ，探索: ① 线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系； ② AD 平分∠BDE ，AE 平分∠CED.（2）如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=DC ，∠BCD=120°，以A 为顶点作一个角，角的两边分别交CB 、DC 延长线于E 、F 两点，且∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并给出证明．例1 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AB ，AD 上，若CE=5，且∠ECF=45°，则求CF 的长.例2（2016•门头沟区一模）在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD 交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）例3如图，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上，∠DAE=∠DCE=60°，求证：DE=BD-CE.例4 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N 分别是AB，BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数.例5 如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，BC=CD ，∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=12∠BAD. （1）如图1，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明同步练习:1.（2017•鄂州）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD 上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则求△ABE的面积.2.（2019•太康县二模）（1）【探索发现】如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN=45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN=60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，四边形ABCD中，AB=AD=10，∠ADC=120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN=5（√3-1），请直接写出MN的长．3.如图，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上，点D在BC边上，∠DAE= 60°，∠DCE=120°，求证：BD=2CE.巩固练习：1.请阅读下列材料：问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°，当∠MAN交边CB、DC 于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是：延长CB至E使BE=DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN=4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．2. 问题背景：如图1， 在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E ，F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ，求证：EF=BE+FD ；证明：（1）延长EB 到G ，使BG=DF ，连接AG ． ∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD ， ∴△ABG ≌△ADF ． ∴AG=AF ，∠1=∠2．∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD ．∴∠GAE=∠EAF ． 又∵AE=AE ，∴△AEG ≌△AEF ． ∴EG=EF ．∵EG=BE+BG ． ∴EF=BE+FD 探索延伸：（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3.小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG=FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2，BC=3（如图（2）），是探究EG、FH 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为√5（如图（3）），试求EG的长度．24.（2017春•濮阳期末）（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是（提醒：解决此问题可以用如下方法；延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD）绕着点D 顺时针旋转180得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断．）（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．第 11 页 共 11 页 5. 习题解答习题 如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，连接EF ，则EF=BE+DF ，说明理由．解答：∵正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADE′，点F 、D 、E′在一条直线上． ∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF ，又∵AE′=AE ，AF=AF∴△AE′F ≌△AEF （SAS ） ∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF ．习题研究观察分析：观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是①ABCD 是四边形，点E 、F 分别在边BC 、CD上；②AB=AD ；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=12∠BAD ． 类比猜想：（1）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB=AD ，∠B=∠D 时，还有EF=BE+DF吗？研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF 吗？（2）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB=AD ，∠B+∠D=180°，∠EAF=12∠BAD 时，EF=BE+DF 吗？归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题.。