《运用公式法》第一课时上课课件

公式法
x b b2 4ac. b2 4ac 0.
2.什么叫分解因式? 2a
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
我思 我进步
分解因式法
小(x+结1)2-25拓当=0展. 一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 二的次因三 式项分式解个ax一2+bx次+c 因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 我∴x思+2=0,我或求进x-2步=解0. .这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分
例3 解方 2 x2 2 程 2 x 2 0
解 a1,b2 2,c2
b24ac(2 2)24120
x22022 2
2
2
x1x2 2
注意: 这个方程有两个相等的实数根.
归纳
当b2 4ac0时，一元二次a方x2 程 bxc 0(a 0) 有实数根
x1 b
b2 2a
4ac , x2
b
b2 4ac 2a
分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
(2)将方程左3边.因理式分论解; 依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例题欣赏 ☞
分解因式法
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
解 : 1.5x2 4x 0, 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
(❖1)化方程为(一4般)形两式;个一元一次方程的根就是原方程的根.
❖ 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
独立 作业

26
当我们进行因式分解时，
一、如果多项式各项含有公 因式，一般先提出公因式；
二、分解因式必须分解到每一 个因式都不能再分解为止。
课件在线
27
例4 分解因式：3a 2 2a b 2 27a 2b2
解：原式 3a2 2a b2 9b2
3a 2 2a b2 3b2
3a 2 2a b 3b2a b 3b
m 4k m 4k
22
课件在线
14
a2 b2 a ba b
a b 都表示单项式。
它们可以表示多项式吗？
课件在线
15
例如 分解因式：
x p2 x q2
课件在线
16
解：原式 x p2 x q2
a2 b2
x p x qx px q
a b a b
2x p qp q 课件在线
4 x4 x
1 1 ab 1 1 ab 2 2
x y 3mx y 3m
课件在线
33
在如图所示的圆环中，外圆半径R=9.5cm， 内圆半径r=8.5cm，求圆环（阴影部分）的面积 （取3.14，结果保留三个有效数字）
分析：圆环（阴影部分）的
r
面积= S大圆面积 S小圆面积
R
R 2 r 2
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
课件在线
5
a ba b a 2 b2
a b2 a 2 2ab b2
课件在线
6
a 2 b 2 a ba b
a 2 2ab b2 a b2
课件在线
7
7.3 .1 平方差公式

用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
x2 + x= -
配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2
即 ∵4a2＞0
( x + )2 =
∴当b2-4ac≥0时,
x + =±
解得 x= - ±
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。
你能编一个有解的一元二次 方程吗？
试一试，考考你的同学吧！

这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
二、用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
X=
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
③
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
④
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
（口答）填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0
解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5 （x1=-1+ ，x2=-1- ）
a
a
α
α
A
【例1】已知命题：
①10个平面重叠起来，要比5个平面 重叠起来厚；

a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 （1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
《公式法》优质实用课件（PPT优秀课 件）
《公式法》优质实用课件（PPT优秀课 件）
例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（1） 3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 = 3 （a x 2 + 2 x y + y 2） = 3 （a x y）2；
a 2 2 a b + b 2 = （ a b ） 2
《公式法》优质实用课件（PPT优秀课 件）
《公式法》优质实用课件（PPT优秀课 件）
理解完全平方式
我们把 a2+2ab+b和2 a2-2ab这+b样2 的式子叫做完 全平方式．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
《公式法》优质实用课件（PPT优秀课 件）
理解完全平方式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
《公式法》优质实用课件（PPT优秀课 件）
《公式法》优质实用课件（PPT优秀课 件）

若 0，即k 3
【解探思：究路 ① ：点∵利a拨用是】公一先式元由法二根解次的一方判元程别二x式次2-4方Δx=+程b12=-04的ac根≥0，判断x是否有6解，再366用求1根2k公式求出方程的解。
写出方程的解： x1=？， x2=？ 解：整理，得 4x2+12x+9=0 因为 b2-4ac=24
练习5.已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值。
（2）求
x4
2x2 x5
1
的值。
解： （2）x2-x-1=0， x2=x+1，
x4=（x2）2=（x+1）2=x2+2x+1=x+1+2x+1=3x+2，
x5=x（3x+2）=3x2+2x=3（x+1）+2x=5x+3，
2x2=2（x+1）=2x+2，
解：整理，得 4x2+12x+9=0
然后将其代入化简后的代数式求值即可。
解： 将方程化为一般形式，得 x2+4x-2=0
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例2.用公式法解一元二次方程 x2+4x=2
解： 将方程化为一般形式，得 x2+4x-2=0 因为 b2-4ac=24
所以 x 4 24 2 6
解：①∵ a是一元二次方程x2-4x+1=0的根， ∴ a2-4a+1=0，
然后将a2-4a整体代入所求的代数式并求值即可；
解：①∵ a是一元二次方程x2-4∴x+1a=20-的4根a=，-1；
探探究究： ：利利用用公公式式法法解解一一元元二二次次方方∴程程a2-4a+2012=-1+2012=2011；

(3)3ax4 3ay4
3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①， ∴x－y＝－2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x
y
1, 2
3. 2
想(2)一x4想y：2-4多=项( 式a)22--b(2有什)2么特点？你能将它分解因式吗？ 2=．(4a如+果3b多)(4项a-式3b各) 项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
2反．过如来果，多a项2-式b2各=项(a没+b有)(a公-b因) 式，则第一步考虑用公式分解因式．
反=(4过a来+3，b)(a42a--b32b)=(a+b)(a-b)
=(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b)
=(5a+b)(a+5b)
★平方差公式中字母a、b不仅可以表 示数，而且也可以表示其它代数式.
例3、把多项式x4-16分解因式.
解：x4-16 =(x2)2-42 =(x2+4)(x2-4) =(x2+4)(x+2)(x-2)
★分解因式应分解到各因 式都不能再分解为止.
[例1]分解因式：
=(6+5x)(6-5x)
★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然后再进一步分解因式,直到不能分解为止.
x 16 x 4 (x 4)( x 4) 2 2 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单2项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
y√2-x2
(2a)+b1)6(a2-b-9)=b2a2-b2.

21.2.2 公式法
学习目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念.
会熟练应用公式法解一元二次方程.
复习导入
•用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平 方; 4.变形:方程左边写成完全平方公式,右边合并同类; 5.开方:右边非负，根据平方根意义,方程两边开平方 ; 6.求解:解两个一元一次方程; 7.定解:写出原方程的两个解.
(4) 4x2 - 6x = 0 ;
(5) x2 + 4x + 8 = 4x + 11 ;
(6) x(2x – 4) =5 - 8x .
课堂作业
(1) x x 6 0;
2
解：因为a 1, b 1, c 6, 所以b 2 4ac 12 4 1 6 25 0, b b 4ac 1 25 x . 2a 2 1 1 5 1 5 即x1 2, x2 3. 2 2
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a x2 4、写出方程的解： x1、
2
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。 13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。 14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对 忧伤。 15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。 16、在路上，我们生命得到了肯定，一路上，我们有失败也有成功，有泪水也有感动，有曲折也有坦途，有机遇也有梦想。一路走来，我们熟悉了陌生的世界，我们熟 悉了陌生的面孔，遇人无数，匆匆又匆匆，有些成了我们忘不掉的背影，有些成了我们一生的风景。我笑，便面如春花，定是能感动人的，任他是谁。 17、努力是一种生活态度，与年龄无关。所以，无论什么时候，千万不可放纵自己，给自己找懒散和拖延的借口，对自己严格一点儿，时间长了，努力便成为一种心理 习惯，一种生活方式！ 18、自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做别人茶余饭后的笑点。 19、即使不能像依米花那样画上完美的感叹号，但我们可以歌咏最感人的诗篇；即使不能阻挡暴风雨的肆虐，但我们可以左右自己的心情；即使无法预料失败的打击， 但我们可以把它当作成功的一个个驿站。 20、能力配不上野心，是所有烦扰的根源。这个世界是公平的，你要想得到，就得学会付出和坚持。每个人都是通过自己的努力，去决定生活的样子。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到 你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人， 等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 18、人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ 19、如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。 20、不忘初心，方得始终。 21、每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。 22、不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。 23、恨别人，痛苦的却是自己。 24、每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。 25、你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！ 26、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。 27、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹 28、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 29、人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。 30、时间，带不走真正的朋友；岁月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的 情，无论你好与不好，只是漠然。走过一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。 31、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。 32、命好不如习惯好。养成好习惯，一辈子受用不尽。 33、比别人多一点执着，你就会创造奇迹。

即 (x - 1)2 = 4. 两边开平方，得 x - 1= ±2.
∴ x1= 3，x2= -1.
情境导入
你能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？
①化：二次项系数化为 1 ； ②移：将常数项移到等号右边； ③配：配方，使等号左边成为完全平方式； ④开：等号两边开平方； ⑤解：求出方程的解.
你能用配方法解一般形式的一元二 次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)吗？
下课！ 同学们再见！
授课老师：
22200
时间：2024年9月15日
2023 课件
新知讲解
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用 配方法解此方程.
解：方程两边都除以 a，得 x2 b x + c 0 . aa
配方，得 x2 b x + ( b )2 ( b )2 + c 0， a 2a 2a a
(x
+
b 2a
)2
b2 4ac 4a 2
随堂练习
1.不解方程，判断下列方程的根的情况:
(1) 2x2 + 5 = 7x；
(2) 4x(x-1) + 3 = 0.
解：(1) 将方程化成一般形式： 2x2-7x + 5 = 0.
Δ = b2 -4ac =(-7)2 -4×2×5 = 9 > 0，
(2) 将方程化成一般形式： 4x2-4x + 3 = 0.
经典例题
例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0；
(2) 4x2 +1=4x.
分析：
(1) ①找对应系数：
(2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0；

典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.

例 5：若x²+3xy-2y²=0，则

点拨：方程两边同时乘
=

,得

− ±



.


+ × − = ,


设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值

范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理

人教版数学九年级上册
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
用配方法解一元二次方程的步骤
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.二次项系数化为1：方程两边都除以二次 项系数 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解两个一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
例1.已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方 程根的情况是（A ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等 的实数根
C.两个根都是自然数 D．无实数根
1.根据根的判别式判断一元二次方程根的情况
练1．已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值．
用配方法解方程： 4x26x30
解:移项，得： 4x2 6x 3,
温
二次项系数化为1，得 x2 3 x 3 ,
故
配方，得
24
x2
3 2
x
3 4
2
3 4
3 4
2
,
知 新
(x 3)2 21 4 16
由此得: x 3 21
44
x1
3
4
21 ,x2
3 - 21 4
请问：一元二次方程的一般形式是什么？
6
x
36 6 6 ,
24
8
x1
0,
x2
3. 2
3 x2 4 x 84 x 1 1
解：化为一般式 x2 3 0 .
3．多项式与多项式相乘
a 1, b 0, c 3. 考察内容是：