2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题

2020年山东省泰安市肥城市新高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题1．（5分）已知集合{|11}A x x =-<<，{|02}B x x =<<，则(A B =U ) A ．(1,2)-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)2．（5分）若集合{1P =，2，3，4}，{|05Q x x =<<，}x R ∈，则“x P ∈”是“x Q ∈”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）已知(a x =r ，4-，2)，(3b =r ，y ，5)-，若a b ⊥r r ，则22x y +的取值范围为()A ．[2，)+∞B ．[3，)+∞C ．[4，)+∞D ．[5，)+∞4．（5分）若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =．则( ) A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<5．（5分）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）函数2log y x x =( )A．B．C．D．7．（5分）已知函数31(0)()2(0)xaxf xx x-⎧+=⎨+>⎩…，若((1))18f f-=，那么实数a的值是()A．0B．1C．2D．38．（5分）2018年辽宁省正式实施高考改革．新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课．这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想．考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习．某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的()A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史 二、多选题9．（5分）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则()(f x )A ．是偶函数B ．在(0,)2π单调递减C ．最大值为2D ．其图象关于直线2x π=对称10．（5分）如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比95.80%0.48%-3.82%0.86%则下列判断中正确的是( )A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 11．（5分）在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当//BD 平面EFGH 时，下面结论正确的是( ) A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．::AE EB AH HD =，且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形12．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABC DC ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4πD ．三棱柱1111AA D BB C - 三、填空题13．（5分）1arcsin()arccos(arctan(2-++= ．14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线1l ．再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线1l 关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是 ． 15．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为 ．16．（5分）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且(0)0f =，当(0x ∈，]e 时，()f x lnx =．已知方程1()sin 22f x x e π=在区间[e -，3]e 上所有的实数根之和为3ea ，将函数2()3sin 14g x x π=+的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则h （7）= ． 四、解答题17．（10分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2219a a =，618S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小．18．（12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,]2π上的最小值及取最小值时的x 的集合．19．（12分）如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒．（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 21．（12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表： 月收入（单位百元） [15，25) [25，35)[35，45) [45，55) [55，65) [65，75)频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数4812521（Ⅰ）由以上统计数据填下面22⨯列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数合计 赞成 不赞成 合计（Ⅱ）若采用分层抽样在月收入在[15，25)，[25，35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15，25)的概率．参考公式：22()()()()()n ad bd K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：22．（12分）已知函数22()()x f x e ax x a =++在1x =-处取得极小值． （1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m的取值范围．（参考数据： 2.236)e ≈≈2020年山东省泰安市肥城市新高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）已知集合{|11}A x x =-<<，{|02}B x x =<<，则(A B =U ) A ．(1,2)-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)【解答】解：集合{|11}(1,1)A x x =-<<=-，{|02}(0,2)B x x =<<=， 则(1,2)A B =-U ， 故选：A ．2．（5分）若集合{1P =，2，3，4}，{|05Q x x =<<，}x R ∈，则“x P ∈”是“x Q ∈”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：Q 集合{1P =，2，3，4}，{|05Q x x =<<，}x R ∈，∴ “x P ∈” ⇒ “x Q ∈”，即充分性成立，反之，则不成立．例：0.1Q ∈，但0.1P ∉，即必要性不成立． 故“x P ∈”是“x Q ∈”的充分非必要条件． 故选：A ．3．（5分）已知(a x =r ，4-，2)，(3b =r ，y ，5)-，若a b ⊥r r ，则22x y +的取值范围为()A ．[2，)+∞B ．[3，)+∞C ．[4，)+∞D ．[5，)+∞【解答】解：Q a b ⊥r r ，∴34100a b x y =--=rr g， 原点到直线的距离2d ==．则22x y +的取值范围为[4，)+∞． 故选：C ．4．（5分）若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =．则( ) A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【解答】解：23a =，可得(1,2)a ∈， 2log 52b =>，由32c =．可得(0,1)c ∈．c a b ∴<<．故选：A ．5．（5分）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--可知， ①当01a <<时，此时10a -<，对数函数log a y x =为减函数， 而二次函数2(1)y a x x =--开口向下，且其对称轴为102(1)x a =<-，故排除C 与D ；②当1a >时，此时10a ->，对数函数log a y x =为增函数， 而二次函数2(1)y a x x =--开口向上，且其对称轴为102(1)x a =>-，故B 错误，而A 符合题意． 故选：A ．6．（5分）函数2log y x x =( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当4x =时，2log 44220y =-=， 当16x =时，2log 1616440y =-=-=， 即函数有两个零点，排除B ，C ，D 故选：A ．7．（5分）已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+=⎨+>⎩„，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：Q 函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+=⎨+>⎩„，((1))18f f -=，(1)314f ∴-=+=，((1))f f f -=（4）4218a =+=，解得2a =． 故选：C ．8．（5分）2018年辽宁省正式实施高考改革．新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课．这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想．考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习．某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的( )A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史 【解答】解：由等高堆积条形图知：在A 中，由等高堆积条形图2知，样本中的女生数量多于男生数量，故A 正确；在B 中，由等高堆积条形图1知，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，故B 正确；在C 中，由等高堆积条形图2知，样本中的男生偏爱物理，故C 正确； 在D 中，由等高堆积条形图2知，样本中的女生偏爱物理，故D 错误． 故选：D ． 二、多选题9．（5分）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则()(f x )A ．是偶函数B ．在(0,)2π单调递减C ．最大值为2D ．其图象关于直线2x π=对称【解答】解：Q 函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++2)]44x ππ=++2)2x π=+2x =，()2f x x ∴=，()f x ∴C 不符合题意．()2)2()f x x x f x -=-==Q ，()y f x ∴=为偶函数，其对称轴方程是：()2k x k Z π=∈，所以A ，D 选项符合题意；2y x =的单调递减区间为222()k x k k Z πππ+∈剟，即()2k xk Z ππ∈剟，函数()y f x =在(0,)2π单调递减，所以B 选项符合题意．故选：ABD ．10．（5分）如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是( )A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【解答】解：根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为0.48-，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确． 故选：ACD ．11．（5分）在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当//BD 平面EFGH 时，下面结论正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．::AE EB AH HD =，且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形【解答】解：Q 在三棱锥ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，//BD 平面EFGH ，//BD EH ∴，//BD FG ，E ，F ，G ，H 未必是各边的中点，故A ，B 错误； ::AE EB AH HD ∴=且::BF FC DG GC =．四边形EFGH 是平行四边形或梯形； 故选：CD ．12．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4πD ．三棱柱1111AA D BB C -3【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， 对于选项A ：直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确．对于选项B ：点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即h =，故选项B 正确． 对于选项C ：两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误．对于选项D ：三棱柱1111AA D BB C -外接球半径2r ==，故选项D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题13．（5分）1arcsin()arccos(arctan(2-++= 3π．【解答】解：11arcsin()arccos(arctan(arcsin()22π-++=-+--()6633πππππ=-+--=，故答案为：3π． 14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线1l ．再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线1l 关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是6810x y -+= ．【解答】解：设直线l 的方程为：y kx b =+，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线1:(3)5l y k x b =-++，化为53y kx b k =++-， 再将直线1l 沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，(31)52y k x b =--++-，化为34y kx k b =+-+．又与直线l 重合．34b k b ∴=-+，解得34k =． ∴直线l 的方程为：34y x b =+，直线1l 为：31144y x b =++， 设直线l 上的一点3(,)4m P m b +，则点P 关于点(2,3)的对称点3(4,6)4P m b m '---，33116(4)444b m m b ∴--=-++，解得18b =．∴直线l 的方程是3148y x =+，化为：6810x y -+=． 故答案为：6810x y -+=．15．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为 8π ．【解答】解：由题意如图所示：设P 为底面正方形11BCC B 的中心， 即是底面外接圆的圆心可得外接圆的半径2r PC ==，1PE =， 取E 为11B C 的中点，连接ME ，由题意可得ME ⊥面1BC ，且可得11112ME A B ==， 过P 作PO ⊥面1BC 可得//PO ME ，取OC OP R ==，则O 为外接球的球心， 作//ON PE 交ME 于N ，可得四边形PONE 为矩形， 在三角形OPC 中222222OP OC PC R NE =-=-=， 在三角形MON 中22221MN OM ON R =-=-，因为ME MN NE =+，所以22112R R =-+-，解得2R =， 所以外接球的表面积248S R ππ==， 故答案为：8π．16．（5分）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且(0)0f =，当(0x ∈，]e 时，()f x lnx =．已知方程1()sin 22f x x e π=在区间[e -，3]e 上所有的实数根之和为3ea ，将函数2()3sin 14g x x π=+的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则h （7）= 52． 【解答】解：因为()()f e x f e x +=-，所以()f x 关于x e =对称，又因为偶函数()f x ，所以()f x 的周期为2e ． 当(0x ∈，]e 时，()f x lnx =， 另外(0)0f =，所以(2)0f e =，于是可作出函数()f x 在[e -，3]e 上的图象如图所示，方程1()sin 22f x x e π=的实数根可以看作函数()y f x =与函数1sin 22y x eπ=的交点的横坐标，由图象的对称性可知，两个函数在[e -，3]e 上有6个交点，且6个交点的横坐标之和为6e ， 所以63e ea =，故2a =， 因为235()3sin 1cos 4222g x x x ππ=+=-+， 所以3535()cos (2)cos 222222h x x x ππ=--+=+，故3755(7)cos 2222h π=+=．故答案为：52．四、解答题17．（10分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2219a a =，618S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小． 【解答】解：（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=，解得18a =，2d =-．{}n a ∴的通项公式为102n a n =-，*n N ∈．（2）由（1），得22(1)9818(2)9()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+． *n N ∈Q ，∴当4n =或5n =时，n S 有最大值为20．18．（12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,]2π上的最小值及取最小值时的x 的集合．【解答】解：4422()cos 2sin cos sin cos sin sin 2cos2sin 22cos(2)4f x x x x x x x x x x x π=--=--=-=+，（1）令22224k x k πππππ+++剟，解可得，3788k x k ππππ++剟，k Z ∈， 故函数的单调递增区间37[,]88k k ππππ++，k Z ∈， （2）Q 1[0,]2x π∈，∴52[,]444x πππ+∈，∴当24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值2-． 19．（12分）如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒． （1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积．【解答】解：（1）证明：Q 四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒．90ACD BAC ∴∠=∠=︒，AB AC ∴⊥，Q 几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AB AA ∴⊥，1AC AA A =Q I ，AB ∴⊥平面11ACC A ．（2）解：连结1A C ，AB ⊥Q 平面11ACC A ，//CD AB ，CD ∴⊥平面11CC A ，∴四棱锥111C A B CD -的体积：11111D CC A C A B C V V V --=+1111111133A C C ABC CD S CC S =⨯⨯+⨯⨯V V 111122323232233232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 8=．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点22． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意知：22c =，221112a b+=，222a b c =+，解得：22a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2212x y +=；（2）假设存在这样的直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，由（1）得(0,1)B ，(1,0)F ，1BF k ∴=-， 由题意可得l BF ⊥，NF BM ⊥，设直线l 的方程为：y x m =+，(,)M x y ，(,)N x y ''， 联立直线与椭圆的方程整理得：2234220x mx m ++-=，∴△221643(22)0m m =-⨯⨯->，可得23m <，即33m -<<，且43mx x '+=-，2223m xx -'=，2()yy xx m x x m '''=+++Q (1FN BM x '=-u u u r u u u u rg ，)(y x '，2222224341)()2(1)()2(1)333m m m m y xx x yy y xx yy x x m xx m x x m m m m m -+-''''''''-=-+-=+--+=+-++-=--+-=g g ，因为NF BM ⊥，所以0NF BM =u u u r u u u u rg ，所以2340m m +-=，解得：1m =或43m =-，当1m =过了B 点，所以舍去所以存在直线4:3l y x =-符合F 为BMN ∆的垂心．21．（12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表： 月收入（单位百元） [15，25) [25，35)[35，45) [45，55) [55，65) [65，75)频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数4812521（Ⅰ）由以上统计数据填下面22⨯列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数合计 赞成 不赞成（Ⅱ）若采用分层抽样在月收入在[15，25)，[25，35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15，25)的概率．参考公式：22()()()()()n ad bd K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【解答】解：（Ⅰ）由题意填22⨯列联表如下，由表中数据，计算250(297311) 6.27 6.63540103218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异； （Ⅱ）用分层抽样在月收入在[15，25)，[25，35)的被调查人中随机抽取6人， 则月收入在[15，25)内有562510⨯=+（人)记为A 、B ，在[25，35)有624-=（人)，记为c 、d 、e 、f ；从这6人中抽取3人，基本事件是ABc 、ABd 、ABe 、ABf 、Acd 、Ace 、Acf 、Ade 、Adf 、Aef 、Bcd 、Bce 、Bcf 、Bde 、Bdf 、Bef 、cde 、cdf 、cef 、def 共20种，这3人中至少收入在[15，25)的事件是ABc 、ABd 、ABe 、ABf 、Acd 、Ace 、Acf 、Ade 、Adf 、Aef 、Bcd 、Bce 、Bcf 、Bde 、Bdf 、Bef 共16种，故所求的概率值为164205P ==． 22．（12分）已知函数22()()x f x e ax x a =++在1x =-处取得极小值． （1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m的取值范围．（参考数据： 2.236)e ≈≈ 【解答】解：（1）函数22()()x f x e ax x a =++， 由题意得22()[(21)1]x f x e ax a x a '=++++，因为函数22()()x f x e ax x a =++在1x =-处取得极小值． 依题意知(1)0f '-=，解得0a =或1a =， 当0a =时，()(1)x f x e x '=+，若1x <-，()0f x '<，则函数()f x 单调递减； 若1x >-，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以当1x =-时，()f x 取得极小值，无极大值，符合题意， 当1a =时，()(1)(2)x f x e x x '=++，若2x <-成1x >-，()0f x '>，则函数()f x 单调递增， 若21x -<<-，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极小值，2x =-处取得极大值，符合题意， 综上，实数0a =或1a =；（2）因为函数()f x 存在极大值与极小值， 所以由（1）知，1a =， 函数()()2g x f x x m =--， 所以2()(1)2x g x e x x x m =++--， ()(1)(2)2x g x e x x '=++-，当0x >时，()0g x '>，故函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当0x <时，令()(1)(2)2x h x e x x =++-， 则2()(55)x h x e x x '=++，所以当x <或x >()0h x '>，()h x 单调递增，x <<()0h x '<，()h x 单调递减，第21页（共21页）因为(0)0h =，3.618336( 3.618)( 2.618)( 1.618)232220h h e e e --≈-=⨯-⨯--<⨯⨯-=-<， 所以当0x <时，()0g x '<，故()g x 在(,0)-∞上单调递减，因为函数()g x 在R 上有两个零点，所以(0)10g m =-<，所以1m >， 取02m x =-<， 222222(1)3()(1)2()(1)02422424m m m m m m m m m m g e m e e ----+-=-+-⨯--=-+=⨯>， 取1x m =>，2222()(1)31321(1)0m g m e m m m m m m m m m =++->++-=-+=->， 所以，实数m 的取值范围是(1,)+∞；。

2020年山东省泰安市肥城市一模数学试题一、选择题1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）2.若集合{}{}1234|05P Q x x x ==<<∈R ，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也非不必要条件3.已知(),4,2a x =-，()3,,5b y =-，若a b ⊥，则22x y +的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)3,+∞C ．[)4,+∞D ．[)5,+∞4.若a ，b ，c 满足23a=，2log 5b =，32c =.则（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<5.函数2log y x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．37.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史 二、填空题8.(13arcsin arccos arctan 322⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 9.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是________________.10.在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为__________．11.定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e+x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e]时，f （x ）＝ln x 已知方程122f x sin x e π=（）在区间[﹣e ，3e]上所有的实数根之和为3e a ，将函数23sin 14g x x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____. 三、解答题12.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.13.已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合. 14.如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积.15.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的焦距为2，且过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.16.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表: 月收入（单位百元） [15,25）[25,35）[35,45）[45,55）[55,65）[65,75）频数5 10 1510 5 5（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;（Ⅱ）若采用分层抽样在月收入在[15,25）,[25,35）的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25）的概率.参考公式:K 2()()()()2()n ad bd a b c d a c b d -=++++,其中n =a +b +c +d . 参考数据:17.已知函数()22()e x f x ax x a =++在1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈ 2.236≈） 四、不定项选择题18.对数函数log a yx =（0a >且1a ≠）与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．19.设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x （ ） A ．是偶函数B ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．最大值为2 D ．其图像关于直线2x π=对称20.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比95.80%﹣0.48%3.82%0.86%则下列判断中正确的是（ ）A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低21.在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是（ ）A ．,,,E F G H 一定是各边的中点B ．,G H 一定是,CD DA 的中点C ．::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形22.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3参考答案1.【解析】由题意得{}()121,2A B x x ⋃=-<<=-.故选：A ． 【答案】A2.【解析】由题可知，若x P ∈，则一定有x Q ∈，故充分性满足；但是若x Q ∈，则不一定有x Q ∈，故必要性不满足. 故“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件. 故选：A ． 【答案】A3.【解析】(),4,2a x =-,()3,,5b y =-,且a b ⊥由向量数量积的运算可得34100a b x y ⋅=--=22x y +的意义为(),x y 到原点距离平方由点到直线距离公式可知原点到直线34100x y --=的距离为2d ==因为点到直线的距离为最短距离,所以22x y +的最小值为4即22xy +的取值范围为[)4,+∞故选:C 【答案】C4.【解析】23a =，12232<<，∴12a <<，22log 5log 4b =>，∴2b >，32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A ． 【答案】A5.【解析】当4x =时2log 0y x ==，所以舍去D;当16x =时2log 0y x ==，所以舍去BC ； 故选：A 【答案】A6.【解析】(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =.故选：C ． 【答案】C7.【解析】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D ． 【答案】D8.【解析】(1arcsin arccos arctan 22⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1arcsin arccos arctan 2π⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭⎝⎭663ππππ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭ 3π=.故答案为：3π. 【答案】3π 9.【解析】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则直线l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b ，平移后的直线方程为y ＝k （x －3－1）＋b ＋5－2 即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b取直线l 上的一点3,4P m m b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，则点P 关于点（2，3）的对称点为34,64m b m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ， ()331164444b m m b --=-++ ，解得b ＝18.∴直线l 的方程是3148y x =+ ，即6x －8y ＋1＝0.故答案为：6x －8y ＋1＝0 【答案】6x －8y ＋1＝010.【解析】由题意得四边形11B C CB 为正方形，设其中心为O ，取11B C 中点N,则111,12ON MNON MN OM OB OC OB OC ⊥==∴=====,即O 为四棱锥11M B C CB -的外接球球心，球半径为2，球表面积为24π(2)8π=. 【答案】8π11.【解析】因为f （e+x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ），所以f （x ）的周期为2e.当x ∈（0，e]时，f （x ）＝ln x ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e]上的图象如图所示， 方程1()sin 22e f x x π=的实数根是函数y ＝f （x ）与函数1sin 22ey x π=的交点的横坐标， 由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e ，所以4e ＝3e a ，故a 43=， 因为235()3sin 1cos 4222g x x x ππ=+=-+， 所以345325()cos ()cos()22322232h x x x πππ=--+=--+， 故3253310(7)sin 2324h π+=+=. 故答案为：33104+.3310+12.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．13.【解析】（1）()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=--=-+-22cos sin 2sin cos cos 2sin 224x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()3222242k x k k πππππ-+≤-≤-+∈Z ， 得()588k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,88k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤，当242x ππ-=时，即当38x π=时，函数()y f x =取得最小值.因此，函数()y f x =的最小值为，对应的x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【答案】（1）()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为2-，x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.14.【解析】（1）证明:四边形ABCD 为平行四边形,2AD CD =,60ADC ∠=︒.90ACD BAC ∠∠∴==︒,AB AC ∴⊥,几何体中,111ABC A B C -为三棱柱,且1AA ⊥平面ABC ,1AB AA ∴⊥,1AC AA A ⋂=,AB ∴⊥平面11ACC A .（2）连结1A C ,AB ⊥平面11ACC A ,//CD AB ,CD 平面11CC A ,∴四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+1111111133A C CA B C CD S CC S =⨯⨯+⨯⨯111122323232233232=⨯⨯⨯⨯⨯⨯8=.【答案】（1）证明见解析（2）815.【解析】解：（1）由已知可得：22222221112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =， 所以椭圆C ：2212x y +=.（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥， 设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，∵BN MF ⊥，∴1212111y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()212122(1)0x x m x x m m +-++-=.()2222421033m m m m m --+-+-=.所以2340m m +-=，43m =-或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43m =-. 故存在直线l ：43y x =-满足题设条件. 【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =-16.【解析】（Ⅰ）由题意填2×2列联表如下,由表中数据,计算K 2()25029731140103218⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 6.27<6.635,所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;（Ⅱ）用分层抽样在月收入在[15,25）,[25,35）的被调查人中随机抽取6人,则月收入在[15,25）内有65510⨯=+2（人）记为A ､B ,在[25,35）有6﹣2=4（人）,记为c ､d ､e ､f ; 从这6人中抽取3人,基本事件是ABc ､ABd ､AB e ､ABf ､Acd ､Ac e ､Acf ､Ad e ､Adf ､A e f ､Bcd ､Bc e ､Bcf ､Bd e ､Bdf ､B e f ､cd e ､cdf ､c e f ､d e f 共20种,这3人中至少收入在[15,25）的事件是ABc ､ABd ､AB e ､ABf ､Acd ､Ac e ､Acf ､Ad e ､Adf ､A e f ､Bcd ､Bc e ､Bcf ､Bd e ､Bdf ､B e f 共16种, 故所求的概率值为P 164205==. 【答案】（Ⅰ）填表见解析,没有 （Ⅱ）4517.【解析】（1）由题意得22()e (21)1x f x ax a x a '⎡⎤=++++⎣⎦.因为函数()22()exf x axx a =++在1x =-处取得极小值，依题意知'(1)0f -=，解得0a =或1a =.当0a =时，'()e (1)x f x x =+，若1x <-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减， 若1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增，所以，当1x =-时，()f x 取得极小值，无极大值，符合题意.当1a =时，'()(1)(2)xf x e x x =++，若2x <-或1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增；若21x -<<-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极小值，2x =-处取得极大值，符合题意， 综上，实数0a =或1a =.（2）因为函数()f x 存在极大值与极小值，所以由（1）知，1a =. 所以()2()e12xg x xx x m =+--+，()e (1)(2)2x g x x x '=++-.当0x >时，'()0g x >，故函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，令()e (1)(2)2xh x x x =++-，则()2()e 55xh x xx '=++，所以当x <x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，x <<()0h x '<，()h x 单调递减，因为(0)0h =， 3.6183356( 3.618)e ( 2.618)( 1.618)2e 3222e h h --⎛-≈-=⨯-⨯--<⨯⨯-= ⎝⎭20-<，所以当0x <时，'0g x <（），故()g x 在(,0)-∞上单调递减. 因为函数()g x 在R 上有两个零点，所以(0)10g m =-<，所以1m .取02m x =-<，22222224(1)312e e 0242244m m m m m m m m m m g e m ---⎛⎫-+-+⎛⎫⎛⎫-=-+-⨯--==>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 取1x m =>，()2222()e131321(1)0mg m mm m m m m m m m =++->++-=-+=->，所以，实数m 的取值范围是(1,)+∞. 【答案】（1）0a =或1a =（2）(1,)+∞18.【解析】当01a <<时，函数log a yx =单调递减，2(1)y a x x =--开口向下，对称轴在y 轴的左侧，排除C ，D ；当1a >时，函数log ay x =单调递增，2(1)y a x x =--开口向上，对称轴在y 轴的右侧，排除B ； 故选：BCD 【答案】BCD19.【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，本说法正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，本说法正确；选项C ：()2f x x =，本说法不正确；选项D ：当2x π=时，()22f x π=⨯=因此当2x π=时，函数有最小值，因此函数图象关于2x π=对称，本说法正确. 故选：ABD 【答案】ABD20.【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误； 该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确． 故选：ACD ． 【答案】ACD21.【解析】由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形. 故选：CD. 【答案】CD22.【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故A 正确；对于B ，因为1B C ⊥平面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h =，故B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故22r ==，故D 正确． 综上可知，正确的为ABD ， 故选：ABD ． 【答案】ABD。

山东省泰安市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．2C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 3．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.4．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D．22+ 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即|cos |y x =直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为sin y x '=， 故444cos sin 2x k x x -==+，所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.5．已知函数3sin ()(1)()x x x xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x xy e e -=+为偶函数，所以()()()1gx x m x =+-为偶函数，故()()0gx g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 6．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-g …，求得12ω…②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ…，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=g ，且42k ππωϕπ+='+g ，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x Q 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-g…，12ω∴…②． 由①②可得ω的最大值为1． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=g ，满足4πx =-为()f x 的零点， 同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 7．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.11．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解. 【详解】 因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上， 所以1a b +=， 解得2,1,a b ==- 所以3a b -=. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．104．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．18．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为______．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是______．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为______．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为______．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．2020年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={3，4}，则（∁U A）∪B={3，4，5}．故选：C．2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=2t+i，z2=1﹣2i，∴=，又为实数，∴4t+1=0，即t=﹣．故选：D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．10【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=1，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=10，k=5；当k=5时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=35，k=7；当k=7时，满足退出循环的条件，故输出的S值为35，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的定义判断A的正误；函数的极值的充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”函数不一定有极值，“x0是函数y=f（x）的极值点”一定有导函数为0，所以已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选：B．5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．7．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，A（2，1），O（0，0），点M（x，y）的=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A1（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点A1（2，2）代入直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．8．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据标准差的含义，可判断①；根据几何概型概率计算公式，可判断②；根据直线与圆的位置关系，可判断③【解答】解：①若两组数据的平均数相等，不表示离散程度相等，则它们的标准差可能不相等，故为假命题；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为=≠，故为假命题；③（0，0）点到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0与圆相切，故为真命题；故选：B．9．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值【解答】解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=3n，n∈z，又ω＞0，故其最小值是3．故选：A．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+1），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+1）=f（x+1），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，∴f（4）+f（4）=0+2=2，故选：A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置. 11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55，∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55；从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，在[50，60）年龄段抽取的人数为22×=22×=2．故答案为：2．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据等比数列的性质结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：①a n=（﹣1）n，则a3+a5≥2a4不成立，故①错误，②∵a32+a52≥2|a3a5|=2a42；故；故②正确，③若a n=（﹣1）n，则a3=a5=﹣1，但a1=﹣1，a2=1，a1=a2；不成立，故③错误，④若a5＞a3，则q2a3＞a3，∵q2＞0，∴q2a5＞q2a3，即a7＞a5成立，故④正确，故正确的是②④，故答案为：②④．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，代入数量积公式解出AD．【解答】解：，==﹣+．∴=（）•（﹣）=﹣++=1．∵=，=AD2，．∴AD2+﹣=1，解得AD=1．故答案为：1．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为t＞﹣．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求解导数f′（x）=﹣6x2+4tx，分类讨论得出极值点，根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数．【解答】解：∵函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1，∴f′（x）=﹣6x2+4tx=0，∴x=0，x=（1）当t=0时，f（x=﹣2x3+1单调递减，f（0）=1＞0，f（2）=﹣15＜0∴存在唯一的零点，是正数．（2）当t＞0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜0，x∴f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）单调递减在（0，）单调递增∴极大值f（）＞f（1），极小值f（0）=1＞0，∴存在唯一的零点，（3）当t＜0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即＜x＜0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜，x＞0∴f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）单调递减在（，0）单调递增∴极小值f（）＜f（1），极大值f（0）=1＞0，∵只需极小值f（）＞0即可，+1＞0，且t＜0∴﹣＜t＜0，综上：﹣＜t＜0，或t≥0故答案为：t＞﹣．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．【考点】解三角形；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；（2）根据f（C）=求出C，根据，•=12解出a，使用余弦定理解出c．【解答】解：（1）f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+1=sin2x﹣+1=sin（2x+）+．令≤2x+≤，解得≤x≤．∴函数f（x）的单调递减区间是[，]，k∈Z．（2）∵f（C）=sin（2C+）+=，∴sin（2C+）=1，∴C=．∵•=abcosA=2a=12，∴a=2．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4．∴c=2．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用列举法能求出两球编号之和小于8的概率．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2的基本事件个数，由此能求出所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【解答】解：（Ⅰ）将甲袋中编号分别为1，2，3，4的4个分别记为A1，A2，A3，A4，将乙袋中编号分别为2，4，6的三个球分别记为B2，B4，B6，从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为：（A1，B2），（A1，B4），（A1，B6），（A2，B2），（A2，B4），（A2，B6），（A3，B2），（A3，B4），（A3，B6），（A4，B2），（A4，B4），（A4，B6），共12种，其中两球面镜编号之和小于8的共有8种，所以两球编号之和小于8的概率为：=．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数n==18，其中不含有编号2的基本事件有，∴含有编号2的基本事件个数m=18﹣6=12，∴所取出的3个球中含有编号为2的球的概率p=．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得a n=3n﹣1，再将n换为n﹣1，两式相减可得b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值．【解答】解：（I）∵数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，∴a n=q n﹣1，由a1，a3，a2+14成等差数列，可得2a3=a1+a2+14，即为2q2=1+q+14，解得q=3（负的舍去），即有a n=3n﹣1，∴a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=b1+3b2+32b3+…+3n﹣1b n=（n﹣1）•3n+1，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2b n﹣1=（n﹣1﹣1）•3n﹣1+1（n≥2），两式相减得：3n﹣1b n=（n﹣1）•3n﹣（n﹣2）•3n﹣1=（2n﹣1）•3n﹣1，∴b n=2n﹣1，当n=1时，a1b1=1，即b1=1满足上式，∴数列{b n}的通项公式是b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，n≥2时，c n﹣1=，c n﹣c n﹣1=﹣=，可得n=2，3，…，6时，c n≥c n﹣1；n=7，…时，c n＜c n﹣1．即有n=5或6时，c n取得最大值，且为，即为m≥，可得m的最小值为．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．【解答】证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，又∵AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB=A，∴PC⊥平面PAB，∵PC⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAB．（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，∵M是CE中点，∴MQ∥AC，∵PB=4PN，AB=4AQ，∴QN∥AP，又∵AP∩PC=P，AP⊂平面APC，PC⊂平面APC，QN∩QM=Q，QN⊂平面MNQ，QM⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAC，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得即可得出椭圆方程．（Ⅱ）由截距式可得直线BC的方程为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，利用根与系数的关系可得P．利用斜率计算公式可得k CP，可得直线CP的方程，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得D．可得直线DE 的斜率，化简整理即可证明．【解答】解：（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得a2=16，b2=4，∴椭圆C： +=1．证明：（Ⅱ）A（4，0），B（﹣4，0），C（0，2），直线BC的方程为：=1，化为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，∴4x P=，解得x P=，∴y P=k（x P﹣4）=，故P．k CP==，故直线CP的方程为：y=x+2，令y=0，解得x=，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得：，解得，∴D．直线DE的斜率为k1===，∴．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），求出h（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=+=+，F′（x）=，令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e，∴F（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故F（x）max=+；证明：（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），则h′（x）=，从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）的最小值是h（1）=1，又F（x）的最大值是+＜1，∴F（x）＜h（x），即+＜x﹣f（x）；解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，令H（x）=mlnx﹣x，m∈[0，]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．2020年9月19日。

2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【答案】A【解析】根据并集的概念直接计算即可得解. 【详解】由题意得{}()121,2A B x x ⋃=-<<=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合并集的运算，属于基础题.2．若集合{}{}1234|05P Q x x x R ==<<∈，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也非不必要条件【答案】A【解析】根据题意，对充分性和必要性进行讨论，即可判断和选择. 【详解】由题可知，若x P ∈，则一定有x Q ∈，故充分性满足； 但是若x Q ∈，则不一定有x Q ∈，故必要性不满足. 故“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.3．已知(),4,2a x =-r ，()3,,5b y =-r ，若a b ⊥r r ，则22x y +的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)3,+∞C ．[)4,+∞D ．[)5,+∞【答案】C【解析】根据向量的坐标与垂直关系,可得,x y 的等量关系.由22xy +可知其意义为(),x y 到原点距离平方,即可由点到直线距离公式求解.(),4,2a x =-r,()3,,5b y =-r ,且a b ⊥r r由向量数量积的运算可得34100a b x y ⋅=--=rr22x y +的意义为(),x y 到原点距离平方由点到直线距离公式可知原点到直线34100x y --=的距离为()2210234d -==+-因为点到直线的距离为最短距离,所以22x y +的最小值为4即22xy +的取值范围为[)4,+∞故选:C 【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标关系,向量数量积的运算.点到直线距离公式的应用,两点间距离公式的理解,属于基础题.4．若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】Q 23a =，12232<<，∴12a <<， Q 22log 5log 4b =>，∴2b >， Q 32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A. 【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题. 5．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C ，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．函数2log y x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】结合图象只需研究函数零点个数，即可判断选择. 【详解】当4x =时2log 0y x x ==，所以舍去D; 当16x =时2log 0y x x ==，所以舍去BC ； 故选：A 【点睛】本题考查利用函数零点判断函数图象，考查基本分析判断能力，属基础题.7．已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，可得到4218a +=，解方程即可得解. 【详解】(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =.故选：C. 【点睛】本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题. 8．2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史【解析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论. 【详解】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D. 【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题.二、多选题9．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数B ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．最大值为2 D ．其图像关于直线2x π=对称【答案】ABD【解析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可. 【详解】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，本说法正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，本说法正确；选项C ：()2f x x =，本说法不正确；选项D ：当2x π=时，()22f x π=⨯=2x π=时，函数有最小值，因此函数图象关于2x π=对称，本说法正确.故选：ABD 【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题. 10．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项． 【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题． 11．在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )A ．,,,E F G H 一定是各边的中点B ．,G H 一定是,CD DA 的中点C ．::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形【解析】根据线面平行的性质定理即可得解. 【详解】解：由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形. 故选：CD . 【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.12．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -外接球半径为32【答案】ABD【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为B C ⊥面ABC D ，点C 到面ABC D 的距离为B C 长度的一半，即2h =，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故2r ==，故选项D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题．三、填空题13．(1arcsin arccos arctan 2⎛⎛⎫-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭______. 【答案】3π 【解析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值. 【详解】(1arcsin arccos arctan 22⎛⎛⎫-+-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1arcsin arccos arctan 22π⎛⎛⎫=-+-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭663ππππ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭ 3π=.故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查反三角函数的定义和性质，考查学生的计算能力，属于基础题.14．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是________________. 【答案】6x －8y ＋1＝0【解析】根据平移得到l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b 和直线：y ＝kx ＋3－4k ＋b ，解得k ＝34，再根据对称解得b ＝18，计算得到答案. 【详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则直线l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b ，平移后的直线方程为y ＝k （x －3－1）＋b ＋5－2 即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b取直线l 上的一点3,4P m m b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则点P 关于点（2，3）的对称点为34,64m b m ⎛⎫---⎪⎝⎭， ()331164444b m m b --=-++ ，解得b ＝18.∴直线l 的方程是3148y x =+ ，即6x －8y ＋1＝0.故答案为：6x －8y ＋1＝0 【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.15．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为__________． 【答案】8π【解析】先根据对称性确定四棱锥11M B C CB -的外接球球心位置，再求球半径，最后代入球表面积公式即可. 【详解】111,1ON MN ON MN OM OB OC OB OC ⊥==∴=====Q ,即O 为四棱锥11M B C CB -，球表面积为24π8π=.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x eπ=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2314g x sin x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____.【答案】104【解析】根据题意可知函数f （x ）是一个周期为2e 的偶函数，即可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象，由方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系可求得a 的值，再利用二倍角公式化简函数()g x ，然后根据平移法则即可求得()h x ，从而求得()7h ． 【详解】因为f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ）， 所以f （x ）的周期为2e .当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示， 方程1()22f x sin x eπ=的实数根是函数y ＝f （x ）与函数122y sinx e π=的交点的横坐标， 由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e ，所以4e ＝3ea ，故a 43=， 因为235()314222g x sinx cos x ππ=+=-+， 所以345325()()()22322232h x cos x cos x πππ=--+=--+，故32510(7)2324h sin π=+=.故答案为：10.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，图象的应用，方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系的应用，二倍角公式的应用，以及平移法则的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．四、解答题17．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18．已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x - （1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.【答案】（1）()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为，x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）利用平方差公式、二倍角公式以及辅助角公式得出()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()3222242k x k k Z πππππ-+≤-≤-+∈，解此不等式即可得出函数()y f x =的单调递增区间； （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出24x π-的取值范围，结合正弦函数的基本性质得出函数()y f x =的最小值，并求出对应的x 的值.【详解】 （1）()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=--=-+-Q22cos sin 2sin cos cos 2sin 224x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()3222242k x k k Z πππππ-+≤-≤-+∈， 得()588k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈，因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，32444x πππ∴-≤-≤，当242x ππ-=时，即当38x π=时，函数()y f x =取得最小值2-. 因此，函数()y f x =的最小值为2-，对应的x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查正弦型函数单调性区间与最值的求解，一般要利用三角恒等变换思想将函数解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】（1）推导出AB AC ⊥,1AB AA ⊥,由此能证明AB ⊥平面11ACC A ;（2）连结1A C ,则CD ⊥平面11CC A ,四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+,由此能求出结果. 【详解】（1）证明:Q 四边形ABCD 为平行四边形,2AD CD =,60ADC ∠=︒.90ACD BAC ∠∠∴==︒,AB AC ∴⊥,Q 几何体中,111ABC A B C -为三棱柱,且1AA ⊥平面ABC ,1AB AA ∴⊥,1AC AA A Q ⋂=,AB ∴⊥平面11ACC A .（2）连结1A C ,AB ⊥Q 平面11ACC A ,//CD AB ,CD \^平面11CC A ,∴四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+1111111133A C C ABC CD S CC S =⨯⨯+⨯⨯V V 111122323232233232=⨯⨯⨯⨯⨯⨯8=.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，且过点21,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =-【解析】（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中,,a b c 的关系和已知，可以求出椭圆方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线l 的方程. 【详解】解：（1）由已知可得：22222221112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =，所以椭圆C ：2212x y +=.（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥， 设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，∵BN MF ⊥，∴1212111y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()212122(1)0x x m x x m m +-++-=.()2222421033m m m m m --+-+-=.所以2340m m +-=，43m =-或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43m =-. 故存在直线l ：43y x =-满足题设条件. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了垂心的概念，考查了数学运算能力.21．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.参考公式:K 2()()()()2()n ad bd a b c d a c b d -=++++,其中n =a +b +c +d . 参考数据:【答案】(Ⅰ)填表见解析,没有 (Ⅱ)45【解析】(Ⅰ)由题意填表，计算K 2，对照临界值得出结论 (Ⅱ)由分层抽样求出抽取的人数，列举法写出基本事件，计算概率即可.【详解】(Ⅰ)由题意填2×2列联表如下,由表中数据,计算K 2()25029731140103218⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 6.27<6.635,所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异; (Ⅱ)用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中随机抽取6人,则月收入在[15,25)内有65510⨯=+2(人)记为A ､B ,在[25,35)有6﹣2=4(人),记为c ､d ､e ､f ; 从这6人中抽取3人,基本事件是ABc ､ABd ､ABe ､ABf ､Acd ､Ace ､Acf ､Ade ､Adf ､Aef ､Bcd ､Bce ､Bcf ､Bde ､Bdf ､Bef ､cde ､cdf ､cef ､def 共20种,这3人中至少收入在[15,25)的事件是ABc ､ABd ､ABe ､ABf ､Acd ､Ace ､Acf ､Ade ､Adf ､Aef ､Bcd ､Bce ､Bcf ､Bde ､Bdf ､Bef 共16种, 故所求的概率值为P 164205==. 【点睛】本题主要考查了22⨯列联表与独立性检验问题，古典概型的概率问题，属于中档题. 22．已知函数()22()xf x e axx a =++在1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈ 2.236≈） 【答案】（1）0a =或1a =（2）(1,)+∞【解析】（1）根据极值的定义，求出0a =或1a =，再对a 的两种取值分别进行验证； （2）由第（1）问先确定1a =，得到()2()12xg x exx x m =+--+，利用导数研究函数()g x 的单调性，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，再结合零点存在定理的条件，得到参数m 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意得22()(21)1x f x e ax a x a '⎡⎤=++++⎣⎦.因为函数()22()xf x eaxx a =++在1x =-处取得极小值，依题意知'(1)0f -=，解得0a =或1a =.当0a =时，'()(1)x f x e x =+，若1x <-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，若1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增，所以，当1x =-时，()f x 取得极小值，无极大值，符合题意.当1a =时，'()(1)(2)xf x e x x =++，若2x <-或1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增；若21x -<<-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极小值，2x =-处取得极大值，符合题意， 综上，实数0a =或1a =.（2）因为函数()f x 存在极大值与极小值，所以由（1）知，1a =. 所以()2()12xg x exx x m =+--+，()(1)(2)2x g x e x x '=++-.当0x >时，'()0g x >，故函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当0x <时，令()(1)(2)2xh x e x x =++-，则()2()55xh x exx '=++，所以当52x --<或52x -+>时，()0h x '>，()h x 单调递增，当5522x --<<时，()0h x '<，()h x 单调递减， 因为(0)0h =，3.6183356( 3.618)( 2.618)( 1.618)2e 3222e h h e --⎛⎫+-≈-=⨯-⨯--<⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭20-<，所以当0x <时，'0g x <（），故()g x 在(,0)-∞上单调递减. 因为函数()g x 在R 上有两个零点，所以(0)10g m =-<，所以1m >. 取02mx =-<，22222224(1)312e e 0242244m m m m m m m m m m g e m ---⎛⎫-+-+⎛⎫⎛⎫-=-+-⨯--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；取1x m =>，()2222()e 131321(1)0m g m m m m m m m m m m =++->++-=-+=->，所以，实数m 的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性及零点存在定理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要做中脑中有图，充分利用数形结合思想分析和解决问题，同时注意分类讨论思想的运用.。

2020年山东省泰安市高考数学一模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[﹣1，1]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）D ．（﹣3，﹣1）2．（5分）已知复数2−ai i=1−bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a +bi |＝（ ） A ．﹣1+2iB ．1C ．5D ．√53．（5分）已知(2−mx)(1−1x)3的展开式中的常数项为8，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．34．（5分）已知函数f （x ）＝log a （|x ﹣2|﹣a ）（a ＞0，且a ≠1），则“f （x ）在（3，+∞）”上是单调函数”是“0＜a ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（ ） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 326．（5分）如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →=m AM →，AC →=n AN →，则m +n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣2D ．947．（5分）现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2√28．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生．80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 10．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0的距离为3”的充要条件B．直线x sinα﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π)C．直线y＝﹣2x+5与直线2x+y+1＝0平行，且与圆x2+y2＝5相切D．离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x11．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等12．（5分）已知函f（x）＝e|x|sin x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是周期为2π的奇函数B．f（x）在(−π4，3π4)上为增函数C．f（x）在（﹣10π，10π）内有21个极值点D．f（x）≥ax在[0，π4]上恒成立的充要条件是a≤1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−35，sin(β−π4)=1213，则cos(α+π4)=．14．（5分）一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示．今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有种．15．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（““表示一根阳线，““表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为．16．（5分）过点M （﹣m ，0）（m ≠0）的直线l 与直线3x +y ﹣3＝0垂直，直线l 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P （m ，0）满足|P A |＝|PB |，则双曲线C 的渐近线方程为 ，离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①A 5＝B 3，②1a 1−1a 2=4B 2，③B 5＝35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），等差数列{b n }的公差为2d ．设A n ，B n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，且b 1＝3，A 2＝3，________． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =2a n +3b n b n+1，求数列{c n }的前n 项和S n ．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8cos 2B+C 2−2cos2A ＝3．（1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 面积的最大值为√3，求△ABC 周长的取值范围． 19．（12分）在四边形ABCP 中，AB =BC =√2，∠P =π3，PA =PC =2；如图，将△P AC 沿AC 边折起，连结PB ，使PB ＝P A ，求证： （1）平面ABC ⊥平面P AC ；（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为√34，求二面角F ﹣PC ﹣A 的大小．20．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A ：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工B ：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350件）的部分每件0.6元．超出350件的部分每件0.9元．（1）根据题中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快件个数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点；当直线l 经过椭圆C 的下顶点A 和右焦点F 2时，△F 1PQ 的周长为4√2，且l 与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43．（1）求椭圆C 的方程；（2）点M 为△POQ 内一点，O 为坐标原点，满足MP →+MO →+MQ →=0，若点M 恰好在圆O ：x 2+y 2=49，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx+axe x，a ∈R ． （1）若函数y ＝f （x ）在x ＝x 0（ln 2＜x 0＜ln 3）处取得极值1，证明：2−1ln2＜a ＜3−1ln3； （2）若f(x)≤x −1e x 恒成立，求实数a 的取值范围．2020年山东省泰安市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[﹣1，1]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）D ．（﹣3，﹣1）【解答】解：因为全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣3＜x ＜1}， N ＝{x ||x |≤1}＝[﹣1，1]，∴∁U N ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴阴影部分表示的集合是M ∩（∁U N ）＝（﹣3，﹣1）． 故选：D ． 2．（5分）已知复数2−ai i=1−bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a +bi |＝（ ） A ．﹣1+2i B ．1C ．5D ．√5【解答】解：由2−ai i =1−bi ，得：2﹣ai ＝i （1﹣bi ）＝b +i ，所以a ＝﹣1，b ＝2， 则a +bi ＝﹣1+2i ，所以|a +bi |＝|﹣1+2i |=√(−1)2+22=√5． 故选：D ．3．（5分）已知(2−mx)(1−1x )3的展开式中的常数项为8，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣3D ．3【解答】解：∵（1−1x ）3的展开式的通项公式为：∁3r •（−1x ）r ＝（﹣1）r •∁3r •x ﹣r；﹣r ＝0得r ＝0；﹣r ＝﹣1得r ＝1；∴(2−mx)(1−1x )3的展开式中的常数项为：2×（﹣1）0•∁30+（﹣m ）•（﹣1）1⋅∁31=8； ∴m ＝2； 故选：A ．4．（5分）已知函数f （x ）＝log a （|x ﹣2|﹣a ）（a ＞0，且a ≠1），则“f （x ）在（3，+∞）”上是单调函数”是“0＜a ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：|x ﹣2|﹣a ＝x ﹣2﹣a 在（3，+∞）上是单调递增， 要使f （x ）在（3，+∞）上是单调函数函数， 则|3﹣2|﹣a ＞0，且a ＞0，且a ≠1， 解之得0＜a ＜1，则0＜a ＜1是0＜a ＜1的充要条件， 故选：C ．5．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（ ） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 32【解答】解：因为函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，∴f （﹣log 36）＝f （log 316）=(13)log 316−log 316−4＝2+log 36； f （log 354）＝f （3+log 32）＝f （log 32﹣1）＝f （log 323）=(13)log 323−log 323−4=32−log 32+1﹣4=32−log 32﹣3； ∴f （﹣log 36）+f （log 354）＝2+log 36+32−log 32﹣3=32； 故选：A ．6．（5分）如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →=m AM →，AC →=n AN →，则m +n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣2D ．94【解答】解：由已知得AO →=12(AB →+AC →)，结合AB →=m AM →，AC →=n AN →，所以AO →=12mAM →+12nAN →．又因为O ，M ，N 三点共线，所以12m +12n =1，所以m +n ＝2． 故选：B ．7．（5分）现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2√2【解答】解：∵现有一个封闭的棱长为2的正方体容器， 当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半， ∴正方体的面对角线长为2√2，将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 当旋转到对角线与小平面垂直时容器里水面的高度最大， ∴容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， ∴容器里水面的最大高度为√2． 故选：B ．8．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ） A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ， 连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）． 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33， 即|MN||AB|的最大值为√33． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生．80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%×（39.6%+17%）＝31.696%＞30%，互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故A正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%×39.6%＝22.176%＞20%，互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：17%×56%＝9.52%互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．故选：ABC．10．（5分）下列说法正确的是（）A．“c＝5”是“点（2，1）到直线3x+4y+c＝0的距离为3”的充要条件B ．直线x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π) C ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切D ．离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y =±√2x【解答】解：“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0的距离为3”的充分条件，所以A 不正确；直线x sin α﹣y +1＝0的斜率为：sin α，直线的倾斜角为θ，所以tan θ＝sin α∈[﹣1，1]， 所以直线倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π)，所以B 正确；直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，正确，因为圆的圆心到直线的距离为：√5=√5，所以两条直线与圆x 2+y 2＝5相切，所以C 正确； 离心率为√3的双曲线，可得ca =√3，即c 2＝3a 2，所以b 2＝2a 2，所以双曲线的渐近线方程为：y =±√2x 或y ＝±√22x ，所以D 不正确； 故选：BC ．11．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥βB ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nC ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥βD ．若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等【解答】解：A ．满足m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，得不出α⊥β，α与β可能平行，如图所示：∴该选项错误；B ．∵n ∥α，∴设过n 的平面β与α交于a ，则n ∥a ，又m ⊥α，∴m ⊥a ，∴m ⊥n ，∴该选项正确；C ．∵α∥β，∴α内的所有直线都与β平行，且m ⊂α，∴m ∥β，∴该选项正确；D ．根据线面角的定义即可判断该选项正确． 故选：BCD ．12．（5分）已知函f （x ）＝e |x |sin x ，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）在(−π4，3π4)上为增函数C ．f （x ）在（﹣10π，10π）内有21个极值点D ．f （x ）≥ax 在[0，π4]上恒成立的充要条件是a ≤1 【解答】解：A 错，因为函数是奇函数，但不是周期函数． B 对，利用奇函数去绝对值，求导可判断f （x ）在（−π4，3π4）上递增；C 错，x ≥0时，f （x ）＝e x sin x ，则f ′（x ）＝e x sin x +e x cos x ＝0，即sin x +cos x ＝0，0＜x ＜10π，方程有10个根．有奇偶性﹣10π＜x ＜0时，有10个根，故计算得f （x ）在（﹣10π，10π）内有20个极点；D 对，当x ∈[0，π4]，f （x ）＝e x sin x ，则f ′（x ）＝e x sin x +e x cos x ，即f ′（0）＝1，a 表示过原点直线的斜率，则由恒成立可求a ≤1． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−35，sin(β−π4)=1213，则cos(α+π4)= −5665． 【解答】解：已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=−35， sin(β−π4)=1213，α+β∈(3π2，2π)，β−π4∈(π2，3π4)， ∴cos(α+β)=45，cos(β−π4)=−513， ∴cos(α+π4)=cos[(α+β)−(β−π4)]=cos(α+β)cos(β−π4)+sin(α+β)sin(β−π4) =45⋅(−513)+(−35)⋅1213=−5665故答案为：−56 6514．（5分）一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示．今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有11种．【解答】解：由题意只能分成三类铺砖：第一类．横5竖1：竖砖只能排在上两行中（如图所示的竖线位置之一），两头与中间，其余排竖砖，共3种；第二类．横3竖3：左下角一块横砖，另外三块竖砖排在上面两行，中间形成四个空，两块横砖上下并排插空共4种铺法；或左上角一块横砖，另两块横砖并排排在上面两行右边部分，其余空排竖砖，有2种排法．所以此类共有6种排法．第三类．横1竖5：横砖只能排在最左边最上一行或最下一行，其余排竖砖，共有2种铺法；综上一共有3+6+2＝11种排法．故答案为：11．15．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（““表示一根阳线，““表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为314．【解答】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为：P=C31+C32C82=314．故答案为：314．16．（5分）过点M（﹣m，0）（m≠0）的直线l与直线3x+y﹣3＝0垂直，直线l与双曲线C：x2 a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，则双曲线C的渐近线方程为y=±12x，离心率为√52．【解答】解：过点M（﹣m，0）（m≠0）的直线l与直线3x+y﹣3＝0垂直，可得：直线l：x﹣3y+m＝0（m≠0），由双曲线的方程可知，渐近线为y＝±ba x，分别与x﹣3y+m＝0（m≠0）联立，解得A（−ama−3b，−bma−3b），B（−ama+3b，bma+3b），∴AB中点坐标为（ma29b2−a2，3mb29b2−a2），∵点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，∴3mb29b2−a2−0 ma29b2−a2−m=−3，∴a ＝2b ，∴双曲线C 的渐近线方程为：y =±12x ． ∴c =√5b ， ∴e =ca =√52． 故答案为：y =±12x ：√52． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①A 5＝B 3，②1a 1−1a 2=4B 2，③B 5＝35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差为d （d ＞0），等差数列{b n }的公差为2d ．设A n ，B n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，且b 1＝3，A 2＝3，________． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n =2a n +3b n b n+1，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【解答】解：方案一：选条件① （1）由题意，可知∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2＝3，A 5＝B 3， ∴{2a 1+d =35a 1+10d =9+6d ，解得{a 1=1d =1， ∴a n ＝1+1•（n ﹣1）＝n ，n ∈N *， b n ＝3+2•1•（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *， 综上所述，可得a n ＝n ，b n ＝2n +1． （2）由（1）知，c n =2n +3(2n+1)(2n+3)=2n +32(12n+1−12n+3)， ∴S n ＝c 1+c 2+…+c n＝[2+32（13−15）]+[22+32（15−17）]+…+[2n +32（12n+1−12n+3）]=(2+22+⋯+2n )+32[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=2(1−2n)1−2+32(13−12n+3)=2n+1−3(n+2)2n+3．方案二：选条件② （1）由题意，可知∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2=3，1a 1−1a 2=4B 2，∴{2a 1+d =31a 1−1a 1+d =42×3+2d，整理，得{2a 1+d =34a 1(a 1+d)=d(6+2d)，解得{a 1=1d =1，∴a n ＝1+1•（n ﹣1）＝n ，n ∈N *， b n ＝3+2•1•（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *， 综上所述，可得a n ＝n ，b n ＝2n +1． （2）同方案一第（2）小题解题过程． 方案三：选条件③ （1）由题意，可知∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，且A 2＝3，B 5＝35， ∴{2a 1+d =33×5+5×42×2d =35，解得{a 1=1d =1， ∴a n ＝1+1•（n ﹣1）＝n ，n ∈N *， b n ＝3+2•1•（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *， 综上所述，可得a n ＝n ，b n ＝2n +1． （2）同方案一第（2）小题解题过程．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8cos 2B+C 2−2cos2A ＝3．（1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 面积的最大值为√3，求△ABC 周长的取值范围． 【解答】解：（1）∵8cos 2B+C2−2cos2A =3， ∴4（1+cos （B +C ））﹣2cos2A ＝3， 整理得4cos 2A +4cos •A ﹣3＝0， 解得cosA =12或cosA =−32（舍去）， 又A ∈（0，π）∴A =π3，（2）由题意知S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3，∴bc ≤4，又b 2+c 2﹣a 2＝2bc cos A ，a ＝2， ∴b 2+c 2＝4+bc ，∴（b +c ）2＝4+3bc ≤16， 又b +c ＞2，所以2＜b +c ≤4，4＜a +b +c ≤6，，∴△ABC 周长的取值范围是（4，6]．19．（12分）在四边形ABCP 中，AB =BC =√2，∠P =π3，PA =PC =2；如图，将△P AC 沿AC 边折起，连结PB ，使PB ＝P A ，求证： （1）平面ABC ⊥平面P AC ；（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为√34，求二面角F ﹣PC ﹣A 的大小．【解答】证明：（1）在△PAC 中，PA =PC =2，∠P =π3∴△P AC 为正三角形，且AC ＝2在△ABC 中，AB =BC =√2∴△ABC 为等腰直角三角形，且AB ⊥BC 取AC 的中点O ，连接OB ，OP∴OB ⊥AC ，OP ⊥AC#/DEL/#∵OB =1，OP =√3，PB =PA =2#/DEL/#∴OP ⊥OBOP ∩AC ＝O ，AC ，OP ⊂平面P AC ∴OB ⊥平面P AC ∵OB ⊂平面ABC ∴平面ABC ⊥平面P AC （2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A(0，−1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，√3)，AB →=(1，1，0)，AP →=(0，1，√3)，CP →=(0，−1，√3)，CA →=(0，−2，0)，设AF →=mAB →(0＜m ＜1)，则CF →=CA →+AF →=(m ，m −2，0)设平面PFC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），则{n ⋅CF →=0n ⋅CP →=0∴{mx +y(m −2)=0−y +√3z =0令y =√3，解得{x =2−mm √3z =1∴n =(2−mm √3，√3，1)∵AP 与平面PFC 所成角的正弦值为√34， ∴|n⋅AP→|n|⋅|AP|→|=√3√3(2−m)2m 2+3+1=√34整理得3m 2+4m ﹣4＝0解得m =23或m =−2（舍去）∴n =(2√3，√3，1) 又OB →为平面P AC 的一个法向量 ∴cos〈n ，OB →〉=n⋅OB→|n||OB|→=√32#/DEL/#∴〈n ，OB →〉=π6#/DEL/#∴二面角F ﹣P A ﹣C 的大小为π6．20．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A ：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工B ：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350件）的部分每件0.6元．超出350件的部分每件0.9元．（1）根据题中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快件个数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费． 【解答】解：（1）由题意知：甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数为：110(410+390+330+360+320+400+330+340+370+350)=360，众数为330．（2）设乙公司员工B 1天的投递件数为X ，则X 的可能取值为340，360，370，420，440， 当X ＝340时，ξ=340×0.6=204，P(ξ=204)=110，当X ＝360时，ξ=350×0.6+(360−350)×0.9=219，P(ξ=219)=310， 当X ＝370时，ξ=350×0.6+(370−350)×0.9=228，P(ξ=228)=15， 当X ＝420时，ξ=350×0.6+(420−350)×0.9=273，P(ξ=273)=310， 当X ＝440时，ξ=350×0.6+(440−350)×0.9=291，P(ξ=291)=110， ∴ξ的分布列为ξ 204 219 228 273 291 P11031015310110∴E(ξ)=204×110+219×310+228×15+273×310+291×110=242.7． （3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为 360×30×0.65＝7020（元）由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为： 242.7×0.6×30＝4368.6（元）． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点；当直线l 经过椭圆C 的下顶点A 和右焦点F 2时，△F 1PQ 的周长为4√2，且l 与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43．（1）求椭圆C 的方程；（2）点M 为△POQ 内一点，O 为坐标原点，满足MP →+MO →+MQ →=0，若点M 恰好在圆O ：x 2+y 2=49，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意知4a =4√2，∴a =√2， 直线AF 2的方程为y =b c (x −c)，∵直线AF 2与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43，∴{y =b c (43−c)(43)22+y 2b2=1，解得c ＝1或c ＝2（舍去）， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∵MP →+MO →+MQ →=0，∴点M 为△POQ 的重心，得M(x 1+x 23，y 1+y 23)， ∵点M 在O ：x 2+y 2=49上，∴(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=4， 由{y =kx +m x 22+y 2=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0，∴x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，∴(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=(−4km 1+2k2)2+(k(−4km 1+2k2)+2m)2=4，即16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=4，得m 2=(1+2k 2)24k 2+1，由△＞0得1+2k 2＞m 2，∴1+2k 2＞(1+2k 2)24k 2+1，解得k ≠0， ∴m 2=(1+2k 2)24k 2+1=1+4k44k 2+1=1+44k 2+1k4＞1， ∴m ＞1或m ＜﹣1． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx+axe x，a ∈R ． （1）若函数y ＝f （x ）在x ＝x 0（ln 2＜x 0＜ln 3）处取得极值1，证明：2−1ln2＜a ＜3−1ln3；（2）若f(x)≤x−1e x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′(x)=1x+a−(lnx+ax)e x．∵函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值1，∴f′(x0)=1x0+a−(lnx0+ax0)e x0=0，且f(x0)=lnx0+ax0e x0=1，∴1x0+a=lnx0+ax0=e x0，∴a=e x0−1x0，令r(x)=e x−1x(x＞0)，则r′(x)=e x+1x2＞0，∴r（x）为增函数，∵0＜ln2＜x0＜ln3，∴r（ln2）＜a＜r（ln3），即2−1ln＜a＜3−1ln3．（2）不等式f(x)≤x−1e x恒成立，即不等式xe x﹣lnx﹣ax≥1恒成立，即a≤e x−lnxx−1x恒成立．令g(x)=e x−lnxx−1x，则g′(x)=e x−1−lnxx2+1x2=x2e2+lnxx2．令ℎ(x)=x2e x+lnx，则ℎ′(x)=(x2+2x)e x+1 x．∵x＞0，∴h'（x）＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且ℎ(1)=e＞0，ℎ(12)=√e4−ln2＜0．∴h（x）有唯一零点x1，且12＜x1＜1．当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减；∴a≤e x1−lnx1x1−1x1．由h（x1）＝0整理得x1e x1=−lnx1x1，∵12＜x1＜1，−lnx1＞0，令k（x）＝xe x（x＞0），则方程x1e x1=−lnx1x1等价于k（x1）＝k（﹣lnx1），而k'（x）＝（x+1）e x在（0，+∞）上恒大于零，∴k（x）在（0，+∞）上单调递增，∵k（x1）＝k（﹣lnx1），∴x1＝﹣lnx1，∴e x1=1x1，∴g(x1)=e x1−lnx1x1−1x1=1x1−(−x1)x1−1=1．x1∴a≤1．∴实数a的取值范围为（﹣∞，1]．。

2020届山东省肥城市高三第一次统考数学试题一、单选题1．已知集合{}240M x x x =-<，{}124x N x -=<，则MN =( )A ．()1,3B ．()0,3C ．()0,4D ．∅【答案】B【解析】可以求出集合M ，N ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 解：{|04}M x x =<<，{|3}N x x =<，(0,3)M N ∴⋂=．故选：B ． 【点睛】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算。

属于基础题。

2．设()1,z x yi x y R =+∈，234z i =-（i 为虚数单位），且125z z +=，则( ) A ．()()22345x y ++-= B ．()()223425x y ++-= C ．()()22345x y -++= D ．()()223425x y -++=【答案】B【解析】由复数代数形式的加减运算求得12z z +，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：由1(,)z x yi x y R =+∈，234z i =-， 得12()(34)(3)(4)z z x yi i x y i +=++-=++-，又125z z +=，∴5=，即22(3)(4)25x y ++-=． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，属于基础题．3．已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( ) ABC ．72D ．52【答案】C【解析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可． 【详解】解：1(2)sin(2)sin 662f πππ-=-+==，f （1）1213=+=，∴17(2)(1)322f f -+=+=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．4．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D【解析】根据折线图中11个月的数据分布，数据从小到大排列中间的数可得中位数，根据数据的增长趋势可判断BCD. 【详解】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查了识别折线图进行数据分析，属于基础题.5．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF =( )A ．1122AB AD + B ．1122AB AD -- C ．1122AB AD -+D ．1122AB AD -【答案】D【解析】由题意点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，求出EC ，CF ，然后求出向量EF 即得． 【详解】解：因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =， 点得F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-，所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选：D ． 【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用。

山东省泰安肥城市2020届高三数学适应性训练试题（一)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。

已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}=||1|1B x x -<,则A B =A 。

{}|02x x <<B 。

{}|01x x <<C 。

{}|2x x <D 。

{}|12x x <<2。

已知()2i i 2i z +=-，则z = A.3 B 。

2 C. 1 D 。

123. 下列结论正确的是A. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越低.B. 在线性回归模型中,相关指数=0.962R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%.C. 已知随机变量2(2,)X N σ，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.2P X >=.D 。

设,a b 均为不等于1的正实数,则“log2log 2b a >”的充要条件是“1a b >>”.4。

若3n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为256，则展开式中x 的系数是 A 。

54 B 。

81 C 。

96 D 。

1065。

若圆锥的侧面展开图是半径为l 的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是A. 32 B ．2 C ．43 D ．536. 已知点00(,)M x y 在直线320x y ++=上，且满足001x y >-，则00y x 的取值范围为A ．1(3,]3--B ．1(,3(,)3-∞--+∞） C ．1(,3](,+)3-∞--∞ D ．1(3,)3-- 7. 函数cos()2()lg |22|x x x f x π--=-在区间[)(]3,00,3-上的大致图像为8. 已知函数4(),[,)a f x x b x b x =++∈+∞,其中0,b a >∈R ，记M 为()f x 的最小值, 则当2M =时,a 的取值范围为A ．13a >B ．13a <C ．14a >D ．14a < 二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分。

山东省肥城2020届高三新高考数学模拟试题一、单选题1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，0）C. （0，1）D. （1，2）【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的概念直接计算即可得解.【详解】由题意得{}()121,2A B x x ⋃=-<<=-. 故选：A.【点睛】本题考查了集合并集的运算，属于基础题.2.若集合{}{}1234|05P Q x x x R ==<<∈，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也非不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，对充分性和必要性进行讨论，即可判断和选择. 【详解】由题可知，若x P ∈，则一定有x Q ∈，故充分性满足； 但是若x Q ∈，则不一定有x Q ∈，故必要性不满足. 故“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.3.已知(),4,2a x =-r ，()3,,5b y =-r ，若a b ⊥r r ，则22x y+取值范围为（ ）A. [)2,+∞B. [)3,+∞C. [)4,+∞ D. [)5,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标与垂直关系,可得,x y 的等量关系.由22xy +可知其意义为(),x y 到原点距离平方,即可由点到直线距离公式求解.【详解】(),4,2a x =-r,()3,,5b y =-r ,且a b ⊥r r由向量数量积的运算可得34100a b x y ⋅=--=rr22x y +的意义为(),x y 到原点距离平方由点到直线距离公式可知原点到直线34100x y --=的距离为()2210234d -==+-因为点到直线的距离为最短距离,所以22x y +的最小值为4即22xy +的取值范围为[)4,+∞故选:C【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标关系,向量数量积的运算.点到直线距离公式的应用,两点间距离公式的理解,属于基础题.4.若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（ ） A. c a b << B. b c a <<C. a b c <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】Q 23a =，12232<<，∴12a <<，Q 22log 5log 4b =>，∴2b >， Q 32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题. 5.对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若01a <<，则log ay x =在(0,)+∞上单调递减，又由函数2(1)y a x x =--开口向下，其图象的对称轴12(1)x a =-在y 轴左侧，排除C ， D.若1a >，则log ay x =在(0,)+∞上是增函数，函数2(1)y a x x =--图象开口向上，且对称轴12(1)x a =-在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6.函数2log y x x =-的图象大致是（ ）A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】结合图象只需研究函数零点个数，即可判断选择. 【详解】当4x =时2log 0y x x ==，所以舍去D; 当16x =时2log 0y x x ==，所以舍去BC ； 故选：A【点睛】本题考查利用函数零点判断函数图象，考查基本分析判断能力，属基础题.7.已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（ ）A. 4B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，可得到4218a +=，解方程即可得解. 【详解】(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =. 故选：C.【点睛】本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题. 8.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱物理D. 样本中的女生偏爱历史 【答案】D【解析】 【分析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论.【详解】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D.【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题.二、多选题9.设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A. 是偶函数B. 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. 最大值为2 D. 其图像关于直线2x π=对称【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.【详解】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，本说法正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，本说法正确；选项C ：()2f x x =，本说法不正确；选项D ：当2x π=时，()22f x π=⨯=因此当2x π=时，函数有最小值，因此函数图象关于2x π=对称，本说法正确. 故选：ABD【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题. 10.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确； 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误； 该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确． 故选ACD ．【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．11.在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )A. ,,,E F G H 一定是各边的中点B. ,G H 一定是,CD DA 的中点C. ::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =D. 四边形EFGH 是平行四边形或梯形 【答案】CD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理即可得解.【详解】解：由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形.故选：CD .【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.12.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A. 直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B. 点C 到面11ABC D 2C. 两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D. 三棱柱1111AA D BB C -3【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， 对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即22h =，故选项B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故22r ==，故选项D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题．三、填空题13.(1arcsin arccos arctan 22⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】3π【解析】 【分析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值.【详解】(1arcsin arccos arctan 2⎛⎛⎫-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1arcsin arccos arctan 2π⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭⎝⎭663ππππ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭ 3π=.故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查反三角函数的定义和性质，考查学生的计算能力，属于基础题.14.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 方程是________________. 【答案】6x －8y ＋1＝0 【解析】 【分析】根据平移得到l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b 和直线：y ＝kx ＋3－4k ＋b ，解得k ＝34，再根据对称解得b ＝18，计算得到答案.【详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则直线l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b ，平移后的直线方程为y ＝k （x －3－1）＋b ＋5－2 即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b取直线l 上的一点3,4P m m b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，则点P 关于点（2，3）的对称点为34,64m b m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ， ()331164444b m m b --=-++ ，解得b ＝18.∴直线l 的方程是3148y x =+ ，即6x －8y ＋1＝0.故答案为：6x －8y ＋1＝0【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.15.在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为__________． 【答案】8π 【解析】 【分析】先根据对称性确定四棱锥11M B C CB -的外接球球心位置，再求球半径，最后代入球表面积公式即可. 【详解】由题意得四边形11B C CB 为正方形，设其中心为O ，取11B C 中点N,则111,1ON MN ON MN OM OB OC OB OC ⊥==∴=====Q ,即O 为四棱锥11M B C CB -的外接，球表面积为24π8π=.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 16.定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x e π=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2314g x sin x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____. 【答案】33104+ 【解析】 【分析】根据题意可知函数f （x ）是一个周期为2e 的偶函数，即可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象，由方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系可求得a 的值，再利用二倍角公式化简函数()g x ，然后根据平移法则即可求得()h x ，从而求得()7h ．【详解】因为f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ）， 所以f （x ）的周期为2e .当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示， 方程1()22f x sin x eπ=的实数根是函数y ＝f （x ）与函数122y sin x e π=的交点的横坐标，由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e ，所以4e ＝3ea ，故a 43=， 因为235()314222g x sin x cos x ππ=+=-+， 所以345325()()()22322232h x cos x cos x πππ=--+=--+， 故3253310(7)232h sin π+=+=. 故答案为：33104+.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，图象的应用，方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系的应用，二倍角公式的应用，以及平移法则的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．四、解答题17.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18.已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x - （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.【答案】（1）()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为，x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式、二倍角公式以及辅助角公式得出()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后解不等式()3222242k x k k Z πππππ-+≤-≤-+∈，解此不等式即可得出函数()y f x =的单调递增区间； （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出24x π-的取值范围，结合正弦函数的基本性质得出函数()y f x =的最小值，并求出对应的x 的值. 【详解】（1）()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=--=-+-Q22cos sin 2sin cos cos 2sin 224x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()3222242k x k k Z πππππ-+≤-≤-+∈， 得()588k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,88k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，32444x πππ∴-≤-≤，当242x ππ-=时，即当38x π=时，函数()y f x =取得最小值.因此，函数()y f x =的最小值为，对应的x 的集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查正弦型函数单调性区间与最值的求解，一般要利用三角恒等变换思想将函数解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.19.如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面11ACC A ；（2）若2CD =，求四棱锥111C A B CD -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）8 【解析】 【分析】（1）推导出AB AC ⊥,1AB AA ⊥,由此能证明AB ⊥平面11ACC A ;（2）连结1A C ,则CD ⊥平面11CC A ,四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+,由此能求出结果. 【详解】（1）证明:Q 四边形ABCD 为平行四边形,2AD CD =,60ADC ∠=︒.90ACD BAC ∠∠∴==︒,AB AC ∴⊥,Q 几何体中,111ABC A B C -为三棱柱,且1AA ⊥平面ABC ,1AB AA ∴⊥,1AC AA A Q ⋂=,AB ∴⊥平面11ACC A .（2）连结1A C ,AB ⊥Q 平面11ACC A ,//CD AB ,CD \^平面11CC A ,∴四棱锥111C A B CD -的体积:11111D CC A C A B C V V V --=+1111111133A C C ABC CD S CC S =⨯⨯+⨯⨯V V1111223232=⨯⨯⨯⨯⨯⨯8=.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =-【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中,,a b c 的关系和已知，可以求出椭圆方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线l 的方程.【详解】解：（1）由已知可得：22222221112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =， 所以椭圆C ：2212x y +=.（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥， 设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，∵BN MF ⊥，∴1212111y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()212122(1)0x x m x x m m +-++-=.()2222421033m m m m m --+-+-=.所以2340m m +-=，43m =-或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43m =-. 故存在直线l ：43y x =-满足题设条件. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了垂心的概念，考查了数学运算能力.21.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.参考公式:K 2()()()()2()n ad bd a b c d a c b d -=++++,其中n =a +b +c +d . 参考数据:【答案】(Ⅰ)填表见解析,没有 (Ⅱ)45【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意填表，计算K 2，对照临界值得出结论 (Ⅱ)由分层抽样求出抽取的人数，列举法写出基本事件，计算概率即可.【详解】(Ⅰ)由题意填2×2列联表如下,由表中数据,计算K 2()25029731140103218⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 6.27<6.635,所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;(Ⅱ)用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中随机抽取6人,则月收入在[15,25)内有65510⨯=+2(人)记为A ､B ,在[25,35)有6﹣2=4(人),记为c ､d ､e ､f ; 从这6人中抽取3人,基本事件是ABc ､ABd ､ABe ､ABf ､Acd ､Ace ､Acf ､Ade ､Adf ､Aef ､Bcd ､Bce ､Bcf ､Bde ､Bdf ､Bef ､cde ､cdf ､cef ､def 共20种,这3人中至少收入在[15,25)的事件是ABc ､ABd ､ABe ､ABf ､Acd ､Ace ､Acf ､Ade ､Adf ､Aef ､Bcd ､Bce ､Bcf ､Bde ､Bdf ､Bef 共16种,故所求的概率值为P 164205==. 【点睛】本题主要考查了22⨯列联表与独立性检验问题，古典概型的概率问题，属于中档题. 22.已知函数()22()xf x eaxx a =++1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈ 2.236≈） 【答案】（1）0a =或1a =（2）(1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，求出0a =或1a =，再对a 的两种取值分别进行验证； （2）由第（1）问先确定1a =，得到()2()12xg x exx x m =+--+，利用导数研究函数()g x 的单调性，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，再结合零点存在定理的条件，得到参数m 的取值范围.【详解】解：（1）由题意得22()(21)1x f x e ax a x a '⎡⎤=++++⎣⎦.因为函数()22()xf x eaxx a =++在1x =-处取得极小值，依题意知'(1)0f -=，解得0a =或1a =.当0a =时，'()(1)xf x e x =+，若1x <-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，若1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增，所以，当1x =-时，()f x 取得极小值，无极大值，符合题意.当1a =时，'()(1)(2)xf x e x x =++，若2x <-或1x >-，'()0f x >，则函数()f x 单调递增；若21x -<<-，'()0f x <，则函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极小值，2x =-处取得极大值，符合题意， 综上，实数0a =或1a =.（2）因为函数()f x 存在极大值与极小值，所以由（1）知，1a =. 所以()2()12xg x exx x m =+--+，()(1)(2)2x g x e x x '=++-.当0x >时，'()0g x >，故函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，令()(1)(2)2x h x e x x =++-，则()2()55xh x e xx '=++，所以当x <x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，因为(0)0h =， 3.6183356( 3.618)( 2.618)( 1.618)2e 3222e h h e --⎛-≈-=⨯-⨯--<⨯⨯-= ⎝⎭ 20-<，所以当0x <时，'0g x <（），故()g x 在(,0)-∞上单调递减. 因为函数()g x 在R 上有两个零点，所以(0)10g m =-<，所以1m >.取02m x =-<，22222224(1)312e e 0242244m m m m m m m m m m g e m ---⎛⎫-+-+⎛⎫⎛⎫-=-+-⨯--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；取1x m =>，()2222()e131321(1)0mg m mm m m m m m m m =++->++-=-+=->，所以，实数m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性及零点存在定理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要做中脑中有图，充分利用数形结合思想分析和解决问题，同时注意分类讨论思想的运用.。

2020届山东省泰安肥城市高三适应性训练（一）数学试题一、单选题1．已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1|1B=x|x -<，则AB =（ ）A ．{}|02x x <<B ．{}1|0x x <<C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <<【答案】D【解析】解出集合A 、B 中的不等式即可. 【详解】因为{}{}2|320|12A x x x x x =-+<=<<，{}{}|1|102B=x|x x|x<-<=<所以A B ={}|12x x <<故选：D【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的运算，较简单. 2．已知()2i i 2iz +=-，则z =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12【答案】C【解析】本题首先可根据复数的四则运算得出4355z i =-+，然后根据复数的模的相关计算即可得出结果. 【详解】()()()()()2221222122222i i i i i i i z iii i i +-++-====----+224224224343441555i i i i i i i i +------+====-+-+，故1z ==， 故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的模，若复数z a bi =+，则z =考查计算能力，是简单题.3．下列结论正确的是（ ）A ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.B ．在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%.C ．已知随机变量2(2,)XN σ，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.2P X >=.D ．设,a b 均为不等于1的正实数，则“log 2log 2b a >”的充要条件是“1a b >>”. 【答案】B【解析】根据残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合效果越好、精度越高可知，选项A 正确；根据相关指数意义可知，选项B 正确；根据正态曲线的对称性可知，故选项C 错误；根据对数的性质以及对数函数的单调性可知，选项D 错误. 【详解】对于A ，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故选项A 错误；对于B ，在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%，故选项B 正确；对于C ，因为2μ=且(02)0.4P X <<=，所以(24)0.4P X <<=，所以(4)(2)(02)0.50.40.1P X P X P X >=>-<<=-=，故选项C 错误；对于D ，log 2log 2b a >2211log log b a ⇔>101b a >⎧⇔⎨<<⎩或1a b >>或01b a <<<，故选项D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了回归分析，考查了正态分布，考查了对数的性质以及对数函数的单调性，考查了充要条件，属于基础题.4．若nx ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，则展开式中x 的系数是（ ）A ．54B ．81C ．96D ．106【答案】A【解析】先由题意求出n ，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为nx ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，所以8(213)256n +==，解得4n =，因此4x ⎛ ⎝的展开式的通项是432442214433r r r r r r r r T C x x C x -----+==，由3212r -=得2r ，所以，展开式中x 的系数为224354C ⨯=.故选：A. 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.5．若圆锥的侧面展开图是半径为l 的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是（ ） A ．32B ．2C ．43D ．53【答案】A【解析】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意可得r l 2π=π，所以2l r =，然后根据圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】设该圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意可得r l 2π=π，所以2l r = 所以这个圆锥的表面积与侧面积比值是()222:2:32:3rl rl r rr πππππ+==故选：A 【点睛】本题考查的是圆锥的表面积公式，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 6．已知点00(,)M x y 在直线320x y ++=上，且满足001x y >-，则0y x 的取值范围为（ ） A ．1(3,]3-- B ．()1,3(,)3-∞--+∞ C ．1(,3](,3+)-∞--∞ D ．1(3,)3--【答案】B【解析】由001x y >-，求出0x 的取值范围，再求0y x 的范围． 【详解】由题意00320x y ++=，0032y x =--， ∵001x y >-，∴00321x x >---，解得034x >-， 000003223y x x x x --==--， ∵034x >-，∴0143x <-或010x >， ∴0233x --<-或02133x -->-，所以01(,3)(,)3y ∈-∞--+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查不等式的性质，解题过程是利用点在直线上，且满足的不等关系求出0x 的范围，然后再利用不等式的性质求解．7．函数()cos 2lg 22x xx f x π-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-在区间[)(]3,00,3-上的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】化简函数()y f x =的解析式，判断函数()y f x =的奇偶性及()3f 的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】()cos sin 2lg 22lg 22x x x xx x f x π--⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，()()()sin sin lg 22lg 22x xx xx xf x f x ----==-=---， 函数()y f x =为奇函数，排除A 、D 选项；()sin 3301lg 88f =>⎛⎫- ⎪⎝⎭，排除B 选项. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行分析，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题. 8．已知函数4(),[,)af x x b x b x=++∈+∞，其中0,b a R >∈，记M 为()f x 的最小值，则当2M =时，a 的取值范围为（ ） A ．13a >B ．13a <C ．14a >D ．14a <【答案】D【解析】根据a 的正负以及与b 大小关系分类讨论()f x 单调性，再根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值求结果. 【详解】①当0a ≤时，()f x 在[,)+∞b上单调递增，所以min 4()()220a f x f b b b b b==+=>∴0a ≤满足题意； ②当0a >时，()f x在)+∞上单调递增，在上单调递减因此⑴当b ≤时，()f x 在[,)+∞b上单调递增，所以2min 4()()2220180,a f x f b b b b a a b b==+=-+=∴∆=-≥=≥ 222121182()042432bb aa ba b b b bb +-≤∴≤∴-≤>∴≥∴=11811016a +-≥≥⇒<≤或11618161a a a ⎧>⎪⇒⎨⎪-≥-⎩1016a <≤或11169a <<109a ∴<≤⑵当b >时，()f x在)+∞上单调递增，在[,b 上单调递减，所以min 11()202094f x f b b a ===<<>-∴<<；综上，a 的取值范围为14a <， 故选：D 【点睛】本题考查函数最值、分式函数单调性，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属较难题.二、多选题9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-【答案】AC【解析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可． 【详解】观察此数列，偶数项通项公式为222n a n =，奇数项是后一项减去后一项的项数，2122n n a a n -=-，由此可得220210200a =⨯=，A 正确；192020180a a =-=，B 错误；C 正确；2(1)n S n n n n =-=-是一个等差数列的前n 项，而题中数列不是等差数列，不可能有(1)n S n n =⋅-，D 错． 故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的通项公式，要求从数列的前几项归纳出数列的通项公式．这里我们只能从常见的数列出发，寻找各项与项数n 之间的关系，归纳结论．有时需要分奇数项与偶数项分别讨论归纳出结论，或者寻找两者的关系，从而得出结论．10．已知1F 、2F 是双曲线22:142y x C -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C的渐近线方程为y = B ．以12F F 为直径的圆的方程为222x y += C ．点M的横坐标为D ．12MF F △的面积为【答案】ACD【解析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，以12F F 为直径的圆的方程，M 点坐标，12MF F △的面积然后判断各选项． 【详解】由双曲线方程22142-=y x知2,a b ==y轴，渐近线方程为ay x b=±=，A 正确；c ==12F F 为直径的圆的方程是226x y +=，B 错；由226x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，由对称性知M点横坐标是，C 正确；12121122MF F M S F F x ==⨯=△D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题时可根据双曲线方程确定,,a b c ，同时注意焦点据的轴，然后根据,,a b c 求解其他量．11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0,(6)()f x +f x f x f x -=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ） A ．函数()f x 是偶函数 B ．函数()f x 在[]9,6--单调递增 C ．3x =是函数()f x 的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【解析】由()+()0f x f x -=得函数为奇函数，判断A 选项；通过(6)()f x f x +=-得函数的最小正周期，判断D 选项；通过题意得(6)()f x f x +=-，进而得函数的对称轴，判断C 选项；化简11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+为()()()()12120x x f x f x -⋅-<得到函数在[]3,0-上的单调性，结合奇偶性、对称轴、周期得[]9,6--上的单调性，判断B 选项即可. 【详解】解：因为()+()0f x f x -=，即()()f x f x -=-，所以函数为奇函数，故A 选项错误； 因为(6)()f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以(6)()f x f x +=-，所以函数的对称轴为6032x +==，故C 选项正确； 因为(6)()f x f x +=-，所以()(12)(6)f x f x f x +=-+=，即()(12)f x f x +=， 所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确；因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+， 由11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+化简得()()()()12120x x f x f x -⋅-<， 所以3,0x时，()f x 为减函数.因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数，又因为函数()f x 关于3x =对称，所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数.因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，奇偶性，对称轴和周期，属于中档题.12．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为三角形，底面ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 22C ．三棱锥B ACQ -的体积为62D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ，(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以632Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，632(23,)2QC =-，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,22PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===， 所以cos θ=B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=， 所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以2222222aa ⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为22x ，所以22236x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为234243x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.三、填空题13．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成________个三位正整数. 【答案】100【解析】用分步乘法原理计数． 【详解】用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成三位数的个数为455100⨯⨯=． 故答案为：100． 【点睛】本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成这件事的方法，是分步还是分类．14．函数()2sin cos sin 222x x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]0,π上的最小值是________. 【答案】212-【解析】利用三角恒等变换思想化简得出()1242f x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由0x π≤≤计算得出4x π-的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的最小值. 【详解】()2211cos sin cos sin sin cos sin sin 22222222x x x x x x x f x x π-⎛⎫=+-=--=--⎪⎝⎭1111sin cos 222242x x x π⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x π≤≤时，3444x πππ-≤-≤，所以当42x ππ-=时，函数()y f x =取得最小值，即()min 12f x =-=.故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.15．已知一袋中装有红，蓝，黄，绿小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回.当四种颜色的小球全部取出时即停止，则恰好取6次停止的概率为______. 【答案】75512【解析】事件“恰好取6次停止”是第4种颜色第6次才取到，前5次只出现3种颜色，求出它的方法数，再求出取6次球的总方法数，由概率公式可计算出概率． 【详解】取球6次，总的方法为64，记“恰好取6次停止”为事件A ，事件A 的发生，前5次取球只出现3种颜色，第6次取出的是第4种颜色，而前5次出现3种颜色又可从3种颜色出现的次数分成两类，1、1、3和1、2、2，因此事件A 的方法数为223335345322600C C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以660075()4512P A ==． 故答案为：75512．本题考查古典概型，解题关键是确定事件发生的过程，即怎样完成事件“恰好取6次停止”．是分类还是分步，根据不同的方法选择不同的计数方法．四、双空题16．已知圆F ：()2231x y ++=，直线:2l y =，则与直线l 相切且与圆F 外切的圆的圆心M 的轨迹方程为_________.点P 是圆心M 轨迹上的动点，点A 的坐标是()0,3，则使|PF||PA|取最小值时的点P 的坐标为__.【答案】212x y =- ()6,3±-【解析】根据直线与圆位置关系以及圆与圆位置关系列式，再化简得结果；根据两点间距离公式化简，再根据基本不等式确定最小值取法，即得结果. 【详解】因为圆M 与直线l 相切且与圆F 外切，所以||1M l MF d -=+设(,)|2|1M x y y =-+ 当2y ≤2312y x y =-∴=-当2y >21880y x y =-∴=--<，舍 综上，圆心M 的轨迹方程为212x y =- 设2(,)12,0P m n m n n ∴=-≤|PF||PA|∴===当0n =时，1|PF||PA|= 当0n <时，|PF||PA |==当且仅当23,3,36,6n n m m -==-==±时取等号综上，使|PF||PA|取最小值时的点P 的坐标为()6,3±- 故答案为：212x y =-，()6,3±-本题考查求动点轨迹方程、利用基本不等式求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.五、解答题17．已知数列{}n a 各项均为正数，11a =，{}2n a 为等差数列，公差为2.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求2223221232222n n n S a a a a =++++.【答案】（1）n a =（2）()16232n+n S n =+-⨯.【解析】（1）确定等差数列{}2n a 的首项和公差，可求得数列{}2n a 的通项公式，进而可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得n S . 【详解】（1）11a =，211a =，{}2n a 为等差数列，公差为2，()2211221n a a n n ∴=+-⨯=-，0n a >，∴数列{}n a的通项公式为n a =（2）2223221232222n n n S a a a a =++++，即()23123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯ 则()23412123252212n+n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯以上两式相减，得()23112222222212n n+n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()()31123112122212222212623212n n n n+n+n n n -++-=+--⨯=+---⨯=---⨯-.因此，()16232n+n S n =+-⨯.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222(2)()2cos b c b a c abc C --+=.（1）求角A 的大小. （2）若3B π=，D 为ABC 外一点，2BD =，1CD =，四边形ABDC 的面积是5324+，求a . 【答案】（1）3A π=；（2）523a =+.【解析】（1）本题首先可以根据正弦定理以及余弦定理对()()22222cos b c b a c abc C --+=进行化简，得出2sin cos sin B A B =，再根据sin 0B ≠以及()0,A π∈即可得出结果；（2）首先可以结合题意绘出图像，然后在BCD 中根据余弦定理得出254cos BC D =-，再然后根据解三角形面积公式求出ABCS以及BDC S ∆，并根据四边形ABDC 的面积是532+求出56D π=，最后将56D π=代入254cos BC D =-，即可得出结果. 【详解】（1）因为()()22222cos b c b a cabc C --+=，所以()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=， 因为A B C π++=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2A = 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）如图，结合题意绘出图像：在BCD 中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-， 因为3A B π==，所以3C π=，ABC 为等边三角形，所以2153sin 3cos 23ABC S BC D △π=⨯⨯=-， 因为1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆⨯⨯⨯=， 所以5353sin 3cos 2sin 4453324ABDC S D D D 四边形π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎭+⎝， 所以sin()13D π-=，因为(0,)D π∈，所以56D π=， 故2554cos 54cos 5+236BC D π=-=-=，523BC =+， 即523a =+. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式以及正弦定理边角互化，考查三角恒等变换，考查的公式有()sin cos cos sin sin C A C A C A +=+、1=sin 2S ab C 、2222cos a b c bc A =+-等，考查化归与转化思想，是中档题.19．条件①：图（1）中4tan 23B =-. 条件②：图（1）中2133AD AB AC =+. 条件③：图（2）中三棱锥A BCD -的体积最大.从以上三个条件中任选一个，补充在问题（2）中的横线上，并加以解答.如图（1）所示，在ABC 中，45ACB ∠=，3BC =，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上，沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠= （如图（2）），点,E M 分别为棱,BC AC 的中点.（1）求证：CD ME ⊥.（2）已知______，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN BM ⊥，并求锐二面角M BN C --的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析；（2）不论选择哪个条件，6. 【解析】【详解】 解：（1）,,CD AD CD BD AD BD D ⊥⊥=，CD平面ABD ，AB 平面ABD ，CD AB ∴⊥.又,M E 分别为,AC BC 的中点，//,ME AB ∴.CD ME ∴⊥（2） 方案一：选①在图（1）所示的ABC 中，由242tan tan 231tan B B B=-=-， 解得tan 2B =或1tan 2B =-（舍去）.设AD CD x ==，在Rt ABD △中，tan 23AD xB BD x===-， 解得2x =，∴1BD =.以点D 为原点，,,DB DC DA 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A ME ，则(1),1,1BM =-.设(0,,0)N a ，则1(,1,0)2EN a =--.,0EN BM EN BM ⊥∴⋅=，即1,1,0()(1,1,1)02a -⋅-=-，∴12a =，∴1(0,,0)2N ， ∴当12DN =（即N 是CD 的靠近D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥. 取平面BNM 的一个法向量(,,)n x y z =，且1(1,,0)2BN =-，由00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得20x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则(1,2,1)n =-.取平面BNC 的一个法向量(0,0,1)m =，2226cos ,6|12(1)m n m n m||n ⋅<>===-++-|，∴锐二面角M BN C --6方案二：选②在图（1）所示的ABC 中，设BD BC λ=，()(1)AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+，又因为2133AD AB AC =+，由平面向量基本定理知13λ=，即1BD =. 以点D 为原点，,,DB DC DA 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A ME ，则(1),1,1BM =-.设(0,,0)N a ，则1(,1,0)2EN a =--.,0EN BM EN BM ⊥∴⋅=.即1,1,0()(1,1,1)02a -⋅-=-，∴12a =，∴1(0,,0)2N ，∴当12DN = （即N 是CD 的靠近D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥.取平面BNM 的一个法向量(,,)n x y z =，且1(1,,0)2BN =-，由00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得200x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则(1,2,1)n =-.取平面BNC 的一个法向量(0,0,1)m =，2226cos ,|12(1)m n m n m||n ⋅<>===++-| ∴锐二面角M BN C --的余弦值为66方案三：选③在图（1）所示的ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-，∵,45AD BC ACB ⊥∠=，∴ADC 为等腰直角三角形，∴3AD CD x ==-， 折起后,AD DC AD BD ⊥⊥，且BDDC D =，∴AD ⊥平面BCD ，又90BDC ∠=，∴1(3)2BCD S x x =-△， 321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+△，(0,3)x ∈， 令321()(69)6f x x x x =-+，1()()3)12(f x x x '=--，当01x <<时，()0f x '>，当13x <<时，()0f x '<，∴1x BD ==时，三棱锥A BCD -体积最大.以点D 为原点，,,DB DC DA 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A ME ，则(1),1,1BM =-.设(0,,0)N a ，则1(,1,0)2EN a =--.,0EN BM EN BM ⊥∴⋅=，即1,1,0()(1,1,1)02a -⋅-=-，∴12a =，∴1(0,,0)2N ，∴当12DN = （即N 是CD 的靠近D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥.取平面BNM 的一个法向量(,,)n x y z =，且1(1,,0)2BN =-，由00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得200x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则(1,2,1)n =-.取平面BNC 的一个法向量(0,0,1)m =，2226cos ,6|12(1)m n m n m||n ⋅<>===-++-|， ∴锐二面角M BN C --6【点睛】本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．解题关键是确定图形中点的位置关系，特别是线段的长度．其中方案①利用正切的二倍角公式求得tan B ，从而确定出线段,AD BD ，方案②利用平面向量基本定理确定,BD AD ，方案③，设一条线段如CD x =，求出棱锥体积，用导数求最值得出x 值在，确定出,AD BD ，然后建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由向量垂直的坐标运算确定N 点位置，求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别是1F 、2F ，不经过左焦点1F的直线0x y -+=上有且只有一个点A 满足1290F AF ∠=. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）与圆222x y +=相切的直线l ：y kx m =+交椭圆C 于P 、Q 两点，若椭圆上存在点M 满足()()0OM OP OQμμ=+>，求四边形OPMQ 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）⎡⎣. 【解析】（1）依题意可得直线0x y -与圆222x y c +=相切，利用点到线的距离公式即可求出c ，再根据离心率及222b a c =-，求出椭圆方程； （2）直线与圆相切得到()2221m k=+，且22m≥，设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,M x y 联立直线与椭圆方程消元列出韦达定理，由()OM OP OQ μ=+可得0202843643km x k m y k μμ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又M 在椭圆C上，得到μ=OPMQ的面积2POQS S μ==△ 【详解】 解：（1）直线0x y -+=上有且只有一个点A 满足1290F AF ∠=，∴直线0x y -与圆222x y c +=相切，∴c =，∴1c=.又12c a =， ∴2a =，∴2223b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）直线l ：y kx m =+与圆222x y +=相切，=即()2221m k=+，且22m≥.设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,M x y由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，()2224384120k x kmx m +++-=， ∴122843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+，∴()121226243my y k x x m k +=++=+. ()OM OP OQ μ=+，∴0202843643km x k m y k μμ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又M 在椭圆C 上，∴2222864343143km m k k μμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，∴2mμ=. 设PQ 的中点为E ，则()2OM OP OQ OE μμ=+=，()0,0O 到:l y kx m =+的距离为，∴四边形OPMQ的面积1222POQ S S PQ d PQ μμ==⋅⋅=△=== 令()222211143286k f k k k +==-++，2866k +≥，∴()1132f k ≤<， ∴2S ≤<，∴四边形OMPN 面积的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 21．已知函数()ln 1f x x x ax =+-()a R ∈. （1）讨论()f x 的零点个数.（2）正项数列{}n a 满足123a =，11ln 12n n a +a ++=（n *∈N ），求证：121111nn a a a ++⋅⋅⋅+<+. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先利用导数求出()f x 的最小值为11(e )1e a a f --=-，然后分1a <、1a =、1a >三种情况讨论即可；（2）由（1）知：当1a =时，()0f x ≥，即 1ln 1x x≥-，可得121n n n a a a +≥+，然后可得1112nn a -≤，再由等比数列的前n 项和公式，即可证明. 【详解】（1）()f x 的定义域为{}|0x x >，令()ln 10f x x a '=+-=，则1a x e -=. 当10a x e -<<时()0f x '<；当1a x e ->时，()0f x '>，∴()f x 在1(0,)a e -单调递减，在1(,)a e -+∞单调递增， ∴()f x 的最小值为11(e )1e a a f --=-.当1a <时，110a e -->，此时()f x 无零点. 当1a =时，11e 0a --=，此时()f x 只有一个零点 当1a >时，11e 0a --<，(e )10af =>，又1e e a a ->，∴()f x 在1(,)a e -+∞上有且只有一个零点.2(e )12e a a aae af a e---=-=，令()2ah a e a =-， ()e 2a h a '=-，1a >，∴()0h a '>，∴()(1)20h a h e >=->，∴2e a a <，∴(e )0a f ->，所以()f x 在1(0,)a e -上有且只有一个零点.综上：当1a <时，函数无零点；当1a =时，函数有且只有一个零点； 当1a >时，函数有两个零点.（2）由（1）知：当1a =时，()0f x ≥，∴1ln 1x x≥-， ∴1122ln12211n n n n n a a a a a ++=+≥-=++， ∴11111222n n n n a a a a ++≤=+， ∴11111(1)2n na a +-≤-， ∴21121111111111(1)(1)(1)2222n n n n n a a a a ----≤-≤-≤⋅⋅⋅≤-=， ∴1112n n a ≤+ ∴12111()1111221()11212n n n +n n n a a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦++⋅⋅⋅≤+=+-<+-.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的零点和证明不等式，考查了分类讨论的思想，属于较难题.22．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y 频率组距”)时，发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,161520n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩. （1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖.（i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；（ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A B ，两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）314,15,16,17,18,19,50k =；（2）（i ）51220；（ii ）分布列见解析，2099. 【解析】（1）X 在[)70,100内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70,75),[)75,80,[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100).由70100X ≤<，()551n X n ≤<+*n ∈N ，能求出n 的所有取值和k ；（2）（i ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.学生B 的分数属于区间[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[)95,100的概率分别是360，1160，1960，1460，1160，260.用符号ij A 或（ij B ）表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(),1,2,3j i j ≤=，记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ，由此能求出学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；（ii ）学生A 最终获得一等奖的概率是()21111P A =，学生B 最终获得一等奖的概率是()121211112727119P B B ''+=+⋅=，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，求出ξ的分布列和E ξ. 【详解】（1）根据题意，X 在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间， 分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)， 70100X ≤<，由*55(1),n X n n ≤<+∈N ，14,15,16,17,18,19n ∴=.每个小区间的频率值分别是8109,14,15,16605115,17,18,19320n n P Y k n n -⎧=⎪⎪==⎨⎪-⋅=⎪-⎩. 由3111911151160606032k ⎛⎫+++-++= ⎪⎝⎭，解得350k =. n ∴的所有取值为14,15,16,17,18,19，350k =.（2）（i ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.由（1）知，学生B 的分数属于区间[)[)[)[)[)[)70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100的概率分别是：360，1160，1960，1460，1160，260. 我们用符号ij A （或ij B )表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(,1,2,3)j i i j =.记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ， 则()12122223222()P W P B B B A B A =+++()()()()()()12122223222P B P B P B P A P B P A =+++ 2111111010141105160601160111160711220=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=. （ii ）学生A 最终获得一等奖的概率是()21111P A =， 学生B 最终获得一等奖的概率是()12121112116060272711272796060P B B ''+=+⋅=+=， 1180(0)1111999P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111118(1)1111911999P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅-+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111(2)11999P ξ==⋅=， ξ∴的分布列为：801812001299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=. 【点睛】本题考查频率分布直方图、条件概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于难题.。