一元二次方程能力拔高题

训练专题三——一元二次方程的整数解一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有_________个．2．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有_________个．3．（5分）已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m=_________．4．（5分）给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是_________．5．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=_________．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6．（4分）已知a，b为质数且是方程x2﹣13x+c=0的根，那么的值是（）A．B．C．D．三、解答题（共12小题，满分91分）7．（8分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．8．（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．9．（8分）若关于x的方程ax2﹣2（a﹣3）x+（a﹣13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．10．（8分）设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．11．（7分）已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．12．（6分）求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k﹣1）=0的根都是整数的k值．13．（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，试解此方程．14．（6分）设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．15．（6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0 至少有一个整数根，求a的值．16．（6分）已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．17．（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．18．（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2﹣2x﹣m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有5个．考点：一元二次方程的整数根与有理根。

第二十四章 一元二次方程（B 卷-拔高卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知m 是方程x 2+x -1=0的根，则式子m 3+2m 2+2020的值为（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021【答案】D【分析】先利用m 是方程x 2+x -1=0的根得到m 2=-m +1，则可表示出m 3=2m -1，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∴m 是方程x 2+x -1=0的根， ∴m 2+m -1=0， ∴m 2=-m +1，∴m 3=m （-m +1）=-m 2+m =m -1+m =2m -1∴m 3+2m 2+2020=2m -1+2（-m +1）+2020=2m -1-2m +2+2020=2021． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）用配方法解方程2430x x --=，经过配方可转化为（ ） A ．()221x -= B ．()227x -=C ．()221x +=D ．()227x +=【答案】B【分析】先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可. 【详解】解：2430x x --= 移项得：243x x -=两边都加4得：2447x x -+= 227x故选：B.【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.3．（2022·四川广元·九年级期末）有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x 满足的方程为（ ） A ．1(1)100x x x +++= B ．(1)100x x +=C ．21100x x ++=D ．2100x =【答案】A【分析】每轮传染中平均一个人传染的人数为x 人,即经过第一轮有（x +1）人感染,则经过第二轮有()()11x x x +++⎡⎤⎣⎦ 人得了流感,根据两次一共有100患了流感即可列出方程．【详解】解：由题可知1+x +x （1+ x ）=100． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键．4．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ） A ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭B ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭C ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得． 【详解】解：设房价定为x 元，根据题意得：180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系列出方程是关键．5．（2022·全国·九年级课时练习）若关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=的一个根是2022x =，则一元二次方程()22212a x bxb +++=必有一根为（ ）． A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023【答案】A【分析】对一元二次方程()22212a x bxb +++=变形，设t ＝x ＋2得到2220at bt +-=，利用2220ax bx +-=的一个根是2022x =可得t ＝2022，从而求出x 即可．【详解】解：对于一元二次方程()22212a x bxb +++=即()()222220a x b x +++-=， 设t ＝x ＋2，则可得2220at bt +-=，而关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=的一个根是2022x =， 所以2220at bt +-=有一个根为t ＝2022， 所以x ＋2＝2022， 解得x ＝2020， 所以一元二次方程()22212a x bxb +++=必有一根为x ＝2020， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（2022·河南濮阳·八年级期末）将4个数a ，b ，c ，d 记成a b c d：定义.a b ad bc c d=-，则方程243x x x=-的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根【答案】C【分析】根据新定义的运算得出一元二次方程，再利用根的判别式进行判断其根的情况即可． 【详解】解：∵243x x x=-∴2x 2−4x =-3， 即22430x x -+=，∵b 2-4ac =(-4)2-4×2×3=-8﹤0， ∴原方程没有实数根， 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确题意，将方程进行正确的转化． 7．（2022·河北保定·一模）可以用如图所示的图形研究方程x 2+ax ＝b 2的解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2a，BC ＝b ，以点A 为圆心作弧交AB 于点D ，使AD ＝AC ，则该方程的一个正根是（ ）A ．CD 的长B ．BD 的长C ．AC 的长D ．BC 的长【答案】B【分析】由勾股定理可得：222,22a a b BD ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理可得22·,BD a BD b +=从而可得答案. 【详解】解： ∠C ＝90°，AC ＝2a，BC ＝b ，AD ＝AC ，222,22a a b BD ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得：22·,BD a BD b += 而x 2+ax ＝b 2，∴ 方程的一个正根为线段BD 的长，故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，勾股定理的应用，理解一元二次方程的解的含义是解本题的关键.8．（2021·辽宁葫芦岛·九年级阶段练习）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB =cm ，7BC =cm ，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s ，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动，若使PBQ ∆的面积为15cm 2，则点P 运动的时间是（ ）A ．3.5sB ．5sC ．4sD ．3s【分析】设出动点P ，Q 运动t 秒，能使△PBQ 的面积为15cm 2，用t 分别表示出BP 和BQ 的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【详解】设动点P ，Q 运动t 秒后，能使△PBQ 的面积为15cm 2， 则BP 为(8−t )cm ，BQ 为2tcm ，由三角形的面积计算公式列方程得，12×(8−t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5（当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P ，Q 运动3秒时，能使△PBQ 的面积为15cm 2． 故答案为:D【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．9．（2022·安徽合肥·八年级期中）对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c -+=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立； ④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+ 其中正确的：（ ） A ．只有① B ．只有①② C ．①②③ D ．只有①②④【答案】D【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．【详解】由0a b c -+=，表明方程()200++=≠ax bx c a 有实数根﹣1，表明一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有实数解，则240b ac ∆=-≥，故①正确；∵方程20ax c +=有两个不相等的实根，∴方程2cx a=-有两个不相等的实根， 即a 与c 异号． ∴-ac >0，∴224(4)0b ac b ac ∆=-=+->，∴方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；∵c 是方程20ax bx c ++=的一个根， ∴20ac bc c ++=， 即(1)0c ac b ++=当0c ≠时，一定有10ac b ++=成立；当c =0时，则10ac b ++=不一定成立，例如：方程2320x x +=，则130ac b ++=≠； 故③错误；∵0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，∴2000ax bx c ++=，∴200c ax bx =--，∴()0222222000044()442b ac b a ax bx ax ax b ax b -=---=++=+， 故④正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．10．（2022·浙江绍兴·八年级期末）空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S ．下列说法错误的是（ ）A ．若a ＝16，S ＝196，则有一种围法B ．若a ＝20，S ＝198，则有两种围法C ．若a ＝24，S ＝198，则有两种围法D ．若a ＝24，S ＝200，则有一种围法【答案】A【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x 米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x 的范围，从而可得答案． 【详解】解：设矩形菜园的宽为x 米，则长为()402x -米，∴2402240,S x x x x当16a =时，采用图1围法，则此时1220,x当196S =时， 2240196,x x解得：12102,102,x x此时都不符合题意， 采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x 米，即,AB CD x == 则40216,AD BCx 则28,BC x 所以长为()28x -米，结合2816x 可得012,x ∴28196,x x解得：1214,x x 经检验不符合题意，综上：若a ＝16，S ＝196，则没有围法，故A 符合题意； 设矩形菜园的宽为x 米，则长为()402x -米， ∴2402240,Sx x x x当20a =时，采用图1围法，则此时1020,x当198S 时， 2240198,x x解得：1211,9,x x 经检验11x =符合题意；采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x 米，即,AB CD x == 则40220,AD BCx 则30,BC x 所以长为()30x -米，结合3020x 可得010,x ∴30198,x x解得：121533,1533,x x 经检验1533x 符合题意， 综上：若a ＝20，S ＝198，则有两种围法，故B 不符合题意； 同理可得：C 不符合题意，D 不符合题意； 故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·江苏·九年级专题练习）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人． 【答案】4【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮传染中有(1)x x +人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮传染中有x 人被传染，第二轮传染中有(1)x x +人被传染，由题意得 1(1)25x x x +++= 解得4x =或6-（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人 故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2022·黑龙江大庆·八年级期中）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是_____．【答案】24【分析】先利用因式分解法解方程得到x 1=6，x 2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：x 2-16x +60=0， （x -6）（x -10）=0， x -6=0或x -10=0， 所以x 1=6，x 2=10，当第三边长为6时，三角形为腰是6，底为8的等腰三角形，则底边上的高此时三角形的面积=182⨯⨯当第三边长为10时，∵62+82=102, ∴三角形为直角三角形， 此时三角形的面积=12×8×6=24．故答案为：24【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系，勾股定理及其逆定理． 13．（2022·北京昌平·八年级期末）2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A 组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A 组共有______支球队． 【答案】4【分析】设中国女足所在的A 组共有x 支球队，则每支球队需要比赛的场数为()1x -场，根据12×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．【详解】解：设中国女足所在的A 组共有x 支球队，根据题意得：()1162x x -=， 解得：14x =，23x =-（舍去） 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键． 14．（2022·浙江·诸暨市滨江初级中学八年级阶段练习）《代数学》中记载，形如x 2+8x ＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x 2+10x +m ＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是_________．【答案】5x =-+5x =【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积=大正方形的面积，得出2255504()(2),22x +⨯=+⨯解方程即可．【详解】解：∵阴影部分的面积为50，∴2255504()(2),22x +⨯=+⨯即75=（x +5）2，解得1255x x =-+=--∴x 的正数解为：5x =-+故答案为：5x =-+【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则a 与b 数量关系是______．【答案】b = 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a +b )，右图是一个长方形，长、宽分别为(b +a +b )、b ，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a +b )2=b (b +a +b )，解方程即可求出答案．【详解】解：依题意得(a +b )2=b (b +a +b )，整理得：a 2+b 2+2ab =2b 2+ab ，则a 2-b 2+ab =0，方程两边同时除以b 2， 则210a a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：a b =， ∵a b 不能为负，∴a b =，∴b =，故答案为：b =． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题16．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）对于实数p ，q ，我们用符号{}max ,p q 表示p ，q 两数中较大的数，例如：{}max 1,22=，若{}22max (1),y x x =-，当y ＝4则x ＝______． 【答案】-1或2##2或-1【分析】首先根据题意，进而可得max {（x ﹣1）2，x 2}＝4时分情况讨论，当x ＝0.5时，x ＞0.5时和x ＜0.5时，进而可得答案．【详解】∵max {（x ﹣1）2，x 2}＝4，()2210x x --> 解得12x <当x ＝0.5时，x 2＝（x ﹣1）2，不可能得出最小值为4，∴当x ＞0.5时，（x ﹣1）2＜x 2，则x 2＝4，解得：x 1＝-2（不合题意，舍去），x 2＝2，当x ＜0.5时，（x ﹣1）2＞x 2，则（x ﹣1）2＝4，x ﹣1＝±2，x ﹣1＝2，x ﹣1＝﹣2，解得：x 1＝-1，x 2＝3（不合题意，舍去），综上所述：x 的值为：2或﹣1．故答案为2或﹣1．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·广西崇左·八年级期中）解下列方程：(1)25210x x +-=；(2)2(y =．【答案】(1)1x =2x =(2)12y y ==【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．（1）解：∵5a =，2b =，1c =-，∴42024∆=+=，∴x =∴1x =，2x =． （2）解：原方程可化为230y -+=，配方得，(20y =，∴12y y =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．18．（2022·北京顺义·八年级期末）已知：关于x 的方程210x kx k -+-=．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程的一个根小于1，求k 的取值范围．【答案】(1)有两个实数根(2)2k ＜【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及完全平方公式，可得原方程有两个实数根；（2）由一元二次方程的求根公式可得，22k k x ±-，分2k ≥和2k ＜两种情况进行讨论即可． （1）解：∵ ()()()222Δ41442k k k k k =---=-+=-≥0． ∴原方程有两个实数根．（2）解：∵210x kx k -+-=，其中1a =，b k =-，1c k =-，()22k =-△，∵x =∴22k k x ±-，若2k ≥，则11x k =-，21x =∵该方程的一个根小于1，∴11k -＜，即2k ＜，这与2k ≥矛盾，应舍去；若2k ＜，则11x k =-，21x =∵该方程的一个根小于1，∴11k -＜，即2k ＜，符合题意，综上，2k ＜．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．19．（2022·安徽合肥·八年级期末）某水果店标价为10元/kg 的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%，请回答下列问题：(1)该水果经过两次降价后的价格是______元/kg ；(2)从第二次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg ，设销售该水果第x 天（1≤x <10）的利润为368元，求x 的值．【答案】(1)8.1(2)9 【分析】（1）根据“水果店标价为10元/kg 的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%”得两次降价后的价格为10×（1-10%）2=8.1元/千克．（2）利用当天销售该水果获得的利润=每斤的利润×当天的销售量-储藏和损耗费用，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出x 的值为．（1）根据题意得：10（1-10）2=8.1（元/kg ）故答案为：8.1．（2）依题意得：（8.1-4.1）（120-x ）-（3x 2-64x +409）=368，整理得：x 2-20x +99=0．解得：x 1=9，x 2=11．又∵1≤x ＜10，∴x =9．答：x 的值为9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式267x x --因式分解，可以分解如下：22676997x x x x --=-+--()2316x =-- ()()3434x x =-+--()()17x x =+-(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式287x x -+因式分解．(2)拓展：当代数式22230x xy y +-=时，求x y的值． 【答案】(1)(1)(7)x x --(2)1或-3【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；（2）将方程左边因式分式后求出x 与y 的关系，求出结果即可．（1）解：287x x -+2816167x x =-+-+()249x =-- ()()4343x x =-+--()()17x x =--；（2）解：2223x xy y +-222223x xy y y y =++--()224x y y =+- ()()22x y y x y y =+++-()()3x y x y =+-，∵22230x xy y +-=，∴()()30x y x y +-=，∴0x y -=或30x y +=，∴x y =或3x y =-， ∴1x y=或33x y y y -==-． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． 21．（2022·重庆·八年级期末）某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了143m 个，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m 元，销量比第一周增加了2m 个，若该商家今年3月份第一、二周共获利13200元，求m 的值．【答案】(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元(2)15【分析】（1）设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x 元，每个“雪容融”的进价是y 元，利用总价=单价×数量，结合“冰墩墩”及“雪容融”单价间的关系，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（1）解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x 元，每个“雪容融”的进价是y 元，依题意得：402030x y x y -=⎧⎨=⎩， 解得：12080x y =⎧⎨=⎩． 答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．（2）依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+143m ）+（100-m -80）×（150+2m ）=13200，整理得：m 2-15m =0，解得：m 1=15，m 2=0（舍去）．答：m 的值为15．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，90B C ∠=∠=︒，点P 从A 出发，沿A B C D ---路线运动，到D 停止；点P 的速度为每秒1cm ，运动时间为x 秒，如图1是ABP △的面积()2cm S 与x （秒）的图像．(1)______时间段内点P 在线段AB 上运动；______时间段内点P 在线段BC 上运动；(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的AB =______cm ；BC =______cm ；CD =______cm ；图2中的m =______2cm ；(3)当点P 运动______秒时，AP PD =．【答案】(1)0到2；2到5(2)2；3；1；3(3)3【分析】（1）由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P 在线段AB 上运动，，在2到5秒的时间段点P 在线段BC 上运动，即可求解；（2）从图2看，AB ＝2cm ，BC ＝5﹣2＝3（cm ），CD ＝6﹣5＝1（cm ），当点P 和点C 重合时，△ABP 的面积S为m，即可求解；（3）当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，进而求解．（1）解：由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，故答案为：0到2；2到5；（2）解：从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，即m＝S＝12×AB•BC＝12×2×3＝3（cm2），故答案为：2，3，1，3；（3）解：从图象看，当点P在BC上时，有△ADP以∠ADP为底角构成等腰三角形，此时，BP＝x﹣2，则PC＝BC﹣BP＝3﹣（x﹣2）＝5﹣x，则AP2＝AB2+BP2＝4+（x﹣2）2，DP2＝PC2+CD2＝1+（x﹣5）2，当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．23．（2022·浙江金华·八年级期中）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，BC 将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．①四边形ACBD______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；②求线段DB 的长度．(2)如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，将Rt △ABC 沿∠B 的平分线BB '方向平移得到A B C '''，连接AA '，BC '．若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，则平移的距离（即线段BB '的长）为______．【答案】(1)①是；②BD 或5或 【分析】（1）①“等邻边四边形”的定义判断即可；②根据旋转的性质和勾股定理即可得到结论；（2）根据由平移的性质易得BB ′=AA ′，A ′B ′AB ，A ′B ′=AB =4，B ′C ′=BC =3，A ′C ′=AC =5，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论．（1）解：①四边形ACBD 是等邻边四边形，理由：∵将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，∴AC =AD ，∴四边形ACBD 是等邻边四边形；故答案为：是；②如图1，过D 作DH ⊥BC 于H ，则∠DHC =∠DHB =90°，∵将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，∴AC =AD ，∠CAD =60°，∴△ACD 是等边三角形，∴CD =AC =4，∠ACD =60°，∵∠ACB =90°，∴∠DCH =30°，∴DH =12CD =2，CH∵BC∴BH∴BD（2）解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC=5，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′AB，A′B′=AB=4，B′C′=BC=3，A′C′=AC=5，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=4；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=5；（III）当A′C′=BC′=5时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=12∠ABC=45°，∴∠BB′D=∠ABB′=45°，∴B′D=BD，设B′D=BD=x，则C′D=x+3，BB，∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2，∴x2+（x+3）2=52，解得：x（负值已舍），∴BB x（Ⅳ）当BC′=AB=4时，如图4，与（Ⅳ）方法一同理可得：BD2+C′D2=BC′2，设B′D=BD=x，则x2+（x+3）2=42，解得：x，∴BB x，综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移4或5故答案为：4或5．【点睛】本题是几何变换综合题，新定义类探究题，主要考查了平移的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用平移的性质并构造直角三角形是关键．。

一元二次方程培优专题复习只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 、()()12132+=+x x B 、02112=-+x xC 、02=++c bx ax D 、1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值： ；⑵写出关于x 的一元一次方程： 。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m+x n-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

1.当k 为何值时，关于x 的方程 ()()021122=-++-x k x k 有实数根2.已知方程02=---+ab x xb a b a 是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值3设01033=-+-x xa 和0843=++-bx xb 都是关于x 的一元二次方程， 求：()()20132012.b a b a -+的值。

4解下列方程：（1）05222+--x x（2）022162132=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x（3）()()5553+=+x x x （4）022=--x x5已知方程()m m x m x 214222+=-- 求证：不论m 为何值，次方程均有两个不相等的实根。

6已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 02=++a cx bx 02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，求abc ac b bc a 222++的值。

7 已知0122=-+a a 01224=--b b 试求2012221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b ab 的值。

8关于x 的方程02)1(2=-+-x k x 和方程0)1(22=+--k k x x 只有一个相同的实根，求k 的值及公共根。

9已知 a.b.c 分别是三角形ABC 的三边长。

当m>0时，关于x 的一元二次方程()()0222=--++ax m m x b m x c 有两个不相等的实根，试判断三角形ABC 的形状。

10已知方程0652=++x x 与方程0222=++m x x 的公共根和方程02432=-+x x 与方程021212=++n x x 的公共根相同，求m ，n 的值。

11 m ，n 是方程0122=--x x 的两个根，且()()1276314722=--+-n n a m m 求a 的值。

12 甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3和5 。

乙把常数项看错了得两根为62+和62-，求原一元二次方程。

一元二次方程检测题802姓名 分数一、选择填空题（20*2=40分）1.解下列方程x 2-6x-7=0, 2x 2-50=0, 3(4x-1)2=(1-4x), 3x 2-5x-6=0，较简便的方法依次是（ ）A ．因式分解法、公式法、配方法、公式法B ．配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法C ．直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法D ．公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法2.下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3.若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A.-1或-2B.-1或2C.1或-2D.1或24.已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ） A.3 B.3 C.6 D.65.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是（ ）A.3b 2＝8acB.a c a b 2325922=C.6b 2＝25acD.不能确定 6.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20097.若一元二次方程的两根x 1、x 2满足下列关系：x 1x 2+x 1+x 2+2=0,x 1x 2-2x 1-2x 2+5=0. 则这个一元二次方程是（ ）A.x 2+x+3=0B.x 2-x-3=0C.x 2-x+3=0D.x 2+x-3=08.已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为9.若=•=-+y x 则y x 324,035210.()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a11.已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为12.已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为13.若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为14.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的面积为 15.若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为16.已知方程012=++mx x 与02=--m x x 有一个公共实根，则字母系数m=17.已知α，β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_______18.已知3-=+b a ，1=ab ，则=+b a 8319.已知实数m 、n 满足0142=--m m ，0142=--n n 则=+mn n m 20.若p 、q 是方程01)2(2=+-+x m x 的两个实根，则=++++)1)(1(22mq q mp p二、解答题（110）21.已知x=2是关于x 的方程2x 2+mx-4=0的一个根，求m 的值及另一个根。

一元二次方程拔高训练知识能力提升一、一元二次方程的定义的理解：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调：2、将一元二次方程化为一般形式时要注意：二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =，则2x =_____，1x =______，2x =_______。

2、配方法：解法步骤：①化二次项系数为______,即方程两边都_______二次项系数；②移项：把________项移到方程的_______边；③配方：方程两边都加上________________,把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程; 若方程右边是负数，则_____.3、公式法：如果方程()200ax bx c a ++=≠满足_________，则方程的求根公式为:4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生_________的形式，则可将原方程化为两个__________方程，即_________、__________,从而得方程的两根.三、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的情况由__________决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号________表示.①当_______时，方程有两个不等的实数根②当________时，方程看两个相等的实数根③当________时，方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个根分别为12x x 、,则12x x += ，12x x = 。

五、一元二次方程的应用：常见题型：增长率问题：连续两次增长或降低的百分数相同时方程可列为：利润问题：单件利润= × 或单件利润=总利润= × 或总利润= —几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要____,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件解题能力提升方程有两个实数跟，则考点一：一元二次方程的解例1：若一元二次方程220150ax bx --=有一根为1x =-，则a b += ． 考点二：一元二次方程的解法例2：配方法解方程：（1）2x 6x 40--=． （2）x 2-8x-1=0例3选用合适解法解方程：（1）2x 2x 3+=． (2)2x 3x 20-+=．考点三：一元二次方程根与系数的关系例4. 、已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22=4，则m 的值为 ．考点四：根的判别式的运用例5. 如果关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x ﹣1=0有两个不相等的实根，那么k 的取值范围是____________.训练1、已知关于x 的一元二次方程22(23)20x m x m -+++=． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为12x x 、，且满足221212x x 31|x x |+=+，求实数m 的值．考点五：一元二次方程的应用--增长率问题：-例6. 某楼盘2014年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2016年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为_______________________． 考点六：一元二次方程的应用—销售问题例7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【过关训练】一、选择题1．如果20x x 1x 1--=+（），那么x 的值为（ ） A ．2或-1 B ．0或1 C ．2 D ．-12．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x 13x 360-+=的两根，则该三角形的周长为（ ）A ．13B ．15C ．18D ．13或183．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．4D ．-34．已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2-7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2+7x-12=0D ．x 2-7x-12=05．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两根，则x 12+x 22=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．若关于x 的一元二次方程x 2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b 的大致图象可能是（ ）7．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm 3，则原铁皮的边长为（ ）A ．10cmB ．13cmC ．14cmD ．16cm二、填空题8．一元二次方程2x 30+-=的解是_________________．9．已知一元二次方程x 2-4x-3=0的两根为m ，n ，则m 2-mn+n 2=________．10．已知关于x 的一元二次方程2x k 0--=有两个相等的实数根，则k 值为______．11．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题12．已知关于x 的一元二次方程2220x x m m ++-=有一个实数根为-1，求m 的值及方程的另一实根．13．关于x 的一元二次方程22x 2k 1x k 10++++=（）有两个不等实根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根x 1，x 2满足1212|x x |x x += ，求k 的值．14.如图，某农场有一块长40m ，宽32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m 2，求小路的宽．15．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是 斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？。

《实际问题与一元二次方程》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“”带，鲜花带一边宽1m，另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长xm，可列方程为（）A．（x﹣1）（x﹣2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x+1）（x+2）＝18D．x2+3x+16＝02．（5分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%3．（5分）某校的羽毛球队有若干名队员，任意两名队员间进行一场友谊赛，共比赛了36场，如果全队有x名队员，那么根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．＝36D．＝36 4．（5分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（）A．x＝B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）25．（5分）在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人．A．9B．10C．12D．15二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为．7．（5分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是．8．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为．9．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺．将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好与水岸齐接．问水深，芦苇的长度分别是多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据题意，可列方程为．10．（5分）某大型超市连锁集团元月份销售额为300万元，三月份达到了720万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为x，则根据题意列出方程是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）12．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点Q从点B开始沿BC边向点C移动，点Q的速度为2cm/s．点P从点B开始沿BA边向点A移动，然后再返回B点，点P的速度为3cm/s．（1）如果P、Q分别从点B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于21cm2？（2）如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积能否等于51cm2？说明理由．13．（10分）“饺子“又名“交子”或者“娇耳”，是新旧交替之意，它是重庆人民的年夜饭必吃的一道美食．今年除夕，小侨跟着妈妈一起包饺子准备年夜饭，体验浓浓的团圆气氛．已知小侨家共10人，平均每人吃10个饺子，计划用10分钟将饺子包完．（1）若妈妈每分钟包饺子的速度是小侨速度的2倍少2个，那么小侨每分钟至少要包多少个饺子？（2）小侨以（1）问中的最低速度，和妈妈同时开始包饺子，妈妈包饺子的速度在（1）问的最低速度基础上提升了a%，在包饺子的过程中小侨外出耽误了分钟，返家后，小侨与妈妈一起包完剩下的饺子，所用时间比原计划少了a%，求a的值．14．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了40米木栏，所围成的矩形菜园的面积为150平方米，求矩形菜园的边长BC和AB．15．（10分）【知识链接】一年分为四个季度，一至三月为第一季度，四至六月为第二季度，七至九月为第三季度，十至十二月为第四季度．【百姓生活】庆庆公司2018年一至四月每月有a万元产值，由于受国际贸易市场传导影响，五月、六月产值出现下滑现象（每月仍有一定数量产值），第三季度得益于优惠政策，产值迅速反弹，创造了363万元产值新高．已知一至三季度产值的平均增长百分数与第二季度中的月产值平均降低百分数相同，按上述月产值之间增长率统计的第二季度产值比按季度产值之间增长率统计的第二季度产值少0.59a万元．【问题解决】（1）试用a代数式表示第一季度产值；（2）①求一至三季度产值的平均增长百分数；②求a的值．《实际问题与一元二次方程》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“”带，鲜花带一边宽1m，另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长xm，可列方程为（）A．（x﹣1）（x﹣2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x+1）（x+2）＝18D．x2+3x+16＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．2．（5分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%【分析】本题主要考查了一元二次方程，因为求的是平均每次下调的百分率，所以设一个未知数就可以，列出方程，解出即可．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x则：1500•（1﹣x）•（1﹣x）＝12150∴（1﹣x）2＝0.81∴1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9解得：x＝0.1或x＝1.9∵x＜1∴x＝1.9（舍）∴x＝0.1答：平均每次下调的百分率为10%．故选：C．【点评】本题关键是列一元二次方程，以及解一元二次方程，本题采用的是开平方法解一元二次方程．3．（5分）某校的羽毛球队有若干名队员，任意两名队员间进行一场友谊赛，共比赛了36场，如果全队有x名队员，那么根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．＝36D．＝36【分析】两名队员间进行一场比赛，x名同学比赛总场数＝x（x﹣1），即可列方程求解．【解答】解：设有x名同学，每个队员都要赛（x﹣1）场，但两人之间只有一场比赛，故x（x﹣1）＝36．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系为：比赛场数＝人数×（人数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．4．（5分）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（）A．x＝B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）2【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．【解答】解：设平均每次增长的百分数为x，∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%），∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，∴商品现在的价格为：100（1+x）2，∴100（1+40%）（1+10%）＝100（1+x）2，整理得：（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和有理数的混合运算，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．5．（5分）在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人．A．9B．10C．12D．15【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）＝90，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设参加此次活动的人数有x人，由题意得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．即参加此次活动的人数是10人．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为6+3．【分析】设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4﹣x），由矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4﹣x），由题意得：x（3×4﹣x）＝2×3×3，整理得：x2﹣12x+18＝0，解得：x1＝6+3，x2＝6﹣3（不合题意，舍去）．故答案为：6+3．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（5分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是100（1+x）2＝144．【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器144台，可列出方程．【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100（1+x）2＝144．故答案为：100（1+x）2＝144．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．8．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为2．【分析】利用勾股定理可求出BC的长，当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，BQ＝tcm，CQ＝（6﹣t）cm，利用三角形的面积公式结合四边形APQB的面积是16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，∴BC＝＝6cm．当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，BQ＝tcm，CQ＝（6﹣t）cm，根据题意得：×6×8﹣（8﹣2t）（6﹣t）＝16，整理得：t2﹣10t+16＝0，解得：t1＝2，t2＝8．∵8﹣2t≥0，∴t≤4，∴t＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺．将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好与水岸齐接．问水深，芦苇的长度分别是多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为（x+1）尺，根据题意，可列方程为（x+1）2＝x2+52．【分析】直接根据题意表示出各线段长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为：（x+1）尺，根据题意，可列方程为：（x+1）2＝x2+52．故答案为：（x+1）；（x+1）2＝x2+52．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确应用勾股定理是解题关键．10．（5分）某大型超市连锁集团元月份销售额为300万元，三月份达到了720万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为x，则根据题意列出方程是300（1+x）2＝720．【分析】为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果二，三月份平均每月的增长率为x，根据“元月份销售额为300万元，三月份达到720万元”，根据题意可得出300（1+x）2＝720．【解答】解：设二，三月份平均每月的增长率为x，已知“元月份销售额为300万元，三月份达到720万元”，根据题意可得出：300（1+x）2＝720．故答案为：300（1+x）2＝720．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2＝c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据“我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）根据“某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元”分别计算方案①和方案②优惠的价格，比较后即可得到答案．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1﹣x）2＝12150，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1﹣0.98）＝24300，方案②可优惠：250×100＝25000，25000﹣24300＝700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：①正确找出等量关系，列出一元二次方程，②正确根据优惠政策列式计算．12．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点Q从点B开始沿BC边向点C移动，点Q的速度为2cm/s．点P从点B开始沿BA边向点A移动，然后再返回B点，点P的速度为3cm/s．（1）如果P、Q分别从点B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于21cm2？（2）如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积能否等于51cm2？说明理由．【分析】（1）根据直角三角形的面积公式和路程＝速度×时间进行求解即可．（2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答．【解答】解：由已知得，12÷3＝4，16÷2＝8∴点P从点B移动到点A需要4秒，然后再返回到B点，仍需要4秒；点Q从点B移动到点C，需要8秒．设时间为t，则△PBQ的面积S△PBQ与时间t的关系如下：当0﹣4秒时，当4﹣8秒时，（1）如果面积为21cm2当0﹣4秒时，3t2＝21，，所以，．当4﹣8秒时，﹣3t2+24t＝21，所以t＝7，t＝1（舍去）．∴如果P、Q分别从点B同时出发，那么秒和7秒后△PBQ的面积都等于21cm2．（2）如果面积为51cm2当0﹣4秒时，3t2＝51，，所以，．当4﹣8秒时，﹣3t2+24t＝51，整理，得t2﹣8t+17＝0，由b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×17＝﹣4＜0，可知这个方程无解；∴如果P、Q分别从点B同时出发，△PBQ的面积不能等于51cm2．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．（10分）“饺子“又名“交子”或者“娇耳”，是新旧交替之意，它是重庆人民的年夜饭必吃的一道美食．今年除夕，小侨跟着妈妈一起包饺子准备年夜饭，体验浓浓的团圆气氛．已知小侨家共10人，平均每人吃10个饺子，计划用10分钟将饺子包完．（1）若妈妈每分钟包饺子的速度是小侨速度的2倍少2个，那么小侨每分钟至少要包多少个饺子？（2）小侨以（1）问中的最低速度，和妈妈同时开始包饺子，妈妈包饺子的速度在（1）问的最低速度基础上提升了a%，在包饺子的过程中小侨外出耽误了分钟，返家后，小侨与妈妈一起包完剩下的饺子，所用时间比原计划少了a%，求a的值．【分析】题目明确给出了工作总量为10×10个饺子，工作时间10分钟，再设一个工作速度即能列得等量关系．（1）题干中明确给出妈妈和小侨包饺子的速度关系，设一个未知数即可表示两人的速度．问题出现“至少”说明应列不等式解题，即若小侨速度加快的话，包的饺子总量有可能大于100个．（2）明确了小侨的速度，妈妈速度提升的是一个百分数，所用是原来速度再乘以（1+a%），所用时间减少的也是一个百分数，应是10×（1﹣a%）．小侨速度×时间+妈妈速度×时间＝100个．计算时先把含a%的式子化简，能帮助准确计算．【解答】解：（1）设小侨每分钟包x个饺子，则妈妈每分钟包（2x﹣2）个饺子，得：10x+10（2x﹣2）≥10×10解得：x≥4（2）依题意得：小侨每分钟包4个饺子，妈妈每分钟包饺子数量为6×（1+a%）＝6+a，包饺子总时间为10×（1﹣a%）＝10﹣a，列得方程：（6+a）（10﹣a）+4（10﹣a﹣a）＝100解得：a1＝0（舍去），a2＝40答：（1）小侨每分钟包至少包4个饺子；（2）a的值为40．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用，解题关键是（1）找准是等量关系还是不等量关系；（2）提升或减少的是一个百分数，带a%式子的准确计算．14．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了40米木栏，所围成的矩形菜园的面积为150平方米，求矩形菜园的边长BC和AB．【分析】设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形菜园的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入40﹣2x中可求出BC的长，取其小于20的值即可．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（40﹣2x）米，依题意，得：x（40﹣2x）＝150，整理，得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝5，x2＝15．当x＝5时，40﹣2x＝30＞20，不合题意，舍去；当x＝15时，40﹣2x＝10．答：矩形菜园的边长BC为10米，AB为15．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（10分）【知识链接】一年分为四个季度，一至三月为第一季度，四至六月为第二季度，七至九月为第三季度，十至十二月为第四季度．【百姓生活】庆庆公司2018年一至四月每月有a万元产值，由于受国际贸易市场传导影响，五月、六月产值出现下滑现象（每月仍有一定数量产值），第三季度得益于优惠政策，产值迅速反弹，创造了363万元产值新高．已知一至三季度产值的平均增长百分数与第二季度中的月产值平均降低百分数相同，按上述月产值之间增长率统计的第二季度产值比按季度产值之间增长率统计的第二季度产值少0.59a万元．【问题解决】（1）试用a代数式表示第一季度产值；（2）①求一至三季度产值的平均增长百分数；②求a的值．【分析】（1）将一至三月的产值相加即可得出结论；（2）①设一至三季度产值的平均增长率为x，由按月产值计算出的第二季度产值比按季度产值计算出的第二季度产值少0.59a万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；②根据第一、三季度的产值及一至三季度产值的平均增长率，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．【解答】解：（1）第一季度的产值为3a万元．（2）①设一至三季度产值的平均增长率为x，依题意，得：3a（1+x）﹣0.59a＝a+a（1﹣x）+a（1﹣x）2，整理，得：x2﹣6x+0.59＝0，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝5.9（不合题意，舍去）．答：一至三季度产值的平均增长率为10%．②依题意，得：3a（1+10%）2＝363，解得：a＝100．答：a的值为100．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）用含a的代数式表示出第一季度的产值；（2）①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．。

训练专题三——一元二次方程的整数解一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有_________个．2．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有_________个．3．（5分）已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m=_________．4．（5分）给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是_________．5．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=_________．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6．（4分）已知a，b为质数且是方程x2﹣13x+c=0的根，那么的值是（）A．B．C．D．三、解答题（共12小题，满分91分）7．（8分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．8．（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．9．（8分）若关于x的方程ax2﹣2（a﹣3）x+（a﹣13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．10．（8分）设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．11．（7分）已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．12．（6分）求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k﹣1）=0的根都是整数的k值．13．（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，试解此方程．14．（6分）设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．15．（6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0 至少有一个整数根，求a的值．16．（6分）已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．17．（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．18．（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2﹣2x﹣m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有5个．考点：一元二次方程的整数根与有理根。

中考一元二次方程一选择题1. （2011甘肃兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+= B ． 20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --=2．（10巴中）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 3.关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、无实数根D 、不能确定 4.方程2x (x －3)=5（x －3）的根是（ ）A. 52x =B.3C. 1253,2x x ==D. 125,32x x =-=-5. （2011哈尔滨）若x=2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+8=0的一个解．则m 的值是（ ） A.6 B.5 C.2 D.﹣66.已知ac ＜0，则方程ax 2－bx +c =0的根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根7.（2011张家界）已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ） A 、1 B 、﹣1 C 、0 D 、无法确定8. （2011乌鲁木齐）关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）A 、－1 B 、0 C 、1 D 、－1或19. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-10.若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A.k ＜－1 B.k ＞－1，且k ≠0 C. k ＜1 D. k ＜1，且k ≠011.若代数式x 2+8x +m 是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A.4B.－4C.16D.－16 12．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ） Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-13. （2011兰州）关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程2(2)0a x m b +++=的解是 .14.（2010年，2分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ． 23000(1)5000x +=％D ．23000(1)3000(1)5000x x +++= 15.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A.24 B.24或 C.48 D.16.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、3 C 、6 D 、917. （2011•台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为421平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（ ）A 、11B 、12C 、13D 、1418. （2011甘肃兰州）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）A ．(1)2070x x -=B ．(1)2070x x +=C ．2(1)2070x x +=D ．(1)20702x x -=19. （2011贵州毕节）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价%a 后售价为128元，下列所列方程正确的是( )A ．128%)1(1602=+aB ．128%)1(1602=-aC ．128%)21(160=-aD ．128%)1(160=-a 20.（2011湖北黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n 个点最多可确定21条直线．则n 的值为（ ）A ．5 B ．6 C ．7 D ．821. （2011云南保山）据调查，某市2011年的房价为4000元/m 2，预计2013年将达到4840元/m 2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为（ ）A ．4000(1+x )=4840B ．4000(1+x )2=4840C ．4000(1-x )=4840D ．4000(1-x )2=4840 二填空题1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则一次项系数是 . 3. （2011梧州）一元二次方程x 2+5x+6=0的根是 ．4.x 2+6x + =(x +3)2.5.（2010年，3分）已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ．6. （2011江苏镇江常州）已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是 ．7. （2011山东滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______.8. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 9．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ . 10．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数； 当m ＝ 时，两根互为相反数.11.已知方程mx 2－mx +2=0有两个相等的实数根，则m 的值为 . 12.若x =1是一元二次方程x 2+x +c +=0的一个解，则c 2= .13．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）14.当x= 时，分式2231x x x +--的值为0.15．若x1=23-是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝，该方程的另一个根x2= .16．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________，1211x x+＝__________，(x1－x2)2＝_______.17. （2011•宁夏）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为．18. （2011山西）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力． 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________．19. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长是．20. （2011•山西）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，21. （2011•江苏宿迁）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）．22. （2011天水）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是．三、解答题1.解方程 4x2－8x＋1＝0（用配方法）；2.当m为何值时，关于x的一元二次方程21402x x m-+-=有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？3.已知关于x的一元二次方程x2+(m－2)x－m－1=0，试说明无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根.4.（2011湖北黄石6分）解方程：0)10553(|4|222=--+--yxyx．5.已知a ，b ，c 2410b c ++-=（），求方程ax 2+bx +c =0的解.6. （2011山东淄博）已知：▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+2m ﹣14=0的两个实数根． （1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？7. （2011山东日照8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．8. （2011年广西桂林8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？9. （2011新疆建设兵团10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P （个）与每个书包销售价x （元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？10. （2011湖北十堰6分）请阅读下列材料：问题：已知方程x 2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。

2013版教材-九年级数学一元二次方程-拔高练习可能会用到的根与系数关系的常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-， 2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== 一、填空题1、当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

3、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

5、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。

6、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。

7、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

变式1：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

8、已知023222=--y xy x ,则y x y x -+的值为 。

9、方程()012000199819992=-⨯-x x 的较大根为r ，方程01200820072=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的值为 。

10、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。