2018版高考数学复习压轴题命题区间七概率与统计

压轴题07统计与概率压轴题题型/考向一：计数原理与概率题型/考向二：随机变量及其分布列题型/考向三：统计与成对数据的统计分析一、计数原理与概率热点一排列与组合解决排列、组合问题的一般步骤(1)认真审题弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．热点二二项式定理1．求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k(k＝0，1，2，…，n)．2．求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．3．求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法．4．求解系数和问题应用赋值法．热点三概率1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 中包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P (A )＞0，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )＞0，i ＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i )．○热○点○题○型一计数原理与概率一、单选题1．现将甲乙丙丁四个人全部安排到A 市､B 市､C 市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到A 市工作的安排种数为（）A ．12B ．14C ．18D ．22【答案】D【详解】若甲乙两人中的1人到A 市工作，有12C 种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有2232C A 安排种数，故有12223212C C A =种；若甲乙两人中的1人到A 市工作，有12C 种选择，丙丁中一人到A 市工作，有12C 种选择，其余2人到另外两个地方工作，有22A 种选择，故安排种数有112222C C A 8=种；若安排甲乙2人都到A 市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有22A 2=种，故总共有12+8+2=22种.故选：D2．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．253．在2x x y -+的展开式中，项7x y 的系数为（）A ．60B ．30C ．20D ．60-【答案】D【详解】由()()6622x x y x x y ⎡⎤-+=-+⎣⎦，可得其二项展开式()61216C ,0,1,2,3,4,5,6rrr r T x x y r -+=-=，若先满足项7x y 中y 的次数，则1r =，可得()()55112226C 6T x x y x x y =-=-，其中()52x x -展开式的通项为()()()52210155C 1C ,0,1,2,3,4,5rrrr r rr T x x x r --+=-=-=，令107r -=，得3r =，可得()32377451C 10T x x =-=-，故项7x y 的系数为()61060⨯-=-.故选：D.4．在)7311⎛⋅ ⎝的展开式中，含1x 的项的系数为（）A ．21B ．35C ．48D ．56择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59至少有一个白球”，事件:B “3个球中至少有一个红球”，事件:C “3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（）A ．事件A 与事件B 不为互斥事件B ．事件A 与事件C 不是相互独立事件C ．()3031P C A =D ．()()P AC P AB >的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（）A ．14B ．15C ．16D ．183月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为（）A ．12B ．1115C ．713D ．27【答案】C【详解】记“随机选取4人”为事件Ω，“代表队中既有党员又有民主党派人士”为事件A ，“党二、多选题9．在9x ⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第6项和第7项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为256C ．常数项为84D ．有理项有2项10．已知01239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，则下列结论成立的是（）A ．20911a a a a ++++=LB ．3672a =C ．9012393a a a a a -+-+-= D ．123912398=++++ a a a a 【答案】ABD【详解】()()()()()9929012925122222x x a a x a x a x --+-=+⎣=-+-++-⎡⎤⎦，展开式的通项为()()()()99199C 125C 125r rrrrr rr T x x --+=--=-⋅⋅-⎡⎤⎣⎦，对选项A ：令3x =，可得()901292351a a a a ++++=⨯-= ，正确；对选项B ：()33498C 2T x =-，所以3398C 672a ==，正确；对选项C ：令1x =，可得901293a a a a -+--=- ，错误；对选项D ：()()()()()923901239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，两边同时求导，得()()()()82812391825223292x a a x a x a x -=+-+-++- ，令3x =，123912398=++++ a a a a ，正确．故选：ABD11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．()25P B =B ．()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（）A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为9 16C．表演成功的环节个数的期望为3D．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为3 4热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n 则(1)p i≥0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n.(4)D (X )＝∑ni ＝1[x i －E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ).热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n .E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }，E (X )＝n ·M N .热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x ＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.○热○点○题○型二随机变量及其分布列一、单选题1．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已(140)0.2P X >=，则[100,140]X ∈的学生人数为（）A ．5B ．10C ．20D ．30【答案】D【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，所以期末考试数学成绩关于120μ=对称，则(140)(100)0.2P X P X >=<=，所以(100140)0.6P X ≤≤=，所以[100,140]X ∈的学生人数为：0.65030⨯=人.故选：D.2．在某个独立重复实验中，事件A ，B 相互独立，且在一次实验中，事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1p -，其中()0,1p ∈．若进行n 次实验，记事件A 发生的次数为X ，事件B 发生的次数为Y ，事件AB 发生的次数为Z ，则下列说法正确的是（）A ．()()()1pE X p E Y =-B ．()()()1p D X pD Y -=C ．()()E ZD Y =D ．()()()2D Z D X D Y=⋅⎡⎤⎣⎦【答案】C【详解】由已知，(),X B n p ，∴()E X np =，()()1D X np p =-，(),1Y B n p ~-，∴()()1E Y n p =-，()()()()1111D Y n p p np p ⎡⎤=---=-⎣⎦，∵事件A ，B 相互独立，∴一次实验中，A ，B 同时发生的概率()()()()1P AB P A P B p p ==-，∴()(),1Z B n p p ~-，∴()()1E Z np p =-，()()()()()211111D Z np p p p np p p p ⎡⎤=---=--+⎣⎦，对于A ，()2pE X np =，()()()211p E Y n p -=-，()()()1pE X p E Y =-不一定成立，故选项A 说法不正确；对于B ，()()()211p D X np p -=-，()()21pD Y np p =-，()()()1p D X pD Y -=，不一定成立，故选项B 说法不正确；对于C ，()()1E Z np p =-，()()1D Y np p =-，()()E Z D Y =成立，故选项C 说法正确；对于D ，()()()22222211D Z n p p p p ⎡⎤=--+⎣⎦，()()()2221D X D Y n p p ⋅=-，()()()2D Z D X D Y =⋅⎡⎤⎣⎦不一定成立，故选项D 说法不正确.故选：C.3．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A 型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km ）情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量2(13,)N ξσ ，若()12140.7P ξ<<=，则样本中耗电量不小于14kW h /100km ⋅的汽车大约有（）A ．180辆B ．360辆C ．600辆D ．840辆4．设1122，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥B ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤C ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥D ．()()21P X P X σσ≤≤≤．．A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设()21N ξσ~，，且(0)0.2P ξ<=，则(12)0.2P ξ<<=C ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+一定经过样本点的中心()，x y D ．随机变量()B n p ξ~，，若()()3020E D ξξ==，，则90n =从正态分布()272,8N ，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．A ．455B ．2718C ．6346D ．95457．某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A ．0.9B ．0.7C ．0.3D ．0.1面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X ，若()2~,X N μσ，则买一个面包的质量大于900g 的概率为（）（附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827μσημσ-≤≤+=，(22)0.9545P μσημσ-≤≤+=，(33)0.9973P μσημσ-≤≤+=；）A ．0.84135B ．0.97225C ．0.97725D ．0.99865二、多选题9．已知随机变量X 服从二项分布29,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，随机变量21Y X =+，则下列说法正确的是（）A ．随机变量X 的数学期望()6E X =B ．512(2)93P X ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭C ．随机变量X 的方差()2D X =D ．随机变量Y 的方差()4D Y =10．随机变量且20.5P X ≤=，随机变量3,Y B p ，若E Y E X =，则（）A ．2μ=B ．()22D x σ=C ．23p =D ．()36D Y =坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则（）A ．P (X ＞32)＞P (Y ＞32)B ．P (X ≤36)＝P (Y ≤36)C ．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D ．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【答案】BCD【详解】A.由条件可知()230,6X N ，()234,2Y N ~，根据对称性可知()()320.532P Y P X >>>>，故A 错误；B.()()36P X P X μσ≤=≤+,()()36P Y P Y μσ≤=≤+，所以()()3636P X P Y ≤=≤，故B 正确；C.()340.5P X ≤>=()34P Y ≤，所以()()3434P X P Y ≤>≤，故C 正确；D.()()()40422P X P X P X μσ≤<<=<+，()()403P Y P Y μσ≤=≤+，所以()()4040P X P Y ≤<≤，故D 正确.故选：BCD12．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为x g ，随机变量x 服从正态密度函数()2200(1000)x x ϕ--=，其中x ∈R ，则（）附：随机变量2(,)N ξμσ-，则()0.683P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=．A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%B ．生产线乙的食盐质量()2~1000,100x N C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的三、解答题13．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到．(1)求恰有1名甲班的候选人被选中的概率；(2)用X 表示选中的候选人中来自甲班的人数，求()3P X ≥；(3)求（2）中X 的分布列及数学期望．()012344954954954954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．14．网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X ，估计X 的数学期望()E X ；(3)从A 组和B 组中分别随机抽取2户家庭，记1ξ为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，2ξ为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差()1D ξ与()2D ξ的大小．（结论不要求证明）高科技体验．现有A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人，其工作程序依次分为三个步骤：分捡，归类，处理，每个步骤完成后进入下一步骤．若分捡步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为20分，若归类步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为30分，若处理步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为50分．若各步骤完成但效能没有达到95%，则该步骤得分为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作．现已知A款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为45，35，13，B款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率均为12，每款机器人完成每个步骤且效能是否达到95%及以上都相互独立．(1)求B款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率；(2)若准备在A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人，从最后总得分的期望角度来分析，你会选择哪一种型号？则()416226802030507575257575E X =⨯+⨯+⨯+⨯+14380015270801002525753⨯+⨯+⨯==．设B 款机器人完成所有工作总得分为Y ，则Y 的可能取值为0,20,30,50,70,80,100，所以()()3110,20,30,70,80,10028P Y ξξ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，()31150224P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以Y 的分布列为：Y02030507080100P18181814181818则()11111020305088848E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+11400708010050,888⨯+⨯+⨯==因为152503>，所以()()E X E Y >，所以从最后总得分的期望角度来分析，应该选择A 种型号的机器人．三、统计与成对数据的统计分析热点一用样本估计总体1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二回归分析求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －，y －，∑n i ＝1x 2i ，∑n i ＝1x i y i 的值.(3)计算a ^，b ^.(4)写出经验回归方程.热点三独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○热○点○题○型三统计与成对数据的统计分析一、单选题1．已知一组数据1231,31,,31n x x x --- 的方差为1，则数据12,,,n x x x 的方差为（）A ．3B ．1C ．13D ．19抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）A ．90B ．96C ．102D ．120【答案】D绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150【答案】D【详解】由()10237621a a a a a ⨯++++=可得0.005a =，故A 错误；前三个矩形的面积和为()102370.6a aa ⨯++=，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B 错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误；总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101000150a ⨯⨯=，故D 正确.故选：D4．如图，一组数据123910,,,,,x x x xx ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为22s ，则（）A ．5x >，2212s s >B ．5x <，2212s s <C ．5x =，2212s s <D ．5x =，2212s s >根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（）A ．若2a =，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B ．若4a =，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C ．若5a =，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D ．若6a =，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,x x 和2212,s s ，且已知12x x =，则总体方差()2221212s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X -+= ，则2μ=D ．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=1，2，…，10A ．数据141x +，241x +，…，1041x +的平均数为9B ．10120i i x ==∑C ．数据13x ，23x ，…，103x 的方差为D ．102170i i x ==∑1制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()130,108.5，()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．数据5，7，8，11，10，15，20的中位数为11B ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为18.5C ．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成直角三角形三边长的概率为0.1D ．设随机事件A 和B ，已知0.8)PA =（，0.6|PB A =（），(|)0.1P B A =，则()0.5P B =故选：BCD.10．为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校大一学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间[]60,100内，将其分成5组：[)60,68，[)68,76，[)76,84，[)84,92，[]92,100，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则（）A ．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%B ．该校学生测试成绩的中位数估计值为80C ．该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数D ．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩不低于84分的概率估计值为0.16到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则（）A ．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%B ．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%C ．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半D ．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多【答案】ABC【详解】设2022年到该地旅游的游客总人数为a ，由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为0.2a ，0.35a ，0.45a ，其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04a ，0.0875a ，0.135a ，所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为0.350.450.8a a a +=，所以A 正确；因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数0.040.08750.1350.2625a a a a ++=，所以B 正确；因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为0.2625a ，其中青年人的人数为0.135a ，所以C 正确；因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为0.135a ，而到该地旅游的老年人的人数为0.2a ，所以D 错误．故选：ABC.12．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【详解】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3% 5.0%8.5% 3.5% 1.0% 1.0% 1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .三、解答题13．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05a =的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；（ii ）以（i ）中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ．试验后统计数据显示，当X =99时，P （X ）取最大值，求参加人体接种试验的人数n ．参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024零假设为0根据列联表中数据，得220.05200(502020110) 4.945 3.8411604070130x x ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，根据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A ，B ，C 发生的概率分别为(),(),()P A P B P C ，则160()0.8200P A ==，20(|)0.540P B A ==，()1()1()(|)10.20.50.9P C P AB P A P B A =-=-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9p =，（ii ）由题意，知随机变量~(,0.9)X B n ，()C 0.90.1(0,1,2,)k k n kn P X k k n -==⨯⨯= ，因为(99)P X =最大，所以999999989898999999100100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n nn ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得1109110,9n ≤≤n Q 是整数，所以109n =或110n =，∴接受接种试验的人数为109或110．14．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号i12345678910平均值根部横截面积0.040.060.040.080.080.05a b c 0.070.06ix 材积量i y 0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.440.39其中a ，b ，c 为等差数列，并计算得：610.146i i i xy ==∑0.044≈，0.303≈．(1)求b的值；(2)若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程（若0.250.75r ≤≤，则认为两个变量的线性相关性一般；若0.75r>，则认为两个变量的线性相关性很强）；附：相关系数n i i x y nx yr -=∑回归直线y bx a =+$$$中，1221n i i i n ii x y nx y b xnx ==-=-∑∑ ，a y bx =-$$．(3)根据回归直线方程估计a ，c 的值（精确到0.01）．。

7．概率与统计1．【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D点睛：2．【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B. 点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。

3．【2018年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，故平均数为.点睛：的平均数为.6．【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题。

【命中考心】2018高考数学必考点之概率与统计 选择题专项一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．要从已编号（1·50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25B ．3,13,23,33,43C ．1,2,3,4,5D ．2,4,8,16,32【解析】B 根据系统抽样的规则,1到10一段，11到20一段，如此类推，那么每一段上都应该有号码．2． ①教育局督学组到学校检查工作，需在高三年级的学号为001·800的学生中抽调20人参加关于学校管理的综合座谈；②该校高三年级这800名学生期中考试的数学成绩有160在120分以上（包括120分），480人在120以下90分以上（包括90分），其余的在90分以下，现欲从中抽出20人研讨进一步改进数学教和学的座谈；③该校高三年级这800名学生参加2018年元旦聚会，要产生20名“幸运之星”． 以上三件事，合适的抽样方法依次为 （ ）A ．系统抽样，分层抽样，系统抽样B ．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C ．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样【解析】D 参加学校管理的综合座谈采用系统抽样较好，具有代表性；研究数学教与学的问题采用分层抽样较为合适，这样可以使研究更能反映不同层次的学生；“幸运之星”就不能在用系统抽样，那样就不具有“幸运”之意了，合适的抽样方法就是用简单随机抽样，以体现“幸运”之意．3．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本，有以下三种抽样方法：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,,99，抽签取出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组随机抽取1个；③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．则下述判断中正确的是 （ ）A ．不论采用何种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为51B ．①、②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为51；③并非如此C ．①、③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为51；②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性是各不相同的【解析】A 三种抽样方法的特点就是保证了每个个体从总体中抽到的可能性都相同，保证了公平性。

2018年高考统计与概率专题（全国卷1文）2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位:kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2,…,x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…,x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B（全国卷1理）2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。

正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π4【考点】:几何概型【思路】：几何概型的面积问题，=P 基本事件所包含的面积总面积.【解析】：()21212=82r S P S r ππ==，故而选B 。

(全国卷2理）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种（全国卷2文）6。

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90πB 。

63πC 。

42π D.36π【答案】B【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B 。

（天津卷)文（3）有5支彩笔（除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。

从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(A）45(B)35(C）25（D）15（全国卷2文）11.从分别写有1，2，3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C。

第十三章概率与统计本章知识结构图统计概率第一节概率及其计算考纲解读1. 了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。

2. 了解两个互斥事件的概率的加法公式。

3. 掌握古典概型及其概率计算公式。

4. 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

5. 了解几何概型的意义。

命题趋势探究1. 本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。

2. 命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、 对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。

知识点精讲一、 必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：① 必然要发生的事件叫必然事件； ② 一定不发生的事件叫不可能事件； ③ 可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

二、 概率在相同条件下，做次重复实验，事件 A 发生次，测得 A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动， 随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫 做A 的概率，记作。

对于必然事件A,;对于不可能事件 A, =0.三、 基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件， 所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。

四、 两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件2、每个基本事件发生的可能性相同P AA 包含基本事件数 =card (A) 基本事件总数=card ()2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域的子集A ，A 的几何度量(长度、面积、体积或时间)记为五、互斥事件的概率1互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。

事件A与事件B互斥，则P AUB P A P B2、对立事件事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作B A或A B。

P A 1 p A。

3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A, B对立”是”事件 A B互斥“的充分不必要条件。

2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。

7．概率与统计1．【2018年浙江卷】设0<p<1,随机变量ξ分布列是ξ0 1 2P则当p在（0,1）内增大时,A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D点睛：2．【2018年理新课标I卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究几何图形．此图由三个半圆构成,三个半圆直径分别为直角三角形ABC斜边BC,直角边AB,AC．△ABC三边所围成区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III．在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III概率分别记为p1,p2,p3,则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A【解析】分析：首先设出直角三角形三条边长度,根据其为直角三角形,从而得到三边关系,之后应用相应面积公式求得各个区域面积,根据其数值大小,确定其关系,再利用面积型几何概型概率公式确定出p1,p2,p3关系,从而求得结果.详解：设,则有,从而可以求得面积为,黑色部分面积为,其余部分面积为,所以有,根据面积型几何概型概率公式,可以得到,故选A.点睛：该题考查是面积型几何概型有关问题,题中需要解决是概率大小,根据面积型几何概型概率公式,将比较概率大小问题转化为比较区域面积大小,利用相关图形面积公式求得结果.【2018年理新课标I卷】某地区经过一年新农村建设,农村经济收入增加了一倍．实现翻番．为3．更好地了解该地区农村经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确是A. 新农村建设后,种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入总和超过了经济收入一半【答案】A详解：设新农村建设前收入为M,而新农村建设后收入为2M,则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后种植收入为0.74M,所以种植收入增加了,所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上,所以B项正确；新农村建设前,养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍,所以C项正确；新农村建设后,养殖收入与第三产业收入综合占经济收入,所以超过了经济收入一半,所以D正确；故选A.点睛：该题考查是有关新农村建设前后经济收入构成比例饼形图,要会从图中读出相应信息即可得结果.4．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中每位成员使用移动支付概率都为,各成员支付方式相互独立,设为该群体10位成员中使用移动支付人数,,,则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B点睛：本题主要考查二项分布相关知识,属于中档题。

2018年高考试题分类汇编（统计与概率）考点1 简单计数1．（2018·浙江卷）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成____个没有重复数字的四位数.(用数字作答)2.（2018·全国卷Ⅰ理科）从2位女生，4位男生中选3位参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）考点2 随机事件的概率考法1古典概型1. （2018·全国卷Ⅱ文科）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的两人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.32.（2018·全国卷Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示成两个素数的和”.例如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183．（2018·江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．4.（2018·上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_ __.（结果用最简分数表示）5.（2018·天津卷文科）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用,,,,,,A B C D E F G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（1）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（2）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．考法2 几何概型1.（2018·全国卷Ⅰ文理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB ,AC .ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色区域记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A.12p p =B. 13p p =C. 23p p =D. 123p p p =+考法3 互斥事件与相互独立事件 1.（2018·全国卷Ⅲ文科）某群中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ．0.3B ．0.4C ． 0.6D ．0.72.（2018·全国卷Ⅲ理科）某群中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成 员的支付方式互相独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)p X =<(6)p X =，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3考点3 统计初步考法1 抽样方法1.（2018·全国卷Ⅲ文科）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的平价有较大的差异.为了解客户的平价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法为 . 考法2 统计图表1．（2018·江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．2.（2018·全国卷Ⅰ文理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解高该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：4% 6% 30% 60% 养殖收入 其他收入 第三产业收入 种植收入 建设前经济收入构成比例5% 28% 30% 37% 养殖收入 其他收入 第三产业收入 种植收入 建设后经济收入构成比例 8 9 9 9 0 1 1则下面结论中不正确的是A.新农村建成后，种植收入减少B.新农村建成后，其他收入增加一倍以上C.新农村建成后，养植收入增加一倍D.新农村建成后，养植收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半考点4 统计与概率考法1 分布列、期望、方差1.（2018·天津卷理科）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（1）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（2）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.2.（2018·全国卷Ⅰ理科）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格产品，则更换为合格产品.检验时，先从这箱产品种任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为(01)<<，且各件产品是否为不合格产品互相独立.p p（Ⅰ）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()p.f p的最大值f p,求()0（Ⅱ）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（Ⅰ）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格产品支付25元的赔偿费用.（1）若不对该产箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（2）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？3.（2018·北京卷文科）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）4.（2018·北京卷理科）好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k =）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．考法2 线性回归分析1.（2018·全国卷Ⅱ文理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图，为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17 ）建立模型① 30.413.5y t =-+；根据2010年至2016的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7 ）建立模型② 9917.5y t =+.（Ⅰ）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （Ⅱ）你认为哪个模型的预测值更可靠？并说明理由.考法3 用样本估计总体1.（2018·全国卷Ⅰ文科）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用节水龙头50天的日用水量数据，得到频率分布表如下：（Ⅰ）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量频率分布直方图： （Ⅱ）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于3（Ⅲ）估计该家庭使用了节水龙头后，一年 能节省多少水？（一年按365天计算，同一 组中的数据以这组数据所在区间的中点的值 作代表.） 2000 2001 2002 20032004 2005 2006 2008 2007 2009 2010 2012 2014 2013 2015考法4 独立性检验1.（2018·全国卷Ⅲ文理）某工厂为了提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20名工人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.（Ⅱ）求40名工人完成生产任务所需的时间的中位数m ， 并将完成生产任务所（Ⅲ）根据（Ⅱ）中列联表，能否有99％把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++第一种生产方式 第二种生产方式 8 8 7 6 5 5 6 8 9 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 1 4 4 5 09 9 7 6 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 0 0。