高中数学人教A版必修1函数的零点及二分法(无答案)学案

人教版A版高一数学必修一第三章第一节函数的零点教学设计3.1.1 函数零点一、内容与解析（一）内容：函数零点（二）解析：函数的零点是高中新教材人教A版必修①第三章3.1.1的内容。

在上一章中学了几种基本初等函数，()f x的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0f x 的实数根；从函数的图像角度看,函数的零点就是函数()f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用．学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．因此本节课是本学科的重点内容，有着承前启后的作用。

教学的重点是函数零点的形成与求解及其基本应用，在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.本科计划两课时。

二、教学目标及解析目标：1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数零点与方程的关系。

本节课的教学中需要用到几何画板，因为使用几何画板有利于更直观的展示方程的根与函数零点的联系五、教学过程1、自学（大约8分钟）问题1：函数零点是如何得到的？问题2：函数零点内容是什么？问题3：函数零点能解决什么问题？2、互学导学（大约32分钟）问题1：如何定义函数的零点以及函数零点概念是如何形成的？设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便。

师生活动：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系。

高中数学函数零点教案
目标:
学生能够掌握函数零点的概念以及求解零点的方法。

教学内容:
1. 函数零点的定义
2. 方程求解的方法（因式分解、配方法、二次函数公式）
3. 利用图像法求解零点
教学步骤:
1. 引导学生了解函数零点的定义，即函数图像与X轴的交点。

2. 讲解如何求解函数的零点，分别介绍因式分解、配方法和二次函数公式的应用。

3. 演示练习，让学生在老师的指导下解决一些函数的零点问题。

4. 引导学生通过作图的方法求解函数的零点，讲解如何在函数图像上找到交点。

5. 练习巩固，让学生自主完成一些函数的零点求解问题。

评价方式:
1. 学生的课堂参与度
2. 课堂练习的正确率
3. 课后作业的完成情况
Homework:
1. 完成课后练习
2. 尝试解决更复杂的函数零点问题
备注:
老师在教学过程中要引导学生注意函数零点的概念理解和求解方法，遇到困难要及时给予帮助和指导。

提倡学生多做练习，加深对函数零点的理解和掌握。

4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解课标要求素养要求1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.2.了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数. 通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.教材知识探究路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？将这个实际问题抽象成数学模型.问题如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？提示只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B 处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识.1.函数的零点注意零点不是点，而是一个实数(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：2.函数零点存在定理(1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.f(a)·f(b)<0是函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点的充分不必要条件(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.教材拓展补遗『微判断』1.设f(x)＝1x，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝1x在(－1，1)内有零点.(×)提示由于f(x)＝1x的图象在『－1，1』上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论.2.若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)提示反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.3.若函数f(x)的图象在区间『a，b』上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.(×)提示反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点.『微训练』1.下列各图象表示的函数中没有零点的是()『答案』 D2.若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.『解析』由f(2)＝4a－1＝0得a＝1 4.『答案』1 4『微思考』1.结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由.提示不一定.因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点.如：指数函数，其图象都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点.2.在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点.则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？提示满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0.题型一求函数的零点求函数的零点就是求对应方程的根或求函数与x轴交点的横坐标『例1』(1)函数y＝1＋1x的零点是()A.(－1，0)B.x＝－1C.x＝1D.x＝0(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________.(3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝______________________.『解析』(1)令1＋1x＝0，解得x＝－1，故选B.(2)令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.『答案』(1)B(2)－2(3)3规律方法探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.『训练1』函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.『解析』∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).∵－ax(2x＋1)＝0x＝0，x＝－1 2，∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－1 2.『答 案』 0，－12题型二 判断函数零点的个数 方程解的个数或图象交点个数 『例2』 判断下列函数零点的个数. (1)f (x )＝x 2－34x ＋58； (2)f (x )＝ln x ＋x 2－3.解 (1)由f (x )＝0，即x 2－34x ＋58＝0，得Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－4×58＝－3116<0， 所以方程x 2－34x ＋58＝0没有实数根，即f (x )零点的个数为0.(2)法一 函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数 y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点.从而方程ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点. 法二 由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0， f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0， 所以f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1，2)上是连续的， 所以f (x )在(1，2)上必有零点， 又f (x )在(0，＋∞)上是递增的， 所以零点只有一个.规律方法 判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.『训练2』函数f(x)＝ln x－1x－1的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3『解析』如图，画出y＝ln x与y＝1x－1的图象，由图知y＝ln x与y＝1x－1(x>0，且x≠1)的图象有两个交点.故函数f(x)＝ln x－1x－1的零点有2个.『答案』 C题型三判断函数零点所在的区间一般用函数零点存在定理解决『例3』(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 6不求a，b)A.(－3，－1)和(2，4)B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2)D.(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，4)D.(4，＋∞)『解析』(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.(2)∵f(x)＝6x－log2x，∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝32－2＝－12<0，由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).『答案』(1)A(2)C规律方法确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.『训练3』(1)函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)(2)若方程x lg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于()A.－2B.1C.－2或1D.0『解析』(1)∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，又f(x)的图象在(0，1)内是一条连续不断的曲线，∴f(x)在(0，1)内有零点.(2)由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝1x，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝1x的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1，2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C.『答案』(1)C(2)C一、素养落地1.通过学习函数零点与方程根的关系培养数学抽象素养，通过学习零点存在定理判断零点的个数及判断零点所在区间提升逻辑推理、直观想象素养.2.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.二、素养训练1.函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有()A.0个B.1个C.2个D.不能确定『解析』由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0，所以方程2x2－4x－3＝0有两个不相等的实根，即f(x)有两个零点.『答案』 C2.函数f(x)＝4x－2x－2的零点是()A.(1，0)B.1C.12D.－1『解 析』 由f (x )＝4x －2x －2＝(2x －2)(2x ＋1)＝0得2x ＝2，解得x ＝1. 『答 案』 B3.函数f (x )＝2x －1x 的零点所在的区间是( ) A.(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 『解 析』 f (1)＝2－1＝1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212－2＝2－2<0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)<0，且f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内是一条连续不断的曲线，故f (x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.『答 案』 B4.函数f (x )＝x 2－2x 在R 上的零点个数是________.『解 析』 函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数，等价于函数y ＝2x ，y ＝x 2的图象交点个数.如图，画出函数y ＝2x ，y ＝x 2的大致图象.由图象可知有3个交点，即f (x )＝x 2－2x 有3个零点. 『答 案』 35.若32是函数f (x )＝2x 2－ax ＋3的一个零点，求f (x )的另一个零点.解 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×94－32a ＋3＝0得a ＝5，则f (x )＝2x 2－5x ＋3.令f (x )＝0，即2x 2－5x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝1，所以f (x )的另一个零点是1.。

高一数学二分法教学案（16）【课前预习导读】 一、学习目标：根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二、教学重点难点：重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 三、知识回顾：1．函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x 轴有交点 ①函数y=f(x)的零点是函数y=f(x)的图象与x 轴交点坐标吗？ ②方程解的个数 方程两边的函数的图象的交点个数 2．堪根定理若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并有 ,那么y=f(x)在（a,b ）内有零点，即存在c ∈（a,b ），使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根。

堪根定理的逆命题成立吗？ 【课堂自主导学】二分法的概念与求函数f(x)零点近似值的步骤1.什么是二分法？ 对于在区间[a ，b]上图象 且满足 的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a ，b],验证f(a) ·f(b) ＜0，给定精确度 (2)求区间(a ，b)的中点(3)计算①若=，则就是函数的零点 ②若·＜0，则令=（此时零点） ③若·＜0，则令=（此时零点）(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤（2）-（4）． 【思考】为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？【导学检测】1．函数2()816f x x x =-+-在区间[]3,5上 （ ）A 、没有零点B 、有一个零点C 、有两个零点D 、有无数个零点 2．下列图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 （ ）3．用二分法求函数3()5f x x =+的零点可以取得初始区间是 （ ） A 、[]2,1- B 、[]1,0- C 、[]0,1 D 、[]1,24．已知函数32()22f x x x x =+--，(1)(2)0f f ∙<，用二分法逐次计算时，若0x 是[]1,2的中点，则0()f x =5.已知图像连续不断的函数()y f x =在区间()0,0.1上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度为0.01）的近似值，则应将区间()0,0.1等分的次数至少为 次。

4.5.1 函数的零点与方程的解教材分析：（1）函数的零点：我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

这个概念是由二次函数的零点推广到一般函数f(x)得到的.（2）函数的零点与方程的解的关系：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.从代数上看，在函数y=f(x)的解析式中，当函数值y=0时，得到方程f(x)=0，这个方程的实数解就是使f(x)=0的实数x，因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解.从图形上看，函数y=f(x)的解析式可以看成关于x,y的方程，这个方程的每一组解（x,y）对应于直角坐标系平面中函数y=f(x)的图象上一个点（x,y），当函数值y=0时，对应的点为（x,0），它是函数y=f(x)的图象与x轴交点，因此，方程f(x)=0的实数解是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.函数的零点与方程的解的关系给出了利用函数图象判断方程是否有解的办法：方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)图象与x轴有交点.函数的零点与方程的解的关系也为解不能用公式求解的方程提供了思路：我们可以把方程与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解。

（3）函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点。

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，意味着在区间[a,b]上，当自变量从a连续不断地变化到b时，相应的函数值从f(a)连续不断地变化到f(b).若f(a)f(b)<0，则f(a)>0且f(b)<0,或者f(a)<0且f(b)>0，意味着当函数值从f(a)连续不断地变化到f(b)时，发生了函数值由正到负，或者由负到正的连续不断的变化，而正数和负数是以0为界线的，因此，必然存在一个c∈（a,b），使得f(c)=0.函数零点存在定理是判断方程在某个区间内是否有解的具体方法，是利用函数研究方程的有利工具。

4.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．学习重点、难点重点: 零点的概念及存在性的判定．难点: 零点的确定．学习过程(一)课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y（二）研讨新知函数零点的概念： 对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．根据函数零点的意义，其求法有：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）． ② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． ③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．（三）、巩固深化，发展思维1．例题例1． 求函数f(x)=322+--x x 的零点个数。

函数的零点与二分法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a) f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a) f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a) f （ ）＜0，则令1b x =；若f( ) f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。

——函数的零点问题【学习目标】1. 通过讲评，进一步巩固相关知识点。

2. 通过对典型错误的剖析、矫正、帮助学生掌握正确的思考方法和解题策略。

【学习重点】错因剖析与矫正。

【学习过程】一．函数的零点问题：试题10：设()f x 是区间[],a b 上的单调函数，且()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间[],a b （ ※ ）A. 至少有一实根B. 至多有一实根C. 没有实根D. 必有唯一实根平行题练习：1.设()f x 是区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，且()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间[],a b （ ※ ）A. 至少有一实根B. 至多有一实根C. 没有实根D. 必有唯一实根2．若函数()y f x =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A ．若()()0f a f b >，不存在实数(,)c a b ∈使得()0f c =；B ．若()()0f a f b <，存在且只存在一个实数(,)c a b ∈使得()0f c =；C ．若()()0f a f b >，有可能存在实数(,)c a b ∈使得()0f c =；D ．若()()0f a f b <，有可能不存在实数(,)c a b ∈使得()0f c =；试题17：已知a 是实数，函数()223f x ax x =--，（1）当1a =时，函数()y f x =在（1，2）上是否存在零点？（2）如果函数()y f x =有零点，求a 的取值范围.平行题练习：已知函数()()2=---，11f x a x ax（1）如果函数的一个零点为2，求a的值.（2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围.思考题：（2007年广东高考题）已知a是实数，函数2=+--，f x ax x a()223如果函数()f x在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围.三、练习：1．已知a 是实数，函数()22f x x x a =++，（1）当1a =-时，函数()f x 在（0，1）上是否存在零点？（2）如果函数()f x 有零点，求a 的取值范围.2．已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-。

课题：方程的根与函数的零点课 型：新授课教学目标1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．教学重点、难点重点: 零点的概念及存在性的判定．难点: 零点的确定．学法与教学用具1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

2．教学用具：投影仪。

教学过程(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出）①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二）互动交流 研讨新知函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）．② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）．③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．（三）、巩固深化，发展思维1．学生在教师指导下完成下列例题例1． 求函数f(x)=322+--x x 的零点个数。

4.5.1 函数的零点与方程的解1．函数的零点(1)概念：对于一般函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系名师点拨函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．函数零点的判断1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点是一个点．()(2)任何函数都有零点．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()2.函数f(x)＝log2(2x－1)的零点是()A．1 B．2C．(1，0) D．(2，1)3.函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)4.已知函数f (x )＝－2x ＋m 的零点为4，则实数m 的值为________．5.已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，图象连续不断，若计算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．讲练互动探究点1 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x ；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； (3)f (x )＝2x －3; (4)f (x )＝1－log 3x . 规律方法函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y ＝f (x )的图象，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点． 跟踪训练1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0的所有零点构成的集合为( )A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}2．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和16B ．1和－16C ．12和13D ．－12和－13例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(e ，＋∞)规律方法(1)判断函数零点所在区间的3个步骤①代入：将区间端点值代入函数『解 析』式求出相应的函数值． ②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． (2)判断函数存在零点的2种方法①方程法：若方程f (x )＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．②图象法：由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一平面直角坐标系内作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数． 跟踪训练1．根据表格中的数据，可以判定方程e x －2x －5＝0的一个根所在的区间是( )A.(0，1) B ．2．判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．探究点3根据函数的零点求参数的值例3 已知a 是实数，函数f (x )＝2|x －1|＋x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 规律方法根据函数零点个数求参数值(范围)的方法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对『解 析』式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练 函数f (x )＝ax 2－2x ＋1，若y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，12内有零点，则实数a 的取值范围为________．达标反馈1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( ) A ．－12，－1B ．12，1C ．12，－1D ．－12，12．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．3 3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)4．函数f (x )＝2x ＋x －2有________个零点．巩固提升 A 基础达标1．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f (x )A ．(－∞，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为 ( )A ．12，0B ．－2，0C ．12D ．03．若函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且f (0)>0，f (1)>0，f (2)<0，则y ＝f (x )有唯一零点需满足的条件是( ) A ．f (3)<0B ．函数f (x )在定义域内是增函数C ．f (3)>0D ．函数f (x )在定义域内是减函数4．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个5．若函数f (x )＝x ＋ax (a ∈R )在区间(1，2)上有零点，则a 的值可能是( )A ．－2B ．0C ．1D ．36．函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点有________个．7．已知函数f (x )＝a ＋log 2x ，且f (a )＝1，则函数f (x )的零点为________． 8．若函数f (x )＝ax 2－x ＋2只有一个零点，则实数a 的取值集合是________． 9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x 4－x 2； (2)f (x )＝4x ＋5； (3)f (x )＝log 3(x ＋1)．10．已知函数f (x )＝cx －1x ＋1(c 为常数)，若1为函数f (x )的零点．(1)求c 的值；(2)证明函数f (x )在『0，2』上是单调增函数； (3)已知函数g (x )＝f (e x )－13，求函数g (x )的零点．B 能力提升11．方程log 3x ＋x ＝3的零点所在的区间为( ) A ．(0，2)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)12．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．13．已知函数f (x )＝2x －x 2，问方程f (x )＝0在区间『－1，0』 内是否有解，为什么？14．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3. (1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围．C 拓展探究15．已知函数f (x )＝a －2＋a ·2x 1＋2x.(1)当a ＝1时，判断函数f (x )的奇偶性并证明； (2)试讨论f (x )的零点个数．——★ 参*考*答*案 ★——新知初探1.『『答 案』』(1)× (2)× (3)×2.『『答 案』』A3.『『答 案』』D『『解 析』』因为f (2)＝8－6－3＝－1<0，f (3)＝27－9－3＝15>0，所以f (2)·f (3)<0， 所以D 正确． 4.『『答 案』』8『『解 析』』f (x )＝－2x ＋m 的零点为4，所以－2×4＋m ＝0，m ＝8. 5.『『答 案』』(1.25，1.5) 讲练互动探究点1 求函数的零点例1 解：(1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x 的零点是－3.(2)令x 2＋2x ＋4＝0， 由于Δ＝22－4×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x －3＝0， 解得x ＝log 23，所以函数f (x )＝2x －3的零点是log 23. (4)令1－log 3x ＝0， 解得x ＝3，所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3. 跟踪训练 1．『『答 案』』C『『解 析』』当x ≤0时，f (x )＝x ＋1＝0⇒x ＝－1；当x >0时，f (x )＝log 2x ＝0⇒x ＝1，所以函数f (x )的所有零点构成的集合为{－1，1}． 2．『『答 案』』B『『解 析』』由于f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3，所以a ＝5，b ＝6，所以g (x )＝6x 2－5x －1有两个零点1和－16.探究点2判断函数零点所在的区间或个数 例2 『『答 案』』 (1)B (2)B『『解 析』』 (1)当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0得x 1＝－3，x 2＝1(舍去)； 当x ＞0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0得x ＝e 2.所以函数的零点个数为2.(2)因为f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－1<0， 所以在(1，2)内f (x )无零点，A 错； 又f (3)＝ln 3－23>0，所以f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2，3)内有零点． 跟踪训练 1．『『答 案』』C『『解 析』』设f (x )＝e x －2x －5，此函数的图象是连续不断的， 由表可知f (0)＝1－5＝－4<0， f (1)＝2.72－7＝－4.28<0， f (2)＝7.39－9＝－1.61<0， f (3)＝20.09－11＝9.09＞0，f (4)＝54.60－13＝41.60>0，所以f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )的一个零点，即方程e x －2x －5＝0的一个根所在的区间为(2，3)． 2．解：法一：函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数． 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根， 即函数f (x )＝ln x ＋x 2－3有一个零点． 法二：因为f (1)＝－2，f (2)＝ln 2＋1＞0. 所以f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1，2)上是不间断的， 所以f (x )在(1，2)上必有零点， 又f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的， 所以零点只有一个．探究点3根据函数的零点求参数的值 例3 『『答 案』』 (1，＋∞)『『解 析』』 函数f (x )＝2|x －1|＋x －a 有且仅有两个零点，即函数y ＝2|x －1|＋x 与y ＝a 有且仅有两个交点．分别作出函数y ＝2|x －1|＋x 与y ＝a 的图象，如图所示．由图易知，当a >1时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 跟踪训练 『『答 案』』(－∞，0』 『『解析』』f (x )＝ax 2－2x ＋1＝0，可得a ＝－1x 2＋2x＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1.若f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12内有零点，则f (x )＝0在区间⎣⎡⎦⎤－12，12内有解，当－12≤x <0或0<x ≤12时，可得a ＝－1x 2＋2x≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0』．达标反馈1．『『答 案』』B『『解 析』』方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12，1.2．『『答 案』』C『『解 析』』因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2. 3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)『『解 析』』选C.易知f (x )＝e x ＋x －2在R 内单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，所以f (x )的零点所在区间为(0，1)． 4．『『答 案』』1『『解 析』』在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝2x ，y ＝－x ＋2的图象，由图可知函数f (x )有1个零点．巩固提升 A 基础达标1．『『答 案』』C『『解 析』』若f (x )在『a ，b 』上连续，且f (a )·f (b )<0则f (x )在(a ，b )上一定存在零点．因为f (2)>0，f (3)<0，所以f (x )在(2，3)上一定存在零点． 2．『『答 案』』D『『解 析』』当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x －1＝0，所以x ＝0.当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0.3．『『答 案』』D『『解 析』』因为f (1)>0，f (2)<0，所以函数f (x )在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f (x )在定义域内必须是减函数． 4．『『答 案』』B『『解 析』』作出y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f (x )只有一个零点．故选B.5．『『答 案』』A『『解 析』』f (x )＝x ＋a x (a ∈R )的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a ＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0.故f (x )在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A. 6．『『答 案』』3『『解 析』』因为f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，所以由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2. 7．『『答 案』』12『『解 析』』依题意有a ＋log 2a ＝1， 即log 2a ＝1－a ， 易知a ＝1，所以f (x )＝1＋log 2x ，令f (x )＝0，得x ＝12.8．『『答 案』』⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，18『『解 析』』当a ＝0时，f (x )＝－x ＋2，令f (x )＝0，解得x ＝2， 所以函数只有一个零点2，符合题意；当a ≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a ×2＝0，即1－8a ＝0，解得a ＝18. 综上a ＝18或a ＝0. 9．解：(1)因为f (x )＝x 2(x －1)(x ＋1)＝0，所以x ＝0或x ＝1或x ＝－1，故函数f (x )＝x 4－x 2的零点为0，－1和1.(2)令4x ＋5＝0，则4x ＝－5<0，方程4x ＋5＝0无实数解．所以函数f (x )＝4x ＋5不存在零点．(3)令log 3(x ＋1)＝0，解得x ＝0，所以函数f (x )＝log 3(x ＋1)的零点为0.10．(1)解：因为1为函数f (x )的零点，所以f (1)＝0，即c ＝1.(2)证明：设0≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2－1x 2＋1－x 1－1x 1＋1＝2（x 2－x 1）（x 2＋1）（x 1＋1）， 因为0≤x 1<x 2≤2，所以x 2－x 1>0，x 2＋1>0，x 1＋1>0，所以f (x 2)>f (x 1)，即函数f (x )在『0，2』上是单调增函数．(3)令g (x )＝f (e x)－13＝e x －1e x ＋1－13＝0， 所以e x ＝2，即x ＝ln 2，所以函数g (x )的零点是ln 2.B 能力提升11．『『答 案』』C『『解 析』』令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0，所以方程log 3x ＋x ＝3的零点所在的区间为(2，3)．12．『『答 案』』3 0『『解 析』』因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＝0.又因为f (－2)＝0，所以f (2)＝－f (－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.13．解：方程f (x )＝0在区间『－1，0』内有解，理由如下：因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0， f (0)＝20－02＝1>0，而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续不断的曲线，所以f (x )在区间『－1，0』内有零点，即方程f (x )＝0在区间『－1，0』内有解．14．解：(1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1.所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f (1)<0，即1－b ＋3<0，所以b >4.故b 的取值范围为(4，＋∞)．C 拓展探究15．解：(1)当a ＝1时，函数f (x )＝－1＋2x1＋2x，该函数为奇函数． 证明如下：依题意得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝－1＋2－x 1＋2－x ＝－2x ＋12x ＋1＝－－1＋2x1＋2x＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (2)化简得f (x )＝a －21＋2x ，所以f (x )＝0⇔a ＝21＋2x ，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增且值域为(0，＋∞)，所以y ＝2 1＋2x 在R 上单调递减且值域为(0，2)，所以当a ≤0或a ≥2时，函数f (x )无零点；当0<a <2时，函数f (x )有唯一零点．。