§1.2一元多项式

6.定理
如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式（ k ≥ 1 ），那么它是 f '(x) 的 k −1重因式.
7.推论
(1) 如 果 不 可 约 多 项 式 p(x) 是 f (x) 的 k 重 因 式 （ k ≥ 1 ） , 那 么 p(x) 是
f (x), f '(x), , f (k−1) (x) 的因式，但不是 f (k) (x) 的因式.
其 中 c1, cs , p1, pr , q1, qr 全 是 实 数 ， l1, , ls , k1, , kr 是 正 整 数 ， 并 且
x2 + pi x + qi (i = 1, 2, , r) 在实数域上是不可约的.
§1.8 有理系数多项式
1．本原多项式的定义 如果一个非零整系数多项式
g(x) = bn xn + bn−1xn−1 + + b0
d (x) ，且 d (x) 可以表示成 f (x), g(x) 的一个组合，即有 F[x] 中多项式 u(x), v(x) 使
d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) .
4． 互素定义
设 f (x), g(x) ∈ F[x]，若 ( f (x), g(x)) = 1，则称 f (x) 与 g(x) 互素.
设 f (x), g(x) 是整系数多项式，且 g(x) 是本原的. 如果 f (x) = g(x)h(x) ，其中 h(x)
是有理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数的.
■
5. 定理 设
f (x) = an xn + an−1xn−1 + + a0
-6-
高等代数习题集

第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义：P 是由一些复数组成的集合，包含0和1，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。

简单地说：P 是一个含0和1的非空集合，且对四种运算封闭。

2、例1：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。

例2：{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。

证明：Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。

练习：证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。

二、一元多项式注：在数域P 上进行讨论，x 是一个符号。

1、定义：0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，（-∈Z n ）称为数域P 上的一元多项式。

其中P a a a n ∈,,,10 ，用 ),(),(x g x f 表示。

若0≠n a ，则称n a 为首项系数，n 为多项式的次数，用))((x f ∂表示。

0a 为常数项。

2、相等：)()(x g x f =当且仅当次数相同，对应系数相等。

3、运算：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，m n ≥（1） 加法： )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中：011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ （2） 乘法：snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若：0)(,0)(≠≠x g x f ，则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律：（1）)()()()(x f x g x g x f +=+（加法交换律）（2）))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++（加法结合律） （3）)()()()(x f x g x g x f =（乘法交换律）（4）))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =（乘法结合律） （5）)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+（分配律） （6）若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =（消去律） 5、多项式环。

第一章 多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i );13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii);23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：kx f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.nn a x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-d x 整除1-nx 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i )()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f (ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明：（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式； （ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。

2、有没有最小的数环？
例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。
当a=0时，S 0，即只包含一个零组成的数
环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否一定包含0元？
4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？
例2：证明 Z i a bi a,b Z,i2 1 是一个数环。
11 2,1 2 3,1 3 4, , N F
0 1 1,0 2 2,0 3 3,
对 x Q, x 0, x a , a,b Z,
b
故 xF,Q F.
, Z F
问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上
要检验几种运算？ 定理1.1.3：设F是一个含有非零数的数集，则F
当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是
d
a b 2 a b 2 c d 2 c d 2
cd cd
2 2
a1 b1
2, a1, b1 Q
问题：8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、最小的数域是什么？
定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则 a F, a 0. 于是 a a 0 F, a a 1 F.
例： 4a+3b，3x2 2x 1, 3 y 1 .
25
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。
后来又把多项式定义为R上的函数：
f x a0 a1x anxn
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代。
问题：1、高等代数中采用什么观点定义多项式？
2、多项式的形式观点与多项式的函数观点
问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数 集是不是数域？