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数系的扩展历程从数学史发展的角度来看，数系扩展伊始主要是由于实践的需要。
正是为了解决实践中出现的问题，人们不断将数的领域加以扩展。
人们为了计量的需要，引入了自然数，这样就可以表示任何离散的对象的数目了；因为测量、天文研究等实践活动，有时候结果不能用整数表示，就有了分数；另外，由于现实生活中有很多相反的过程，如收入与支出，上升与下降，前进与后退等，要用数来表示这些过程，负数就产生了;因为现实世界中除了离散量外，还存在大量连续量，而为了刻画出连续量就必须引入无理数，从而将数系扩展到实数系。
因此，实践活动的需要是数系扩展的不可缺少的动力.尤其在前期，实践的需要在促使数系发展方面起着重要作用。
数系的扩充初期是源于现实生活中的需要，后来随着数学体系的发展，数系扩展也成了数学内部体系运算封闭性的必然要求。
所谓运算（如我们熟知的加、减、乘、除），抽象的看，包括一个集合与一个对应法则，这个对应法则规定了这个集合中的任意两个元素所对应的元素。
若该运算对集合中的任何两个数可普遍实施，且其结果仍然在该集合中，则称该运算在这个集合上是封闭的。
容易知道，加法、乘法在正整数集合上是封闭的。
人们在研究加法、乘法的逆运算时，发现方程a+x=c和ax=b（这里a,b,c都是正整数）。
在正整数集合内，并不是每个这样的方程都有解的。
从而减法和除法对正整数并不是可以普遍施行的，事实上，2+x=2和2+x=3，2x=3就都没有正整数解。
为了使这类方程可解,0和负整数分数就立即成为必要。
这样，数系就扩展到有理数。
我们知道，数系还要进一步扩充——实数。
在这个扩充过程中，“实际需要”所起的推动作用显得更小，而更多是数学内容的需要。
我们同样可以从运算的封闭性来讨论这种扩充。
事实上，为了使指数运算（特殊的，比如开平方）能普遍施行，就必须有无理数，举例来说，在有理数集合内，2就没有平方根。
要使开平方这种运算可以普遍施行，就要有无理数（当然，2的平方根是无理数中的一类，叫代数数，还有所谓超越数，如圆周率）。
数系扩充的历史过程数系扩充是数学领域中一项重要的发展，它使我们能够更好地理解和描述数的性质。
在数学发展的历史长河中，人们逐步扩充了数系，从最初的自然数到有理数、实数和复数，每一次的扩充都为数学的发展开辟了新的道路。
最早，人们只有自然数，这是最基本的数系。
自然数是我们对物体数量的最直观感受，它们用于计数和排序。
然而，随着人类对数的认识的深入，人们开始意识到自然数并不能完全满足我们的需要。
为了解决自然数无法准确表示分数的问题，人们发展了有理数。
有理数包括正整数、负整数、分数等，使得我们能够进行更加精确的数学运算。
有理数的扩充，极大地丰富了数学的语言和工具，使得人们能够有效地解决更加复杂的问题。
然而，随着几何学和代数学的发展，人们逐渐发现有理数无法解决某些方程中的根的问题，这就促使了实数的扩充。
实数是包括有理数和无理数的一种数系，它具有完备性和连续性的特点。
实数的引入为数学提供了更加强大的工具，使得人们能够深入研究曲线的性质和函数的行为。
尽管实数已经非常强大，但在解决某些方程和问题时，实数仍然存在局限性。
为了克服这些限制，人们进一步扩充了数系，引入了复数。
复数是由实数扩充而来，它包含实部和虚部，具有丰富的性质和表达形式。
通过引入复数，人们能够更加深入地研究方程的解和曲线的行为，为许多数学领域的发展提供了新的契机。
综上所述，数系扩充的历史过程是一个不断发展、完善的过程。
从自然数到有理数、实数和复数，每一次的扩充都推动了数学的进步。
这些扩充不仅丰富了数学的语言和工具，还拓宽了数学研究的领域。
数学的发展离不开数系的扩充，它们共同铸就了数学的辉煌。
数系扩充的认识和理解数系扩充是数学中的一个重要概念，它指的是在已有的数系基础上引入新的数，以丰富数学的内容和应用范围。
常见的扩充数系有自然数、整数、有理数、实数和复数等，它们分别在不同的数学领域中发挥着重要的作用。
自然数是最基本的数系，它是用来计数的。
自然数包括0和正整数，可以表示为0，1，2，3，4……。
自然数在计算中常用于表示数量、次数、顺序等概念，是数学中最简单的数系。
整数是在自然数的基础上扩充而来，它包括自然数以及它们的相反数和零，可以表示为……，-3，-2，-1，0，1，2，3……。
整数在数学中用于表示负数、欠债、温度等概念，扩展了数学的应用范围。
有理数是在整数的基础上扩充而来，它包括整数以及可以表示为两个整数之比的数，例如1/2，-3/4，5/6等。
有理数在数学中用于表示分数、比例、平均数等概念，扩展了数学的计算能力。
实数是在有理数的基础上扩充而来，它包括有理数以及无理数，可以用来表示所有的实际数值。
实数在数学中用于表示长度、面积、体积、时间等连续变化的量，扩展了数学的描述能力。
复数是在实数的基础上扩充而来，它包括实数以及虚数单位i，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数。
复数在数学中用于表示电路中的交流电、量子力学中的波函数等概念，扩展了数学的应用领域。
数系扩充的过程是数学发展的必然结果，它使得数学能够更好地描述和解决现实世界中的问题。
通过引入新的数，数学可以更准确地描述数量、量度、变化等现象，为科学研究和工程应用提供了强大的工具。
除了上述常见的数系扩充外，数学中还有其他一些特殊的数系，如超实数、超复数、超复分析等。
这些数系扩充了数学的边界，拓展了数学的理论和应用。
数系扩充的认识和理解对于学习和应用数学都具有重要意义。
通过深入了解各个数系的特点和应用，我们可以更好地理解数学的本质和规律，提高数学思维能力和解决问题的能力。
数系扩充是数学的重要内容之一，它丰富了数学的内涵，拓展了数学的应用领域。
数系扩充的历史发展数系扩充是数学领域的重要发展方向之一，它们的出现不仅丰富了数学的内容，也拓展了数学的应用范围。
本文将从整数、有理数、实数、复数等数系的扩充过程入手，探讨数系扩充的历史发展。
1. 整数的扩充整数是我们最早接触到的数系，它由正整数、0和负整数组成。
然而，在某些情况下，整数无法满足我们的需求。
为了解决这个问题，数学家引入了自然数的扩充概念，将其称为整数。
整数在数轴上可以表示正数、0和负数，通过加法和乘法运算，整数形成了一个封闭的数系。
2. 有理数的扩充有理数是整数的扩充，它可以表示为分数的形式。
有理数包括整数和所有可以表示为两个整数的比值的数。
然而，有理数在某些情况下也无法满足我们的需求，例如无理数的开方运算。
为了解决这个问题，我们引入了无理数的概念，将其加入到有理数中，形成了实数。
实数是一个包括有理数和无理数的数系，通过加法、减法、乘法、除法等运算，实数形成了一个完备的数系。
3. 实数的扩充实数是数学中最为常见的数系，它包括了所有的有理数和无理数。
然而，实数在某些情况下也无法满足我们的需求，例如方程x²+1=0在实数范围内无解。
为了解决这个问题，数学家引入了虚数的概念，将其加入到实数中，形成了复数。
复数由实部和虚部组成，其中虚部用虚数单位i表示。
复数的加法、减法、乘法和除法等运算满足一定的规律，形成了一个复数域。
4. 复数的扩充复数的引入解决了实数无法解决的方程问题，但复数本身也存在一些限制。
为了进一步扩充数系，数学家引入了超复数的概念。
超复数包括复数和一些特殊的数，例如双复数、超实数等。
超复数在数学物理、工程学等领域有广泛的应用，它们的性质和运算规则也在不断地研究和发展中。
5. 数系扩充的意义数系的不断扩充，丰富了数学的内容，使得数学在解决实际问题时更加灵活和高效。
数系的扩充也推动了数学理论的发展，激发了数学家们对抽象和推理的思考。
同时，数系的扩充也为其他学科的发展提供了基础和支撑，例如物理学中的复数分析、工程学中的矩阵运算等。
数系的历史发展进程和逻辑依据及对教学的启示一、数系的发展数系通常是指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。
这些数之间的关系如下表：数的观念具有悠久的历史，特别是自然数观念，其产生当在史前时期，详情已难于追索。
但对数系建立严谨的理论基础，却在19世纪下半叶才完成。
1．自然数建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。
古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。
事实上，英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵）演变来的。
中国古藉《易系辞》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。
”这些都是匹配计数法的反映。
但直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。
2．整数在整数系中，自然数为正整数，称0为零，称-1，-2，-3，…，-n，… 为负整数。
正整数，零与负整数构成整数系。
零不仅表示“无”，更是表示空位的符号。
中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。
印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是“空”或“空白”。
中国最早引进了负数。
《九章算术方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。
减法的需要也促进了负整数的引入。
减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。
为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
3．有理数古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。
分数的使用导源于除法运算的需要。
除法运算可看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则所给方程未必有整数解。
为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。
值得注意的是, 可以证明, 以下关于有理数系的三种描述是互相等价的:定义1：正负整数、分数和零的总体称为有理数。
定义2：有理数由各式各样的分数组成。
3.1 数系的扩充以自然数为源头，在我国古代数学与天文学的由于调整历法数据的要求，中国古代数学家发展了分数近似算法：“调日法”，使得我国古的宋元时期，现实世界中大量存在的具有相反意义的量，但这却并不意味着人们就一定能够产生生，因而，至少我们可以说负数在我国的产生是实践与数学两方面结合的产物后，数系的进一步推广，学的数学问题，从对数学的作用和影响来看，大体上可归纳为两类：一类是延伸性问题，即对已形成的数学理论起着扩展成果的作用；另一类问题往往导致数学在思想方法上发生质的总之，数学史的这些事例证明：并非数学向前发展的每一步，都需要生产实践的直接推数系扩充的历史过程中，我们一方面看到，数学从实践中吸取营养而发展，反过来又解决了学好数学，不仅要注意实践中的数学问题，而且要注意代数、言之，有的数类（如分数）的引入具有明显的客观背景，有的在当时则完全是出于数学研究纵观数学发展的进程，问题实际以及其他科学技术领域；另一部分来源于数学本身，也就是由数学问题衍生出新的数学数1．实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x+y+4=0上；⑥共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z=a+b i(a、b∈R)的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题.【解析】z =(1+i)m 2+(5－2i)m +6－15i=(m 2+5m +6)+(m 2－2m －15)i.∵m ∈R ,∴z 的实部为m 2+5m +6,虚部为m 2－2m －15. ①要使z 为实数，必有⎩⎨⎧∈=--R,m m m ,01522∴m =5或m =－3. ②要使z 为虚数，必有m 2－2m －15≠0,∴m ≠5且m ≠－3.③要使z 为纯虚数，必有⎪⎩⎪⎨⎧≠--=++,0152,06522m m m m 即⎩⎨⎧≠-≠-=-=,53,23m m m m 且或∴m =－2.④要使z 对应的点在第三象限，必有⎪⎩⎪⎨⎧<--<++015206522m m m m ⇒⎩⎨⎧<<--<<-,53,23m m ∴－3<m <－2.⑤要使z 对应的点在直线x +y +4=0上，必有点(m 2+5m +6,m 2－2m －15)满足方程x +y +4=0， ∴(m 2+5m +6)+(m 2－2m －15)+4=0.解得m =－25或m =1. ⑥要使z 的共轭复数的虚部为12，则－(m 2－2m －15)=12,∴m =－1或m =3.评注: 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z =a +b i(a 、b ∈R )的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.2．已知复数z 1满足(z 1－2)i=1+i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求复数z 2. 分析:本题考查复数的基本概念和基本运算，属“较易”的试题.解题的关键是根据复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，求得复数的实部和虚部.【解析】由(z 1－2)i=1+i,得z 1=ii 1++2=(1+i)(－i)+2=3－i. ∵z 2的虚部为2，∴可设z 2=a +2i(a ∈R ),z 1·z 2=(3－i)(a +2i)=(3a +2)+(6－a )i 为实数，∴6－a =0,即a =6.因此z 2=6+2i.评注: 掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.3．复平面内点A 对应的复数是1,过点A 作虚轴的平行线l ,设l 上的点对应的复数为z ,求z1所对应的点的轨迹. 分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A 的坐标为(1,0),l 过点A 且平行于虚轴,所以直线l 上的点对应的复数z 的实部为1,可设为z =1+b i(b ∈R ),然后再求z 1所对应的点的集合.【解析】如下图.因为点A 对应的复数为1,直线l 过点A 且平行于虚轴,所以可设直线l 上的点对应的复数为z =1+b i(b ∈R).因此i b z +=111i 1111i 1222b b b b b +-+=+-=. 设z1=x +y i(x 、y ∈R ),于是 x +y i=22111b b b +-+i. 根据复数相等的条件,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1,1122b b y b x 消去b ,有x 2+y 2=2222)1()1(1bb b +-++ =2)1()1(1b b b +++=211)1(1bb b +=++=x .所以x 2+y 2=x (x ≠0), 即(x －21)2+y 2=41(x ≠0). 所以z 1所对应的点的集合是以(21,0)为圆心,21为半径的圆,但不包括原点O (0,0).。
从近世代数看数系的扩充现行中小学数学教材中,关于数的概念的发展历程如下:
N0
正分数Q+
负分数
Q
无理数
R
虚数
C
上式中N0：非负整数集；Q+：非负有理数集；Q：有理数集；R：实数集；C：复数集.
在教学中，前两次扩充都是从实践需要来说明其必要性的.这样处理学生易于理解,符合可接受性原则.若从数学本身发展的需要出发,则常从以下两方面来说明:(l)某一运算的逆运算在原有数集中不封闭;(2)某一方程在原有数集中没有解.
事实上,这两个方面是相互等价且互为补充的.我们说某一运算的逆运算在原数集中不封闭,则必定存在与此运算有关的方程在此数集中无解;反之,若存在某一方程在原数集中无解,则此方程中涉及到未知数运算的逆运算并不封闭·例如,在N0中减法不封闭,这意味着当a>b时,方程a+x=b在N0中无解.
从代数系统(A,∗)扩充到代数系统(B,。
),必须满足以下四个条件:(1)A⊂B;(2)a∘b=a∗b,∀a,b∈A;(3)在(B,∘)中,方程a∘x=b有唯一确定的解;(4)如果(C,十)也满足性质(1)~(3),则存在(B,。
)到(C,+)的同构映射,这个映射使A中
的元素及运算保持不变.
满足上述条件的数集的扩充可能有多种方法.在中学数学教学中,数集扩充的方法是在已知的集合A上补充新数的集合A,构成扩集B,使B=A∪A这种扩充
思想虽易于接受,但不太严密,且不易了解数的结构思想.
另一种途径是从数学结构的角度,用旧数系中的数为材料构成一个新数集B,然后使它的某个子集与旧数系A相等(严格地说,是同构).下面说明通过这种途
径来建立数系的过程.
一自然数集N
自然数是最简单、最基本的数,皮亚诺四条公理揭示了自然数的根本性质.
在给出加法运算,乘法运算的定义之后,可以证明(N,十,∙)是具有加法、乘法交换律和加法、乘法结合律以及分配律的代数系统.
在N中,序关系(<)是利用自然数的加法来定义的.可以证明“<”满足反对
称性、传递性、可比性以及最小数原理.所以(N,<)不仅是一个全序集,而且是一个良序集.
在(N,+,·)中,方程a+x=b,a∙x=b不一定有解,因此,在N中,加法、乘法的逆运算都不封闭.对于减法要限制施行.对于除法则分两种情况讨论:(l)a整除b,(2)带余除法.
二从N到有理数域Q的扩充
定理可换半群(A,+)可扩充的充分必要条件是运算“+”是可消去的.
证明必要性:若a+c=a+b,a,b,c∈A,设(B,+)是(A,+)的扩充,则在(B,+)中,a+x=a+b有唯一解x=b;又由a+c=a+b,知c满足a+x=a+b,所以b=c.
充分性:如果运算可消去,则在集合A×A上定义关系~:
(a,b)~(c,d)a+d=b+c
易证“~”是等价关系.等价关系“~’将A×A划分成等价类,用B表示商集A×A/~,在商集B上定义加法运算:
[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]
可以证明这个定义是合理的,即运算结果与等价类中代表的选取无关.
定义从A到B的映射f:A B为f a=a+b,b∀a,b∈A易证f是一一的且保持A中的运算不变,所以A与B中的某一子集同构.
在B中方程[(a,b)]+x=[(c,d)]有唯一解:x=[c+b,a+d]所以在B中
‘+’的逆运算可畅通无阻,(B,+)是(A,+)的扩充.
根据这个定理,用同样的原理和方法,自然数加法半群(N,+)可扩充为整数加法群(Z,+),自然数乘法半群(N,·)可扩充为正有理数乘法群.
学里研究的代数系统,通常具有两种运算.在这种情况下,可以先根据一种运算进行扩充,再将第二种运算运用到已扩充的代数系统中去.因此,从(N,+,·)到(Q,+,·)的扩充常有两种途径:
(1)(N,+,·)(Q+,+,·)(Q,+,·)
将(N,+,·)中的半群(N,·)按乘法运算扩充为(Q,+·)
在Q+,∙中定义加法运算b
n +c
n
=b+c
n
,得到(Q+,+,·),再将它按加法运算扩充,得到
域(Q,+,·).
这一途径与中学教材相吻合,在(Q+,∙)中定义加法运算,只须对同分母的加法作出规定,由分数的基本性质(或序偶的对等性)，异分母分数的加法运算可转化为同分数的加法运算.
(2)(N,+,·)(Z,+,∙)(Q,+,∙)
这一途径在一般代数教程中较为常见,不赘述.
三从有理数域到实数域的扩充
从自然数到有理数的扩充,是通过序偶的等价类构造出新数集,以解决乘法和加法的逆运算的间题,在Q中,四则运算可以畅通无阻地进行,但并不意味着能进行其它各种各样的运算.就直观而言,在数轴上,有理点的分布尽管是稠密的,但不能覆盖整个数轴,数轴上还有许多“空隙”.
下面举例说明这一事实:
分别考虑有理数数列a n,a n=n
n+1；b n,b n=1+1+1
2!
+1
3!
+⋯+1
n!
·它
们具有共同的特性:当m,n充分大时,a m−a n,b m−b n变得要多小有多小.但两者也有差别:序列a n的项越来越趋近于有理数1,而对b n而言,却不存在这样的有理数.
所以,有理数的扩充既要保持原有的域公理,又要使极限运算畅行无阻.
建立实数系R的方法多种多样,但必须满足三个条件,即实数公理:(1)R是
域;(2)R是阿基米德全序域;(3)R是完备的.
建立实数系的方法常见的有三种:
(1)用十进小数来定义实数.
从教学角度而言,用十进小数定义实数既直观又方便,便于学生接受,但用它来建立实数理论却有不少困难.首先,两个无穷小数的加法无法定义,如果用不足近似值序列和过剩近似值序列表示一个无穷小数,就涉及到区间套的间题,而区间套的四则运算和序关系的定义也不容易.
(2)用戴得金分割定义实数.
定义设ξ⊂Q,并用ξ=Q∖ξ表示ξ的余集,ξ满足下列条件:(1)ξ≠φ,ξ≠
φ; (2)若a∈ξ,且a1<a则a1<ξ；（3）ξ没有最大的有理数·则称Q的分类 ξ，ξ是
一个戴得金分割,ξ叫分割的下类,ξ叫分割的上类,我们把ξ叫做一个实数，一切实数的集合记为R.
确定一个实数ξ等于确定有理数集的一个分割 ξ，ξ.有理数集分成上、下两
类ξ和ξ，好象数轴被切了一刀,切口就在ξ与ξ的分界处.分界处可能是有理点,也可能是Q的一个“空隙’,把所有有理点与所有空隙(必须补充进来的)合在一起,就是实数集的直观背景.
（3）用基本序列(柯西列,正则列)定义实数.
定义有理数列a n是柯西列,当且仅当对任意的ε>0,存在n,m,当
n,m>n0时,有a m−a n<ε.
不难给出柯西列的加法、乘法、顺序定义.
建立柯西列集合上的关系“~”
a n−
b n=0
a n~
b n lim
n ∞
可以证明"~"是一个等价关系.把一个等价类a n叫做一个实数,对任一有理数r,用常数列{r}所在的等价类与之对应,有理数集嵌人到实数集中·十进小数定义实数相当于用一种特殊类型的有理数序列来逼近实数,柯西列抛开这种序列的特殊形式而保留其基本特性,并可以克服定义运算的困难.另外,柯西列方法可以强有力地说明实数的完备性,并和分析中的柯西收敛准则相吻合,它保证了在实数范围内,任一柯西列必收敛.所以,近年来,柯西列方法被广泛采用.
四复数系的建立
在实数集R的基础上引进新的数,从而产生新的数系,希望在新的数系中,方程x2=a a∈R总有解,也就是解决自乘运算的逆运算的问题.
从域扩充的角度而言,实数域的进一步扩充沿着两个方向进行:一是超越扩充,得到有理函数域R x=f/g|f,g∈R x,g≠0;二是代数扩充得到复数域.
实际上,实数域R上的不可约多项式最多是二次的,不妨设为x2+px+
q p2−4q<0.它的一个根α是R上的代数元,由于x2+px+q是R[x]中主理想,所以Rα同构于商域R x/x2+px+q,Rα=aα+b|a,bϵR,如果取不可约多项式为x2+1,则建立复数系的过程同中学教材类似.
上述代数扩充的过程也可应用于有限域.
中学教材中指出复数集、平面上点集以及以原点为始点的向量集合之间可建立一一对应关系.这仅是集合间的一一对应,而不是代数结构间的同构映射.我们
必须从代数运算的角度掌握三者的联系与区别.
五数系的进一步扩充
由于高斯代数基本定理的保证,复数城上的任何代数扩充都同构于自身,复数域上的超越扩充C(x)与R(x)代数性质相同.
如果放弃部分域公理--乘法交换律,便可以从C扩充到四元数体H.四元数体可以看成是复数域上的二维空间或实数城上的四维空间.
有趣的是,如果把R看成是H的主理想,则H/R同构于R3中的普通向量积结构,其中i,j,k看成是坐标轴上的单位向量
数的扩充到此可告一段落.如果把代数运算进一步抽象,运算对象从数扩展为向量、矩阵、变换、乃至抽象元素,则形成形形色色的代数结构.这些便成为高等代数(或抽象代数)研究的内容,而数及其运算则成为它们的源泉和基础.。
