2018年湖北高考数学模拟试题含答案

湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一）数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(原创，容易)）A.{3}B.{0，3，5}C.{3，5}D.{0，3} [答案]D[解析]全集U={0，1，2，3，4}，则CuA={0，3} [考点]分式不等式及集合运算.2.(原创，容易)已知i 为虚数单位，现有下面四个命题p 1：复数z 1=a +bi 与z 2=－a +bi ，（a ，b R ∈）在复平面内对应的点关于实轴对称； p 2：若复数z 满足(1-i )z =1+i ，则z 为纯虚数； p 3：若复数z 1，z 2满意z 1z 2R ∈，则z 2p 4：若复数z 满足z 2+1=0，则z ＝±i .其中的真命题为（ ）A.p 1，p 4B.p 2，p 4C.p 1，p 3D.p 2，p 3 [答案]B[解析]对于p 1：z 1与z 2关于虚轴对称，所以p 错误；对于p 2：由(1－i)z=1+i ⇒z=则z 为纯虚数，所以p 2正确；对于p 3：若z 1=2，z 2=3，则z 1z 2=6，满足z 1z 2R ∈，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以p 3不正确；p 4正确. [考点]复数与命题真假的综合.3.(原创，容易)已知2:2,:,10p a q x R x ax p q >∀∈++≥是假命题,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]2:,10q x R x ax q ∀∈++≥∃∈是假命题,则非:x R,使210x ax ++<是真命题， 24022,a a a p q =->⇔<->V 或则是的充分不必要条件.[考点]二次不等式及充分、必要条件.4.(原创，容易)在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N （80，σ2）(σ>0)，若ξ在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ） A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 [答案]B[解析]由题意可得1(070)(90100)(10.8)0.12P p ξξ≤≤=≤≤=⨯-=.[考点]正态分布.5.(原创，容易)某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（ ） A.5 B.10 C.13 D.4 [答案]C[解析]由三视图可得该几何体是一个四面体，可以将其放入棱长分别为1，2，3的长方体中，该四面体的棱长是长方体的各面的对角线，长度分别是5，10，13，则最长的棱长为13.[考点]三视图还原.6.(原创，容易)要使右边的程序框图输出的S=2cos3992cos32cos99,πππ++⋅⋅⋅+则判断框内（空白框内）可填入（ ） A.99n < B.100n < C.99n ≥ D.100n ≥ [答案]B[解析]要得到题中的输出结果，则1,3,,99n =⋅⋅⋅均满足判断框内的条件，101n =不满足判断框内的条件，故空白框内可填入100.n < [考点]程序框图.7.(原创，中档)已知等差数列{}n a 的第6210a a +=（ ）A.160B.－160C.320D.－320 [答案]D[解析]3个x 和3所以6160a =-，由等差数列的性质可得21062a a a +==－320.[考点]二项式定理及等差数列的性质.8.(原创，中档)①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②个单位，得到函数()y f x =的图象，则函数[0,2]π上的对称中心为（ ）A.(,0),(2,0)ππB.(,0)πC.(0,0),(,0)πD.(0,0),(,0),(2,0)ππ [答案]D[解析]故，令k 所有可能的取值为－1，0，1，故所求对称中心为（0，0），（π，0），（2π，0）.[考点]三角函数的图象变换及正切函数的对称中心.9.(原创，中档)已知点P是双曲线CF1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（）[答案]D[解析]不妨设点P由以F1F2为直径的圆经过点P =2360y-=，P到y[考点]双曲线的几何性质10.(原创，中档)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足P的轨迹一定通过△ABC的（）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心[答案]C[解析]在△ABC中点为D，P点的轨迹在三角形的中线上，则P点轨迹一定通过三角形的重心. [考点]平面向量的加减法的几何运算及向量共线的应用.11.(原创，难)设直线43y x=-与椭圆A、B两点，过A、B两点的圆与E交于另两点C、D，则直线CD的斜率为（）A.－－4[答案]D[解析]本题来源于教材选修4-4中第38页例4，如图所示，AB 、CD 是中心为点O 的椭圆的两条相交弦，交点为P ，两弦AB 、CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，则||PA ||||||PB PC PD ⋅=⋅. [考点]直线与圆、椭圆的综合12.(改编，难)若函数2()ln ln x f x ax x x x =+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1ee e ---[答案]A[解析]由题意可得ln ,(0,)ln x xa x x x x =-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x xg x x x x x =-∈-22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，min 11ln1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e =--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e --.[考点]函数的零点与导数的综合应用.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. (原创，容易)设命题2:,4,n p n N n p ∃∈>⌝则为 .[答案]2,4nn N n ∀∈≤.[解析]特称命题的否定是全称命题. [考点]全（特）称命题的否定.14.(原创，容易)直线sin 30()x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是 .[答案]3[,]44ππ[解析]若sin 0α=，则直线的倾斜角为90°；若sin 0α≠，则直线的斜率k ＝1(,1][1,),sin α-∈-∞-+∞U 设直线的倾斜角为θ，则tan (,1][1,)θ∈-∞-+∞U ，故θ∈[,)42ππU 3(,]24ππ，综上可得直线的倾斜角的取值范围是3[,]44ππ.[考点]直线的倾斜角与斜率的关系.15.(原创，中档)设实数,x y 满足250,20,220,xx y x y x y y ++-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则的最小值是 .[答案]18[解析]不等式组对应的可行域如图，令1,(3,1)yu u x =+则在点处取得最小值，min 141,33u =+=在点（1，2）处取得最大值，max 123,u =+=故u 的取值范围是34111[,3],[,].32816∈u 则() [考点]求线性约束条件下目标函数的最值.16.(改编，难)已知G 为△ABC 的重心，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，满足,AG x AM y AN =+u u u r u u u u r u u u r其中31.,4x y AM AB +==u u u u r u u u r若则△ABC 和△AMN 的面积之比为 . [答案]209[解析]连接AG 并延长交BC 于D ，此时D 为BC),AC +u u u r设所以[考点]平面向量的综合应用三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分) (原创，容易)在等差数列510{}0,10.n a a a ==中,（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ，求数列{}n nb 的前n 项和S n .解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则1(1),n a a n d =+-由5100,10,a a ==得方程组11140,8910,2a d a a d d +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩，解得，……………………4分 所以8(1)2210.n a n n =-+-⨯=-…………………………6分（Ⅱ) 由(I)8分①②①－②，得121111(1) 31114434444444nn n n nn nS++-=++⋅⋅⋅+-=-，所以434994n nnS+=-⋅……………………………………………………12分[考点]等差数列基本量运算、数列求和.18.(本题满分12分)（原创，中档）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB，Q为棱PC上一点.(Ⅰ)若点Q是PC的中点，证明：B Q∥平面PAD；(Ⅱ),PQ PCλ=u u u r u u u r试确定λ的值使得二面角Q-BD-P为60°.解析：(Ⅰ)证明：取PD的中点M，连接AM，MQ，Q PCQ点是的中点，∴M Q∥CD，1.2MQ CD=…………………………………………1分又AB∥CD，1,2AB CD QM=则∥AB，QM＝AB，则四边形ABQM是平行四边形.BQ∴∥AM.……………………3分又AM⊂平面PAD，BQ⊄平面PAD，BQ∴∥平面PAD.……4分（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分令000000(,,),(,,1),(0,2,1).Q x y z PQ x y z PC =-=-u u u r u u u r则 000,(,,1)(0,2,1),PQ PC x y z λλ=∴-=-u u u r u u u rQ(0,2,1).Q λλ∴-……………………………………… 7分又易证BC ⊥平面PBD ，(1,1,0).PBD ∴=-是平面的一个法向量n 设平面QBD 的法向量为(,,),x y z =m,0,0,22(1)0,.0,1x y DB x y y z z y DQ λλλλ=-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎪⎪⎩-⎩u u u r u u u r 则有即解得m m 令21,(1,1,).1y λλ==--则m …………………………………………………9分60Q BD P --o Q 二面角为，2||21|cos ,|,||||2222()1λλ⋅∴<>===⋅+-m n m n m n解得3 6.λ=±……………………………………………11分Q Q 在棱PC 上，01,3 6.λλ<<∴=-………………………………12分[考点]线面平行证明及二面角计算 19.（本题满分12分）（原创 ，中档）《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D. i2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D. 42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.根据如下样本数据x3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 5.0- 0.5 0.2- 0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和②6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin )(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）。

2018年湖北省黄冈高三数学模拟试题(二)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)参考公式： 三角函数的积化和差公式sin αcos β=12[sin (α＋β)＋sin (α－β)]cos αsin β=12[sin (α＋β)－sin (α－β)]cos αcos β=12[cos (α＋β)＋cos (α－β)]sin αsin β=－12[cos (α＋β)－cos (α－β)]正棱台、圆台的侧面积公式：S 台侧= 12(c ′＋c )l (其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长)台体的体积公式：V 台体=13(S ′＋SS ′＋S )h (其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17=10，则S 19的值A .是55B .是95C .是100D .不能确定2.设集合P ={x |(x － 1)(x － 4)≥0，x ∈R }，Q ={x |(n － 1)(n － 4)≤0，n ∈N }，集合S 满足S ∩Q =S ，S ∩P =｛1，4｝，则集合S 中元素的个数是A .2B .2或4C .2或3或4D .无穷多个 3.|x |≤2的必要但不充分条件是A . |x ＋1|≤3B . |x ＋1|≤2C . |x ＋1|≤1D . |x － 1|≤1 4.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有直线与直尺所在的直线A .垂直B .平行C .相交D .异面5.现从某校5名学生干部中选出4人分别参加 “资源”、“生态”和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，则不同的参加方案的种数是A .90B .120C .180D .3606.为了使函数y =sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是A .98πB .1972πC . 1992π D . 100π7.(理科)函数y ＝2arccos (x 2－x －14)的值域是A . [0,4π3] B .[2π3，2π] C .[ － 2π3，2π3] D . [0，2π3] (文科)函数y ＝2cos (sinx )的值域是 A .[2cos 1，2]B .[－2，2]C .[0，2cos 1]D .[－2cos 1，2cos 1]8.将曲线C 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲C ′，若曲线C ′的方程为x 24－y25＝1，则曲线C 的焦点坐标为A .(6，－1)，(0，－1)B .(－6，1)，(0，1)C .(－3，2)，(－3，－4)D .(3，2)，(3，－4)9.向高为H 的圆锥形漏斗匀速地注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭)，注入溶液量V 与溶液深度h 的函数图象是A B C D 10.不等式－x 2－4x ≤43x ＋1－a 的解集是[－4,0],则a 的取值范围是A .a ≤－5B .a ≥53C .a ∈RD .a ≤－5或a ≥5311.设x 1，x 2，x 3分别是方程2x ＋x ＝0，log 2x ＝2，log 21x ＝x 的实数根，则x 1，x 2，x 3大小关系是A . x 1＞x 2＞x 3B .x 2＞x 1＞x 3C .x 2＞x 3＞x 1D .x 3＞x 1＞x 212.三棱锥S －ABC 中，E 、F 、G 分别是SA 、SB 、SC 上的点，且SE EA ＝BF SF ＝SCSG ＝2，则截面EFG把三棱锥分成的两部分的体积之比为A .1∶9B .1∶7C .1∶8D .2∶25第II 卷(非选择题 90分) 姓名__________学号______一大题答题卡：二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.满足f (xy )＝f (x )＋f (y )的一个函数是f (x )＝______(注：只填上你认为正确的一种可能即可)。

2018年湖北省高考数学理科试卷及解读1.i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解读】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B. 34 C.1 D.42【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解读】选C . 因为1r T +=rr r r r r r x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1.3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,UA CB C⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解读】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A =，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解读】选B .画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyzO-中，一个四面体的顶点坐标分别是<0,0,2），<2,2,0），<1,2，1），<2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解读】选D.在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.6.若函数f(x>，()g x满足11()g()d0f x x x-=⎰，则称f(x>，()g x为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos22f x xg x x==；②()1,g()1f x x x x=+=-；③2(),g()f x x x x==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是< ）A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解读】选C. 对①，1111 111111(sin cos)(sin)cos|0 2222x x dx x dx x---⋅==-=⎰⎰，则)(xf、)(xg为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对③，1341111()|04x dx x --==⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为< ）A.81B.41C. 43D.87 【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解读】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯. 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（模拟一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知集合},421|{},034|{2N x x B x x x A x∈≤<=<+-=，则A B =I（A ）∅（B ）(]1,2（C ）{}2（D ）{}1,2(2) 欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。

根据欧拉公式可知，i e π32018表示的复数位于复平面中的（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限(3) 要得到函数()sin 2f x x =的图象，只需将函数()cos 2g x x =的图象（A ）向左平移12个周期 （B ）向右平移12个周期 （C ）向左平移14个周期 （D ）向右平移14个周期 (4) 某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是75.0，连续两天为优良的概率是6.0，已知某天的空气质量为优良，则随后一天空气质量为优良的概率是（A ）8.0 （B ）75.0 （C ）6.0 （D ）45.0(5) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 (6) 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，下列结论一定成立的是（A ）若05>a ，则02017<a（B ）若06>a ，则02018<a （C ）若05>a ，则02017>S（D ）若06>a ，则02018>S(7) 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生)1,0(内的任何一个实数），若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值 （A ）126 （B ） 3.132 （C ）3.151 （D ） 3.162(8) 函数2(1)cos π()=||x xf x x -的部分图像为（A （B ） （C ）（D ）(9) 已知三棱锥ABC D -的所有顶点都在球O 的球面上，2==BC AB ，22=AC ，若三棱锥D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为 （A ）8π（B ） 9π （C ）25π3 （D ） 9121π(10) 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q．若AQ =E 的离心率是 （A ）3（B（C ）32（D(11) 向量≠，1||=，对R t ∈∀，||||t -≤+，则（A ）e a ⊥（B ）)(e a a +⊥ （C ）)(e a e +⊥（D ）)()(e a e a +⊥-(12) 函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f 有三个零点，则实数a 的取值范围是 （A ）)2,0(（B ）),2(e（C ）),(+∞e（D ）),2(+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D. i2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D.423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A I ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 x 3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.2 10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)32(21)(222a a x a x x f --+-=.若R x ∈∀,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为 A ．[61,61-] B ．[66,66-] C ．[31,31-] D ．[33,33-] 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =r ，(1,1)b =-r，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________ 17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1） 求数列的通项公式. （2） 记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。

齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）理科数学试题本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （原创.容易）已知集合(,1][1,)A =-∞-+∞ ，21{|log ,[,4]}2B y y x x ==∈，则A B = （ ）A.[1,2]-B. [1,2]C. {1}[1,2]-D. [1,1]{2}- 【答案】C【解析】，由B 可得[1,2]B =-，(,1][1,)A =-∞-+∞ {1}[1,2]A B ∴=- .故选C. 【考点】考查对数不等式的解法及集合运算.2. (原创.容易)已知复数z 满足||2z z z +=，（z 为z 的共轭复数）.下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z =（ ）.A. 1i +B. 1i -C.1i +或1i -D.1i -+或1i -- 【答案】C【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，所以22222a b a ⎧+=⎨=⎩得11a b =⎧⎨=±⎩，所以1z i =+或1z i =-.故选C.（用验证法2z z +=即可得C ） 【考点】考查复数的模的运算.3. (原创.容易)正项等比数列{}n a 中，34,a a 的等比中项为11eed x x⎰，令123n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ ，则6T =（ ）A.6B.16C.32D.64 【答案】D【解析】因为1111ln |ln ln 2ee eedx x e x e ==-=⎰，即344a a =， 又1625344a a a a a a ===，所以33612634()464T a a a a a =⋅⋅⋅=== .故选D. 【考点】考查积分的运算及等比数列的性质.4. （原创.容易） 一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形.则这个几何体的体积为A.13 B.53 C.54D.2 【答案】B【解析】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成.长方体的体积为1122⨯⨯=，三棱锥的体积为111112323⨯⨯⨯⨯=, 所以几何体的体积为15233-=.故选B. 【考点】考查立体几何三视图及体积运算.5. (原创.容易)已知如图所示的程序框图中输出的结果为a ，则二项式6()a x x-展开式中的常数项为（ ）A.15B.-15C.20D.-20 【答案】C 【解析】由11a a=-赋值运算，a 输入值为-1，则第1次运算结果为12，第2次结果为2，第3次结果为-1，结果数字以3为周期循环出现，要运算12次，此时输出的数为-1.这样二项式6()a x x-的展开通项为6161()k k kk T C x x-+=，当3k =时为常数项，所以常数项为3620C =.故选C.【考点】考查算法框图及二项式定理的展开式. 6.(原创.容易)函数sin |sin |()x x f x x+=的部分图象为几何体i <13?【答案】A【解析】当[,0)x π∈-时，()0f x =，所以排除C,D ；当(2,)x ππ∈--时sin 0x >，2sin ()0xf x x=<.故选A. 【考点】考查三角函数的值的变化及图象.7.(原创.容易)一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在8:20整，三个指针(时针、分针、秒针)所在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（ ） A.1136 B.13 C.1336 D.718【答案】C【解析】观察时钟所在圆被12个刻度十二等分，指针转过一等分就旋转30，时针转过一等分就是1小时，分针转过一等分就是5分钟，所以8:20的时候秒针指向12，分针指向4，时针的指向是从刻度8再转过一等分的三分之一即10.这样分针与时针这间的扇形的圆心角为43010130⨯+=.又同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比，所以1301336036P ==.故选C. 【考点】考查几何概率8. (原创.容易)在ABC ∆中，,1CA CB CA CB ⊥==，D 为AB 的中点，将向量CD绕点C 按逆时针方向旋转90得向量CM ，则向量CM在向量CA 方向上的投影为（ ）A.1-B.1C.12-D.12【答案】C121110987654321【解析】如图，以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则11(1,0),(,)22CA CD == ，得11(,)22CM =- ，所以向量CM 在向量CA 方向上的投影为11212||CA CM CA -⋅==-.故选C. 【考点】考查平面向量的投影的定义及计算.9. (原创.中等) 在三棱锥S ABC -中，,,AB AC AB AC SA SA ⊥==⊥平面ABC ，D 为BC 中点，则异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为（ ）A.以上结论都不对 【答案】B【解析】如图，取AC 中点为E ，连结,DE SE ，因为,D E 分别为,BC AC 的中点，所以DE ∥AB ，所以SDE ∠就是异面直线AB 与SD 所成角，令2AB AC SA ===，由勾股定理得SE =1DE =.易证BA ⊥平面SAC ，DE ∴⊥平面SAC ，DE SE ∴⊥，SD ∴=在Rt SDE ∆中，cos 6DE SDE SD ∠===.故选B. 【考点】考查空间异面直线所成角的大小. 10. (原创.中等) 下面有四个命题：①设(1,1),X N (13)0.9544P X -≤≤=，则(3)0.0228P X ≥=. ②已知lg 2a =，则aaa a a a <<. ③将2tan()6y x π=+的图象向右平移6π个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到tan y x =的图象. ④设03a <<，则函数3()(01)f x x ax x =-<<有最小值无最大值. 其中正确命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】CCS【解析】①(1,1),X N 曲线关于1X =对称，所以0.9544(3)0.50.02282P X ≥=-=，正确. ②可知0101,a a a a a <<∴>>，即1a a a >>，所以aa a a a a <<，错误. ③正确.④'201,()30x f x x a <<∴=-= 得x =，又03a <<，01∴<，可知()f x 在单调递减，在单调递增，所以正确.故选C. 【考点】考查了正态分布的概率计算，用指数函数的单调性比较大小，图象变换及函数的最值的求解.11. (原创.中)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于,M N 两点，P 为直线l 上一点，当APB ∠最大时，点P 恰好在M （或N ）处.则双曲线的离心率为（ ）2【答案】A【解析】当过,A B 的圆与直线l 相切于P 点时，直线上其它点都在圆外，此时APB ∠最大，由切割线定理得2222||||||()()FP FB FA c a c a c a b ==-+=-=，点P 恰好在M 处，所以||FM b =，由双曲线可知2||b FM a =，所以2,b b a b a=∴=，所以双曲线的离心率为e =故选A.（也可用正切的和差公式求解）【考点】考查求双曲线的离心率. 12. （改编，难）已知函数ln ,0()ln(),0mx x x f x mx x x ->⎧=⎨+-<⎩.若函数()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,())A x f x 和22(,())B x f x 的直线斜率为k ，若02k e <≤，则实数m 的取值范围为（ ）A.1(,2]eB.1(,]e eC.(,2]e eD.1(2,]e e+ 【答案】B【解析】当0x >时，函数()ln f x mx x =-的导函数为'11()mx f x m x x-=-=， 由函数()f x 有两个极值点得0m >，又()f x 为奇函数，不妨设210x x =->，则有21x m=，1(,1ln )B m m ∴+可得：1(,(1ln ))A m m--+ . 由直线的斜率公式得2121()()(1ln )f x f x k m m x x -==+-，0m >，又0k >，11ln 0,m m e∴+>∴>，（当10m e <≤时，0k ≤，不合题意）令1()(1ln ),k h m m m m e==+>得'()2ln 1(1ln )0h m m m =+=++>，()h m ∴在1(,)e +∞上单调递增，又1()0,()2h h e e e==，由02k e <≤得：1()()()h h m h e e<≤，所以1m e e <≤.故选B.【考点】利用导数研究函数的极值、零点及不等式问题. 二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13. (书本题改编.容易)已知抛物线22y px =的准线方程为2x =-，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线3y x =+的距离的最小值为_________.【解析】由题设得抛物线方程为28y x =，设P 点坐标为(,)P x y ，则点P 到直线3y x =+的距离为d=222===≥，当4y =. 【考点】考查抛物线的性质，点到直线的距离及最值的求解.14. (原创.容易) 我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】1255步【解析】如图，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，则有512312351271271000x y x y⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得：1255x =步. 【考点】考查解直角三角形，利用相似成比例的关系.15. (原创.容易)若实数,x y 满足3||3y x ay x ≥+⎧⎨≤-+⎩.若z x y =+的最小值为7-，则________a =. 【答案】2-【解析】作出可行域如图所示，过点C 时取最小值.由33y x y x a=+⎧⎨=+⎩得333(,)22a a C --，则333722a a --+=-得2a =-. 【考点】考查利用线性规划求字母的值.16. (改编.难) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S （*n N ∈），且满足212n n S S n n ++=+，若对*1,n n n N a a +∀∈<恒成立，则首项1a 的取值范围是__________． 【答案】13(,)44-【解析】因为212n n S S n n ++=+，所以212(1)1,(2)n n S S n n n -+=-+-≥， 两式作差得141,2n n a a n n ++=-≥，所以145,3n n a a n n -+=-≥两式再作差得114,3n n a a n +--=≥，可得数列{}n a 的偶数项是以4为公差的等差数列，从3a 起奇数项也是以4为公差的等差数列.若对*1,n n n N a a +∀∈<恒成立，当且仅当1234a a a a <<<.1271000又12213213,32,742a S a a a a a +=∴=-∴=-=+，4311172a a a =-=-， 所以1111324272a a a a <-<+<-，解得：11344a -<<. 【考点】数列递推的应用.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）（原创.易）已知ABC ∆中，2AB BC CA ===，P 为ABC ∆内一点，且90BPC ∠= .（Ⅰ）当BP =AP 的长；（Ⅱ）若150APC ∠= ，令PCB θ∠=，求tan θ的值.解析：（Ⅰ）如图，在PBC ∆中，90BPC ∠=，2BP BC ==，45PBC ∴∠= .所以15ABP ∠=，cos15cos(4530)=-=.……………2分 由余弦定理得：2222cos15AP BA BP BA BP =+-⋅⋅424=+-=-4分1AP ∴=.……………6分(另解：取BC 中点为D ，连PD ，证明,,A P D 三点共线，求出1PD =，又AD =则1AP =.此法请酌情给分)（Ⅱ）PCB θ∠=，60ACP θ∠=-，150APC ∠=由内角和定理得30PAC θ∠=-.……………8分在直角PBC ∆中，cos 2cos PC BC θθ=⋅=，……………9分 在APC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC PCAPC PAC =∠∠即22cos sin150sin(30)θθ=-，……………11分CACA解得tan 3θ=.……………12分 18. （本小题满分12分）（原创.中）如图，五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 为边长为2的正三角形，将三角形SBC 沿BC 折起，使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上.（Ⅰ）当AB =时，证明：平面SAB ⊥平面SCD ；（Ⅱ）若1AB =，求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值.解析：（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，,SO AB SO CD ∴⊥⊥， 又AB AD ⊥，AB ∴⊥平面SAD ，,AB SA AB SD ⊥⊥.……………2分利用勾股定理得SA ==SD =在SAD ∆中，2,AD SA SD SA SD ==⊥……………4分SD ∴⊥平面SAB ，又SD ⊂平面SCD ，所以平面SAB ⊥平面SCD .……………5分（Ⅱ）连结,BO CO ，SB SC = ，Rt SOB Rt SOC ∴∆≅∆，BO CO =，又四边形ABCD 为长方形，,Rt AOB Rt DOC OA OD ∴∆≅∆∴=.取BC 中点为E ，得OE ∥AB ，连结,SE SE ∴=其中1OE =，1OA OD ==，OS =……………7分由以上证明可知,,OS OE AD 互相垂直，不妨以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 1,OE OS =∴(0,1,0),(1,1,(2,0,0)DC SC BC ∴==-=-,……………8分设111(,,)m x y z =是平面SCD 的法向量，则有00m DC m SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111100y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令11z =得(m =.……………9分设222(,,)n x y z =是平面SBC 的法向量，则有00n BC n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222200x x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11z =得n =.……………10分则||1|cos ,|3||||m n m n m n ⋅===⋅……………11分所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13.……………12分 19. （本小题满分12分）（原创.易）我校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间（每月用手机时间总和）的长短将学生分为三类： 第一类的时间区间在(0,30]，第二类的时间区间在(30,60]，第三类的时间区间在(60,720]（单位：小时），并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导.现对我校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习.由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图.(I) 求这1000名学生每月用手机时间的平均数； (II)利用分层抽样的方法从1000名选出10位学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率； (III)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X 为获奖学生人数，求X 的数学期望()E X 与方差()D X .x用手机时间解析：(Ⅰ) 平均数为: 50.01010150.03010250.04010350.01010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯450.00610550.0041023.4+⨯⨯+⨯⨯=（小时）. ……………………4分(Ⅱ) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，则从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为118221016.45C C C =…………8分 (Ⅲ) 由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数(10,0.8)X B ，其数学期望()100.88E X np ==⨯=（小时），方差()(1)100.80.2 1.6D X np p =-=⨯⨯=.……………12分 20. （本小题满分12分）（原创.中难）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF ∆（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求AMN ∆的面积S 的取值范围.解：（Ⅰ）设222a b c -=，则c a =.……………1分 设(,)P x y，则1212||,||F PF F PF S c y y b S bc ∆∆=≤∴≤= .……………3分 解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.……………4分 （Ⅱ）设MN 方程为,(0)x ny m n =+≠，联立22440x ny m x y =+⎧⎨+-=⎩，得222(4)240n y nmy m +++-=，212122224,44nm m y y y y n n --∴+==++，……………5分因为关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 的斜率之和为0 即1212044y y x x +=--，即1212044y y ny m ny m +=+-+-，……………7分 得1212122()4()0ny y m y y y y ++-+=，即222222(4)280444n m nm nmn n n --+=+++.解得：1m =.……………8分 直线MN 方程为：1x ny =+，所以直线MN 过定点(1,0)B .……………9分又12||y y -===令211,(0,)44t t n =∴∈+12||y y ∴-=……………11分又121213||||||(0,222S AB y y y y =-=-∈.……………12分 （其它解法酌情给分） 21. （本小题满分12分）（原创.难）已知函数()ln(),0f x ax a a =->.（Ⅰ）若函数()()xh x e f x =为单调函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，证明：()sin 0xe f x x +>.解：（Ⅰ）()(ln ),0x h x e ax a x =->'1()(ln )x h x e ax a x∴=+-， ()h x 为单调函数等价为'()0h x ≥恒成立或'()0h x ≤恒成立，令1()ln x ax a x ϕ=+-得/22111()x x x x xϕ-=-=， 所以()x ϕ在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，……………………2分 又1()0aϕ=，当01a <≤时11a ≥，1(,)x a ∴∈+∞时，1()()0x a ϕϕ>=； 当1a >时11a <，1(0,)x a ∴∈时，1()()0x aϕϕ>=；'()0h x ∴≤不可能恒成立，归纳得'()0h x ≥恒成立. ……………………3分又min ()(1)ln 1x a a ϕϕ==-+，所以ln 10a a -+≥ . 令()ln 1,0p a a a a =-+>，'1()1p a a=-， 得()p a 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，()(1)0p a p ≤=，即ln 10a a -+≤， ……………………5分所以ln 10a a -+=，即1a =. ……………………6分 （Ⅱ）令()(ln 1)sin x F x e x x =+-， (1)当x e ≥时，sin 1x ≥-，所以()(ln 1)sin ln 1x x F x e x x e x =+-≥-+，0x >. ……………………7分因为'[(1)]10x x e x e -+=-≥，所以0(1)(01)0x e x e -+>-+=即1x e x >+；因为'1[(1)l n ]1x x x--=-，可知函数(1)l nx x --在1x =处取最小值即(1)ln 0x x --≥，即ln 1x x -≥-.由不等式的性质得ln 1(1)(1)130xe x x x -+>++-+=>，所以()(ln 1)sin 0xF x e x x =+->. ……………………9分(2)当0x e <<时，()(ln 1)sin 1(ln 1)sin xF x e x x x x =+->+-， 因为/(sin )1cos 0x x x -=-≥，所以sin 0sin 00x x ->-=，即sin x x <，ln 10,(ln 1)sin (ln 1)x x x x x -<∴->- ，即1()1(ln 1)(ln 1)F x x x x x x>+-=+- 由（Ⅱ）证明可知1ln 10x x+-≥，所以()0F x >. ……………………11分由（1）（2）得()sin 0x e f x x +>. ……………………12分 （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] （原创.易）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数，α为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.（Ⅰ）当45α= 时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C 的直角坐标为(2,0)C ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，当ABC ∆面积最大时，求直线l 的普通方程.解：（Ⅰ）当45α= 时，直线l的参数方程为52x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 消去t 得直线l 的普通方程为50x y --=. ……………………2分曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，两边乘以ρ为24cos ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得：2240x y x +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=. ……………………5分 （Ⅱ）曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的圆，1||||sin 2sin 2ABC S CA CB ACB ACB ∆=∠=∠. ……………………7分 当90ACB ∠=时面积最大.此时点C 到直线:(5)l y k x =-的距离为，所以|，解得：k =， ……………………9分 所以直线l的普通方程为5)7y x =±-. ……………………10分23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] （原创.易）设()|1||3|f x a x x =-++. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()g x 为奇函数，且(2)()g x g x -=，当[0,1]x ∈时，()5g x x =.若()()()h x f x g x =-有无数多个零点，作出()g x 图象并根据图象写出a 的值（不要求证明）.解：（Ⅰ）当1a =时，()|1||3||(1)(3)|4f x x x x x =-++≥--+=， 当且仅当(1)(3)0x x -+≤，即31x -≤≤时等号成立.()f x ∴的最小值为4. ……………………4分（Ⅱ）()g x 的图象是夹在5y =-与5y =之间的周期为4的折线，如图，…………6分又(1)3,3()(1)3,31(1)3,1a x a x f x a x a x a x a x -++-≤-⎧⎪=-++-<<⎨⎪+-+≥⎩， ()f x 的图象是两条射线与中间一段线段组成. ……………………8分若()()()h x f x g x =-有无数多个零点，则()f x 的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以(1)0a -+=或(1)0a +=得1a =-.此时4,3()22,314,1x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，经验证符合题意，1a ∴=- ……………………10分。

全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5 分）已知集合A={x| - x2+4x> 0},片&|占<3玄丈歼} , C=（x|x=2n, n€81N}，贝U（A U B）n C=（）A. {2，4}B. {0，2}C. {0，2，4}D. {x|x=2n, n € N}2. （5分）设i是虚数单位，若-- ' ― ，x，y€ R，则复数x+yi的共轭复数2^1是（）A. 2 - iB.- 2 - iC. 2+iD.- 2+i3. （5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S h，且％+a5+a6+a z=18，贝U下列命题正确的是（）A. a5是常数B. S5是常数C. a i0是常数D. Si o是常数4. （5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为东方魔板”它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，贝吐匕点取自黑色部分的概率是（）BCD2 25. （5分）已知点F为双曲线C: = 一一（a>0，b>0）的右焦点，直线x=aa b与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上，贝U双曲线的离心率为（）A. "B. I ■:C. I」订D. - % -6. （5分）已知函数f&）二sinx, K E [-冗50]诋(0t i]A . 7 .nJTD.——-74 一（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）2+ n B. C.盒2*出£产〔筠棗）*>201A.二7B. 「」C.. - 厂D. +-8 （5分）已知函数f仗）二sin 3葢X^\/3C^OS23(3> 0) 的相邻两个零点差的绝对值为二，则函数f （x）的图象（4A . 可由函数（X）=cos4x的图象向左平移个单位而得B. 可由函数（X）=cos4x的图象向右平移C. 可由函数（X）=cos4x的图象向右平移D . 可由函数（X）=cos4x的图象向右平移丄个单位而得24丄个单位而得245兀个单位而得9. （5 分）（羽-3）（1的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（A . —73 B.—61 C.—55 D.—6310. （5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（nanA . 317£~6~B.31兀C.481K D丑価兀. ■:6411. （5分）已知抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,过点F 分别作两条直线l i , I 2，直 线l i 与抛物线C 交于A 、B 两点，直线12与抛物线C 交于D 、E 两点，若l i 与12 的斜率的平方和为1,则|AB|+| DE 的最小值为（ ）A . 16 B. 20 C. 24 D . 3212. （5分）若函数y=f （x ）, x € M ，对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T , 使得定义域M 内的任意实数x ,都有af （x ） =f （x+T ）恒成立，此时T 为f （x ） 的类周期，函数y=f （x ）是M 上的a 级类周期函数.若函数y=f （x ）是定义在 区间[0 , + %）内的2级类周期函数，且T=2,当x € [0 , 2 ）时，zg ■-2,，1 ©卄比）二戈函数.若？ X 1€ [6, 8] , ?X 2€L<Y <2’二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13 . （ 5分）已知向量, ^占口），-1），且旦丄1,则1)-=为 ______ .15. （5分）在等比数列｛a n ｝中，a 2?a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为17,设b n =a 2n -1- a 2n , n € N*，则数列｛b n ｝的前2n 项和为 ______ .16.（5分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB 丄BC, AD // BC,一二亍「二，点14. （ 5分）已知x , y 满足约束条件（0, +x ）,使g （X 2）- f （X 1）w 0成立，则实数m 的取值范围是（ 的最小值E是线段CD上异于点C, D的动点，EF丄AD于点^将厶DEF沿EF折起到△ PEF 的位置，并使PF丄AF,则五棱锥P-ABCEF勺体积的取值范围为________ .三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）已知△ ABC的内角A, B, C的对边a, b, c分别满足c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点D 满足■ /（1）求a及角A的大小;18. （12分）在四棱柱ABCD- A i B i C i D i中，底面ABCD是正方形，且匚-:-，/ A1AB=Z A1AD=6C°.（1）求证：BD丄CG;（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB所成角的正弦值为I .19. （12分）过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数「(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N (卩,d2),利用该正态分布，求Z落在(14.55, 38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10，30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为^=V142. 75^11-95;②若〜N — b 2 )，贝U P (卩―crV Z< p+ o)=0.6826，P (卩―2 o< Z< (J+2 C)=0.9544.0e030 ・-0-025 ・*0.020 - 0.0150.01010 2030 4050各水饺质量指标丄一，且以两焦点为直20. (12分)已知椭圆C: 亏〔呂0)的离心率为径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线I: y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由.21. (12分)已知函数f (x) =e x- 2 (a- 1) x- b，其中e为自然对数的底数.(1)若函数f (x)在区间［0,1］上是单调函数，试求实数a的取值范围；(2)已知函数g (x) =e x-(a- 1) x2- bx- 1,且g (1) =0,若函数g (x)在区间［0,1］上恰有3个零点，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4:坐标系与参数方程］22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，圆C i的参数方程为\ K-_Uacos® ( 0ty=-l+asin9为参数，a是大于0的常数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为p =2^2^05 ( .(1)求圆C i的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线I： ^吕，P€ R与圆C i、圆C2的异于原点的焦点为A，B,若圆C i与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数f (x) =|2x+1| .(1)求不等式f (x)< 10-| x-3|的解集；(2)若正数m，n 满足m+2n=mn，求证：f (m) +f (- 2n)》16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5 分）已知集合A={x| - x2+4x> 0}, B二丘|丄<罗<27} , C={x|x=2n, n€31N}，贝U（A U B）n C=（）A. {2，4}B. {0，2}C. {0，2，4}D. {x|x=2n, n € N}【解答】解：A={x| - x2+4x> 0} ={x| 0< x< 4}，駐〔兀I去V3y 27} ={x| 3-4v 3x v 33}={x| - 4<x< 3}，oJL则A U B={x| - 4< x<4}，C={x| x=2n, n € N}，可得（A U B）n C={0, 2, 4},故选C.2. （5分）设i是虚数单位，若' ,x, y€ R,则复数x+yi的共轭复数2-1是（）A. 2 - iB.- 2 - iC. 2+iD.- 2+i【解答】解：由一「2-1得x+yi= — -i —-! ■=2+i得x+yi= =2+i，•••复数x+yi的共轭复数是2 -i.3（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S，且a4+a5+a e+a7=18,则下列命题正确的是（）A. a5是常数B. S5是常数C. a10是常数D. Si0是常数故选：A.【解答】解：•••等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ,且a 4+a 5+a 6+a 7=18, 二 a 4+a 5+a 6+a 7=2 (a i +a io ) =18, --a i +a io =9, …Sg 二乎(有十^10)=45- 故选：D .4. （5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为 东方魔板”它是由五块等腰 直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、- 块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，贝吐匕点取自黑色部分的概率是（）【解答】解：设AB=2,则BC=CD=DE=EF=1V B —订,S 平行四边形EFG 阳2S BC =2 X — , •••所求的概率为口 +S 平行四边形EPGH g 正方形AB5 =2x7故选：A .2 25. （5分）已知点F 为双曲线C : 云丄尹1 （a >0, b >0）的右焦点，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A ,若AF 的中点在双曲线上，贝U 双曲线 的离心率为（）16BCDA. . 1B. I ■:C.「'.打D. I 口2 2【解答】解：设双曲线C:青冬二1的右焦点F （c, 双曲线的渐近线方程为y丄x,a由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（誓，寺b）,代入双曲线的方程可得卄J -丄=1，可得4a2- 2ac- c2=0，由e*，可得e2+2e- 4=0，a解得e= !.- 1 （- 1 —汀舍去），故选：D. 0)，6. （5分）已知函数f&）二则.A. 2+ nB. JT T-2J Ql-/dK=/ cOSdt= J 1 址齐t芒1 2+'，J 2开£(只),xE [-TT , 0]2,址© 1]^rcsinx *兀4+ (- COSX：=(2. 故选：D.7. （5分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（）A ...工7B .C.. -厂 D . m【解答】解：第1次循环后，S=-,不满足退出循环的条件，k=2; 第2次循环后，S= -;，不满足退出循环的条件，k=3; 第3次循环后，S= =2，不满足退出循环的条件，k=4；第n 次循环后，S= ，不满足退出循环的条件，k=n+1 ； 第2018次循环后，S=,3.「儿 不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2「|「，满足退出循环的条件， 故输出的S 值为2厂「， 故选：C& （5分）已知函数f （瓷）sin® xug®負7勺（3> 0）的相邻两个 零点差的绝对值为「则函数f （x ）的图象（）A. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向左平移卑匚个单位而得B. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移2二个单位而得24C. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移丄?个单位而得D. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移一个单位而得O【解答】 解：函数 f （7） =sinseesxVsccs5 工=寺 sin7T=sin （2^）-—）（3>0）的相邻两个零点差的绝对值为才?爲=：，二①=2 f (x ) =sin (4x -中=cos[(2 3X )]=cos (4x普）.故把函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移竺个单位，可得f （X ）的图象，24 故选：B.9・（5分）©-3）（代/的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A .- 73B .- 61C.- 55D .- 63【解答】解：丄广展开式中所有各项系数和为（2- 3） （1+1） 6=- 64; ⑵-3）（1 丄）社（2x -3） （1忑碍+•••）,工工/其展开式中的常数项为-3+12=9,• ••所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为 -64 - 9=- 73.故选：A . 6【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥 P -ABCDEF 底面是正六边形，有一 PAF 侧面垂直底面，且P 在底面的投影为AF 中点，过底面中心N 作底面垂线, 过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心 0, 设厶PAF 的外接圆半径为r ，/二（2P ）牛（寺严，解得r #，•価二0昨茅6 （5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为 1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A .B .312Z8 C.鋁1叽64D.48MAS11. (5分)已知抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,过点F 分别作两条直线11, 12，直 线11与抛物线C 交于A 、B 两点，直线12与抛物线C 交于D 、E 两点，若11与12 的斜率的平方和为1,则|AB|+| DE 的最小值为()A . 16 B. 20 C. 24 D . 32【解答】解：抛物线C: y 2=4x 的焦点F (1, 0),设直线11: y=k i (x- 1),直线 12： y=k 2 (x - 1),由题意可知，贝U 叭Jk 『二1,设 A (X 1 , y 1), B (X 2 , y 2),贝 U X 1+X 2= -------k l 4设 D (X 3 , y 3), E (X 4 , y 4),同理可得：X 3+X 4=2+ ° ,k2由抛物线的性质可得：丨AB | =X 1+x 2+p=4+则该几何体的外接球的半径•••表面积是则该几何体的外接球的表面积是7 V4M+1 FS=4冗 R =°*l 兀.64联立丿y=k] (i-lj,整理得：k 12x 2-( 2k 12+4) x+k 12=0,R= I :. 故选：C.C,| DE | =X 3+X 4+pk l=84 ,当且仅当k®目时，上式“我立• ••• | AB|+| DE 的最小值 24, 故选：C.12. (5分)若函数y=f (x ), x € M ，对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T , 使得定义域M 内的任意实数x ,都有af (x )=f (x+T )恒成立，此时T 为f (x ) 的类周期，函数y=f (x )是M 上的a 级类周期函数.若函数y=f (x )是定义在区间［0 , + %)内的2级类周期函数，且T=2,当x € ［0 , 2 )时，f(2-Kb 1<X<2(0 , +x),使g (x 2)- f (X 1)w 0成立，贝U 实数m 的取值范围是(【解答】解：根据题意,对于函数f(x ),当x € ［0 , 2)时,f k)弓2fCE-s), Kx<2-2,有最大值f (0)二，最小值f (1)2，当1v x v 2时，f (x ) =f (2 -x ),函数f (x )的图象关于直线x=1对称,则此时 有-一v f (x )v又由函数y=f (x )是定义在区间[0, +7 内的2级类周期函数，且T=2; 则在€ [6, 8) 上, f (x ) =23?f (x -6),则有—12<f (x )w 4,则 f (8) =2f (6) =4f (4) =8f (2) =16f (0) =8,则函数f (x )在区间［6 , 8］上的最大值为8,最小值为-12;A .—] B. (a, 13 ] C. 〔a,32 J2」2」D .[普g| AB|+| DE =8+1 k 24(ki 2+k 2Z ) 8P4、412 J一 _ _ •若？ xi € [ 6, 8] , ? X 2 €函数 =-21nx分析可得：当O w x < 1时，f (x) --=84 ,对于函数山)二-加4^5切,有g'(x) =-Z +X+1」®之-炉1)3切L x x x分析可得：在(0 , 1)上,g (x)v0,函数g (x)为减函数，在(1 , +x)上,g r (x)>0,函数g (x)为增函数，则函数g （x ）在（0, +x ）上，由最小值f （1） =_ +m ,2若？ x i € [6, 8] , ? X 2 €(0, +x ),使 g (X 2)— f (x i )< 0 成立, ，即一+m < 8, ，即m 的取值范围为(-x,必有 g (x ) min < f (x ) max 故选：B. 解可得m 13 2 、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. （5 分）已知向重.I _ d •二二「，，| 丄---,且-一、，则！ . I I ]【解答】解：根据题意，向重 丁（2営cgd ），b=（l, -1）， 若；丄卞，则 ^?b=2sin a cos a =0 则有 tan a又由 sin 2 a +COS 2 a=1 则有 则 则 |..|-: 2^5sina=^ a" COS Cl - !_ 亍),或 = sin a 二芈^ 5 n _砸 C0S 或（— 5则崙丄）2=3品2- 21?工半 5故答案为: 14. （5分）已知x , y 满足约束条件 的最小值为L_. 【解答】解：由约束条件作出可行域如图,X = — 22n -4,联立fxWQ ，解得A （2, 4）, J 23<2，令t=5x -3y ,化为y 专富诗,由图可知,当直线宾耳过A 时, 」 J "J 直线在y 轴上的截距最大，t 有最小值为-2. •••目标函数 玄二彳； 的最小值为2~^-^. 故答案为：丄.15. （5分）在等比数列｛a n ｝中，a 2?a 3=2a i ,且a 4与2a 7的等差中项为17,设b n =a 2n -1- a 2n , n € N*，则数列｛b n ｝的前2n 项和为—亠〕/" _.丄ka【解答】解：等比数列｛a n ｝中，a 2?a 3=2a i ，且a 4与2a 7的等差中项为17, 设首项为a 1,公比为q , 则：整理得:+血］<1 二 34解得: 则: 所以：b n =a 2n -1 — a 2n =屯一」116. （5分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB 丄BC, AD // BC,上-二一二-_，点 E 是线段CD 上异于点C , D 的动点，EF 丄AD 于点^将厶DEF 沿 EF 折起到△ PEF 的位置，并使PF 丄AF ,则五棱锥P -ABCEF 的体积的取值范围为【解答】 解：T PF 丄AF , PF 丄EF, AF G EF=F 二PF 丄平面ABCD 设 PF=x 贝U O v x v 1, 且 EF=DF=x•五棱锥P-ABCEF 的体积V 丄 丄(3-x 2) x 设 f (x ) (3x - x 3),贝U f ' (x) — (3 - 3x 2)6 6•••当 O v x v 1 时，f'(x )>0,则：T 2n = I' 1-4 故答案为: 討护）. (0,丄) •五边形ABCEF 的面积为S=S 弟形ABCD - x( 1+2)x 1-—X 2丄(3-x 2). (3x — x 3), (1-x 2),••• f（x）在（0, 1）上单调递增，又f （0）=0, •五棱锥P-ABCEF的体积的范围是（0,丄）.故答案为:三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）已知△ ABC的内角A, B, C的对边a, b, c分别满足c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点 D 满足 【解答】 解：(1)由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得-2sinBcosA=sinAcos&osAsinC 即—2si nBcosA=si n( A+C ) =s inB, 在厶 ABC 中，sinB >0,所以一”二二. 在厶 ABC 中，c=2b=2,由余弦定理得 a 2=b 2+c 2 - 2bccosA=k J +c 2+bc=7, 18. (12分)在四棱柱ABCD — A i B i C i D i 中，底面ABCD 是正方形，且匚-■-,/ A 1AB=Z A 1AD=6C °.(1) 求证：BD 丄CG ;(2) 若动点E 在棱C 1D 1上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面BDB 所成 角的正弦值为….又A €(0, n),所以(1)求a 及角A 的大小; C所以一 I【解答】解：（1）连接A i B, A i D, AC,因为AB=AA=AD,/ A i AB=Z A i AD=60,所以△ A i AB和厶A i AD均为正三角形，于是A i B=A i D.设AC与BD的交点为0,连接A i O,则A i O丄BD,又四边形ABCD是正方形，所以AC丄BD, 而A i O n AC=O,所以BD丄平面A i AC.又AA i?平面A i AC,所以BD丄AA i, 又CG // AA i,所以BD丄CG.（2）由，及BDW2AB=2，知A i B丄A i D,结合A i O丄BD, AO n AC=O 得A i O丄底面ABCD, 所以OA、OB、OA i两两垂直.如图，以点O为坐标原点，| &的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系 -xyz 则A (i, 0, 0), B (0 , i , 0), D (0 , - i , 0), A i (0 , 0 , i) , C(- i , 0 , DB=(O, 2, 0),瓦二瓯二(一1・ 0, 1), D]C[二磋(T, 1；",由i 丨，得Di (- i, - i , i).设：,I- ■：.：'(疋[0 , i]),则(X E+i , y E+i , Z E- i)=入(-i , i , 0),即 E (-入—i,入—i , i), 所以；「―■•亠.设平面B i BD的一个法向量为|• • •'!,O 0),B,从而A i O丄AO,设直线DE 与平面BDB 所成角为9, 则血*k^＜运，（—'—D+oy m 丨申, V2XV X 2+（-1-\）£+1 14 解得二二或•，二丄（舍去）,2 3所以当E 为D i C i 的中点时，直线DE 与平面BDBi 所成角的正弦值为「.19. （ 12分）过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节 前夕，A 市某质检部门随机抽取了 100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量 指标，（1） 求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数■:（同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表）；（2） ①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布N（卩, ；），利用该正态分布，求Z 落在（14.55, 38.45）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于（10, 30）内的包数为X ,求X 的分布列和数 学期望. 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为②若（卩，^ ）,贝U P （卩―eV Z w p+ o ） =0.6826, P （卩―2 eV Z w （J +2 o ） =0.9544.得n=(l, 0, 1)，n ・ E6=0 ｛十…… n • &B-i =0 L得 产。

2018高职高考数学模拟试卷本试题卷共24小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填定在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴除”2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3、非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上.4、考生必须保持答题卡的整洁。

不能使用涂改液。

试卷类型：A一、单项选择题(本大题共15小题，每小题5分，共75分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

错涂、多涂或未涂均无分。

1。

已知集合{}4,3,2,1,0=M ，{}5,4,3=N ，则下列结论正确的是( )A.N M ⊆ B 。

M N ⊆ C 。

{}4,3=⋂N M D 。

{}5,2,1,0=⋃N M2、函数x x x f --=2)1(log )(2的定义域是（ )A )0,(-∞B )2,1(C ]2,1(D ),2(+∞3.“01a <<”是“log 2log 3a a >”的（ ）A 。

必要非充分条件 B.充分非必要条件C 。

充分必要条件D 。

非充分非必要条件4。

下列等式正确的是（ ） .A 。

lg 7lg31+=B 。

7lg 7lg 3lg 3= C.3lg 3lg 7lg 7= D 。

7lg 37lg 3= 5. 设向量()4,5a =，()1,0b =,()2,c x =，且满足→→+b a 与→c 垂直，则 （ ).A 。

B 。

12-C 。

12D. 6.不等式312x -<的解集是（ ）A 。

113⎛⎫- ⎪⎝⎭， B.113⎛⎫ ⎪⎝⎭， C 。

（－1,3) D 。

(1，3） 7、过点A （2，3）,且垂直于直线2x +y —5=0的直线方程是（ ）.A 、x -2y +4=0B 、y —2 x +4=0C 、2x -y —1=0D 、 2x +y -7=08. 函数()4sin cos ()f x x x x R =∈的最大值是( ）。

绝密★启用前湖北省2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={0，2}，B={ -2，-1，0，1，2}，则A∩B=A. {0，2}B. {1，2}C. {0}D. {-2，-1，0，1，2}2，设z=，则∣z∣=A. 0B.C. 1D.3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为A.B.C.D.5.已知椭圆的上、下底面的中心分别为O₁，O₂，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. 12πB. 12πC. 8πD. 10π6.设函数f（x）=x ³+（a-1）x ²+ax。

若f（x）为奇函数，则曲线y= f（x）在点（0，0）处的切线方程为A. y=-2xB. y=-xC. y=2x7.在∆ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A. -B. -C. +D. +8.已知函数f（x）=2cos ²x-sin ²x+2，则A. f（x）的最小正周期为π，最大值为3B. 不f（x）的最小正周期为π，最大值为4C. f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D. D. f（x）的最小正周期为2π，最大值为49.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。