数学七年级上总复习(实数)

七年级初一数学第六章 实数(讲义及答案)含答案一、选择题1．设[x]表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），则[1]+[2]+[3]+…+[36]=（ ）A ．132B ．146C ．161D ．666 2．2(4)-的平方根与38-的和是（ ）A ．0B ．﹣4C ．2D ．0或﹣4 3．下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4B ．﹣18没有立方根 C ．立方根等于本身的数是0D ．327-＝﹣34．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a b c ++就是完全对称式(代数式中a 换成b ，b 换成a ，代数式保持不变).下列三个代数式：①2()a b -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③5．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③平方根等于它本身的数为0和1；④没有最大的正整数，但有最小的正整数；其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若15的整数部分为a ，小数部分为b ，则a-b 的值为（）A ．615-B ．156-C ．815-D ．158- 7．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．±98．下列各数中3.145，0.1010010001…，﹣17，2π38有理数的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知一个正数的两个平方根分别是3a ＋1和a ＋11，这个数的立方根为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．0 10．下列各组数中互为相反数的是（ ）A ．32(3)-B ．﹣|2|2）C ．﹣38和38-D ．﹣2和12二、填空题11．若已知()21230a b c -+++-=，则a b c -+=_____．12．64的立方根是___________．13．a 是10的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________．14．写出一个3到4之间的无理数____．15．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．16．按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n 值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n 值可以是________．17．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．18．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____.19．有若干个数，第1个数记作1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ,……，第n 个数记为n a ，若1a =13，从第2个数起，每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数，则2019a =_____．20．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡⎤==⎣⎦，按此规定113⎡⎤-=⎣⎦_____． 三、解答题21．观察下列三行数：(1)第①行的第n 个数是_______(直接写出答案，n 为正整数)(2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系？(3)取每行的第9个数，记这三个数的和为a ，化简计算求值：(5a 2-13a-1)-4(4-3a+54a 2) 22．规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈 3 次方，”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作：“（﹣3）的圈 4 次方”．一般地，把个记作 a ⓝ，读作 “a 的圈 n 次方”（初步探究）（1）直接写出计算结果：2③，（﹣12）③．（深入思考）2④2 111111 2222222⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥；（﹣12）⑩．（3）猜想：有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于多少．(4)应用：求（-3）8×（-3）⑨-（﹣12）9×（﹣12）⑧23．观察下列各式：111122-⨯=-+；11112323-⨯=-+；11113434-⨯=-+；…(1)你发现的规律是_________________.(用含n的式子表示；(2)用以上规律计算：1111223⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113420172018⎛⎫⎛⎫-⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24．观察下来等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，……在上面的等式中，等式两边的数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据以上各等式反映的规律，使下面等式成为“数字对称等式”：52×_____＝______×25；(2)设这类等式左边的两位数中，个位数字为a，十位数字为b，且2≤a＋b≤9，则用含a，b 的式子表示这类“数字对称等式”的规律是_______．25．观察下列各式，回答问题21131222-=⨯， 21241333-=⨯ 21351444-=⨯ …． 按上述规律填空：（1）211100-＝ × ，2112005-＝ × ， （2）计算：21(1)2-⨯21(1)...3-⨯21(1)2004-⨯21(1)2005-＝ ． 26．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为()2M x .如()()22735111, 561101M M ==.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定: 0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1与1相加得 0，并向左边一位进1.如735561、的“模二数”111101、相加的运算过程如下图所示.根据以上材料，解决下列问题:(1)()29653M 的值为______ ，()()22589653M M +的值为_(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如()()22124100,630010M M ==，因为()()()222124630110,124630110M M M +=+=，所以()()()222124*********M M M +=+，即124与630满足“模二相加不变”.①判断126597，，这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；②与23“模二相加不变”的两位数有______个【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】分析：先计算出1.52，2.52，3.52，4.52，5.52，即可得出中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，6个6，从而可得出答案．详解：1.52=2.25，可得出有2个1；2.52=6.25，可得出有4个2；3.52=12.25，可得出有6个3；4.52=20.25，可得出有8个4；5.52=30.25，可得出有10个5；则剩余6个数全为6.故=1×2+2×4+3×6+4×8+5×10+6×6=146.故选：B.点睛本题考查了估算无理数的大小.2．D解析：D【分析】【详解】＝4，4的平方根是±2，的平方根为±2，2，﹣2+（﹣2）＝﹣4，2+（﹣2）＝0．0或﹣4．故选：D．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知平方根的定义及立方根的定义是解答此题的关键．3．D解析：D【分析】利用立方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、64的立方根是4，原说法错误，故这个选项不符合题意；B、﹣18的立方根为﹣12，原说法错误，故这个选项不符合题意；C、立方根等于本身的数是0和±1，原说法错误，故这个选项不符合题意；D＝﹣3，原说法正确，故这个选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了立方根的应用，注意：一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根．4．A解析：A【分析】在正确理解完全对称式的基础上，逐一进行判断，即可得出结论．【详解】解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式，则：①（a-b）2=（b-a）2；是完全对对称式．故此选项正确．②将代数式ab+bc+ca中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab+bc+ca是完全对称式， ab+bc+ca中ab对调后ba+ac+cb，bc对调后ac+cb+ba，ac对调后cb+ba+ac，都与原式一样，故此选项正确；③a2b+b2c+c2a 若只ab对调后b2a+a2c+c2b 与原式不同，只在特殊情况下（ab相同时）才会与原式的值一样∴将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2．故a2b+b2c+c2a不是完全对称式．故此选项错误，所以①②是完全对称式，③不是故选择：A．【点睛】本题是信息题，考查了学生读题做题的能力．正确理解所给信息是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．【详解】①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；2=；③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．综上，正确的个数有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．6．A解析：A【分析】先根据无理数的估算求出a 、b 的值，由此即可得．【详解】91516<<，<<34<<，3,3a b ∴==，)336a b ∴-=-=， 故选：A ．【点睛】 本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．7．C解析：C【分析】根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解.【详解】由题意得：23522x -=，∴29x =，∵2(39)±=，∴3x =±，故选：C .【点睛】此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键. 8．C解析：C【分析】直接利用有理数的定义进而判断得出答案．【详解】解：3.14，0.1010010001…，-17 ，2π 3.14，-17＝-2共3个.故选C ．【点睛】此题主要考查了有理数，正确把握有理数的定义是解题关键． 9．A解析：A【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3a+1+a+11=0，a=-3，继而得出答案．【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数，∴3a+1+a+11=0，a=-3，∴3a+1=-8，a+11=8∴这个数为64，所以，这个数的立方根为：4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．10．B解析：B【分析】根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可．【详解】解：A3，3B、﹣||，﹣||）两数互为相反数，故本选项正确；C22D、﹣2和12两数不互为相反数，故本选项错误．故选：B．【点睛】考查了相反数的定义：要知道，只有符号不同的两个数互为相反数．二、填空题11．6【分析】分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，代入即可．【详解】解：因为，所以，解得，故，故答案为：6．本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方解析：6【分析】分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可．【详解】解：因为()2120a b -+++=，所以10,20,30a b c -=+=-=，解得1,2,3a b c ==-=，故1(2)36a b c -+=--+=，故答案为：6．【点睛】本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键． 12．2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．解析：2【分析】8，根据立方根的定义即可求解．【详解】8=，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．13．-5【解析】∵32<10<42,∴的整数部分a=3,∵b 的立方根为-2,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.解析：-5【解析】∵32<10<42,a=3,∵b的立方根为-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.14．π（答案不唯一）．【解析】考点：估算无理数的大小．分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．解：3到4之间的无理数π．答案不唯一．解析：π（答案不唯一）．【解析】考点：估算无理数的大小．分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．解：3到4之间的无理数π．答案不唯一．15．5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．131或26或5.【解析】试题解析：由题意得，5n+1=656，解得n=131，5n+1=131，解得n=26，5n+1=26，解得n=5.解析：131或26或5.【解析】试题解析：由题意得，5n+1=656，解得n=131，5n+1=131，解得n=26，5n+1=26，解得n=5.17．﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解析：﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．18．±7 7 -2【解析】试题解析：∵（±7）2=49，∴49的平方根是±7，算术平方根是7；∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是-2.解析：±77-2【解析】试题解析：∵（±7）2=49，∴49的平方根是±7，算术平方根是7；∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是-2.19．-2 【分析】根据1与它前面的那个数的差的倒数，即，即可求得、、……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定． 【详解】 解：= ……所以数列以，，三个数循环， 所以== 故答案为：． 【解析：-2 【分析】根据1与它前面的那个数的差的倒数，即111n na a +=-，即可求得2a 、3a 、4a ……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定2019a ． 【详解】 解：1a =132131213a ==-312312a ==--411123a ==+ …… 所以数列以13，32，2-三个数循环， 20193673÷=所以2019a =3a =2- 故答案为：2-．【点睛】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．20．-3 【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可． 【详解】 解：∵3＜＜4 ∴-3＜＜-2 ∴-3故答案为-3． 【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3 【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34 ∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3． 【点睛】三、解答题21．(1)-(-2)n ；(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2；第③行数等于第①行数相应的数除以(－2)；(3)-783 【分析】第一个有符号交替变化的情况时，可以考虑在你所找到的规律代数式中合理的加上负号，并检验计算结果。

浙教版七年级上数学第三章实数复习教案一、教学内容1. 实数的定义：有理数和无理数的分类，实数的性质。

2. 实数的运算：加法、减法、乘法、除法的运算规则。

3. 实数与方程：一元一次方程的解法，方程的解与实数的关系。

二、教学目标1. 理解实数的定义和性质，能够正确分类实数。

2. 掌握实数的运算规则，能够熟练进行实数的四则运算。

3. 学会解一元一次方程，理解方程的解与实数的关系。

三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的分类，特别是无理数的概念。

2. 教学重点：实数的运算规则，一元一次方程的解法。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：笔记本、练习本、彩色笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：讲解生活中实数应用的例子，如购物时价格的计算。

2. 实数的定义与分类：回顾实数的定义，讲解有理数和无理数的分类，举例说明。

3. 实数的运算：讲解实数的加法、减法、乘法、除法规则，结合实际例子进行演示。

4. 实数与方程：讲解一元一次方程的解法，结合实际例子进行演示。

5. 随堂练习：布置练习题，让学生实时巩固所学知识。

6. 例题讲解：挑选具有代表性的例题进行讲解，分析解题思路。

7. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调实数的运算规则和方程的解法。

六、板书设计1. 实数的定义与分类2. 实数的运算规则3. 实数与方程七、作业设计1. 作业题目：（3）解下列方程：2x + 1 = 7, 3x 4 = 22. 答案：（1）√3：无理数；2：有理数；0.333：有理数（2）(3) + 4 = 1, 5 2.5 = 2.5, 2 × (1.5) = 3, (2.5) ÷ 1.25 = 2（3）2x + 1 = 7，解得：x = 3；3x 4 = 2，解得：x = 2八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对实数的定义、分类和运算规则掌握较好，但在解方程方面仍需加强。

2. 拓展延伸：讲解实数在实际生活中的应用，如测量长度、面积等，让学生体会实数的重要性。

七年级上学期数学单元复习 实数黄冈教育 辅导教师：杨义茂一、考点知识 理解应用考点1 平方根1．平方根的定义：一般地，如果一个正数的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．平方根的特性：一个正数有正、负两个＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．开平方的定义：求一个数的平方根的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4．算术平方根的定义：正数的正的平方根称为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5．概念的应用：（1）（2014•杭州）已知边长为a 的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（ ） A ．a 是无理数 B ．a 是方程x 2-8=0的一个解 C ．a 是8的算术平方根 D ．a 满足不等式组⎩⎨⎧--0403＜＞a a（2）若一个自然数的算术平方根是x ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．x+1B ．x 2+1x +y +m |＝0，且y 为负数，则m的取值范围是（ ）A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞-6D ．m ＜-6（4）设7的小数部分为b,则b b ）（+4的值是（ ） A 、1 B 、是一个无理数 C 、3 D 、无法确定（7）已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，求a ，b 的值．考点2 实数 1．实数的分类：（1）按定义分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧数）无理数（无限不循环小分数整数有理数 （2）按大小分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数0 （3）还可以这样分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数和无限循环小负有理数零正有理数有理数 2．无理数常见的类型：（1）所有开不尽方的方根都是无理数，如39,12,3,2-等； （2）圆周率π及含有π的数都是无理数，如2π，12+π等； （3）构造型无理数，如0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）。

七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．4的算术平方根是±2B ．平方根等于本身的数有0、1C ．﹣27的立方根是﹣3D ．﹣a 一定没有平方根2．圆的面积增加为原来的m 倍，则它的半径是原来的（ ）A ．m 倍B ．2m 倍C 倍D ．2m 倍3．下列命题中，真命题是（ ）A ．实数包括正有理数、0和无理数B ．有理数就是有限小数C ．无限小数就是无理数D ．无论是无理数还是有理数都是实数4．2-是（ ）A ．负有理数B ．正有理数C ．自然数D ．无理数 5．下列数中，有理数是（ ）A B ．﹣0.6 C ．2π D ．0．151151115… 6．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧7．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ）A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n8．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 9．下列说法中不正确的是( )A ．是2的平方根B 2的平方根C ．2D ．2 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 二、填空题11．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ．12．观察下列各式： 123415⨯⨯⨯+=； 2345111⨯⨯⨯+=； 3456119⨯⨯⨯+=；121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．13．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.14．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______. 15．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．16．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡==⎣，按此规定113⎡=⎣_____． 17．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．18．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________19．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72[72]8[8]2[2]1→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____． 20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①3310001000000100==，又1000593191000000<<，31059319100∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，<<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是_______位数．②它的立方根的个位数是_______．③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．22．定义：如果2b n =，那么称b 为n 的布谷数，记为()b g n =.例如：因为328=，所以()3(8)23g g ==， 因为1021024=，所以()10(1024)210g g ==. （1）根据布谷数的定义填空：g （2）=________________,g （32）=___________________. （2）布谷数有如下运算性质：若m ，n 为正整数，则()()()=+g mn g m g n ，()()m g g m g n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据运算性质解答下列各题：①已知(7) 2.807g =，求 (14)g 和74g ⎛⎫⎪⎝⎭的值； ②已知(3)g p =.求(18)g 和316g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 23．观察下列等式： ①111122=-⨯， ②1112323=-⨯， ③1113434=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加，得1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. （1）请写出第④个式子 （2）猜想并写出：1n(n 1)+= ． （3）探究并计算：111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯. 24．我们规定：a p -＝1p a （a ≠0），即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：24-＝214 （1）计算：25-＝__；22-（﹣）＝__；（2）如果2p -＝18，那么p ＝__；如果2a -＝116，那么a ＝__； （3）如果a p -＝19，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值．25．z 是64的方根，求x y z -+的平方根26．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．（1）计算： 1.87<>= ；= ；（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足43x x <>=的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程21122a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案.【详解】解：A 、4的算术平方根是2，故A 错误；B 、平方根等于本身的数是0，故B 错误；C 、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故C 正确；D 、﹣a 大于或等于0时，可以有平方根，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.2．C解析：C【分析】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意列出关系式计算即可．【详解】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意得：πR2=mπr2，∴，故选：C．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要注意，圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系．3．D解析：D【分析】直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．【详解】A、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；B、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；C、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；D、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．故选：D．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．4．A解析：A【解析】【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．【详解】∵2-是整数，整数是有理数，∴D错误；∵2-小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，∴B、C错误；∴2-是负有理数，A正确．故选：A．【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．5．B解析：B【分析】根据有理数的定义选出即可．【详解】解：A是无理数，故选项错误；B、﹣0.6是有理数，故选项正确；C、2π是无理数，故选项错误；D、0．l51151115…是无理数，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数．6．B解析：B【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：由a-|a|=2a，得|a|=-a，故a是负数或0，∴实数a在数轴上的对应点在原点或原点左侧故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．7．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n ⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.8．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227是有理数，故选项A不符合题意；B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；D、π3是无理数，故选项D题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．C解析：C【详解】解：A. 是2的平方根，正确；是2的平方根，正确；C. 2的平方根是±，故原选项不正确；D. 2，正确．故选C．10．C解析：C【解析】试题分析：∵16＜20＜25，∴∴4＜5．故选C．考点：估算无理数的大小．二、填空题11．．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5解析：8．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：13522k，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；第六次：82k，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．故答案为8．12．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入12n=求解即可．【详解】由题意得()31n n=⨯++将12n=代入原式中12151181a==⨯+=故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．13．或【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1解析：12或13【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=321413x x+++-=2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：①2x+1=2，x=12，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，52，52}=2，成立；②2x+1=-x+3，x=23，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，73，103}=2，不成立；③2x+1=5x，x=13，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，83，53}=53，成立，∴x=12或13，故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．14．0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．解析：0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．15．﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解析：﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．-3【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵3＜＜4∴-3＜＜-2∴-3故答案为-3．【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3．【点睛】17．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．18．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】=，故①错误；①10②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数． 19．255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵1=，3=，15=，∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力． 20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a ==479<<<<23<<∴的整数部分是2，即2b =则6212ab =⨯=故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．三、解答题21．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；②根据例题进行推理得出答案；③根据例题进行推理得出答案；④根据②③得出答案；（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.【详解】（1）①31000100==，10001951121000000<< ，∴10100<<，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<<∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.22．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②12p +；4p -.【分析】（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；（2）①根据布谷数的运算性质, g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入数值可得解； ②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为2(18)(2)(3)g g g =+，3()(3)(16)16g g g =-，再代入求解.【详解】解：（1）g （2）=g （21）=1，g （32）=g （25）=5；故答案为1，32；（2）①g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），∵g （7）=2.807，g （2）=1，∴g （14）=3.807；7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g （4）=g （22）=2， ∴74g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=g （7）-g （4）=2.807-2=0.807； 故答案为3.807，0.807；②∵()3g p =.∴22(18)(23)(2)(3)12g g g g p =⨯=+=+； 3()(3)(16)416g g g p =-=-. 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．23．（1）1114545=-⨯；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）2551． 【解析】试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：1114545=-⨯； （2）根据以上规律直接写出即可；（3）各项提出12之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：1114545=-⨯； （2）答案为：()11111n n n n =-++； （3）111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯ =12×（111122334++⨯⨯⨯+…+15051⨯） =12×5051=2551. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.24．（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【分析】（1）根据题意规定直接计算.（2）将已知条件代入等式中，倒推未知数.（3）根据定义，分别讨论当a 为不同值时，p 的取值即可解答.【详解】解：（1）5﹣2＝125；（﹣2）﹣2＝14； （2）如果2﹣p ＝18，那么p ＝3；如果a ﹣2＝116，那么a ＝±4； （3）由于a 、p 为整数，所以当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2．故答案为（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【点睛】 本题考查新定义，能够理解a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数这个规定定义是解题关键.25．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（1）2，3 （2）①5722x ≤<②330,,42（3）00.5a ≤< 【分析】（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．【详解】（1） 1.87<>=2；=3；（2）①∵12x <->= ∴1121222x --<+≤解得5722x ≤<； ②∵43x x <>=∴41413232x x x -<+≤ 解得3322x -<≤ ∵43x 为整数 ∴333,0,,442x =- 故所有非负实数x 的值有330,,42； （3）21122a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-22x a =-<>∵方程的解为正整数∴21a -<>=或2①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<．【点睛】本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．。

第三章：实数
知识点：平方根、立方根、实数及其运算
1、平方根：
·如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或者a的二次方根（平方=二次方）。

a 叫做被开方根
·正数的平方根：正平方根（算术平方根）、负平方根，且正负平方根互为相反数
·负数的平方根：负数没有平方根（平方根*平方根=一个正数）
·0的平方根是0（算术平方根）
·求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方是平方运算的逆运算
2、实数：
·有理数和无理数统称为实数
·无理数：无限不循环小数称为无理数（根号二、根号三、π），无理数也可分为正无理数和负无理数
·有理数：如果把整数看做小数部分为0的有限小数，那么有理数便是有限小数（不循环）和无限循环小数的统称。

有理数可分为正有理数、负有理数、0
·在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大
3、立方根：
·如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，或者a的三次方根（立方=三次方）
·正数的立方根：正的立方根
·负数的立方根：负的立方根
·0的立方根是0
·求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方是立方运算的逆运算
4、实数的运算：
实数运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算。

浙教版七年级上数学第三章实数复习教案一、教学内容二、教学目标1. 理解实数的概念，掌握实数的性质和运算规律。

2. 能够将实数与数轴相结合，进行数轴上的运算和比较大小。

3. 学会运用实数解决实际问题，提高数学应用能力。

三、教学难点与重点重点：实数的概念、性质、运算规律以及实数与数轴的结合。

难点：实数在实际问题中的应用，以及解决实数运算中的混合运算问题。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、实数教学挂图、数轴模型。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮、直尺。

五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入实数复习，例如气温变化、股票涨跌等。

3. 实数运算讲解：通过例题讲解实数的加减乘除运算，强调运算规律，如符号、绝对值等。

4. 数轴与实数的结合：展示数轴模型，让学生在数轴上表示不同的实数，并进行大小比较和运算。

5. 随堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生巩固实数的概念、性质和运算。

6. 实数在实际问题中的应用：给出一些实际问题，让学生运用实数知识解决问题，提高应用能力。

六、板书设计1. 实数的概念与性质2. 实数的运算规律3. 实数与数轴的结合4. 例题及解答5. 随堂练习题七、作业设计1. 作业题目：（1）计算题：2.5 + (3.2)，4.8 × (5)，9 ÷ 1.8 等；（2）应用题：小明从家出发，以每分钟80米的速度跑步，5分钟后到达公园，公园到学校的距离是1200米，小明还需要多少时间才能到达学校？2. 答案：略八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对实数的概念、性质、运算掌握情况，以及对实数在实际问题中的应用能力。

2. 拓展延伸：引入无理数的概念，引导学生了解无理数与有理数的区别，为后续学习打下基础。

同时，可以让学生探讨实数在生活中的应用，激发学习兴趣。

重点和难点解析1. 实数在实际问题中的应用2. 实数的概念与性质的教学3. 实数的运算规律，特别是混合运算问题4. 数轴与实数的结合5. 作业设计中的题目类型和难度一、实数在实际问题中的应用小明购买水果，苹果每千克3.5元，香蕉每千克2.8元，若小明购买苹果2千克，香蕉1千克，请计算小明应支付的总金额。

七年级数学实数实数是包括有理数和无理数的数的集合。

其中有理数是可以表示为两个整数的比的数，无理数则不能表示为有理数的比。

平方根是一个数的平方等于给定正数的运算，算术平方根是一组数的平均值。

立方根是一个数的立方等于给定正数的运算。

问题1：1) 这个数是 (3x-2)(5x+6)。

2) a=6.3) 不存在算术平方根。

1) a=b=1.2) k的取值范围为{4/3}。

3) 2.实数的定义是包括有理数和无理数的数的集合。

在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方。

有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同。

问题3：1) 无理数是 {3}。

2) b≥0.每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系。

问题4：点A和点B在数轴上分别距离原点6个单位和2个单位长度，那么点A和点B之间的距离是多少？已知数a在数轴上的对应点为A，求a-a+1的值。

4.实数的分类实数可以分为正有理数、负有理数、零、正无理数、负无理数。

其中，正有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，而正无理数则是无限不循环小数。

负有理数和负无理数的定义与正数相似。

5.实数的大小比较正实数大于负实数，而两个正实数或两个负实数的大小关系取决于它们的绝对值大小。

在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数。

比较大小：1) 325 < 3262) -7.-53) 17+1的值在3和4之间。

6.实数的运算计算：1) 42-22/73) (2-3)/(/911)4) 1-5-2-3+3-1×0.36+900-(1+(-2.25))例1：若a为实数，则-a^2和-(a+1)^2一定是负数。

例2：设C点所表示的数为x，则x=3.练1：正确答案为A。

练2：1) C所表示的实数为2-5-2=-5.2) a的相反数是5-2=-3，a的倒数是1/a=-3/1.在数轴上表示a，它在原点的左侧，且到原点的距离是2+5=7.3) 点C所表示的实数是1.4) ab的值为-1.例3：正确说法的个数为3个。

七年级上册数学实数的知识点在七年级上学期的数学课程中，实数是一个重要的知识点。

实数包括有理数和无理数，它们合在一起构成了实数集，是数学中的基本概念之一。

下面我们来详细了解实数的概念、性质以及应用。

一、实数的概念与分类实数包括有理数和无理数两种数，其中有理数可以用分数或整数来表示，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。

有理数包括正有理数、负有理数和零。

其中正有理数是指可以用正整数除以正整数得到的数，符号为“+”；负有理数是指可以用负整数除以正整数得到的数，符号为“-”；零是任何数除以自己得到的结果，符号为“0”。

无理数指不能写成有理数（分数）形式的实数。

例如，√2 、π、e 等均为无理数，它们不能表示为有限小数或分数。

二、实数的性质1. 实数集是一个完全有序的集合，即不论任何两个实数大小的关系如何，都必然可以判断出它们的大小关系。

2. 实数集满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律。

3. 实数集中存在一个数 0 ，使 0 + a = a + 0 = a ，其中 a 为任意实数。

4. 实数集中每个数都有一个相反数，即对于任意实数 a ，都存在一个数 -a ，使得 a + ( -a ) = 0 。

5. 实数集中每个非零数都有一个倒数，即对于任意非零实数a ，都存在一个数 1/a 使得 a × (1/a) = 1 。

三、实数的应用实数的应用极为广泛，下面仅选取了数学中常见的一些应用进行介绍。

1. 直线和曲线的方程在解直线和曲线的方程时，实数是解题的基础。

例如，在求一条直线的斜率时，需要用到两个实数之间的除法运算，而这个运算必须用到实数，因为它是不满足分式的整数和真分数的性质的。

2. 负数的应用在实际生活中，经常会遇到一些与负数相关的问题，例如负债、温度计的读数等。

在这些情况下，需要用到负数的概念。

通过掌握实数的概念，可以更好地理解这些问题，并解决它们。

3. 高中数学的基础实数是高中数学的基础，如学习三角函数、导数、积分等内容都需要掌握实数的相关知识。

中考链接：实数考点扫描1．了解无理数和实数的意义．2．了解有理数的运算律在实数范围内仍适用．知识要点1．整数和分数统称有理数，任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式．反之，任何有限小数或无限循环小数都是有理数．2．无限不循环小数叫做无理数．初中遇到的无理数有三类：①开不尽方，如：2、5等；②特定结构的数，如：1.010010001…；③特定意义的数，如：π、sin45°(以后要学)等，它们的本质特征是无限不循环小数．判断一个实数是有理数或无理数，不能只看表面，往往要经过整理化简后才能下结论．0)12(+=1是有理数，∴0)1(+不是无(+是无理数吗？因为0)122理数．3．有理数和无理数统称实数．实数有以下两种分类方法：①按属性分类：②按符号分类4．关于有理数的运算法则，运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍成立．在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零总可以进行开方运算，负数只能开奇次方．应当注意，负数不能开偶次方．5．实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如2、3等．6．考查本节内容的题型较多，多以填空和选择题的形式出现，还有判断、比较大小、求绝对值等题型也比较常见．近年来，试题中出现了阅读理解、探索猜想等新题型，考察学生的创新能力及应用知识解决问题的能力．重点考查： ①相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、有理数、无理数等概念的掌握情况．②实数大小的比较、简单的实数运算等内容．③把一个数科学记数，正确把握近似数的精确度和有效数字之间的关系． ④利用数轴，靠直观判断给出实数的特点，进行根式的化简与计算． 中考典例1．(广东省) 计算：2200101(1)|2|2-⎛⎫-+⨯-- ⎪⎝⎭ 考点：实数的混合运算评析：该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算，其结果为1．易错点：忘记负整数指数(0指数)幂的意义，而使21124-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0)3(0=． 2．(北京西城区) 在3，2.3，5，π四个数中，无理数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点：无理数的意义评析：只要弄明白无理数的意义及类型就能准确选出答案B ，即5，π是无理数．3．(云南昆明)下列计算正确的是( )A ．(–2)3×(–3)2=65B ．x 6÷x 2=x 3C ．232)3(10=+--πD ．32321-=+考点：实数的混合运算评析：该题是运算法则的考查，可用排除法．A ：因为底数不同，指数不能相加；B ：指数不应相除而是应该相减，C ：(3–π)0=1，2121=- ，所以23211=+ 是正确的；D ：左边是一正数，而右边是负数，所以不相等；故选C ．说明：此类问题有一定的普遍性，在解答时，必须准确把握各种运算法则． 专题训练1．a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：a 0 b把a ,－a ,b ,－b 按照从小到大的顺序排列 ( )A －b ＜－a ＜a ＜bB －a ＜－b ＜a ＜bC －b ＜a ＜－a ＜bD －b ＜b ＜－a ＜a2．若a +b ＜0,ab ＜0,则 ( )A a ＞0,b ＞0B a ＜0,b ＜0C a ,b 两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值D a ,b 两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值3．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg,（25±0.2）kg, （25±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差( )A ．0.8kgB ．0.6kgC ．0.5kgD ．0.4kg4．规定a ﹡b =5a ＋2b －1，则(-4)﹡6的值为 ．5．如果有理数a ,b 满足∣ab －2∣+∣1－b ∣=0， 试求)2)(2(1)1)(1(11++++++b a b a ab +…+)2004)(2004(1++b a 的值． 6．在数1，2，3，…，50前添“＋”或“－”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少？请列出算式解答．7：在抗击“非典”时期，某中学老师为减轻学生们的负担，让同学们做了一个游戏，他说：“如果张华和李明分别代表不大于5的正整数m ，n ，且m n 是最简真分数，那么形如mn -的数一共有多少个不同的有理数？”附答案：1：C ． 2：D ． 3：B ． 4：－9． 5：20062005． 6： 1，（－1－51）+（－3－48）+…+（－23－28）+（2+49）+（4+47）+…+（24+27）+（-25+26）．7：9个不同的有理数．21-、31-、32-、41-、43-、51-、52-、53-、54-．。