安徽省马鞍山市含山中学2020-2021学年高一上学期第一次教学质量检测数学试题

故这组数据的第 85 百分位数为第 11 个数，即 671，
故选：C
4．C
【分析】根据题意将信噪比 S 分别为 1000，12000 代入香农公式，列出等式，利用换底公 N
式即可求出 C2
C1
，即可求解.
【详解】因为当信噪比
S N
比较大时，公式中真数里面的
1
可以忽略不计，
所以当
S N
1000 时 C1
【详解】抛物线 E1 : y2 4x 的焦点 F 的坐标为 1, 0 ， 由已知可设直线 AB 的方程为 y k x 1 ， k 0 ，
因为直线
AB
与抛物线
E2
相切，所以
y2 4x
y
kx
k
只有一组解，
所以方程 k 2x2 2k 2 4 x k 2 0 有且只有一个根，
故 2k 2 4 2 4k 4 16 16k 2 0 ，又 k 0 ，
S N
比较大时，公式中真
数里面的 1 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比 S 从 1000 提 N
升至 12000，则 C 大约增加了（参考数据： lg 2 0.3010 ， lg 3 0.4771， lg 5 0.6990 ）
（）
A．25%
B．30%
C．36%
D．45%
.变异系数没有量纲，这
样就可以进行客观比较了.从表格中的数据明显可以看出甲品种的体高水平高于乙品种，
试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大小.（参考数据： 25.2 5.02，
6.8 2.61）
21．平面直角坐标系 Oxy 中， P x0, y0
x0 a
是双曲线 C

2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡 “条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

（A ）A B⊆（B ）AB =∅（C ）B A ⊆（D ）A B R=【答案】A【命题意图】本题考查集合基本运算，难度：简单题．2．已知复数z 满足(1)2i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ▲ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】D【命题意图】本题考查复数基本概念与运算，难度：简单题． 3．已知平面向量(2,1)a =，(,2)b m =-，且a b ⊥，则a b -=（ ▲ ）（A （B ）5（C （D ）10【答案】C【命题意图】本题考查平面向量基本运算，难度：简单题．4．设sin 2cos αα=，(0,)2πα∈，则tan 2α的值是（ ▲ ）（A ）3（B ）3-（C ）33（D ）33-【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换，难度：简单题．5．已知圆22:()1C x a y -+=与抛物线24y x =-的准线相切，则a 的值是（▲ ）（A ）0（B ）2（C ）0或1（D ）0或2【答案】D【命题意图】本题考查抛物线，圆的基础知识，难度：简单题．6．执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为（ ▲ ）（A ）7i >（B ）7i ≥（C ）9i >（D ）9i ≥【答案】B【命题意图】考查算法框图. 难度：简单题．7．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（ ▲ ）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （A ）2020年（B ）2021年（C ）2022年（D ）2023年【答案】B【命题意图】本题考查函数模型应用题，指数对数运算，难度：中等题．8．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,||2πϕ<）的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象对应的函数解析式为（ ▲ ）（A ）cos 2y x =-（B ）cos 2y x=（C ）5sin(2)6y x π=+（D ）sin(2)6y x π=-【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，难度：中等题．9．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是（ ▲ ）（A ）43π（B ）4π（C ）163π（D ）16π【答案】C【命题意图】本题考查空间几何体的基本计算，难度：中等题．第6题图第8题图10．函数1()ln ||1xf x x+=-的大致图象是（ ▲ ） （A（B（D11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视（A ）（B ）（D ）【答案】B 【命题意图】本题考查三视图，难度：中等题．12．若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同四面体(1,2,3,4)k k k k A B C D k =，记k k k A B C △的三个内角分别为k k k A B C ，，，其中一定不是“完美四面体”的为（ ▲ ） （A ）111::3:5:7A B C =（B ）222sin :sin :sin 3:5:7A B C =（C ）333cos :cos :cos 3:5:7A B C =（D ）444tan :tan :tan 3:5:7A B C =【答案】B【命题意图】本题考查空间几何体以及解三角形的相关知识，难度：较难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余1n -个小矩形面积和的13，则该组的频数为 ▲ ．【答案】50【命题意图】本题考查统计的基础知识，难度：简单题．14．若二项式nx ⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为 ▲．【答案】15第11题图【命题意图】本题考查二项式定理，难度：简单题．15．若直线1y kx =-上存在点(,)x y 满足约束条件210,280,320,x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则实数k 的取值范围是 ▲ ．【答案】3[,2]4【命题意图】本题考查线性规划的基础知识，难度：中等题．16．已知双曲线22:145x y C -=的焦点为12F F ，，P 为双曲线C 上一点且12F PF △的内切圆半径为1，则2F PF △的面积为▲．【解析】如图，不难证明12F PF △的内切圆与x 轴相切于实轴端点2A ，注意到||||1IA A F ==，故45IF A ∠=，即PF x ⊥轴， 已知数列{}n a 的首项11a =，且()11n n n a a a ++⋅=，*n N ∈. （1）求证：数列1{}na 是等差数列；（2）设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本题考查数列的基础知识与基本运算，难度：简单题．【解析】（1）11111111111n n n n n n n n na a a a a a a a a ++++=⇒==+⇒-=+， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a =为首项，以1为公差的等差数列；（6分）（2）由（1）可知，1nn a =，1n a n =，11⎛=+++⋅⋅⋅+=⎝. （12分）18．（12分）某种产品的质量以其“无故障使用时间t（单位：小时）”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品.从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：率.（1）从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；（2）若该企业生产的这种产品每件销售利润y（单位：元）与其无故障使用时间t的关系式为0,0110,1320,3ty tt<≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩从该企业任取两件这种产品，其利润记为X（单位：元），求X的分布列与数学期望.【命题意图】本题考查概率的计算，随机变量的分布列与期望．难度：中等题．【解析】（1）由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是0.4，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质品的概率为210.60.64-=；（5分）（2）由题意知，X的分布列为所以X的数学期望()00.04100.16200.32300.32400.1624E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.（12分）19．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，F 为棱AC 上靠近A 的三等分点，点E 在棱1BB 上且BF ∥面1A CE ．（1）求BE 的长；（2）求二面角11A CE B --的余弦值．【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系，空间想象能力，空间角的计算问题．难度：中等题． 【解析】【方法一】（1）如图，作1FG CC ∥与1AC 交于点G ，∵1BE CC ∥，∴BE FG ∥，面BEGF 面1ACE EG =， ∵BF ∥面1ACE ，∴BF EG ∥， 于是在BEGF 中，1223BE FG AA ===． （6分） （2）取11B C 的中点H ，∵111ABC A B C -是正三棱柱，∴111A H B C ⊥，1A H ⊥面11BB C C ，连结HE ， 由（Ⅰ）知145CEB HEB ∠=∠=，∴HE CE ⊥，又1A H ⊥面11BB C C ，∴1A H CE ⊥，从而CE ⊥面1A EH ， 于是二面角1A CE B --的平面角为∠由题，1A H =，HE =1A E ==，故二面角11A CE B --的余弦值为11cos EH A EH A E ∠==（12分） 【方法二】取11B C 的中点H ，∵111ABC A B C -∴111A H B C ⊥，1A H ⊥面11BB C C ， 取BC 的中点I ，则11IH B C ⊥，如图，以点H 为坐标原点，11,,HI HB HA 分别为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系H xyz -，则：1A ，(3,1,0)B ，(3,1,0)C -，1(3,,33F -．（1）设(,1,0)(03)E a a ≤≤，面1ACE 的法向量(,,)n x y z =， 则11(,,)(3,1,30(,,)(,1,0n AC x y z x y n A E x y z a ax y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，不妨设1x =，则3(1,2a n -=，又BF ∥面1ACE ，∴342(3)3(1,(0,,023333a a an BF --+⋅=⋅-=+=， 解得1a =，故2BE =．1A 1B 1C A BCFE1A 1B 1C A BCFGH（2）由（1）知面1ACE 的法向量2(1,1,n =，又面1B CE 的法向量(0,0,1)m =，所以二面角11A CE B --的余弦值为||10|cos ,|5||||n m n m n m ⋅<>==⋅． （12分） 20．（12分）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>经过点(1，，过原点O 作两条直线1l ，2l ，直线1l 交椭圆于A C 、，直线2l 交椭圆于B D 、，且222224AB BC CD DA +++=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线1l ，2l 的斜率分别为12k k ,，求证：12||k k ⋅为定值．【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系，运算求解能力的培养．难度：中等题．【解析】（1）由题意知，11222=+b a 且22=a c， 解得2,422==b a ，椭圆的方程为22142y x =+；（5分）（2）由对称性可知，四边形ABCD 是平行四边形，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y --,22(,)D x y --由12422=+y x ， 得2242y x =-()()()()()22222222221212121222AB BC CD DA AB DAx x y y x x y y +++=+=-+-++++⎡⎤⎣⎦()()222222221212121244424x x y y x x x x =+++=++-+-()22124824x x =--=所以22122x x +=，（10分）121212||y yk k x x ⋅===2==故12||k k ⋅为定值2.（12分）21．（12分）（1（2为自然对数的底数．【解析】（1）【法一】由()ln 20f 'x x ax =-=得ln 2xa x=，记ln ()2xx xϕ=，则21ln ()2x 'x x ϕ-=， 当0x e <<时，()0'x ϕ>；当x e >时，()0'x ϕ<， ∴()x ϕ在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，又1()2e eϕ=，0x →时()x ϕ→-∞，x →+∞时()0x ϕ→，由题，()f x 有两个极值点12,x x ，即方程ln 2xa x=有两解，即()x ϕ的图象与直线y a =有两个公共点，故1(0,)2a e∈． （6分）【法二】由题，方程()ln 20f 'x x ax =-=有两根12,x x ，即ln y x =与2y ax =图象有两个公共点，设过原点ln y x =的切线l 与其相切于点00(,ln )x x ，∵1(ln )x 'x =，∴切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,0)代入解得0x e =，即l 的方程为：1y x e=，结合图象可知102a<<，故1(0,)a ∈． （6分）xy e=2y ax =ln y x=Oxy（二）选考题：共10分。

2021年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．1．（5分）已知=1﹣ni，其中m，n∈R，i为虚数单位，则m+ni=（）A．2+i B．1+2i C．2﹣i D．1﹣2i【考点】：复数相等的充要条件．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：依据复数相等的条件进行化简即可．【解析】：解：∵=1﹣ni，∴m=（1﹣ni）（1+i）=1+n+（1﹣n）i，则1+n=m且1﹣n=0，即n=1，m=2，则m+ni=2+i，故选：A．【点评】：本题主要考查复数的计算，依据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．2．（5分）“p∨q是假命题”是“￢p为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：简易规律．【分析】：依据充分必要条件的定义进行推断即可．【解析】：解：由p∨q是假命题，得p是假命题且q是假命题，得￢p是真命题且￢q是真命题，故p∨q是假命题”是“￢p为真命题的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了充分必要条件，考查命题之间的关系，是一道基础题．3．（5分）已知集合A={x∈R|＞0}，B={x∈R|y=ln（x﹣1）}，则∁U A∩B=（）A．{x|x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x≤2}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：A={x∈R|＞0}={x|x＞2或x＜0}，B={x∈R|y=ln（x﹣1）}={x|x＞1}，则∁U A={x|0≤x≤2}，∁U A∩B={x|1＜x≤2}，故选：D．【点评】：本题主要考查集合及其运算，解不等式，对数函数的性质，属于简洁题．4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积是（）A．6B．4（+1）C．4D．8【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：首先依据题意，把平面图转化为空间图形，进一步利用侧面积的公式求出结果．【解析】：解：一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以：该四棱锥为为正四棱锥．其正（主）视图如图所示，则：下底面正方形的边长为2，四棱锥的高为2，四棱锥的侧面的高为：h=，则：四棱锥的侧面积：S=4×=4故选：C【点评】：本题考查的学问要点：三视图与立体图形之间的转换，棱锥的侧面积的应用．主要考查同学的空间想象力量和应用力量．5．（5分）设变量x，y 满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】：简洁线性规划．【专题】：计算题．【分析】：我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解析】：解：依据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．【点评】：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最终比较，即可得到目标函数的最优解．6．（5分）已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，执行如图所示的程序框图，则输出的x大于120的概率为（）A．B．C．D．【考点】：程序框图．【专题】：概率与统计；算法和程序框图．【分析】：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于120得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x大于120的概率．【解析】：解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过其次循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13＞120，得x＞3.9，由几何概型得到输出的x大于120的概率为：．故选：B．【点评】：解决程序框图中的循环结构时，一般接受先依据框图的流程写出前几次循环的结果，依据结果找规律，属于基础题．7．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n ，且﹣=3，则数列{a n}的公差为（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4【考点】：等差数列．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意可得首项和公差的方程，化简可得公差d．【解析】：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵﹣=3，∴﹣=3，化简可得2d ﹣d=3，解得d=2故选：B．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．8．（5分）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】：圆与圆的位置关系及其判定．【专题】：直线与圆．【分析】：依据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．【解析】：解：由已知，圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4的圆心为C1（a，﹣2），半径r1=2．圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心为C2（﹣b，﹣2），半径r2=1．∵圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得ab ≤=．故选：C．【点评】：本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等学问，属于中档题．9．（5分）已知函数f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，若f（x）≤a2﹣3a（x∈R）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】：函数恒成立问题．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：运用确定值不等式的性质可得f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|=4，当且仅当x≥1时，f （x）取得最大值4．再由不等式恒成立思想可得a2﹣3a≥4，再由二次不等式的解法即可求得．【解析】：解：函数f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|=4，当且仅当x≥1时，f（x）取得最大值4．若f（x）≤a2﹣3a（x∈R）恒成立，则a2﹣3a≥4，解得a≥4或a≤﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题，主要考查确定值不等式的性质求最值，留意不等式恒成立或有解问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．10．（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）+f′（x）tanx＜0成立，则下列结论肯定正确的是（）A．B．C．D．【考点】：利用导数争辩函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：把条件f（x）+f′（x）tanx＜0化简得出[sinxf（x）]′＜0，得出y=sinxf（x）是减函数，利用单调性推断即可．【解析】：解：f（x）+f′（x）tanx＜0，cosxf（x）+sinxf′（x）＜0，[sinxf（x）]′＜0，y=sinxf（x）是减函数，sin f （）＜sin f （），＜f （）．故选：B．【点评】：本题综合考查了导数的运用，结合单调性推断大小，关键是依据题意得出构造的函数，才能够利用导数解决，属于难题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11．（5分）在如图所示的茎叶图表示的数据中，设众数为a，中位数为b ，则的值为．【考点】：茎叶图．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：依据众数与平均数的概念，利用茎叶图中的数据，求出答案即可．【解析】：解：依据茎叶图中的数据，得；31消灭次数最多，是2次，∴众数为a=31；又茎叶图中的数据有11个，按从小到大的挨次排列后，中间的是26，∴中位数为b=26；∴=．故答案为：．【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目．12．（5分）设为向量，若与的夹角为，与的夹角为，则=．【考点】：平面对量数量积的运算．【专题】：平面对量及应用．【分析】：画出图形，结合图形，应用正弦定理，简洁解出答案．【解析】：解：设=，=，∵与的夹角为，与的夹角为，∴∠CAB=，∠ACB=．由正弦定理，得，即，∴==，故答案为：．【点评】：本题考查了平面对量的基本运算问题，解题时应用数形结合，利用正弦定理解答，属于中档题．13．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=sin（2x﹣）．【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：依据三角函数的图象求出函数f（x）的解析式即可得到结论．【解析】：解：由图象知A=1，，即函数的周期T=π，∵T=，∴ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），∵f （）=sin（2×+φ）=1，∴+φ=+2kπ，即φ=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，即f（x）=sin（2x+），将y=f（x ）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x ﹣）+]=sin（2x ﹣），故答案为：sin（2x ﹣）【点评】：本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象的变换关系，依据三角函数的图象求出函数的解析式是解决本题的关键．14．（5分）若抛物线x2=12y 与双曲线有相同的焦点，则双曲线的离心率为．【考点】：抛物线的简洁性质；双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系，即可得出结论．【解析】：解：抛物线x2=12y的焦点坐标为（0，3），∵抛物线x2=12y与双曲线有相同的焦点，∴5﹣k=9，∴k=﹣4，双曲线中a=，b=2，c=3，离心率e==．故答案为：．【点评】：本题考查双曲线的抛物线的性质，简洁题，留意三参数的关系：c 2=a2+b2．15．（5分）在平面直角坐标系内，设M（x1，y1），N（x2，y2）为不同的两点，直线l的方程为ax+by+c=0，．给出下列5个命题：①存在实数λ，使点N在直线l上；②若λ=1，则过M，N两点的直线与直线l平行；③若λ=﹣1，则直线l经过线段MN的中点；④若λ＞1，则点M，N在直线l的同侧；⑤若0＜λ＜1，则点M，N在直线l的异侧．其中正确的命题是②③④（写出全部正确命题的序号）．【考点】：命题的真假推断与应用．【专题】：直线与圆；简易规律．【分析】：①．由可得：（ax2+by2+c≠0），即可推断出点N（x2，y2）与直线l的关系．②．λ=1，则a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）=0，即过过M，N两点的直线与直线l的斜率的关系，又点N（x2，y2）不在直线l上，即可推断出两条直线位置关系；③．λ=﹣1，ax1+by1+c+（ax2+by2+c）=0，化为++c=0，即可推断出正误；④．由（ax1+by1+c）（λ（ax2+by2+c）＞0，即可推断出点M，N与直线l的位置关系；⑤．同④可知：点M，N在直线l的同侧．【解析】：解：对于①，化为：ax1+by1+c﹣λ（ax2+by2+c）=0（ax2+by2+c≠0），即点N（x2，y2）不在直线l上，因此①不正确．对于②，λ=1，则a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）=0，即过过M，N两点的直线与直线l的斜率相等，又点N（x2，y2）不在直线l上，因此两条直线平行，正确；对于③，λ=﹣1，则ax1+by1+c+（ax2+by2+c）=0，化为++c=0，因此直线l经过线段MN的中点，正确；对于④，λ＞1，则（ax1+by1+c）（λ（ax2+by2+c）＞0，则点M，N在直线l的同侧，正确；对于⑤，若0＜λ＜1，同④可知：点M，N在直线l的同侧，因此不正确．综上可知：只有②③④正确．故答案为：②③④．【点评】：本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理力量与计算力量，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin （+B）•sin （﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】：三角函数的求值；解三角形．【分析】：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角B的值；（Ⅱ）利用余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，把数据代入利用不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值．【解析】：解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（）（），即sinB=cos2B﹣sin2B，由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB=或sinB=﹣1…（5分）由于△ABC是锐角三角形，所以B=…（7分）（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，把b=1，B=代入可以得到：≥，所以=2…（10分）所以≤…（13分）当且仅当a=c时取等号，此时△ABC 的面积的最大值是…（14分）【点评】：本题考查两角和与差的正弦公式，余弦定理，平方关系等，以及利用不等式求三角形面积的最大值，这是常考的题型．17．（12分）已知某中学高三同学共有800人参与了数学与英语水平测试，现学校打算利用随机数表法从中抽取100人的成果进行统计，先将800人按001，002，…，800进行编号．（Ⅰ）假如从第8行第7列的数开头向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面是随机数表的第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2683 92 53 16 59 16 92 75 38 62 98 21 50 71 75 12 86 73 63 0158 07 44 39 13 26 33 21 13 42 78 64 16 07 82 52 07 44 38 15 （Ⅱ）抽取100人，数学与英语水平测试成果分为优秀、良好、及格三个等级，相应人数如表所示（例如表中a表示数学优秀且英语及格的人数）．①若在该样本中，数学成果优秀率为30%，求a，b的值；②当a≥10，b≥8时，在全部有序数对（a，b）中，求大事a＜b的概率．【考点】：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）直接利用系统抽样推出结果即可．（Ⅱ）①通过优秀率求出a，然后求解b．②通过a+b=31，且a≥10，b≥8，列出满足条件的（a，b）的基本大事总数，数学成果为优秀的人数比及格的人数个数，然后求解数学成果为优秀的人数比及格的人数少的概率．【解析】：解（Ⅰ）依题意，最先检测的3个人的编号依次为165，538，629；…3分（Ⅱ）①由，得，a=14∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100∴b=17；…6分②由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组消灭的可能性相同，其中数学成果为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组．…10分∴数学成果为优秀的人数比及格的人数少的概率为．…12分【点评】：本题考查：抽样方法、统计计算及概率计算．是中等题．18．（12分）如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=，四棱锥B﹣ACED 的体积为，F为BC的中点．求：（Ⅰ）CE的长度；（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCE．【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】：综合题；空间位置关系与距离．【分析】：（I）证明AB⊥平面ACED，可得AB为四棱锥B﹣ACED的高，利用四棱锥B﹣ACED 的体积为，即可求出CE的长度；（Ⅱ）作BE的中点G，连接GF，GD，由三角形中位线定理，及平行四边形判定定理可得四边形GFAD为平行四边形，进而AF∥GD，再由线面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；（Ⅱ）由AB=AC，F为BC的中点可得AF⊥BC，结合GF⊥AF及线面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE 进而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE．【解析】：（Ⅲ）解：四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED．∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC．∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，…2分即AB为四棱锥B﹣ACED的高，∵，∴CE=2．…4分（Ⅱ）证明：取BE的中点G，连接GF，GD，则GF为三角形BCE的中位线，∴GF∥EC∥DA ，，∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD．又GD⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE．…8分（Ⅲ）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．又∵GF⊥AF，BC∩GF=F，∴AF⊥平面BCE．∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE．又GD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．…12分【点评】：本题考查的学问点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定．是中等题．19．（13分）已知点P（﹣1，）是椭圆E ：+=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A、B是椭圆E 上两个动点，+=λ（0＜λ＜4，λ≠2）．求证：直线AB的斜率为定值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）由已知得c=1，2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆E的方程．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），利用点差法能证明AB 的斜率为定值．【解析】：（1）∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），∴|PF2|==，|PF1|==，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，∴椭圆E 的方程为：=1．（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=λ，得（x1+1，y1﹣）+（x2+1，y2﹣）=λ（1，﹣），所以x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ），又3+4=12，3+4=12，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，①式代入得AB的斜率k==．∴直线AB 的斜率为定值．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率为定值的证明，解题时要认真审题，留意点差法的合理运用．20．（13分）已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n﹣1=n2﹣1（n≥2，n∈N+），数列{b n}满足：3n b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，且b1=3．（Ⅰ）分别求出a n，b n的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【考点】：数列递推式；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）在数列递推式中取n=n+1得另一递推式，和原递推式作差后可得a n=2n+1（n≥2），验证首项后得a n=2n+1（n∈N+），把{a n}的通项公式代入3n b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，整理即可求得：（n∈N+）；（Ⅱ）直接利用错位相减法求数列{b n}的前n项和为T n．【解析】：解：（Ⅰ）由，于是，，两式相减得，a n=2n+1（n≥2），又由已知可得a1=3，满足上式，∴a n=2n+1（n∈N+），由3n b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，得：3n b n+1=（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1=4n+3，∴，于是，当n≥2时，，又b1=3适合上式，（n∈N+）；（Ⅱ）由（1）知，，∴…①得…②①﹣②得=，综上，．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的通项公式和数列的前n项和，是中档题．21．（13分）已知函数f（x）=x3+2ax﹣（2a+3）x+a2，（a∈R）．（Ⅰ）当时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有微小值，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，恒有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数争辩函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）求出当时，f（x）的解析式和导数，求得在点（0，f（0））处的切线斜率和切点，由斜截式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）求出函数的导数，令导数为0，解方程可得极值点，再令，即可解得a的范围；（Ⅲ）由题意知，即使x∈[﹣1，1]时，（f（x））min＞0．对a争辩，结合函数的单调性，解不等式，最终求并集即可得到a的范围．【解析】：解：（Ⅰ）当时，，∴f′（x）=3x2+x﹣4，∴f′（0）=﹣4，又f（0）=，∴切线方程为；（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax﹣（2a+3）=（3x+2a+3）（x﹣1）令f′（x）=0，得x=1或，要使函数f（x）在区间（1，+∞）上有微小值点，必需有，解得a＜﹣3；（Ⅲ）由题意知，即使x∈[﹣1，1]时，（f（x））min＞0．争辩①当，即a≤﹣3时，f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，，得a＞﹣1或a＜﹣2，由此得：a≤﹣3；②当，即﹣3＜a＜0，f（x ）在为增函数，在上为减函数，所以（f（x））min=min{f（﹣1），f（1）}，得解得a＞2或a＜﹣2，由此得﹣3＜a＜﹣2；③当，即a≥0，f（x）在x∈[﹣1，1]上为减函数，所以得a＞2或a＜﹣1，由此得a＞2；由①②③得实数a的取值范围为a＞2或a＜﹣2．【点评】：本题考查导数的运用：求切线方程和函数的极值，同时考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．。

2020-2021学年高一数学上学期第一次月考质检试题命题人： 审核人：____________注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号、试室号、考生号分别填写在答题卡上，用2B 铅笔将考生号填涂在答题卡上。

2．第一部分单项选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．第二部分必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答卷前必须先填好答题纸的密封线内各项内容。

答案必须写在答题纸上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为() A.5 B.4 C.3 D.22.已知集合 P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝( )A.[0，1)B.(1，2)C.(0，2]D.[1，2]3.设全集 U ＝R ，M ＝{x |x <－2或 x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x |－2≤x <1}B.{x |－2≤x ≤2}C.{x |x <2}D.{x |1<x ≤2}4.下列各组函数是同一函数的是（ ） ①32)(x x f -=与x x x g 2)(-=； ②x x f =)(与2)(x x g =；③0)(x x f =与01)(xx g =；④12)(2--=x x x f 与12)(2--=t t t g 。

A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④5.设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-，则()1f = （ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36.已知集合{}2,1-=A ，{}20B x ax =-=，若A B A = ，则实数a = （ ）A. 1或2B.0或－1或2C.0或1或2D.无解 7.9.04=a 、48.08=b 、5,121-⎪⎭⎫⎝⎛=c 的大小关系是 （ ）（A ）c ＞a ＞b （B ）b ＞a ＞c （C ）a ＞b ＞c（D ）a ＞c ＞b8.函数()⎩⎨⎧≥<-+-=0,0,33x a x a x x f x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）（A ）（0，1）（B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32（D ）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-32,9.已知函数2211()3,f x x xx+=++则(3)f =（ ） .A .8 .B 9 .C 10.D 1110.函数的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．D ．[1，＋∞)11.设定义在R 上的奇函数f (x)满足，对任意12,x x ∈（0,＋∞),且12x x ≠都有0)()(1212<--x x x f x f ,且f (2)＝0，则不等式≥--xx f x f )(2)(30的解集为 （）A ．[－2,0)∪(0,2]B ．[－2,0]∪(0,2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(0,2]12.已知f (x)=⎩⎨⎧<+≥+-0,20,2222x x x x ,若f (2m-1)> f (3+m),则m 的取值范围是 （）A ．)4,(-∞B ．)21,3(- C ．)4,3[- D ．),4(+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．） 13.已知函数f （x ）=12-x ，则g （x ）=f （2x-1）+21-x 的定义域为___________________.14.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1,1,3)(312x x x x x x f 则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_____________.15.已知函数()352-+-=ax ax x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是_____________. 16.已知函数f (x )＝2x2－4kx－5在区三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18至22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.(本小题10分)5.0)972(＋21.0-＋2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－3π0＋5.09-＋45.0249-⨯.18.(本小题12分)已知全集R U =，集合2{|230}A x x x =+->，{|40}B x x =-≤≤，（1）求A B ⋂； （2）求()R C A B ⋃,)()(B C A C R R ⋂19.(本小题12分)已知集合，B={x|x<a }，.（1）如果A ∩B ≠φ，求a 的取值范围；（2）若A ∩C=A ，求实数的取值范围.20.(本小题12分)已知函数()24(0)2(0)12(0)x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩，（1）画出函数()f x 图像； （2）求()()()21(),3f a a R ff +∈的值；（3）当43x -≤<时，求()f x 的单调区间和值域.21.（本小题12分）已知函数21)(x n mx x f ++=是定义在()11，-上的奇函数,且52)21(=f (1)求实数m,n 的值;(2)用定义证明()f x 在()11，-上是增函数; (3)解关于t 的不等式0)()1(<+-t f t f .22.(本小题12分)已知一次函数()f x 是R 上的减函数，()()()g x f x x m =+, 且 f [ f (x)]=16x-3. （1）求()f x ；（2）若()g x 在(-2,3)单调递增，求实数m 的取值范围； （3）当),1[+∞∈x 时，()g x 有最大值1，求实数m 的值．xx 第一学期阶段1考试 高一级数学科答案1.D2.B3.D4.C5.A6.B7.D8.B9.C10.C11.A12.A),2()2,43.[13+∞⋃14.]0,12(-15.(]8，∞- 16.(－1，2)17.解：原式＝12112232225271100334996416⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++-++⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝53＋100＋916－3＋13＋716＝100. 18.解：（1）由2{|230}A x x x =+->得到，{}31-<>=x x x A 或，………………….……2分 ∵{|40}B x x =-≤≤，∴{}34-<≤-=⋂x x B A 。