昆明理工 高等数学 下 试题 及 答案.

昆明理工大学2001级高等数学［下］期末试卷、填空（每小题 4分，共24 分）2 21 •函数z ln （1 x y ）的定义域是 __________________________ ，函数在 _________________是间断的•2 2 2 2 2 2 24. 设:x y z a ，则曲面积分 ^（x y z ）dS= _______________________________________ .5.设 D : 1 x 1,0 y 2,则二重积分 x yd = .D6. 如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之为 ___________ 解.二、 解答下列各题（每小题 6分，共18分）2 b 21. 求函数z e ax by （ a,b 为常数）的全微分•2. 求曲面x 2 2y z 2 0在点（1,1, J3）处的切平面方程和法线方程.3. 求微分方程（1 e x ）yy e x 的通解.三、 解答下列各题（每小题 6分，共18分）1. 设z xy xF （u ）,而u —, F （u ）为可导函数，试计算 x —z y —.xx y2.计算三重积分 zdxdydz,.其中 是由曲面z 、2 x 2 y 2及z x 2 y 2所围成的闭区域• 3 .计算曲面积分xyzdydz ，其中 是柱面 x 2 y 2 a 2（x 0）介于平面 y 0及y h （h 0）之间部分的前侧。

22.设函数z sin(xz昆明理工大学2001级高等数学［下］期末试卷四、（12分）求微分方程y 3y' 2y cosx的通解•五、（12分）求曲线积分? ydx （x2 l d y,其中:■L（x 1） yl（8分）L为圆周x2 y2 2y 0的正向•22（2） （4分）L 为椭圆4x 2 y 2 8x 0的正向 六、（10分）求表面积为 36,而体积为最大的长方体的体积七、（7分）讨论函数f （x, y ）在（0, 0）处的连续性2 2x y昆明理工大学2002级高等数学(下)期末试卷•填空题(每小题4分，共40分)1 设函数z x3y y3x，则全微分dz _________________________2•设函数u f(x y,xy), f具有一阶连续偏导数，则— __________x1 2y3•二重积分I dy f (x, y)dx，改变积分次序后I = .0 01 J i X3J i X2 y2.—2 -------- 2 ------- 2一4.直角坐标系下的三次积分I i dx 斤^dy 0 f J x y z )dz化为球坐标系下的三次积分I = ____________2 2 2 25.若区域:x y z R，则三重积分_____ xyzdxdydz=6. _________________ 当 = 时，(x 2y)dx ( x y)dy为某二元函数u(x, y)的全微分.7•曲线积分I (x2 y2)dx，其中L是抛物线y x2上从点A(0,0)到B(2,4)的一段L弧，则I = __________ .&当为xoy面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为f (x,y,z)dS= --------------- .昆明理工大学2002级高等数学(下)期末试卷9.二阶常系数齐次线性微分方程y'' 2y' y 0的通解为y= ______________10.二阶常系数非齐次线性微分方程y'' 2y' y 2e x的特解形式为y*= _________________(10分)(u,v)具有连续偏导数，证明由方程(cx az, cy bz) 0 所确定的函数z f (x, y)满足a」b— c x y(10分)由锥面z . x2 y2及抛物面z x2 y2所围立体体积四.(10分)求螺旋线x a cos , y asin ,z b在(a,0,0)处的切线方程及法平面方程•五.(10分)利用高斯公式计算曲面积分I ^丄f (X)dydz — f (X)dzdx zdxdy,y y x y 其中f (u)具有二阶连续导数，为上半球面z a2 x2 y2与z 0所围成空间闭区域的整个边界曲面的外侧.六.(10分)设曲线积分l yf (x)dx [2 xf (x) x 2]dy在右半平面(x 0)内与路径无关，其中f (x)可导且f (1) 1，求f (x).七.(10分)二阶常系数非齐次线性微分方程y” 2y' 3y 3x，求其通解.昆明理工大学2003级高等数学［下］期末试卷.填空题(每小题4 分卜，共32分)21.设函数z tg(Z)，贝y — ___________________ ,—xx y22.曲线x ____________________________________________________ t2, y t3, z t3在M (1,1,1)处的切线方程为 ___________________________________________________________ .2 2y3.交换二次积分次序，°dy『f (x, y)dx2 24. _____________________________________________________________________ 设L为右半圆周：x y 1(x 0)，则曲线积分I L yds _____________________________________________ .x y z5 .设刀为平面1在第一卦限中的部分，则曲面积分2 3 4x y z昆明理工大学2003级高等数学［下］期末试卷(x i 4)dSd y dy&求微分方程2 9 20y 0的通解为dx dx二•解答下列各题(每小题7分，共35分)1.设e z xyz 0,求dz .2•讨论函数z (x 1)2 2y2是否有极值.3.求幕级数nx n 1在收敛区间(1,1)内的和函数n 1dy4.求微分方程dx ' 的特解.y( ) 15.求微分方程y y 1的通解.三.(11分)利用格林公式计算曲线积分I l e x(1 cos y)dx (e x sin y 2x)dy，其中L为从原点O(O,O)到A( ,0)的正弦曲线y sin x .四. (11分)利用高斯公式计算曲面积分I ° ydydz x2dzdx z3dxdy，其中是球面x2 y2 z2 a2的内侧.五.(11分)求由锥面z x2 y2及旋转抛物面z x2 y2所围成的立体的体积昆明理工大学2004级高等数学［下］期末试卷3.设区域D 由y x, x 2及y 丄所围，则化二重积分Ixf(x,y)d 为先x 后y 的D•填空题(每小题 4分，共32 分)y1 •设函数Z f( ), f 可微，则x2•曲线 x t 2, y t 3, z 2t 3在t= 1处的法平面方程为:昆明理工大学2004级高等数学［下］期末试卷3x &二阶常系数非齐次线性微分方程 4y” 12 y' 9y e 4的特解形式为y*=（不要求计算） 二.解答下列各题（每小题 7分，共28分）1.求函数z=F （y,x ） 0，其中F 具有一阶连续偏导数，求 dz . z z2.讨论z 4(x y) x 2y 2的极值.1 的通解.sin 2y四.（10分）求由球面x 2 y 2 （z a ）2 a 2及z 2x 2 y 2所围成的立体的体积.3.将函数f （x ） ——3 2展开成x 的幕级数，并求展开式成立的区间4 x x.（10分）设 L 为x 2 2 2/ y a (a 0）沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分 I xy 2dyL x 2ydx . 五.（10分） 利用高斯公式计算曲面积分 4xzdydz y 2dzdx 2 yzdxdy ，其中 是 球面x 2 2 2 y z 1外侧的上半部分六、（10分） 求f （x ），使曲线积分| L [ y(2 xy) f(x)y]dx [x 2y f (x)]dy 与路径无关，其中 f （x ）具有二阶连续导数，且f (0) 0, f (0) 1 . 二次积分后的结果为4•设L 为圆弧：x * 2 y 22, y 0,则曲线积分I L (x 2 y 2)ds 5.设：Zz 1），则曲面积分I 2ds =4.求微分方程dxxcos y。

昆明理工大学2007级《高等数学》A （2）试卷(A 卷) (2008年6月20日)题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分阅卷人大 一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设2(,,),sin ,.u f x y z y x z x ===且f 具有一阶连续偏导数， 则dudx= . （2）设2sin 2x y z e =，则全微分dz = . (3)曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 . （4）交换二次积分次序，则211(,)xdx f x y dy =⎰⎰ .（5）计算二重积分值4Dxyd σ=⎰⎰ 其中D :01,0 1.x y ≤≤≤≤( 6）曲线L 为球面2222x y z a ++=与平面x y =相交的圆周，其中0.a >则曲线积分⎰=+Lds z y 222 .（7）设曲面∑是在柱面222a y x =+(0)a >上介于;z h z h =-=(0)h >的那一部分，则曲面积分I dS ∑==⎰⎰ .（8）当a = 时,曲线积分3222(cos )(12sin 3)Laxy y x dx y x x y dy-+-+⎰与路径无关. (9)微分方程2(x dyy be b dx-+=为常数）的通解为 . (10)微分方程2290d yy dx+=的通解为 .二、(8分)已知三个正数,,x y z 之和为12.求32u x y z =的最大值.三、 （8分）计算二重积分sin Dxdxdy x⎰⎰的值.其中D 是由直线y x =及曲线2y x =所围成的闭区域.四、(10分)求旋转抛物面222z x y=--与锥面22z x y=+所围立体的体积.五、(8分)求⎰++++-L dyxydxyx)635()42(，其中L为顶点坐标分别是(0,0),(3,0),(3,2)的三角形的正向边界.六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：323232 ()()(),I x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑=+++++⎰⎰其中∑是曲面222y x a z --=的上侧(0).a >.七、(10分)求二阶常系数非齐次线性微分方程 44ax y y y e '''++=的通解（其中a 为常数）.八、（10分）设()f x 具有一阶连续导数，且()1,f π=又()[sin ()]()00yx f x dx f x dy x x-+=>是全微分方程，求()f x .九、（6分）已知(),z z u =且()(),xy u u p t dt ϕ=+⎰其中()z z u =可微，'()u ϕ连续，且'()1,()u p t ϕ≠连续，求()().z zp y p x x y∂∂+∂∂昆明理工大学2007级《高等数学》A （2）试卷(B 卷)大 一、填空题（每小题3分，共30分）（1）函数221)ln(yx x x y z --+-=的定义域为 .（2）设)32ln(y x z -=，则dz = . （3）设)ln ,(22y x y x f z -=，f 可导，则=∂∂xz. （4）椭球面632222=++z y x 在点)1,1,1(处的法线方程为 . （5）交换二次积分次序：=⎰⎰221),(xdy y x f dx .（6）若L 为平面上的单位圆，则=⎰L ds . （7）若∑是空间中简单闭曲面的外侧，则曲面积分=+-⎰⎰∑dxdy ydzdx xdydz 2 .（8）微分方程0=+xdy ydx 的通解为 . (9)微分方程136=+'-''y y y 的通解为 .(10)微分方程x e y y y 2344=+'-''的非齐次特解形式应设为=*y .二、(8分)已知三个正的真分数,,x y z 之和为1，求32u x y z =的最大值.三、（8分）计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ)(22，其中D 是由上半圆22x x y -=与x 轴所围成的闭区域.四、(10分)求由四个平面0=x ，1=x ，0=y ，1=y 所围方柱体被两平面0=z 和2=++z y x 所截部分的立体体积.五、(8分)求⎰-+-Ldy x dx y x )1()(2，其中L 为上半单位圆21x y -=从点)0,1(A 到点)0,1(-B 的一段.六 、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面222y x a z --=的上侧(0).a >七、(10分)求微分方程0)(=-+xdy dx y x 的满足初始条件1)1(=y 的解.八、设)(x y y =二阶可导，且⎰⎰-+=xx xdt t y x dt t ty e x y 0)()()(，求)(x y .（10分）九、（6分）))(,(2xy y x f z ϕ-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，)(u ϕ二阶可导，求yx z ∂∂∂2.昆明理工大学2008级《高等数学》A （2）A 卷期末试题解答及评分标准一、（每小题4分）1.21.1()x dx x-⎰2.110(,).dy f x y dx ⎰ 3.π.4. 2.5..(,,0)D R x y dxdy -⎰⎰6. 12S U -.7. (ln 3)!0nx n n ∞∑=.8. 收敛. 9. 23.x y y C += 10.()()[()].P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰二、1. 241()0V x x dx x π=-⎰ 3分 2.15π=5分 2. 22111221012()()||x x dx x y dy dx y x dy I y x dxdy D--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3分11.15=5分三、22cos 32000sin d d d Iππϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰ 5分8.5π= 7分 四、21()()L x y dx x y dy a I =+--⎰Ñ2分22Dd a σ-=⎰⎰ 5分 2.π=- 7分 五、122222()()x y ds x y ds I ∑∑=+++⎰⎰⎰⎰2222(()DDx y x y d σσ=+++⎰⎰⎰⎰ 4分2130(1d r dr πθ=⎰⎰ 6分(12π=分六、21 ().a I axdydz z a dxdy ∑=++⎰⎰ 1分补()2221:0z xy a ∑=+≤取下侧 3分1121 []()()a I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy ∑+∑∑-=++++⎰⎰⎰⎰21[(1)]D a dv a d a σΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰ 6分 (52)3a a π=+ 8分 七、1.122!2limlim lim 0,(1)!1(1)n n n n na n n n R a n n n ρ+→∞→∞→∞++====∴=+∞+++收敛区间),(+∞-∞； 4分 2.设01()!nn n S x x n ∞=+=∑， 则100001()!!!n n xx n n n n n x x S x dx x dx x n n n +∞∞∞===+===∑∑∑⎰⎰0()!nxxn x xe e n ∞===∑Q所以()()(1)xx S x xe e x '==+ 8分八、1. '()()(0)0f x f x f ==()x f x Ce ∴= 4分 .(0)00,()0f C f x =∴==又， 6分2．微分方程的特征方程022=-+r r其特征根为1,221=-=r r ，故对应齐次方程的通解为x x e C e C Y 221+=- 3分因为x e x f 22)(=，2=λ不是特征方程的根， 故原方程的特解设为：x Ae y 2*=，代入原方程得⇒=-+x x x x e Ae Ae Ae 2222222421222=⇒=A e Ae x x ，xe y 221*= 因此，原方程的通解为*y Y y +=x x x e e C e C 222121++=-昆明理工大学2008级《高等数学》A （2）期末试卷考试日期:2009.06.17 (B 卷)题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分阅卷人一．填空题（每小题4分，共40分）1.由直线0y x y ==，及2x =围成的图形的面积为A ,若以x 为积分变量,面积A可用定积分表示为A = .2.设(,)f x y 为连续函数，则交换二次积分次序后133(,)xdx f x y dy =⎰⎰ .3.设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，则22Lxydx x dy +=⎰Ñ . 4. 设∑为曲面0,2222≥=++z a z y x 的部分，则对面积的曲面积分222()I x y z dS ∑=++=⎰⎰ .5. 设∑为曲面,,0222a y x z ≤+=的上侧，则对坐标的曲面积分25x dydz dzdx dxdy ∑++=⎰⎰.6. 已知级数∑∞=1n n U 的部分和11(1)331n S n =-+，则级数∑∞=1n nU 的和s =.7.级数λλ-∞=∑-e n n n1)!1(的和s =.8.当01a <≤时,级数111nn a ∞=+∑的敛散性为 . 9.全微分方程cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=的通解为 .10.一阶线性齐次方程:()0y P x y +='的公式通解为y = . 二、计算下列各题(每小题5分，共10分)1.求曲线2y x =与2y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.2. 计算二重积分Dx y d σ+⎰⎰，其中闭区域(){,11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤.三、（7分）计算由曲面22z x y =+及226z x y =--所围成的立体的体积四、（7分）计算22()()Lx y dx x y dyI x y=++-+⎰Ñ，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按逆时针方向绕行）.五、(8分)计算()22I x y dS ∑=+⎰⎰Ò，其中∑是锥面z =2z =所围成的区域的整个边界曲面.六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分 I ∑=其中∑是曲面222z a x y =--的上侧.(0a >为常数）七、(8分)求幂级数2111(1)21n n n x n -∞-=--∑的收敛域与和函数.八、计算下列各题（每题6分 共12分） 1. 求微分方程 322dx x dy y y+= 在条件11x y ==下的特解.2.求微分方程22y y y +-='''的通解.高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

昆明理工大学2001级高等数学[下]期末试卷一、填空（每小题4分，共24分）1．函数22ln(1)z x y =--的定义域是 ，函数在 是间断的. 2．设函数22sin()z x y =+，则z x ∂=∂ ，z y∂=∂ . 3．函数23z x xy =+在 点（1，2）处沿x 轴负方向的方向导数等于 . 4．设2222:x y z a ∑++=，则曲面积分222()xy z dS ∑++⎰⎰= .5．设:11,02D x y -≤≤≤≤，则二重积分2Dx yd σ⎰⎰= .6．如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之为 解. 二、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．求函数22ax by z e+=（,a b 为常数）的全微分.2．求曲面2220x y z +-=在点(1,1,3)处的切平面方程和法线方程. 3．求微分方程(1)x x e yy e '-=的通解. 三、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．设(),z xy xF u =+而,()y u F u x =为可导函数，试计算z z x y x y∂∂+∂∂. 2．计算三重积分,.zdxdydz Ω⎰⎰⎰其中Ω是由曲面222z x y =--及22z x y =+所围成的闭区域. 3．计算曲面积分xyzdydz ∑⎰⎰，其中∑是柱面222(0)x y a x +=≥介于平面0y =及(0)y h h =>之间部分的前侧。

四、（12分）求微分方程''3'2cos y y y x -+=的通解.五、（12分）求曲线积分22(1),(1)Lydx x dyx y ---+⎰其中：（1）（8分）L 为圆周2220x y y +-=的正向.（2）（4分）L 为椭圆22480x y x +-=的正向 六、（10分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积.七、（7分）讨论函数22223222220(,)()00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性.昆明理工大学2002级高等数学（下）期末试卷一．填空题（每小题4分，共40分）1．设函数33z x y y x =-，则全微分dz =2．设函数(,),u f x y xy f =+具有一阶连续偏导数，则ux∂=∂3．二重积分120(,)yI dy f x y dx =⎰⎰，改变积分次序后I = .4．直角坐标系下的三次积分3222111222110)x x y xI dx dy fx y z dz ------=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分I =5．若区域2222:x y z R Ω++=，则三重积分xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰=6．当λ= 时，(2)()x y d x x y d y λ+++为某二元函数(,)u x y 的全微分.7．曲线积分22()LI x y dx =-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)A 到(2,4)B 的一段弧，则I = .8．当∑为xoy 面内的一个闭区域D 时，曲面积分与二重积分的关系为(,,)f x y z dS ∑⎰⎰= .9．二阶常系数齐次线性微分方程''2'0y y y ++=的通解为y =10. 二阶常系数非齐次线性微分方程''2'2x y y y e --+=的特解形式为y *= 二．（10分）(,)u v Φ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--= 所确定的函数(,)z f x y =满足z zab c x y∂∂+=∂∂ 三．（10分）由锥面22z x y =+及抛物面22z x y =+所围立体体积四．（10分）求螺旋线cos ,sin ,x a y a z b θθθ===在(,0,0)a 处的切线方程及法平面方程.五、（10分）利用高斯公式计算曲面积分11()()x xI f dydz f dzdx zdxdy y y x y∑=++⎰⎰， 其中()f u 具有二阶连续导数，∑为上半球面222z a x y =--与0z =所围成空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 六．（10分）设曲线积分2()[2()]Lyf x dx xf x x dy +-⎰在右半平面(0)x ≥内与路径无关，其中()f x 可导且(1)1f =，求()f x .七．（10分）二阶常系数非齐次线性微分方程''2'33y y y x --=，求其通解.昆明理工大学2003级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分）1．设函数2()y z tg x =，则z x ∂∂ ，zy∂∂ .2．曲线2233,,x t y t z t ===在(1,1,1)M 处的切线方程为.3．交换二次积分次序，2220(,)y y dy f x y dx =⎰⎰.4．设L 为右半圆周：221(0)x y x +=≥，则曲线积分LI yds =⎰.5．设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++=⎰⎰ .6．级数13!n n n n n∞=∑的敛散性为 .7．幂级数2121nn n x n ∞=+∑的收敛半径R= ，收敛区间为 .8．求微分方程229200d y dyy dx dx-+=的通解为 . 二．解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设0,z e xyz dz -=求.2．讨论函数22(1)2z x y =--是否有极值. 3．求幂级数11n n nx∞-=∑在收敛区间(1,1)-内的和函数.4．求微分方程sin ()1dyxy x dx y π⎧+=⎪⎨⎪=⎩的特解.5．求微分方程1y y '''+=的通解.三．（11分）利用格林公式计算曲线积分(1cos )(sin 2)x x LI e y dx e y x dy =-+-⎰，其中L 为从原点(0,0)0O A π到（，）的正弦曲线sin y x =. 四．（11分）利用高斯公式计算曲面积分23I ydydz x dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=的内侧.五．（11分）求由锥面22z x y =+及旋转抛物面22z x y =+所围成的立体的体积.昆明理工大学2004级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共32分） 1．设函数(),y z f f x =可微，则z z xy x y∂∂+=∂∂ . 2．曲线2233,,x t y t z t ===在t =1处的法平面方程为： . 3．设区域D 由,2y x x ==及1y x =所围，则化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为先x y 后的二次积分后的结果为 .4．设L 为圆弧：222,0x y y +=≥，则曲线积分22()LI x y ds =+=⎰.5．设22:(01)z x y z ∑=+≤≤，则曲面积分2I ds ∑=⎰= .6．级数11(1)[]23nn nn ∞=-+∑收敛于 . 7．幂级数11n n nx∞-=∑的收敛半径R= ，收敛区间为 .8．二阶常系数非齐次线性微分方程324''12'9x y y y e-++=的特解形式为y *= .（不要求计算）二．解答下列各题（每小题7分，共28分）1．求函数z =(,)0y xF z z=，其中F 具有一阶连续偏导数，求dz . 2．讨论224()z x y x y =--的极值. 3．将函数23()2f x x x =--展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间.4．求微分方程1cos sin 2dy dx x y y=+的通解.三．（10分）设L 为222(0)x y a a +=>沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分22LI xy dy x ydx =-⎰.四．（10分）求由球面2222()x y z a a ++-=及222z x y =+所围成的立体的体积. 五．（10分）利用高斯公式计算曲面积分242I xzdydz y dzdx yzdxdy ∑=-+⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=外侧的上半部分. 六、（10分）求()f x ，使曲线积分2[(2)()][()]LI y xy f x y dx xy f x dy '=+-++/⎰与路径无关，其中()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)1f f '==/.。

《高等数学（下）》习题答案一、单选题1、向量、垂直，则条件：向量、的数量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件2、当x→0时，y=ln(1+x)与下列那个函数不是等价的（C）Ay=x By=sinx Cy=1-cosx Dy=e^x-13、如果在有界闭区域上连续，则在该域上（C）A只能取得一个最大值B只能取得一个最小值C至少存在一个最大值和最小值D至多存在一个最大值和一个最小值4、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件5、向量与向量平行，则条件：其向量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件6、当x→0时,下列变量中（D）为无穷小量Aln∣x∣ Bsin1/x Ccotx De^(-1/x^2)7、为正项级数，设，则当时，级数（C）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛8、设f(x)=2^x-1，则当x→0时,f(x)是x的（D）。

A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无穷9、已知向量，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分量（A）A27，51 B25，27 C25，51 D27，2510、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件11、下面哪个是二次曲面中椭圆柱面的表达式（D）A B C D12、曲线y=x/(x+2)的渐进线为(D)Ax=-2 By=1 Cx=0 Dx=-2,y=113、向量、的夹角是，则向量、的数量积是（A）A BC D14、当x→0时,函数(x²-1)/(x-1)的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞15、平面上的一个方向向量，平面上的一个方向向量，若与垂直，则（C）A BC D16、设φ(x)=(1-x)/(1+x)，ψ(x)=1-³√x则当x→0时（D）Aφ与ψ为等价无穷小 Bφ是比ψ为较高阶的无穷小Cφ是比ψ为较低阶的无穷小 Dφ与ψ是同价无穷小17、在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量（D）A B C D18、当x→0时，1/（ax²+bx+c）～1/(x+1)，则a,b,c一定为（B）Aa=b=c=1 Ba=0,b=1,c为任意常数 Ca=0,b,c为任意常数 Da,b,c为任意常数19、对于复合函数有，，则（B）A B C D20、y=1/(a^2+x^2)在区间[-a,a]上应用罗尔定理, 结论中的点ξ=(B).A0 B2 C3/2 D321、设是矩形：，则（A）A B C D22、对于函数的每一个驻点，令，，，若，，则函数（A）A有极大值 B有极小值 C没有极值 D不定23、若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数（D）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛24、交错级数，满足，且，则级数（B）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛25、若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数（C）A发散B收敛 C条件收敛 D绝对收敛26、微分方程的通解是（B）A B C D27、改变常数项无穷级数中的有限项，级数的敛散性将会（B）A受到影响 B不受影响 C变为收敛 D变为发散28、设直线与平面平行，则等于（A）A2 B6 C8 D1029、曲线的方向角、与，则函数关于的方向导数（D）A BC D30、常数项级数收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛31、为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛32、下面哪个是二次曲面中椭圆抛物面的表达式（A）A B C D33、已知向量垂直于向量和，且满足于，求（B）A B C D34、平面上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与垂直，则（B）A B C D35、下面哪个是二次曲面中双曲柱面的表达式（C）A B C D36、若为无穷级数的次部分和，且存在，则称（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛37、已知向量两两相互垂直，且求（C）A1 B2 C4 D838、曲线y=e^x-e^(-x)的凹区间是(B)A(-∞,0) B(0,+∞) C(-∞,1) D(-∞,+∞)39、下面哪个是二次曲面中双曲抛物面的表达式（B）A B C D40、向量与轴与轴构成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向（C）A BC D41、下面哪个是二次曲面中单叶双曲面的表达式（A）A BC D42、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D343、曲线y=lnx在点（A）处的切线平行于直线y=2x-3A(1/2,-1n2) B(1/2,-ln1/2) C(2,ln2) D(2,-ln2)44、若f(x)在x=x0处可导，则∣f(x)∣在x=x0处（C）A可导 B不可导 C连续但未必可导 D不连续45、y=√x-1 在区间[1, 4]上应用拉格朗日定理, 结论中的点ξ=(C).A0 B2 C44078 D346、arcsinx+arccos=(D)A∏ B2∏ C∏/4 D∏/247、函数y=ln(1+x^2)在区间[-1,2]上的最大值为（D）A4 B0 C1 Dln548、函数y=x+√x在区间[0,4]上的最小值为（B）A4 B0 C1 D349、当x→1时，函数(x²-1)/(x-1)*e^[(1/x-1)]的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞50、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D3二、判断题1、由及所确定的立体的体积（对）2、y=∣x∣在x=0处不可导（对）3、设，，，且，则（错）4、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）5、二元函数的极小值点是（对）6、若函数f(x)在x0处极限存在，则f(x)在x0处连续（错）7、设是由轴、轴及直线所围城的区域，则的面积为（错）8、函数f(x)在[a,b]在内连续，且f(a)和f(b)异号，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数根（对）9、若积分区域是，则（对）10、下列平面中过点（1,1,1）的平面是ｘ＝1（对）11、设，其中，，则（对）12、若函数f(x)在x0的左、右极限都存在但不相等，则x0为f(x)的第一类间断点（对）13、函数的定义域是（对）14、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）15、二元函数的两个驻点是，（对）16、y=ln(1-x)/(1+x)是奇函数（对）17、设表示域：，则（错）18、若函数f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处极限存在（对）19、设是曲线与所围成，则（对）20、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）21、设，则（错）22、函数在一点的导数就是在一点的微分（错）23、函数在间断（对）24、罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件（对）25、设不全为0的实数使，则三个向量共面（对）26、函数z=xsiny在点（1，∏/4）处的两个偏导数分别为1,1（错）27、微分方程的一个特解应具有的形式是（对）28、设圆心在原点，半径为R，面密度为a=x²+y²的薄板的质量为RA（面积A=∏R²）（错）29、函数的定义域是整个平面（对）30、1/(2+x)的麦克劳林级数是2（错）31、微分方程的通解为（错）32、等比数列的极限一定存在（错）33、设区域，则在极坐标系下（对）34、函数极限是数列极限的特殊情况（错）35、,,则（对）36、sin10^0的近似值为017365（对）37、二元函数的极大值点是（对）38、定义函数极限的前提是该函数需要在定义处的邻域内有意义（对）39、将在直角坐标下的三次积分化为在球坐标下的三次积分，则（对）40、微分是函数增量与自变量增量的比值的极限（错）41、方程x=cos在（0，∏/2）内至少有一实根（错）42、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为1,2（错）43、f〞(x)=0对应的点不一定是曲线的拐点（对）44、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的法平面方程为（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0（对）45、1/x的极限为0（错）46、y=e^(-x^2) 在区间(-∞,0)(1,∞)内分别是单调增加，单调增加（错）47、导数和微分没有任何联系，完全是两个不同的概念（错）48、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）49、求导数与求微分是一样的，所以两者可以相互转化（对）50、在空间直角坐标系中，方程x²+y²=2表示圆柱面（对）。

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

高等数学下册试题库一、选择题〔每题4分，共20分〕A(1,0,2),B(1,2,1)是空间两点，向量的模是：〔A〕A〕 5 B 〕 3 C 〕6 D 〕9解={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=.2. 设a={1,-1,3},A〕{-1,1,5}.b={2,-1,2}B 〕，求c=3a-2{-1,-1,5}.b是：〔C〕B〕{1,-1,5}. D 〕{-1,-1,6}.解(1)c=3a-2b=3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.设a={1,-1,3},b={2,1,-2}，求用标准基i,j,k表示向量c=a-b;A〕A〕-i-2j+5k B〕-i-j+3k C〕-i-j+5k D〕-2i-j+5k解c={-1,-2,5}=-i-2jk+5.4.求两平面和的夹角是：〔C〕A〕B〕C〕D〕2435.解由公式〔6-21〕有，所以，所求夹角．求平行于轴，且过点和的平面方程．是：〔D〕A〕2x+3y=5=0B〕x-y+1=0C〕x+y+1=0D〕．解因为平面平行于轴，所以可设这平面的方程为因为平面过、两点，所以有解得，以此代入所设方程并约去，便获得所求的平面方程6．微分方程xyy xy3y4y0的阶数是(D)。

A．3B．4C．5D．27．微分方程y x2y x51的通解中应含的独立常数的个数为(A)。

A．3B．5C．4D．28．以下函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解(B)。

A ．y2x B ．yx 2C ．y2x D ．yx29．微分方程y3y 3的一个特解是(B)。

A ．yx 3 1B ．yx23 C ．yxC 2 D ．yC1x 3．函数ycosx 是以下哪个微分方程的解(C)。

A ．y y 0B ．y2y 0C ．y n y0D ．yycosx11．yCe xC e x是方程y y0的(A)，此中C 1，C 2为随意常数。

高等数学〔下册〕试卷〔一〕一、填空题〔每题3分，共计24分〕1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 那么弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的局部的外侧，那么=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题〔每题2分，共计16分〕1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是〔 〕 〔A 〕),(y x f 在),(00y x 处连续；〔B 〕),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域存在；〔C 〕y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；〔D 〕0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，那么2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于〔 〕〔A 〕y x +；〔B 〕x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 那么三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于〔 〕〔A 〕4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；〔B 〕⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；〔C 〕⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；〔D 〕⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

《线性代数B》2010〜2011学年第一学期课程试卷A一、填空1 1 1 11. 2 3 4 5= 124 9 16 258 27 64 12512.设A、B 为4 阶方阵，且| A | 2, 3B 81，则| AB | 1/2 ________3. 给定矩阵A，且A E可逆,满足AB1 0 0 14.设A 0 1 1 ，则A 1 00 1 2 05.已知1, 2 ,3线性相关，3不能由1:1 1 06.设1 2 ,2 t , 3 2 ,且3 6 17. 设A是4 3矩阵,且R(A) 2 , B& 设三阶方阵A的每行元素之和均为零,又1k 1 (k 1 R) .11 30 19. 向量组 1 J 2 , 31 21 01 ,2 , 4 亠E A2 B ,则B A E0 02 1 —.1 12线性表示，则 1 , 2线性相关1 ,2 ,3线性相关，则t 8 .1 2 30 10 则R(AB) 23 1 2R(A) 2，则齐次线性方程组Ax O的通解为0 11 0J4的一个最大线性无关组为1 13 010.设A为n阶方阵，Ax0有非零解，则A必有一个特征值为、单项选择x 3 1x 2 y 4 z 21..若 y0 21,则 30 2 (A )z21121(A)1 ;(B)2 ;(C)1(D) 03.下列结论正确的是(A )(A ) 1, 2, , s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合(B)若向量1, 2, 3线性相关，则 1, 2线性相关;(D)2 ,3 ,2 2 3 .6•若n 阶矩阵A, B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则( A )2•设A,B,C 均为二阶方阵,AB AC ，则当(C )时，可以推出B C •(A) A(B) A(C) A(D) A(C)若n 阶方阵A 与对角阵相似，则 A 有n 个不同的特征值(D)若方程组Ax O 有非零解，则 Axb 有无穷多解4.已知1, 2,3是四兀方程组Axb 的三个解，其中 R(A)3,则以下不是方程组Axb 的通解为( D )2 11 11 2 0222 (A) k;(B) k(C) k2 3 1 3 1 2 4424223 2 (D) k “1(C) 1 ,2,2 1(A) A 与B 相似;(B) A B ，但 | A B | 0;(C) A B ;(D) A 与B 不一定相似，但| A| |B|.5.设向量组 1, 2, 3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( B )(A )12 , 2 3,3 1；( B ) 1 , 2 , 3 1；1 1 0 1 11 1 01 1- 1A2 1 23 0 1 1 1 21 1 1 1 6 0 0 1 0 50 1 0 1 k0 1 01 k1 1 0 1 j 11 1 0 1 10 111 • 20 1 1 1• 20 0 1 0: 50 0 15 0 0 1 0 :k 20 0 00 k 3当 i k3时， 方程组有解,1 0 0 0 : 1 40 1 01 i 3A10 0 1 0 d1 5 70 0 00 ■ ■x 1 4 X 2 3 X 4 X 3 5x 4x 4a0 b0 1 0的特征值之和为1,特征值之积为 1 .b0 0X 1 X 2 X 4 1, X 1 2X 2 X 3 2x 4 3 有解，并在有解时求通解X 1 X 2 X 3 X 4 6,X 2 X 4 k(D) P i P 2为零向量•三、k 为何值时,线性方程组 7.设 Ap 11P 1, AP 22 p 2 ,且 12,则以下结论正确的是( B )(A) P iP 2不— 1定是 A 的一个特征向量 (B) p 1 p 2一定不是A 的一个特征向量 (C) P i P 2 —定是 A 的一个特征向量4 0 (12分)通解为X3 1 k5 0四、已知矩阵A(1) 求 a, b(b 0)的值;(2)求可逆矩阵P 和对角阵 ，使得P 1AP0 1a 1 0 1b 2 1A 323，证明（1） 1, 2, 3线性无关；⑵令P 1, 2, 3，求P 1AP -0 0 1a 0,b 1. A 0 1 0 1 0 00 121 0 ( 1) ( 1) 01,1.当121时，E AP 1 1 , P 2 01时,P 30 1 11取P 10 0 1有P AP10 11五、计算 D na 1 1a 1 a 2a 2 1a n a na n 1 n解 D * r n ( a ii 1n(a ii 11)a 2 a 2 1a na na 2 a n 1a nn(a 1)( 1)n 1i 1六、设A 为3阶矩阵,1，2为A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足a 1 a 2 1C 2 C 1证明 k i i k 22 k 33 O ⑴,A(ki i k2 2 k3 3)O《线性代数B 》课程试卷A 解答第5页共9页1，2，3线性无关1 0 01(2) P AP 0 1 1 0 0 1、填空3.设A 为方阵，满足A 2 A 2E 0,则A6.设A 是m n 矩阵，R(A) r ,则齐次线性方程组 Ax O 有非零解的充分必要条件是 一 r n—&设三阶方阵 A 的每行元素之和均为 3,则A 有特征值 ____________ 3 ____1 1 03 1 0 4.设 A1 3 0，则 A 1 11 2 1 0 0 0 215.向量组 1 , 2, 3, 1 线性 一相一关.即k i1 k2 2 k 3( 23)。