一元二次方程的简单应用

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课题 一元二次方程的简单应用

教学

目标 1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．

2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．

重点 了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想

难点 经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力

考点讲解：

1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）

2．一元二次方程的解法：

⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．

⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aacbbx242(b2－4ac≥0)

⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

3．一元二次方程的注意事项：

⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．

⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．

⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4

⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

一元二次方程的简单应用

1．若关于x的方程(k＋1)x2－(k－2)x－5＋k=0只有唯一的一个解，则k=______，此方程的解为______．

2．如果(m－2)x|m｜＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )．

A．2或－2 B．2 C．－2 D．以上都不正确

3．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．

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4．三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，kcm，且k满足一元二次方程2k2－9k－5=0，求此三角形的周长．

5．解关于x的方程：x2＋mx＋2=mx2＋3x．(其中m≠1)

6．用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总大于0，再求出当x取何值时，代数式x2－4x＋5的值最小?最小值是多少?

7．k为何值时，方程kx2－6x＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．

8．若方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有两个实根，求正整数a的值．

9．求证：不论m取任何实数，方程02)1(2mxmx都有两个不相等的实根．

10．已知方程mx2＋mx＋5=m有相等的两实根，求方程的解．

11．求证：不论k取任何值，方程(k2＋1)x2－2kx＋(k2＋4)=0都没有实根．

12．如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2＋6=0没有实数根，求a的最小整数值．

13．已知方程x2＋2x－m＋1=0没有实根，求证：方程x2＋mx=1－2m一定有两个不相等的实根．

14．若a，b，c，d都是实数，且ab=2(c＋d)，求证：关于x的方程x2＋ax＋c=0，x2＋bx＋d=0中至少有一个方程有实数根．

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15．已知关于x的一元二次方程mx2－(m2＋2)x＋2m=0．

(1)求证：当m取非零实数时，此方程有两个实数根；

(2)若此方程有两个整数根，求m的值．

16．已知：x2＋3xy－4y2=0(y≠0)，求yxyx的值．

17．已知：关于x的方程2x2＋2(a－c)x＋(a－b)2＋(b－c)2=0有两相等实数根．

求证：a＋c=2b．(a，b，c是实数)

18．若方程3x2＋bx＋c=0的解为x1=1，x2=－3，则整式3x2＋bx＋c可分解因式为______________________．

19．在实数范围内把x2－2x－1分解因式为____________________．

20．已知一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)中的两根为,24,221aacbbxx请你计算x1＋x2=____________，x1·x2=____________．

并由此结论解决下面的问题：

(1)方程2x2＋3x－5=0的两根之和为______，两根之积为______．

(2)方程2x2＋mx＋n=0的两根之和为4，两根之积为－3，则m=______，n=______．

(3)若方程x2－4x＋3k=0的一个根为2，则另一根为______，k为______．

(4)已知x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值：

①;1121xx ②;2221xx ③｜x1－x2｜；

④;221221xxxx ⑤(x1－2)(x2－2)．

21、若方程2x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，不解方程求x41＋x42的值；

22、若t是一元二次方程)0(02acbxax的根，则判别式ac4b2△和完全平方式2)2(batM的关系式（）

A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定

23、若关于x的一元二次方程02cbxax中a,b,c满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 学习必备 欢迎下载

24、已知关于x的一元二次方程02cbxx的两根为2,121xx，则cbxx2分解因式的结果是______

25、在实数范围内因式分解：742xx__________________

26、已知03442xx，则31232xx__________________

27、mmxx24是一个完全平方式，则m=________________________

28、已知,)21(822mxaxax则a和m的值分别是__________________

29、当k=_________时，方程012)3(2kxxk是关于x的一元二次方程？

30、关于x的方程032)4()16(22mxmxm当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。

31、已知012xx，则2009223xx的值为__________

32、已知012)()(22222yxyx，则22yx=_______

33、试证明关于x的方程012)208(22axxaa，无论a取何值，该方程都是一元二次方程

34、已知关于x的一元二次方程0322)1(22kkxxk的一个根为零，求k的值

35、若a是方程0132xx的根，求1325222aaa的值。

36、已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长时方程03522xx的根，求三角形的周长。

37已知直角三角形的两条边长分别是方程048142xx的两根，求此三角形的第三边长。

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38已知等腰三角形的边长x满足)3()3(22xxx，求这个等腰三角形的周长。

39 用配方法说明7422xx的值总大于0，再求出当x为何值时，代数式7422xx的值最小，最小值是多少。

40、已知实数x，y满足2496322xyxyx，试求x，y的值。

41、已知关于x的方程0142mxmx有两个相等的实数根，求m的值。

42若一元二次方程06)4(22xkxx无实数根，求k的最小整数值。

43、已知31是方程022cxx的一个根，求方程的另一个根及c的值

44、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足式子)300(436.21.02xxxy

（1）第几分钟时，学生的接受能力能达到59？

（2）你知道学生的最大接受能力是多少吗？