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高中数学排列组合问题的几种基本方法

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高中数学排列组合问题的几种基本方法总结

1. 分组（堆）问题

分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)

处理问题的原则：

①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!

②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!

③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.

④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.

1. 分组（堆）问题

例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？

解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：

⑴先将四项工程分为三“堆”，有

种分法；

⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，

有3!＝6种给法.

∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 211421226CCCA

2.插空法：

解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.

♀ ♀♀ ♀ ♀♀ ♀

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？

解：分两步进行：

第1步，把除甲乙外的一般人排列：

第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：

几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.

3.捆绑法

相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.

例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?

解：（1）分两步进行：

♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀

甲 乙

第一步，把甲乙排列(捆绑)： 55A有=120种排法26A有=30种插入法120303600共有＝种排法

第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：

几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，

再与其它的进行排列.

4.消序法(留空法)

几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.

例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？

解法1：将5个人依次站成一排，有 种站法，

然后再消去甲乙之间的顺序数

∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为

解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法

∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为

22A有＝2种捆法2120240共有＝种排法55A有＝120种排法55A22A535522543AAA35A33551AA4.消序法(留空法)

变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?

解: 如图所示

将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:

也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有 种排法.

其中必有四个↑和七个→组成! →

1 ↑

① →

2 ↑

② ↑

③ →

3 →

4 →

5 ↑

④ →

6 →

7

BA BA11114747AAA所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,

所以从A到B共有 条不同的路径.

5.剪截法（隔板法）：

n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.

例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.

解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.

将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.

因此，不同的分配方案共有455种 .

5.剪截法：

n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.

变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.

解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.

将10个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 514(51)(81)11CC315455C3984C因此，不同的分配方案共有84种 .

6.错位法：

编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.

特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.

例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.

解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.

故所求方法有15×9＝135种.

7.剔除法：

从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.

排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.

例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.

解：所有这样的直线共有 条，

其中不过原点的直线有 条，

∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条. 2615C37210A1266180AA

小结:

①分堆问题；

②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).

巩固练习

1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（ ）

A.43 B.34 C.34A D.34C

2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出

3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）

A.24种 B.18种 C.12种 D.6种

3. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）

A.4448412CCC种 B.34448412CCC种

C.3348412ACC种 D.334448412ACCC种

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高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页

高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页

1 高考数学轻松搞定排列组合二十一种方法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.

复习巩固

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，„，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：

12nNmmm

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，„，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：

12nNmmm

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有13C

高中数学排列组合难题十一种方法

高中数学排列组合难题十一种方法

例1.由0,123,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法

1. 分类计数原理（加法原理）

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第 2类 办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这 件事共有：

N = mi + m2 j + mn

种不同的方法.

2. 分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成个步骤，做第 1步有种不同的方法，做第2步 有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：

N = mi江m2汇川X mn

种不同的方法.

3. 分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完 成整个事件.

解决排列组合综合性问题的一般过程如下：

1. 认真审题弄清要做什么事

2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时 进行,确定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总

数是多少及取出多少个元素.

4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用 的解题策略

一. 特殊元素和特殊位置优先策略高中数学排列组合难题十一种方法

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占

了这两个位置.

先排末位共有

然后排首位共有

最后排其它位置共有

由分步计数原理得

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需

先安排特殊元素，再处理其它元素•若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求 ，再处理其它位 置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7种不同的花种在排成一列的xx，若两种葵花不种在中间，也不种在 两端的xx，问有多少不同的种法？

高考数学排列组合问题解题技巧

高考数学排列组合问题解题技巧

高考数学排列组合问题解题技巧

排列组合问题一直是高考数学常考内容。但此类问题不仅具有内容抽象、解法灵活等特点，更因在解题过程极易出现“重复”或“遗漏”等错误。导致排列组合问题成为很多考生失分的 “重灾区”。下面是小编为大家整理的关于高考数学排列组合问题解题技巧，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!

高考数学排列组合问题解题技巧

排列组合有关的题型主要从以下三个方面去考查考生：

1、掌握分类计数原理和分步计数原理及其简单应用;

2、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质及其简单应用;

3、掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。

与排列组合相关的高考题，它的知识背景与生活息息相关，考查的形式主要基于“基础知识+思想方法+数学能力”这三种方式结合的模式。排列组合相关知识内容并不难，但主要难在解题方法上面。

排列组合典型例题分析一：

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)选其中5人排成一排;

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人;

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾;

(4)全体排成一排，女生必须站在一起;

(5)全体排成一排，男生互不相邻;

(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人;

(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面;

(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端.

解析：(1)从7个人中选5个人来排，是排列.有A75=7×6×5×4×3=2 520(种). (2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73·A44=5 040(种).事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.

(3)(优先法)

方法一：甲为特殊元素，先排甲，有5种方法;其余6人有A66种方法，故共有5×A66=3600种;

方法二：排头与排尾为特殊位置，排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A62种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A55种方法，共有A62×A55=3600种。

高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页37681

高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页37681

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.

复习巩固

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：

12nNmmmL

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：

12nNmmmL

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C