二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质
二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移
二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。具体方法有两种：一种是将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确定顶点坐标（h，k），然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离；另一种是保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到新的位置，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数的图象和性质
教学目标
1、知道二次函数的意义；
2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式；
4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值；
5、会根据已知条件求出二次函数的解析式.
知识讲解
1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2 (a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。
2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h， k)，对称轴为x＝h，当a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。
例题讲解
例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式：
⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1)
⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0)
⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0)
⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2
巩固练习：
1．二次函数y=2x2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______．
2．将函数y=－2x2+8x－7，写成y=a（x－h）2+k的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______．
3．已知抛物线y=x2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．•满足y<0的x的取值范围是________，将抛物线y=x2－6x+5向________平移______•个单位，可得到抛物线y=x2－6x+9．
二次函数及其图象和性质（二）
一、内容提要
（一）二次函数的解析式：
1．一般式：y=ax2+bx+c；其中 a≠0, a, b, c 为常数
2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。
注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
（二）二次函数的图象：抛物线
（三）性质：
1．对称轴，顶点坐标：
2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。 a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。
3．增减性：
（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少 当x>时，y随x增大而增大
（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大 当x>时，y随x增大而减小
4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时， （Ⅱ）a<0时，当x=
时， 5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C） 特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。
6．抛物线与x轴的位置关系：
（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。
（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）
（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）
二、典型例题：
例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。
解：由题意得 解得 m=-1
∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（ ），对称轴x=。
说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。
二次函数y=ax²+k的图象和性质教案
石柱县南宾中学校初三数学组
授课人：李方勇
一、教学目标
根据新课标的目标要求和对教材的分析，结合学生已有的知识基础，目标制订如下：
(1)使学生会画出特殊二次函数y=ax2+k的图象，能通过它们的图象和解析式，正确地说出它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们的图象与抛物线y=ax2的位置关系，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力。［知识与技能目标］
(2)让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。［过程与方法目标］
(3)在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，［情感、态度、价值观目标］
二、教学重、难点
重点：根据二次函数的图象与解析式，能说出它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们图象间的位置关系。
难点：会由所学特殊函数的特殊情形向一般情形转化，了解图象间的平移规律。
三、 学情分析
①学生已掌握一次函数，二次函数y=ax²图象的画法，以及它们图象的性质；
②学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。
③初三学生程度参差不齐，两极分化已形成。
四、教材处理
由于本节课的教学要借助图象来完成，例题间又缺乏过渡，教材知识点较为抽象，我对教材作了以下处理：
①在例题教学前安排了一组准备性练习。
②增设了一道情景课堂作业。
五、教学方法
以“探究式”体验教学法和“启发式”教学法为主进行教学。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教。
六、教学手段
采用多媒体教学，直观呈现抛物线和谐、对称的美和抛物线的运动与变化，激发学生的学习 兴趣，参与热情，增大教学容量，提高教学效率。
