吉林中考数学试题含答案及解析

吉林省2022年中考数学真题试题(含解析) 2022年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每题2分，共12分）1.计算（-1）的正确结果是（）。

A。

1B。

2C。

-1D。

-2答案】A解析】考点：有理数的乘方。

2.如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）。

A。

B。

C。

D。

答案】B解析】试题解析：正六棱柱的俯视图为正六边形。

应选B。

考点：简单几何体的三视图。

3.以下计算正确的选项是（）。

A。

a+a=aB。

a×a=aC。

[a]=aD。

[ab]=ab答案】C解析】试题解析：A。

a与a不是同类项，故A错误；B。

原式=a，故B错误；D。

原式=ab，故D错误。

应选C。

考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。

4.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的选项是（）。

A。

B。

C。

D。

答案】A解析】考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。

5.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD。

假设∠B=40°，∠C=36°，那么∠DAC的度数是（）。

A。

70°B。

44°C。

34°D。

24°答案】C解析】试题解析：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°。

应选C。

考点：三角形内角和定理。

6.如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C。

假设AB=12，OA=5，那么BC的长为（）。

A。

5B。

6C。

7D。

8答案】D解析】考点：切线的性质。

二、填空题（每题3分，共24分）7.2022年我国资助各类家庭困难学生超过84,000,000人次。

将84,000,000这个数用科学记数法表示为（）。

答案】8.4×10^7解析】试题解析：84,000,000=8.4×10^7.考点：科学记数法——表示较大的数。

2024年吉林省长春市中考数学真题试卷一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 根据有理数加法法则,计算()23+-过程正确的是（ ）A. ()32++B. ()32+-C. ()32-+D. ()32--2. 南湖公园是长春市著名旅游景点之一,图①是公园中“四角亭”景观的照片,图①是其航拍照片,则图①是“四角亭”景观的（ ）．A. 主视图B. 俯视图C. 左视图D. 右视图3. 在剪纸活动中,小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形,其中正五边形的一条边与矩形的边重合,如图所示,则α∠的大小为（ ）A. 54B. 60C. 70D. 724. 下列运算一定正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. 236a a a ⋅=C. ()222ab a b =D. ()235a a = 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图,a ,b 分别表示两位同学的身高,c 表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）A. 若a b >,则a c b c +>+B. 若a b >,b c >,则a c >C. 若a b >,0c >,则ac bc >D. 若a b >,0c >,则a b c c> 6. 2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时,位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米,仰角为θ,则此时火箭距海平面的高度AL 为（ ）A. sin a θ千米B. sin a θ千米C. cos a θ千米D. cos a θ千米 7. 如图,在ABC 中,O 是边AB 的中点．按下列要求作图:①以点B 为圆心、适当长为半径画弧,交线段BO 于点D ,交BC 于点E ;①以点O 为圆心,BD 长为半径画弧,交线段OA 于点F ;①以点F 为圆心,DE 长为半径画弧,交前一条弧于点G ,点G 与点C 在直线AB 同侧; ①作直线OG ,交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（ ）A. AOM B ∠=∠B. 180OMC C ∠+∠=C. AM CM =D. 12OM AB = 8. 如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,点()4,2A 在函数()0,0k y k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移,平移后的直线与y 轴交于点B ,与函数()0,0k y k x x =>>的图象交于点C ．若BC =,则点B 的坐标是（ ）A. (B. ()0,3C. ()0,4D. (0, 二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分．9. 单项式22a b -的次数是_____．10. 计算=____．11. 若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点,则c 的取值范围是________． 12. 已知直线y kx b =+（k ,b 是常数）经过点()1,1,且y 随x 的增大而减小,则b 的值可以是________．（写出一个即可）13. 一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放,边AB 与直线l 重合,12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转,使点C 的对应点C '落在直线l 上,则点A 经过的路径长至少为________cm ．（结果保留π）14. 如图,AB 是半圆的直径,AC 是一条弦,D 是AC 的中点,DE AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,DB 交AC 于点G ,连结AD ．给出下面四个结论:①ABD DAC ∠=∠;①AF FG =;①当2DG =,3GB =时,2FG =; ①当2BD AD =,6AB =时,DFG上述结论中,正确结论的序号有________．三、解答题:本题共10小题,共78分．15. 先化简,再求值:32222x x x x ---,其中x =． 16. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式,此模式有若干种学科组合,每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合,该校要将所有选报这种组合的学生分成A ,B ,C 三个班,其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法,求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率． 17. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是:今有人合伙买金,每人出400钱,会剩余3400钱;每人出300钱,会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．18. 如图,在四边形ABCD 中,90A B ∠=∠=︒,O 是边AB 的中点,AOD BOC ∠=∠．求证:四边形ABCD 是矩形．19. 某校为调研学生对本校食堂的满意度,从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分）,将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息:a ．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如下图:（数据分成4组:67x ≤<,78x ≤<,89x ≤<,910x ≤≤）b．高中部20名学生所评分数在89≤<这一组的是:x8.08.18.28.28.48.58.68.78.8c．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下:根据以上信息,回答下列问题:（1）表中m的值为________;（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准,评分不低于8.5分为“非常满意”．①在被调查的学生中,设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a,b,则a________b;（填“>”“<”或“=”）①高中部共有800名学生在食堂就餐,估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．20. 图①,图①,图①均是33⨯的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点．点A,B均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD,使其是轴对称图形且点C,D均在格点上．（1）在图①中,四边形ABCD面积为2;（2）在图①中,四边形ABCD面积为3;（3）在图①中,四边形ABCD面积为4．21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点,根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶,其间经过一段长度为20千米的区间测速路段,从该路段起点开始,他先匀速行驶112小时,再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计）,当他到达该路段终点时,测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．（1）a的值为________;（2）当112x a≤≤时,求y与x之间的函数关系式;（3）通过计算说明在此区间测速路段内,该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图①,在等边ABC 中,3AB =,点M ,N 分别在边AC ,BC 上,且AM CN =,试探究线段MN 长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运动路径,进而解决上述几何问题．【问题解决】如图①,过点C ,M 分别作MN ,BC 的平行线,并交于点P ,作射线AP ．在【问题呈现】的条件下,完成下列问题:（1）证明:AM MP =;（2）CAP ∠的大小为________度,线段MN 长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图①．小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图①,ABC 是等腰三角形,四边形BCDE 是矩形,2AB AC CD ===米,30ACB ∠=︒．MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M 在AC 上,点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持AM DN =．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．BC=．点D是边BC上的一点（点D不与点B,C重合）, 23. 如图,在ABC中,5AB AC==,6作射线AD,在射线AD上取点P,使AP BD=,以AP为边作正方形APMN,使点M和点C在直线AD同侧．（1）当点D是边BC的中点时,求AD的长;（2）当4BD=时,点D到直线AC的距离为________;（3）连结PN,当PN AC⊥时,求正方形APMN的边长;（4）若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍,则CD的长为________．（写出一个即可）24. 在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,抛物线22y x x c =++（c 是常数）经过点()2,2--．点A ,B 是该抛物线上不重合的两点,横坐标分别为m ,m -,点C 的横坐标为5m -,点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同,连结AB ,AC ．（1）求该抛物线对应的函数表达式;（2）求证:当m 取不为零的任意实数时,tan CAB ∠的值始终为2;（3）作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D ,以AD 为边,AC 为对角线作菱形ADCE ,连结DE ．①当DE 与此抛物线的对称轴重合时,求菱形ADCE 的面积; ①当此抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时,直接写出m 的取值范围．2024年吉林省长春市中考数学真题试卷一、选择题．1. 【答案】D2. 【答案】B3. 【答案】D4. 【答案】C5. 【答案】A6. 【答案】A7. 【答案】D8. 【答案】B【解析】解:如图,过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E,过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D,则AE y ∥轴①()4,2A①4OE =,222425OA①sinOE OAE OA ∠=== ①()4,2A 在反比例函数的图象上①428k =⨯=．①将直线OA 向上平移若干个单位长度后得到直线BC①OA BC ∥①OAE BOA ∠=∠①AE y ∥轴①DBC BOA ∠=∠①DBC OAE ∠=∠①sin si n CD DBC OAE BC ∠===∠=解得:2CD =,即点C 的横坐标为2 将2x =代入8y x =,得4y = ①C 点的坐标为()2,4①2CD =,4OD =①1BD =①413OB OD BD =-=-=①()0,3B故选:B ．二、填空题．9. 【答案】310.11. 【答案】14c > 12. 【答案】2（答案不唯一）13. 【答案】203π 14. 【答案】①①①【解析】解:如图:连接DC①D 是AC 的中点①AD DC =①ABD DAC ∠=∠,即①正确;①AB 是直径①90ADB ∠=︒①90DAC AGD ∠+∠=︒①DE AB ⊥①90BDE ABD①ABD DAC ∠=∠①BDE AGD ∠=∠①DF FG =①90BDE ABD ,90BDE ADE ∠+∠=︒①ADE ABD ∠=∠①ABD DAC ∠=∠①ADE DAC ∠=∠①AF FD =①AF FG =,即①正确;在ADG △和BDA △90ADG BDA DAG DBA ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩①∽ADG BDA ①AD GD BD AD =,即AD GD DG BG AD=+①223AD AD =+,即AD =①AG ①AF FG =①122FG AG ==,即①正确; 如图:假设半圆的圆心为O,连接,,OD CO CD①2BD AD =,6AB =,D 是AC 的中点 ①1,3AD DC AB == ①60AOD DOC ∠=∠=︒①OA OD OC ==①,AOD ODC 是等边三角形①6OA AD CD OC OD =====,即ADCO 是菱形 ①1302DAC OAC DAO ∠=∠=∠=︒ ①90ADB ∠=︒ ①tan tan 30DG DAC AD ∠=︒=,6DG =,解得:DG =①11622ADG S AD DG =⋅=⨯⨯=①AF FG = ①1332DFG ADG S S ==,即①错误．故答案为:①①①．三、解答题．15. 【答案】2x ,216. 【答案】1317. 【答案】共33人合伙买金,金价为9800钱18. 证明:①O 是边AB 的中点 ①OA OB =在AOD △和BOC 中,90A B OA OBAOD BOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①AOD BOC ≌△△①AD BC =①90A B∠=∠=︒①AD BC ∥①四边形ABCD 是平行四边形①90A B ∠=∠=︒①四边形ABCD 是矩形．19. 【答案】（1）8.3（2）①>;①估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人【小问1详解】解:由题意知,高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数,即8.28.48.32m +== 故答案为:8.3;【小问2详解】 ①解:由题意知,初中部评分的中位数为8.5,高中部评分的中位数为8.3 ①a b >故答案为:>;①解:①4580036020+⨯= ①估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人．20. 【小问1详解】解:如图①:四边形ABCD 即为所求;（不唯一）．【小问2详解】解:如图①:四边形ABCD 即为所求;（不唯一）．【小问3详解】解:如图①:四边形ABCD 即为所求;（不唯一）．21. 【答案】（1）15（2）11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭ （3）没有超速【小问1详解】解:由题意可得:10020a =,解得:15a =． 故答案为:15． 【小问2详解】解:设当11125x ≤≤时,y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠ 则:11761205k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:902k b =⎧⎨=⎩ ①11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭． 【小问3详解】解:当112x =时,19029.512y =⨯+= ①先匀速行驶112小时的速度为:19.5114/12÷=（千米时） ①114120＜①辆汽车减速前没有超速．22. 【答案】问题解决:（1）见解析（2）30,32;方法应用:线段MN 米 【解析】解:问题解决:（1）证明:过点C ,M 分别作MN ,BC 的平行线,并交于点P ,作射线AP∴四边形MNCP 是平行四边形NC MP MN PC ，AM NC AM MP ∴=;（2）在等边ABC 中,60ACB ∠=︒MP CN ∥60PMC ACBAM MP =30CAP MPA ;当CP AP ⊥时,CP 最小,此时MN 最小在Rt ACP 中,3,30AC CAP 13322CP ∴线段MN 长度的最小值为32; 方法应用:过点D ,M 分别作MN ,ED 的平行线,并交于点H ,作射线AH ,连接AD ∴四边形MNDH 是平行四边形,ND MH MN DH MH ED ，∥AM NDAM MH ∴=四边形BCDE 是矩形,90BC ED BCD ∥BC MH ∥30ACB CMHAM MH =15MAH3m,120AC CD ACDACB BCD30DAC ∴∠=︒ 45DAH ∴∠=︒∴当DH AH ⊥时,DH 最小,此时MN 最小 作CR AD ⊥于点R在Rt ACR 中,3,30AC CAR 13322CR 332AR 233AD AR在Rt ADH 中,33,45AD DAH 2363322DH AH∴线段MN 米． 23. 【答案】（1）4 （2）85（3）177 （4）256或259 【小问1详解】解:根据题意可知:5AB AC ==ABC ∴为等腰三角形,故点D 是边BC 的中点时,AD BC ⊥;在Rt ADC 中,4AD ====;根据题意作DH AC ⊥,如图所示;当4BD =时,则2CD =设点D 到直线AC 的距离为DH h = 1124522ACD S h =⨯⨯=⨯⨯ 解得:85h =; 【小问3详解】如图,当NP AC ⊥时,点M 落在AC 上设AP x =,则BD x =,6CD x =- 过点D 作DH AC ⊥于Q 则()33655CQ CD x ==-,()44655DQ CD x ==- ()44655AQ DQ CD x ===- AQ CQ AC +=()()3466555x x ∴-+-= 解得:177x =故177=AP 所以正方形APMN 的边长为177;如图,M ,N 在AC 异侧时;设MQ m =,3NQ m =,则4AN m = ANQ ∴三边的比值为3:4:5 AQN C ∴∠=∠ CAD C ∴∠=∠ ∴CDE ANQ ∽ CE CD NQ AQ= ∴5525326CD =⨯= 当M ,N 在AC 同侧设MQ m =,则3AN AP m ==,2PQ m =APO ∴三边比为2:AQD ∴三边比为2:设CD x =,则35CH x =,45DH x =,3425AH x =⨯3345525x x ∴+⨯= 解得:259CD x == 综上所述:CD 的长为256或259 24. 【答案】（1）222y x x =+-（2）见详解 （3）①9ADCE S =菱形;①3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【小问1详解】解:将()2,2--代入22y x x c =++得:442c -+=-解得:2x =-①抛物线表达式为:222y x x =+-;【小问2详解】解:过点B 作BH AC ⊥于点H,则90AHB ∠=︒由题意得:()()22,22,,22A m m m B m m m +---- ①4A B BH y y m =-=,2A B AH x x m =-=①在Rt AHB △中,4tan 22m BH CAB AH m∠===; 【小问3详解】解:①如图,记,AC DE 交于点M由题意得,()25,22C m m m -+- 由2122b a -=-=- 得:对称轴为直线:=1x -①四边形ADCE 是菱形①点A,C 关于DE 对称,2,2AC AM DE DM == ①DE 与此抛物线的对称轴重合 ①512m m -+=- 解得:12m =①12A x = ①()13122AM =--= ①3AC = ①tan 232DM DM CAB AM∠=== ①3DM =,则6DE = ①192ADCE S DE AC =⨯=菱形; ①记抛物线顶点为点F,把=1x -代入222y x x =+-,得:=3y - ①()1,3--F①抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大 ①菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线当0m >时,如图,符合题意当m 继续变大,直至当直线CD 经过点F 时,符合题意,如图:过点F 作FQ AC ⊥于点Q①四边形ADCE 是菱形①DA DC =①CAD FCQ ∠=∠ ①tan tan 2FQ FCQ CAD CQ∠=∠== ①()()2223215m m m +---=---解得:4m =-4m =①04m <≤-当4m>-,如图,发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线,不符合题意;m<时,如图,符合题意:当0当m继续变小,直至点A与点F重合,此时1m=-,符合题意,如图:①10m-≤<;当m继续变小,直至直线AE经过点F时,也符合题意,如图:过点F 作FQ AC ⊥于点Q,同上可得tan 2FQ FAQ AQ∠== ①()222321m m m+---=-- 解得:3m =-或1m =-（舍）当m 继续变小时,仍符合题意,如图:①3m ≤-综上所述,m 的取值范围为:3m ≤-或10m -≤<或04m <≤。

2023年长春市初中学业水平考试数学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分20分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 实数a 、b 、c 、d 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）A. aB. bC. cD. d【答案】B【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数. 【详解】解：由图可知，3a >，01b <<，01c <<，23d <<，比较四个数的绝对值排除a 和d ，根据绝对值的意义观察图形可知，c 离原点的距离大于b 离原点的距离，<b c ∴，∴这四个数中绝对值最小的是b .故选：B .【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.2. 长春龙嘉国际机场T3A 航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 80.3810×B. 63810×C. 83810×D. 73.810×【答案】D【解析】 【分析】根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为：10n a ×，1<10a ≤，n 为整数的位数减1．详解】解：738000000 3.810=×，故选：D ．【点睛】本题考查了科学记数法；解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．3. 下列运算正确的是（ ）A. 32a a a −=B. 23a a a ⋅=C. ()325a a =D. 623a a a ÷= 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．【详解】A. 3a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B. 23a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；C. ()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D. 624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．4. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）【A. 面①B. 面②C. 面⑤D. 面⑥【答案】C【解析】 【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C ．【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．5. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ′、BB ′的中点，只要量出A B ′′的长度，就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短【答案】A【解析】【分析】根据题意易证()SAS AOB A OB ′′ ≌，根据证明方法即可求解．【详解】解：O 为AA ′、BB ′的中点，OA OA ∴′=，OB OB ′=，AOB A OB ′′∠=∠ （对顶角相等），∴在AOB 与A OB ′′△中，OA OA AOB A OB OB OB= ∠=∠ =′′ ′，()SAS AOB A OB ′′∴△≌△，AB A B ′′∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．6. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成25°角（即25BAC ∠=°）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即32AC =米），则彩旗绳AB 的长度为（ ）A. 32sin 25°米B. 32cos 25°米C. 32sin 25°米 D. 32cos 25°米【答案】D【解析】【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.【详解】解： AC 表示的是地面，BC 表示是图书馆，AC BC ∴⊥，ABC ∴ 为直角三角形，32cos 25cos 25ACAB ∴==°°（米）.故选：D .【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.7. 如图，用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）A. AD AE =B. AD DF =C. DF EF =D. AF DE ⊥【答案】B【解析】【分析】根据作图可得,AD AE DF EF ==，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；�,A F 在DE 的垂直平分线上，�AF DE ⊥，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，分别以A 、B 为圆心，1为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结AB ，AB =，则k 的值为（ ）A. 3B.C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】过点,A B 分别作,y x 轴的垂线，垂足分别为,E D ，,AE BD 交于点C ，得出B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k，()1,B k ，则1,1AC k BC k =−=−，根据AB =【详解】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k�()1,1C ，则1,1AC k BC k =−=−，又�90ACB ∠=°，AB =�()()(22211k k −+−�13k −=（负值已舍去）解得：4k =，故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9. 分解因式：21a −=____．【答案】()()11a a +−．【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a −+−．故答案为：()()11a a +−【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．10. 若关于x 的方程220x x m −+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．【答案】1m <【解析】【分析】根据根的判别式求出2(2)41440m m ∆=−−××=−>，再求出不等式的解集即可．【详解】解： 关于x 的方程220x x m −+=有两个不相等的实数根，2(2)41440m m ∴∆=−−××=−>解得：1m <，故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程20ax bx c ++=(,,a b c 为常数，0)a ≠，①当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等的实数根，②当240b ac ∆=−=时，方程有两个相等的实数根，③当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x 的代数式表示）【答案】()7.510x −【解析】【分析】根据题意列出代数式即可．【详解】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为()7.510x −．故答案为：()7.510x −．【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．12. 如图，ABC 和A B C ′′′ 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA ′上．若12OA AA ′=::，则ABC 和A B C ′′′ 的周长之比为__________．【答案】1:3【解析】【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：12OA AA ′= ::，:1:3OA OA ′∴=，设ABC 周长为1l ，设A B C ′′′ 周长为2l ，ABC 和A B C ′′′ 是以点O 为位似中心的位似图形，1213l OA l OA ∴==′． 12:1:3l l ∴=．ABC ∴ 和A B C ′′′ 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．13. 如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，展开后，再将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B ′，折痕为AF ，则AFB ′∠的大小为__________度．【答案】45【解析】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为()5218101508−×°=°，根据折叠的性质求得,,BAM FAB ′∠∠在AFB ′V 中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为()5218101508−×°=°， 将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ， 则111085422BAM BAE ∠=∠=×°=°， ∵将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B ′，折痕为AF ，∴11542722FAB BAM ′∠=∠=×°=°，108AB F B ′∠=∠=°， 在AFB ′V 中，1801801082745AFB B FAB ′′∠=°−∠−∠=°−°−°=°， 故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 14. 2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A ′、B ′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H ′距地面__________米．【答案】19【解析】【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令0x =求平移后的抛物线与y 轴的交点即可．【详解】解：由题意可知：()40,4A −、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+， 将()40,4A −代入解析式220y ax =+， 解得：1100a =−， 220100x y ∴=−+， 消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =−+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=−+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++−，其中a =【答案】31a +1+【解析】【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：2(1)(1)a a a ++− 2221a a a a =+++−31a =+当a =311=+=+ 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．16. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．【答案】49【解析】【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下：共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同可能有4种，则某同学获一等奖的概率为：49， 答：某同学获一等奖的概率为49．【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．17. 随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？【答案】原计划平均每天制作200个摆件． 【解析】【分析】设原计划平均每天制作x 个，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原计划平均每天制作x 个，根据题意得，的3000300051.5x x=+ 解得：200x =经检验，200x =是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作200个摆件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．18. 将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ，E ，B ，D 依次在同一直线上，连结AF 、CD ．（1）求证：四边形AFDC 是平行四边形；（2）己知6cm BC =，当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ． 【答案】（1）见解析； （2）18 【解析】【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF =，30CAB FDE ∠=∠=°即AC DF ∥，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；（2）如图，在Rt ACB △中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC ==，60ABC ∠=°；由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA ∠=∠=°，再由三角形外角和易证BCD CDA ∠=∠即可得6cm BC BD ==，最后由AD AB BD =+求解即可．【小问1详解】证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE ∠=∠=°， AC DF \∥，∴四边形AFDC 地平行四边形；【小问2详解】如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，30CAB ∠=°，6cm BC =，212cm AB BC ∴==，60ABC ∠=°， 四边形AFDC 是菱形，AD ∴平分CDF ∠，30CDA FDA ∴∠=∠=°， ABC CDA BCD ∠=∠+∠ ，603030BCD ABC CDA ∴∠=∠−∠=°−°=°， BCD CDA ∴∠=∠， 6cm BC BD ∴==， 18cm AD AB BD ∴=+=，故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．19. 近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（Body MassIndcx ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 22kg BMI=m 体重（单位：）身高（位置：）例如：某人身高1.60m ，体重60kg ，则他的260BMI 23.41.60=≈． 中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5BMI 24≤<为正常；24BMI 28≤<为偏胖；BMI 28≥为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图；（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m ，BMI 值为27，他想通过健身减重使自己的BMI 值达到正常，则他的体重至少需要减掉_________kg ．（结果精确到1kg ） 【答案】（1）见解析 （2）110人 （3）9 【解析】【分析】（1）根据属于正常的人数除以占比得出抽取的人数，结合条形统计图求得属于偏胖的人数，进而补全统计图即可求解；（2）用属于偏胖和肥胖的占比乘以200即可求解；（3）设小张体重需要减掉kg x ，根据BMI 计算公式，列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】抽取了735%20÷=人，属于偏胖的人数为：202738−−−=， 补全统计图如图所示，【小问2详解】8320011020+×=（人） 【小问3详解】设小张体重需要减掉kg x ， 依题意，227241.70x−< 解得：8.67x >,答：他的体重至少需要减掉9kg ， 故答案为：9．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，一元一次不等式的应用，根据统计图表获取信息是解题的关键．20. 图①、图②、图③均是55×的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作ABC ，点C 在格点上．（1）在图①中，ABC 的面积为92； （2）在图②中，ABC 的面积为5 （3）在图③中，ABC 是面积为52的钝角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】【分析】（1）以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得19·22ABC S AB h == ，解得3h =，即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可； （2）由网格可知，AB =AB AB 边上的高为h ，依题意得1·52ABCS AB h ==，解得h =，将AB 绕A 或B 旋转90°，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ； （3）作BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，连接A 、B 、C 即可．【小问1详解】 解：如图所示，以3AB =为底，设AB 边上高为h ，依题意得：19·22ABC S AB h == 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可，的答案不唯一；【小问2详解】由网格可知，AB =以AB 为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：1·52ABC S AB h ==解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90°，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ， 答案不唯一，【小问3详解】如图所示，作BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，由网格可知，BD AB，AD =，�ABD △是直角三角形，且AB BD ⊥ ∵CD AB ∥∴15·22ABCS AB BD == ． 【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚垂直高度y （米）与甲登山的时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当1540x ≤≤时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式； （2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．【答案】（1）12180y x =− （2）180 【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）求得甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为460y x =+()2560x ≤≤，联立12180y x =−()1540x ≤≤，即可求解．【小问1详解】解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将()15,0，()40,300代入得， 15040300k b k b +=+=， 解得：12180k b ==−，∴12180y x =−()1540x ≤≤； 【小问2详解】设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤的将点()()25,16060,300，代入得， 11112516060300k b k b +=+= 解得：11460k b = = ， ∴460y x =+()2560x ≤≤； 联立12180460y x y x =−=+解得：30180x y = =∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．22. 【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=°，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=°．180BAP BAE ∠+∠=° ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O 是ABC 的外接圆，90ABC AB BC ∠=°=，，点P 在O 上，且点P 与点B 在AC 的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =，则PBPC的值为__________．【答案】感知：45． 【解析】【分析】感知：由圆周角定理即可求解；探究：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明(SAS)PBC EBA ≌，可推得PBE 是等边三角形，进而得证；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明(SAS)PBC EBA ≌得，可推得PBE 是等腰直角三角形，结合PE PA PC =+与PE =可得3PC PA =，代入PBPC即可求解． 【详解】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB ∠=∠=°， 故答案为：45； 探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=°．180BAP BAE ∠+∠=° ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，�PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=°，PBE ∴ 是等边三角形， PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=°．180BAP BAE ∠+∠=° ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=°，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=， 222PB PE ∴=，即PE =，PE PA AE PA PC =+=+ ， PA PC ∴+， PB =，4PA PC PA ∴+==，3PC PA ∴=，PB PC ∴=．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．23. 如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==，，点E 在边BC 上，且2BE =．动点P 从点E 出发，沿折线EB BA AD −−以每秒1个单位长度的速度运动，作90PEQ ∠=°，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连续PQ ．当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）（1）当点P 和点B 重合时，线段PQ 的长为__________；（2）当点Q 和点D 重合时，求tan PQE ∠；（3）当点P 在边AD 上运动时，PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； （4）作点E 关于直线PQ 的对称点F ，连接PF 、QF ，当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t 的取值范围．【答案】（1（2）32（3）见解析 （4）0t <≤176t =或7t = 【解析】【分析】（1）证明四边形ABEQ 是矩形，进而在Rt QBE △中，勾股定理即可求解．（2）证明PBE ECD ∽，得出2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===； （3）过点P 作PH BC ⊥于点H ，证明PHE ECQ ≌得出PE QE =，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P 在BE 上时，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE ∠=∠=°∵90PEQ ∠=°，�四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ==，2BE =在Rt QBE △中，BQ ，．【小问2详解】如图所示，�90PEQ ∠=°，90PBE ECD ∠=∠=°，∴1290,2390∠+∠=°∠+∠=°，�13∠=∠∴PBE ECD ∽， �PE BEDE CD =，∵2BE =，3CD AB ==， ∴2tan 3PEBE PQE DE CD ∠===；【小问3详解】如图所示，过点P 作PH BC ⊥于点H ，�90PEQ ∠=°，90PHE ECQ ∠=∠=°，∴1290,2390∠+∠=°∠+∠=°，则四边形ABHP 是矩形，�PH AB =3=又�523EC BC BE =−=−=∴PH EC =，∴PHE ECQ ≌∴PE QE =∴PQE 是等腰直角三角形；【小问4详解】①如图所示，当点P 在BE 上时，�3,2QE QF AQ BE ====，在Rt AQF △中，AF ，则3BF =�PE t =，则2BP t =−，PF PE t ==，在Rt PBF 中，222PF PB FB =+，�(()22232t t =+−解得：t =当t <F 在矩形内部，符合题意，�0t <≤符合题意， ②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，则2PB t BE t =−=−，PE =()325AP AB PB t t =−=−−=−，在Rt PBE △中，222PE PB BE =+()()222522t t −=−+， 解得：176t =， ③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t =++=综上所述，0t <≤或176t =或7t =． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．24. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =−++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m −．其中0m <．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；（3）该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m −时，求m 的值．（4）当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．【答案】（1）222y x x =−++；顶点坐标为()1,3（2）()A（3）1m =−或2m =−或m =或m =（4）2m =−2m =−或12m =−【解析】【分析】（1）将点(2,2)代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；（2）当0y =时，2220x x −++=，求得抛物线与x 轴的交点坐标，根据抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m −．其中0m <，得出m =，即可求解；（3）①如图所示，当111m <−<0m <<时，②当11m −≥+m ≤时，③当111m <−<，即0m <<11m −≤−，即m ≥，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为2m −，建立方程，解方程即可求解；（4）根据B 在x 轴的上方，得出m <<E 是AC 的中点，②同理当F 为AO 的中点时，③12AOC CDF S S = ，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =−++，得，2422b =−++解得：2b =∴抛物线解析式为222y x x =−++；∵222y x x =−++()213x =−−+，∴顶点坐标为()1,3，【小问2详解】解：由222y x x =−++，当0y =时，2220x x −++=，解得：1211x x −+，∵抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m −．其中0m <．∴1m 1−>∴11m −=解得：m =，∵点A 坐标为(,0)m ，∴()A ；【小问3详解】①如图所示，当111m <−<+，即0m <<时，抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点，最低点为点P ，的∵顶点坐标为()1,3，()1P则纵坐标之差为303−=依题意，32m =−解得：1m =−；②当11m −≥m ≤时，∵()()()21,1212B m m m −−−+−+，即()21,3B m m −−+，依题意，()2332m m −−+=−，解得：2m =−或1m =（舍去），③当111m <−<，即0m <<则232m m −+=−，解得：m =或m =，④当11m −≤，即m ≥，则()2032m m −−+=−，解得：m =m =，综上所述，1m =−或2m =−或m =或m =；【小问4详解】解：如图所示，∵B 在x 轴的上方，∴111m −<−<+∴m <<∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴BCD COD S S =∵AOBCAOC BOC S S S =+ ,BOC BCD COD S S S =+ ①当E 是AC 的中点，如图所示则2AOBC CEOD S S =， ∴23,22m m E −+ 代入222y x x =−++， 即22322222m m m −+ =−+×+，解得：2m −（舍去）或2m =−②同理当F 为AO 的中点时，如图所示，ACF CFO S S = ，BCD COD S S = ，则点C 、F 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴12m =，解得：2m =−，③如图所示，设BOC S S = ，则12DBC S S = ， ∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴12CDF FDB AOC S S S S +=+ 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=−+ ∴12AOC CDF S S = ， ∴CF AO =，∴()2,3F m m −−+，∵,B F 关于1x =对称， ∴112m m −+−=， 解得：12m =−，综上所述，2m =−+或2m =−或12m =−．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．31。

2022年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2022•吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．2．（2分）（2022•吉林）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷3．（2分）（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0B．y﹣2＜0C．y﹣2≥0D．y﹣2≤04．（2分）（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定5．（2分）（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行6．（2分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2022•吉林）﹣的相反数是．8．（3分）（2022•吉林）计算：a•a2＝．9．（3分）（2022•吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要元．（用含m的代数式表示）10．（3分）（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为．11．（3分）（2022•吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为度．（写出一个即可）12．（3分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y 轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．13．（3分）（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．14．（3分）（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）（2022•吉林）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．16．（5分）（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．解：m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝．17．（5分）（2022•吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．18．（5分）（2022•吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2022•吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．20．（7分）（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．21．（7分）（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）22．（7分）（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是℃．24．（8分）（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM ＝90°．∴AE∥．∴△AEM∽．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以P A为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为cm．（用含x的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．（10分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．2022年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2022•吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．【分析】由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．【解答】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，由松花砚的示意图可得其俯视图为C．故选：C．【点评】本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．2．（2分）（2022•吉林）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．【解答】解：当填入加号时：﹣1+3＝2；当填入减号时﹣1﹣3＝﹣4；当填入乘号时：﹣1×3＝﹣3；当填入除号时﹣1÷3＝﹣，∵2＞﹣＞﹣3＞﹣4，∴这个运算符号是加号．故选：A．【点评】本题考查的是有理数的运算及有理数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．3．（2分）（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0B．y﹣2＜0C．y﹣2≥0D．y﹣2≤0【分析】不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．4．（2分）（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定【分析】由数轴上b在a的右侧可得b与a的大小关系．【解答】解：∵b＞0，a＜0，∴a＜b，故选：B．【点评】本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．5．（2分）（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题关键是掌握平行线的判定方法及平行线的性质．6．（2分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．5【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝4，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3＜r＜5，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2022•吉林）﹣的相反数是．【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变﹣前面的符号，即可得﹣的相反数．【解答】解：﹣的相反数是．故答案为：．【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．8．（3分）（2022•吉林）计算：a•a2＝a3．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n＝a m+n计算即可．【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．故答案为：a3．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．9．（3分）（2022•吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元．（用含m的代数式表示）【分析】根据题意直接列出代数式即可．【解答】解：篮球队要买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元，故答案为：10m．【点评】本题主要考查了通过实际问题列出代数式，理解题意是解答本题的关键．10．（3分）（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为．【分析】根据题意列出二元一次方程组即可．【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，由题意得：，故答案为：．【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，找等量关系是列方程组的关键和难点．11．（3分）（2022•吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为72（答案不唯一）．度．（写出一个即可）【分析】先求出正五边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．【解答】解：360°÷5＝72°，则这个图案绕着它的中心旋转72°后能够与它本身重合，故答案为：72（答案不唯一）．【点评】本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正五边形的中心角是解题的关键．12．（3分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y 轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（2，0）．【分析】由图象可得OB与圆的直径重合，由BO⊥AC及垂径定理求解．【解答】解：由图象可得OB与直径重合，∵BO⊥AC，∴OA＝OC，∵A（﹣2，0），∴C（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．13．（3分）（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．14．（3分）（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．【分析】由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．【解答】解：∵∠BAE＝65°，∴∠BOE＝130°，∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，∴+的长度＝×2π×1＝，故答案为：π．【点评】本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系，掌握计算弧长的方法．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）（2022•吉林）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．【分析】由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD ＝CD．【解答】证明：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．16．（5分）（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．解：m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝m2﹣6．【分析】根据题意合并同类项即可．【解答】解：由题知，m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝m2﹣6，∵m2+6m＝m（m+6），∴A为：m+6，故答案为：m2﹣6．【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．17．（5分）（2022•吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．【分析】根据题意作图得出概率即可．【解答】解：由题意作树状图如下：由图知，两人都决定去长白山的概率为．【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键．18．（5分）（2022•吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，四边形ABCD为平行四边形．【解答】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，连接ABCD，AD∥BC 且AD＝BC，∴四边形ABCD为矩形，符合题意．【点评】本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2022•吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．【分析】设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据时间相等列方程求解即可．【解答】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据题意列方程，得，即135x＝120（x+20），解得x＝160，经检验x＝160是原方程的解，答：李婷每分钟跳绳160个．【点评】本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．20．（7分）（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）将V＝10代入函数解析式求解．【解答】解：（1）设ρ＝，将（4，2.5）代入ρ＝得2.5＝，解得k＝10，∴ρ＝．（2）将V＝10代入ρ＝得ρ＝1．∴该气体的密度为1kg/m3．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．21．（7分）（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】由AB，BC的长度求出AC长度，然后根据sin∠BCD＝求解．【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD＝104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．22．（7分）（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是62.71%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是①（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．【分析】（1）将2017﹣2021年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数．（2）根据城镇化率＝×100%可得2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%（万人）．‘（3）由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%，∴中为数是62.71%，故答案为：62.71．（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，∴常住人口为141260×64.72%（万人），故答案为：141260×64.72%．（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．故答案为：①．【点评】本题考查数据的收集与整理，解题关键是掌握中位数的概念，读懂折线图．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是20℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是65℃．【分析】（1）由图象x＝0时y＝20求解．（2）通过待定系数法求解．（3）由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入（2）中解析式求解．【解答】解：（1）由图象得x＝0时y＝20，∴加热前水温是20℃，故答案为：20．（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝x+20．（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80＝℃/s，∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷＝120s，将x＝120代入y＝x+20得y＝65，故答案为：65．【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．24．（8分）（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝BC•h．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM ＝90°．∴AE∥DF．∴△AEM∽△DFM．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．【分析】（1）由S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′即可证明．（2）由AE∥DF可得△AEM∽△DFM，再由相似三角形的性质可得＝，然后结合【探究】（1）结论可得＝．（3）作DK∥AC交l2于点K，由【探究】（1）（2）可得＝，进而求解．【解答】（1）证明：∵S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′，∴＝．（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．∵AE∥DF，∴△AEM∽△DFM，∴＝，由【探究】（1）可知＝，∴＝．故答案为：DF，△DFM，．（3）作DK∥AC交l2于点K，∵DK∥AC，∴△ACE∽△DKE，∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，∴＝＝，由【探究】（2）可得＝＝．故答案为：．【点评】本题考查图形的探究题型，解题关键是掌握三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定及性质．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以P A为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为2x cm．（用含x的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【分析】（1）作PE⊥AC于点E，由含30°角的直角三角形可得AE的长度，再由等腰三角形的性质可得AQ的长度．（2）作出点M落在边BC上的图象，由AP+PN+NB＝AB求解．（3）分类讨论0≤x≤1，1＜t≤，＜x≤3并作出图象求解．【解答】解：（1）作PE⊥AC于点E，在Rt△APE中，cos30°＝，∴AE＝AP•cos30°＝x，∵∠APQ＝120°，∴∠AQP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴AP＝PQ，∴点E为AQ中点，∴AQ＝2x（cm），故答案为：2x．（2）如图，∵∠APQ＝120°，∴∠MNB＝∠PQB＝60°，∵∠B＝60°，∴△MNB为等边三角形，∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，∴3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，∵∠A＝30°，AQ＝2x，∴QF＝AQ＝x，∵PN＝PQ＝AP＝2x，∴y＝PN•QF＝2x•x＝2x2．当1＜t≤时，QM，NM交BC于点H，K，∵AB＝6cm，∠A＝30°，∴AC＝AB＝3cm，∴CQ＝AC﹣AQ＝3﹣2x，∴QH＝CQ＝（3﹣2x）＝6﹣4x，∴HM＝QM﹣QH＝2x﹣（6﹣4x）＝6x﹣6，∵△HKM为等边三角形，∴S△HKM＝HM2＝9x2﹣18x+9，∴y＝2x2﹣（9x2﹣18x+9）＝﹣7x2+18x﹣9．当＜x≤3时，重叠图形△PQM为等边三角形，PQ＝PB＝AB﹣AP＝6﹣2x，∴y＝PB2＝（6﹣2x）2＝x2﹣6x+9．综上所述，y＝．【点评】本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．26．（10分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解．（3）①分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值．②根据m的值，作出等腰直角三角形求解．【解答】解：（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣4x+3．（2）令x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），∵抛物线开口向上，∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，当m＞2时，抛物线顶点为最低点，∴﹣1＝2﹣m，解得m＝3，当m≤2时，点P为最低点，将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，∴m2﹣4m+3＝2﹣m，解得m1＝（舍），m2＝．∴m＝3或m＝．②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1），∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意．当m＝时，如图，∠QP A＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF 于点E，∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠P AF＝90°，∴∠QPE＝∠P AF，又∵∠QEP＝∠PF A＝90°，QP＝P A，∴△QEP≌△PF A（AAS），∴QE＝P A，即2﹣m＝m2﹣4m+3，解得m1＝（舍），m2＝．∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣，∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝，∴点Q坐标为（2，）．综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2，）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．第31页（共31页）。

2024年吉林省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（ ）A ．102.0410⨯B ．92.0410⨯C ．820.410⨯D ．100.20410⨯3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（ ）A ．()4,2--B ．()4,2-C ．()2,4D ．()4,2【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题7．当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为 ．8．因式分解：a 2﹣3a=．【答案】a （a ﹣3）【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9．不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为 ．【答案】23x <</32x >>【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．【答案】两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11．正六边形的每个内角等于°．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为 ．13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为 ．【答案】()22220.5x x +=+【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为 2m （结果保留π）．三、解答题15．先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率17．如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴黑色琴键由：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．19．图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；，的中点；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB CD、，作直线GH，则直线GH即为所求；（2）解：如图所示，取格点G H⊥．易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE GH20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21．中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？(1)20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数．(2)直接写出20192023(3)下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，②201920232020年全国居民人均可支配收入最低．【答案】(1)8485元(2)35128元(3)①【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【详解】（1）解：39218307338485-=元，答：20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．（2）解：20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；（3）解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）在Rt GAD 中，45EAD ∠=∴873tan DG AG DG EAD===∠在Rt GAC △中，37EAC ∠=∴tan 873CG AG EAC =⋅∠=∴873654.75CD DG CG =-=-23．综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mm x 16.519.823.126.429.7凳面的宽度/mm y 115.5132148.5165181.5【分析数据】如图③，小组根据表中x ，y 的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．(2)当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+(2)36mm【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【详解】（1），解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；（2）解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．25．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P从点A /s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．∵90C ∠=︒，30B ∠=∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=∴PAQ APQ =∠∠，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =∴QE QA =，即22AE AQ t ==∵30PAQ ∠=︒，∴1322PG AP ==∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ ===∴12S QE PG =⋅=∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而CE AE AC =-∴tan CF CE =⋅∠∴1S CE CF =⋅∵30DAC ∠=︒DCA ∠=由上知3DC =，∴23AD =，∴此时323PD t =-26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．(1)直接写出k ，a ，b 的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．【详解】（1）解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；（2）解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y 当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程2ax +Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。

2023年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）A．a B．b C．c D．d2．（3分）长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”．如图所示．航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程是按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.38×108B．38×106C．3.8×108D．3.8×107 3．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a3 4．（3分）如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（）A．面①B．面②C．面⑤D．面⑥5．（3分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D．两点之间线段最短6．（3分）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（）A．32sin25°米B．32cos25°米C．米D．米7．（3分）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与y轴相切、⊙B与x轴相切时，连接AB，，则k的值为（）A．3B．3C．4D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：m2﹣1＝．10．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是．11．（3分）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为公里．（用含x的代数式表示）12．（3分）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为．13．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为度．14．（3分）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面米．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中．16．（6分）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．17．（6分）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？18．（7分）将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点A、E，B、D依次在同一条直线上，连接AF、CD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）已知BC＝6cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为cm．19．（7分）近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体程度以及是否康其计算公式是BMI＝，例如：某人身高1.60m，体重60kg，则他的，中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖：BMI≥28为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI值并绘制了两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m，BMI值为27，他想通过健身减重使自己的BMI值达到正常，则他的体重至少需要减掉kg．（结果精确到1kg）20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．（1）在图①中，△ABC的面积为；（2）在图②中，△ABC的面积为5；（3）在图③中，△ABC是面积为的钝角三角形．21．（8分）甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示：（1）当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．22．（9分）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．23．（10分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在边BC上，且BE＝2，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P 的运动时间为t秒．（t＞0）（1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为；（2）当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；（3）当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；（4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+2（b是常数）经过点（2，2）．点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为1﹣m．其中m＜0．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B在x轴上时，求点A的坐标；（3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m时，求m的值；（4）当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC、BO．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．2023年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【分析】根据数轴上表示某个数的点与原点的距离的大小确定结论．【解答】解：由图可知：实数b在数轴上的对应点到原点O的距离，所以在这四个数中，绝对值最小的数是b．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：38000000＝3.8×107．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：A．a3﹣a2，无法合并，故此选项不合题意；B．a2•a＝a3，故此选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；D．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．【分析】由多面体的表面展开图，即可得到答案．【解答】解：多面体的底面是面③，则多面体的上面是⑤．故选：C．【点评】本题考查几何体的表面展开图，关键是由长方体的表面展开图找到相对面．5．【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，故选：A．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．6．【分析】根据直角三角形的边角关系进行解答即可．【解答】解：如图，由题意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cos A＝，∴AB＝＝（m），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．7．【分析】利用基本作图得到AF平分∠MAN，则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断．【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点D、E；②分别以点D、E为圆心，DF长为半径作弧，两弧在∠MAN内相交于点F；③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线．根据角平分线的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，故选：B．【点评】本题考查了用直尺和圆规作角平分线的方法，掌握画法是解题的关键．8．【分析】依据题意，可得A（1，k），B（k，1），再由AB＝3，从而2（k﹣1）2＝18，进而得解．【解答】解：由题意，得A（1，k），B（k，1）．∵AB＝3，∴有两点距离公式可得：2（k﹣1）2＝18．∴（k﹣1）2＝9．∴k＝﹣2或4．又k＞0，∴k＝4．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要熟练掌握并理解．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．10．【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，Δ＝b2﹣4ac＞0求解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＞0，解得：c＜1．故答案为：c＜1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac 的关系是解题关键．熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．11．【分析】根据题意可知：总路程﹣已跑的路程＝离终点的路程，然后列出相应的代数式即可．【解答】解：由题意可得，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为（7.5﹣10x）公里，故答案为：（7.5﹣10x）．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式即可．12．【分析】根据题意求出OA：OA′＝1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，故答案为：1：3．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．13．【分析】由多边形的内角和及轴对称的性质和三角形内角和可得出结论．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B＝∠BAE＝108°，由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，∠BAF＝∠FAB'＝∠BAM＝27°，∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．故答案为：45．【点评】本题考查了多边形的内角和，三角形的内角和定理，图形的折叠的性质，掌握这些知识点是解题的关键．14．【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x ＝0求平移后的抛物线与y轴的交点即可．【解答】解：由题意可知：A（﹣40，4）、B（40，4）．H（0，20），设抛物线解析式为：y＝ax2+20，将A（﹣40，4）代入解析式y＝ax2+20，解得：a＝﹣，∴y＝﹣+20，消防车同时后退10米，即抛物线y＝﹣+20向左平移后的抛物线解析式为：y＝﹣+20，令x＝0，解得：y＝19，故答案为：19．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图象的平移及坐标轴的交点，解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．【分析】分别运用完全平方公式和乘法分配律将两个括号展开，再进行合并同类项计算即可．【解答】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2＝（a2﹣a2）+（2a+a）+1＝3a+1．当a＝时，3a+1＝3×+1＝+1．【点评】整式的混合运算是初中数学最基本的知识点，考查学生最基本的运算能力，一定要熟练掌握，确保计算结果正确无误．16．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋颜色不同的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋颜色不同的结果有4种，∴某同学获一等奖的概率为．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】设原计划平均每天制作x个摆件，根据“结果提前5天完成任务”列分式方程，求解即可．【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并能根据题意建立方程是解题的关键．18．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，根据平行线的判定定理得到AC∥DF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AFDC是平行四边形；（2）连接CF交AD于O，根据直角三角形的性质得到AC＝BC＝6（cm），根据菱形的性质得到CF⊥AD，AD＝2AO，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△ACB≌△DFE，∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，∴AC∥DF，∴四边形AFDC是平行四边形；（2）解：连接CF交AD于O，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6cm，∴AC＝BC＝6（cm），∵四边形AFDC是菱形，∴CF⊥AD，AD＝2AO，∴∠AOC＝90°，∴AO＝AC＝＝9（cm），∴AD＝2AO＝18cm，故答案为：18．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．19．【分析】（1）利用正常人数7除以35%即可得总人数，减去其它人数和即可得答案；（2）用200×偏胖和肥胖和的百分比即可得答案；（3）利用身体质量指数公式算出小张实际体重，再用小张身高算出正常体重的最大值，最后用小张实际体重减去小张正常体重的最大值即可得答．【解答】解：（1）7÷35%＝20（人），偏胖人数：20﹣2﹣7﹣3＝8（人），条形图如下：（2）200×＝110（人），答：公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数110人；（3）小张实际体重：27×（1.70）2＝78.03（kg），小张正常体重的最大值：24×（1.70）2＝69.36（kg），∴他的体重至少需要减掉：78.03﹣69.36≈9（kg），故答案为：9．【点评】本题考查条形统计图，扇形图，能结合俩图找到正常体重的人数和百分比是解题关键．20．【分析】（1）先根据三角形的面积求出AB边上的高，再作图；（2）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图；（3）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图．【解答】解：如图：（1）如图①：△ABC即为所求；（2）如图②：△ABC即为所求；（3）如图③：△ABC即为所求．【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及三角形的面积公式是解题的关键．21．【分析】（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，再利用待定系数法来求解即可；（2）求出甲的函数解析式和乙的解析式，甲的函数解析式和乙的解析式组成方程组解答即可．【解答】解：（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，∵直线过（15，0）和（40，300），∴，解得，∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝12x﹣180；（2）设甲的函数解析式为：y＝mx+n，将（25，160）和（60，300）代入得：，解得，∴y＝4x+60；∵乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度，∴，解得，∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米．【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法是解题关键．22．【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案；【探究】先构造出△PBC≌△EBA（SAS），得出PB＝EB，进而得出△PBE是等边三角形，即可得出结论；【应用】先构造出△PBC≌△EBA（SAS），进而判断出∠PBG＝90°，进而得出△PBG 是等腰直角三角形，即可得出结论；【解答】【感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），故答案为：45；【探究】证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠APB＝60°，∴△PBE为等边三角形，∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；【应用】解：如图③，延长PA至点G，使AG＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAG＝180°，∴∠BCP＝∠BAG，∵BA＝BC，∴△PBC≌△GBA（SAS），∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，∵∠ABC＝90°，∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴PG＝BP，∵PG＝PA+AG＝PA+PC，∴PC＝PG﹣PA＝×2PA﹣PA＝3PA，∴＝＝，故答案为：【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．23．【分析】（1）证明四边形ABEQ是矩形，进而在Rt△QBE中，勾股定理即可求解．（2）证明△PBE∽△ECD，得出．（3）过点P作PH⊥BC于点H，证明△PHE≌△ECQ得出PE＝QE，即可得出结论．（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P在BE上时，②当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意，此时如图，③当点P在AD上，当F，D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，即可求解．【解答】解：如图所示，连接BQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAQ＝∠ABE＝90°，∵∠PEQ＝90°，∴四边形ABEQ是矩形，当点P和点B重合时，∴QE＝AB＝3，BE＝2，在Rt△QBE中，，故答案为：．（2）如图所示，∵∠PEQ＝90°，∠PBE＝∠ECD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△PBE∽△ECD，∴，∵BE＝2，CD＝AB＝3，∴．（3）如图所示，过点P作PH⊥BC于点H，∵∠PEQ＝90°，∠PHE＝∠ECQ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则四边形ABHP是矩形，∴PH＝AB＝3，又∵EC＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，∴PH＝EC，∴△PHE≌ECQ（AAS），∴PE＝QE，∴△PQE是等腰直角三角形；（4）①如图所示，当点P在BE上时，∵QE＝QF＝3，AQ＝BE＝2，在Rt△AQF中，，则，∵PE＝t，∴BP＝2﹣t，PF＝PE＝t，在Rt△PBF中，PF2＝PB2+FB2，∴，解得：，当时，点F在矩形内部，∴0＜t≤符合题意．②当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意，此时如图，π则PB＝t﹣BE＝t﹣2，PE＝AP＝AB﹣PB＝3﹣（t﹣2）＝5﹣t，在Rt△PBE中，PE2＝PB2+BE2，∴（5﹣t）2＝（t﹣2）2+22，解得t＝．③当点P在AD上，当F，D重合时，此时点Q与点C重合，则PFQE是正方形，此时t＝2+3+2＝7．综上所述，0＜t≤或t＝或t＝7．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．24．【分析】（1）将点（2，2）代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解；（2）当y＝0时，﹣x2+2x+2＝0，求得抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线上的点B 在x轴上时，横坐标为1﹣m，其中m＜0，得出，即可求解；（3）证明点B一定在对称轴右侧，分情况讨论：①如图所示，当，即﹣时，②当，即时分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m，建立方程，解方程即可求解；（4）根据B在x轴的上方，得出﹣＜m＜0，根据题意分三种情况讨论：①当E是AC的中点时，②当F为AO的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）将点（2，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+2中，得2＝﹣4+2b+2，解得：b＝2，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3）．（2）由y＝﹣x2+2x+2，当y＝0时，﹣x2+2x+2＝0，解得：，，∵抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为1﹣m．其中m＜0．∴1﹣m＞1，∴，解得：，∵点A的坐标为（m，0），∴．（3）令﹣x2+2x+2＝0，得x1＝1﹣，x2＝1+，∴P（1﹣，0），∵m＜0，∴1﹣m＞1，∴点B一定在对称轴右侧，∴B（1﹣m，﹣m2+3）．①如图所示，当，即﹣时，根据题意，3＝2﹣m，解得m＝﹣1；②当，即时，依题意，3﹣（﹣m2+3）＝2﹣m，解得：m＝﹣2或m＝1（舍去）．综上所述，m＝﹣1或m＝﹣2．（4）如图所示，∵B在x轴的上方，∴且m＜0，∴﹣＜m＜0，∵以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D，＝S△COD，∴S△BCD＝S△AOC+S△BOC，S△BOC＝S△BCD+S△COD，∵S四边形AOBC①当E是AC的中点，如图，则S四边形AOBC∴，代入y＝﹣x2+2x+2，即，解得（舍去）或；②同理当F为AO的中点时，如图所示，S△ACF＝S△CFO，S△BCD＝S△COD，则点C、F、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴，解得；③如图所示，＝S，设S△BOC则，∵以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D，∴，即，∴，∴CF＝AO，∴F（﹣m，﹣m2+3），∵B，F关于x＝1对称，∴，解得：．综上所述，或或．【点评】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键。

吉林省2023年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1. 月球表面的白天平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作（ ）A. +150C° B. 150C -° C. +276C ° D. 276C-°【答案】B【解析】【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．【详解】解：平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作150C -°，故选：B ．【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图．【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，故选A ．【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．3. 下列各式计算结果为a 5的是（ ）A. 32a a +B. 32a a ×C. ()32aD. 102a a ¸【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项逐项计算即可求解．【详解】解：A. 3a 与2a 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B. 32a a ×5a =，故该选项符合题意；C. ()32a 6a =，故该选项不符合题意；D. 122a a ¸10a =，故该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项是解题的关键．4. 一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（ ）A. 33B. 23C. 17D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用一元二次方程根的判别式24b ac =-△求出答案．【详解】解：∵1a =，=5b -，2c =，∴()224541172b ac =-=-´´-=V ．故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．5. 如图，在ABC V 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．若23AD BD ==，，则AE AC的值是（ ）A. 25 B. 12 C. 35 D. 23【答案】A【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AE AD AC AB=，即可求解．【详解】解：∵ABC V 中，DE BC ∥，∴AE AD AC AB =，∵23AD BD ==，∴22235AE AD AC AD BD ===++，故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．6. 如图，AB ，AC 是O e 弦，OB ，OC 是O e 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC Ð=°，则BPC Ð的度数可能是（ ）A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°【答案】D【解析】【分析】根据圆周角定理得出2140BOC BAC Ð=Ð=°，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵ BCBC =，70BAC Ð=°，∴2140BOC BAC Ð=Ð=°，∵140BPC BOC PCO Ð=Ð+г°，的∴BPC Ð的度数可能是155°故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7. .．【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．．8. 不等式480x ->的解集为__________．【答案】2x >【解析】【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：480x ->48x >解得：2x >，故答案为：2x >．【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．9. 计算：(3)a b +=_________．【答案】3ab a+【解析】【分析】根据单项式乘多项式的运算法则求解．【详解】解：(3)3a b ab a +=+．故答案为：3ab a +．【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键．10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．【答案】三角形具有稳定性【解析】【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．11. 如图，在ABC V 中，AB AC =，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两孤交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若=110BAC а，则BAE Ð的大小为__________度．【答案】55【解析】【分析】首先根据题意得到AD 是BAC Ð的角平分线，进而得到1552BAE CAE BAC Ð=Ð=Ð=°．【详解】∵由作图可得，AD 是BAC Ð的角平分线∴1552BAE CAE BAC Ð=Ð=Ð=°．故答案为：55．【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x 人，可列方程为__________．【答案】54573x x +=+【解析】【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可．【详解】解：设合伙人数为x 人，根据题意列方程54573x x +=+；故答案为：54573x x +=+．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．13. 如图①，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A ，B 是圆上的两点，圆心角120AOB Ð=°，则 AB 的长为_________m ．（结果保留π）【答案】10π【解析】【分析】利用弧长公式π180n r l =直接计算即可．【详解】∵半径15m OA =，圆心角120AOB Ð=°，∴AB l n 120π1510π180´´==，故答案为：10π．【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式π180n r l =，并规范计算是解题的关键．14. 如图，在Rt ABC △中，90C BC AC Ð=°<，．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将BDE V 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ¢．若点B ¢刚好落在边AC 上，303CB E CE ¢Ð=°=，，则BC 的长为__________．【答案】9【解析】【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出26B E BE CE ¢===，即可求解．【详解】解：∵将BDE V 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ¢．点B ¢刚好落在边AC 上，在Rt ABC △中，90C BC AC Ð=°<，，303CB E CE ¢Ð=°=，，∴26B E BE CE ¢===，∴369BC CE BE =+=+=，故答案为：9．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（每小题5分，共20分）15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式．请写出单项式M ，并将该例题的解答过程补充完整．例 先化简，再求值：211a a aM -++，其中100a =．解：原式()()2111a a a a a =-++……【答案】M a =，11a -，99100，过程见解析【解析】【分析】先根据通分的步骤得到M ，再对原式进行化简，最后代入100a =计算即可．【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，∴()()2111M a a a a a M a a ×==+++，∴M a =，原式()()2111a a a a a =-++()211a a a -=+()()()111a a a a +-=+1a a-=11a=-，当100a =时，原式1991100100=-=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．16. 2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A ，B ，C ，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．【答案】13【解析】【分析】分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率．【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P ==．解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：AB C AAA BA CA B AB BB CB C AC BC CC 由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P ==．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．17. 如图，点C 在线段BD 上，在ABC V 和DEC V 中，A D AB DE B E Ð=Ð=Ð=Ð，，．求证：AC DC =．【答案】证明见解析【解析】【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在ABC V 和DEC V 中，A D AB DEB E Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA ABC DEC ≌V V ∴AC DC =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．18. 2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A ，B 两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A 种鱼和2箱B 种鱼需花费1300元：如果购买2箱A 种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A 种鱼和每箱B 种鱼的价格．【答案】每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【解析】【分析】设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．【详解】解：设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，由题意得：21300232300x y x y +=ìí+=î，解得700300x y =ìí=î，答：每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19. 图①、图②、图③均是55´的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB 为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．【答案】见解析【解析】【分析】根据勾股定理可得AB =【详解】解：如图所示，如图①，AC AB ===，则ABC V 是等腰三角形，且ABC V 是锐角三角形，如图②，AD AB ===，BD ==，则222AD AB BD +=，则ABD △是等腰直角三角形，如图③，AE AB ===ABE V 是等腰三角形，且ABE V 是钝角三角形，【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长l （单位：m ）会随着电磁波的频率f （单位：MHz ）的变化而变化．已知波长l 与频率f 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f （MHz ）101550波长l （m ）30206（1）求波长l 关于频率f 的函数解析式．（2）当75MHz f =时，求此电磁波的波长l ．【答案】（1）300f l =； （2）4m【解析】【分析】（1）设解析式为k fl =()0k ¹，用待定系数法求解即可；（2）把75MHz f =值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长l ．【小问1详解】解：设波长l 关于频率f 的函数解析式为k f l =()0k ¹，把点()10,30代入上式中得：3010k =，解得：300k =，300fl \=；【小问2详解】解：当75MHz f =时，300475l ==，答：当75MHz f =时，此电磁波的波长l 为4m ．【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．21. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告 时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角a ．测出眼睛到地面的距离AB ．测出所站地方到古树底部的距离BD ．a =________．1.54m AB =．10m BD =．【步骤四】计算古树高度CD ．（结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 400.643cos 400.766tan 400.839°=°=°=，，）请结合图①、图④和相关数据写出a 的度数并完成【步骤四】．【答案】40°，9.9mCD =【解析】【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得a 的度数，证明四边形ABDE 是矩形得到DE AB =，再解直角三角形求得CE 的度数，即可求解．【详解】解：测角仪显示的度数为50°，∴905040a =°-°=°，∵AB BD ^，ED BD ^，CE AE ^，∴90ABD EDB AED Ð=Ð=Ð=°，∴四边形ABDE 是矩形，10m AE BD ==， 1.54mED AB ==在Rt CAE △中，tan 8.39m CE AE a ==，∴8.39 1.549.939.9m CD CE ED =+=+=»．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．22. 为了解20182022-年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：20182022-年吉林省粮食总产量及其增长速度（以上数据源于《2022年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）注：-=100%´本年粮食总产量去年粮食总产量增长速度去年粮食总产量．根据此统计图，回答下列问题：（1）2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多__________万吨．（2）20182022-年全省粮食总产量的中位数是__________万吨．（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨．结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”①20182022-年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总产量最高．（ ）②如果将20182022-年全省粮食总产量的中位数记为a 万吨，20172022-年全省粮食总产量的中位数记为b 万吨，那么a b <．（ ）【答案】（1）161.3（2）3877.9（3）①×；②√【解析】【分析】（1）根据条形统计图，可知2021年全省粮食总产量4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，作差即可求解．（2）根据中位数定义，即可求解．（3）①根据统计图可知2019年全省粮食总产量不是最高；②根据中位数定义可得3877.94039.23877.92b +=>，即可求解．【小问1详解】解：根据统计图可知，2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，∴2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多4039.23877.9161.3-=（万吨）；故答案为：161.3．【小问2详解】将20182022-年全省粮食总产量从小到大排列为：3632.7,3803.2,3877.9,4039.2,4080.8；∴20182022-年全省粮食总产量的中位数是3877.9万吨故答案为：3877.9．【小问3详解】①20182022-年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，但是在这5年中，2019年全省粮食总产量不是最高．故答案为：×．②依题意，3877.9a =，3877.94039.23877.92b +=>∴b a >，故答案为：√．【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，中位数的计算，从统计图中获取信息是解题的关键．五、解答题（每小题8分，共16分）23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和()m y 与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示．为的的（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．（2）求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．【答案】（1）30（2）()312060y x x =+30<£（3）10天【解析】【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；（2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x 的取值范围；（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a ，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【小问1详解】解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，603030-=（天）∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；【小问2详解】解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，将()30,210和()60,300两个点代入，可得2103030060k b k b =+ìí=+î，解得3120k b =ìí=î，∴()312060y x x =+30<£【小问3详解】解：甲组每天挖30021036030-=-（米）甲乙合作每天挖210730=（米）∴乙组每天挖734-=（米），乙组挖掘的总长度为304120´=（米）设乙组己停工的天数为a ，则()330120a +=，解得10a =，答：乙组已停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．24. 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN ．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN 总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD 和EFGH （AB BC <，FG BC £），其中AB EF =，B FEH Ð=Ð，将它们按图②放置，EF 落在边BC 上，FG EH ，与边AD 分别交于点M ，N ．求证：EFMN Y 是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD 不动，将平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移，且EF 始终在边BC 上．当MD MG =时，延长CD HG ，交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，4sin 5EFG Ð=（EFG Ð为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），8【解析】【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；（探究提升），证明四边形ABEN 是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；（结论应用），证明四边形ECPH 是菱形，求得其边长为10，作GQ BC ^于Q ，利用正弦函数的定义求解即可．【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，∴MN EF ∥，NE MF ∥，∴四边形EFMN 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），∵MN EF ∥，NE MF ∥，∴四边形EFMN 是平行四边形，∵B FEH Ð=Ð，∴NE AB ∥，又AN BE ∥，∴四边形ABEN 是平行四边形，∴EF AB NE ==，∴平行四边形EFMN 是菱形；（结论应用），∵平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移，∴MD GP ∥，PD MG ∥，∴四边形MNHG 、CDMF 、PGMD 是平行四边形，∵MD MG =，∴四边形PGMD 是菱形，∵四边形EFMN 是菱形，∴四边形ECPH 是菱形，∵四边形ECPH 的周长为40，∴10FH GF ==，作GQ BC ^于Q ，∵4sin 5EFG Ð=，∴45GQ GF =，∴8GQ =，∴四边形ECPH 的面积为10880´=．故答案为：80．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．六、解答题（每小题10分，共20分）25. 如图，在正方形ABCD 中，4cm AB =，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD -向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA AB -于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<），四边形PQMN 的面积为y （2cm ）（1）BP 的长为__________cm ，CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．【答案】（1）()4x -；x（2）()()2412160241624x x x y x x ì-+<£ï=í-+<£ïî（3）43x =或83x =【解析】【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON ==，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明ANP CQM V V ≌即可；（2）分02x <£，24x <£两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【小问1详解】解：依题意，1AP x x =´=()cm ，则()4PB AB AP x cm =-=-，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB DCB Ð=Ð=°∥，∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ PN =，MQ NP ∥，∴PNQ MQN Ð=Ð，又AD BC ∥，∴ANQ CQN Ð=Ð，∴ANP MQC Ð=Ð，在,ANP CQM V V 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ANP CQM V V ≌，∴()cm MC AP x ==故答案为：()4x -；x ．【小问2详解】解：当02x <£时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM V V ≌，同理可得PBQ MDN V V ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =-==，42QC x =-，则222MCQ BPQ y AB S S =--V V ()()164242x x x x =--´--241216x x =-+；当24x <£时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==-=-，()244PN AP AN x x x =-=--=-+，∴()44416y x x =-+´=-+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x ì-+<£ï=í-+<£ïî；【小问3详解】依题意，①如图，当四边形PQMN 是矩形时，此时90PQM Ð=°，∴90PQB CQM Ð+Ð=°，∵90BPQ PQB Ð+Ð=°，∴BPQ CQM Ð=Ð，又B BCD Ð=Ð，∴~BPQ CQM V V ，∴BP BQ CQ CM=，即4242x x x x-=-，解得：43x =，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =，∴()()()22224242x x x x -+=+-，解得：0x =（舍去）；②如图所示，当PB CQ =时，四边形PQMN 是轴对称图形，424x x -=-，解得83x =，当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ ==，即44x -+=，解得：0x =（舍去），综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，43x =或83x =．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y xx c =-++经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．（3）当PAQ Ð的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m -=时，直接写出m 的值．【答案】（1）221y x x =-++（2）12m = （3）点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8（4）13m =或54m =【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点Q 的横坐标为2m ，即可求解；（3）分AQ x ∥轴时，AP x ∥轴时分别根据抛物线的对称性求得Q 的横坐标与P 的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；（4）分四种情况讨论，①如图所示，当,P Q 都在对称轴1x =的左侧时，当,P Q 在对称轴两侧时，当点P 在1x =的右侧时，当P 的纵坐标小于1时，分别求得12,h h ，根据21h h m -=建立方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y xx c =-++经过点(0,1)A ．∴1c =∴抛物线解析式为221y x x =-++；【小问2详解】解：∵221y x x =-++()212x =--+，顶点坐标为()1,2，∵点Q 与此抛物线顶点重合，点Q 的横坐标为2m∴21m =，解得：12m =；【小问3详解】①AQ x ∥轴时，点,A Q 关于对称轴1x =对称，22Q x m ==，∴1m =，则212112-+´+=，222211-+´+=，∴()1,2P ，Q ()2,1∴点P 与点Q 的纵坐标的差为211-=；②当AP x ∥轴时，则A P ，关于直线1x =对称，∴2P x m ==，24Q x m ==则242417-+´+=-∴()2,1P ，()4,7Q -；∴点P 与点Q 的纵坐标的差为()178--=；综上所述，点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8；【小问4详解】①如图所示，当P Q ，都在对称轴1x =的左侧时，的则021m <<∴102m <<∵()2,21P m m m -++，()()()22,2221Q m m m -++即()22,441Q m m m -++∴()21211P A h y y m m =-=-++-22m m =-+；222441144Q A h y y m m m m=-=-++-=-+∵21h h m-=∴22442m m m m m-++-=解得：13m =或0m =（舍去）；②当,P Q 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则211m m ³£，，即112m ££，则2122,211h m m h =-+=-=，∴212m m m +-=，解得：m =；③当点P 在1x =的右侧且在直线0y =上方时，即12m <<，1211h =-=，()2222441441h m m m m =--++=-+∴24411m m m-+-=解得：54m =或0m =（舍去）；④当P 在直线1y =上或下方时，即2m ³，，()22122121h m m m m =--++=-+，()2222441441h m m m m =--++=-+，()2244121m m m m m\-+--+=解得：1m =（舍去）或0m =（舍去）综上所述，13m =或54m =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。