【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第七章不等式7.1不等关系与不等式教学案 新人教B版

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§7.1 不等关系与不等式最新考纲考情考向分析１。

了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合。

1．两个实数比较大小的方法(1）作差法错误!（a，ｂ∈R)（2)作商法错误!（a∈Ｒ，b>0)2.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>ｂ⇔ｂ<a⇔传递性a〉b，ｂ〉c⇒a〉c⇒可加性a＞b⇔a＋c〉b＋c⇔可乘性错误!⇒ac〉bc注意c的符号错误!⇒ac<bc同向可加性错误!⇒a＋c〉b+d⇒同向同正可乘性错误!⇒ａｃ>bd⇒可乘方性a>b>０⇒a n＞b n（n∈Ｎ,n≥1)a,b同为正数可开方性a〉b＞0⇒错误!〉错误!（ｎ∈N,n≥2)3.不等式的一些常用性质(1）倒数的性质①a>ｂ,ab〉０⇒错误!<错误!。

②a<0〈ｂ⇒＼ｆ(1,ａ)〈错误!。

③a>b〉0，０＜c〈d⇒错误!〉错误!。

④0<a〈ｘ<ｂ或ａ<x<b〈0⇒错误!＜错误!〈错误!。

7.1 不等关系与不等式考纲传真1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景.1．实数的大小顺序与运算性质的关系a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0． 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性) (5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；(单向性) (6)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)；(单向性) (7)倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔1a ＞1b.(双向性)1．(人教A 版教材习题改编)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 『解析』 a ＞6D /⇒ac 2＞bc 2，如c ＝0时，ac 2＝bc 2，但ac 2＞bc 2⇒a ＞b ， ∴“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的必要不充分条件． 『答案』 B2．在城区限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是( )A ．v ＜40 km/hB ．v ＞40 km/hC ．v ≠40 km/hD ．v ≤40 km/h 『答案』 D3．(2013·合肥质检)已知a ，b 为非零实数，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 4＞b 4 B.1a ＜1bC ．|a |＞|b |D ．2a ＞2b『解析』 当a ＝1，b ＝－2时，A 、B 、C 均不正确，由y ＝2x 的单调性知，D 正确． 『答案』 D4．(2012·湖南高考)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 『解析』 ∵a >b >1，∴1a <1b .又c <0，∴c a >cb，故①正确．当c ＜0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 『答案』 D 5.12－1与3＋1的大小关系为________． 『解析』 12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1. 『答案』12－1＜3＋1利用不等式(组)表示不等关系用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组．『思路点拨』 由题意，找出题目中相应的不等式关系，特别是“一个铁钉受击3次后全部进入木板”，然后用不等式(组)将它们表示出来．『尝试解答』 依题意得，第二次钉子没有全部进入木板；第三次全部进入木板，∴⎩⎨⎧47＋47k＜1，47＋47k ＋47k 2≥1，(k ∈N *)．,1．本题常见的错误：(1)没能准确理解“一个铁钉受击3次后全部进入木板”的含义，导致遗漏不等式47＋47k＜1；(2)忽视变量k ∈N *.2．求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．『解』 设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.不等式性质的应用(2013·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的命题为________． 『思路点拨』 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．『尝试解答』 ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，则ad ＜bc ，(1)错误．由a ＞0＞b ＞－a ，知a ＞－b ＞0，又－c ＞－d ＞0，因此a ·(－c )＞(－b )·(－d )，即ac ＋bd ＜0， ∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故(2)正确．显然a －c ＞b －d ，∴(3)正确． ∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确． 『答案』 (2)(3)(4),1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误． 2．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括 “单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．(2012·浙江高考)设a >0，b >0，( )A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b 『解析』 当0＜a ≤b 时，显然2a ≤2b ，2a ≤2b ＜3b ，∴2a ＋2a ＜2b ＋3b ， 即2a ＋2a ≠2b ＋3b .∴它的逆否命题“若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞b ”成立， 因此A 正确． 『答案』 A比较大小(1)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2xx －1，试比较f (a )与f (b )的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)的大小．『思路点拨』 (1)计算出f (a )与f (b )，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小．『尝试解答』 (1)法一 ∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2bb －1，∴f (a )－f (b )＝m 2a a －1－m 2b b －1＝m 2(a a －1－bb －1)＝m 2·a （b －1）－b （a －1）（a －1）（b －1）＝m 2·b －a（a －1）（b －1）， 当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2＞0，又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )，即f (a )≤f (b )．法二 ∵f (x )＝m 2x x －1＝m 2(1＋1x －1)，∴f (a )＝m 2(1＋1a －1)，f (b )＝m 2(1＋1b －1)，由于a ＞b ＞1，∴a －1＞b －1＞0，∴1＋1a －1＜1＋1b －1，当m ＝0时，m 2(1＋1a －1)＝m 2(1＋1b －1)，即f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2(1＋1a －1)＜m 2(1＋1b －1)，即f (a )＜f (b )，∴f (a )≤f (b )．(2)根据同底数幂的运算法则，采用作商法，a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(ab )a －b ，当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b ＞0，则(a b )a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ，当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，a －b ＜0，则(a b)a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ，当a ＝b ＞0时，(a b )a －b ＝1，∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．,1．第(1)中，若注意到m 2≥0，亦可构造函数φ(x )＝xx －1(x ＞1)，判断出φ(x )是减函数，f (a )≤f (b )．2．(1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③判断差的符号；④作出结论．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等．(2)“作商比较法”的依据是“ab ＞1，b ＞0⇒a ＞b ”，在数式结构含有幂或根式时，常采用比商法．若a ＞b ＞0，试比较a a ＋b b 与a b ＋b a 的大小．『解』 (a a ＋b b )－(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )，∵a ＋b ＞0，(a －b )2＞0，∴(a a ＋b b )－(a b ＋b a )＞0，∴a a ＋b b ＞a b ＋b a .两点注意1.运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件，切忌弱化或强化性质成立的条件． 2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围． 两种方法作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键． 两条性质1.倒数性质，若ab ＞0，则a ＞b ⇔1a ＜1b.2．真分数的性质，若m ＞0，a ＞b ＞0，则b a ＜b ＋ma ＋m.从近两年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档，客观题突出对不等式性质及应用的考查，主观题与其他知识交汇，考查不等式的性质及综合分析问题、解决问题的能力．在涉及求范围问题时，应特别注意不等式性质的应用，防止出错．易错辨析之十 忽视不等式的隐含条件致误(2012·陕西高考改编)设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N *，b ，c ∈R )． (1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明f (x )在区间(12，1)内存在唯一零点；(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最大值和最小值．『错解』 (1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1，f (12)f (1)＝(12n －12)×1＜0，∴f (x )在区间(12，1)内有零点，又当x ∈(12，1)时，f ′(x )＝n ·x n －1＋1＞0，∴f (x )在(12，1)上是单调递增的，∴f (x )在(12，1)内存在唯一零点．(2)∵n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.因此－1≤b ≤1，且－2≤c ≤0.∴－7≤b ＋3c ≤1，故b ＋3c 的最大值为1，最小值为－7.错因分析：(1)忽视字母b 、c 相互制约的条件，片面将b ，c 分割开来导致字母范围发生变化．(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误．防范措施：(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围．(2)运用线性规划，根据t ＝b ＋3c 的几何意义，数形结合求t 的最值． 『正解』 (1)同上述解法．(2)法一 由n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f （－1）≤1，－1≤f （1）≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.作上述不等式组表示的可行域，如图所示．令t ＝b ＋3c ，则c ＝t 3－b3.平移b ＋3c ＝0，知直线过原点O 时截距最大，过点A 时截距最小，∴t ＝b ＋3c 的最大值为0＋3×0＝0；最小值为0＋3×(－2)＝－6.法二 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ，f （1）＝1＋b ＋c ，解得b ＝f （1）－f （－1）2，c ＝f （1）＋f （－1）－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，∴－6≤b ＋3c ≤0. 当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， ∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.1．(2013·青岛质检)设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 『解析』 当0＜x ＜π2时，0＜sin x ＜1，∴x sin x ＜1⇒x sin 2x ＜sin x ＜1.如果x sin 2x ＜1⇒x sin x ＜1sin x ，因为1sin x ＞1，则不能保证x sin x ＜1，因此“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的必要不充分条件． 『答案』 B2．(2013·西城模拟)已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④『解析』 对于①可直接利用不等式的性质求解，也可作差，即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )>0，知①正确；对于②由条件知a >b >b －1，结合指数函数f (x )＝2x 的单调性知2a >2b －1，②正确．也可作商，即2a 2b －1＝2a －b ＋1. ∵a >b >0，∴a －b >0，∴a －b ＋1>0，∴2a－b ＋1>1，故2a >2b －1；对于③，∵a >b >0，∴a －b >0，a －b >0，原不等式⇔a －b >a －2ab ＋b ⇔b －ab <0⇔b (b －a )<0，显然成立，故③正确； 对于④，a 3＋b 3－2a 2b ＝(a 3－a 2b )＋(b 3－a 2b )＝a 2(a －b )－b (a －b )(a ＋b )＝(a －b )(a 2－ab －b 2)＝(a －b )『(a －b 2)2－54b 2』由于(a －b 2)2－54b 2符号不定，故④不一定成立．。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1不等关系与不等式 文1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >0⇒ac >bc注意c 的符号⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <0⇒ac <bc同向可加性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性 a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b⇔a <b (ab ≠0)．( × )(3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b<0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b x这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y .因此①不恒成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by .因此③也不恒成立．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x.因此⑤不恒成立．由不等式的性质可推出②④恒成立．2．(教材改编)下列四个结论，正确的是________． ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.答案 ①③3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是____________． ①a －b >0 ②a 3＋b 3>0 ③a 2－b 2<0 ④a ＋b <0 答案 ④解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab1＋a 1＋b>0.5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为____________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是__________．(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为__________．答案 (1)c ≥b >a (2)c <b <a解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln x x ，y ′＝1－ln xx2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为________________________________________________________________________． (2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________________________________________________________________________． 答案 (1)m >n (2)a <b 解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1) ＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立．(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列关系式中一定成立的是________． ①ab >ac ②c (b －a )<0 ③cb 2<ab 2④ac (a －c )>0 答案 ①解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________． 答案 3解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )， ∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确．方法二取特殊值．题型三不等式性质的应用例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为__________．答案①②③解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立．思维升华(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是________．①1a－b>1b②a2<ab③|b||a|<|b|＋1|a|＋1④a n>b n(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca>cb；②a c<b c；③log b(a－c)>log a(b－c)．其中所有正确结论的序号是________．答案(1)③(2)①②③解析(1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确；③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立． (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b，又c <0，∴c a >cb，知①正确； 构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．7．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝a －b ，f 1＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]，b ＝12[f1－f －1].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分， 当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c .这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． 2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a >b ⇒1a <1b ；⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b⇒1a >1b.3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立． 2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n对于正数a 、b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．若x >y >z >1，则xyz ，xy ，yz ，zx 从大到小依次排列为______________． 答案xyz >xy >zx >yz解析 取特殊值法，由x >y >z >1， 可取x ＝4，y ＝3，z ＝2，分别代入得xyz ＝26，xy ＝23，yz ＝6，zx ＝2 2.故xyz >xy >zx >yz .2．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是________________________________________________________________________． 答案 A >B解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4，显然A 2>B 2，即A >B . 3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是________． ①1a －b >1a ②1a >1b③|a |>|b | ④a 2>b 2答案 ①解析 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，故①不成立，②③④都成立． 4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的____________条件． 答案 充分不必要解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/(a －b )·a 2<0，必要性不成立．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是____________． 答案 (－π6，π) 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是__________． 答案 M >N解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋b ＋c 2，y ＝b 2＋c ＋a 2，z ＝c 2＋a ＋b 2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －db >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2， t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s v 1＋v 22v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝v 1＋v 224v 1v 2≥2v 1v 224v 1v 2＝1.∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________．①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若a c >b c ，则a >b ；③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b； ④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b .答案 ③解析 当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，③正确； 当a <0且b <0时，可知④不正确．12．若存在实数x ＝x 0，使得不等式ax >a －1不成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)解析 不妨将命题否定，转化为：若对任意的x ，有ax >a －1恒成立，则a (x －1)>－1.当x >1时有a >－1x －1，则a ≥0；当x <1时有a <－1x －1，则a ≤0；当x ＝1时，则a ∈R .因此对任意的x ，a ＝0，再对a 的取值进行否定，可得实数a 的取值范围为a ≠0.13．设[x ]表示不超过x 的最大整数，x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是__________．答案 (93,94)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5化为：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x ]－12＋5，解得[x ]＝20，y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x <21.∴93<x ＋y <94.14．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 C >A >B >D解析 －12<a <0，不妨取a ＝－14， 这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .C －A ＝11＋a －(1＋a 2) ＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a [a ＋122＋34]1＋a .∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a ＝a a 2－a －11－a＝a [a －122－54]1－a. ∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

第七章不等式知识点最新考纲不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质.一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)及其应用.绝对值不等式会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3．不等式的一些常用性质(1)有关倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b. ②a <0<b ⇒1a <1b. ③a >b >0，0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a. (2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m(b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)． [疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( )(2)若a b>1，则a >b .( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )(5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( )答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化]1．(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.a－b>0⇒a>b⇒a>b⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇒/ a－b>0.2．(必修5P75A组T2改编)15－2______16－5(填“>”“<”或“＝”)．解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<16－5.答案：<3．(必修5P75B组T1改编)若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为________．解析：令a ＝13，b ＝23， 则2ab ＝2×13×23＝49， a 2＋b 2＝19＋49＝59， 故a <2ab <12<59＝a 2＋b 2<b . 答案：a <2ab <12<a 2＋b 2<b [易错纠偏](1)乱用不等式的相乘性致错；(2)命题的必要性出错；(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．1．若a >b >0，c <d <0，则下列结论正确的是( )A.a c －b d>0 B.a c －b d <0 C.a d >b c D.a d <b c解析：选D.因为c <d <0，所以0<－d <－c ，又0<b <a ，所以－bd <－ac ，即bd >ac ，又因为cd >0，所以bd cd >ac cd ，即b c >a d.2．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________． 解析：由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β， 得－π<α－β<0.答案：(－π，0)用不等式(组)表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】 设甲、乙两种产品的月产量分别为x ，y ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .用不等式(组)表示不等关系(1)分析题中有哪些未知量．(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x 或x ，y ，再用x 或x ，y 来表示其他未知量．(3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．[提醒] 在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.不等式的性质及应用(高频考点)不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)判断命题的真假；(2)与充要条件相结合命题的判断；(3)求代数式的取值范围．角度一 判断命题的真假(1)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bcB.1a <1b C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3(2)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<b c 2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d【解析】 (1)A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确；B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1b，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2>b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2 >0，所以可由a >b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3，故正确． (2)A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误；C ：因为a c 2<b c2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D ：取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C.【答案】 (1)D (2)C角度二 与充要条件相结合命题的判断(1)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 (1)(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．(2)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b >0时，由a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |.综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C.【答案】 (1)A (2)C角度三 求代数式的取值范围(2020·台州高三模拟)若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．【解析】 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.所以α＋3β的取值范围是[1，7]．【答案】 [1，7](1)判断不等式命题真假的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．(2)充要条件的判断方法利用两命题间的关系，看p 能否推出q ，再看q 能否推出p ，充分利用不等式性质或特值求解．(3)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足b ＋c ≤2a ，c ＋a ≤2b ，则b a的取值范围是________． 解析：因为b ＋c ≤2a ，c ＋a ≤2b ，c ＞a －b ，c ＞b －a ，所以问题等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＜c ，b －a ＜c ，c ≤2a －b ，c ≤2b －a有解， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＜2a －b ，a －b ＜2b －a ，b －a ＜2a －b ，b －a ＜2b －a⇒23＜b a ＜32， 即b a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 比较两个数(式)的大小(1)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0，1]．证明：f (x )≥1－x ＋x 2；(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 22，比较a 与b 的大小．【解】 (1)证明：因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)因为a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，所以a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 8 9＞1，所以a ＞b .1．设m ＝(x ＋2)(x ＋3)，n ＝2x 2＋5x ＋9，则m 与n 的大小关系为( )A ．m >nB ．m <nC ．m ≥nD ．m ≤n解析：选B.m －n ＝x 2＋5x ＋6－(2x 2＋5x ＋9) ＝－x 2－3<0，所以m <n .故选B.2．比较a 2b ＋b 2a与a ＋b (a >0，b >0)两个代数式的大小．解：因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.又因为a >0，b >0，所以（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .[基础题组练]1．(2020·嘉兴期中)若x ＞y ，m ＞n ，下列不等式正确的是( )A ．m －y ＞n －xB ．xm ＞yn C.x n ＞y mD ．x －m ＞y －n解析：选A.对于B ，x ＝1，y ＝－2，m ＝－1，n ＝－2时不成立，对于C ，x ＝1，y ＝－2，m ＝－1，n ＝－2时不成立，因为x ＞y ，m ＞n ，所以x ＋m ＞y ＋n ，所以m －y ＞n －x .A 正确， 易知D 不成立，故选A. 2．(2020·义乌质检)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，所以－π6≤－β3≤0，所以－π6<2α－β3<π.3．设实数x ，y 满足0＜xy ＜1且0＜x ＋y ＜1＋xy ，那么x ，y 的取值范围是( )A ．x ＞1且y ＞1B ．0＜x ＜1且y ＜1C ．0＜x ＜1且0＜y ＜1D ．x ＞1且0＜y ＜1解析：选C.⎩⎪⎨⎪⎧xy ＞0，x ＋y ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0.又x ＋y ＜1＋xy ，所以1＋xy－x －y ＞0，即(x －1)(y －1)＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，y ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1(舍去)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜1.4．(2020·温州校级月考)下列不等式成立的是( ) A ．若|a |＜b ，则a 2＞b 2B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2 D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2解析：选D.若|a |＜b ，则a 2＜b 2，故A 错误；若a ＝b ＜0，则|a |＞b ，则a 2＝b 2，故B 错误；若－a ＝b ＜0，则a ＞b ，则a 2＝b 2，故C 错误； 若a ＞|b |，则a 2＞b 2，故D 正确．故选D.5．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞b c，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b解析：选C.当c ＝0时，可知A 不正确；当c ＜0时，可知B 不正确；由a 3＞b 3且ab ＜0知a ＞0且b ＜0，所以1a ＞1b成立，C 正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 不正确．6．已知实数a ，b ，c .( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100解析：选D.取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除选项A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除选项B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除选项C.故选D.7．(2020·严州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 18．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b.所以a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b .答案：a ＜0＜b9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216 10．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．解析：因为f (x )过原点，所以设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又⎩⎪⎨⎪⎧1≤f （－1）≤2，3≤f （1）≤4，所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即f (－2)的取值范围是[6，10]． 答案：[6，10]11．(2020·嘉兴期中)已知a ，b 是正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．解：(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a ) ＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )， 因为a ≠b ，a ＞0，b ＞0， 所以(a －b )2(a ＋b )＞0， 所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.12．已知a ＞b ＞0，m ＞0且m ≠a .试比较：b a 与b －ma －m 的大小．解：b a －b －m a －m ＝b （a －m ）－a （b －m ）a （a －m ）＝m （a －b ）a （a －m ）.因为a >b >0，m >0.所以a －b >0，m (a －b )>0. (1)当a >m 时，a (a －m )>0，所以m （a －b ）a （a －m ）>0，即b a －b －m a －m >0， 故b a >b －m a －m. (2)当a <m 时，a (a －m )<0.所以m （a －b ）a （a －m ）<0，即b a －b －m a －m <0，故b a <b －m a －m. [综合题组练]1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知a >0且a ≠1，则“a b>1”是“(a －1)b >0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由a b>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b <0；由(a －1)b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，b <0，又a >0且a ≠1，所以“a b>1”是“(a－1)b >0”的充要条件．2．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b2a .3．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：因为ab 2>a >ab ， 所以a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，无解． 综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)4．已知1≤lg(xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，则lg x 2y的取值范围是________．解析：由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg xy ≤2得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y≤5.答案：[－1，5]5．(2020·金华十校联考)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5 折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．6．设不等式x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立，求实数a 的最小值．解：原题即a ≥x ＋yx ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立，设A ＝x ＋yx ＋y，A 2＝x ＋y ＋2xy x ＋y ＝1＋2xy x ＋y≤2，当x ＝y 时等号成立，因为A ＞0， 所以0＜A ≤ 2，即A 有最大值 2.所以当a ≥ 2时，x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立．所以a 的最小值为 2.。

高三数学（理）一轮复习 教案 第七编 不等式总第31期§7.1不等关系与不等式基础自测1.已知-1＜a ＜0,那么-a,-a 3,a 2的大小关系是 .答案 -a ＞a 2＞-a 32.若m ＜0,n ＞0且m+n ＜0，则-n ，-m ，m ，n 的大小关系是 . 答案 m ＜-n ＜n ＜-m3.已知a ＜0,-1＜b ＜0,那么a,ab,ab 2的大小关系是 .答案 ab ＞ab 2＞a4.设a=2-5,b=5-2,c=5-25,则a,b,c 的大小关系为 . 答案 a ＜b ＜c5.设甲：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<+<,30,42mn n m 乙：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<<,32,10n m 那么甲是乙的 条件.答案 必要不充分例题精讲例1 （1）设x ＜y ＜0,试比较(x 2+y 2)(x-y)与(x 2-y 2)(x+y)的大小；（2）已知a,b,c ∈{正实数}，且a 2+b 2=c 2,当n ∈N ,n ＞2时比较c n 与a n +b n的大小.解 （1）方法一 （x 2+y 2）(x-y)-(x 2-y 2)(x+y) =(x-y)［x 2+y 2-(x+y)2］=-2xy(x-y),∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x-y ＜0,∴-2xy(x-y)＞0,∴(x 2+y 2)(x-y)＞(x 2-y 2)(x+y).方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x-y ＜0,x 2＞y 2,x+y ＜0.∴(x 2+y 2)(x-y)＜0,(x 2-y 2)(x+y)＜0, ∴0＜))(())((2222y x y x y x y x +--+=xyy x y x 22222+++＜1,∴(x 2+y 2)(x-y)＞(x 2-y 2)(x+y).(2)∵a,b,c ∈{正实数}，∴a n,b n,c n＞0,而nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛.∵a 2+b 2=c 2,则2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a +2⎪⎭⎫⎝⎛c b =1, ∴0＜c a ＜1,0＜c b ＜1.∵n ∈N ,n ＞2,∴n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a ,n c b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫⎝⎛c b ,∴nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫⎝⎛＜222c b a +=1,∴a n +b n ＜c n . 例2 已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b,则下列不等式恒成立的是 . ①(a+c)4＞(b+c)4②ac 2＞bc 2③lg|b+c|＜lg|a+c| ④(a+c)31＞(b+c) 31 答案 ④例3、已知-1＜a+b ＜3且2＜a-b ＜4,求2a+3b 的取值范围.解 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),∴⎩⎨⎧=-=+32n m n m ,∴m=25,n=-21.∴2a+3b=25(a+b)-21(a-b).∵-1＜a+b ＜3,2＜a-b ＜4,∴-25＜25(a+b)＜215,-2＜-21(a-b)＜-1, ∴-29＜25(a+b)- 21(a-b)＜213,即-29＜2a+3b ＜213巩固练习1.（1）比较x 6+1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ; (2)设a ∈R ,且a ≠0,试比较a 与a1的大小. 解 （1）（x 6+1）-（x 4+x 2）=x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1)=(x 2-1)2(x 2+1).当x=±1时，x 6+1=x 4+x 2;当x ≠±1时，x 6+1＞x 4+x 2.（2）a-a 1=aa 12-=a a a )1)(1(+-当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1；当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜a 1；当a=±1时,a=a1. 2.适当增加不等式条件使下列命题成立：(1)若a ＞b,则ac ≤bc; (2)若ac 2＞bc 2,则a 2＞b 2; (3)若a ＞b,则lg(a+1)＞lg(b+1); (4)若a ＞b,c ＞d,则d a ＞cb; (5)若a ＞b,则a 1＜b1. 解 （1）原命题改为：若a ＞b 且c ≤0，则ac ≤bc,即增加条件“c ≤0”.(2)由ac 2＞bc 2可得a ＞b,但只有b ≥0时，才有a 2＞b 2,即增加条件“b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b ＞-1”. （4）d a ＞cb成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件“b ＞0,d ＞0”.还可增加条件为“a ＜0,c ＞0,d ＜0”. (5)a 1＜b1成立的条件是a ＞b,ab ＞0或a ＜0,b ＞0,故增加条件为“ab ＞0”. 3.设f(x)=ax 2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n 为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ,解得⎩⎨⎧==13n m ,∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法二 由⎩⎨⎧+=-=-b a f b a f )1()1(,得[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a ,∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法三 由⎩⎨⎧≤+≤≤-≤4221b a b a 确定的平面区域如图.当f(-2)=4a-2b 过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2123,时,取得最小值4×23-2×21=5,当f(-2)=4a-2b 过点B(3,1)时,取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.回顾总结 知识 方法 思想课后作业 一、填空题1.已知a,b,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列不等式中恒成立的是 （填序号）.①a b ＞a c ②c a b -＞0 ③c b 2＞ca 2 ④ac c a -＜0 答案 ①②④2.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab,则实数b 的取值范围为 . 答案 （-∞，-1）3.(2009·苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式：ab ＞0，bc-ad ＞0,a c -bd＞0(其中a,b,c,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题, 可组成的正确命题的个数 为 个. 答案 34.已知函数f(x)=log 2(x+1),设a ＞b ＞c ＞0,则a a f )(,b b f )(,cc f )(的大小关系为 . 答案a a f )(＜b b f )(＜cc f )( 5.若x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,则①a x＜a y;②log a x ＞log a y;③x -a＞y -a;④log x a ＜log y a.其中不成立的有 个. 答案 3 6.已知a+b ＞0，则2b a +2a b 与a 1+b1的大小关系是 . 答案2ba +2ab ≥a 1+b17.给出下列四个命题： ①若a ＞b ＞0,则a 1＞b 1;②若a ＞b ＞0,则a-a 1＞b-b1; ③若a ＞b ＞0,则b a b a 22++＞b a ;④设a,b 是互不相等的正数，则|a-b|+ba -1≥2. 其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）答案 ②8.比较a a b b 与a b b a（a,b 为不相等的正数）的大小 .解 a b ba ba b a =a a-b b b-a=ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛,当a ＞b ＞0时，b a ＞1,a-b ＞0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1；当0＜a ＜b 时，b a ＜1,a-b ＜0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1.综上所述，总有a a b b＞a b b a.二、解答题9.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0,γ+α＞0.试说明f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系.解 由α+β＞0,得α＞-β.∵f(x)在R 上是单调减函数,∴f(α)＜f(-β).又∵f(x)为奇函数,∴f(α)＜-f(β),∴f(α)+f(β)＜0,同理f(β)+f(γ)＜0,f(γ)+f(α)＜0,∴f(α)+f(β)+f(γ)＜0. 10.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.解 设买软件x 片、磁盘y 盒,则x 、y 满足关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+y x x x y x 4300019080. 11.已知a ＞0,a 2-2ab+c 2=0,bc ＞a 2.试比较a,b,c 的大小.解 ∵bc ＞a 2＞0,∴b,c 同号.又a 2+c 2＞0,a ＞0,∴b=ac a 222+＞0,∴c ＞0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c ≥0.当b-c ＞0,即b ＞c 时,由⎪⎭⎪⎬⎫>+=2222a bc a c a b 得a c a 222+·c ＞a 2(a-c)(2a 2+ac+c 2)＜0.∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a 2+ac+c 2＞0,∴a-c ＜0,即a ＜c,则a ＜c ＜b ；当b-c=0,即b=c 时,∵bc ＞a 2,∴b 2＞a 2,即b ≠a.又∵a 2-2ab+c 2=(a-b)2=0⇒a=b 与a ≠b 矛盾,∴b-c ≠0.综上可知:a ＜c ＜b.N + N +12.甲、乙两人同去一家粮店买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两人的购买方式也不同，其中,甲每次买1000kg,乙每次买1000元，（1）求两人购粮的均价分别是多少？（2）谁的购粮方式更合算？ 解：（1）设两次购粮价格分别是m 元/kg,n 元/kg,且m ≠n,则甲购粮的均价为a=2200010001000nm n m +=+元/kg;乙购粮均价为b=n m mn nm +=+22000元/kg(2)a-b=)(2)(222n m n m n m mn n m +-=+-+,∵m ≠n ∴a ＞b,说明甲的购粮单价比乙的购粮单价高，因此乙的购粮方式更合算。

第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式 考纲展示 命题探究考点 不等式的概念和性质1 不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>，<，≥，≤，≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．2 两个实数大小关系的比较两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .3 不等式的性质性质1 对称性：如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b . 性质2 传递性：如果a >b ，b >c ，那么a >c . 性质3 可加性：如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4 可乘性：如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc .性质5 同向可加性：如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 同向同正可乘性：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 可乘方性：如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． 性质8 可开方性：如果a >b >0，那么n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 4 不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0<b ⇒1a <1b . (3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .注意点 传递性与可乘性的注意事项(1)应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递．(2)可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号.1．思维辨析(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( )(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (4)同向不等式具有可加和可乘性．( )(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋d D ．a ＋d >b ＋c 答案 C解析 由同向不等式具有可加性可知C 正确．3．已知a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列选项中不一定能成立的是( )A.c a <b aB.b －a c >0C.b 2c <a 2cD.a －c ac <0答案 C解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以c <0，a >0，所以c a <b a ，b －ac >0，a －c ac<0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c 不一定成立．[考法综述] 利用不等式的性质判断大小是不等式的一个基本考点，一般涉及函数、数列、三角函数等知识，比较两个数的大小，主要依据不等式的性质进行解题．命题法 利用不等式的性质比较大小或求取值范围 典例 (1)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －db >0； ②若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定 (3)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤96≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．[解析] (1)∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －adab >0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0， ∴ab >0，∴③正确．故选D.(2)∵M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1，a 2∈(0,1)，∴M －N >0，即M >N ，选B.(3)令z ＝x ＋2y ＝λ(2x ＋y )＋μ(x －y )＝(2λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ＋μ＝1λ－μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－1，∴z ＝(2x ＋y )－(x －y )， 又∵3≤2x ＋y ≤9，－9≤－(x －y )≤－6， ∴－6≤(2x ＋y )－(x －y )≤3，即－6≤z ≤3， ∴z min ＝－6.[答案] (1)D (2)B (3)－6 【解题法】 比较大小常用的方法(1)作差法，其步骤：①作差；②变形；③判断差与0的大小；④得出结论．注意：含根号的式子作差时一般先乘方再作差．(2)作商法，其步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路．1．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 由[t ]＝1，得1≤t <2.由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5，所以2≤t 2< 5.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4，所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.2．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c答案 D解析 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴0<1－c <1－d.则1－d >1－c >0.又∵a >b >0，∴a －d >b －c ，∴a d <b c . 3．若对任意的x ∈[0,1]，不等式1－kx ≤11＋x≤1－lx 恒成立，则一定有( )A ．k ≤0，l ≥13B ．k ≤0，l ≤12＋2C ．k ≥14，l ≤13 D ．k ≥12，l ≤12＋2答案 D解析 当k ＝－1且x ∈[0,1]时，1－kx ＝1＋x ∈[1,2]，11＋x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，不等式1－kx ≤11＋x 不恒成立，可排除A 、B ；当k ＝13且x ∈[0,1]时，1－kx ＝1－13x x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，11＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，不等式1－kx ≤11＋x不恒成立，排除C ，故选D.4.已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A ，B ，C的大小关系为( )A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <BD ．B <C <A 答案 B解析 解法一(作差法)：由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，所以B <A <C .解法二(特殊值法)：令a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2， 因此得B <A <C ，故选B.5．若1a <1b <0，则下列不等式中：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号)答案 ①③解析 由1a <1b <0，得b <a <0.①∵a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b <0，1ab >0，∴1a ＋b <1ab成立，即①正确； ②∵b <a <0，∴－b >－a >0，则－b >|a |，即|a |＋b <0，∴②错误；③∵b <a <0，且1a <1b <0，∴a －1a >b －1b ，故③正确； ④∵b <a <0，∴b 2>a 2，∴ln b 2>ln a 2成立． ∴④错误，故正确的是①③.设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[错解][错因分析] 本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f (－2)的范围扩大．[正解] 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.解法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10] [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[·衡水二中周测]若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )未必成立，这样，a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，故选A.2. [·枣强中学仿真]设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.3. [·衡水二中月考]已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x >y >zB ．z >y >xC ．z >x >yD ．y >x >z 答案 D解析 由题意得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7，而0<a <1，∴函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴y >x >z ，故选D.4．[·武邑中学热身]若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n答案 C解析 取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.5．[·衡水二中期中]如果a >b ，则下列各式正确的是( ) A ．a lg x >b lg x B ．ax 2>bx 2 C ．a 2>b 2 D ．a ·2x >b ·2x答案 D解析 A 项，当lg x ＝0，即x ＝1时不满足；B 项，当x 2＝0时不满足；C 项，当a ＝1，b ＝－2时不满足；D 项，因为2x >0，所以a ·2x >b ·2x .综上可知选D.6．[·枣强中学模拟]若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 解法一：取a 1＝b 1＝13，a 2＝b 2＝23，那么a 1a 2＋b 1b 2＝49，a 1b 2＋a 2b 1＝49，a 1b 1＋a 2b 2＝59，有a 1a 2＋b 1b 2＝a 1b 2＋a 2b 1<12<a 1b 1＋a 2b 2，于是排除B 、C 、D 三个选项．故选A.解法二：∵0<a 1<a 2，a 1＋a 2＝1，∴0<a 1<12，12<a 2<1， 同理，0<b 1<12，12<b 2<1，∴a 1b 1＋a 2b 2－(a 1a 2＋b 1b 2)＝(b 1－a 2)·(a 1－b 2)>0， a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， a 1b 1＋a 2b 2－12＝a 1b 1＋a 2b 2－(a 1＋a 2)·(b 1＋b 2)2 ＝12[a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)] ＝12(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2的值最大．故选A.7．[·衡水二中期末]设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A ．2a －bB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b 答案 D解析 解法一：(特殊值法) 取a ＝2，b ＝1，代入验证．解法二：y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<ba <1. 由指数函数性质知，D 成立．8．[·武邑中学猜题]若a >b >0，且a ＋m b ＋m >ab ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－b,0)解析 由条件知，a ＋m b ＋m －ab >0，即ab ＋bm －ab －am b (b ＋m )>0，(b －a )mb (b ＋m )>0，又∵a >b >0，∴b －a <0，∴mm ＋b <0.解得－b <m <0.9．[·冀州中学仿真]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ＝cos2θ，b ＝cos θ－sin θ，则a ________b ．(填“>”“<”或“＝”)答案 >解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，从而b ＝cos θ－sin θ>0，cos2θ>0.∵a b ＝cos2θcos θ－sin θ＝cos 2θ－sin 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>2sin π4＝1，∴ab >1，从而a >b .10．[·武邑中学预测]已知－π2 <α<β<π，则α－β2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0解析 由－π2<α<β<π，得－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，即－3π4<α－β2<3π4.又∵α－β<0，∴－3π4<α－β2<0， 故α－β2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.11．[·衡水二中模拟]已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析 a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －aa 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .12．[·枣强中学期末]有下列命题：①若a >b ，则c －b <c －a ； ②若a >c ，b >c ，则a ＋b >2c ； ③若a c 2<bc 2，则a >b ； ④若x <y ，则x 3<y 3.其中正确命题的序号是________． 答案 ②④解析 由不等式的性质可知①③不正确，②④正确．能力组13.[·衡水二中仿真]已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a1＋a ＋b1＋b，则M 、N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0.14．[·枣强中学期中]设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b >0是f (x )>0在[0,1]上恒成立的________条件．(填“充分但不必要”“必要但不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 必要但不充分解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋b >0.∴a ＋2b >0.而仅有a ＋2b >0，无法推出f (0)>0和f (1)>0同时成立． 15．[·衡水二中热身]已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b.证明 ∵x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )，又∵1a >1b 且a ，b ∈(0，＋∞)， ∴b >a >0，又∵x >y >0，∴bx >ay >0， ∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，∴x x ＋a >y y ＋b. 16．[·武邑中学期末]已知x ，y 为正实数，满足1≤lg (xy )≤2,3≤lg x y≤4，求lg (x 4y 2)的取值范围． 解 设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg (xy )＝a ＋b ， lg xy ＝a －b ，lg (x 4y 2)＝4a ＋2b ， 设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4. ∴6≤4a ＋2b ≤10.即lg (x 4y 2)的取值范围为[6,10]．。

7.1 不等关系与不等式『考纲要求』结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．『复习指导』不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．『基础梳理』1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号 连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b＜1⇔a ＜b . 3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)．『助学微博』一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两条常用性质(1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b； ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞b d； ④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a. (2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m(b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0)．『考向探究』考向一 比较大小『例1』►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．『训练1』 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b＞1 B ．a 2＞b 2 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b考向二 不等式的性质『例2』►若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4『训练2』 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞d b.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3考向三 不等式性质的应用『例3』►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．『训练3』 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．考向四 利用不等式的性质证明简单不等式『例4』►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.『训练4』 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e （a －c ）2＞e （b －d ）2.『专题突破』难点突破——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用．一、作差法『示例』►设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )．A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b二、作商法『示例』► 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系是( )．A ．|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|B ．|log a (1－x )|＜|log a (1＋x )|C ．不确定，由a 的值决定D ．不确定，由x 的值决定三、中间量法『示例』► 若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )． A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a答案『基础梳理』1．＞、＜、≥、≤、≠ 2．a ＞b a ＝b a ＜b 3．(2)a ＞c (3)＞ ＞ (5)＞『例1』『审题视点』 采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．解 ∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12『(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2』≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．『训练1』『解析』令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故a b＞1不成立，排除A ；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立，排除B ；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0，排除C ；f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )．『答案』D『例2』『审题视点』 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．『解析』∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd＜0，∴(2)正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C.『答案』C在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．『训练2』『解析』命题1：若ab ＞0，c a ＞d b，则bc ＞ad ； 命题2：若ab ＞0，bc ＞ad ，则c a ＞d b； 命题3：若c a ＞d b，bc ＞ad ，则ab ＞0. 『答案』D『例3』『审题视点』 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)，f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用不等式的性质求f (－2)的范围．解 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.由a ＜f (x ，y )＜b ，c ＜g (x ，y )＜d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．『训练3』解 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.『例4』『审题视点』 充分运用已知条件及不等式性质进行求证．证明 ∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a－c＞a－b＞0，∴1a－b＞1a－c＞0.∴1a－b＋1c－a＞0.又b－c＞0，∴1b－c＞0.1a－b＋1b－c＋1c－a＞0.(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．『训练4』求证：ea－c2＞eb－d2.证明∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.∴0＜1a－c2＜1b－d2.又∵e＜0，∴ea－c2＞eb－d2.。

7.2 均值不等式及其应用考纲要求1．了解均值不等式的证明过程．2．会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．1．均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的__________，ab 称为正数a ，b 的__________．2．利用均值不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当__________时，x ＋y 有__________是__________(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当且仅当__________时，xy 有__________值是__________(简记：和定积最大)．3．几个常用的不等式(1)a 2＋b 2__________2ab (a ，b ∈R )．(2)ab __________⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22__________a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ＞0)． (5)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为0)．1．若x ＋2y ＝4，则2x＋4y的最小值是( )．A ．4B ．8C ．2 2D ．4 22．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x ＞－1)的图象最低点的坐标是( )．A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2) 3．设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．24．当x ＞2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[0，＋∞)D ．[2,4]5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．一、利用均值不等式证明不等式【例1】设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.方法提炼利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．请做演练巩固提升5二、利用均值不等式求最值【例2－1】 (2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )．A.245B.285C ．5D ．6 【例2－2】(1)设0＜x ＜2，求函数y ＝x －2x 的最大值；(2)求4a －2＋a 的取值范围；(3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y的最小值．方法提炼1．在应用均值不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．2．对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．3．为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用均值不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值．请做演练巩固提升3,4三、均值不等式的实际应用【例3－1】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【例3－2】 要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使整个矩形广告面积最小．方法提炼均值不等式实际应用题的特点：(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用均值不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．请做演练巩固提升2忽视题目的隐含条件致误【典例】 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可．解析：由题意可知f (x )＝2x的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－2x ，由两点间距离公式可得|PQ |＝x ＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2x 2＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2≥4， 等号当且仅当x 2＝2，即x ＝±2时取得． 答案：4 答题指导：1．在解答本题时主要有两点误区：(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解．(2)有些同学设出直线方程与f (x )＝2x联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解．2．解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意： (1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义； (2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式； (3)思考要周密，运算要准确、快速．另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法．1．设M 是△ABC 内一点，且S △ABC 的面积为1，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )． A ．8 B ．9 C ．16 D ．182．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件3．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则1m ＋2n的最小值等于( )．A ．16B ．12C ．9D ．84．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值是( )．A ．4B ．5C ．6D ．85．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac .参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)a ＞0，b ＞0 (2)a ＝b (3)算术平均值 几何平均值2．(1)x ＝y 最小值 2P (2)x ＝y 最大S 243．(1)≥ (2)≤ (3)≤ 基础自测1．B 解析：∵2x ＋4y ≥2·2x ·22y ＝2·2x ＋2y ＝2·24＝8，当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号，∴2x ＋4y的最小值为8.2．D 解析：y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2.当且仅当x ＝0时等号成立．3．D 解析：∵x ＋4y ＝40，且x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ≥2·x ·4y ＝4·xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) ∴4xy ≤40. ∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. ∴lg x ＋lg y 的最大值为2.4．B 解析：∵x ＋1x －2≥a 恒成立，∴a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值．∵x ＞2，∴x －2＞0.∴x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝3时取最小值4. 故选择B.5．1 760 解析：设水池底面的长度、宽度分别为a m ，b m ，则ab ＝4， 令水池表面的总造价为y ， 则y ＝ab ×120＋2(2a ＋2b )×80＝480＋320(a ＋b )≥480＋320×2ab ＝480＋320×4＝1 760， 当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”． 考点探究突破【例1】证明：由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab. 当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立．又因为2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝2 2.当且仅当2ab＝ab 时等号成立．所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．【例2－1】C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ， ∴15y ＋35x＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【例2－2】解：(1)∵0＜x ＜2， ∴2－x ＞0.∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ， 即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2. (2)显然a ≠2，当a ＞2时，a －2＞0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ≥24a －2·(a －2)＋2＝6， 当且仅当4a －2＝a －2，即a ＝4时取等号；当a ＜2时，a －2＜0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－a ＋(2－a )＋2 ≤－242－a ·(2－a )＋2＝－2， 当且仅当42－a＝2－a ，即a ＝0时取等号，∴4a －2＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y (x ＋y ) ＝7＋3y x ＋4xy≥7＋23y x ·4x y＝7＋43，当且仅当3y x ＝4xy，即2x ＝3y 时等号成立，∴3x ＋4y的最小值为7＋4 3.【例3－1】解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x.∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x ＞0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少． 【例3－2】解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 则ab ＝20 000，∴b ＝20 000a.广告的高为a ＋20，宽为3b ＋30(其中a ＞0，b ＞0)， 广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30) ＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎪⎫a ＋40 000a＋60 600 ≥30×2a ×40 000a＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600，当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时，取等号，此时b ＝100.故当广告的高为220 cm ，宽为330 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小． 演练巩固提升1．D2．B 解析：由题意得平均每件产品生产准备费用为800x元，仓储费用为x 8元，从而费用和为800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20.当800x ＝x8，即x ＝80时等号成立． 3．D 解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n ) ＝2＋2＋n m ＋4mn≥4＋2n m ·4mn＝8，当n m＝4m n，即n 2＝4m 2，即n ＝2m ， 即n ＝12，m ＝14时，1m ＋2n取得最小值8.4．B 解析：由a ∥b ，得x ＋y ＝1，t ＝t (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1y (x ＋y )＝1＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥3＋2y x ·xy＝5， 当x ＝y ＝12时，t 取得最小值5.5．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ， a 2＋c 2≥2ac ，∴2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ac ，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2.由a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ac )． ∴13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac . 综上所述，a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，命题得证．。