福建省闽侯县第四中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.）1. 设全集是实数集，已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.2. 已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】即的共轭复数对应的点位于复平面的第四象限.本题选择D选项.3. 已知数列为等比数列，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.4. .我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”即是面积.意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图（1）所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图（1）中的网格纸中的小正方形的边长为）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，不规则几何体与三视图所对应的几何体的体积相同，根据三视图，可得该几何体是四棱柱，AH⊥平面ABCD，H∈AB，且该四棱柱的底面是长方形，长为BC=6，宽为AB=2，四棱锥的高为PH=4，其中，AH=2，如图所示.故它的体积为.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．5. .阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依据程序框图进行循环运算：第一次第二次第三次第四次第五次跳出循环，输出本题选择B选项.点睛：利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断.6. 将函数（）的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图象向右平移个单位，可得在上为增函数，解得，当时,ω取得最大值为.本题选择B选项.7. 已知实数，满足，若使得目标函数取最大值的最优解有无数个，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式组表示的平面区域如下图所示.由得；当时，直线化为，此时取得最大值的最优解只有一个C点，不满足条件；当时，直线截距取得最大值，此时最优解只有一个C点，不满足条件；当时，直线截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线与AC 平行，由直线AC的斜率，解得；综上，满足条件的.本题选择D选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．8. 若圆：（）始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为，由题意知直线经过圆的圆心(−1,−1)，因而.时取等号.的最小值为3.本题选择A选项.9. .下列命题中，真命题的个数为①对任意的，，是的充要条件；②在中，若，则；③非零向量，，若，则向量与向量的夹角为锐角；④.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于①，若，则显然成立；若a，成立；若，成立；故对任意的a，b∈R，a>b是a|a|>b|b|的充要条件，故①正确；对于②，在△ABC中，若A>B，则a>b，又由正弦定理知，a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，故②正确；对于③,非零向量若,则向量与向量的夹角为锐角或0，故③错误；对于④,∵，；同理可得,；，故④正确。

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

2018学年福建省福州市闽侯四中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）
A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b2
2．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）
A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
3．（5分）已知p：x2﹣x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是（）
A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．＜x＜D．＜x＜2
4．（5分）已知等比数列{a n}单调递减，满足a1a5=9，a2+a4=10，则数列{a n}的公比q=（）A．B．C．D．3
5．（5分）《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（）
A．150 B．160 C．170 D．180
6．（5分）已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值为（）
A．6 B．4 C．﹣2 D．﹣4
7．（5分）如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是α，桥头（C）的俯角是β，则桥BC的长为（）
A．h B．h
C．h D．h
8．（5分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示。

福建省闽侯第四中学2017-2018学年高二上学期期末考试试题数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：0x ∀>，ln 0x x ->，则p ⌝为（ ）A ．0x ∀>，ln 0x x -≤B ．0x ∀>，ln 0x x -<C ．00x ∃≤，00ln 0x x -≤D ．00x ∃>，00ln 0x -≤ 2.下列说法正确的是（ ）A ．若命题P ：x R ∃∈，210x x ++<，则P ⌝:x R ∀∈，210x x ++>；B ．命题已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠是真命题；C ．设x R ∈，则20x +≥是13x -≤≤的充分不必要条件；D ．x ∀、y R ∈，如果0xy =，则0x =的否命题是x y R ∀∈、，如果0xy =，则0x ≠ 3.直线l 过点(2,4)P --且与抛物线8y x =-只有一个公共点，这样的直线共有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条4.双曲线22221y x a b -=(0,0)a b >>的一个焦点到其渐近线的距离为255a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．55B ．255 C.355 D ．4555.已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（ ） A ．566 B ．519 C.547 D ．5336.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为23、13，则小球落入A 袋中的概率为（ ）A ．34 B ．14 C.13 D.237.已知变量x ，y 满足约束条件04x y x y y m -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最小值为2，则m =（ ）A ．2B ．1 C.23D ．2- 8.设O 为坐标原点，动点N 在圆C :228x y +=上，过N 作y 轴的垂线，垂足为M ，点P 满足12MP MN =，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．22182x y += B ．22128x y += C. 22124x y += D ．22142x y +=9.已知1F ，2F 分别为双曲线221x y -=的左，右焦点，点P 在双曲线上.若1260F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积为（ ） A ．32 B ．3 C.332D ．23 10.过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作倾斜角为6π的直线，交抛物线于A 、B 两点，则AF BF=（ ）A ．743+B ．743- C.743± D ．723±11.由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C. 7 D ．2212.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④1212c c a a < 其中正确的式子的序号是（ ）A ．②③B ．①④ C.①③ D ．②④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.为了了解2000年学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为 ．14.已知椭圆C 的中心在坐标原点，长轴长在y 轴上，离心率为32，且C 上一点C 到的两个焦点的距离之和是12，则椭圆的方程是 ．15.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是1A 、2A 、1B 、2B ，焦点分别为1F 、2F ，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是 ．16.过y 轴上定点(0,)P m 的动直线与抛物线216x y =-交于A 、B 两点，若2211APBP+为定值，则m = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >，其前n 项和为n S ，且11S a +，33S a +，22S a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170,180)（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170,180)（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19.已知点M 与点(4,0)F 的距离比它的直线l ：60x +=的距离小2. （1）求点M 的轨迹方程；（2）OA ，OB 是点M 轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB 是否经过x 轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由.20.已知动圆C 过定点(1,0)F 且与定直线l ：1x =-相切，动圆圆心C 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点F 作倾斜角为60︒的直线m ，交曲线E 于A ，B 两点，求AOB ∆的面积. 21.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC（2）已知1AP =，3AD =，2AB =求二面角D AE C --的余弦值.22.在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 2ρθ=，M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足4OM OP =.（1）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t x t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0απ≤<.l 与2C 交于点A ，3OA =，求直线l 的斜率.试卷答案一、选择题1-5:DBCCD 6-10:DCBBC 11、12：CB二、填空题13.91 14.221369y x += 15.510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭16.8- 三、解答题17.解：（1）因为11S a +，33S a +，22S a +成等差数列， 所以()()()3311222S a S a S a +=+++， 所以()()31323122S S S S a a a -+-+=+， 所以314a a =，因为数列{}n a 是等比数列，所以23114a q a ==， 又0q >，所以12q =，所以数列{}n a 的通项公式112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知12n n b n -=⋅，01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()()012112212322122n nn T n n n --=⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+--⋅-⋅⎡⎤⎣⎦012122222n n n -=+++⋅⋅⋅+-⋅()()112212112n n n n n -=-⋅=-⋅--.故()121nn T n =-⋅+.18.（1）第一组学生身高的中位数为1721761742+=， 第二组学生身高的中位数为174175174.52+=； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，()2327617C P A C =-=，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为67；（3）X 的可能取值为0，1，2，3()223222531010C C P X C C ==，()11221322322253215C C C C C P X C C +===，()2211122332225313230C C C C C P X C C +===，()212222531315C C P X C C === ∴X 的分布列为X 01 2 3P110 25 1330 115()2131221235301515E X =⨯+⨯+⨯=19.（1）由题意知动点M 到(4,0)的距离比它到直线l ：6x =-的距离小2，即动点M 到(4,0)的距离与它到直线4x =-的距离相等，由抛物线定义可知动点M 的轨迹为以(4,0)为焦点的抛物线，则点M 的轨迹方程为216y =； （2）法一：由题意知直线AB 的斜率显然不能为0，设直线AB 的方程为()0x ty m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 联立方程216y xx ty m⎧=⎨=+⎩，消去x ，可得216160y ty m --=， 0∆>即240t m +>，1216y y t +=，1216y y m =-，22212121616y y x x m =⨯=，由题意知OA OB ⊥，即OA OB ⊥，则12120x x y y +=，2160m m ∴-=，0m ≠ ，16m ∴=，∴直线AB 的方程为16x ty =+，∴直线AB 过定点，且定点坐标为()16,0；法二：假设存在定点，设定点()0,0P x ，()11,A x y ，()2,2B x y ()120y y ≠，OA OB ⊥ ，OA OB ∴⊥，12120x x y y ∴+=，又A 、B 在抛物线上，即21116y x =，22216y x =代入上式，可得()212120256y y y y +=，12256y y ∴=-，又A 、B 、P 三点共线，//PA PB ∴， 2221121212120121216161616y y y yy x x y y y x y y y y --∴===-=--，∴假设成立，直线AB 经过x 轴的定点，坐标()16,0为.20.解：（1）依题意知，点到C 定点F 和直线l 的距离相等，所以点C 的轨迹是以点F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线，设抛物线的方程为22(0)y px p =>，由12p=，得2p =，故曲线E 的方程为24y x =.（2）直线m 的方程为3(1)y x =-，由23(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得2343120y y --=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12433y y +=，124y y =- 1212AOB S OF y y ∆=⨯⨯-2121211()42y y y y =⨯⨯+-1164163233=⨯+=.所以，AOB ∆的面积为433.21.解：（1）由()122,0F -，()222,0F 长轴长为6 得：22c =，3a =所以1b =∴椭圆方程为22191x y +=（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由(1)可知椭圆方程为22191x y +=①，直线AB 的方程为2y x =+②把②代入①得化简并整理得21036270x x ++=12185x x ∴+=-，122710x x = 又222182763(11)(4)5105AB =+-⨯= 22.（1）设点P 的极坐标(,)ρθ(0)ρ>，点M 的极坐标11(,)(0)ρθρ>， 由题意知OP ρ=，12sin OM ρθ==由4OP OM =得曲线2C 的极坐标方程为2sin (0)ρθρ=>，∴点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为22(1)1(0)x y y +-=≠；（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l 过原点且倾角为α， 则直线l 极坐标方程为θα=，联立2sin (0)θαρθρ=⎧⎨=>⎩，(2sin ,)αα∴， 2sin 3OA α∴==，3sin 2α=，3πα∴=或23π，tan 3α∴=或3-，∴直线l 的斜率为3或3-； 法二：由题意32OA =≠分析可知直线l 的斜率一定存在，且由直线l 的参数方程可得，直线l 过原点，设直线l 的普通方程为y kx =，2C ∴到l 的距离2213121d k ⎛⎫==- ⎪ ⎪+⎝⎭，可得3k ±，∴直线l 的斜率为3或3-.。

2019届莆田四中高二上学期期中试卷数学一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求）1. 椭圆的焦点坐标为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】椭圆,焦点在轴上，且.所以..所以焦点坐标为.故选D.2. 下列函数的最小值为的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A:x>0时,⩾2，当且仅当x=1时“=”成立，x<0时,⩽−2，当且仅当x=−1时“=”成立，故A错误；对于B:∵，当且仅当时等号成立，而无解，故B错误；对于C:⩾2,当且仅当：时“=”成立，对于D:,由得：sin x=1,但0<x<，取不到“=”，故D错误；故选：C.3. 已知正项．．等差数列中．若，若成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设公差为d,，解得.∴又成等比数列,可得：(∴100=(7−d)(18+d)解得：d=2或d=−13∵等差数列是正项数列∴d=−13(舍去).∴=3..∴21.故选A4. 在中，角的对边分别为，若，，则角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得：，所以，即，则.又∈(0,π)，所以=.故选A.5. 下列有关命题的说法正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件B. “”是“”的必要不充分条件．C. 命题“使得”的否定是：“均有”．D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题．【答案】D【解析】对于A，由于，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故A不正确；对于B,解得或3，所以“”是“”的充分不必要条件，故B 不正确；对于C，特称命题的否定为全称，所以“使得”的否定是：“均有.”对于D，“若，则”为真命题，原命题为真，则逆否命题也为真，所以D正确. 故选D.6. 已知抛物线与直线相交于两点，其中点的坐标是，如果抛物线的焦点为，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】点在直线上，所以，解得.点在抛物线上，所以，解得.直线与抛物线联立得：可得..故选D.7. 已知，满足约束条件,若的最小值为，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，由，将最大值转化为y轴上的截距，当直线经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a(x−3)得，a=故选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8. 已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。

闽侯二中五校教学联合体2017—2018学年第一学期高二年段数学（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式左边因式分解可得，从而可解不等式.【详解】因为的两根为，不等式可化为，所以不等式的解集为或，故选A.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的求解方法，意在考查对基础知识的掌握，属于简单题.2.下列结论正确的是 ( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：当时，A不成立；当时，B不成立；令则由，可得，C不正确；若，则一定能推出，故D成立。

故选D。

考点：不等式的基本性质3.已知等比数列{}的前项和，，则公比的值为( )A. 1B.C. 1或D. 1或【答案】C【解析】【分析】等比数列中，，,可得由等比数列的性质可得,从而可得结果.【详解】等比数列中，,前3项之和,,整理可得,即,解得或，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.4.的内角所对的边分别为，已知，则＝( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由余弦定理得（负舍），选A.5.在中，若，则该三角形的形状是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算法则可求得，利用正弦定理求得,根据余弦定理求得的表达式进而建立等式，整理求得,判断出三角形为等腰三角形.【详解】，,由正弦定理可得，，，整理得，的形状是等腰三角形，故选A.【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.6.在数列中，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得，两式相减可得，也适合，可得，利用等比数列的求和公式可得结果.【详解】由于已知有①，因此令，且当时有②，由①一②得，此式对也适用，所以数列的通项公式为，从而，所以数列是一个以1为首项，4为公比的等比数列，，故选B.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系以及等比数列求和公式，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.7.在各项都不为0的等差数列{}中，，数列是等比数列，且则= ( )A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】8.的内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】D【解析】【分析】对于，利用正弦定理可判断；对于，利用余弦定理可判断；对于，利用正弦定理结合边角大小关系可判断；对于,由正弦定理求得，再根据，可得，可能是锐角也可能是钝角，从而可得有两个解.【详解】对于，若 ,则由正弦定理可得,求得，故有一解；对于，若 ,则由余弦定理可得,求得，只有一个解，故有一解；对于，若 ,则由正弦定理可得,求得，再根据，可得为锐角，故角只有一个，故有一解；对于，若 ,则由正弦定理可得,求得，再根据，可得，可得可能是锐角也可能是钝角，即角有2个值，故有两解，故选D.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.已知函数且的图象过定点，且点在直线上，则的最小值为( )A. 2B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】由当时，，可得函数过定点，于是有，,由基本不等式即可求得的最小值.【详解】函数且的图象过定点，又点在直线上，(当且仅当时取“=”)，即的最小值为9，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10.已知实数x,y满足约束条件，若的最大值为12，则的最小值为( )A. -3B. -6C. 3D. 6【答案】B【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，当过点时取得最大值为12，，所以当过点时取得最小值为考点：线性规划问题11.等差数列的前项和为，若，且有最小值，那么以下四个结论：①公差；②；③；④当=18时，取得最小正值．其中正确的是（）A. ①②B. ①④C. ①③D. ②③【答案】B【解析】【分析】由等差数列的求和公式，结合二次函数的性质可得，①正确；由结合，可得，，故②错误；由，可得③错误；，结合，可得④正确，从而可得结果.【详解】，有最小值，二次函数图象开口向上，，①正确；，与异号，结合，可得，，故②错误；，③错误；，结合，时，取最小正值，④正确，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的增减性、等差数列的性质与等差数列的前项和公式，属于中档题. 解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.12.已知函数 (>0，且≠1)．若数列满足＝，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的性质可得：函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数的单调性、分界点处两函数的单调性与整体保持一致，列出不等式组，解不等式组可得实数的取值范围.【详解】因为函数，，且是递增数列，因为在上递增，所以一次函数递增，指数函数递增，且，可得，解得，所以实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、单调性以及数列的增减性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.二、填空题.13.在等比数列中，若=_____.【答案】【解析】【分析】由利用等差数列的通项公式可得，且，求得首项与公差，从而可得结果.直接求解.【详解】在等差数列中，由且，解得,,故答案为 .【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量运算，是基础题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.14.的内角所对的边分别为，已知是公差为4的等差数列，且的最大内角为，则最大边的长度为________.【答案】14【解析】【分析】设三角形的三边分别为,结合最大内角为，利用余弦定理列方程求得，从而可得结果.【详解】设三角形的三边分别为,则,化简得,解得,所以三角形的三边分别为,的最大边的边长是,故答案为14.【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15.对于任意，都有恒成立，则实数取值范围是___.【答案】【解析】【分析】将分情况进行讨论，时，显然成立，时，利用判别式小于零列不等式，解不等式组求出的范围，问题得解.【详解】①时，成立，②时，由题意得,解得,综合①②得，故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题；（3）要注意讨论二次项系数是否为零.16.把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)：设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8．若=2018，则i，j的值分别为______，________.【答案】(1). 64(2). 2【解析】【分析】第一行有一个数,第二行有两个数，第三行有三个数，，第行有个数字，可得前行共有个数，，是第行第2个数，从而可得结果.【详解】由题意可知，第一行有一个数,第二行有两个数，第三行有三个数，，第行有62个数，第63行有个数63，第行有个数字，这样每一行的数字个数组成等差数列，前项的和，当时，；前行共个数，所以，是第行递2个数，的值分别为.故答案为.【点睛】本题的考点是归纳推理，以及等差数列的前项和公式,属于难题. 归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).17.已知，（I）解关于的不等式；(Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求实数的值．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)由可得,化为，利用一元二次不等式的解法求解即可；(2)不等式可化为，即，由不等式的解集为，可得方程的两个根分别为，由韦达定理可得结果.【详解】(1)即故不等式的解集为(2)不等式可化为即不等式的的解集为方程的两个根分别为故，或【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，意在考查转化与划归思想的应用以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.18.已知等差数列的公差为，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和的最小值，并求此时的值.【答案】（1）（2）当的最小值为-25，【解析】【分析】（Ⅰ）设的首项为,运用等比中项性质以及等差数列的通项公式，可得的方程，解出,从而可得的通项公式；(2)结合（1），运用等差数列的求和公式可得，利用配方法和二次函数的最值，即可得结果.【详解】(1)由题意，得，，所以由得解得所以，即(2)由(1)知，故当时，取最小值.【点睛】本题主要考查等比中项的应用以及等差数列的通项公式与等差数列的求和公式，属于中档题. 求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数，，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.19.的内角所对的边分别为．已知，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的面积为，求的最小值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理可得结合可得，根据辅助角公式可求解角的大小；（2）由的面积为，可得，根据余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值.【详解】(1)由正弦定理,可得又为的内角，故 .(2).在中,由余弦定理知当且仅当b=c=4时等号成立，此时a取最小值为4【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立，（I）证明:数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)把和相减整理求得，整理出,判断出数列是首项为6，公比为2的等比数列；（2）由（1）利用等比数列的通项公式求得，则可得的表达式；(3)把（2）中的代入,求得通项公式，进而利用错位相减法，结合等比数列求和公式，可求得数列的前项的和.【详解】（1）由已知得①，②由②-①得：，所以,又得所以是以6为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得，即 .（3）,所以, ③, ④由④-③得=,.【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列的通项公式、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.21.如图，在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛北偏东，俯角为的处，到11时10分又测得该船在岛北偏西，俯角为的处.(I) 求船的航行速度是每小时多少千米?(Ⅱ)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛有多远?【答案】(1)千米/时;(2)千米【解析】【分析】在、中利用山的高度以及俯角，确定的长，求得，最后利用勾股定理求得，用里程除以时间即可得船的速度；（2）利用，求得的值，利用，求得的值，进而利用正弦定理求得，从而可得结果.【详解】(1)在中，，所以在中，在中，所以则船的航行速度为千米/时).(2)在中，由正弦定理得所以，故此时船距岛A有千米【点睛】本题主要考查正弦定理测量距离，以及两角和的正弦公式，意在考查阅读能力、建模能力以及空间想象能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.22.已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足＋ (≥2)．（I）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明略，；（2）【解析】【分析】（1）由＋可得，化为，利用等差数列的通项公式可求，从而可求；（2）结合（1），可得，利用裂项相消法求和可求，求出，由可求实数的范围.【详解】(1)因为，又当时即，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，得所以又，也适合，所以；(2)因为，所以，要使不等式恒成立，只需恒成立，解得或，故实数的取值范围是【点睛】本题主要考查递推关系证明等差数列、等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.。

闽侯二中五校教学联合体 2017—2018学年第一学期高二年段数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.不等式0322≥-+x x 的解集为 （ ） A.{|31}x x x ≤-≥或 B.}31|{≤≤-x x C.{|13}x x x ≤-≥或 D.}13|{≤≤-x x 2．下列结论正确的是 ( )A.若a b >,则ac bc >B.若a b >,则22a b >C.若,0a c b c c +<+<,则a b >D.>,则a b >3. 已知等比数列{n a }的前3项和321S =,37a =，则q 公比的值为 ( ) A.1 B.12- C. 1或12- D. 1或2-4.ABC ∆的内,,A B C 角所对的边分别为 ,,a b c ，已知22,cos 3a c A ===，则b ＝( )A ．3B ．2CD 5. 在ABC ∆中，若lgsin lgcos lgsin lg 2A B C --=，则该三角形的形状是( ) A.等腰三角形 B. 等边三角形 C.直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 在数列{}n a 中，1221n n a a a +++=-*()n ∈N ，则22212n a a a +++=( )A.()2n2-1B.()n14-13 C.n 4-1 D.()2n 12-137.在各项都不为0的等差数列{n a }中, 23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则68b b = ( )A.2B.4C.8D.168．ABC ∆的内,,A B C 角所对的边分别为 ,,a b c ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 （ ）A. 6b =，30A =︒，︒=60CB. 3a =，2c =，︒=60BC. 7=a ，5=b ，︒=60AD. 3a =，4b =，︒=45A 9. 已知函数13(01)x y a a a -=+>≠且的图象过定点A ,且点A 在直线()10,0x ym n m n+=>>上,则m n +的最小值为 ( ) A.2B.8C.9D.1010. 已知实数,x y 满足约束条件2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，错误！未找到引用源。

2018学年福建省福州四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共55分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则＞C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d3．（5分）若不等式kx2﹣kx+1＞0对任意x∈R都成立，则k的取值范围是（）A．（0，4） B．[0，4） C．（0，+∞）D．[0，+∞）4．（5分）在△ABC中，，则此三角形解的情况是（）A．一解或两解B．两解C．一解D．无解5．（5分）不等式的解集是（）A．{x|x≤﹣1}B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} 6．（5分）表示平面区域为（）A．B．C．D．7．（5分）设等比数列{a n}的前n项为S n，若a2006=2S2005+6，a2007=2S2006+6，则数列{a n}的公比为q为（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形9．（5分）已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，α+β的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（）A．1＜x＜5 B．C．D．11．（5分）已知等差数列{a n}中，有+1＜0，且该数列的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0成立的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．21二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）12．（5分）在和之间插入两个数，使这四个数成等比数列，则插入的两个数的乘积为．13．（5分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，那么它的通项公式为a n=．15．（5分）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（0，1）、B（4，2）、C（2，6），如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么的范围是．16．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，个数）：设a i，j如a4=8．则a63，54为．，2三．解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．18．（10分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1，n∈N*（1）证明数列{a n﹣n}为等比数列（2）求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）角A、B、C分别是锐角△ABC的三边a、b、c所对的角，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积，求a的最小值．20．（12分）美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足，已知生产该产品还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数（利润=总售价﹣成本﹣促销费）；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．21．（12分）已知[（m﹣1）x+1]（x﹣1）＞0，其中0＜m＜2，（1）解不等式．（2）若x＞1时，不等式恒成立，求实数m的范围．22．（14分）在数列{a n}中，S n是数列{a n}前n项和，a1=1，当n≥2时，2S n S n﹣1=﹣a n（I）求证：数列是等差数列；（II）设求数列{b n}的前n项和T n；（III）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．2018学年福建省福州四中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共55分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．===．【解答】解：S△ABC故选：B．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则＞C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d【解答】解：当c=0时，A、B不成立．对于a＞b，由于ab＞0，故有，即，故C正确．对于a＞b，c＞d，当a=2，b=1，c=10，d=1，显然有a﹣c＜b﹣d，故D不正确．故选：C．3．（5分）若不等式kx2﹣kx+1＞0对任意x∈R都成立，则k的取值范围是（）A．（0，4） B．[0，4） C．（0，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：kx2﹣kx+1＞0对任意x∈R都成立，①当k=0时，1＞0对任意x∈R恒成立，∴k=0符合题意；②当k≠0时，则有，∴，∴0＜k＜4，∴实数m的取值范围为0＜k＜4．综合①②可得，实数k的取值范围为0≤m＜4．故选：B．4．（5分）在△ABC中，，则此三角形解的情况是（）A．一解或两解B．两解C．一解D．无解【解答】解：在△ABC中，∵，由正弦定理可得，即，解得sinB=1，∴B=，故此三角形解的情况是：一解，故选：C．5．（5分）不等式的解集是（）A．{x|x≤﹣1}B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}【解答】解：不等式＞x可化为：＜0即x（x﹣1）（x+1）＜0，利用标根法（如图所示），可知x＜﹣1或0＜x＜1．所以原不等式的解集是{x|x＜﹣1或0＜x＜1}故选：D．6．（5分）表示平面区域为（）A．B．C．D．【解答】解：可转化为或，作出图象，如下图所示：故选：D．7．（5分）设等比数列{a n}的前n项为S n，若a2006=2S2005+6，a2007=2S2006+6，则数列{a n}的公比为q为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：a2006=2S2005+6，①a2007=2S2006+6 ②②﹣①a2007﹣a2006=2（S2006﹣S2005）a2007﹣a2006=2a2006a2007=3a2006故=3即数列的公比q=3故选：B．8．（5分）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形【解答】解：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB．∴cosAsinB﹣sinAcosB=0．∴sin（B﹣A）=0，∵A和B是三角形的内角，∴B=A．故选：B．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，α+β的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵a，b的等差中项是，∴a+b==1，又a＞0，b＞0．∴α+β==1+（a+b）=3+=5，当且仅当时取等号．故选：C．10．（5分）已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（）A．1＜x＜5 B．C．D．【解答】解：∵三角形为锐角三角形，∴三角形的三个内角都为锐角，则设边长为3所对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα=＞0，即x2＞5，解得x＞或x＜﹣（舍去）；设边长为x所对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ=＞0，即x2＜13，解得0＜x＜，则x的取值范围是＜x＜．故选：B．11．（5分）已知等差数列{a n}中，有+1＜0，且该数列的前n项和S n有最大值，则使得S n ＞0成立的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．21【解答】解：由+1＜0可得＜0又∵数列的前n项和S n有最大值，∴可得数列的公差d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴S19＞0，S20＜0∴使得S n＞0的n的最大值n=19，故选：B．二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）12．（5分）在和之间插入两个数，使这四个数成等比数列，则插入的两个数的乘积为36．【解答】解：设插入的两个数分别为a，b则由题意可得，，a，b，成等比数列则由等比数列的性质可得，ab=×=36．故答案为：36．13．（5分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．【解答】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，那么它的通项公式为a n=．【解答】解：由题意可得，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n而a1=S1=3不适合上式故答案为：15．（5分）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（0，1）、B（4，2）、C（2，6），如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么的范围是[﹣2，1] ．【解答】解：表示△ABC围成的区域内动点P（x，y）与点（﹣1，3）联线的斜率，如下图所示：由图可知当P与A重合时，取最小值，此时=﹣2当P与C重合时，取最小值，此时=1故的范围是[﹣2，1]故答案为：[﹣2，1]16．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，个数）：设a i，j如a4=8．则a63，54为2007．，2【解答】解：由题意可知，第一行有一个数，第二行有两个数，第三地有三个数，…，第62行有62个数，第63行有63个数，=（1+2+3+…+62）+54==2007．∴a63，54答案：2007．三．解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．【解答】解：在△ABC中，∠ABC=155°﹣125°=30°，∠BCA=180°﹣155°+80°=105°，∠BAC=180°﹣30°﹣105°=45°，BC=×50=25，由正弦定理，得∴AC==（浬）答：船与灯塔间的距离为浬．18．（10分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1，n∈N*（1）证明数列{a n﹣n}为等比数列（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a n=4a n﹣3n+1，n∈N*，+1﹣（n+1）=4a n﹣3n+1﹣（n+1），∴a n+14a n﹣4n=4（a n﹣n）．∴{a n﹣n}为首项a1﹣1=1，公比q=4的等比数列；（2）∵a n﹣n=4n﹣1，∴a n=n+4n﹣1，S n=1+2+…+n+（1+4+…+4n﹣1）==．19．（12分）角A、B、C分别是锐角△ABC的三边a、b、c所对的角，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积，求a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可知，a=2RsinA，c=2RsinC，…（2分）得2sinA•sinC=sinC且sinC≠0…（4分）∴sinA=且A为锐角，故有A=60°…（6分）（Ⅱ）由S=bc•sinA=得bc=4…（8分）由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bc•cosA=b2+c2﹣bc…（10分）≥2bc﹣bc=bc=4，当且仅当b=c=2时，a有最小值2…（12分）20．（12分）美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足，已知生产该产品还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数（利润=总售价﹣成本﹣促销费）；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【解答】解：（1）根据利润=总售价﹣成本﹣促销费，可得y=P（）﹣（10+2P）﹣x∵，∴，即，（x≥0）；（2）∵x≥0，∴x+1≥1，∴≤17﹣4=13，当且仅当，即x=1万元时，y取得最大值13万元∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大21．（12分）已知[（m﹣1）x+1]（x﹣1）＞0，其中0＜m＜2，（1）解不等式．（2）若x＞1时，不等式恒成立，求实数m的范围．【解答】解：（1）[（m﹣1）x+1]（x﹣1）＞0当m﹣1=0时，不等式为（x﹣1）＞0即{x|x＞1}．当1﹣m＜0时，即1＜m＜2，不等式解集为当0＜1﹣m＜1时，即0＜m＜1，不等式解集为综上得：当m=1时解集为{x|x＞1}，当0＜m＜1时解集为当1＜m＜2时，不等式解集为（2）x＞1时，原命题化为（m﹣1）x+1＞0恒成立，∴（m﹣1）＞，∴1≤m＜222．（14分）在数列{a n}中，S n是数列{a n}前n项和，a1=1，当n≥2时，2S n S n﹣1=﹣a n（I）求证：数列是等差数列；（II）设求数列{b n}的前n项和T n；（III）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（I）∵当n≥2时，2S n S n﹣1=﹣a n=S n﹣1﹣S n两边同除S n S n﹣1得：2=﹣∵a1=1，∴=1即{}是以1为首项，以2为公差的等差数列（II）由（I）得=2n﹣1即S n=∴==（﹣）∴T n=b1+b2+…+b n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=（III）令T（x）=，则T′（x）=则T（x）在[1，+∞）上是增函数，故当n=1时，T n取最小值若对任意自然数n∈N*，都有成立只要即解得m＜，由m∈N*，∴m的最大值为9赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2018学年福建省福州市闽侯四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b22．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞03．（5分）已知p：x2﹣x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是（）A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．＜x＜D．＜x＜24．（5分）已知等比数列{a n}单调递减，满足a1a5=9，a2+a4=10，则数列{a n}的公比q=（）A．B．C．D．35．（5分）《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（）A．150 B．160 C．170 D．1806．（5分）已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．﹣2 D．﹣47．（5分）如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是α，桥头（C）的俯角是β，则桥BC的长为（）A．h B．hC．h D．h8．（5分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数转换成十进制形式是（）A．217﹣2 B．216﹣2 C．216﹣1 D．215﹣19．（5分）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件则实数m的最大值为（）A．2 B．C．1 D．11．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．12．（5分）跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8格的方法种数为（）A．8种 B．13种C．21种D．34种二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知两个球的表面积之比为4：25，则这两个球的半径之比为．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=．16．（5分）给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线；②有三个不同公共点的两个平面重合；③没有公共点的两条直线是异面直线；④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（Ⅰ）已知命题p：函数f（x）=（2a﹣5）x是R上的减函数；命题q：在x∈（1，2）时，不等式x2﹣ax+2＜0恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．（1）求证：PA∥面BDE；（2）求证：BD⊥平面PAC．19．（12分）已知圆心为C的圆过点A（0，﹣6）和B（1，﹣5），且圆心在直线l：x﹣y+1=0上．（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）过点M（2，8）作圆的切线，求切线方程．20．（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得弦长为8，求直线l的方程．21．（12分）如图，在几何体S﹣ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=12．（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．2018学年福建省福州市闽侯四中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴＞，|a|＞|b|，a2＞ab＞b2．因此A，C，D正确．对于B：a＜b＜0时，可得＜，因此B不正确．故选：B．2．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：D．3．（5分）已知p：x2﹣x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是（）A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．＜x＜D．＜x＜2【解答】解：∵p：x2﹣x＜0⇒0＜x＜1⇒﹣1＜x＜1，﹣1＜x＜1推不出x2﹣x＜0，∴p：x2﹣x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件﹣1＜x＜1，故选：B．4．（5分）已知等比数列{a n}单调递减，满足a1a5=9，a2+a4=10，则数列{a n}的公比q=（）A．B．C．D．3【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a5=a2a4=9，a2+a4=10，且{a n}单调递减，解得：a2=9，a4=1，可求得（舍掉）．故选：B．5．（5分）《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（）A．150 B．160 C．170 D．180【解答】解：由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列，且a1+a4+a7=390，S9=1260，则，∴a4=130，a5=140，∴d=a5﹣a4=10，则a8=a5+3d=140+30=170．故选：C．6．（5分）已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，﹣4），此时z=1×2﹣4=﹣2，故选：C．7．（5分）如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是α，桥头（C）的俯角是β，则桥BC的长为（）A．h B．hC．h D．h【解答】解：由题意得：∠ACD=β，∠ABD=α，AD=h，在Rt△ACD中，tan∠ACD=，即tanβ=，整理得：CD=，在Rt△ABD中，tan∠ABD=，即tanα=，整理得：BD=，则BC=CD﹣BD=﹣=（﹣）h=h=h，故选：A．8．（5分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数转换成十进制形式是（）A．217﹣2 B．216﹣2 C．216﹣1 D．215﹣1【解答】解法一：（1111111111111111）2=215+214+…+22+2+1=216﹣1解法二：∵（1111111111111111）2+1=（10000000000000000）=216∴（1111111111111111）2=216﹣1故选：C．9．（5分）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故选：C．10．（5分）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件则实数m的最大值为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，即△ABC的边与其内部区域，当函数y=2x与边界直线x+y=3交与点A时，满足条件，由，解得，即A（1，2），若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，即y=2x图象上存在点在阴影部分内部，则必有m≤1，即实数m的最大值为1，故选：C．11．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选：C．12．（5分）跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8格的方法种数为（）A．8种 B．13种C．21种D．34种【解答】解：设跳到第n格的方法有a n，则达到第n格的方法有两类，，①是向上跳一格到达第n格，方法数为a n﹣1②向上跳2格到达第n格，方法数是a n，﹣2则a n=a n﹣1+a n﹣2，有数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21∴跳到第8格的方法数是21，故选：C．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知两个球的表面积之比为4：25，则这两个球的半径之比为2：5．【解答】解：由题意可得：设大球与小球两个球的半径分别为R，r，所以两个球的表面积分别为：S1=4πR 2，S2=4πr2，因为两个球的表面积之比为4：25，⇒，⇒，故答案为：2：5．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为5π．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上部分为圆锥，底面半径为1，高为，下部分是半径为1的半球．则该几何体的表面积为=5π．故答案为：5π．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=4．【解答】解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，∴4c2=+﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为+，化为=4．故答案为：4．16．（5分）给出以下说法：①不共面的四点中，任意三点不共线；②有三个不同公共点的两个平面重合；③没有公共点的两条直线是异面直线；④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．其中正确结论的序号是①⑤．【解答】解：在①中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面，故①正确；在②中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故②错误；在③中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故③错误；在④中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故④错误；在⑤中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可以确定两个平面，故⑤正确．故答案为：①⑤．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（Ⅰ）已知命题p：函数f（x）=（2a﹣5）x是R上的减函数；命题q：在x∈（1，2）时，不等式x2﹣ax+2＜0恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）在p中，∵函数f（x）=（2a﹣5）x是R上的减函数，∴0＜2a﹣5＜1，解得＜a＜3；在q中，由x2﹣ax+2＜0得ax＞x2+2，∵1＜x＜2，∴a＞=x+在x∈（1，2）时恒成立；又当x∈（1，2）时，x+∈[2，3），∴a≥3；∵p∨q是真命题，故p真或q真，∴有＜a＜3或a≥3；∴a的取值范围是a＞；（Ⅱ）命题p为：{x/}，命题q为：{ x/a≤x≤a+1}，￢p对应的集合A={x/x＞1，或x＜}，￢q对应的集合为B={x/x＞a+1，或x＜a}，∵若￢p是￢q的必要不充分条件，∴B⊂A，∴a+1≥1且，∴0≤a≤．18．（12分）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．（1）求证：PA∥面BDE；（2）求证：BD⊥平面PAC．【解答】解：（1）ABCD是正方形，O是正方形的中心，即O是BD和AC的中点，E是PC的中点，连接OE，在三角形APC中，OE∥AP，∵OE⊂面BDE，∴PA∥面BDE；（2）∵ABCD是正方形，O是正方形的中心∴BD⊥AC，∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，∵PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．19．（12分）已知圆心为C的圆过点A（0，﹣6）和B（1，﹣5），且圆心在直线l：x﹣y+1=0上．（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）过点M（2，8）作圆的切线，求切线方程．【解答】解：（1）设所求的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，依题意得：，解得a=﹣3，b=﹣2，r2=25，所以所求的圆的方程为：（x+3）2+（y+2）2=25；（2）设所求的切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣8=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+8=0又圆心C（﹣3，﹣2）到切线的距离又由d=r，即，解得∴所求的切线方程为3x﹣4y+26=0若直线的斜率不存在时，即x=2也满足要求．综上所述，所求的切线方程为x=2或3x﹣4y+26=0．20．（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得弦长为8，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得=5，即=5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，∴l：x=﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．21．（12分）如图，在几何体S﹣ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=12．（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵∠SDC=120°，∴∠SDE=30°，又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为．则有D（0，0，0），S（﹣1，，0），A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（4分）（1）设平面SAB的法向量为=（x，y，z），∵，．则有，取x=，得，又，设SC与平面SAB所成角为θ，则sinθ=|cos|=，故SC与平面SAB所成角的正弦值为．（9分）（2）设平面SAD的法向量为，∵，，则有，取x=，得．∴cos==，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．【解答】解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，=﹣，故AA1与棱BC所成的角是．（2）设，则P（2λ，4﹣2λ，2）于是（舍去），则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）设平面P﹣AB﹣A1的法向量为，则，故而平面ABA1的法向量是，则，故二面角P﹣AB﹣A1的余弦值是．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.E2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2017-2018学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．若a ＞b ＞0，下列不等式成立的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．a 2＜abC ．＜1D ．＞2．原点和点（1，1）在直线x +y ﹣a=0两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．0≤a ≤2 B ．0＜a ＜2 C ．a=0或a=2 D ．a ＜0或a ＞23．在△ABC 中，AB=1，AC=，∠A=60°，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．或D ．或4．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 355．在△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a=，c=，∠A=60°，则∠C 的大小为（ ）A ．或B ．或C ．D ．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．若sin B •sin C=sin 2A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺8．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 1007•a 1008＜0，a 1007+a 1008＞0则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是（ ） A ．2 012 B ．2 013 C ．2 014 D ．2 0159．若x ，y 满足且z=2x +y 的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣7D ．710．若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）11．已知函数f（x）=4x2﹣1，若数列{}前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，=，a n b n=1，则使b n＞101的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．在数列{a n}中，a1=﹣2，a n+1=，则a2016=．14．若|x﹣3|+|x+5|＞a对于任意x∈R均成立，则实数a的取值范围．15．设a，b∈R+，且a+b=2则ab2的最大值为．16．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2n，n∈N+则a n=．17．已知x，y满足，则的取值范围为．18．如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为米．三、解答题（共5小题，满分60分）19．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．20．已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆半径为，（1）求角C；（2）求△ABC 面积S 的最大值． 21．已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1=3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项b 1=1，且a 2b 2=12，S 3+b 2=20．（1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）求{a n b n }的前n 项和T n ．22．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为多少元．，并求出此时生产A ，B 产品各少件． 23．已知数列{a n }的前n 项和为s n ，且a n =S n ﹣1+2（n ≥2），a 1=2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，T n =b n +1+b n +2+…+b 2n ，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有T n ＞恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＞b＞0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞【考点】不等式的基本性质．【分析】由题意，取a=2，b=1，代入验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，取a=2，b=1，则a2＞b2，a2＞ab，＜1，＜，故选C．2．原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是（）A．0≤a≤2 B．0＜a＜2 C．a=0或a=2 D．a＜0或a＞2【考点】简单线性规划．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域，以及处在区域两侧的点的符号相反求解a的取值范围．【解答】解：∵原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，∴（0+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，即a（a﹣2）＜0，解得0＜a＜2，故选：B．3．在△ABC中，AB=1，AC=，∠A=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．或 D．或【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵AB=1，AC=，∠A=60°，=AB•AC•sinA==．∴S△ABC故选：B．4．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．【解答】解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B5．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，∠A=60°，则∠C的大小为（）A．或B．或C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，化为：sinC=，∵c＜a，∴C为锐角，∴C=．故选：D．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B•sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n }， a 1=5（尺），S 30=9×40+30=390（尺），设公差为d （尺），则30×5+=390，解得d=．故选：C ．8．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 1007•a 1008＜0，a 1007+a 1008＞0则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是（ ） A ．2 012 B ．2 013 C ．2 014 D ．2 015 【考点】数列的函数特性．【分析】首项a 1＞0，a 1007•a 1008＜0，a 1007+a 1008＞0，可得a 1007＞0，a 1008＜0，再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵首项a 1＞0，a 1007•a 1008＜0，a 1007+a 1008＞0， ∴a 1007＞0，a 1008＜0，∴S 2014==1007（a 1007+a 1008）＞0，S 2015==2015×a 1008＜0．则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是2014． 故选：C ．9．若x ，y 满足且z=2x +y 的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣7D ．7【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x +y 得：y=﹣2x +z ，显然直线y=﹣2x +z 过A 时z 最大，得到关于k 的不等式，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故选：B．10．若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【分析】将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（m+1）（m﹣4）＞0，解得m＜﹣1或m＞4，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）． 故选：B ．11．已知函数f （x ）=4x 2﹣1，若数列{}前n 项和为S n ，则S 2015的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】由f （x ）=4x 2﹣1得到，然后利用裂项相消法求得S 2015的值．【解答】解：由f （x ）=4x 2﹣1，得=，∴S 2015==．故选：D ．12．已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1， =，a n b n =1，则使b n ＞101的最小的n 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【考点】数列递推式．【分析】先化简已知的等式，利用待定系数法和构造法得到数列{+3}是等比数列，由条件和等比数列的通项公式求出，代入a n b n =1求出b n ，化简使b n ＞101即可求出最小的n ．【解答】解：由=，得3a n +1a n +2a n +1=a n ，两边同除a n +1a n 得， =+3，设+k=2（+k ），则=+k ，即k=3，∴=2，由a 1=1得=4，∴数列{+3}是以2为公比、4为首项的等比数列，则+3=4•2n ﹣1=2n +1，∴=2n+1﹣3，由a n b n=1得b n==2n+1﹣3，∴b n＞101为2n+1﹣3＞101，即2n+1＞104，∵26=64，27=128，∴使b n＞101的最小的n为6．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）=，则a2016=3．13．在数列{a n}中，a1=﹣2，a n+1【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===﹣，a3===，a4===3，a5===﹣2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016=504×4，∴a2016=a4=3，故答案为：3．14．若|x﹣3|+|x+5|＞a对于任意x∈R均成立，则实数a的取值范围（﹣∞，8）．【考点】绝对值不等式．【分析】利用绝对值不等式的性质可得|x﹣3|+|x+5|的最小值为8，由此求得a的范围．【解答】解：∵|x﹣3|+|x+5|=|3﹣x|+|x+5|≥|3﹣x+x+5|=8，故|x﹣3|+|x+5|的最小值为8，再由题意可得，当a＜8时，不等式对x∈R均成立，故答案为：（﹣∞，8）．15．设a，b∈R+，且a+b=2则ab2的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】化简得a=2﹣b，0＜b＜2；从而可得f（b）=ab2=（2﹣b）b2=﹣b3+2b，f′（b）=﹣3b2+2=﹣3（b+）（b﹣），从而求得．【解答】解：∵a，b∈R+且a+b=2，∴a=2﹣b，0＜b＜2；f（b）=ab2=（2﹣b）b2=﹣b3+2b，f′（b）=﹣3b2+2=﹣3（b+）（b﹣），故f（b）在（0，）上是增函数，在（，2）上是减函数；故ab2的最大值是f（）=故答案为：．16．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2n，n∈N+则a n=2n﹣1．【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系一步步地把通项用首项和关于n的表达式表示出来，即可求得结论．【解答】解：a1=1，a n+1﹣a n=2n，得，a n=a n﹣1+2n﹣1=a n﹣2+2n﹣2+2n﹣1=a n﹣3+2n﹣3+2n﹣2+2n﹣1=…=a1+21+22+…+2n﹣1=1+=2n﹣1．所以a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．17．已知x，y满足，则的取值范围为[2，6] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出的范围，转化所求的表达式为二次函数的最值求解即可．【解答】解：x，y满足，的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由可行域可知1≤≤k OA，由，可得A（1，3），k OA=3．∈[1，3]．=+3=（）2+2.∈[0，2]，∈[2，6]．故答案为：[2，6]．18．如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为2+米．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x 的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴2﹣1＞0因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故答案为：2+．三、解答题（共5小题，满分60分）19．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．20．已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆半径为，（1）求角C；（2）求△ABC面积S的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC 的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值．【解答】解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2（a2﹣c2）=2b（a﹣b），整理得：a2﹣c2=ab﹣b2，即a2+b2﹣c2=ab，∵c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣c2=2abcosC，∴2abcosC=ab，即cosC=，则C=；（2）∵C=，∴A+B=，即B=﹣A，∵==2，即a=2sinA，b=2sinB，=absinC=absin=×2sinA×2sinB×∴S△ABC=2sinAsinB=2sinAsin（﹣A）=2sinA（cosA+sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A+（1﹣cos2A）=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣）+，=．则当2A﹣=，即A=时，S△ABCmax21．已知{a n}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求{a n b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②结合d＞0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求a n，b n（2）直接利用（1）的结论对数列{a n•b n}用错位相减法求和即可求T n．【解答】解：（1）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②可得，（3d+7）（d﹣3）=0∵{a n}是单调递增的等差数列，d＞0．则d=3，q=2，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n，b n=2n﹣1…（2）T n=3•1+6•2+9•4+…+3n•2n﹣1，①2T n=3•2+6•4+9•8+…+3n•2n，②②﹣①得：T n=﹣3（1+2+4+…+2n﹣1）+3n•2n﹣1=﹣3（1+）+3n•2n﹣1=3（n﹣1）•2n﹣1∴T n=3（n﹣1）•2n﹣1．22．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为多少元．，并求出此时生产A，B产品各少件．【考点】简单线性规划的应用．【分析】设生产A产品x件，B产品y件，利润总和为z，得出约束条件表示的可行域，根据可行域得出目标函数取得最大值时的最优解．【解答】解：设生产A产品x件，B产品y件，利润总和为z，则，目标函数z=2100x+900y，做出可行域如图所示：将z=2100x+900y变形，得，由图象可知，当直线经过点M 时，z 取得最大值．解方程组，得M 的坐标为（60，100）．所以当x=60，y=100时，z max =2100×60+900×100=216000．故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元．23．已知数列{a n }的前n 项和为s n ，且a n =S n ﹣1+2（n ≥2），a 1=2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，T n =b n +1+b n +2+…+b 2n ，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有T n ＞恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【考点】数列与不等式的综合． 【分析】（1）将n 换成n ﹣1，两式相减，运用n=1时，a 1=S 1，n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1，即可得到数列{a n }的通项公式；（2）求出b n ，T n ，T n +1，作差，判断{T n }的单调性，求出T n 的最小值，令小于最小值，即可求出正整数k 的最大值． 【解答】解：（1）由已知a n =S n ﹣1+2，① a n +1=S n +2，②②﹣①，得a n +1﹣a n =S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2）， ∴a n +1=2a n （n ≥2）． 又a 1=2，∴a 2=a 1+2=4=2a 1， ∴a n +1=2a n （n=1，2，3，…）∴数列{a n }是一个以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2•2n ﹣1=2n ．（2）b n ===，∴T n =b n +1+b n +2+…+b 2n =++…+，T n +1=b n +2+b n +3+…+b 2（n +1）=++…+++．∴T n +1﹣T n =+﹣= =．∵n 是正整数，∴T n +1﹣T n ＞0，即T n +1＞T n ．∴数列{T n}是一个单调递增数列，又T1=b2=，∴T n≥T1=，要使T n＞恒成立，则有＞，即k＜6，又k是正整数，故存在最大正整数k=5使T n＞恒成立．2016年12月16日。