中考数学几何总复习1

备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合（一）1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．（1）当t＝1时，⊙M的半径是cm，⊙M与直线CD的位置关系是；（2）在点P从点A向点B运动过程中．①圆心M的运动路径长是cm；②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．2．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O在AB上，以O为圆心，OB为半径画⊙O，分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，AH⊥BC，垂足分别为F、H．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）①设OB＝2，求EC的长；②设OB＝t，求FC的长（用含t的代数式表示）．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）连结AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．4．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．5．定义：如图①，⊙O的半径为r，若点P'在射线OP上，且OP•OP'＝r2．则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．（1）如图①，设射线OP与⊙O交于点A，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且OP'＝PA，求证：点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）如图②，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，过点P'作P'B⊥OP，交⊙O于点B，连接PB，求证：PB为⊙O的切线；（3）如图③，在Rt△CDE中，∠E＝90°，CE＝6，DE＝8，以CE为直径作⊙O，若点P为CD边上一动点，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段OP'长度的取值范围是．6．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连结DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连结AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．7．定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（1）若等腰△ABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；（2）如图1，△ABC中，AB＝3，AC＝8，BC＝9．小明发现这个△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．他的证明方法如下：证明：在BC上取点D，使得BD＝1，连结AD．（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连结AC，AD与BE相交于点F，G，＝＝，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．①求证：四边形CDEF是平行四边形；②若BF＝1，设AB＝x，y＝，求y关于x的函数关系式．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．9．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结CA．（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；（2）如图2，连结BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连结AG．①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；②设tan∠CAE＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．10．如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求PA•AE的最大值．参考答案1．解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，当t＝1时，AP＝3，AQ＝4，∵AB＝6，BC＝8，∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，∴PQ＝＝5，∴⊙M的半径为cm，∵MN∥BQ，M是PQ的中点，∴PN＝BN，∴MN是△PQB的中位线，∴MN＝BQ＝×4＝2，∴MK＝8﹣2＝6＞，∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；故答案为：，相离；（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，∴圆心M在对角线BD上，由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，故M运动路径为OB＝BD，由勾股定理得：BD＝＝10，则圆心M的运动路径长是5cm；故答案为：5；②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，∴PQ＝10﹣5t，∴PM＝＝FM＝5﹣t，△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，∵EF＝FM+ME，∴5﹣t+3﹣t＝6，解得：t＝；（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，∴∠APD＝∠NPQ，∵∠A＝90°，DG⊥PG，∴AD＝DG＝8，∵PD＝PD，∴Rt△APD≌Rt△GPQ（HL），∴PG＝AP＝3t，∵PQ＝10﹣5t，∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，∴3t2﹣10t+8＝0，（t﹣2）（3t﹣4）＝0，解得：t1＝2（舍），t2＝．2．证明：（1）如图1，连结OE，∵OE＝OB，∴∠B＝∠OEB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∴∠OEF＝∠EFC，∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，∴∠OEF＝90°，∴EF⊥OE，∵点E在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；（2）①如图2，连结OE，∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC．∴＝，∴＝，∴BE＝，∴EC＝6﹣＝；②∵AB＝AC，∴BH＝BC，∵BC＝6，∴BH＝3，由①知：＝，即＝，∴BE＝，∴EC＝6﹣，∵AH⊥BC，EF⊥AC，∴∠AHB＝∠EFC＝90°，∵∠OBE＝∠C，∴△ABH～△EFC，∴＝，∴＝，∴FC＝﹣．3．（1）证明：如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∴AD⊥BC，AE⊥BE，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵BO＝OA，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∴OD⊥BE．（2）∵△AGE≌△DGF，∴AE＝DF，∵AO＝OB，FO∥AE，∴EF＝FB，∴OF＝AE＝DF，∵AB＝2，∴OD＝AB＝1，∴DF＝OD＝，∴AE＝DF＝．4．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，又∵AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，∴AB+AC＝AD；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，∴＝．5．（1）证明：由已知得OP•OP'＝r2，∵OP'＝PA，∴PP'＝PA+AP'＝OP'+P'A＝r，∴，∴点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）证明：∵P'B⊥OP，∴∠OP'B＝90°，∵OP•OP'＝r2，∴，∴△P'OB∽△BOP，∴∠OBP＝∠OP'B＝90°，∴PB⊥OB，∴PB为⊙O的切线；（3）解：如图③，过点O作OH⊥CD于H，连接OD，∵CE＝6，∴⊙O的半径为3，即r＝3，∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，∴OP•OP'＝32＝9，∴OP'＝，∵OH≤OP≤OD，∵∠CEB＝90°，CE＝6，DE＝8，∴CD＝10，∵sin∠C＝＝＝，∴OH＝OC＝，由勾股定理得：OD＝＝＝，∵OP＝，OH≤OP≤OD，则≤OP'≤．故答案为：≤OP'≤．6．解：（1）∵点D是的中点，∴，∵点E是的中点，∴，∴∠CDE＝∠BCG，∴△DFC∽△CGE；（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，∴∠CFG＝∠CGF，∵CF＝CG，∵∠ACB＝60°，∴△CFG是等边三角形，如图1，过点C作CH⊥FG于H，∴∠DHC＝90°，设FH＝a，∴∠FCH＝30°，∴FG＝CF＝2a，CH＝a，∵DF＝3，∴DH＝DF+FH＝3+a，∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝，∴tan∠CDE＝，在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝，∴＝，∴a＝1，∴FG＝2a＝2；（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，∴∠AEB＝∠DAE，∴BE∥AD，设BE与AD的距离为h，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE，∵D，E分别是，的中点，∴CD＝AD，BE＝CE，∴S△ABE＝•S△ADE，过点D作DM⊥AC于M，∵，∴AD＝CD，∴AC＝2CM，由（2）知，△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°，∴∠DFM＝60°，∴∠MDF＝30°，设MF＝m，则DM＝m，DF＝2m，∵＝x，∴CF＝x•DF＝2mx，∴CG＝CF＝2mx，由（1）知，△DFC∽△CGE，∴，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE＝S△ADE，∴S四边形ABED＝S△ADE+S△ABE＝S△ADE，∵MF＝m，CF＝x•DF＝2mx，∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m，∴AC＝2CM＝2（2x+1）m，∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，过点A作AN⊥DF于N，∴S△ADF＝AF•DM＝DF•AN，∴AN＝＝＝（x+1）m，过点C作CP⊥FG，由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．7．解：（1）设等腰三角形的顶角∠A为2x，则等腰三角形的底角为90°﹣x，∵等腰△ABC是“差倍角三角形”，∴90°﹣x﹣2x＝2•2x或2x﹣（90°﹣x）＝2（90°﹣x），∴x＝或x＝54°，∴∠A＝2x＝或∠A＝2x＝108°，∴顶角∠A的度数为或108°；（2）如图1，在BC上取点D，使得BD＝1，连结AD，∴CD＝BC﹣BD＝8，∵AC＝8，∴CD＝AC，∴∠CAD＝∠ADC，∵AB＝3，AC＝8，BC＝9，∴＝＝，＝，∴，∵∠ABD∽△CBA，∴∠BAD＝∠C，∴∠ADC＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CAD＝∠ADC，∴∠BAC﹣∠C＝∠ADC，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠C，∴∠BAC﹣∠C＝B+∠C，∴∠BAC﹣∠B＝2∠C，∴△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（3）①∵＝＝，∴∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE，设∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE＝α，∵△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”，∴∠BAE﹣∠ABE＝2∠AEB，∴α+∠CAD+α﹣∠ABE＝2α，∴∠CAD＝∠ABE，∴，∴DE∥AC，∵，∴CD∥BE，∴四边形CDEF是平行四边形；②∵∠BAF＝∠AEB，∠ABF＝∠EBA，∴△ABF∽△EBA，∴＝＝，∴BE＝＝＝x2，∴EF＝BE﹣BF＝x2﹣1，∵四边形CDEF是平行四边形，∴CD＝EF＝x2﹣1，∵，∴AE＝CD＝x2﹣1，∴AF＝＝＝，过点B作BM⊥AC于M，EN⊥AC于N，∴BM∥EN，∴△BFM∽△EFN，∴＝，∴BM＝EN，过点G作GH⊥AE于H，∵∠BAC＝ACB＝∠AEG＝∠EAG，∴△ABC∽△AGE，∴，∴＝＝，∴＝，∴y＝＝＝•＝•＝．8．解：（1）如图1，连接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠DAB＝30°，∴OD＝AO，∴OD＝，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝＝π；（3）如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴，∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴，∴，∴x＝，∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝＝＝2，∵DE∥AC，∴，∴AE＝×2＝．9．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的度数是120°；（2）①∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝1，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝2，∴CE＝2，设OE＝x，则OC＝2﹣x＝OB，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，即（2﹣x）2＝x2+1，解得：x＝，∴OE＝，∵OG＝OB，AE＝BE，∴OE是△AGB的中位线，∴AG＝2OE＝；②∵BG是⊙O的直径，∴∠BAG＝90°，∵∠BAG＝∠BEO＝90°，∴OC∥AG，∴∠C＝∠GAC，∵∠GFA＝∠OFC，∴△GAF∽△OCF，∴，∵，且GF+BF＝2OG，∴OG＝•GF，∵OF＝OG﹣GF，∴OF＝，∴＝，如图3，连接OA，∵OA＝OC，AG＝2OE，∴＝＝，∵tan∠CAE＝＝x，∴CE＝x•AE＝OA+OE，∴AE＝，Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA•OE+OE2），两边同时除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2，设＝a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0，（1+）a2++﹣1＝0，（a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0，∴a1＝﹣1（舍），a2＝，∴＝，∴＝，∴y＝﹣．10．（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠PAF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠PAF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠PAF＝∠PAB，∴△ACE∽△APB，∴，∴PA•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，∴S△ABC＝AB•CQ＝，∴PA•AE＝S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时PA•AE＝×＝80．。

专题 几何专题题型一考察概念基础知识点型例1如图1,等腰△ABC 的周长为21,底边BC ＝ 5,AB 的垂直平分线是DE ,则△BEC 的周长为 ; 例2 如图2,菱形ABCD 中,60A ∠=°,E 、F 是AB 、AD 的中点,若2EF=,菱形边长是______．图1 图2 图3 例3 已知AB 是⊙O 的直径,PB 是⊙O 的切线,AB ＝3cm,PB ＝4cm,则BC ＝ ． 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系,然后利用勾股定理即可求解; 沿DE 折叠,若48CDE ∠=°,则APD ∠等例4 D E ，分别为AC ,BC 边的中点,于 ;例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4,AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠, 使点A 与点C 重合,折叠后在其一面着色图,则着色部分的面积为A ． 8B ．112C ． 4D ．52EDBC A P图4图5 图6题型三涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度,求弧长,扇形面积及圆锥体积,侧面积,三角函数计算等;例6如图3,P 为⊙O 外一点,PA 切⊙O 于A,AB 是⊙O 的直径,PB 交⊙O 于C,PA ＝2cm,PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是A.2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 2232cm π- 图3 题型四证明题型： 第二轮复习之几何一——三角形全等判定方法1：SAS例1如图,AC 是菱形ABCD 的对角线,点E 、F 分别在边AB 、AD 上,且 AE=AF; 求证：△ACE ≌△ACF例2 在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED ． 1求证：△BEC ≌△DEC ；2延长BE 交AD 于F ,当∠BED =120°时,求∠EFD 的度数．BD GFF ADFEBCDCBA EFG判定方法2：AASASA例3 如图,ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE AG ⊥于 E ,BF DE ∥,交 AG 于F ,求证：AFBF EF =+．例4如图,在□ABCD 中,分别延长BA,DC 到点E,使得AE=AB, CH=CD 连接EH,分别交AD,BC 于点F,G;求证：△AEF ≌△CHG.判定方法3：HL 专用于直角三角形例5在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E在BC上, 且AE=CF. 1求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; 2若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.对应练习1.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 中点,AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.1证明：∠DFA = ∠FAB； 2证明: △ABE≌△FCE.2.如图,点E 是正方形ABCD 内一点,CDE ∆是等边三角形,连接EB 、EA ,延长BE 交边AD 于点F . 1求证:BCE ADE ∆≅∆；5分2求AFB ∠的度数.5分3．如图,已知∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,BE ⊥CE 于E ,AD ⊥CE 于D ,CE 与AB 相交于F ．1求证：△CEB ≌△ADC ；2若AD ＝9cm,DE ＝6cm,求BE 及EF 的长．第二轮复习之几何二——三角形相似Ⅰ.三角形相似的判定例1如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 作AE ⊥BC,垂足为E,连接DE,F 为线段DE 上一点,且∠AFE ＝∠B. 1求证：△ADF ∽△DEC2若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. 例2如图9,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点不与点A ．B重合,连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE, PE 交边BC 于点F ．连接BE 、DF;E B D A CF AF DEB CABCEFABCDF EF ED CBA 1求证：∠ADP=∠EPB ； 2求∠CBE 的度数； 3当APAB的值等于多少时．△PFD ∽△BFP 并说明理由．2.相似与圆结合,注意求证线段乘积,一般是转化证它所在的三角形相似;将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似 例3 如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交AC 与E,交BC 与D ．求证：1D 是BC 的中点；2△BEC∽△ADC； 3BC 2=2AB CE ．3.相似与三角函数结合,①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化,然后求线段的长度②求某个角的三角函数值,一般会先将这个角用等角转化,间接求三角函数值例4如图,点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点,⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.1求证：⊿ABE∽⊿DFE ;2若sin∠DFE=31,求tan∠EBC 的值. 练习一、选择题1、如图1,将非等腰ABC △的纸片沿DE 折叠后,使点A 落在BC 边上的点F 处．若点D 为AB 边的中点,则下列结论：①BDF △是等腰三角形；②DFE CFE ∠=∠；③DE 是ABC △的中位线,成立的有 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③图1 图22.如图,等边△ABC 中,BD=CE,AD 与BE 相交于点P,则∠APE 的度数是A ．45° B．55° C．60° D．75° 3.如图3,在ABC △中,13AB AC ==,10BC =,点D 为BC 的中点,DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE等于A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513MEDCBA图3 图4 图5GFE CBADAO BCXY4.如图4,⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D 在一条直线上,点M 是AE 的中点,下列结论：①tan∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个5.如图5,等边三角形ABC 中,D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点,且总使AD=BE ,AE 与CD 交于点F ,AG ⊥CD 于点G,则FGAF= ． 6.如图6,已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上,AD ∥BC ,AC 平分∠BCD ,∠ADC = 120°,四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为 A. 32B.3C. 23D. 43图6 图7对折,使点A 落在点1A 处;已知7.如图7,在直角坐标系中,将矩形OABC 沿OB3=OA ,1=AB ,则点1A 的坐标是 ; A 、23,23 B 、23,3 C 、23,23 D 、21,23 三、解答题1如图,矩形ABCD 中,点E 是BC 上一点,AE ＝AD,DF⊥AE 于F,连结DE.求证：DF ＝DC ．2.如图,四边形ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形,且点P 在矩形上方,点Q 在矩形内．求证：1∠PBA =∠PCQ =30°；2PA =PQ ．3.如图9,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD ＝∠CBD ＝15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE ＝CA ．1求证：DE 平分∠BDC ；2若点M 在DE 上,且DC=DM ,求证： ME=BD ． 4.如图5AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点,AD ⊥CD 于点D ．求证：1∠AOC =2∠ACD ； 2AC 2＝AB ·AD ． 、5．把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠,使点A 与点E 重合,点C 与点F 重合E 、F 两点均在BD 上,折痕分别为BH 、DG;1求证：△BHE ≌△DGF ；2若AB ＝6cm,BC ＝8cm,求线段FG 的长;6．如图8,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合, 连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系,并证明你的猜想．ABCDEAC B DPQABCDEF 第二轮复习之几何三——四边形例1 如图,分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等 边△ABE;已知∠BAC=30o,EF⊥AB,垂足为F,连结DF;1试说明AC=EF ；2求证：四边形ADFE 是平行四边形;例2如图,AD ∥FE,点B 、C 在AD 上,∠1＝∠2,BF ＝BC⑴求证：四边形BCEF 是菱形⑵若AB ＝BC ＝CD,求证：△ACF ≌△BDE例3如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线上一 点,连结AG,点E 、F 分别在AG 上,连接BE 、DF,∠1=∠2 ,∠3=∠4.1证明：△ABE≌△DAF； 2若∠AGB=30°,求EF 的长.例4如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AD BC ∥,AB DC =,2AD =, 4BC =延长BC 到E ,使CE AD =．1证明：BAD DCE △≌△；2如果AC BD ⊥,求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．对应练习1.如图,在菱形ABCD 中,∠A=60°,点P 、Q 分别在边AB 、BC 上,且AP=BQ ． 1求证：△BDQ ≌△ADP ；2已知AD=3,AP=2,求cos ∠BPQ 的值结果保留根号．2、如图,E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点,AF CE DF BE DFBE ==，，∥． 求证：1AFD CEB △≌△．2四边形ABCD 是平行四边形．3． 如罔7,在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点,连接EB 、ED,1求证：△BEC ≌△DEC ：2延长BE 交AD 于点F,若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．4.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,延长CB 到点E ,使BE =AD ,连接DE 交AB 于点M .1求证：△AMD ≌△BM E ；2若N 是CD 的中点,且M N=5,BE =2,求BC 的长.第二轮复习之几何四——圆Ⅰ、证线段相等例1：如图,AB 是⊙O 的直径,C 是的中点,CE ⊥AB 于 E ,BD 交CE 于点F ．1求证：CF=BF ；2若CD =6, AC =8,则⊙O 的半径为 ___ ,CE 的长是 ___ ．ABDEFCDAB EC F ACBDEFO2、证角度相等例2如图,AB 是⊙O 的直径,C 为圆周上一点,30ABC ∠=︒,过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ．:求证：1CAB BOD ∠=∠；2ABC ∆≌ODB ∆． 3、证切线点拨：证明切线的方法——连半径,证垂直;根据：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线例3如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径, AE⊥CD 于点E,DA 平分∠BDE;1求证：AE 是⊙O 的切线;2若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD 的长;例4如图,点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,OC⊥AB,∠ADC=30°． 1求∠BOC 的度数；2求证：四边形AOBC 是菱形． 对应练习1．如图,已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直,垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD的延长线相交于点F ,且AD =3,cos ∠BCD= . 1求证：CD ∥BF ； 2求⊙O 的半径； 3求弦CD 的长.2.如图,点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点,点B 在⊙O 上,且AB ＝AD ＝AO ．1求证：BD 是⊙O 的切线．2若点E 是劣弧BC 上一点,AE 与BC 相交于点F,且△BEF 的面积为8,cos∠BFA＝32,求△ACF 的面积．1.一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是A ．75B ．60C ．65D ．55图1 图22．如图2,在边长为4的等边三角形ABC 中,AD 是BC 边上的高,点E 、F 是AD 上的两点,则图中阴影部分的面积是A ．43B ．33C ．23D ．33.如图3,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,∠B =30°,点P 是BC 边上的动点,则AP 长不可能是DCBOADOBCA E 例7图43DOEC O图 8OFE BCADCB A O P D图3 图4 A B C D74. 如图4,直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC △如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan CBE ∠的值是 A ．247B ．73C ．724D ．135.如图5,ABC △是等腰直角三角形,BC 是斜边,将ABP △绕点A 逆时针旋转后,能与ACP '△重合,如果3AP =,那么PP '的长等于 A ．32B ．23C ．42 D ．336. 图6,已知等边△ABC 中,点D,E 分别在边AB,BC 上,把△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 落在点B ˊ处,DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F,G,若∠ADF=80o ,则∠EGC 的度数为 图5 图67．如图,已知：在平行四边形ABCD 中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC 的平分线交AD•于点E,交CD 的延长线于点F,则DF=______cm ．8．如图,矩形ABCD 中,AB ＝2,BC ＝3,对角线AC 的垂直平分线分别交AD,BC 于点E 、F,连接CE,则CE 的长________.9.如图,BD 是⊙O 的直径,OA ⊥OB,M 是劣弧错误!上一点,过点M 作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点,MD 与OA 交于点N; 1求证：PM=PN ； 2若BD=4,PA=32AO,过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 的长． 10．如图,在△ABC 中,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P,PD ⊥AC 于点D,且PD 与⊙O 相切．1求证：AB ＝AC ；2若BC ＝6,AB ＝4,求CD 的值．11．一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠ E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．12．如图,四边形ABCD 是边长为a 的正方形,点G ,E 分别是边AB ,BC 的中点,∠AEF =90o,且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． 1证明：∠BAE =∠FEC ； 2证明：△AGE ≌△ECF ； 3求△AEF 的面积．13．如图,矩形ABCD 中,53AB AD ==，．点E 是CD 上的动点,以AE 为直径的O ⊙与AB 交于点F ,过点F 作FG BE ⊥于点G ．1当E 是CD 的中点时：①tan EAB ∠的值为______________； ② 证明：FG 是O ⊙的68CEABD切线；2试探究：BE 能否与O ⊙相切 若能,求出此时DE 的长；若不能,请说明理由．几何之——解直角三角形1在△ABC 中,∠C＝90°,sinA＝45,则tanB ＝A ．43B ．34C ．35D ．452、在 ABC 中,若｜sinA-22 |+23-cosB 2=0, ∠A.∠B 都是锐角,则∠C 的度数是A. 750B. 9003、如下左图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA 的值是A 、513B 、1213 C 、512D 、1354如上右图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若EF=2, BC=5,CD=3,则tanC 等于A 、34B 、43C 、35D 、455、如,在矩形ABCD 中,DE⊥AC 于E,设∠ADE=α,且53cos =α, AB = 4, 则AD 的长为 ． A3 B316 C 320 D 516 6在锐角△ABC 中,∠BAC=60°,BD、CE 为高,F 为BC 的中点,连接DE 、DF 、EF,则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE ：AC ；③△DEF 是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时,BE=√2DE 中,一定正确的有A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个7.084sin 45(3)4-︒+-π+-=为528.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离米,则这 个破面的坡度为 . 9.如图,已知直线1l∥2l ∥3l ∥4l ,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sin α= ． 直角三角形常见模型1 张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°,旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,试求旗杆AB 的高度;2．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东DE OCBG FAABC DαAABCDEADBE图6i =1:3C60°方向,2小时后船行驶到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B 到C 处的距离; 3某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不断下降,一条船在松花江某段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上;前进100m 到达B 处,又测得航标C 在北偏东45°方向上如图,在以航标C 为圆心,120m 为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险4如图6,梯形ABCD 是拦水坝的横断面图,图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比,∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD 的面积．结果保留三位有效数字.参考数据：3≈,2≈3 1.73≈。

备战2022最新年九年级中考数学考点训练——几何专题：《圆的综合》（一）1．对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于⊙O的密切点．已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）．（1）在点D（﹣2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为．（2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示，①k＝﹣时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O 的密切点，直接写出t的取值范围．2．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB 边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O 上两点．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是；②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．3．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．（2）△ABC中，BC＝9，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．4．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（6，0），C（0，3），点D从点A运动到点B停止，连接CD，以CD长为直径作⊙P．（1）若△ACD∽△AOB，求⊙P的半径；（2）当⊙P与AB相切时，求△POB的面积；（3）连接AP、BP，在整个运动过程中，△PAB的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由．6．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线）．当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时，设AD＝x．（1）则△FMN的形状是，△ADM的形状是；（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．7．如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A 的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是；点C到直线EF的最大距离是．（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON ＝OC；②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．9．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC 于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．（1）填空：AC＝；∠F＝．（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．（3）△EAF面积的最小值是．（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围．参考答案1．解：（1）当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时，∵⊙O的半径为2，点P（4，0）．∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，＝，∵，∴＝，设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∴＝，∴|2+x|＝3|2﹣x|，∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6，∴x＝1，或x＝4，∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点．故答案为：E．（2）①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0），∵k＝﹣∴将P（4，0）代入y＝﹣x+b得：0＝﹣×4+b，∴b＝，∴y＝﹣x+．如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，设M（x，﹣x+），由OM＝2得：x2+＝4，∴5x2﹣4x﹣10＝0，则M，N两点的横坐标xM，xN是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根，解得xM＝，xN＝，∴AB＝，PA＝，PB＝，∵，∴＝，＝，∴＝，∴HA＝，∴OH＝OA﹣HA＝﹣＝1，∴Q（1，1）．②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示：∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3．2．解：（1）如图1，∵P1（1，0），A（0，﹣5），B（4，3），∴AB＝＝4，P1A＝＝，P1B＝＝3，∴P1不在以AB为直径的圆弧上，故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，∵P2（0，3），A（0，﹣5），B（4，3），∴P2A＝8，AB＝4，P2B＝4，∴P2A2+P2B2＝AB2，∴∠AP2B＝90°，∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，同理可得，P3B2+P3A2＝AB2，∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，故答案为：∠AP2B，∠AP3B；（2）∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，∴∠APB＝90°，且点P在⊙O的内部，∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H（点A，B均不能取到），过点B作BD⊥y轴于点D，∵A（0，﹣5），B（4，3），∴BD＝4，AD＝8，并可求出直线AB的解析式为y＝2x﹣5，∴当直线y＝2x+b过直径AB时，b＝﹣5，连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF∥AB，交y 轴于点F，∵OA＝OB，AH＝BH，∴EH⊥AB，∴EH⊥EF，∴EF是半圆H的切线．∵∠OAH＝∠OAH，∠OHB＝∠BDA＝90°，∴△OAH∽△BAD，∴，∴OH＝AH＝EH，∴OH＝EO，∵∠EOF＝∠AOH，∠FEO＝∠AHO＝90°，∴△EOF≌△HOA（ASA），∴OF＝OA＝5，∵EF∥AB，直线AB的解析式为y＝2x﹣5，∴直线EF的解析式为y＝2x+5，此时b＝5，∴b的取值范围是﹣5＜b≤5．（3）∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使∠DHE是DE 关于⊙T的最佳内直角，∴点T一定在∠DHE的边上，∵TD＝4，∠DHT＝90°，线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，即n的最大值为2．分两种情况：①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT ＝90°，∴点H在以DT为直径的圆上，如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，∵OM＝1，ON＝2，∴MN＝＝，∵∠GMH＝∠OMN，∠GHM＝∠NOM，ON＝GH＝2，∴△GHM≌△NOM（ASA），∴MN＝GM＝，∴OG＝﹣1，∴OT＝+1，当T与M重合时，t＝1，∴此时t的取值范围是﹣﹣1≤t＜1，②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t＝1，另一个是当TM＝4时，t＝5，∴此时t的取值范围是1≤t＜5，综合以上可得，t的取值范围是﹣﹣1≤t＜5．3．解：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD；（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE＝4x，则BE＝3x，CE＝6x，∴BC＝9x＝9，∴x＝1，∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，设DE＝a，①如答图2，若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3﹣a）（6+a），即2a2+3a﹣2＝0，解得，a2＝﹣2（舍去），∴．②如答图3，若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3+a）（6﹣a），即2a2﹣3a﹣2＝0，解得a1＝2，（舍去）∴BD＝3+a＝3+2＝5．∴或5．（3）①如答图4，连接AD，BD，∵∠CHA＝∠BHD，∠ACH＝∠DBH∴△AHC∽△DHB，∴，即AH•BH＝CH•DH，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴BH2＝CH•DH∴点H是△BCD中CD边上的“好点”．②．理由如下：如答图4，∵∠ABD＝90°，∴AD是直径，∴AD＝18．又∵OH⊥AB，∴OH∥BD．∵点O是线段AD的中点，∴OH是△ABD的中位线，∴BD＝2OH＝12．在直角△ABD中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．∴由垂径定理得到：BH＝AB＝3．在直角△BDH中，由勾股定理知：DH＝＝＝3．又由①知，BH2＝CH•DH，即45＝3CH，则CH＝．∴＝＝，即．4．（1）证明：∵C是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝6，∵C是的中点，∴OC⊥AD，∴OA2﹣OF2＝AF2＝AC2﹣CF2，∴52﹣OF2＝62﹣（5﹣OF）2，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，∴BD＝2OF＝2.8．5．解：（1）如图1，∵A（0，8），B（6，0），C（0，3），∴OA＝8，OB＝6，OC＝3，∴AC＝5，∵△ACD∽△AOB，∴，∴∴CD的＝，∴⊙P的半径为；（2）在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝6，∴＝＝10，如图2，当⊙P与AB相切时，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，即，∴AD＝4，CD＝3，∵CD为⊙P的直径，∴CP＝，过点P作PE⊥AO于点E，∵∠PEC＝∠ADC＝90°，∠PCE＝∠ACD，∴△CPE∽△CAD，∴，即，∴，∴，∴△POB的面积＝＝；（3）①如图3，若⊙P与AB只有一个交点，则⊙P与AB相切，由（2）可知PD⊥AB，PD＝，∴△PAB的面积＝．②如图4，若⊙P与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF，可得∠CFD＝90°，由（2）可得CF＝3，过点P作PG⊥AB于点G，则DG＝，则PG为△DCF的中位线，PG＝，∴△PAB的面积＝＝．综上所述，在整个运动过程中，△PAB的面积是定值，定值为．6．解：（1）如图1，∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE＝∠F＝60°．∵∠A＝30°，∴∠AMD＝∠FDE﹣∠A＝30°，∴∠FMN＝∠AMD＝30°，∴∠MNF＝90°，即△FMN是直角三角形，∵∠FDE＝60°，∴∠AMD＝∠FDE﹣∠A＝30°，∴∠AMD＝∠A，∴DM＝DA，∴△ADM是等腰三角形；故答案为：直角三角形，等腰三角形；（2）如图2，△ADM是等腰三角形，∴DM＝AD＝x，FM＝4﹣x，又∵∠FED＝60°，∠A＝30°，∴∠FNM＝90°，∴MN＝MF•sinF＝（4﹣x），FN＝，∴y＝＝，＝．当0＜x≤2时，∴y＝S四边形DENM＝S△FDE﹣S△FMN＝4，当2≤x＜4时，CD＝6﹣x，∵∠BCE＝90°，∠PDC＝60°，∴PC＝（6﹣x），∴，＝．（3）如图3，点M作MG⊥AC于点G，由（2）得DM＝x，∵∠MDG＝60°，∴MG＝，MNF＝90°∴MN⊥FC要使以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF相切，则有MG＝MN，∴，解得：x＝2，∴圆的半径MN＝．7．解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，∵OA＝OB，AC＝BC，∴OC垂直平分AB，∴AG＝AB＝1，∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝＝＝，在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝＝＝2，∴OC＝2﹣；如图2，延长CO交EF于点H，当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，∵OE＝OF，CO⊥EF，∴CO平分∠EOF，∵∠EOF＝120°，∴∠EOH＝∠EOF＝60°，在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，∴cos60°＝＝，∴OH＝，∴CH＝CO+OH＝，∴点C到直线EF的最大距离是．故答案为：2﹣；．（2）如图3，当点B在直线OE上时，由OA＝OB，CA＝CB可知，点O，C都在线段AB的垂直平分线上，过点C作AB的垂线，垂足为G，则G为AB中点，直线CG过点O．∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO∴△OCM∽△OBG，∴＝，∴＝，∴CM＝，∴点C到OE的距离为．（3）如图4，当BC⊥OE时，设垂足为点M，∵∠EOF＝120°，∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，∴sin60°＝＝，∴CM＝CO＝（2﹣）＝﹣；如图5，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为N，∵BC∥OE，∴∠CON＝∠GCB＝30°，∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，∴sin30°＝＝，∴CN＝CO＝（2﹣）＝﹣；综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为﹣或﹣．8．解：（1）由题意，得OA＝6，OB＝2．当0＜t＜2时，OM＝6﹣3t，ON＝t．若△ABO∽△MNO，则＝，即＝，解得t＝1．若△ABO∽△NMO，则＝，即＝，解得t＝1.8．综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，如图所示：∵直线y＝x与x轴的夹角为450，∴OC平分∠AOB．∴∠AOC＝∠BOC．∴CN＝CM．又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO＝180°，∠DNC+∠CNO＝180°，∴∠CND＝∠CMO．∴△CND≌△CMO（SAS）．∴CD＝CO，∠DCN＝∠OCM．又∵∠AOB＝90°，∴MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．∴∠OCM+∠OCN＝90°．∴∠DCN+∠OCN＝90°．∴∠OCD＝90°．又∵CD＝CO，∴OD＝OC．∴ON+ND＝OC．∴OM+ON＝OC．②当t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：∵∠COD＝45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴OD＝OC．∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．又∵在⊙O中，∠CMN＝∠CNM＝45°，∴MC＝NC．又∵∠OCD＝∠MCN＝90°，∴∠DCN＝∠OCM．∴△CDN≌△COM（SAS）．∴DN＝OM．又∵OD＝OC，∴ON﹣DN＝OC．∴ON﹣OM＝OC．9．证明：（1）如图，连接OD，OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）由（1）知，A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，且AD＝BD，∴，∴CD平分∠ACB；（3）由（2）知，∠BCD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠BEC＝75°，∴∠AED＝75°，∵DF∥BC，∴∠BFD＝∠ABC＝60°，∵∠ABD＝45°，∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，∵∠DFE＝∠BFD，∴△DEF∽△BDF，∴，连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，在Rt△DOF中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，∴OB2+OF2＝BF•EF，即BO2+OF2＝EF•BF．10．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，tanB＝，∴AC＝AB•tanB＝2tan60°＝2；∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠EAF＝∠B＝60°，∴∠F＝90°﹣∠EAF＝90°﹣60°＝30°．故答案为：2，30°；（2）证明：当BD＝DE时，∵AD⊥BC于D，∴AB＝AE，∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，∴∠AEF＝∠BAC，又∠EAF＝∠B，∴△ABC≌△EAF（ASA）；（3）∵∠AEF＝90°，∠EAF＝60°，tan∠EAF＝，∴EF＝AE•tan∠EAF＝AE•tan60°＝AE，∴S△EAF＝AE•EF＝AE×AE＝AE2，当AE⊥BC时，AE最短，S△EAF最小，此时∠AEB＝90°，sinB＝，∴AE＝AB•sinB＝2sin60°＝2×＝，S△EAF＝AE2＝×3＝，∴△EAF面积的最小值是，故答案为：；（4）当△EAF内心恰好落在AC上时，设△EAF的内心为N，连接EN，如图：∵N是△EAF的内心，∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF，∴∠EAC＝∠AEF＝×60°＝30°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°﹣30°＝60°，又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝2，∵E为BC上的一点，不与B、C重合，由（1）可知AC＝2，∴当△EAF的内心在△ABC的外部时，．故答案为：．。

2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图第一部分：知识点精准记忆一、直线、射线、线段1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、相交线1．三线八角1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．四、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行． 3．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．五、五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段。

例题精讲1:模型迁移如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，连接BM, CN,且BMLCN,若BC =6, CM = 4,求 CN 的长例2：如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别在AB 、CD 、BC 、AD 上的点，且EFLGH,连接 EG, GF, FH, HE,若EF=8,求四边形EGFH 的面积例3：如图，将正方形ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 上的E 点，折痕为MN,若AB=12,CE =8,求折痕MN 的长E' E7例4：如图，在Rt^ABC 中，NABC = 90°, BA=BC,点D 为BC 边上的中点，连接AD,过点 B 作BELAD 于点E,延长BE 交AC 于点F,求AF ：FC 的值例1: II[I IE例题精讲2：综合强化例5：如图①，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE,过点B作BFLCE于点G,交AD于点F（1）求证：AABF2ABCE（2）如图②，当E运动到AB中点时，连接DG,求证DC = DG（3）如图③，在（2）的条件下，过点C作CMLDG于点H,分别交AD、BF于点M, N,求 MN：NH的值D C D C D CA E BE EB A E Bffll 图2 图3例6：如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点B恰好落在AD边上，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M,连接BF交EG于点P(1)如图①，当点F为AD的中点时，填空：AE =.△FDM的周长为；(2)如图②，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合①探究△FDM的周长是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由②猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系并证明矩形中的十字模型分析：如图：在矩形ABCD中，点E是AD上一点，则有CELBDJ》比=型BD AD总结：正方形中的垂直，构造的多为全等，矩形中的垂直，构造的多位相似，注意对应边成比例例题精讲1：模型迁移例1：在矩形ABCD中，AB = 4, AD = 8,点E在AD边上，且CELBD,求CE的长-I -----------------------/ \/ \E； --------------------------------- 匚例2：如图，E、F、G、H分别是AB、CD、BC、AD上的点，且EFLGH,若AB = 3, BC = 4,求薄的值I A y D\ FE \E：l -----------------------1r例3：如图，把矩形ABCD对折，使点B和点D重合，若AB = 6, BC = 8,求折痕MN的长例 4：如图，在 Rt^ABC 中，NACB = 90°, AC = 4, BC = 3,点 D 为 AC 上一点，连接 BD, E 为AB 上一点，CE^BD 于点F,当AD = CD 时，求CE 的长例题精讲2：综合强化例5：已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB, AD 边上的点，(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DELCF,求证： (2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，是探究：当NB 与NEGC 满足什么关系时，匹=些CF CD成立？并证明你的结论(3) 如图③，若BA=BC = 6, DA = DC = 8,NBAD = 90°,DE，CF,请直接写出匹的值F .[\ 0i — -- —BDE 与CF 交于点G△ADE^ADCF1[EhCF例6： (1)推断证明：如图①，在正方形ABCD中，点E, Q分别在边BC、AB上，DQLAE于点O,点G、F分别在边CD、AB上，GFLAE①求证：DQ=AE②推断：空的值为；AE(2)类比探究：如图②，在矩形ABCD中，见=k(k为常数)，将矩形ABCD沿GF折叠，使AB点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG, EP交CD于点H,连接AE交GF于点O,试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP,当k = 2时，若tan/CGP = 3, GF = 2履，求 3 4 CP的长8/8。

平面几何知识要点（一)【线段、角、直线】1.过两点有且只有一条直线.2.两点之间线段最短。

3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。

4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。

垂直平分线，简称“中垂线”。

定义:经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。

线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。

中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。

垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等。

角1.同角或等角的余角相等。

2.同角或等角的补角相等.3.对顶角相等。

角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.三角形各内角平分线的交点,该点叫内心，它到三角形三边距离相等。

【平行线】平行线性质1:两直线平行，同位角相等。

平行线性质2：两直线平行，内错角相等。

平行线性质3:两直线平行，同旁内角互补。

平行线判定1:同位角相等,两直线平行。

平行线判定2：内错角相等，两直线平行。

平行线判定3：同旁内角互补,两直线平行。

平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行.平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

平面几何知识要点（二)【三角形】面积公式：1． 已知三角形底a ，高h ，12S ah =2． 正三角形面积 S=24(a 为边长正三角形）3．已知三角形三边a ，b,c ，则S =（海伦公式) 其中:()2a b c p ++= （周长的一半） 4．已知三角形两边a ，b 及这两边夹角C ，则1sin 2S ab C =. 5．设三角形三边分别为a 、b 、c,内切圆半径为r ，则()2a b c r S ++= 6．设三角形三边分别为a 、b 、c,外接圆半径为R ，则4abc S R =记住★:已知正三角形边长为a ,其外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则有：R = ,r = ， 2R r = 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 :直角三角形的两个锐角互余推论2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等.其中对应边除了三角形的边长外，还包括对应高,对应中线，对角平分线.全等三角形判定定理：边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等.（SSS ）边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题【考查知识点】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型. 平面上最短路径问题：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。

凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

（3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。

【典型例题】【例1】如图，ABC ∆是等边三角形，13AD AB =，点E 、F 分别为边AC 、BC 上的动点，当DEF ∆的周长最小时，FDE ∠的度数是______________.【名师点睛】关于最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点（注：本题C，D位于OB的同侧）．如下图，解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.【例2】如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊙OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．【名师点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．【方法归纳】在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点之间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P 到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P 点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.【针对练习】1．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且M、N分别是射线OA、OB上异于点O 的动点，则△PMN周长的最小值是（）A B C．6D．32．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°3．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A ．B ．C ．D ．4．如图,已知直线142y x =+与x 轴、y 轴分别交于A , B 两点，将△AOB 沿直线AB 翻折，使点O 落在点C 处, 点P ，Q 分别在AB , AC 上,当PC +PQ 取最小值时,直线OP 的解析式为（ ）A ．y=-34x B ．y=-12x C ．y=-43x D ．23y x =5．如图：等腰△ABC 的底边BC 长为6，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．106．如图，在△ABC 中，5,6AB AC BC ===，动点P ，Q 在边BC 上（P 在Q 的左边），且2PQ =，则AP AQ +的最小值为（ ）A ．8B ．C ．9D ．7．如图，在Rt ABO 中，90OBA ∠=︒，()4,4A ，点C 在边AB 上，且13AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（ ）A ．()2,2B ．55,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．88,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．()3,38．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4 cm ，面积为12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一点，则△BDM 的周长最小值为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm9．如图，周长为16的菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE ＝1，AF ＝3，P 为BD 上一动点，则线段EP ＋FP 的长最短为( )A ．3B ．4C ．5D ．610．在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，OA=3，OB=4．把△AOB 绕点A 顺时针旋转120°，得到△ADC ．边OB 上的一点M 旋转后的对应点为M′，当AM′+DM 取得最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．（0）B ．（0，34） C ．（0 D ．（0，3）11．如图，已知点A 是以MN 为直径的半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的点．若⊙O 的半径为l ，则AP+BP 的最小值为（ ）A ．2B CD ．112．直线y ＝x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为（ ）.A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－，0)D ．(－，0)13．如图，MN 是等边三角形ABC 的一条对称轴，D 为AC 的中点，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD 的度数是（ ）A ．30°B ．15°C ．20°D ．35°14．如图，AC 是O 的弦，5AC ＝，点B 是O 上的一个动点，且45ABC ∠︒＝，若点,M N 分别是,AC BC 的中点，则MN 的最大值是_____．15．如图，∠AOB ＝60°，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，OP ＝8，当△PMN 周长取最小值时，△OMN 的面积为_____．16．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数是________17．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 是BAC ∠的平分线.若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是__________.18．如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 ．19．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为______．20．如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC=12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为__cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为___cm2．21．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE 的最小值为_____．第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题【考查知识点】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

初三中考数学几何知识点归纳目录初三中考数学几何知识点归纳学好数学的几条建议数学八种思维方法初三中考数学几何知识点归纳1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9.同位角相等，两直线平行10.内错角相等，两直线平行11.同旁内角互补，两直线平行12.两直线平行，同位角相等13.两直线平行，内错角相等14.两直线平行，同旁内角互补15.定理三角形两边的和大于第三边16.推论三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18.推论1直角三角形的两个锐角互余19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24.推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28.定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31.推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33.推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形36.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42.定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形43.定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44.定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即ab=c47.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a b=c，那么这个三角形是直角三角形48.定理四边形的内角和等于360°49.四边形的外角和等于360°50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51.推论任意多边的外角和等于360°52.平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53.平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56.平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59.平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60.矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61.矩形性质定理2矩形的对角线相等62.矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64.菱形性质定理1菱形的四条边都相等65.菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267.菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形68.菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形69.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等70.正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71.定理1关于中心对称的两个图形是全等的72.定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75.等腰梯形的两条对角线相等76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77.对角线相等的梯形是等腰梯形78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(ab)÷2S=L×h83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc，如果ad=bc,那么a:b=c:d84.(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85.(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b d … n≠0),那么(a c … m)/(b d … n)=a/b86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88.定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91.相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(ASA)92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)94.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似(SSS)95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96.性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97.性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比98.性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101.圆是定点的距离等于定长的点的集合102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104.同圆或等圆的半径相等105.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A FG CEBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 AN FE CDBP CG FB QA DE1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）· A D HE M C B O · GAO D B EC Q P NM · O Q PB DE C N M · A1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）D AF D E C B E DA CB F F EP C B A O D BFAECP1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）AP C B P A D CB C B DAF PD E C B A1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDA A CBPD1.如下图做GH⊥AB,连接EO。