下载文档原格式
2018年全国高考数学试题（三角函数部分）选择题1.（北京卷）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 D （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ2.（北京卷）函数f (x )=cos xA（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 （B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 （C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 （D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减 3.（全国卷Ⅰ）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 D（A ）2（B ）32（C ）4（D ）344.（全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： B ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③5.（全国卷Ⅱ）函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 C (A)4π (B)2π（C ）π （D ）2π 6.（全国卷Ⅱ）已知函数y =tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 B（A ）0 <ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -17.（全国卷Ⅱ）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0 8.（全国卷Ⅲ）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 D（A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限9.（全国卷Ⅲ）设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 C(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤10.（全国卷Ⅲ）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)1211.(浙江卷)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( A ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 12．(浙江卷)函数y ＝sin(2x ＋6π)的最小正周期是( B ) (A)2π(B) π (C) 2π (D)4π 13．（江西卷）已知==ααcos ,32tan 则（ B ）A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－53 14.（江西卷）设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ A ）A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3π C ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数15.（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB的面积达最大值时，=θ（ D ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 16、（江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ A ） A ．97-B ．31-C ．31D ．9717．（湖北卷）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ C ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ18．（湖南卷）tan600°的值是（ D ）A ．33-B ．33C ．3-D ．319．（重庆卷）=+-)12sin12)(cos12sin12(cos ππππ（ D ）A ．23-B ．21-C ．21D ．2320．（福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ C ） A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==21．（福建卷）函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ C ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππ C ．]2,0[πD ．],2[ππ22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ，则下列判断正确的是（ B ） （A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π23（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ B ）（A ）1 （B ）22,1- （C ）22- （D ）22,1 24.（天津卷）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（C ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度25（天津卷）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ A ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y填空题：1.（北京卷）已知tan2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为－712.（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若513sin 3sin =a a ，则tan 2a =___43-___________. 3.（上海卷）函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。
2018高考文科数学三角函数专项100题（WORD版含答案）一、选择题（本题共45道小题）1.设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称2.已知x1，x2是函数 f（x）=2sinx+cosx﹣m在[0，π]内的两个零点，则sin（x1+x2）=（）A．B．C．D．3.已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）B．函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称C．函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象相同D．函数f（x）在[﹣π，π]上递增4.为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个长度单位B．向右平行移动个长度单位C．向左平行移动1个长度单位D．向右平行移动1个长度单位5.设函数y=2sin（x+）cos（x+）的图象各点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象的对称中心可以是（）A ．（，0）B ．（，0）C ．（，0）D ．（，0）6.已知函数2()2sin ()()1cos()424x f x x g x ππ=+=++，的图象在区间()22m m ππ-+， 上有且只有9个交点，记为()(129)i i x y i =，，，，，则91()iii x y =+=∑A. 92πB. 8C.982π+ D.992π+ 7.cos37537522︒+︒的值为A. 2B.12C. 2-D. 12-8.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，2a b =，sin B ．则（ ）．A ．π3A =B ．π6A =C ．sin AD ．2sin 3A =9.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，ππω-<<）的部分图象，如图所示，那么()f x 的解析式为（ ）．A ．π()sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π()sin 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π()sin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π()sin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10.将函数y=sin （2x ﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．x=B ．x=C ．x=D ．x ﹣=11.函数y=cos 2(x ﹣6π)的一条对称轴为（ ） A ．x=﹣6π B ．x=125π C ． x=3π D ．x=﹣3π 12.函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣2π＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）A ．2，﹣3πB ．2，﹣6π C ．4，﹣6π D ． 4，3π 13.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线x+3y=0上，则cos2α的值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣14.把函数y=f （x ）（x ∈R ）的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的y=sinx 图象，则函数y=f （x ）的解析式是（ ） A ．y=sin （2x ﹣3π），x ∈R B ．y=sin （2x +6π），x ∈R C ．y=sin （2x+32π），x ∈R D ．y=sin （2x+3π），x ∈R 15.已知sin （6π+α）=31，则cos （32π﹣2α）=（ ）A ．924B ．98C ．﹣97D ．9716.在钝角△ABC 中，c=，b=1，B=，则△ABC 的面积等于（ ）A ．B ．C ．或D ．或17.已知3sin α﹣cos α=0，7sin β+cos β=0，且0＜α＜＜β＜π，则2α﹣β的值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣π18.已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，π＜|φ|＜，2π）的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣19.将函数y=cosx+sinx （x ∈R ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．20.已知函数，则f （x ）的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．C ．D ．21.为了得到函数y=sin3x ﹣cos3x 的图象（ ）A ．只要将函数y=2sin3x 的图象向右平移个单位B ．只要将函数y=sin3x 的图象向右平移个单位C．只要将函数y=2sin3x的图象向右平移个单位D．只要将函数y=sin3x的图象向右平移个单位22.已知cos（+α）=，则α∈（，），则sin2α=（）A．﹣B．﹣C． D．23.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数f （x）的解析式为（）A．B．C．D．24.在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）A．4B．4C．4D．25.已知角α的终边经过点P（﹣1，2）），则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣26.在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣527.要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位28.sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣29.若函数y=f（x）的最小正周期是π，且图象关于点对称，则f（x）的解析式可以（）A．B．C．y=2sin2x﹣1 D．30.化简=（）A．1 B．2 C．D．﹣131.将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）32.已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）图象向左平移个单位长度后所得的函数过点，则函数f（x）=sin （ωx+ϕ）（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增33.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上，则=（）A．B．C．D．34.若，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．35.设α为锐角，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．36. 把函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ． B ．C ．D ．37.若f （x ）=Asin （ωx+ϕ）（其中A ＞0，|φ|）的图象如图，为了得到的图象，则需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位38.在△ABC 中，若，b=4，B=2A ，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．39.函数2cos(2)6y x π=+的部分图像是（ ）A ．B ．C. D ．40. 已知(,0)2x π∈-，3sin 5x =-，则tan 2x =（ ） A ．247 B ．247- C. 724 D ．724- 41.顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在y 轴上的角α的集合是( ) A ．2k ,k Z 2禳p 镲a a =p +?睚镲铪 B ．2k ,k Z 2禳p 镲a a =p -?睚镲铪 C.k ,k Z 2禳p 镲a a =p +?睚镲铪 D ．k ,k Z 2禳p 镲a a =?睚镲铪42.设函数f(x)=4cos(x ﹣6π)sinx ﹣2cos(2x +π)，则函数f （x ）的最大值和最小值分别为（ ）A ．13和﹣11B ．8和﹣6C ．1和﹣3D ．3和﹣143.已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g （x ）=cos ωx 的图象，则函数f （x ）的图象（ ）A ．关于直线x=对称B ．关于直线x=对称C ．关于点（，0）对称D ．关于点（，0）对称44.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（）A．B． C． D．45.将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调区间是（）A．[4k+1，4k+3]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[2k+1，2k+2]（k∈Z）D．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）二、填空题（本题共20道小题）46.已知函数f （x ）=2sinxcosx ﹣2sin 2x ，x ∈R ，则函数f （x ）的单调递增区间是 ．47.△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，且a 2=b （b+c），则= ． 48.已知ABC ∆中，2A π=，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，点D 在边BC 上，AD=l ，且BD=2DC ，∠BAD=2∠DAC ，则sin sin BC=__________. 49.已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则ω=__________．50.ABC △中，角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ，若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则边c =__________． 51.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a=3，b=2，cos （A+B ）=31，则边c=． 52. 若=﹣，则sin2α= ．53.已知α∈（，π），sin α=，则tan= ．54.若=2，则sin2x﹣sin2x= ．55.有下列命题：①的图象关于直线x=对称；②y=的图象关于点（﹣1，1）对称；③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1；④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．其中真命题的序号是．56.将函数的图象上所有点的横坐标向平移个单位，可得函数y=sin2x的图象．57.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为．58.已知tanα=2，则= ．59.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则a= ．60.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为．61.如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=62.已知△ABC中，角C为直角，D是BC边上一点，M是AD上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，则|MA|= ．63.给出以下四个结论：①函数的对称中心是（﹣1，2）；②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是．其中正确的结论是．64.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1bcosA sin B2=，且a=b c6+=，则△ABC的面积为．65.在△ABC中， = ．三、解答题（本题共35道小题）66.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcos2+acos2=c．（1）求证：a，c，b成等差数列；（2）若C=，△ABC的面积为2，求c．67.已知，（1）若，且，求x的值；（2）设，求f（x）的周期及单调减区间．68.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知a=2acosAcosB﹣2bsin2A．（1）求C；（2）若△ABC的面积为，周长为 15，求c．69.已知函数f （x ）=sin 2x+sin2x ．（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=，△ABC 的面积为3，求a 的最小值．70.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足a ≠b ，2sin （A ﹣B ）=asinA ﹣bsinB （Ⅰ）求边c（Ⅱ）若△ABC 的面积为1，且tanC=2，求a+b 的值． 71.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=． （Ⅰ）判断ABC △的形状．（Ⅱ）若()sin cos f x x x =+，求()f A 的最大值． 72.已知函数ππ()2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ．（Ⅰ）求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，及相应的x 的值．（Ⅲ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调区间．73.已知函数2(cos cos f x x x x +． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．74.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c >>2sin 0b C -=． （I ）求角B 的大小．（II ）若b =1c =，求a 和ABC △的面积． 75.已知函数π()2sin sin 22f x x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭．（I ）求()f x 的最小正周期．（II ）求()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．76.已知向量，（x ∈R ），设函数．（1）求函数f （x ）的值域；（2）已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若，，求f （C ）的值． 77.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c(3sinB+cosB)=a+b ． （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC 的面积为53，求sinB 的值． 78.已知：函数f （x ）=23sin 2x+sin2x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅲ）把函数y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求g(6π)的值． 79.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asin2B=3bsinA ． （1）求B ； （2）已知cosA=31，求sinC 的值． 80.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sinB ﹣cosB=1，a=2．（1）求角B 的大小；（2）若b 2=ac ，求△ABC 的面积． 81.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2bcosC=2a ﹣c ． （ I ）求B ；（ II ）若b=7，c=2，求△ABC 的面积． 82.已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ），x ∈R （其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内，图象经过M （6π，2），N （32π，﹣2）．（Ⅰ）求f （x ）的解析式； （Ⅱ）当x ∈[0，3π]，求f （x ）的最值． 83.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图知甲组送出钥匙扣的平均数为16，从而乙组送出钥匙扣的平均数为17，由此能求出x ．（2）乙组送出的钥匙扣的个数分别为8，12，18，19，22，23，若从乙组中任取两名志愿者送出钥匙扣的数字，基本事件总数n=C=15，甲组送出的钥匙扣的平均数为16个，利用列举法求出符合条件的基本事件个数，由此能求出结果． 【解答】解：（1）由茎叶图知甲组送出钥匙扣的平均数为：，则乙组送出钥匙扣的平均数为17，∴，解得x=9．（2）乙组送出的钥匙扣的个数分别为8，12，18，19，22，23，若从乙组中任取两名志愿者送出钥匙扣的数字，基本事件总数n=C =15，甲组送出的钥匙扣的平均数为16个，符合条件的基本事件有：（18，19），（18，22），（18，23），（19，22），（19，23），（22，23），共有6个基本事件，故所求概率为p==．84.已知函数f （x ）=cos （2x ﹣）﹣cos2x （x ∈R ）．（I ）求函数f （x ）的单调递增区间；（II ）△ABC 内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ．，c ，若f （）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．85.已知=（sinωx+cosωx， cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx）（ω＞0），函数f（x）=•，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（1）求ω的取值范围；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=2，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．86.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=．（1）求cosB的值；（2）若△ABC的面积为，且a=c+2，求b的大小．87.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sinAsinC=sin2B，求a﹣c的值．88.已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．89.根据下列条件，解三角形．（Ⅰ）已知 b=4，c=8，B=30°，求C，A，a；（Ⅱ）在△ABC中，B=45°，C=75°，b=2，求a，c，A．90.已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α﹣3sinαcosα+4cos2α．91.已知向量=（sinx，cosx），=（cos（x+）+sinx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，）且cos（α+）=，求f（α）．92.五点法作函数的图象时，所填的部分数据如下：x﹣0 πωx+φ﹣y ﹣1 1 3 1 ﹣1（1）根据表格提供数据求函数f（x）的解析式；（2）当时，方程f（x）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．93.已知向量，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的值域；（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，求a的值．94.设函数．（1）试说明y=f（x）的图象由函数的图象经过怎样的变化得到？并求f （x）的单调区间；（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，当x∈[0，1]时，求函数y=g （x）的最值．95.已知函数．（1）求f（x）单调递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围．96.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小；（2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .97.（13分）在△ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣41． （1）求b 的值； （2）求△ABC 的面积． 98.已知向量，函数．（1）求函数f （x ）的对称中心；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，且a＞b ，求a ，b 的值． 99.设f （x ）=2sin （π﹣x ）sinx ﹣（sinx ﹣cosx ）2．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求g （）的值．100.已知，（I ）若x ∈[0，2]，求的单调递增区间；（Ⅱ）设y=f （x ）的图象在y 轴右侧的第一个最高点的坐标为P ，第一个最低点的坐标为Q ，坐标原点为O ，求∠POQ 的余弦值．试卷答案1.D【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选D．2.C【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意可得 m=2sinx1+cosx1=2sinx2+cosx2，即 2sinx1﹣2sinx2=cosx2﹣cosx1，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求．【解答】解：∵x1，x2是函数 f（x）=2sinx+cosx﹣m在[0，π]内的两个零点，即 x1，x2是方程2sinx+cosx=m在[0，π]内的两个解，∴m=2sinx1+cosx1=2sinx2+cosx2，∴2sinx1﹣2sinx2=cosx2﹣cosx1，∴2×2×cos sin=﹣2sin sin，∴2cos=sin，∴tan=2，∴sin（x1+x2）==，故选：C．3.D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kπ，判断A错误；根据f（﹣）≠0，判断B错误；化g（x）为正弦型函数，判断C错误；根据x∈[﹣，]时f（x）是单调增函数判断D正确．【解答】解：对于A，f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kπ，k∈Z，∴A错误；对于B，f（﹣）=3sin（2×（﹣）﹣）=﹣3≠0，∴f（x）的图象不关于（﹣，0）对称，B错误；对于C，g（x）=3cos（2x+）=3sin[﹣（2x+）]=﹣3sin（2x﹣），与f（x）=3sin（2x﹣）的图象不相同，C错误；对于D，x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）=3sin（2x﹣）是单调增函数，D正确．故选：D．4.A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x图象向左平移单位，即可，故选：A．5.B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】由倍角公式可求函数解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求y=cos4x，由4x=kπ+，k∈Z，即可解得函数的对称中心．【解答】解：∵y=2sin （x+）cos （x+）=sin[2（x+）]=sin （2x+），∴图象各点的横坐标缩短为原来的，可得函数y=sin （4x+），再向左平移个单位，得到函数y=sin[4（x+）+]=cos4x ，∴由4x=k π+，k ∈Z ，解得：x=+，k ∈Z ，∴当k=0时，可得函数的图象的对称中心为：（，0）．故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，是基础题． 6.D由()1012g π=+=，可知()g x 的图象关于点(1)2π，对称，由2()2sin ()1cos(2)1sin 242f x x x x ππ=+=-+=+，可得()1012f π=+=，所以()f x 的图象关于点(1)2π，对称，所以999111()i i i i i i i x y x y ===+=+∑∑∑94242119222πππ=⨯⨯++⨯⨯+=+，故选D. 7.Acos375375cos 45cos375sin 45sin 37522︒+︒=︒︒+︒︒cos(37545)cos330cos30=︒-︒=︒=︒=A. 8.A∵2a b =，sin B ， sin sin 2A Ba b =，∴sin sin a B A b ==， ∴π3A =． 故选A ．9.A 周期2ππ42π2T ω==⨯=， ∴1ω=，()sin(4)f x x =+， ∵(0)sin 1f ϕ==，π2ϕ=， ∴π()sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ． 10.C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin （2x ﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin （2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C ． 11.D【考点】弧长公式；二倍角的余弦．【分析】利用倍角公式可得函数y=cos （2x ﹣）+，由2x ﹣=kπ，k ∈Z ，解得对称轴方程，k 取值为﹣1即可得出．【解答】解：∵==cos （2x ﹣）+，∴令2x ﹣=kπ，k ∈Z ，解得对称轴方程为：x=+，k ∈Z ，∴当k=﹣1时，一条对称轴为x=﹣．故选：D ． 12.A【考点】y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x 值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k ∈Z ），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T 满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f （x ）=2sin （2x+φ） 又∵当x=时取得最大值2，∴2sin （2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k ∈Z ）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A ． 13.C【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到tan α的值，然后根据同角三角函数间的基本关系和二倍角的余弦，将cos2α化为关于tan α的式子，代入求值．【解答】解：由题意知：直线的斜率k=tan α=﹣，∴cos2α=cos 2α﹣sin 2α====．故选：C ． 14. D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】直接采用逆向思维，对函数的关系式进行平移和伸缩变换求出结果． 【解答】解：采用逆向思维的方法：首先把函数y=sinx，图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到y=sin2x的图象，再把图象上所有点的横标向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）]=sin（2x+）的图象．故选：D15.C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，求得cos（﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos （﹣2α）的值．【解答】解：∵sin（+α）==cos（﹣α），则cos（﹣2α）=2﹣1=﹣1=﹣，故选：C．16.B【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinC，结合C范围，可求C的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵c=，b=1，B=，∴sinC===，又∵C∈（0，π），∴C=或，又∵△ABC为钝角三角形，∴S△ABC=bcsinA=．故选：B．17.D【考点】三角函数的化简求值．【分析】由3sinα﹣cosα=0，求出tanα的值，再由二倍角的正切公式求出tan2α的值，由7sinβ+cosβ=0，求出tanβ的值，根据角的范围得到2α﹣β∈（﹣π，0），再由两角和与差的正切函数公式化简代值得答案．【解答】解：∵3sinα﹣cosα=0，∴．．∵7sinβ+cosβ=0，∴．∵0＜α＜＜β＜π，∴2α∈（0，π），2α﹣β∈（﹣π，0），=．则2α﹣β的值为：．故选：D．18.A【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值【解答】解：据图分析得﹣=，∴T=π，又∵T=，∴ω==2，∴函数f（x）=sin（2x+φ），∵sin（2×π+φ）=1，π＜|φ|＜2π∴φ=，故选：A19.B【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．20.D【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解：由题=，当时，f（x）∈[﹣1，]当时，f（x）∈（﹣1，）故可求得其值域为．故选：D．21.C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x﹣cos3x=2（sin3x﹣cos3x）=2sin（3x﹣）=2sin[3（x﹣）]，故只需将函数y=2sin3x的图象向右平移个单位，即可得到y=sin3x﹣cos3x的图象．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，属于基本知识的考查．22.C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数的诱导公式求出sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，将sinα和cosα的值代入即可求出答案．【解答】解：由cos（+α）=﹣sinα=，得到sinα=﹣，又α∈（，），∴cosα=，则sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系的应用，是一道基础题．23.C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（），求出φ，从而得到f（x）的解析式．【解答】解：由函数的图象可得A=1，T=4×（）=π，T=解得ω=2．图象经过（），0=sin（2×+φ），，φ=，故f（x）的解析式为．故选C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力．24.A【考点】正弦定理．【分析】先根据已知求得∠A的值，从而由正弦定理即可求值．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=180°﹣60°﹣75°=45°∴由正弦定理可得：b===4．故选：A．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值和正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．25. D【考点】两角和与差的正切函数．【分析】先根据题意求得tanα的值，进而利用正切的两角和公式求得答案．【解答】解：由题意知tanα=﹣2，∴===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用．属于基础题．26.D【考点】余弦定理；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：cosB==，又||=5，||=7，则=||•||cos（π﹣B）=﹣||•||cosB=﹣5×7×=﹣5．故选D【点评】此题考查了余弦定理，以及平面向量数量积的运算．注意与的夹角是π﹣B，而不是B，学生做题时容易出错．27.B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．28.A【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形【解答】解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin（3π+）=﹣sin（π+）=sin=．故选：A．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．29.D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据周期公式求解出ω，将点坐标带入即可得到满足要求的f（x）的解析式．【解答】解：函数y=f（x）的最小正周期是π，即T=，解得：ω=2，排除A．将点坐标代入，即当x=时，y的值应该为0，B，C，D选项中只有D满足．故f（x）的解析式可以是D，故选：D．30.B【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用．【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．【解答】解： ===2．故选：B．31.C【考点】三角函数的化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用平移变换，最后根据正弦型函数的单调性求得结果．【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位，得到g（x）=2sin（2x+2φ﹣）．∵g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，∴g（）=±1，即2sin（2×+2φ﹣）=±1，∴φ=kπ+，（k∈Z）∵0＜φ＜，∴φ=，∴g（x）=2sin（2x+）．令2x+∈[2kπ+，2kπ+π]，（k∈Z）则x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）故选：C．32.D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）的最小正周期是=π，∴ω=2．将函数f（x）图象向左平移个单位长度后所得的函数的解析式为 y=sin[2（x+）+ϕ=sin（2x++ϕ），根据所得图象过点，∴sin（﹣++ϕ）=1，∴ +ϕ=，即ϕ=．则函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+）．在区间上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）=sin（2x+）在区间上没有单调性，故排除A、B；在区间上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）=sin（2x+）在在区间上单调递增，故排除C，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．33.C【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c∵由正弦定理知，∴则=．故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来．34.B【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意求得sin（α+）的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．【解答】解：∵，若，则α+为锐角，∴sin（α+）==，则=2sin（α+）cos（α+）=2••=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．35.B【考点】GI：三角函数的化简求值．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值．【分析】先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．【解答】解：∵α为锐角，若，设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=﹣，cos2β=2cos2β﹣1=﹣，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=（﹣）×﹣（﹣）×=．故选：B．36.D【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后的函数，结合三角函数的性质对称中心．【解答】解：函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得y=sin（2x），再将图象向右平移个单位，可得：y=sin[2（x﹣）]=sin（2x）=﹣cos2x．令2x=，可得：x=，k∈Z．当k=0时，可得对称中点为（，0）．故选：D．37.B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|φ|）的图象，可得A=1，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）．故把f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin[2（x﹣）+]=sin （2x ﹣）=g （x ）的图象，故选：B ． 38.D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理的式子，结合二倍角的正弦公式和题中数据算出cosA ，再由同角三角函数的基本关系即可算出sinA 的值．【解答】解：∵△ABC 中，，b=4，∴由正弦定理得，∵B=2A ，∴==，化简得cosA=＞0，因此，sinA==． 故选：D ． 39. A由2cos(2)6y x π=+可知，函数最大值为2，故排除D ；又因为函数过点(6π，0)，故排除B ；过点(12-π，2)，故排除C ；故选A.40. B因为(,0)2x π∈-，sin x =53-⇒cos x =54所以tan x =43-⇒tan2x =xtan 1x tan 22-=724-，应选答案D 。
2018年全国高考文科数学分类汇编——三角函数1.（北京）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）CA．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．2.（北京）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）=acsinB，，可得：tanB=，所以B=，∠C为钝角，A∈（0，），cotA∈（，+∞）．===cosB+cotAsinB=cotA∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．3. （北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．4. （江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．5.（江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6. （江苏）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，α），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．7.（江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．=（40sinθ+10）•80cosθ【解答】解：（1）S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．=800（4sinθcosθ+cosθ），答：（1）S矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；（2）θ=时总产值y最大．8.（全国1卷）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）BA．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．9.（全国1卷）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）BA．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．10.（全国1卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于sinBsinC≠0，所以sinA=，则A=由于b2+c2﹣a2=8，则：，①当A=时，，解得：bc=，所以：．②当A=时，，解得：bc=﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．11.（全国2卷）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）AA．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．12.（全国2卷）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C．13.（全国2卷）已知tan（α﹣）=，则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）=，∴tan（α）=，则tanα=tan（α+）=====，故答案为：．14.（全国3卷）若sinα=，则cos2α=（）BA．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．15.（全国3卷）函数f（x）=的最小正周期为（）CA．B．C．πD．2π【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，故选：C．16.（全国3卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）CA．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．==，∴sinC==cosC，△ABC的面积为，∴S△ABC∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．17. （上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（x+）+1=1﹣，∴sin（x+）=﹣，∴x+=﹣+2kπ，或x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+2kπ，或x=π+2kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=π．18.（天津）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）AA．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．19.（天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．20.（浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）DA． B． C．D．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．21.（浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．22. （浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．。
2018三角函数、向量专题（文）1．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( )A ．4B ．3C ．2D ．03．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =( )A．BCD．4．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89B ．79C ．79-D ．89-6.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件7．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >>（D ）c a b >>8．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间[,]44ππ- 上单调递增 B.在区间[,0]4π上单调递减C.在区间[,]42ππ 上单调递增D.在区间[,]2ππ 上单调递减9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为410．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．111.在平面坐标系中， 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A.B. C. D. 12．在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为( )A.15-B.9-C.6-D.013.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ∙的最小值为_________.14.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.15．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．16.已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +18b的最小值为__________． 17.已知函数)22)(2sin(πϕπϕ<<-+=x y 的图象关于直线3π=x对称，则ϕ的值是______18.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与l 交于另一点D ，若0=⋅，则点A 的横坐标为_______ 19.在ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，︒=∠120ABC ，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为_______ 20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若ab =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．21．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．22．已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．23．若ABC △的面积为222)4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.24.已知函数2()sin cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.25.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （Ⅰ）求教B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值．26.已知βα,为锐角，34tan =α，55)cos(-=+βα， (1)求α2cos 的值；(2)求)tan(βα-的值．27.设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+。
2018 年高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A 组 三年高考真题（ 2016～2018 年）1.(20155，且 α为第四象限角，则 tan α的值等于 ()福·建， 6)若 sin α＝－ 1312 12 5 5 A. 5 B.－ 5 C.12 D.－ 122.(2014 大·纲全国， 2)已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ( )4 3 3 4A. 5B. 5C.－ 5D.－53.(2014 新·课标全国Ⅰ， 2)若 tan α＞ 0，则 () A.sin α＞0 B.cos α＞ 0 C.sin 2α＞ 0 D.cos 2α＞ 04.(2016 新·课标全国Ⅰ， 14)已知 θ是第四象限角，且 sin θ＋ π＝ 3，则 tan θ－ π＝ ________. 4 5 4 5.(2016 四·川， 11)sin 750 ＝° . 6.(2015 四·川， 13)已知 sin α＋2cos α＝0，则 2sin αcos α－ cos 2α的值是 ________．B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1 a )若点 (4， a)在 y x2 图象上，则 tan1.(2016 济·南一中高三期中6π的值为 ( )3 A.0 B. 3 C.1D. 3π πα＝ ()2.(2016 贵·州 4 月适应性考试 )若 sin ＋ α＝－ 3，且 α∈ ， π，则 sin π－ 225 2 ( )24 12 12 24A. 25B. 25C.－ 25D. －25sin α－ cos α性考试)已知角 α的终边经过点 P(2 ，－ 1)，则 ＝ ( ) sin α＋ cos α1 1A.3B.3C.－3D.－ 310π4.(2015 乐·山市调研 )若点 P 在－ 3 角的终边上，且 P 的坐标为 ( －1， y)，则 y 等于 ()3 3 A. － 3B. 3C.－ 3D. 3π5.(2015 石·家庄一模 )已知 cos α＝ k ， k ∈R ，α∈ 2， π，则 sin( π＋ α)＝ () A. － 1－ k 2B. 1－k 2C.－ kD. ± 1－ k 26.(2015 洛·阳市统考 )已知 △ABC 为锐角三角形 ,且 A 为最小角 ,则点 P(sin A-cos B,3cos A-1)位于 () A. 第一象限 B.第二象限C.第三象限D. 第四象限π4，则 cos α＝ ________.7.(2016 山·东日照第一次模拟 )已知角α为第二象限角，cos－α＝2 58.(2015 湖·南长沙一模 )在平面直角坐标系xOy 中，将点 A( 3，1)绕原点 O 逆时针旋转90°到点 B，那么点 B 坐标1为________，若直线 OB 的倾斜角为α，则 tan 2α的值为 ________.专题二三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）π的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为() 1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 6)若将函数 y＝2sin 2x＋6 4ππππA. y＝ 2sin2x＋4B.y＝ 2sin2x＋3C.y＝2sin 2x－4D.y＝ 2sin 2x－32.(2016 新·课标全国卷Ⅱ，3)函数 y＝ Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()ππA. y＝ 2sin2x－6B. y＝ 2sin 2x－3C.y＝ 2sin x＋πD. y＝ 2sin x＋π6 33.(2016 四·川， 4)为了得到函数 y＝ sin x＋π的图象，只需把函数 y＝ sin x 的图象上所有的点 ( )3πB.向右平行移动πA. 向左平行移动3个单位长度3个单位长度πD.向下平行移动πC.向上平行移动个单位长度个单位长度3 34． (2015 新·课标全国Ⅰ，8)函数 f( x)＝ cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x) 的单调递减区间为 ( )A. kπ－1，kπ＋3，k∈ ZB. 2kπ－1， 2kπ＋3， k∈ ZC.k－1， k＋3， k∈ ZD. 2k－1， 2k＋3，k∈Z4 4 4 4 4 4 4 4π的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象 ()5.(2015 山·东， 4)要得到函数 y＝ sin 4x－3π个单位 B ．向右平移π个单位A ．向左平移1212π D ．向右平移π个单位个单位C．向左平移3 36.(2014 天·津， 8)已知函数 f(x)＝3sin ωx＋ cos ωx(ω＞ 0)， x∈R .在曲线 y＝ f(x) 与直线 y＝ 1 的交点中，若相邻交π点距离的最小值为3，则 f( x)的最小正周期为 ()π2πA. 2B. 3C. πD.2 ππ的最小正周期是 ( )7.(2014 陕·西， 2)函数 f(x)＝ cos 2x＋4πA. 2B. πC.2 πD.4 π28.(2014 四·川， 3)为了得到函数 y ＝ sin(x ＋1)的图象，只需把函数 y ＝ sin x 的图象上所有的点 ()A ．向左平行移动 1 个单位长度B ．向右平行移动 1 个单位长度C ．向左平行移动 π个单位长度D ．向右平行移动 π个单位长度9.(2014 浙·江， 4)为了得到函数 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x 的图象，可以将函数 y ＝ 2cos 3x 的图象 () π B. 向右平移 π C.向左平移 π D.向左平移 πA. 向右平移 12个单位 4个单位 12个单位 4个单位10.(2014 安·徽， 7)若将函数 f(x)＝ sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移 φ个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ的最小 正值是 ( )ππ 3π 3π A. 8B.4C. 8D. 411.(2014 新·课标全国Ⅰ， 7)在函数① y ＝ cos|2x|，② y ＝|cos x|，③ y ＝ cos 2x ＋ π， 6④ y ＝ tan 2x － π中，最小正周期为 π的所有函数为 ()4 A.①②③ B. ①③④ C.②④D. ①③ π)12.(2014 个单位，得到函数 y ＝ f(x)的图象，则下列说法正确的是 (福·建， 7)将函数 y ＝sin x 的图象向左平移 2 A. y ＝ f(x)是奇函数 B.y ＝ f(x)的周期为 ππ πC.y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ 2对称D.y ＝ f(x)的图象关于点－ 2， 0 对称 13.(2016 新·课标全国Ⅲ， 14)函数 y ＝ sin x － 3cos x 的图象可由函数 y ＝ 2sin x 的图象至少向右平移 ________个单 位长度得到 .14.(2015 天·津， 11)已知函数 f( x)＝ sin ωx＋ cos ωx (ω＞ 0)，x ∈ R.若函数 f(x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，且函数 y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ ω对称，则 ω的值为 ________．15.(2015 陕·西， 14)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数πy ＝ 3sin 6x ＋ φ ＋ k ，据此函数可知，这段时间水深 (单位： m)的最大值为 ________．16.(2015 湖·南， 15)已知 ω>0 ，在函数 y ＝2sin ωx 与 y ＝ 2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 ω＝ ________.ππ17.(2014 重·庆， 13)将函数 f(x)＝ sin( ωx＋ φ)(ω＞ 0，－ 2≤φ＜2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标 π π不变，再向右平移 6个单位长度得到 y ＝ sin x 的图象，则 f 6 ＝ ________.318.(2015 湖·北， 18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)ω>0， |φ|<π在某一个周期内的图象时，列表并2填入部分数据，如下表：ωx＋φ0 π3ππ2π2 2xπ5π3 6 Asin( ωx＋φ)0 5 － 50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将 y＝ f(x)图象上所有点向左平移πy＝g( x)的图象，个单位长度，得到6求 y＝ g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．19.(2014 湖·北， 18)某实验室一天的温度(单位：℃ )随时间 t(单位： h)的变化近似满足函数关系：ππf(t)＝10－3cos12t－ sin 12t， t∈ [0,24) ．(1)求实验室这一天上午 8 时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．π20.(2014 四·川， 17)已知函数 f(x)＝ sin 3x＋4 .(1)求 f(x)的单调递增区间；α＝4 π(2)若α是第二象限角， f 35cos α＋4 cos 2α，求 cos α－ sin α的值．421.(2014 福·建， 18)已知函数f(x)＝ 2cos x(sin x＋ cos x)．5π(1) 求 f 4的值；(2)求函数 f( x)的最小正周期及单调递增区间．π22.(2014 北·京， 16)函数 f(x)＝ 3sin 2x＋6的部分图象如图所示．(1)写出 f(x)的最小正周期及图中x， y0的值；(2)求 f(x)在区间ππ－，－上的最大值和最小值．2 12B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 四·川成都第二次诊断)将函数 f(x)＝ cos x＋π的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变，得6 2 到函数 g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为 ( )A. g(x)＝ cosππx＋πx＋π2x＋3 B.g(x)＝ cos 2x＋6 C.g(x)＝ cos 2 3 D. g(x)＝ cos 2 62.(2016 山·西四校联考 )已知函数 f(x)＝ cos ωx＋φ－πω>0， |φ|<π的部分图象如图所示，2 2π则 y＝ f x＋6取得最小值时x 的集合为 ( )A. x|x＝ kπ－ππππ， k∈ Z B. x|x＝ kπ－， k∈Z C. x|x＝ 2kπ－，k∈Z D. x|x＝ 2kπ－， k∈ Z6 3 6 3πy 轴对称，则φ的3.(2015 石·家庄模拟 )将函数 f(x)＝sin(2 x＋φ)的图象向左平移8个单位，所得到的函数图象关于一个可能取值为 ( )3πππA. 4 B.4 C.0 D.－45π3π4.(2015 黄·冈模拟 ) 当 x＝4时，函数 f(x) ＝ Asin(x＋φ)(A＞ 0)取得最小值，则函数y＝ f4－ x 是()A. 奇函数且图象关于点π对称 B.偶函数且图象关于点( π， 0)对称，2ππC.奇函数且图象关于直线x＝2对称 D. 偶函数且图象关于点2， 0 对称5.(2015 河·南焦作市统考 )函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ) ω＞0， |φ|＜π的最小正周期为π，且其图象向右平移π个单位后2 12 得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象 ( )πB. 关于直线x＝5πC.关于点5πD.关于直线 x＝π， 0 对称对称， 0 对称对称A. 关于点212 12 12π6.(2015 怀·化市监测 )函数 y＝－ 2x 的单调增区间为 ________. 2sin 33 37.(2015 辽·宁五校联考 )已知函数 f(x)＝2 sin ωx＋2cos ωx(ω＞0) 的周期为 4.(1) 求 f(x)的解析式；2个单位得到函数g(x)的图象，P，Q 分别为函数 g(x)图象的最高点和最低点(如图 )，(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移3求∠ OQP 的大小 .专题三三角恒等变换A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅲ，6)若 tan θ＝－1，则 cos 2θ＝ ( )34 1 1 4A. －5B.－5C.5D. 5π2.(2016 新·课标全国Ⅱ，11)函数 f(x)＝ cos 2x＋ 6cos－x 的最大值为 () 2A.4B.5C.6D.73.(2015 重·庆， 6)若 tan α＝1， tan(α＋β)＝1，则 tan β＝ ()3 21 1 5 5A. 7B. 6C.7D.64.(2016 浙·江， 11)已知 2cos2x＋ sin 2x＝Asin( ωx＋φ)＋ b(A＞ 0)，则 A＝ ________， b＝ ________.65.(2016 山·东， 17)设 f(x)＝ 2 3sin( －πx)sin x－ (sin x－ cos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变 )，再把得到的图象向左平移π个单位，得到3函数 y＝ g(x)的图象，求 g π的值 .66.(2016 北·京， 16)已知函数 f(x)＝ 2sin ωx cos ωx＋cos 2ωx(ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求ω的值； (2)求 f(x) 的单调递增区间 .7.(2015 广·东， 16)已知 tan α＝ 2.(1) 求 tan α＋π的值；(2) 求sin 2 α的值．4 sin2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 12x8.(2015 北·京， 15)已知函数 f(x)＝ sin x－2 3sin .2π(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在区间0，3上的最小值．79.(2015 福·建， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin x2cos 2x＋ 10cos2x2.(1)求函数 f(x)的最小正周期；πa( a＞ 0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，(2)将函数 f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移6且函数 g(x)的最大值为 2.①求函数 g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0 )＞0.π， x∈ R，且 f 5π3210.(2014 广·东， 16)已知函数 f(x)＝ Asin x＋312 ＝2.(1) 求 A 的值；(2) 若 f(θ)－ f(－θ)＝3，θ∈0，π，求 fπ2 6－θ.11.(2014 浙·江 ,18)在△ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 4sin2A－B＋ 4sin Asin＝ 2＋ 2.2(1)求角 C 的大小； (2) 已知 b＝ 4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值．B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 江·西九校联考 )已知α∈3π， cos α＝－4，则 tanππ，－α等于 () 2 5 41 1A.7B. 7C.－7D. － 72.(2016 洛·阳统考 ) 若α∈[0， 2π)，则满足1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α的α的取值范围是 ()πB.[ 3π3π7πA. 0，0，πC.0，D.0，∪， 2π2]4 4 41 3 2tan 14 °1－ cos 50 °)3.(2016 河·南六市联考 )设 a＝2cos 2 －°2sin 2 ，°b＝，c＝2，则有 ( 1－ tan214°A. a<c<bB. a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.(2015 大·庆市质检二 )已知 sin α＝5，则 sin2α－cos2α的值为 ( )41 3 1 3A. －8B.－8C.8D.885.(2015 烟·台模拟 ) 已知 cos α＝ 3， cos(α＋ β)＝－ 5， α，β都是锐角，则 cos β等于 ()513 63 33 3363A. － 65B. －65C.65D.656.(2015 河·北唐山模拟 )已知 2sin 2α＝ 1＋cos 2α，则 tan 2α＝ ()A. 4B.－4 C. 4或 0 D.－ 4或 0 3 3 3 3sin αcos α 1 1，则 tan β＝________. 7.(2015 巴·蜀中学一模 )已知 ＝ ， tan(α－β)＝ 1－ cos 2α 2 24 138.(2015 河·南洛阳统考 )已知向量 a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos β， sin β)， |a － b|＝ 13 .(1) 求 cos(α－ β)的值； (2)若 0＜ α＜ π π，－ ＜ β＜0 且 sin β＝－ 4，求 sin α的值 .2 2 5专题四 解三角形A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 4)△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c.已知 a ＝ 5， c ＝ 2， cos A ＝ 2，3则 b ＝ ()A. 2B. 3C.2D.32.(2016 山·东， 8)△ABC 中，角 A ，B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，已知 b ＝ c ， a 2 ＝ 2b 2 (1－ sin A)，则 A ＝ ()3π π π π A. 4B. 3C.4D. 633.(2015 广·东 ,5)设 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a ＝ 2,c ＝2 3,cos A ＝ 2 ,且 b<c,则 b ＝ ( ) A. 3 B.2 2 C.2 D. 34.(2014 四·川，8)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是 60 m ，9则河流的宽度 BC 等于 ( )A ． 240( 3－ 1)mB ． 180( 2－ 1)mC ． 120( 3－ 1)mD ． 30( 3＋ 1)m5.(2016 新·课标全国Ⅱ， 15)△ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ， 若 cos A ＝ 4， cos C ＝ 5 ， a ＝ 1，则 b ＝ ________.5 132πb6.(2016 北·京， 13)在△ABC 中，∠ A ＝ 3 ， a ＝ 3c ，则 c ＝ ________.2π7.(2015 北·京， 11)在 △ABC 中， a ＝ 3， b＝ 6，∠ A ＝ 3 ，则∠ B ＝ ________.8.(2015 重·庆， 13)设△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 a ＝ 2， cos C ＝－ 1， 3sin A ＝ 2sin B ，则 c ＝ ________.49.(2015 安·徽， 12)在△ABC 中， AB ＝ 6，∠ A ＝ 75°，∠ B ＝ 45°，则 AC ＝________.10.(2015 湖·北， 15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝ ________m.11.(2014 新·课标全国Ⅰ， 16)如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠ MAN ＝60°，C 点的仰角∠ CAB ＝ 45°以及∠ MAC ＝75°；从 C 点测得∠ MCA ＝ 60°，已知山高 BC ＝ 100 m ，则山高 MN ＝ ________m. π12.(2014 湖·北， 13)在 △ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 ， a ＝ 1， a ， b ， c.已知 A ＝ 6b ＝ 3，则 B ＝________.13.(2014 福·建， 14)在 △ABC 中， A ＝60°， AC ＝ 2， BC ＝ 3，则 AB 等于 ________． 14.(2014 1，则 c ＝ ________； sin A ＝ ________. 北·京， 12)在 △ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝ 415.(2016 浙·江， 16)在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c.已知 b ＋ c ＝ 2acos B.(1)证明： A ＝ 2B ；(2)若 cos B ＝ 2，求 cos C 的值 . 3cos A＋ cos B＝sin C 16.(2016 四·川， 18)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c，且ab c .(1) 证明： sin Asin B＝ sin C；2 2 2 6(2)若 b ＋ c － a ＝ bc，求 tan B.51017.(2015 江·苏， 15)在△ABC 中，已知 AB ＝2， AC＝ 3， A＝ 60°.(1) 求 BC 的长；(2)求 sin 2C 的值．18.(2015 新·课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC， BD＝2DC .(1) 求sin∠B；(2) 若∠ BAC＝ 60°，求∠ B.sin∠ C19.(2015 天·津， 16)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c.已知△ABC 的面积为 31 15， b－ c＝2， cos A＝－ .4(1) 求 a 和 sin C 的值；(2) 求 cos 2A＋π的值．620.(2015 山·东， 17)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为3，a， b， c.已知 cos B＝36sin (A＋ B)＝9， ac＝ 2 3，求 sin A 和 c 的值．21.(2015 湖·南， 17)设△ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c， a＝ btan A.(1) 证明： sin B＝ cos A；(2) 若 sin C－ sin Acos B＝3，且 B 为钝角，求 A， B，C. 4π22.(2015 浙·江， 16)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c.已知 tan 4＋A ＝ 2.sin 2A的值；π(1) 求 2 (2)若 B＝， a＝ 3，求△ABC 的面积．sin 2A ＋cos A 423.(2015 新·课标全国Ⅰ,17)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边 ,sin2B＝ 2sin Asin C.(1) 若 a＝b,求 cos B；(2) 设 B＝ 90°,且 a＝2,求△ABC 的面积．24.(2014 重·庆， 18)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c，且 a＋ b＋ c＝8.(1)若 a＝2， b＝5，求 cos C 的值；211(2) 若 sin Acos2B＋ sin Bcos2A＝ 2sin C，且△ABC 的面积 S＝9sin C，求 a 和 b 的值．2 2 225.(2014 山·东， 17)△ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 a＝3， cos A＝π6，B＝ A＋.3 2(1) 求 b 的值；(2) 求△ABC 的面积．26.(2014 陕·西， 16)△ABC 的内角A， B， C 所对的边分别为a， b， c.(1)若 a，b， c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝ 2sin(A＋ C)；(2)若 a，b， c 成等比数列，且 c＝ 2a，求 cos B 的值．27.(2014 湖·南， 19)如图，在平面四边形 ABCD 中， DA ⊥ AB，DE ＝1， EC ＝7， EA＝2，∠ ADC ＝2ππ(1)求 sin∠ CED 的值； (2) 求 BE 的长．，∠ BEC＝.3 3B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 湖·南四校联考)在△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 (a2＋ b2－ c2)tan C＝ ab,则角 C 为 ()π 5ππ 2πC.πD.2πA. 或6 B. 或3 6 36 32.(2016 河·南三市调研 )△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为πa， b， c，若 c2＝ (a－ b)2＋ 6， C＝，则△ABC的3面积为 ( )A.3B. 923C.323D.3 33.(2016 济·南一中检测 )在△ABC 中，内角 A，B， C 对边的边长分别为a， b， c， A 为锐角，lg b＋ lg 1＝ lg sin A＝－ lg 2，则△ABC 为 ( ) cA. 等腰三角形B. 等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2015 山·东省实验中学三诊2 2 2 2) )在△ABC 中，若 (a ＋ b ) ·sin(A－B)＝ (a－ b )sin C，则△ABC 是 (A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形5.(2015 江·西赣州摸底 )为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图 )，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得 BC＝ 50 m，∠ ABC＝105°，∠ BCA＝45°，就可以计算出A，B 两点的距离为 ( )12A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 m 25 2D. 2 m6.(2015 湖·南十二校联考 )在 △ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 2 2 a － b＝ 3，则 c ＝ () 若 tan A ＝ 7tan B ， c A.4 B.3 C.7 D.61 7.(2016 湖·南株洲 3 月模拟 )在△ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝ 4，则 sin A ＝ ________. 8.(2015 太·原模拟 ) 在△ABC 中，已知 (sin A ＋ sin B ＋ sin C) ·(sin B ＋ sin C － sin A)＝ 3sin Bsin C.(1) 求角 A 的值； (2) 求 3sin － cos C 的最大值B13高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式答案精析A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）5 ，且 α为第四象限角， ∴ cos α＝ 12，∴ tan α＝ sin α5 ，故选 D. 答案 D13 ＝－ 121.解析 ∵ sin α＝－ 13 cos α2.解析 记 P(－ 4， 3)，则 x ＝－ 4， y ＝3， r ＝ |OP|＝ （－4） 2＋ 32＝5， － 4 4，故选 D.故 cos α＝x ＝ ＝－ r55 3.解析 由 tan α＞ 0，可得 α的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α与 cos α同号，故 sin 2α＝2sin αcos α＞ 0，故选 C. 答案 C4.解析 由题意，得 cos π4 ，∴ tan π3 ππ π1 ＝－ 4 . 答案 － 4θ＋ ＝ θ＋ ＝ .∴ tan θ－ ＝ tan θ＋ － ＝－ π 33 4 5 4 4 4 4 2 tan θ＋ 45.解析 ∵ sin θ＝ sin(k ·360 °＋ θ)，( k ∈ Z)， ∴ sin 750 ＝°sin(2 360× °＋ 30°)＝ sin 30 1 答案1＝° . 2 26.解析 ∵ sin α＋ 2cos α＝ 0， ∴ sin α＝－ 2cos α，∴ tan α＝－ 2，又∵ 2sin αcos α－cos 2α＝ 2sin α·cos α－ cos 2 α 2tan α－ 12×（－ 2）－ 1 sin 2α＋ cos 2α＝ tan 2α＋1 ， ∴原式＝（－ 2）2＋ 1＝－ 1. 答案 －1B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1a1.解析 ∵a ＝ 42＝ 2， ∴ tan 6π＝ 3.答案 Dπ33 π42.解析由 sin 2＋ α＝－ 5得 cos α＝－ 5，又 α∈ 2， π， 则 sin α＝ 5，所以 sin( π－2α)＝ sin 2α＝ 2sin αcos α＝－ 24 答案 D25.3.解析 因为角 α终边经过点 P(2 ，－ 1)，所以 tan α＝－ 1， sin α－ cos α tan α－ 1＝ ＝ 2 sin α＋ cos α tan α＋ 1－ 12－ 1 ＝－ 3，故选 D.－1＋ 1210π 2π 10π 2π 2π答案 D 4.解析 ＝－ 4π＋ ，所以－ 与 的终边相同，所以 tan ＝－ 3＝－ y ，则 y ＝ 3. － 33 3 3 3 πα>0，则 sin( π＋α 2 2 5.解析 因为 α∈ ， π ，所以 sin1－ cos α＝－ 1－ k ，故选 A. 答案 A 2)＝－ sin α＝－ π π π π6.解析 由题意得， A ＋ B＞即 A ＞ － B ，且 A ∈ 0， 3 ， － B ＞ 0， 2 2 2 π1 1 在第一象限 . 答案 A故 sin A＞ sin － B ＝ cos B，即 sin A－ cos B＞ 0， 3cos A－ 1＞ 3× － 1＝，故点 P2 2 27.解析sin α＝ cos π4，又α为第二象限角，所以 cos α＝－2 3－3－α＝51－sin α＝－ . 答案5 2 58.解析设点 A( 3， 1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，1413π则 A(2cos θ， 2sin θ)， 由三角函数的定义可知： sin θ＝ ，cos θ＝，则 θ＝ 2k π＋6 (k ∈Z )，22设 B(x ， y)，由已知得 x ＝ 2cos θ＋ π＝2cos 2k π＋ 2π＝－ 1， y ＝2sinθ＋ π＝ 2sin2k π＋2π＝ 3，2 323 所以 B(－ 1， 3) ，且 tan α＝－ 3，所以 tan 2α＝ 2tan α2 ＝ 3. 答案 (－ 1， 3)31－ tan α专题二三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（ 2016 ～2014 年） 答案精析1.解析 函数 y ＝ 2sin 2x ＋ π2x ＋ π1个周期即 π6 的周期为 π，将函数 y ＝ 2sin 的图象向右平移 个单位， 所得函数为6 4 4 π π πy ＝ 2sin 2 x － 4 ＋ 6 ＝ 2sin 2x － 3 ，故选 D. 答案D2.解析 由题图可知， T ＝ 2 ππ ＝π，所以 ω＝2，由五点作图法可知 π π π － － 6 2× ＋φ＝ ，所以 φ＝－ ，3 3 2 6 π所以函数的解析式为 y ＝ 2sin 2x － 6 ，故选 A. 答案 A3.解析由 y ＝ sin x 得到 y ＝sin(x ±a)的图象，只需记住 “左加右减 ”的规则即可 . 答案 A4.解析 由图象知 T＝ 5－ 1＝ 1， ∴ T ＝ 2.由选项知 D 正确． 答案 D2 4 45.解析 ∵ y ＝ sin 4x － π＝ sin 4x － π ，312∴要得到函数 y ＝ sin π 的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移 π答案 B 4x － 3 12个单位．6.解析 由题意得函数 f(x)＝ 2sin π (ω＞ 0)， 又曲线 y ＝ f(x)与直线 y ＝1 相邻交点距离的最小值是 πωx＋ 3 ， 6由正弦函数的图象知， π π π 5π π 即2π π ωx＋ ＝ 和 ωx＋ ＝ 对应的 x 的值相差 ， ＝ ，解得 ω＝ 2， 6 6 6 6 3 3ω 3 2π 所以 f(x)的最小正周期是 T ＝ ω＝ π. 答案 C 2π7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得＝ π. 答案 BT ＝ 2 8.解析 由图象平移的规律 “左加右减 ”，可知选 A. 答案 A9.解析 因为 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝ 2cos 3x －π，所以将 y ＝ 2cos 3x 的图象向右平移 π个单位后可得到412y ＝ 2cos 3x － π的图象．答案 A 10.解析 方法一 f(x)＝ 2sin 2x ＋ π，4 4将函数 f(x)的图象向右平移 φ个单位后所得图象对应的函数解析式为 y ＝ 2sin π2x ＋ － 2φ，由该函数为偶函数 4ππkπ3π所以φ的最小正值为3π可知 2φ－＝ kπ＋，k∈ Z ，即φ＝2 ＋， k∈Z ，8 .4 2 8π方法二f(x)＝ 2cos 2x－4，将函数 f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为ππ3πy＝ 2cos 2x－4－ 2φ，且该函数为偶函数，故 2φ＋4＝ kπ， k∈ Z ，所以φ的最小正值为8 . 答案 C1511.解析① y＝ cos|2x|，最小正周期为π；② y＝ |cos x|，最小正周期为π；③ y＝ cos2x＋π，最小正周期为π；6④ y＝ tanπ，最小正周期为ππ的所有函数为①②③，故选 A. 答案 A 2x－4，所以最小正周期为2ππ12.解析函数 y＝ sin x 的图象向左平移2个单位后，得到函数 f(x)＝sin x＋2＝ cos x 的图象， f(x)＝ cos x 为偶函数，πππ排除 A ； f(x)＝ cos x 的周期为 2π，排除 B；因为 f ＝ cos ＝ 0，所以 f(x)＝ cos x 不关于直线x＝对称，排除 C；2 2 2故选 D. 答案 D13.解析 y＝ sin x－ 3cos x＝2sin x－ππ答案π，由 y＝ 2sin x 的图象至少向右平移个单位长度得到 .3 3 314.解析f(x)＝ sin ωx＋cos ωx＝2sinπππ πωx＋，由－＋ 2kπ≤ωx＋≤＋ 2kπ，k∈Z，4 2 4 23ππ由题意 f( x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，可知π得－＋ 2kπ≤ωx≤＋2kπ，k＝ 0，ω≥，4 4 2又函数 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝ω对称，2 π 2 π ππ答案π所以 sin( ω＋)＝1，ω ＋＝，所以ω＝2.24 4 215.解析由题干图易得y min＝ k－ 3＝ 2，则 k＝ 5，∴ y max＝k＋ 3＝ 8.答案 816.解析y＝ 2sin ωx，ωx－π＝ 0，由知 sin ωx＝cos ωx，即 sin ωx－ cos ωx＝ 0，∴ 2siny＝ 2cos ωx，4π 1 π 1 π∴ ωx＝4＋ kπ， x＝ω4＋ kπ (k∈ Z)，∴两函数交点坐标为ω4＋ kπ， 2 (k＝0， 2， 4，⋯)，1 π2或( k＝⋯，－ 3，－ 1， 1，3，⋯) ∴最短距离为（ 2 2）2＋π2＋ kπ，－ 23，ω4 ω＝ 22ππ∴π答案2＝ 4，∴ ω＝ .2ω 2πy＝ sin x＋π17.解析把函数 y＝ sin x 的图象向左平移个单位长度得到的图象，6 6y＝ sin π2 倍，纵坐标不变，再把函数x＋6图象上每一点的横坐标伸长为原来的得到函数1 π所以 fπ 1 π ππ22 f(x)＝ sin x＋的图象，＝ sin × ＋＝sin ＝22 6 6 2 6 64 2. 答案π18.解(1)根据表中已知数据，解得A＝ 5，ω＝ 2，φ＝－6.数据补全如下表：ωx＋φ0 ππ3π2π2 2x ππ7π5π13π12 3 12612Asin(ωx＋φ) 0 5 0 － 5 0f(x) ＝5sin π且函数表达式为2x－6 .ππππ(2) 由 (1)知 f(x) ＝5sin 2x－6，因此 g(x)＝ 5sin 2 x＋6－6＝ 5sin 2x＋6 .16π 因为 y ＝ sin x 的对称中心为 ( k π，0) ，k ∈ Z.令 2x ＋ ＝ k π，解得6x ＝ k π π － ，k ∈ Z .2 12即 y ＝ g(x)图象的对称中心为 k π π ， k ∈ Z ，其中离原点 O 最近的对称中心为 π2 － ， 0 － ，0 . 12 12π π 2π 2π －1 3 12×8－ sin 12×819.解 (1)f(8) ＝ 10－ 3cos ＝ 10－ 3cos 3 － sin 3 ＝ 10－ 3×2 － 2 ＝ 10. 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃ .3π1ππ ππ π π 7π (2) 因为 f(t)＝10－ 2 2cos12t ＋ 2sin12t ＝ 10－ 2sin 12 t＋ 3 ，又 0≤t ＜ 24， 所以 ≤ ＜ ，3 12t ＋ 3 3－ 1≤sin π π当 t ＝ 2 时， sin π π＝ 1；当 t ＝14 时， sin π π＝－ 1.12t ＋ 3 ≤ 1.12t ＋312t ＋ 3 于是 f(t)在 [0， 24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃ .π π ππ 2k π π 2k π 20.解 (1)由－ ＋2k π≤3x ＋ ≤ ＋ 2k π，k ∈ Z ， 得－ ＋ 3 ≤x ≤ ＋ ， k ∈ Z .24 2 4 12 3 所以函数 f(x)的单调递增区间为 π 2k π π 2k π－ ＋ ， ＋ 3 ， k ∈ Z.4 3 12 π 4 π 2 2(2) 由已知，有 sin α＋ 4 ＝ 5cos α＋4 (cos α－ sin α)，π π 4 π π 2 2 所以 sin αcos 4＋ cos αsin 4＝ 5 cos αcos－ sin αsin4 (cos α－ sin α)，4 4 2 (sinα＋cos α)．即 sin α＋ cos α＝ (cos α－ sin α) 5 3π当 sin α＋ cos α＝ 0 时，由 α是第二象限角，知 α＝ 4＋2k π， k ∈ Z ，此时 cos α－ sin α＝－2.2 5当 sin α＋ cos α≠0时，有 (cos α－ sin α) ＝ . 4由 α是第二象限角，知 cos α－sin α＜ 0，此时 cos α－ sin α＝－52 . 综上所述， cos α－ sin α＝－ 2或 cos α－sin α＝－52 . 2 π21.解 f( x)＝ 2sin xcos x ＋2cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x ＋ 1＝ 2sin 2x ＋ ＋ 1. 45π ＝ 2sin 11π 1＝ π(1) f 4 ＋ 2sin ＋ 1＝ 2. 4 4(2) T ＝ 2π π π π 3π π＝ π. 由 2k π－ ≤2x ＋ ≤2k π＋ ， k ∈ Z ， 得 k π－ 8 ≤x ≤k π＋ ， k ∈ Z .2 2 4 2 83π π所以 f(x)的单调递增区间为 ， k π＋8 ， k ∈ Z . k π－ 87π22.解 (1) f(x)的最小正周期为 π， x0＝ ，y0 ＝ 3.6ππ π 5π π π0；(2) 因为 x ∈ － ，－12 ，所以 2x ＋ ∈ － ， 0 . 于是当 2x ＋ ＝ 0，即 x ＝－ 时， f( x)取得最大值26 6 6 1217π π π当 2x ＋ ＝－ ，即 x ＝－ 时， f(x)取得最小值－ 3.6 2 3B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1g(x)＝ cosπ1.解析 横坐标缩短为原来的 2倍，纵坐标不变，则有2x ＋6 . 答案 B2π 7π π π π2.解析 依题意得 T ＝ ω＝ 4 － 3 ＝ cos φ＋6 ＝ 1，12 3 ＝ π，ω＝2， fπ π 2π .又 |φ|< ，因此 φ＝－ ，所以 f(x)＝ cos 2x － 32 6当 f x ＋ π π 取得最小值时， π π ＝ cos 2x － 2x － ＝ 2k π－π， k ∈ Z ，即 x ＝k π－ ， k ∈ Z ， 答案 B6 3 3 3 π 得 g(x)＝ sin π ＋ φ＝ sin π3.解析 函数 f(x)＝ sin(2x ＋ φ)的图象向左平移 个单位， 2 x ＋ 8 ＋ φ的图象， 82x ＋ 4又 g(x)的函数图象关于 y 轴对称，所以 g(x)为偶函数，ππ π所以 ＋φ＝ k π＋ 2 (k ∈ Z )，即 φ＝ k π＋ (k ∈Z )，4 4 π答案 B 当 k ＝ 0 时， φ＝ ，故选 B.4 ππ π 3π4.解析 当 x ＝ 4时，函数 f( x)＝Asin(x ＋ φ)( A ＞ 0)取得最小值， 即4＋ φ＝－ 2＋ 2k π，k ∈ Z ，即 φ＝－ 4＋ 2k π，k ∈ Z ，所以 f(x)＝ Asin x － 3π (A ＞ 0)， 所以 y ＝ f( 3π 3π 3π4 － x)＝ Asin －x ＋ ＝－ Acos x ，4 4 4所以函数为偶函数且图象关于点 π 对称，选 D. 答案 D ， 02 π π π5.解析f(x)＝ 2sin 3－ 2x ＝ 2cos 2x ＋ 6 ， π＋ 2k π≤2x ＋ 6≤ 2＋π2k π， k ∈ Z ，5π 11π 答案 5π 11π即 ＋ k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈ Z. 12 ＋k π， ＋ k π(k ∈ Z ) 12 12 126.解析 由于函数 f(x) ＝sin( ωx＋ φ) ω＞ 0， |φ|＜ π的最小正周期为 π， 故 2π 2 ＝ π， ω＝ 2.ω把其图象向右平移 π个单位后得到函数的解析式为 y ＝ sin 2 x － π π＋ φ ＝ sin 2x － ＋ φ ，为奇函数，12 12 6π π ππ ∴－ ＋ φ＝ k π，∴ φ＝ k π＋ ， k ∈Z ， ∴ φ＝ ，∴函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 6 .6 6 6π k π π k π π 令 2x ＋ 6＝k π， k ∈ Z ，可得 x ＝ 2 － 12， k ∈ Z ， 故函数的对称中心为 2 － 12， 0 (k ∈Z ).5π故点12， 0是函数的一个对称中心 .答案 C3 3 1 3 πππ7.解 (1) f(x)＝2 sin ωx＋2cos ωx＝ 3 2sin ωx＋2 cos ωx＝ 3 sin ωx cos3＋ cos ωx sin3＝ 3sin ωx＋3 .∵ T＝ 4，ω＞0，∴ω＝2π π∴ f(x)＝ 3sinππ.＝.2x＋3 4 2(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移2个单位得到函数g(x)＝π3sin x.3 2∵ P， Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴ P(1，3)， Q(3，－ 3).18∴ OP＝ 2， PQ＝ 4， OQ＝ 12，∴cos∠OQP＝ OQ2＋ PQ2－ OP2＝32OQ ·QP 2 .∵∠ OQP 是△OPQ 的一个内角，π∴∠ OQP＝ .6专题三三角恒等变换答案精析A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1，则 cos 2θ＝ cos2θ－ sin2θ＝cos2θ－ sin2θ 1－ tan2θ22 ＝ 2 ＝41.解析 tan θ＝－3cos θ＋ sinθ1＋ tanθ5. 答案 Dπ22.解析因为 f(x)＝ cos 2x＋6cos x＋6sin x＝－ 2 sin x－3＋11，－ x ＝1－ 2sin22 2 2所以当 sin x＝ 1 时函数的最大值为5，故选 B. 答案tan（α＋β）－ tan α3.解析tan β＝ tan[(α＋β)－α]＝＝B1－ 123＝1. 答案 A1 1 71＋×2 32 2 24.解析∵ 2cos x＋ sin 2x＝ cos 2x＋ 1＋ sin 2x＝ 2 2 cos 2x＋2 sin 2x ＋ 1π＝2sin 2x＋4＋ 1＝ Asin( ωx＋φ)＋ b(A＞ 0)，∴ A＝ 2， b＝1. 答案 2 15.解 (1) 由 f( x)＝ 2 3sin( －πx)sin x－ (sin x－ cos x)2＝ 2 3sin2x－ (1－ 2sin xcos x)＝ 3(1－ cos 2x)＋ sin 2x－ 1＝ sin 2x－ 3cos 2x＋3－ 1＝ 2sin 2x－π＋ 3－ 1.3由 2kπ－ππππ5π2≤2x－3≤2kπ＋2(k∈ Z )，得 kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈ Z ).所以 f(x)的单调递增区间是kπ－π， kπ＋5π(k∈Z)或 kπ－π， kπ＋5π（k∈ Z ） .12 12 12 12(2) 由 (1)知 f(x) ＝2sin 2x－π＋ 3－ 1，3把 y＝ f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，π得到 y＝ 2sin x－3＋ 3－ 1 的图象 .再把得到的图象向左平移πy＝ 2sin x＋ 3－ 1 的图象，个单位，得到3ππ即 g(x)＝ 2sin x＋ 3－1. 所以 g 6＝ 2sin 6＋ 3－ 1＝ 3.6.解 (1) f(x)＝ 2sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ 2 2 2＝2sin 2ωx＋π4 2sin 2ωx＋2 cos 2ωx由ω＞ 0， f(x)最小正周期为2π解得ω＝1. π得2ω＝π，19(2) 由 (1)得 f(x) ＝ 2sin 2x ＋ π π π π， 解得－ 3π π4 ，令－ ＋2k π≤2x ＋ ≤ ＋ 2k π，k ∈Z 8 ＋ k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈Z ， 2 4 2 8 即 f(x)的单调递增区间为 － 3π π8 ＋k π， ＋ k π(k ∈ Z ). 8(1)tan α＋ π＝ tan α＋ tanπ7.解 4 ＝ tan α＋ 1＝ 2＋ 1＝－ 3.4 π 1－ tan α 1－ 21－ tan αtan 4sin 2α2sin αcos α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1＝ sin 2α＋ sin αcos α－（ 2cos 2α－ 1）－ 1 2sin αcos α 2tan α 2×2＝sin 2α＋ sin αcos α－2cos 2 α＝tan 2α＋ tan α－2＝ 22＋ 2－2＝ 1.8.解 (1) 因为 f(x)＝ sin x ＋ 3cos x －π－ 3. 所以 f(x)的最小正周期为 2π.3.＝2sin x ＋32π π π π 2π时，所以 3≤x ＋ 3≤π ＝ π，即 x ＝ 3 时， f(x)取得最小值．(2) 因为 0≤x ≤3 .当 x ＋3 所以 f(x)在区间0， 2π上的最小值为 f2π＝－ 3.3 39.(1) 解 因为 f(x)＝ 103sin x cos x ＋ 10cos 2 x＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5＝ 10sin x ＋ π＋ 5，2 2 2 6 所以函数 f(x)的最小正周期T ＝2π.πy ＝10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a个单位长度后得到 (2) 证明 ①将 f(x)的图象向右平移 6(a ＞0) 个单位长度后得到g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x) 的最大值为 2，所以 10＋ 5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13. 所以 g(x)＝ 10sin x － 8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0)＞ 0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使 得 10sin x －8＞ 0，即 sin x ＞ 4 4＜ 3知，存在π0＜ α＜ ，使得 sin α＝4 0 0 5. 由 5 2 0 3 0 5. 由正弦函数的性质可知，当x ∈ (α， π－ α4因为 y ＝ sin x 的周期为 2π，0)时，均有 sin x ＞5.所以当 x ∈ (2k π＋α， 2k π＋ π－ α4 0 0 )(k ∈ Z )时，均有sin x ＞ 5. 因为对任意的整数 πk ， (2k π＋ π－ α0)－(2k π＋ α0)＝ π－2α0＞ ＞1， 3所以对任意的正整数 k ，都存在正整数x ∈ (2k π＋ α，2k π＋ π－ α＞40 00)，使得 sin xk 5. 亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0)＞ 0.10.解 (1)∵ f(x)＝ Asin x ＋ π5π ＝ 3 2 ， ∴ Asin 5π π＝ 3 2 Asin 3π 3 23，且 f2＋?4＝? A＝3.12 12 3 2 2πππ(2) 由 (1)知 f(x) ＝3sin x＋3，∵ f(θ)－ f(－θ)＝ 3，∴ 3sin(θ＋3)－ 3sin－θ＋3 ＝3，展开得 3 13 3 13，化简得 sin θ＝32sin θ＋2 cos θ－ 32 cos θ－2sin θ＝ 3 .20π 6 ππππ∵ θ∈ 0，2，∴ cos θ＝3 .－θ－θ＋3＝ 3sin－θ＝ 3cos θ＝ 6. ∴ f 6＝ 3sin 6 211.解 (1) 由已知得 2[1 －cos(A－ B)] ＋ 4sin Asin B＝2＋2，化简得－ 2cos Acos B＋2sin Asin B＝ 2，故 cos(A＋ B)＝－2 所以 A＋ B＝3ππ2. ，从而 C＝ .4 4(2) 因为 S△ABC＝1absin C，π2，由 S△ABC＝ 6， b＝ 4， C＝，得 a＝32 4由余弦定理c2＝a2＋ b2－ 2abcos C，得 c＝10.B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.解析∵ α∈ π，3π， cos α＝－4，∴ sin α＝－3，2 5 5∴ tan α＝sin α 3＝，cos α 4∴ tanπ1－ tan α1.答案 B－α＝＝4 1＋ tan α72.解析由 1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α得 sin α＋ cos α＝ 2sinπα＋4≥0，3π7π又因为α∈ [0， 2π)，所以α的取值范围为0，4∪， 2π，故选 D. 答案 D 41 33.解析利用三角公式化简得a＝2cos 2－°2 sin 2 ＝°cos(60＋°2°)＝cos 62＝°sin 28 ，°b＝ tan 28 ，°c＝sin2 25 °＝ sin 25 . °因为 sin 25 <sin°28 °<tan 28 °，所以 c<a<b，故选 D. 答案 D2 2 2 34.解析 sin α－cos α＝－ cos 2α＝ 2sin α－ 1＝－8. 答案 B5＜ 0， cos α＝3，5.解析∵ α，β是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，又 cos(α＋β)＝－13 5π∴ sin(α＋β)＝12， sinα＝4.∴ ＜α＋β＜π，2 13 5又 cos β＝ cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋ sin(α＋β)sin α＝－5 312 433.答案 C ×＋13×＝6513 556.解析因为 2sin 2α＝ 1＋ cos 2α，所以 2sin 2α＝ 2cos2α，所以 2cos α·(2sin α－ cos α)＝ 0，解得 cos α＝ 0 或 tan α＝1.2π若 cos α＝ 0，则α＝ kπ＋2， k∈ Z ，2α＝ 2kπ＋π， k∈Z ，所以 tan 2α＝0；若 tan α＝1，则 tan 2α＝2tanα2 ＝4. 综上所述，故选 C. 答案 C2 1－ tan α 3sin αcos α sin αcos α cos α 1＝2sin 2α＝＝，∴ tan α＝ 1.7.解析∵1－ cos 2α2sin α 2∵t an(α－β)＝tanα－tanβ＝1，∴ tan β＝1. 答案11＋ tan αtan β 2338.解 (1) ∵ a－ b＝(cos α－ cos β， sin α－ sin β)，∴ |a－ b|2＝ (cos α－cos β)2＋(sin α－ sin β)2＝2－ 2cos(α－β)，21∴ 1613＝ 2－ 2cos(α－ β)，∴ cos(α－ β)＝135.π π且 sin β＝－ 4，∴ cos β＝ 3且 0＜α－ β＜ π.，－ ＜β＜ 0(2) ∵ 0＜α＜ 22 5 5 5 12又∵ cos(α－ β)＝13，∴ sin(α－ β)＝ 13.∴ sin α＝ sin[( α－ β)＋β]＝ sin( α－ β)·cos β＋ cos(α－ β) ·sin β＝ 12 3 5 ×－ 4 ＝ 16 13 × ＋ 13 5.565专题四解三角形答案精析A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1.解析 由余弦定理，得 2 22 b ＝－ 1，故选 D.答案 D5＝ b ＋ 2 －2×b ×2× ，解得 b＝ 3 舍去 3 3 2.解析 在△ABC 中，由余弦定理得 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A ，∵ b ＝ c ，∴ a 2＝ 2b 2(1－ cos A)，又∵ a 2＝ 2b 2(1－ sin A)，π∴ cos A ＝ sin A ，∴ tan A ＝ 1，∵ A ∈ (0， π)，∴ A ＝ ，故选 C.答案 C43.解析 由余弦定理 a 2＝b 2＋ c 2－ 2bccos A ，得 4＝ b 2＋12－ 2×b ×2 3× 23，即 b 2－ 6b ＋ 8＝0，∴ b ＝ 4 或 b ＝ 2，又 b<c ，∴ b ＝2. 答案 C tan 60 －°tan 45 ° 3，4.解析 ∵ tan 15 ＝°tan(60 －°45°)＝ 1＋ tan 60 tan ° 45＝ 2－°∴ BC ＝ 60tan 60 °－ 60tan 15 °＝ 120( 3－ 1)(m) ，故选 C. 答案 C5.解析 在△ABC 中由 cos A ＝ 4， cos C ＝ 5 ，可得 sin A ＝ 3， sin C ＝ 12，5 135 13sin B ＝sin(A ＋ C)＝ sin Acos C ＋ cos Asin C ＝ 63，由正弦定理得 b ＝ asin B ＝212165 sin A 13.答案13 6.解析 由 a ＝ c 得 sin C ＝ csin A 1 3 ＝ 1 ， π π πsin A a ＝ × 2 2 又 0＜ C ＜ ，所以 C ＝ ，B ＝ π－ (A ＋ C)＝ .sin C 3 3 6 6 π所以 b ＝ sin B ＝sin6＝ 1. 答案 1 c sin C πsin 62π 7.解析 由正弦定理得 sin ∠ B ＝ bsin ∠A6sin 3 ＝ 2，因为∠ A 为钝角，所以∠ π π a ＝3 B ＝ . 答案4 3 3 2 48.解析 由 3sin A ＝ 2sin B ，得 3a ＝ 2b ，∴ b ＝ 2a ＝ 2×2＝ 3，2 2 2 2 2 1 在 △ABC 中，由余弦定理得， c ＝a ＋ b － 2abcos C ＝ 2 ＋ 3 － 2×2×3× － 4 ＝ 16， 解得 c ＝ 4. 答案 42 AC ＝ AB ，∴ AC ＝ 6sin 45 ° 6×2 ＝ 2. 答案 29.解析 已知∠ C ＝60°，由正弦定理得 sin ∠ C ＝3。
2018年高考数学——三角函数解答1.(18北京理（15）（本小题13分）)在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．2.（18江苏16．（本小题满分14分））已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（18全国一理17．（12分））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .4.（18天津理（15）（本小题满分13分））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （I ）求角B 的大小；学科*网（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.5.（18浙江18．（本题满分14分））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．6.（18北京文（16）（本小题13分））已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.参考答案：1.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=． 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A =43，∴sin A =3． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =31143()72⨯-+⨯=33． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．2.解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．3.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=.（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.4.（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A ．因此sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=5.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.6.【解析】（Ⅰ）1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π1()sin(2)62f x x =-+. 因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3.。
C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数11.C1[2018·全国卷Ⅰ] 已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α=23,则|a-b|= ( )A .15 B .√55 C .2√55 D .111.B [解析] 假设角α为第一象限角,如图,由cos 2α=23,得 2cos 2α-1=23,即cos α=√5√6,所以cos α=√a 2+1=√5√6,解得a=√55;cos α=√b 2+4=√5√6,解得b=2√55.所以|a-b|=√55.7.C1[2018·北京卷] 在平面直角坐标系中,AB ⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图1-3),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )图1-3A .AB⏜ B .CD⏜ C .EF ⏜ D .GH⏜ 7.C [解析] 方法一:由三角函数线知,在第一象限内,同角的正切线最长,排除A ,B ;当角α的终边位于第三象限时,正切值为正,正弦、余弦值为负,排除选项D .方法二:设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x ,y ),由任意角的三角函数定义得yx <x<y ,若x<0,则由y x <x 得y>x 2,排除选项D ,由y x <y 可得y(x -1)x>0,进而得x ,y 异号,故选C .9.B14,C1[2018·江苏卷] 函数f (x )满足f (x+4)=f (x )(x ∈R),且在区间(-2,2]上,f (x )={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,则f (f (15))的值为 . 9.√22 [解析] 由f (x+4)=f (x )(x ∈R),得f (15)=f (-1+4×4)=f (-1),又-1∈(-2,0],所以f (15)=f (-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f (f (15))=f (12)=cosπ2×12=cos π4=√22.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16.C2,C5,C6[2018·江苏卷] 已知α,β为锐角,tan α=43,cos (α+β)=-√55. (1)求cos 2α的值; (2)求tan (α-β)的值.16.解:(1)因为tan α=43,tan α=sinαcosα,所以sin α=43cos α. 因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,因此cos 2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos (α+β)=-√55,所以sin (α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√55, 因此tan (α+β)=-2.因为tan α=43,所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=-247,因此,tan (α-β)=tan [2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.C3 三角函数的图象与性质6.C3[2018·全国卷Ⅲ] 函数f (x )=tanx1+tan 2x 的最小正周期是 ( )A .π4 B .π2 C .π D .2π6.C [解析] 因为f (x )=tanx1+tan 2x =12sin 2x ,所以其最小正周期为2π2=π.7.C3,C4[2018·江苏卷] 已知函数y=sin (2x+φ)-π2<φ<π2的图像关于直线x=π3对称,则φ的值为 .7.-π6 [解析] 由题意得,sin 2×π3+φ=±1,则2π3+φ=π2+k π(k ∈Z),所以φ=-π6+k π(k ∈Z),又-π2<φ<π2,故φ=-π6.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质10.C4[2018·全国卷Ⅱ] 若f (x )=cos x-sin x 在[0,a ]是减函数,则a 的最大值是 ( )A .π4B .π2C .3π4D .π10.C [解析] f (x )=cos x-sin x=√2cos (x +π4),由2k π≤x+π4≤π+2k π(k ∈Z),得函数f (x )的单调递减区间为2k π-π4,34π+2k π(k ∈Z).由f (x )在[0,3π4]上单调递减,得a 的最大值为3π4,故选C .16.C7、C4[2018·北京卷] 已知函数f (x )=sin 2x+√3sin x cos x. (1)求f (x )的最小正周期;(2)若f (x )在区间-π3,m 上的最大值为32,求m 的最小值.16.解:(1)f (x )=1-cos2x 2+√32sin 2x=√32sin 2x-12cos 2x+12=sin 2x-π6+12,所以f (x )的最小正周期为T=2π2=π. (2)由(1)知f (x )=sin 2x-π6+12.因为x ∈-π3,m ,所以2x-π6∈-5π6,2m-π6.要使f (x )在-π3,m 上的最大值为32,即sin 2x-π6在-π3,m 上的最大值为1, 只需2m-π6≥π2,即m ≥π3, 所以m 的最小值为π3. 6.C4[2018·天津卷] 将函数y=sin 2x+π5的图像向右平移π10个单位长度,所得图像对应的函数 ( )A .在区间[-π4,π4]上单调递增 B .在区间[-π4,0]上单调递减C .在区间[π4,π2]上单调递增 D .在区间[π2,π]上单调递减6.A [解析] 将函数y=sin 2x+π5的图像向右平移π10个单位长度后,得到函数y=sin 2x 的图像,该函数在区间-π4,π4上单调递增.故选A .7.C3,C4[2018·江苏卷] 已知函数y=sin (2x+φ)-π2<φ<π2的图像关于直线x=π3对称,则φ的值为 .7.-π6 [解析] 由题意得,sin 2×π3+φ=±1,则2π3+φ=π2+k π(k ∈Z),所以φ=-π6+k π(k ∈Z),又-π2<φ<π2,故φ=-π6.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切16.C5、C6、C8[2018·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b sin A=a cos B-π6.(1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin (2A-B )的值.16.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理知asinA =bsinB ,可得b sin A=a sin B ,又b sin A=a cos B-π6,所以a sin B=a cos B-π6,即sin B=cos B-π6,可得tan B=√3. 又因为B ∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故b=√7. 由b sin A=a cos B-π6,可得sin A=√3√7.因为a<c ,故cos A=√7.因此sin 2A=2sin A cos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17. 所以sin (2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√37×12-17×√32=3√314. 18.C5,C7,C9[2018·浙江卷] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin (α+π)的值;(2)若角β满足sin (α+β)=513,求cos β的值.18.解: (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sin α=-45, 所以sin (α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cos α=-35, 由sin (α+β)=513得cos (α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cos β=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α, 所以cos β=-5665或cos β=1665.16.C2,C5,C6[2018·江苏卷] 已知α,β为锐角,tan α=43,cos (α+β)=-√55. (1)求cos 2α的值; (2)求tan (α-β)的值.16.解:(1)因为tan α=43,tan α=sinαcosα,所以sin α=43cos α. 因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,因此cos 2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos (α+β)=-√55,所以sin (α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√55, 因此tan (α+β)=-2.因为tan α=43,所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=-247,因此,tan (α-β)=tan [2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.C6 二倍角公式4.C6[2018·全国卷Ⅲ] 若sin α=13,则cos 2α= ( ) A .89 B .79 C .-79 D .-89 4.B [解析] cos 2α=1-2sin 2α=79.16.C5、C6、C8[2018·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b sin A=a cos B-π6.(1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin (2A-B )的值. 16.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理知a sinA =bsinB,可得b sin A=a sin B , 又b sin A=a cos B-π6,所以a sin B=a cos B-π6,即sin B=cos B-π6,可得tan B=√3.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故b=√7.由b sin A=a cos B-π6,可得sin A=√3√7.因为a<c ,故cos A=7.因此sin 2A=2sin A cos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17. 所以sin (2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√37×12-17×√32=3√314. 16.C2,C5,C6[2018·江苏卷] 已知α,β为锐角,tan α=43,cos (α+β)=-√55. (1)求cos 2α的值; (2)求tan (α-β)的值.16.解:(1)因为tan α=43,tan α=sinαcosα,所以sin α=43cos α. 因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,因此cos 2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos (α+β)=-√55,所以sin (α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√55, 因此tan (α+β)=-2.因为tan α=43,所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=-247,因此,tan (α-β)=tan [2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.C7 三角函数的求值、化简与证明15.C7[2018·全国卷Ⅱ] 已知tan (α-5π4)=15,则tan α= . 15.32 [解析] tan α=tan [(α-5π4)+5π4]=tan(α-5π4)+tan 5π41-tan(α-5π4)tan5π4=15+11-15×1=32.16.C7、C4[2018·北京卷] 已知函数f (x )=sin 2x+√3sin x cos x. (1)求f (x )的最小正周期;(2)若f (x )在区间-π3,m 上的最大值为32,求m 的最小值.16.解:(1)f (x )=1-cos2x 2+√32sin 2x=√32sin 2x-12cos 2x+12=sin 2x-π6+12,所以f (x )的最小正周期为T=2π2=π. (2)由(1)知f (x )=sin 2x-π6+12.因为x ∈-π3,m ,所以2x-π6∈-5π6,2m-π6.要使f (x )在-π3,m 上的最大值为32,即sin 2x-π6在-π3,m 上的最大值为1, 只需2m-π6≥π2,即m ≥π3, 所以m 的最小值为π3.18.C5,C7,C9[2018·浙江卷] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin (α+π)的值;(2)若角β满足sin (α+β)=513,求cos β的值.18.解: (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sin α=-45,所以sin (α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cos α=-35, 由sin (α+β)=513得cos (α+β)=±1213. 由β=(α+β)-α得cos β=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α,所以cos β=-5665或cos β=1665.C8 解三角形16.C8[2018·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知b sin C+c sin B=4a sin B sin C ,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 . 16.2√33[解析] 由b 2+c 2-a 2=8 得2bc cos A=8,可知A 为锐角,且bc cos A=4.由已知及正弦定理得sin B sin C+sin C sin B=4sin A sin B sin C ,因为sin B ≠0,sin C ≠0,所以可得sin A=12,所以A=30°,所以bc cos 30°=4,即bc=8√33,所以△ABC 的面积S=12bc sin A=12×8√33×12=2√33. 11.C8[2018·全国卷Ⅲ] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( )A .π2B .π3C .π4D .π611.C [解析] 由三角形的面积公式可得,a 2+b 2-c 24=12ab sin C ,由余弦定理得a 2+b 2-c 22ab=cos C ,所以cos C=sin C ,又C ∈(0,π),所以C=π4.14.C8[2018·北京卷] 若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ;ca的取值范围是 .14.60° (2,+∞) [解析] 由正弦定理得S △ABC =12ac sin B=√34(a 2+c 2-b 2),即sin B=√3cos B ,∵∠B为三角形的内角,∴∠B=π3.由正弦定理得c a=sinC sinA=sin(2π3-A)sinA=√32·1tanA +12,又∵∠C 为钝角,∴π3+A<π2,即A<π6,∴0<tan A<√33,∴ca>2.16.C5、C6、C8[2018·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b sin A= a cos B-π6.(1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin (2A-B )的值.16.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理知asinA =bsinB ,可得b sin A=a sin B ,又b sin A=a cos B-π6,所以a sin B=a cos B-π6,即sin B=cos B-π6,可得tan B=√3.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B=7,故b=√7. 由b sin A=a cos B-π6,可得sin A=√3√7.因为a<c ,故cos A=√7.因此sin 2A=2sin A cos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17. 所以sin (2A-B )=sin 2A cos B-cos 2A sin B=4√37×12-17×√32=3√314. 13.C8,E6[2018·江苏卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD=1,则4a+c 的最小值为 .13.9 [解析] 方法一:由∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,得∠ABD=∠CBD=60°.由S△ABC=S △BAD +S △BCD ,得12ac sin 120°=12a ·BD ·sin 60°+12c ·BD ·sin 60°,又BD=1,所以ac=a+c ,则1a +1c =1.而a>0,c>0,所以4a+c=(4a+c )1a +1c=4+4a c +c a +1≥5+2√4a c ·c a =9当且仅当4a c =ca ,即c=2a 时,取等号.因此4a+c 的最小值为9.方法二:以B 为坐标原点,BD 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则D (1,0),A c 2,√3c 2,Ca 2,-√3a2,故AD⃗⃗⃗⃗⃗ =1-c2,-√3c2,DC⃗⃗⃗⃗⃗ =a2-1,-√3a 2,又AD⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以1-c2-√3a2=a 2-1-√3c2,整理得ac=a+c ,以下同方法一.13.C8[2018·浙江卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a=√7,b=2,A=60°,则 sin B= ,c= . 13.√2173 [解析] 由正弦定理a sinA =bsinB ,得sin B=√3√7=√217.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得c 2-2c-3=0,则c=3.C9 单元综合8.C9[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=2cos 2x-sin 2x+2,则 ( ) A .f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B .f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C .f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D .f (x )的最小正周期为2π,最大值为4 8.B [解析] 由题知,f (x )=1+cos 2x-1-cos2x2+2=32cos 2x+52,所以f (x )的最小正周期为2π2=π,当cos2x=1时,f (x )取得最大值4,故选B .7.C9[2018·全国卷Ⅱ] 在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB= ( ) A .4√2 B .√30 C .√29D .2√57.A [解析] 由已知得cos C=2cos 2C2-1=2×(√55)2-1=-35,由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC×BC×cos C=25+1-2×5×1×(-35)=32,所以AB=4√2,故选A .18.C5,C7,C9[2018·浙江卷] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45).(1)求sin (α+π)的值;(2)若角β满足sin (α+β)=513,求cos β的值.18.解: (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sin α=-45,所以sin (α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cos α=-35, 由sin (α+β)=513得cos (α+β)=±1213. 由β=(α+β)-α得cos β=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α,所以cos β=-5665或cos β=1665. 17.C9,B12[2018·江苏卷] 某农场有一块农田,如图1-5所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ,要求A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.图1-517.解:(1)连接PO 并延长交MN 于H ,则PH ⊥MN ,所以OH=10.过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE=θ,故OE=40cos θ,EC=40sin θ,则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10)=800(4sin θcos θ+cos θ),△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40-40sin θ)=1600(cos θ-sin θcos θ).过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sin θ0=14,θ0∈0,π6.当θ∈θ0,π2时,才能作出满足条件的矩形ABCD ,所以sin θ的取值范围是14,1.答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP 的面积为1600(cos θ-sin θcos θ)平方米,sin θ的取值范围是14,1.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈θ0,π2.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈θ0,π2,则f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).令f'(θ)=0,得θ=π6.当θ∈θ0,π6时,f'(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈π6,π2时,f'(θ)<0,所以f(θ)为减函数.因此,当θ=π6时,f(θ)取到最大值.答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.3.[2018·安阳一模]若1+cosαsinα=3,则cosα-2sinα=()A.-1B.1C.-25D.-1或-253.C[解析]由已知得3sinα=1+cosα>0,则cosα=3sinα-1,则cos2α=1-sin2α=(3sin α-1)2,得sinα=35,所以cosα-2sinα=3sinα-1-2sinα=sinα-1=-25,故选C.8.[2018·榆林模拟]设α∈(0,π2),若cos(α+π6)=-45,则sinα=()A.3-4√310B.3+4√310C.3√3-410D.3√3+4108.D[解析]因为0<α<π2,cos(α+π6)=-45,所以sin(α+π6)=35,所以sinα=sin[(α+π6)-π6]=sin(α+π6)cos π6-cos (α+π6)sin π6=3√3+410,故选D . 6.[2018·邯郸质检] 将函数f (x )=cos 12x 的图像向右平移π个单位可以得到函数g (x )的图像,则g (π3)= ( )A .√32B .12C .-√32D .-126.B [解析] 由题意得g (x )=cos 12(x-π)=cos (π2-x 2)=sin x 2,所以g (π3)=sin π6=12.故选B . 5.[2018·重庆九校联考] 已知a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,若a sin B=√3b cos A ,则当b+c=4时,△ABC 面积的最大值为( )A .√33B .√32C .√3D .2√35.C [解析] 由a sin B=√3b cos A 及正弦定理得,sin A sin B=√3sin B cos A ,因为sin B ≠0,所以tan A=√3,即A=π3,所以△ABC 的面积S △ABC =12bc sin A=√34bc ≤√34(b+c 2)2=√3,当且仅当b=c=2时取等号,故选C .13.[2018·福州期末] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且√3c √3a =cosC cosA . (1)求A ;(2)若B=π6,BC 边上的中线AM=√7,求△ABC 的面积.13.解:(1)由√3c √3a =cosC cosA 及正弦定理得,√3sinC √3sinA =cosC cosA ,解得cos A=√32,所以A=π6. (2)因为B=π6,所以C=π-A-B=2π3,易知△ABC 为等腰三角形,且a=b.在△AMC 中,由余弦定理得,AM 2=AC 2+MC 2-2AC ·MC cos C ,即7=b 2+(b 2)2-2·b ·b 2·(-12),解得b=2,则△ABC 的面积S=12b 2sin C=√3.。
