数的整除复习PPT

第5讲数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。

这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。

数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。

例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。

因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。

这个七位数是4735800。

例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。

按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。

例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。

能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。

10、数的整除复习第一章数的整除复习一、知识梳理（一）整数和整除：整除的条件：1、除数、被除数都是_______.2、被除数除以除数，商是_____，而且余数为_____.除尽的条件：1、除数、被除数不一定是____.2、被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且____为零.(二) 整数和整除的意义整数a 能整除整数b ，b 叫做a 的______,a 叫做b 的_______.(三) 能被2、5整除的数1.能被2整除的数的特征：个位上是____________的数.2.能被5整除的数的特征：个位上是_______的数.3.能被3整除的数的特征：各个位上数的___能被____整除，这个数就能被3整除.(四) 素数、合数与分解素因数1、素数：______________________________________________.2、合数：_______________________________________________.3、一个数的因数的个数是_____的，最小的因数是_____，最大的约数是_____.4、一个数的倍数的个数是_____的，最小的倍数是_____，没有最大的倍数.5、“1”即不是_____，也不是_____.(五)公因数和最大公因数1、若两数互素，那么它们的最大公因数就是_________.2、若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是____________.(六)公倍数和最小公倍数1、若两数互素，那么它们的最小公倍数就是_____________.2、若两数是倍数关系，那么它们的最小公倍数就是_________.二、课前热身1、在下列数中，-10，2，0，-77，8.3，21,100，21 自然数有_______________，整数有_____________.2、如果27÷3=9，那么________能被_______整除，_______是_______因数。

数的整除复习一．知识梳理1、整数：“零”既不是正整数，也不是负整数 2、整除：整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

3、因数和倍数：归纳：一个数的因数是有限的。

一个数的倍数的个数是无限的。

一个数的因数通常是成对出现的。

最小的因数是1，最大的因数是它本身。

最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

4、区别除尽和整除：除尽：最后结果是一个有限数；整除：最后结果是一个整数。

5、偶数与奇数如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。

如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。

整数的分类⎩⎨⎧偶数奇数 整数正整数 零 负整数 自然数 条件： 除数、被除数都是整数 被除数除以除数，商是整数而且余数为零一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身定义：整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 因数（也称为约数） 一个整数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身 因数倍数6、能被2、3、5整除的数的特征：7、素数、合数：我们把只含有因数1如果除了1分解素因数的方法：8、公因数与最大公因数如果两个整数只有公因数19、公倍数和最小公倍数：例题解析例1、填空题（1）有一个直角三角形，两条直角边是两个质数，长度和是18分米，这个三角形的面积是( )平方分米。

（2）一堆苹果，已知比50个多，比70个少，把它们可以平均分成两堆，也可以平均分成三堆，还可以平均分成五堆，这堆苹果有（）个（3）六年级同学站队，每排5人多2人，每排6人多3人，每排7人则差2人，六年级学生人数不超过150人，那么他们应是( )人。

（4）某长途汽车站向北线每20分钟发一辆汽车，向南线每15分钟发一辆汽车，如果同时向两线发车，至少要经过( )分钟又同时发车。

巩固练习：（1）一盒铅笔可以平均分给2、3、5、6个小朋友，这盒铅笔最少有（）人。

（2）一筐梨，按每份2个梨分多1个，每份3个多2个，每份5个多4个，筐里至少有（）个梨。

第4讲 数的整除单元复习【学习目标】数的整除是建立在整数的四则运算的基础上的，通过本章的学习，学生需要理解整除的意义，理清因数与倍数、奇数与偶数、素数与合数、公因数与公倍数的概念，掌握求最大公因数和最小公倍数的算理和方法，难点是利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题．目的在于，通过丰富的实例，体验数学与日常生活的密切联系，感受如何运用数学的思维方式去观察、分析并解决生活中的问题，从而增强应用数学的意识，体会数学与生活的联系，了解数学的价值，增进对数学的理解．【基础知识】1.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数； 2.整除：整数a 除以整数b ，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a 能被b 整除；或b 能整除a. 整除的条件：..⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零 整除与除尽的关系.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫a 的因数（约数）.因数与倍数的特征：⎧⎪⎨⎪⎩因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.⎧⎨⎩偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，， 能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除5.111.⎧⎪⎨⎪⎩：只有因数；正整数素数：只有和两个因数；合数：除了和以外还有别的因一个它本身它数本身6. ⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎩素因数：每个合数都可写成的形式，其中每个素数 都是这个合数的，叫这个合数合几个素数积因数式的素因数；数分解素因数分解素因数：把一个合数用表示.方法：短除法；树枝分解法；口算法素因数相乘的；机算法.形7. ⎧⎪→→⎨⎪⎩公有的因数最大的 定义:几个数，叫这几个数的公因数；其中公因数最大公因数叫这几个数的最大公因数；求法：枚举法；分解素因数法；短除. 一个法8. 1⎧⎨⎩公因数1不一互素：指两个整数只有.这两个整数是素数.区别素数：只有和它本身因数；定两个9. 1.⎧⎪⎪⎪⎪⎪→→→→⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义：几个整数的，叫它们的公倍数；其中叫它们的最小公倍数；公倍数最小公倍数一般方法：倍数公倍数最小公倍数；2.分解素因数法；最小公倍数的求法 3.短除法.4.特殊情况：两个数互素；两个连续的公有的倍数最小的 个正整数. 一 10.重要结论：1.a b ab a b a b ⎧⎨⎩若是的因数，则它们的最大公因数为，最小公倍数为；若与互素，则它们的最大公因数为，最小公倍数为 【考点剖析】考点一：整数和整除的意义例1．（浦东南片十六校2020期末1）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A. 5和20；B. 7和2；C. 34和17；D. 1.2和3.【答案】C ；【解析】解：A 、20能被5整除，故A 不符合题意；B 、没有整除关系，故B 不符合题意；C 、34能被17整除，故C 符合题意；D 、1.2不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.例2．（2019上南中学10月考2）在数18，-24，0，2.5，34，2005，3.14，-10中，整数有（ ） A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个.【答案】D ；【解析】解：在上述数中，其中整数有18，-24，0，2005，-10共5个，故答案选D.考点二：因数与倍数例1．（2019晋元附校测试2）14的因数有__________.【答案】1、2、7、14；【解析】解：14的因数有1、2、7、14.例2．（2019浦东上南东10月考17）如果用[]a 表示a 的全部因数的和，如[]1263216=+++=，那么[][]=-818________【答案】24；【解析】解：因为[]a 表示a 的全部因数的和，故[18]=1+2+3+6+9+18=39，[8]=1+2+4+8=15，所以[18]-[8]=39-15=24.考点三：：能被2，5整除的数例1．（奉贤2019期中10）正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是 .【答案】90；【解析】解：正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是90.例2．（青教院附中2019期中18）如图，用灰白色正方形瓷砖铺设地面，则第n 个图案中白色瓷砖数为 块.【答案】32n +;【解析】解：第1个图案中白色瓷砖数为3+2块，第2个图案中白色瓷砖数为32+2⨯块，第3个图案中白色瓷砖数为33+2⨯块，…，第n 个图案中 白色瓷砖数为3n+2块.考点四：素数、合数与分解素因数例1．（2019建平西校10月考3）下列说法正确的是（ ）A.奇数都是素数;B.素数都是奇数；C.合数不都是偶数;D.偶数都是合数.【答案】C ；【解析】解：A 、奇数不一定是素数，如9等，故A 错误；B 、素数不一定是奇数，如2，故B 错误；C 、合数不都是偶数，正确；D 、偶数不一定是合数，如2，故D 错误；因此答案选C.例2．（2019徐教院附中10月考7）最小的素数是_____，最小的合数是____.【答案】2, 4;【解析】解：最小的素数为2，最小的合数为4.例3．（闵行区2020期末7）把18分解素因数，那么18= .【答案】233⨯⨯；【解析】解：把18分解素因数为18=233⨯⨯.考点五：公因数与最大公因数例1．（嘉定区2020期末1）3和24的最大公因数是_________.【答案】3；【解析】解：3和24的最大公因数是3.例2．（2019浦东四署10月考12）甲数=2×2×3，乙数=2×3×3×5，甲数与乙数的最大公因数是 .【答案】6;【解析】解：因为甲数=2×2×3，乙数=2×3×3×5，所以甲数与乙数的最大公因数为：2×3=6.考点六：公倍数与最小公倍数例1．（奉贤2019期中9）如果A=2×3×7，B=3×5×7，那么A 和B 的最小公倍数是 .【答案】210；【解析】解：因为A=2×3×7，B=3×5×7，那么A 和B 的最小公倍数是3×7×2×5=210.例2． （2019徐教院附中10月考16）已知532⨯⨯=A 、732⨯⨯=B ，则B A 、的最小公倍数是____，最大公因数是_____.【答案】210, 6;【解析】解：因为235A =⨯⨯、237B =⨯⨯，则A 、B A 、的最小公倍数是2×3×5×7=210，最大公因数是2×3=6.例3．（2019建平西校10月考26）一筐苹果80多个，每次拿4个，每次拿5个,都恰好多1个，这筐苹果共有多少个?【答案】81；【解析】解：设这筐苹果拿掉一个后，总数能4和5整除，故是20的倍数，根据题意总数为80+1=81个.【真题演练】一、选择题1.（2019闵行实验西校10月考1）下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）A ．14和7； B.2.5和5； C.9和18； D.0.4和8.【答案】C;【解析】解：A 、14能被7整除，不符合题意；B 、2.5不是整数，不符合题意；C 、9能整除18，符合题意，故C 正确；D 、0.4不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.2.（2019上南中学10月考1）下列关于“1”的叙述不正确的是（ ）A.1是最小的自然数；B.1既不是素数，也不是合数；C.1是奇数；D.1能整除任何一个正整数.【答案】A ；【解析】解：A 、最小的自然数为0，故A 错误；B 、1既不是素数，也不是合数，故B 正确；C 、1是奇数，故C 正确；D 、1能整除任何一个正整数，故D 正确；因此答案选A.3.（浦东南片2019期中2）36的全部因数的个数有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D ；【解析】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，一共9个；因此答案选D.4.（川沙中学南校2019期末1）把66分解素因数是（ ）A.6612311=⨯⨯⨯；B. 66611=⨯；C. 662311=⨯⨯；D. 231166⨯⨯=.【答案】C ；【解析】解：把66分解素因数是：662311=⨯⨯，故答案选C.5. （奉贤2019期中4）下列说法正确的是（ ）①14能被42整除；②正整数一定是自然数；③12的因数有1、2、3、4、6、12共6个；④如果两个数互素，那么这两个数不能是合数.A.1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个.【答案】B ；【解析】解：14能整除42，故①错误；正整数一定是自然数，故②正确；12的因数有1、2、3、4、6、12共6个，故③正确；如果两个数互素，那么这两个数可以是合数，如15与16互素，但15与16均是合数，故④错误；因此正确的命题个数为2个；故答案选B.6.（2019大同初中10月考1）下列关于1的描述中，错误的是（ ）(A)1既不是素数，也不是合数 (B)1是最小的正整数(C)1除以任何数等于这个数本身 (D)任何一个奇数加上1都是偶数【答案】C ；【解析】解：1既不是素数，也不是合数，故A 正确；1是最小的正整数，故B 正确；1除以任何数等于这个数本身，错误, 故C 符合题意；任何一个奇数加上1都是偶数，故D 正确；因此答案选C.7.（闵行区2020期末1）整数16与24的最大公因数是（ ）A. 2；B. 4；C. 8；D.48.【答案】C ；【解析】解：因为162222,242223=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以它们的最大公因数为2×2×2=8.8.（2019徐教院附中10月考5）b a 、都是正整数，如果b a 3=，那么b a 、的最小公倍数是（ ）、A ab 3 、B a 、C b 、D ab 【答案】B;【解析】解：因为a=3b ，故a 、b 的最小公倍数为a ，因此答案选B.9. （川沙中学南校2019期末6）如果n 表示一个大于1的整数，那么下列四个选项中，一定表示合数的是（ ）A.n+2；B.n-2；C.2n ；D.2n . 【答案】C ；【解析】解：因为n 表示一个大于1的整数，故2n 表示大于2的偶数，故2n 一定是合数，故答案选C.二、填空题10.(2019南模初中10月考1) 最小的自然数是 .【答案】0；【解析】解：最小的自然数为0.11.（2019大同初中10月考7）4.8÷3＝1.6， 填“能”或“不能”)说3能整除4.8【答案】不能；【解析】解：因为4.8，1.6都是小数，不是整数，故不能说3能整除4.8.12.（2019晋元附校测试10）有一个数，它既是a 的倍数，又是a 的因数，这个数是__________.【答案】a ；【解析】解：既是a 的倍数，又是a 的因数，则这个数就是它本身a.13.（2019松江九亭10月考1）写出既能被2整除又能被5整除的最小的两位__________.【答案】10；【解析】解：既能被2整除又能被5整除的数，个位数为0，因此最小的两位数为10.14.（2019中国中学10月考6）三位数75□能同时被2、3整除，那么□可以是 。