高考数学二轮冲刺小练_2

小题强化练(二)一、单项选择题1．设集合M ＝{x |x 2－x ≥0}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x <0}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |x ≤0或1≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}2．复数i 51－i 的虚部是( )A.12B.i 2 C ．－12D ．－i 23．∃x ≥0，使2x ＋x －a ≤0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]4．设向量a ，b 满足a ＋b ＝(3，1)，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A ．2 B. 6 C ．2 2D.105．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A.154 B ．－154C.38D ．－386．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x的焦点，抛物线C 的准线与双曲线Г：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则Γ的离心率e ＝( )A.32B.233C.217D.2137．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ≤π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，且f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递减，则ω＝( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知点P 在圆x 2＋y 2＝4上，A (－2，0)，B (2，0)，M 为BP 中点，则sin ∠BAM 的最大值为( )A.12B.13C.1010D.14二、多项选择题9．(2020·山东省实验中学高三第二次诊断考试)关于平面向量a ，b ，c ，下列说法中不正确的是( )A ．若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥cB ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·cC ．若a·b ＝a·c ，且a ≠0，则b ＝cD ．(a·b )·c ＝a·(b·c )10．某电视台主办的歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数为甲：81，84，m ，70，85，85，85；乙：93，84，79，86，84，84，87(其中m 为数字90～99中的一个)．则下列结论不正确的是( )A ．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等B ．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高C ．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低D ．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高11.如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的是( )A ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB ．∠APD 1的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2C ．三棱锥B 1­D 1PC 的体积为定值 D ．DC 1⊥D 1P12．若定义域为(0，＋∞)的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋1＞0，且f (1)＝1，则下列结论中不成立的是( )A ．f (e)＞1B ．f ⎝⎛⎭⎫1e ＜0C ．∀x ∈(1，e)，f (x )＞0D ．∃x ∈(1，e)，f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2＜0 三、填空题13．已知如表所示的数据的回归直线方程为y ^＝4x ＋242，则实数a ＝________．x2345614.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln （x ＋1），x ≥0，则不等式f (x )<1的解集为______．15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝12，则S 5＝______．16．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的左、右焦点，点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q 在椭圆上，则长轴长为________；若P 是椭圆上的一点，且|PF 1|·|PF 2|＝43，则S △F 1PF 2＝________．小题强化练(二)1．解析：选C.由x 2－x ≥0，解得x ≥1或x ≤0，所以集合M ＝{x |x ≥1或x ≤0}．因为N ＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝{x |x ≤0或1≤x <2}，故选C.2．解析：选A.由i 51－i ＝i 1－i ＝i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i 2＝－12＋12i ，可知复数的虚部为12，故选A.3．解析：选B.因为∃x ≥0，使2x ＋x －a ≤0，所以a ≥2x ＋x ，易知f (x )＝2x ＋x 在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝1，所以a ≥1，故选B.4．解析：选B.因为a ＋b ＝(3，1)，所以|a ＋b |＝32＋1＝10，所以|a －b |2＝|a ＋b |2－4a ·b ＝10－4×1＝6，所以|a －b |＝6，故选B.5．解析：选D.由二项式定理可得⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的通项为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r6⎝⎛⎭⎫126－r (－2)r x 3－r (r ＝0，1，2，3，…，6)，令3－r ＝2，则r ＝1，所以x 2的系数为C 16⎝⎛⎭⎫126－1×(－2)1＝－38，故选D. 6．解析：选D.由题意可得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线为直线x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .设点A 在第二象限，由等边三角形的性质可知A ⎝⎛⎭⎫－1，233.又因为点A 在双曲线的渐近线y ＝－b a x 上，所以渐近线方程为y ＝－233x ，所以b a ＝233，则e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝213. 7．解析：选C.由函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递减，可知π6ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ①，且在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递减，则函数f (x )的最小正周期T ≥2×π3②，⎣⎡⎦⎤φ，π3ω＋φ⊆⎣⎡⎦⎤2k 2π＋π2，2k 2π＋3π2，k 2∈Z ③，由③可得⎩⎨⎧φ≥2k 2π＋π2，π3ω＋φ≤2k 2π＋3π2，其中k 2∈Z .④因为0<φ≤π2，所以φ＝π2，由①②④及φ＝π2，ω>0可得⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＋π2＝k 1π，2πω≥2×π3，π3ω＋π2≤2k 2π＋3π2，k 1，k 2∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＝6k 1－3，0<ω≤3，k 1，k 2∈Z ，ω≤6k 2＋3，解得ω＝3.故选C.8.解析：选B.设点M 的坐标为(x ，y )，则P (2x －2，2y )，将点P 的坐标代入圆的方程可得点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1，如图所示，当AM 与圆K 相切时，sin ∠BAM 取得最大值，此时sin ∠BAM ＝|MK ||AK |＝13. 9．ACD10．解析：选ABC.由题意知，甲选手的平均分为x 甲＝17×(70＋81＋85＋85＋85＋84＋m )＝70＋m7，m ∈[90，99]，且m ∈Z ；乙选手的平均分为x 乙＝17×(79＋84＋84＋84＋86＋87＋93)＝8527，令70＋m 7＝8527，解得m ＝107，这与m 的取值范围不符，所以A ，B 选项错误；对于C ，甲选手得分的中位数是85，乙选手得分的中位数为84，甲的中位数比乙的中位数高，C 错误；对于D ，甲选手得分的众数是85，乙选手得分的众数是84，甲的众数高于乙的众数，D 正确．11．解析：选ACD.在A 中，因为A 1D 1⊥平面A 1AP ，A 1D 1⊂平面D 1A 1P ，所以平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故A 正确；对B 中，当P 与A 1重合时，∠APD 1＝π2，故B 错误；在C 中，因为△B 1D 1C 的面积是定值，A 1B ∥平面B 1D 1C ，所以点P 到平面B 1D 1C 的距离是定值，所以三棱锥B 1­D 1PC 的体积为定值，故C 正确；在D 中，因为DC 1⊥D 1C ，DC 1⊥BC ，D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥D 1P ，故D 正确．12．解析：选ABD.根据题意，若定义域为(0，＋∞)的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋1＞0，则有f ′(x )＋1x ＞0，则有(f (x )＋ln x )′＞0，设g (x )＝f (x )＋ln x ，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x ＞0，则g (x )在(0，＋∞)上为增函数，依次分析选项：对于A ，e ＞1，则g (e)＞g (1)，即f (e)＋ln e ＞1，则有f (e)＞0，不能得到f (e)＞1，A 不成立；对于B ，1e ＜1，则g ⎝⎛⎭⎫1e ＜g (1)，即f ⎝⎛⎭⎫1e ＋ln 1e ＝f ⎝⎛⎭⎫1e －1＜1，即有f ⎝⎛⎭⎫1e ＜2，f ⎝⎛⎭⎫1e ＜0不一定成立，故B 不成立；对于C ，g (x )在(1，e)上为增函数，且g (1)＝1，则有f (x )＋ln x ＞1，则f (x )＞1－ln x ，又当1＜x ＜e 时，0＜ln x ＜1，则f (x )＞0，符合题意；对于D ，当x ∈(1，e)时，有x ＞1x ＞1e ＞0，此时有g (x )＞g ⎝⎛⎭⎫1x ，即f (x )＋ln x ＞f ⎝⎛⎭⎫1x ＋ln ⎝⎛⎭⎫1x ，变形可得f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2ln x ＞0，又当1＜x ＜e 时，0＜ln x ＜1，则f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2＞0恒成立，不符合题意．故选ABD.13．解析：回归直线y ^＝4x ＋242必过样本点的中心(x ，y )，而x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y＝251＋254＋257＋a ＋2665＝1 028＋a 5，所以1 028＋a5＝4×4＋242，解得a ＝262.答案：26214．解析：当x <0时，f (x )＝x 2<1，解得－1<x <0；当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)<1，解得0≤x <e －1，综上，不等式f (x )<1的解集为(－1，e －1)．答案：(－1，e －1)15．解析：法一：由题意可知S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )，整理可得S n ＋1－2＝12(S n －2)．因为S 1－2＝－1，所以数列{S n －2}是以－1为首项，12为公比的等比数列，故S 5－2＝(－1)×⎝⎛⎭⎫124＝－116，所以S 5＝3116. 法二：根据S n ＝2－2a n ＋1，所以a 1＝S 1＝2－2a 2＝1.当n ≥2时，由S n ＝2－2a n ＋1①，得S n－1＝2－2a n ②，①－②可得a n ＝－2a n ＋1＋2a n ，所以a n ＝2a n ＋1，即a n ＋1＝12a n .因为a 2＝12a 1，所以数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以S 5＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 答案：311616．解析：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，知c ＝a 2－1，所以F 2(a 2－1，0)，点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q (0，a 2－1)，由题意可得a 2－1＝1，即a ＝2，则长轴长为2 2.所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|·|PF 2|＝43，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝8－83－483＝12， 所以sin ∠F 1PF 2＝32，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×43×32＝33. 答案：22 33。

高考小题集训(二)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2021·全国乙卷理]设2(z ＋z )＋3(z －z )＝4＋6i ，则z ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．1＋i D ．1－i2．[2021·湖南长郡十五校联考]已知集合P ＝{x |x 2－5x －6≤0}，Q ＝{x |3x ≥1}，则P ∩Q ＝( )A ．{x |－1≤x ≤0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |0≤x ≤6}D ．{x |－6≤x ≤0}3．已知抛物线x 2＝2py (p >0)上一点M (m ，1)到焦点的距离为32，则其焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫0，14 4．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为( )A ．12－50 B. 17－50 C. 21－00 D. 35－00 5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是棱A 1B 1上任意一点，四棱锥S －ABCD 的体积与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．不确定6．高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N (50，100)；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N (60，16)，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是( )A ．①②B ．②①C ．①①D ．②②7．[2021·河北衡水中学调研]已知函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝log 15 13，c ＝215 ，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (a )＞f (b )8．[2021·山东烟台二模]已知函数f (x )是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|，0＜x ≤2f （x －2）－1，x ＞2 ，则方程f (x )＋18 x 2＝2根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某鱼业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，则下列说法正确的是( )A ．m ＝250B ．鱼苗体长在[90，100)上的频率为0.16C ．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90)内D ．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80，90)上的次数的期望为3010．[2021·广东珠海一模]已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，下列说法正确的是( )A ．三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积是932B ．三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积是18C ．直线AB 1与直线A 1C 1所成角的余弦值是31326D ．点A 到平面A 1BC 的距离是13211．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l ：ax ＋by －r 2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2，点A (a ，b )，则下列说法正确的是( )A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 12．[2021·河北秦皇岛二模]已知()2－3x 6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则下列选项正确的是( )A ．a 3＝－360B ．(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝1C ．a 1＋a 2＋…＋a 6＝(2－3 )6D ．展开式中系数最大的为a 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.14．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a (x ＋1)－2x ，则f (f (3))＝________．15．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，若AD → ·AB → ＝AD → ·AC →，则AD → ·AB →的值为________．16．[2021·全国甲卷文]已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝________．1．解析：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z ＝a －b i ，代入2（z ＋z ）＋3（z －z ）＝4＋6i ，可得4a ＋6b i ＝4＋6i ，所以a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.故选C.答案：C2．解析：集合P ＝{x |x 2－5x －6≤0}＝{x |－1≤x ≤6}， Q ＝{x |3x ≥1}＝{x |x ≥0}， ∴P ∩Q ＝{x |0≤x ≤6}． 故选C. 答案：C3．解析：∵抛物线x 2＝2py （p >0）上一点M （m ，1）到焦点的距离为32，∴由抛物线的定义知y M ＋p 2 ＝32 ，即1＋p 2 ＝32 ，所以p ＝1，所以p 2 ＝12 ，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12 . 故选A. 答案：A4．解析：设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则12 α×22＝76 π，解得α＝712π，由题意可得n 6 000 ＝712π2π ，解得n ＝724×6 000＝1 750，因此，该扇形圆心角用密位制表示为17－50. 故选B. 答案：B5．解析：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积V ＝a 3， 易知四棱锥S －ABCD 的高为S 点到底面的距离，即侧棱长，所以四棱锥S －ABCD 体积为V ′＝13 S ABCD ·AA 1＝13 a 2·a ＝a 33，所以V ′∶V ＝13，故四棱锥S －ABCD 的体积与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积之比为13.故选B. 答案：B6．解析：对于甲，若有70分钟可走，走第一条线路赶到的概率为P （X ≤70）＝Φ⎝⎛⎭⎫70－5010 ＝Φ（2），走第二条线路赶到的概率为P （X ≤70）＝Φ⎝⎛⎭⎫70－604 ＝Φ（2.5），∵Φ（2）<Φ（2.5），所以甲应走线路②；对于乙，若有64分钟可走，走第一条线路的概率为P （X ≤64）＝Φ⎝⎛⎭⎫64－5010 ＝Φ（1.4），走第二条线路赶到的概率为P （X ≤64）＝Φ⎝⎛⎭⎫64－604 ＝Φ（1），∵Φ（1.4）>Φ（1），所以乙应走线路①.故选B. 答案：B7．解析：∵函数f （x ）＝x 2在[0，＋∞）上是增函数，b ＝log 15 13＝log 53＜a ＝log 54＜1，∴c ＝215＞20＝1，∴c ＞a ＞b ＞0，∴f （c ）＞f （a ）＞f （b ）. 故选D. 答案：D8．解析：方程f （x ）＋18 x 2＝2根的个数⇔函数y ＝f （x ）与函数y ＝－18x 2＋2的图象交点个数，图象如下：由图象可知两函数图象有6个交点．故选D. 答案：D9．解析：对于A ，因为[95，100）分组对应小矩形的高为0.01，组距为5， 所以[95，100）分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n ＝1 000×0.05＝50， 则m ＝1 000－100－100－350－150－50＝250，故选项A 正确；对于B ，鱼苗体长在[90，100）上的频率为150＋501 000＝0.2，故选项B 错误；对于C ，因为鱼的总数为1 000，100＋100＋250＝450，100＋100＋250＋350＝800， 所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90）内，故选项C 正确；对于D ，由表中的数据可知，鱼苗体长落在区间[80，90）上的概率为P ＝250＋3501 000＝0.6，设所抽取鱼苗体长落在区间[80，90）上的次数为X ， 则X 服从二项分布，即X ～B （50，0.6）， 则E （X ）＝50×0.6＝30，故选项D 正确． 故选ACD. 答案：ACD 10．解析：如图所示，三棱柱的上下底面正三角形中心分别为D 1，D ，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直， 所以其外接球的球心O 为高DD 1的中点， 设外接球半径为R ，由4πR 2＝16π得R ＝2，又因为BD ＝23 ×32×3＝3 ，故OD ＝1，所以DD 1＝2，所以三棱柱的体积V ＝34 ·32·2＝932.三棱柱的表面积S ＝3×3×2＋2×34 ×32＝18＋932.因为AC ∥A 1C 1，所以∠B 1AC 是AC 与AB 1成的角也就是A 1C 1与AB 1成的角，因为AB 1＝B 1C ＝13 ，AC ＝3，所以cos ∠B 1AC ＝B 1A 2＋AC 2－B 1C 22B 1A ·AC ＝31326，所以直线AB 1与直线A 1C 1所成角的余弦值是31326.设A 到平面A 1BC 的距离是h ，由VA －A 1BC ＝VA 1－ABC 得13 ×h ×12 ×432 ×3＝13×2×34×32，解得h ＝612943.故选AC. 答案：AC11．解析：圆心C （0，0）到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b2 ，若点A （a ，b ）在圆C 上，则a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2 ＝|r |，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点A （a ，b ）在圆C 内，则a 2＋b 2<r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2 >|r |，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点A （a ，b ）在圆C 外，则a 2＋b 2>r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2 <|r |，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点A （a ，b ）在直线l 上，则a 2＋b 2－r 2＝0即a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2＝|r |，直线l 与圆C 相切，故D 正确．故选ABD. 答案：ABD12．解析：（2－3 x ）6展开式通项公式为：T k ＋1＝C k 6 ·26－k ·（－3 x ）k ， 对于A ，令k ＝3，则a 3＝C 36 ×23×（－3 ）3＝－4803 ，A 错误； 对于B ，令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 6＝（2－3 ）6； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝（2＋3 ）6；∴（a 0＋a 2＋a 4＋a 6）2－（a 1＋a 3＋a 5）2＝（a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6）（a 0－a 1＋a 2－…＋a 6）＝[]()2－3×()2＋3 6＝1，B 正确；对于C ，令x ＝0得：a 0＝26，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝()2－3 6－26，C 错误； 对于D ，∵a 0，a 2，a 4，a 6为正数，a 1，a 3，a 5为负数，又a 0＝26＝64，a 2＝C 26 ×24×3＝720，a 4＝C 46 ×22×32＝540，a 6＝33＝27， ∴展开式中系数最大的为a 2，D 正确． 故选BD.答案：BD13．解析：因为双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1（a >0，b >0）的离心率为2，所以e ＝c 2a 2 ＝a 2＋b 2a 2 ＝2，所以b 2a2 ＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3 x .答案：y ＝±3 x14．解析：f （0）＝a －1＝0，a ＝1，当x <0时，－x >0，f （－x ）＝－x ＋1－2－x ＝－f （x ），即f （x ）＝x －1＋2－x，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－2x，x >00，x ＝0x －1＋2－x ，x <0，f （3）＝4－23＝－4，f （－4）＝－5＋24＝11，f （f （3））＝11.答案：11 15．解析：因为AD → ·AB → ＝AD → ·AC → ，所以AD → ·（AB → －AC → ）＝AD → ·CB →＝0， 所以AD ⊥CB ，由题得AD ＝2，∠BAD ＝60°，所以AD → ·AB →＝2×4×cos 60°＝4. 答案：416．解析：解法一（五点作图法） 由题图可知34 T ＝13π12 －π3 ＝3π4（T 为f （x ）的最小正周期），即T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f （x ）＝2cos （2x ＋φ）.点⎝⎛⎭⎫π3，0 可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3 ＋φ＝π2 ，得φ＝－π6，即f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6 ＝－3 . 解法二（代点法） 由题意知，34 T ＝13π12 －π3 ＝3π4 （T 为f （x ）的最小正周期），所以T ＝π，2πω＝π，即ω＝2.又点⎝⎛⎭⎫π3，0 在函数f （x ）的图象上，所以2cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ ＝0，所以2×π3 ＋φ＝π2 ＋k π（k ∈Z ），令k ＝0，则φ＝－π6，所以f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6 ＝－2cos π6＝－3 . 解法三（平移法） 由题意知，34 T ＝13π12 －π3 ＝3π4（T 为f （x ）的最小正周期），所以T ＝π，2πω＝π，即ω＝2.函数y ＝2cos 2x 的图象与x 轴的一个交点是⎝⎛⎭⎫π4，0 ，对应函数f （x ）＝2cos （2x ＋φ）的图象与x 轴的一个交点是⎝⎛⎭⎫π3，0 ，所以f （x ）＝2cos （2x ＋φ）的图象是由y ＝2cos 2x 的图象向右平移π3 －π4 ＝π12个单位长度得到的，所以f （x ）＝2cos （2x＋φ）＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6 ＝－2cos π6＝－3 . 答案：－3。

安徽省定远中学2023届高三下学期高考冲刺卷（二）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．选考科目甲应选物理、化学、历史B．选考科目甲应选化学、历史、地理C．选考科目乙应选物理、政治、历史．．．．．在△ABC 中，内角A ，B ，b ，c ，已知sin sin a B b =是BC 边的中点，且△ABC ()DB DA ⋅+=u u u r u u u r（ ）．2B ．2．－2D ．-二、多选题A．当P的坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，时，切线B．无论点(P异于点)O在什么位置，C．无论点(P异于点)O在什么位置，都满足D．无论点(P异于点)O在什么位置，都有A．三棱锥C EFG-的体积为B．1A C⊥平面EFGC．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点,,E F G作正方体的截面，所得截面的面积是()(logf x x=+三、填空题(1)求证：四边形1AA EF 为平行四边形；(2)若B 到平面1AFC 的距离为2，求直线21．已知双曲线(2222:1x y C a a b -=>66⎛⎫参考答案：熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目,G H Q 分别为11,BC B C 的中点，,E F 分别为,AB AD 的中点，且 在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC AA A ⋂=，1,AC AA ⊂平面1AC ⊂ 平面1A AC ，1EF A C ∴⊥,F G 分别是11,AD B C 的中点，,F G 分别为11,AD B C 的中点，∴故1C FE ∠为异面直线EF 与AG 所成的角或其补角，222EF AE AF =+=，1EC =易知//EF JG ，//GH FI ，/IJ 其面积为()2162sin 602S =⨯⨯⨯故选：ABD.12．ACD【分析】代入验证可判断A ，由复合函数的单调性判断可判断C ，由函数单调性建立不等式求解可判断因12AA AB AC ===，160A AC ∠=，则B 1(2,0,0),(0,3,3),(2,2,0),AB AC CB ===- (0,2,0)(2,AF AC CF AC tCB t =+=+=+-。

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高考小题标准练(二)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x ∈Z|2<2x+2≤8}，B={x ∈R|x 2-2x>0}，则A ∩(R B)所含的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解题提示】求出A 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A ，求出B 中不等式的解集，确定出B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集，即可确定出元素个数.【解析】选C.由集合A 中的不等式变形得：21<2x+2≤23，得到1<x+2≤3， 解得：-1<x ≤1，且x 为整数，所以A={0，1}；由集合B 中的不等式变形得：x(x-2)>0，解得：x>2或x<0，即B=(-∞，0)∪(2，+∞)，所以R B=[0，2]，所以A ∩(R B)={0，1}，即元素有2个.2.设i 是虚数单位，a 为实数，复数z=1+ai i为纯虚数，则z 的共轭复数为( )A.-iB.iC.2iD.-2i 【解析】选B.由于z=1+ai i=(1+ai)i i 2=−a+i −1=a-i ，由于z 为纯虚数，故a=0，所以z=-i ， 则z ̅=i.3.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先动身B.乙比甲跑的路程多C.甲，乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点【解析】选D.由图形可知甲，乙两人从同一时间动身，且路程相同，甲用的时间短，故甲比乙先到达终点.4.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试.现随机调查了24名笔试者的成果，如表所示：分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)人数234951据此估量允许参与面试的分数线大约是( )A.75B.80C.85D.90【解析】选B.由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P=100400=14，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×14=6，观看表格可知，分数在[80，85)有5人，分数在[85，90)的有1人，故面试的分数线大约为80分，故选B.5.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则a10−a12a6−a8的值为( )A.2B.4C.8D.16【解题提示】结合已知条件得到q4=4，再利用等比数列的性质即可. 【解析】选B.由于a3=2，a4a6=16，所以a4a6=a32q4=16，即q4=4，则a10−a12 a6−a8=q4(a6−a8)a6−a8=q4=4.6.当m=6，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.6B.30C.120D.360【解题提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120.【解析】选C.模拟执行程序框图，可得m=6，n=3，k=6，S=1，不满足条件k<m-n+1=4，S=6，k=5；不满足条件k<m-n+1=4，S=30，k=4；不满足条件k<m-n+1=4，S=120，k=3；满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120. 7.实数x，y满足{x≥1,y≤a,a>1,x−y≤0,若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为( )A.4B.3C.2D.32【解析】选C.画出可行域得直线y=-x+z过(a，a)点时取得最大值，即2a=4，a=2.8.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A.83B.43C.4√3D.2√3【解析】选A.结合三视图，借助正方体想象该棱锥的直观图，如图所示.该棱锥是四棱锥P-ABCD.其底面ABCD为一个底边长为2√2和2的矩形，面积S=4√2，高是P点到底面ABCD的距离，即h=√2，故此棱锥的体积V=13Sh=83.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x-3，则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x>0时的函数f(x)的解析式等于0转化成两个函数，转化为推断两函数交点个数问题，最终依据奇函数的对称性确定答案.【解析】选C.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在x>0时有一个零点，又依据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3，故选C.【加固训练】函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为( )A.0B. 1C.2D.4 【解析】选B.由于f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，由f′(x)>0，得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2.所以函数f(x)在(0，2)上是减函数，而f(0)=7>0，f(2)=-1<0，由零点存在定理可知，函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为1.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为(−b2a,−14a)，与x轴的交点P，Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0，4)和F2(0，-4)，则点(b，c)所在曲线为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.结合二次函数的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，依据题意可得Δ=b 2-4ac=1，①，二次函数图象和x轴的两个交点分别为(−b+12a,0)和(−b−12a,0)，利用射影定理即得：-(−b+12a×−b−12a)=16 1-b2=64a2，结合①先求出a和c之间的关系，代入①可得到，(b，c)所在的曲线为b2+c24=1，表示椭圆.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知a=(1，2)，b=(4，2)，设a，b的夹角为θ，则cosθ= .【解析】由平面对量的夹角公式得，cosθ==1212√x1+y1·√x2+y2=√5×√20=45.答案：45【加固训练】已知向量a=(1，√3)，b=(3，m).若向量b在a方向上的投影为3，则实数m= .【解析】依据投影的定义：|b|·cos<a，b>==3+√3m2=3；解得m=√3. 答案：√312.已知函数f(x)={x 3+1,x ≥0,x 2+2,x <0,若f(x)=1，则x= .【解析】若x ≥0则x 3+1=1，所以x=0，若x<0则x 2+2=1无解，所以x=0.答案：013.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b-c)(sin B+ sin C)=(a-√3c)·sinA ，则角B 的大小为 .【解题提示】由正弦定理化简已知等式可得c 2+a 2-b 2=√3ac ，由余弦定理可求 cos B ，结合B 的范围即可得解.【解析】由正弦定理，可得sinB=b2R，sin C=c2R，sinA=a2R， 所以由(b-c)(sin B+sin C)=(a-√3c)·sin A 可得(b- c)(b+c)=a(a-√3c)，即有c 2+a 2-b 2=√3ac ，则cos B=a 2+c 2−b 22ac=√32，由于0°<B<180°，则B=30°. 答案：30°14.已知三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球O 的表面积为 .【解析】三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，由于SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，所以BC=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，所以∠ABC=90°. 所以△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=12AC=1，所以球O 的半径R=√12+(2√32)2=2，所以球O 的表面积S=4πR 2=16π. 答案：16π15.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)，则b 的值为 . 【解题提示】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a ，b ，k 的方程，再求出在点(1，3)处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最终解方程组即可得，从而问题解决.【解析】由于直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)， 所以{k +1=3,1+a +b =3,①又由于y=x 3+ax+b ，所以y ′=3x 2+a ，当x=1时，y ′=3+a 得切线的斜率为3+a ，所以k=3+a ， ②所以由①②得：b=3. 答案：3关闭Word 文档返回原板块。

小题提速练(二) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x ≥4}，B ＝{x |－1≤2x －1≤0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(4，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 D ．(1,4]B [因为A ＝{x |x ≥4}，所以∁R A ＝{x |x ＜4}，又B ＝{x |－1≤2x －1≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，所以(∁R A )∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，故选B.] 2．复数5＋3i4－i对应的点在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 A [因为5＋3i4－i ＝＋＋－＋＝17＋17i17＝1＋i ，所以该复数对应的点为(1,1)，故选A.]3．已知命题p ：x ＋y ≥2xy ，命题q ：在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .则下列命题为真命题的是( ) A ．p B ．﹁q C ．p ∨qD ．p ∧qC [当x ，y 中至少有一个负数时，x ＋y ≥2xy 不成立，所以命题p 是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题q 是真命题．所以p ∨q 是真命题．] 4.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则下列向量与2a ＋b 平行的是( ) A ．(1，－2)B ．(1，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23 D ．(0,2)C [因为a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，所以2a ＋b ＝(3,1)，而1×2－3×23＝0，故选C.]5．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，x －2y ＋3≥0，则z ＝yx的最大值为( )【导学号：04024176】A ．3B ．2C ．1D.12B [作出不等式组表示的平面区域，如图所示，yx的几何意义是区域内(包括边界)的点P (x ，y )与原点连线的斜率，由图可知，当P 移动到点B (1,2)时，yx取得最大值2.]6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [由题知，函数f (x )的最小正周期为π，故A 不正确；令x ＝π4，求得f (x )＝22，故函数f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故排除B ；将f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，函数f (x )单调递减，故排除D.]7．执行图1中的程序框图(其中[x ]表示不超过x 的最大整数)，则输出的S 值为( )图1A ．5B ．7C ．9D ．12C [程序运行如下：(1)S ＝0＋[]0＝0，n ＝0＜5；(2)S ＝0＋[]1＝1，n ＝1＜5；(3)S ＝1＋[2]＝2，n ＝2＜5；(4)S ＝2＋[3]＝3，n ＝3＜5；(5)S ＝3＋[4]＝5，n ＝4＜5；(6)S ＝5＋[5]＝7，n ＝5；(7)S ＝7＋[6]＝9，n ＝6＞5，循环结束，故输出S ＝9.] 8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为( )【导学号：04024177】图2A.43B.52C.73D.53A [由三视图知，该几何体为一个由底面相同的三棱锥与三棱柱组成的组合体，其体积V ＝13×12×2×1×1＋12×2×1×1＝43.] 9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙丁戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.43钱C.32钱 D.53钱 B [设所成等差数列的首项为a 1，公差为d ，则依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin A sin C ＋sin 2C －sin 2A ＝12sinB sinC ，则sin A ＝( )A.14B.34C.114D.154D [由已知得b 2＝ac ，ac ＋c 2－a 2＝12bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝12bc ，所以cos A ＝14，所以sin A＝154.] 11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 的右支交于点A .若|OF |＝|OA |(O 为坐标原点)，则C 的离心率e 为( )【导学号：04024178】A. 2 B ．2 C. 5D ．5C [不妨设一条渐近线为l ：y ＝bxa，作FA ⊥l 于点B (图略)，因为|OF |＝|OA |，所以B 为线段FA 的中点．设双曲线的右焦点为F ′，连接F ′A ，因为O 为线段FF ′的中点，所以F ′A ⊥FA .易得直线FA ，F ′A 的方程分别为y ＝－a b (x ＋c )，y ＝b a(x －c )，解方程组可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 2c，－2ab c .因为该点在双曲线C 上，所以b 2－a 22a 2c 2－4a 2b 2b 2c2＝1，结合c 2＝a2＋b 2，整理得5a 2＝c 2，即5a ＝c ，所以e ＝c a＝ 5.]12．如图3所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝π2，AC ＝1，BC 边在x 轴上，有一个半径为1的圆P 沿x 轴向△ABC 滚动，并沿△ABC 的表面滚过，则圆心P 的大致轨迹是(虚线为各段弧所在圆的半径)( )图3D [当圆在点B 的左侧滚动时，圆心P 的运动轨迹是一条线段；当圆在线段AB 上滚动时，圆心P 的运动轨迹也是一条线段；当圆与点A 接触并且绕过点A 时，圆心P 的轨迹是以点A 为圆心，1为半径的圆弧；当圆在线段AC 上和点C 右侧滚动时，与在线段AB 上和点B 的左侧滚动时的情况相同．结合各选项中的曲线知，选项D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图4所示是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则a 1，a 2的大小关系是________．图4[解析] 由题意可知a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84，a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，所以a 2＞a 1.[答案] a 2＞a 114．若直线l ：x 4＋y3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的内切圆的方程为________．[解析] 由题意，设圆心为(a ，a )，则有|3a ＋4a －12|5＝a ，解得a ＝1或a ＝6(舍去)，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. [答案] (x －1)2＋(y －1)2＝115．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝－1ex 平行的切线，则实数m 的取值范围为________.【导学号：04024179】[解析] 由已知得f ′(x )＝e x －m ，由曲线C 不存在与直线y ＝－1e x 平行的切线，知方程ex－m ＝－1e 无解，即方程m ＝e x ＋1e 无解．因为e x ＞0，所以e x＋1e ＞1e，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e .[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e16．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝4，AB ＝23，则该球的表面积为________．[解析] 依题意，把三棱锥D ­ABC 扩展为直三棱柱，则上、下底面中心的连线的中点O 与A 之间的距离为球的半径(图略)．设△ABC 的中心为E ，因为AD ＝4，AB ＝23，△ABC 是正三角形，所以AE ＝2，OE ＝2，所以AO ＝22，所以该球表面积S ＝4π×(22)2＝32π. [答案] 32π。

高考数学大二轮复习冲刺经典专题基础保分强化训练二文1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A 解析 因为z ＝1＋m i1＋i＝1＋m i 1－i 1＋i1－i＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13a 1＋a 132＝13×7a 1＋a 72，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.14 C.26 D.36答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋62－222×2×6＝64.故选A.8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4答案 C解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×π42＝1－π4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是1－π4.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫252＝－35. 13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB ＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。

训练 2经典小题加强练内容：三角函数、平面向量、解三角形一、选择题1． (2013 课·标全国 Ⅱ 改编 )设 θ为第二象限角， 若 tan θ＋π＝ 1，则 sin θ＋ cos θ等于 (4 210 10 2 5 2 5A ．－ 5 B. 5C. 5D ．－ 5答案Aπ11分析 ∵ tan θ＋4＝ 2， ∴ tan θ＝－ 3，3sin θ＝－ cos θ， 即且 θ为第二象限角， sin 2θ＋ cos 2θ＝ 1，103 10解得 sin θ＝ 10 ， cos θ＝－ 10.∴ sin θ＋ cos θ＝－10 5.2． 在平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线，→ → →AB ＝ (2,4) ，AC ＝ (1,3) ，则 BD 等于 (A ． (－ 3，－ 5)B ．(3,5)C ． (2,4)D ．(－ 2，－ 4)))答案 A 分析→ → → → → → BC ＝ AC － AB ＝ (－ 1，－ 1) ，BD ＝ BC － AB ＝ (－ 3，－ 5)，应选 A.3． 已知向量 a ＝ (2,3)， b ＝ (－ 4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为()1365A. 13B. 5C.65D. 5答案 D分析依题意得，向量a 在b 方向上的投影为 a ·b 2× －4 ＋3×765，应选 D.|b | ＝－ 4 2 72 ＝ 5＋4． 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ， b ，c.若 a 2－ b 2 ＝ 3bc ， sin C ＝ 23sin B ，则 A 等于()A ． 30°B ．60°C ．120 °D ． 150 °答案 A分析依据正弦定理及 sin C ＝ 2 3sin B 得 c ＝ 2 3b.2 22 2 2223b ＋c － ac－ a － bc － 3bc 由于 cos A ＝ 2bc ＝2bc＝2bc＝ 2 ，因此 A ＝ 30°.22→ → → → →()5． 已知 A 、 B 、 C 是圆 O ： x ＋ y ＝ 1 上三点， OA ＋ OB ＝OC ，则 AB ·OA 等于3 33 1 A. 2B ．－ 2C ．－ 2D.2答案C分析 → → →∵ OA ＋ OB ＝ OC ，→ 2 → 2 → → → 2 ∴ OA ＋ OB ＋ 2OA ·OB ＝ OC ，→ → 1∴ OA ·OB ＝－ ，2→ → →→ → →→→23∴ AB ·OA ＝ (OB － OA) ·OA ＝OA ·OB －OA ＝－ 2.6． (2012 浙·江 )把函数 y ＝ cos 2x ＋ 1 的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2 倍( 纵坐标不变 )，而后向左平移 1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，获得的图象是()答案 A分析变换后的三角函数为y ＝ cos(x ＋ 1)，联合四个选项可得 A 正确．→ 2 → → → → → →7． 在△ ABC 中，若 AB ＝ AB ·AC ＋ BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ ABC 是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案D分析→ 2 → → → →→ →∵ AB ＝ AB ＋ BA＋ CA ·CB ，·AC ·BC→ 2 → → → → → →AB －AB ·AC ＝BA ·BC ＋ CA ·CB ，→ → → → → → ，即 AB ·CB ＝ BA ·BC ＋ CA ·CB→ →∴ CA ·CB ＝ 0，∴∠ C ＝ 90°，即 △ ABC 是直角三角形．π3π8． 当 x ＝4时，函数 f(x)＝ Asin(x ＋ φ)(A>0) 获得最小值，则函数 y ＝ f4 － x 是A ．奇函数且图象对于点 π 对称， 02B ．偶函数且图象对于点 (π， 0)对称πC ．奇函数且图象对于直线x ＝对称2π D ．偶函数且图象对于点， 0对称2答案 C分析π由题意得， sin4＋ φ ＝－ 1，∴ φ可取－3π 4.()( )3π3π3π∴ f－ x＝ Asin － x －4 ＝－ Asin x ，44∴选 C.9． 已知函数 f(x)＝ (cos 2xcos x ＋sin 2xsin x)sin x ， x ∈ R ，则 f(x)是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数 πC ．最小正周期为2的奇函数π D ．最小正周期为的偶函数2答案 A分析1 1－ cos 2xf(x)＝ sin 2xcos 2x ＋ sin 2x221 1 1＝ 2sin 2xcos 2x －2sin 2xcos 2x ＋ 2sin 2x 1＝ 2sin 2x ，故 f(x)的最小正周期为 π，又是奇函数．π10．若函数 y ＝Asin(ωx＋ φ)( A>0， ω>0， |φ|<2 )在一个周期内的图象如下图，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且→ →()OM ·ON ＝ 0，则 A ·ω等于π 7πA. 6B. 127 7C. 6 πD. 3 π答案 C分析 由题中图象知 T π π π 4 ＝3－12 ＝4， ∴ T ＝π， ∴ ω＝ 2.π 7又知 M 12，A ，N 12π，－ A ，→ → 27π 2由 OM ·ON ＝ 0，得 122＝A ，∴A ＝7712 π， ∴ A ·ω＝ 6 π.应选 C.11．若方程 sin 2x ＋ 2sin x ＋ a ＝ 0 有解，则实数 a 的取值范围是()A ． [－ 3,1]B ．(－∞， 1]C ． [1，＋∞ )D ． [－ 1,1]答案A分析令 f(x)＝ sin 2x ＋ 2sin x ，则 f( x)的值域是 [ － 1,3] ，由于方程 sin 2x ＋ 2sin x ＋ a ＝0 一定有解，因此－ 1≤ － a ≤3， ∴ －3≤ a ≤ 1.12．动点2212 秒旋转一周．已A(x ， y)在圆 x ＋ y ＝ 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，1 3知时间 t ＝ 0 时，点 A 的坐标是 2， 2 ，则当 0≤ t ≤ 12 时，动点 A 的纵坐标 y 对于 t(单位：秒 )的函数的单一递加区间是()A ． [0,1]B ．[1,7]C ． [7,12]D ． [0,1] 和 [7,12]答案Dπ分析∵ T ＝ 12， ∴ ω＝ 6，3 ππ π又 ∵ t ＝ 0 时， y ＝ 2 ， ∴φ＝ 3， ∴y ＝ sin 6t ＋3 ，π π π π≤ ≤ 2k π＋ 2，令 2k π－2 6t ＋ 3即 12k － 5≤ t ≤ 12k ＋1， k ∈ Z 时， y 递加． ∵ 0≤t ≤12，∴ 函数 y 的单一递加区间是 [0,1] 和 [7,12] ．二、填空题π13．已知函数 f(x)＝2cos 3x ， x ≤2 000，则 f[f(2 012)] ＝ ________.x － 12， x>2 000 ，答案－ 1分析∵ 2 012>2 000 ，∴ f[f(2 012)] ＝ f(2 000)．2 000 π ∴ f(2 000)＝ 2cos ＝ 2cos 32π3＝－1.→ → → → → → 14．在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝2BD ， CA ＝ 3CE ，则 AD ·BE ＝ ________.答案－141 分析→→→ → →设 BC ＝ b ，则 AD ＝ AB ＋ BD ＝ b ＋ 2a ，＝ a ，AB→→ → → 1 → 2 1BE ＝ BC ＋ CE ＝ BC ＋ 3CA ＝ 3a － 3b ，且 a ·b ＝ cos 120 ＝°－12，→ →12 1因此 AD ·BE ＝ b ＋ 2a ·3a － 3b1 2 1 2 1 1＝ 3a － 3b ＋ 2a ·b ＝－ 4.15．如图，在△ ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB ＝ AD, 2AB ＝ 3BD ，BC ＝ 2BD ，则 sin C 的值为 ______ ．答案66分析设 AB ＝ a ，则 AD ＝ a ， BD ＝2a， BC ＝ 2BD ＝ 4a，433AB 2＋AD 2－BD 222cos A ＝2a －3a1 2AB ·AD＝2a 2＝ 3，22 2∴ sin A ＝ 1－ cos A ＝ 3 .AB3× 22 6由正弦定理知 sin C ＝ BC ·sin A ＝ 43 ＝6.3π16．已知函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 2(x ∈ R )，给出下边四个命题：π①函数 f(x)的最小正周期为π；②函数 f(x)是偶函数； ③函数 f(x)的图象对于直线x ＝ 对4π称；④函数 f(x)在区间 0，2 上是增函数．此中正确的命题是 ________． 答案①②④3π分析函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 2 ＝－ cos 2x ，则其最小正周期为π，故 ① 正确；由 ① 易知函π 数 f(x)是偶函数， ② 正确；由 f(x) ＝－ cos 2x 的图象可知，函数f(x)的图象对于直线x ＝4π不对称， ③ 错误；由 f(x)的图象易知函数f(x) 在 0， 2 上是增函数，故④ 正确．。

河北省曲阳县一中2024学年高考冲刺二数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 2．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) ABC ．4D ．24．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．25．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC +6．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A．B ．18C．1D．19-7．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( )A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V8．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元9．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年B ．9年C ．10年D ．11年10．已知函数2,0()4,0xx f x x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞11．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R12．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。