信号与系统 燕庆明 第八章离散系统的Z域分析
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青岛大学信号与系统第八章离散时间系统的z域分析
则
Z [an x(n)] X ( z ) a
z , Rx1 a Rx2
特别地 Z [(1)n x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
例：Z
[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
, z 1
Z
[ n cos(0n)u(n)]
z
(z
cos0 )
2
2
nu(n)
z
d dz
z
z 1
(z
z 1)2
n2u(n)
z
d dz
(z
z 1)2
z(z 1) (z 1)3
X (z) 1 [ z z(z 1)] z2 2 (z 1)2 (z 1)3 (z 1)3
, z 1
（四）序列指数加权（ z 域尺度变换）
若 Z [x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
X (z) Z [x(nT )] x(nT )zn n
2T 0 T 3T
t
L [xs (t)] z esT Z [x(nT )]
z
esT
r eT
T 2
s
z re j s j
T—— 抽样间隔，
s
2
T
——
抽样角频率
z平面和 s平面的映射关系：
1. s平面原点 ( 0, 0) j
x(1) (n)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1)
x(0) (n 1)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(1) (n) x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(0) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(2) (n) x(1) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(0) (n 2) x(1) (n 1)
信号与系统第8章离散信号与系统的频域分析
第8章 离散傅里叶变换及应用
(a) 非周期连续时间信号与连续频率非周期频谱 (b) 周期连续时间信号与离散频率非周期频谱
(c) 非周期离散时间信号与连续频率周期频谱 (d) 周期离散时间信号与离散频率周期频谱
图 8.1-1 傅里叶变换的四种形式
第8章 离散傅里叶变换及应用
图 8.1-1(a)所示为连续时间函数 x(t) 及其傅里叶变换。其数学表达式为
（8.1-11b）
x(n) IDFS X (k)
1
N 1
X (k)W nk
N k0
（8.1-12b）
第8章 离散傅里叶变换及应用
8.2 离散傅里叶变换
离散傅里叶级数可以用来分析周期序列，而离散傅里叶变换则是针对有限长
度序列。为了讨论周期序列和有限长序列的关系，并由离散傅里叶级数引出离散
x(t)
X (kf1)e j2 kf1t
k
（8.1-4）
第8章 离散傅里叶变换及应用
图 8.1-1(c)所示是离散序列的非周期函数 x(nTs ) ，其频谱是周期的连续函数 X ( f ) ，相
当于抽样信号频谱的情况。与图 8.1-1(b)的表达式具有对称的函数式
X ( f )
（8.2-10）
由于当 n 0 和 n N 时 x(n) 0 ，所以式（8.2-10）可以简化为
N 1
X (e j ) x(n)e jn n0
（8.2-11）
比较式（8.2-9）和式（8.2-11）可见
X (k) X (e j ) 2 k N
（8.2-12）
（8.1-7）
x(nTs )
1 fs
N 1
Z变换离散时间系统的Z域分析
| x[n] | M
n1
z 1
显然lim X (z) x[0]
z
学习材料
22
§8.2 Z变换及其收敛域
终值定理：假设n<0，xn]=0,则序列的终值为
lim x[n] lim{( z 1)X (z)}
n
z1
证明：利用单边Z 变换时移性质，有：
Z{x[n 1]} x[n 1]zn zX (z) zx[0] n0
注：交集 R1 一R2般小于R1或R2。但有时会扩大，如
零点与极点相消时。
学习材料
15
§8.2 Z变换及其收敛域
2).时域平移(双边信号〕
x[n] X (z), ROC Rz x[n n0 ] zn0 X (z), ROC Rz ,
证明：依据双边Z变换的定义式，有
Z[x[n n0 ]} x[n n0 ]zn zn0 x[k]zk
X (z) x[n]r ne jn DTFT{x[n]r n} n
DTFT{x[n] | z |n}
即x[n] | z |n 是收敛的
假设 x[n] | z |n x[n] n , n由0 .
| z |n n | z |
即，右边函数时收敛域为| z|>α的圆外地域。
其它信号依学习此材料 类推…。
z
,
n0
z 1
极点z1 1,
1
Re
∴收敛域为 |z|>1 的单位圆以外。
ROC | z | a
例8-2.求 x[n] anu的[nz变1换] 。xn]是一个从-1到-∞的左
边序列。
解：
X (z) x[n]zn anu[n 1]zn
n
n
1
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
信号与系统第八章_离散时间系统的z域分析2(青大)
z =1
∫
X (e jω )e jnω d ω
1 π x(n) = IDTFT[ X (e )] = X (e jω )e jnωdω 2π ∫−π
X (e jω ) = X (e jω ) e jϕ(ω)
X (e jω ) ——序列 x(n)的幅度频谱 序列
以 2π为周期 的周期函数
ϕ(ω) ——序列 x(n)的相位频谱 序列
⇒ h(n) 等幅，系统临界稳定； 等幅，系统临界稳定；
（3）有极点在单位圆外，或单位圆上有二阶或二阶以上极点 有极点在单位圆外，
⇒ h(n) 增长，系统不稳定。 增长，系统不稳定。
例：判断系统的因果性和稳定性。 系统的因果性和稳定性。
z , z > 0.5 （1） H ( z ) = z − 0.5
例1：求 x(n) = u (n) − u (n − 5) 的DTFT，并画出幅度频谱。 ，并画出幅度频谱。 解：X (e ) = DTFT[x(n)] = ∑e
jω n=0 4 − jnω
− j 5ω
1− e = e− j 2ω = ω 1− e− jω sin( )
5
sin(
5ω ) 2 2
5ω sin( ) jω 2 X (e ) = ω sin( ) 2
ω
1 ( ) 4
xs (t)
T =1
0
x(n)
4
−4
t
1
F [ xs (t )] = DTFT[x(n)]
1 4
⋯
4
−2π
−π − ω c
ωc
π
2π
⋯ω
−4
0
n
（三）DTFT的基本性质 的基本性质
（1）线性 （2）时移 （3）频移
(信号与系统课程)第八章离散系统的Z域分析：第3讲
2) b1e(k a1b2 ) e(0),
1)
b0e(k )
两边取Z变即换：有yz：s(0考) =虑b所2 e给(0是), 系统响应初始值。故有：
(z 2 a1z a0 )yYzs((z1))=yb(20)ez(12 )-(yb(12)-z a1ab12y)(e0()0z),
(b2 z 2 b1z b0 )E(z) b2e(0)z 2 b2e(1)z b1e(0)z
零输入响应 按时域方法求零输入响应：特征根为 -1，-2，故有
yzi (k ) C1(1)k C2 (2)k
零状态响应
Yzs (z)
H (z)E(z)
z2
z3 3z
2
z
z 1
全响应
yzs (k )
[2 3
(1)k
1 3
(2)k
] (k)
y(k)
yzi (k )
yzs (k )
C1 (1) k
激励信号e(k)=(k)，若初始条件 y (1)=1, y (2)=3，试分别求其零 输入响应 yzi(k) 、零状态响应 yzi(k)和全响应 y(k)。
解一：按Z变换公式求解
解二：零输入响应按时域方法求，零状态响应按 系统函数求解
解三：直接用系统响应的初始值求解
第八章第3讲
14
例2 解法一
y(k 2) 3 y(k 1) 2 y(k ) e(k 1) 3e(k ) y (1)=1, y (2)=3
初始值
按Z变换的公式所需要的是 yzi(0)和 yzi(1)， 令原方程 k =0, 得：y(2)+3y(1)+2y(0)=1+3, y(0)= -1 零状态响应时，
令原方程 k =-2, 得 yzs(0)+3 yzs(-1)+2 yzs(-2)=0, 故 yzs(0)=0 令原方程 k =-1, 得 yzs(1)+3 yzs(0)+2 yzs(-1)=1, 故 yzs(1)=1 零输入响应初始值为 yzi(0)=y(0)-yzs(0)= -1, yzi(1)=y(1)-yzs(1)=0
信号与系统PPT课件(共10章)第8章 离散时间信号与系统的z域分析
X3(z) = z +1+ z1 (z ，z 0)
7
8.1.2 z变换的收敛域
2．右边序列：
x[n] x[n]u[n n1]
x[n],
0,
n n1 z变换 X (z) x[n]zn
n n1
nn1
令 lim n x[n]zn 1 n
则ROC： z
lim n n
x[n]
R
离散序列： x[n] x1(t) tnT x1(nT )
采样信号： xs (t) x1(t) (t nT ) x1(nT ) (t nT )
n
n
2. 离散序列x[n] 的z变换与采样信号xs (t) 的拉氏变换
x[n]ZT X (z) x[n]zn n
xs (t)LT Xs (s)
an zn an1zn1 a1z a0
zn An1zn1 A1z A0
其中，系数 Bi和 Ai（或ai和bi，i = 0，1，…，m，…，n）
都是实数。一般情况下， n m。
单位圆
jImz
X (z) Bm (z z1)(z z2 ) (z zm ) (z p1)(z p2 ) (z pn )
0, n
x[n],
n1, n1
n n
n2 n2
z变换 X (z) n2 x[n]zn
nn1
——双边序列z变换的收敛域至少为：0 < | z | < 。
例1：x1[n] = [n+1] ]+ [n+2]； X1(z) = z + z2 (z ) x2[n] = [n1]+[n2]； X2(z) = z1 + z2 (z 0) x3[n] = [n+1] + [n]+ [n 1] ；
7
8.1.2 z变换的收敛域
2．右边序列：
x[n] x[n]u[n n1]
x[n],
0,
n n1 z变换 X (z) x[n]zn
n n1
nn1
令 lim n x[n]zn 1 n
则ROC： z
lim n n
x[n]
R
离散序列： x[n] x1(t) tnT x1(nT )
采样信号： xs (t) x1(t) (t nT ) x1(nT ) (t nT )
n
n
2. 离散序列x[n] 的z变换与采样信号xs (t) 的拉氏变换
x[n]ZT X (z) x[n]zn n
xs (t)LT Xs (s)
an zn an1zn1 a1z a0
zn An1zn1 A1z A0
其中，系数 Bi和 Ai（或ai和bi，i = 0，1，…，m，…，n）
都是实数。一般情况下， n m。
单位圆
jImz
X (z) Bm (z z1)(z z2 ) (z zm ) (z p1)(z p2 ) (z pn )
0, n
x[n],
n1, n1
n n
n2 n2
z变换 X (z) n2 x[n]zn
nn1
——双边序列z变换的收敛域至少为：0 < | z | < 。
例1：x1[n] = [n+1] ]+ [n+2]； X1(z) = z + z2 (z ) x2[n] = [n1]+[n2]； X2(z) = z1 + z2 (z 0) x3[n] = [n+1] + [n]+ [n 1] ；
信号与系统第8章 离散信号的分析
44
实际系统中的信号大多数都是因果信号，根据 因果信号的定义，在求其 Z变换时，由于 k<0时信 号恒为零，则只需考虑 k≥0的部分，从而得
并且
以上两式分别称为单边 Z变换和单边 Z反变换
。
45
例 8.3.1 求单边指数序列 f（k）= aku（k）（ a为任意复数）的 Z变换 F（z）。 解 根据式（8.3.1）得到单边指数序列的双边 Z变 换为
38
（2）时移性质 对序列的卷积和，假设 f（k）=f1（k）f2（k ），则
式中，m 和 n为任意整数。 （3）任何序列与脉冲序列的卷积 任何一个序列与单位脉冲序列的卷积和等于该序列 ，即
39
40
以上介绍了序列卷积和的定义、计算方法及性 质。表 8.2.2总结了常用信号的卷积和。
41
8.3 序列的 Z变换及其性质 对信号进行 Z变换的思想早在 18世纪早期就 已提出，但其后 200多年由于无法在工程上得到应 用而没有得到重视。直到 20世纪 60年代，由于计 算机技术的广泛应用和数字通信、采样数据控制系 统的迅速发展，Z变换才成为分析这类离散系统的 重要数学工具。
10
（3）正弦序列 离散时间正弦信号简称为正弦序列，其函数表 达式为
式中，A，Ω0 和 φ 同样称为该正弦序列的幅度 、角频率和初始相位。需要注意的是，对连续时间 正弦信号，角频率的单位为rad/s，但是对正弦序 列，由于自变量 k无量纲，因此，Ω0 的单位为 rad ，一般称为正弦序列的数字角频率。
42
பைடு நூலகம்
8.3.1 Z变换的定义 将连续信号通过抽样即可得到相应的离散信号 。因此，Z变换的定义可以从连续信号的拉普拉斯 变换推导得到。假设原来的连续信号为 f（t），将 其与周期冲激序列相乘，即实现了抽样。得到的抽 样信号 fs（t）可表示为
实际系统中的信号大多数都是因果信号，根据 因果信号的定义，在求其 Z变换时，由于 k<0时信 号恒为零，则只需考虑 k≥0的部分，从而得
并且
以上两式分别称为单边 Z变换和单边 Z反变换
。
45
例 8.3.1 求单边指数序列 f（k）= aku（k）（ a为任意复数）的 Z变换 F（z）。 解 根据式（8.3.1）得到单边指数序列的双边 Z变 换为
38
（2）时移性质 对序列的卷积和，假设 f（k）=f1（k）f2（k ），则
式中，m 和 n为任意整数。 （3）任何序列与脉冲序列的卷积 任何一个序列与单位脉冲序列的卷积和等于该序列 ，即
39
40
以上介绍了序列卷积和的定义、计算方法及性 质。表 8.2.2总结了常用信号的卷积和。
41
8.3 序列的 Z变换及其性质 对信号进行 Z变换的思想早在 18世纪早期就 已提出，但其后 200多年由于无法在工程上得到应 用而没有得到重视。直到 20世纪 60年代，由于计 算机技术的广泛应用和数字通信、采样数据控制系 统的迅速发展，Z变换才成为分析这类离散系统的 重要数学工具。
10
（3）正弦序列 离散时间正弦信号简称为正弦序列，其函数表 达式为
式中，A，Ω0 和 φ 同样称为该正弦序列的幅度 、角频率和初始相位。需要注意的是，对连续时间 正弦信号，角频率的单位为rad/s，但是对正弦序 列，由于自变量 k无量纲，因此，Ω0 的单位为 rad ，一般称为正弦序列的数字角频率。
42
பைடு நூலகம்
8.3.1 Z变换的定义 将连续信号通过抽样即可得到相应的离散信号 。因此，Z变换的定义可以从连续信号的拉普拉斯 变换推导得到。假设原来的连续信号为 f（t），将 其与周期冲激序列相乘，即实现了抽样。得到的抽 样信号 fs（t）可表示为
电子教案-信号与系统第四版(含习题解答)-信号与系统电子教案
第6章 系统函数与系统特性 6.1 系统函数与系统模拟 6.2 系统函数的零、极点 6.3 线性系统的稳定性 6.4 S域分析用于控制系统
第7章 离散系统的时域分析 7.1 离散信号与离散系统 7.2 卷积和 Z变换的主要性质 8.3 系统的Z域分析 8.4 系统函数H(Z)与稳定性 8.5 数字滤波器的概念
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目录
第1章 基础概念 1.1 历史的回顾 1.2 应用领域 1.3 信号的概念 1.4 基本信号和信号处理 1.5 系统的概念 1.6 线性时不变系统
第2章 连续系统的时域分析
2.1 系统的微分方程及其响应 2.2 阶跃信号与阶跃响应 2.3 冲激信号与冲激响应 2.4 卷积及其应用 2.5 二阶系统的分析
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
（高职高专辅助教学媒体）
燕庆明 主编
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
2007年
前言
“信号与系统”课程是高职高专院校电子信息类各专业的必修课，是“电 路分析”课程后的又一门重要的主干课程。为了帮助教师组织教学，提高教 学效率，我们以教材《信号与系统》（第4版）（燕庆明主编，高等教育出版 社，2007.12）为蓝本，编制了信号与系统电子教案、全书习题解答、 MATLAB仿真和实验指导。参与本教案制作的有燕庆明、鲁纯熙和顾斌杰。
本教案采用PowerPoint制作，应用方便、灵活。其中共设置8章（可讲授 60学时左右）。各校教师可根据实际需要增减有关内容。使用中有何建议可 与我们联系。不当之处，请批评指正。
Tel： (0510)88392227 作者 2007.9
使用说明
运行环境：Office 2000以上。 请安装Office工具中的公式编辑器。 按钮使用： 下列按钮在单击时可超链接到相应幻灯片。
第7章 离散系统的时域分析 7.1 离散信号与离散系统 7.2 卷积和 Z变换的主要性质 8.3 系统的Z域分析 8.4 系统函数H(Z)与稳定性 8.5 数字滤波器的概念
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目录
第1章 基础概念 1.1 历史的回顾 1.2 应用领域 1.3 信号的概念 1.4 基本信号和信号处理 1.5 系统的概念 1.6 线性时不变系统
第2章 连续系统的时域分析
2.1 系统的微分方程及其响应 2.2 阶跃信号与阶跃响应 2.3 冲激信号与冲激响应 2.4 卷积及其应用 2.5 二阶系统的分析
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
（高职高专辅助教学媒体）
燕庆明 主编
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
2007年
前言
“信号与系统”课程是高职高专院校电子信息类各专业的必修课，是“电 路分析”课程后的又一门重要的主干课程。为了帮助教师组织教学，提高教 学效率，我们以教材《信号与系统》（第4版）（燕庆明主编，高等教育出版 社，2007.12）为蓝本，编制了信号与系统电子教案、全书习题解答、 MATLAB仿真和实验指导。参与本教案制作的有燕庆明、鲁纯熙和顾斌杰。
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n0
四．指数序列
1．右边序列 f (n) a (n) 1 z n n F z a z 1 1 az za n0
n
b b
za
注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 a
z 当a e , 设 z e , 则 Z e u( n) z eb jω0 当a e , 设 z 1, 则 Z e jω0nu( n) z z e jω0 2. 左边序列 f n a n n 1 z F z za z a
m m 1
N ( s ) bm ( s z1 )( s z2 )( s zm ) H ( s) D( s ) an ( s p1 )( s p2 )( s pn )
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1z b0 F (z) D( z ) an z n an1 z n1 an2 z n2 a1 z a0
z的正幂
f (0) z 0 f (1) z 1 f ( 2) z 2 f ( n) z n
z的负幂
幂 n中的n指出 f n 的位置
级数的系数是 f n
F z 是z 1的幂级数
F (z)
n
单边z变换 双边z变换
1
F ( z ) f ( n) z n
n0
F (z)
n －
f ( n) z n
复变量z 的幂级数（亦称罗朗级 数）；
某些文献中也称 z 为f (n)的生成函数。 F
一．单位序列
1 ( n) 0 n0 n0
1
n 0
§8.2 z反变换
F ( z ) Z [ f ( n)] f ( n) Z 1[ F ( z )]
•部分分式展开法
•幂级数展开法
•围线积分法——留数法
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
bm s bm 1 s b1 s b0 N ( s ) H ( s) n n 1 an s an1 s a1 s a0 D( s )
2．求逆z变换的步骤
提出一个z
F z 为真分式 z
再部分分式展开
F z z z
查反变换表
3．极点决定部分分式形式 F z 的极点也可分为单极 点和多重极点。
Am z 对一阶极点 F ( z ) A0 m 1 z z m A0 F ( z ) A0 N Am A1 A2 AN z z m 1 z zm z z z1 z z2 z zN b0 A0 极点z 0的系数 a0 F (z) Am ( z z m ) 极点z z m的系数 z z zm A1 z A2 z AN z 所以 F ( z ) A0 z z1 z z 2 z zN n n n f ( n) A0 ( n) A1 ( z1 ) A2 ( z2 ) AN ( z N ) , n 0
f ( n) n ( n)，F ( z ) nz n ？
（用间接方法求）
已知
n0
Z ( n) z
n 0
n
1 1 z 1
z 1
对 式 z
n 0
n
1 两边，对z 1求导 1 z 1 1 1 n 1 n( z ) (1 z 1 )2 n0
n0 n
则上式称为序列 ( n)的单边z变换。 f F ( z )称为序列f ( n)的象函数，f ( n)称为 F ( z )的原函数。 f ( n) F ( z )
F ( z ) Z [ f ( n)]
对z变换式的理解
F (z)
n
f ( n) z n
f ( 2) z 2 f ( 1) z1
例3
1 X (z) , z 1, 求x n。 2 ( z 1)
B3 B1 B2 X (z) 1 2 2 z z 1 ( z 1) z z( z 1)
1 d s j s X ( z) Bj d z s j ( z zi ) z ( s j )! z zi
即满足
n
f ( n) z n
n
f ( n) z n
的区域（ROC）
ROC: Region of convergence 不同的f(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相 同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
8.1.2
z变换的定义
典型序列的z变换
N
高阶极点（重根）
设 F (z)
j 1 s
Bj z ( z zi )
j
z zi为s阶极点。
则
1 d s j s F (z) Bj s j ( z zi ) ( s j )! d z z zz i
例2
z2 已知X ( z ) ， ROC : z 2, 求x n。 ( z 1)( z 2)
F ( s ) L f s ( t ) L f ( nT ) ( t nT ) n
F s
n
f ( nT ) L ( t nT )
n
f ( nT ) e snT
其中
s σ jω z e sT ， 为连续变量 ，将f nT 表示为f n
1 z z 所以 Z cosω0 n u n j ω0 2 z e z e jω0
同理
z sin ω0 1 z z Z sin ω0 n u n 2 j ω0 j ω0 n 2 j z e z e z 2 z cos ω0 1
(n)
F ( z ) L[ ( n)] ( n) z n 1
O
n
u(n)
二．单位阶跃序列
1 ( n) 0
1
n0 n0
2 3
1
O
n
1 23
1 z F (z) 1 z z z 1 1 z z 1
z 1
三．斜变序列的z变换
F ( z ) f ( n)z n f (0) z 0 f (1) z 1 f ( 2) z 2
n0
3．左边序列的逆z变换
将F z z的升幂排列 以
F (z)
n
1
f ( n)z n f ( 1) z1 f ( 2) z 2 f ( 3) z 3
F ( s ) |z e sT
n
引入复变量
f ( nT ) z n f ( n) z n F ( z )
n
对任一信号 (n)的（双边） 变换式为 f z
F (z)
n
f ( n) z n
如果给定的序列 ( n)从n 0开始，即 f F ( z ) f ( n) z
1
B3 z
z z 1
1
2 z 0
1
x( n) u( n) nu( n) ( n)
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
z变换式一般是z的有理函数，可表示为：
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1z b0 F (z) D( z ) an z n an1 z n1 an2 z n2 a1 z a0
这里 s 2, j 1,2
1 d 1 2 B1 z 1 2 ( 2 1)! d z z z 1
z z 1 z 1 z z 所以 X ( z ) 1 2 z 1 ( z 1)
2
1
z 1
B2 z 1
2
1
bn
n
n 1
五．正弦与余弦序列
单边余弦序列 cos 0 n un
e jω0n e jω0n 因为 cosω0 n 2
Ze
j ω0 n
z u n z e j0
z 1
z z cos ω0 2 z 2 z cos ω0 1
f ( n) z n
说明
z的正幂级数构成左边序 列
z的负幂级数构成右边序 列
n 1
0 n
若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序 列） n 0 存在的序列取z变换
F ( z ) f ( n) z ,
n n0
单边z变换
收敛域的定义
对于任意给定的序列f(n) ，能使 F ( z ) 收敛的所有z 值之集合为收敛域。
第8章Biblioteka 离散系统的Z域分析本章主要讨论：
• z变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关 系；
• 利用z变换解差分方程；
• 利用z平面零极点的分布研究系统的特性。
8.1
引 言
Z变换
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可是追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的 研究和实践，推动了z变换的发展； •70年代引入大学课程； •今后主要应用于DSP分析与设计，如自动控制技术、 信号处理等问题。
X z 将 展开为部分分式 z
X z 除以z
X (z) z z ( z 1)( z 2) X z A B z z 1 z 2
四．指数序列
1．右边序列 f (n) a (n) 1 z n n F z a z 1 1 az za n0
n
b b
za
注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 a
z 当a e , 设 z e , 则 Z e u( n) z eb jω0 当a e , 设 z 1, 则 Z e jω0nu( n) z z e jω0 2. 左边序列 f n a n n 1 z F z za z a
m m 1
N ( s ) bm ( s z1 )( s z2 )( s zm ) H ( s) D( s ) an ( s p1 )( s p2 )( s pn )
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1z b0 F (z) D( z ) an z n an1 z n1 an2 z n2 a1 z a0
z的正幂
f (0) z 0 f (1) z 1 f ( 2) z 2 f ( n) z n
z的负幂
幂 n中的n指出 f n 的位置
级数的系数是 f n
F z 是z 1的幂级数
F (z)
n
单边z变换 双边z变换
1
F ( z ) f ( n) z n
n0
F (z)
n －
f ( n) z n
复变量z 的幂级数（亦称罗朗级 数）；
某些文献中也称 z 为f (n)的生成函数。 F
一．单位序列
1 ( n) 0 n0 n0
1
n 0
§8.2 z反变换
F ( z ) Z [ f ( n)] f ( n) Z 1[ F ( z )]
•部分分式展开法
•幂级数展开法
•围线积分法——留数法
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
bm s bm 1 s b1 s b0 N ( s ) H ( s) n n 1 an s an1 s a1 s a0 D( s )
2．求逆z变换的步骤
提出一个z
F z 为真分式 z
再部分分式展开
F z z z
查反变换表
3．极点决定部分分式形式 F z 的极点也可分为单极 点和多重极点。
Am z 对一阶极点 F ( z ) A0 m 1 z z m A0 F ( z ) A0 N Am A1 A2 AN z z m 1 z zm z z z1 z z2 z zN b0 A0 极点z 0的系数 a0 F (z) Am ( z z m ) 极点z z m的系数 z z zm A1 z A2 z AN z 所以 F ( z ) A0 z z1 z z 2 z zN n n n f ( n) A0 ( n) A1 ( z1 ) A2 ( z2 ) AN ( z N ) , n 0
f ( n) n ( n)，F ( z ) nz n ？
（用间接方法求）
已知
n0
Z ( n) z
n 0
n
1 1 z 1
z 1
对 式 z
n 0
n
1 两边，对z 1求导 1 z 1 1 1 n 1 n( z ) (1 z 1 )2 n0
n0 n
则上式称为序列 ( n)的单边z变换。 f F ( z )称为序列f ( n)的象函数，f ( n)称为 F ( z )的原函数。 f ( n) F ( z )
F ( z ) Z [ f ( n)]
对z变换式的理解
F (z)
n
f ( n) z n
f ( 2) z 2 f ( 1) z1
例3
1 X (z) , z 1, 求x n。 2 ( z 1)
B3 B1 B2 X (z) 1 2 2 z z 1 ( z 1) z z( z 1)
1 d s j s X ( z) Bj d z s j ( z zi ) z ( s j )! z zi
即满足
n
f ( n) z n
n
f ( n) z n
的区域（ROC）
ROC: Region of convergence 不同的f(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相 同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
8.1.2
z变换的定义
典型序列的z变换
N
高阶极点（重根）
设 F (z)
j 1 s
Bj z ( z zi )
j
z zi为s阶极点。
则
1 d s j s F (z) Bj s j ( z zi ) ( s j )! d z z zz i
例2
z2 已知X ( z ) ， ROC : z 2, 求x n。 ( z 1)( z 2)
F ( s ) L f s ( t ) L f ( nT ) ( t nT ) n
F s
n
f ( nT ) L ( t nT )
n
f ( nT ) e snT
其中
s σ jω z e sT ， 为连续变量 ，将f nT 表示为f n
1 z z 所以 Z cosω0 n u n j ω0 2 z e z e jω0
同理
z sin ω0 1 z z Z sin ω0 n u n 2 j ω0 j ω0 n 2 j z e z e z 2 z cos ω0 1
(n)
F ( z ) L[ ( n)] ( n) z n 1
O
n
u(n)
二．单位阶跃序列
1 ( n) 0
1
n0 n0
2 3
1
O
n
1 23
1 z F (z) 1 z z z 1 1 z z 1
z 1
三．斜变序列的z变换
F ( z ) f ( n)z n f (0) z 0 f (1) z 1 f ( 2) z 2
n0
3．左边序列的逆z变换
将F z z的升幂排列 以
F (z)
n
1
f ( n)z n f ( 1) z1 f ( 2) z 2 f ( 3) z 3
F ( s ) |z e sT
n
引入复变量
f ( nT ) z n f ( n) z n F ( z )
n
对任一信号 (n)的（双边） 变换式为 f z
F (z)
n
f ( n) z n
如果给定的序列 ( n)从n 0开始，即 f F ( z ) f ( n) z
1
B3 z
z z 1
1
2 z 0
1
x( n) u( n) nu( n) ( n)
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
z变换式一般是z的有理函数，可表示为：
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1z b0 F (z) D( z ) an z n an1 z n1 an2 z n2 a1 z a0
这里 s 2, j 1,2
1 d 1 2 B1 z 1 2 ( 2 1)! d z z z 1
z z 1 z 1 z z 所以 X ( z ) 1 2 z 1 ( z 1)
2
1
z 1
B2 z 1
2
1
bn
n
n 1
五．正弦与余弦序列
单边余弦序列 cos 0 n un
e jω0n e jω0n 因为 cosω0 n 2
Ze
j ω0 n
z u n z e j0
z 1
z z cos ω0 2 z 2 z cos ω0 1
f ( n) z n
说明
z的正幂级数构成左边序 列
z的负幂级数构成右边序 列
n 1
0 n
若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序 列） n 0 存在的序列取z变换
F ( z ) f ( n) z ,
n n0
单边z变换
收敛域的定义
对于任意给定的序列f(n) ，能使 F ( z ) 收敛的所有z 值之集合为收敛域。
第8章Biblioteka 离散系统的Z域分析本章主要讨论：
• z变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关 系；
• 利用z变换解差分方程；
• 利用z平面零极点的分布研究系统的特性。
8.1
引 言
Z变换
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可是追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的 研究和实践，推动了z变换的发展； •70年代引入大学课程； •今后主要应用于DSP分析与设计，如自动控制技术、 信号处理等问题。
X z 将 展开为部分分式 z
X z 除以z
X (z) z z ( z 1)( z 2) X z A B z z 1 z 2