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三黄金分割法——0.618法（二）一、基础达标1.假设因素区间为[1，2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A.1.618B.1.5C.1.382D.1.618或1.382解析用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382答案 D2.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60 ℃到70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为( )A.63.82 ℃B.66.18 ℃C.63.82 ℃或66.18 ℃D.65 ℃解析若第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，则第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.若第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，则第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案 C3.用0.618法优选寻找最佳点时，达到精度0.001所做试验的次数至少为( )(已知lg 0.618＝－0.209)A.16B.15选A.答案 A4.用0.618法进行优选时，若某次存优范围[2，b]上的一个好点是2.382.则b＝( )A.3B.2.618C.3.618D.3或2.618解析由2.382＝2＋(b－2)×(1－0.618)或2.382＝2＋(b－2)×0.618，解得b＝2.618或b＝3，选D.答案 D5.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量为________mL.解析 由黄金分割法可知，第一个试点为x 1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为x 2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x 2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为10＋71.8－48.2＝33.6 mL.答案 33.66.用0.618法进行单因素优选时，若在试验范围[1，2] 的0.382处与0.618处的试验结果一样，则存优范围是________________________________________.解析 最佳点应在1＋0.382与1＋0.618之间，故存优范围为[1.382，1.618].答案 [1.382，1.618]二、能力提升7.某试验的因素范围是[3 000，4 000].用0.618法求最佳值.a n 表示第n 次试验加入量(结果取整数)，则a 3＝________.解析 a 1＝3 000＋0.618×(4 000－3 000)＝3 618，a 2＝3 000＋4 000－3 618＝3 382.若a 2为好点，则a 3＝3 000＋3 618－3 382＝3 236；若a 1为好点，则a 3＝3 382＋4 000－3 618＝3 764.答案 3 236或3 7648.某产品生产的过程中，温度的最佳点可能在1 000～2 000 ℃之间.某人用0.618法试验得到最佳温度为1 001 ℃.试问：此人做了多少次试验？并依次给出各次试验的温度.解 因最佳温度为1001 ℃.试验范围为2 000－1 000＝1 000(℃)可知，达到精度为0.001，则用0.618法寻找最佳点的次数n ≥lg 0.001lg 0.618＋1≈－3－0.209＋1≈15.4.知应安排16次试验.各次试验的温度分别为1 618 ℃、1 382 ℃、1 236 ℃、1 146 ℃、1 090 ℃、1 056 ℃、1 034 ℃、1 022 ℃、1 012 ℃、1 010 ℃、1 002 ℃、1 008 ℃、1 006 ℃、1 004 ℃、1 003 ℃、1 001 ℃.9.若已知目标函数是单峰函数，在用0.618法在因素范围[m ，n ]内进行最佳点探求时，设第n 次试验加入量为a n ，其对应的试验结果值用b n 表示，如果b n －1＞b n (n ＞1)，我们就说试验点a n －1的结果比试验点a n 要好，即a n －1与a n 中a n －1为好点.(1)如果b 2＝b 1时，则说明了什么？此时存优范围可怎样取？(2)若在已试验的过程中，都有b 2n －1＝b 2n 时，则这个试验的存优范围是如何变化的？精度可怎样计算？ 解 (1)由b 2＝b 1，说明a 2与 a 1的试验效果一样好.又因为目标函数f (x )是[m ，n ]上是一个单峰函数，x。
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 三、黄金分割法0.618法》教案 新人教A 版一、黄金分割常数对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？假设因素区间为[0, 1]，取两个试点102、101 ，那么对峰值在)101,0(中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为54的区间(图1)；但对于峰值在)1,102(的函数，只能去掉长度为101的区间(图2)，试验效率就不理想了.怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？在安排试点时，最好使两个试点关于[a ,b ]的中心 2b a + 对称. 为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同. 黄金分割常数：251+-，用ω表示. 试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法.由于215-是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值0.618.相应地，也把黄金分割法叫做0.618法.二、黄金分割法——0.618法例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g 到2000g 之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？人我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n 次试验后的精度为原始的因素范围次试验后的存优范围n n =δ 用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此， n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ一般地，给定精度δ，为了达到这个精度，所要做的试验次数n 满足,1618.01<≤-δn 即.0lg 618.0lg )1(<≤-δn 所以.1618.0lg lg +≥δn 黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.课后作业1.阅读教材P. 5-P.10；2.《学案》第一讲第三课时.。
第一讲优选法三、黄金分割法——0.618法第一讲 优选法三、黄金分割法——0.618法知识与技能：黄金分割法——0.618法是非常著名的优选法，在生产实践中有广泛应用，通过学习这一内容，不仅可以使学生学会一种用数学知识解决实际问题的方法（数学建模），了解黄金分割常数，而且还可以使学生感受数学在解决实际问题中的作用.情感、态度与价值：通过本课学习，增加学生的数学文化内涵，让学生感受到数学的美.教学过程一、黄金分割常数对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？假设因素区间为[0, 1]，取两个试点102、101 ，那么对峰值在)101,0(中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为54的区间(图1)；但对于峰值在)1,102(的函数，只能去掉长度为101的区间(图2)，试验效率就不理想了.怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？在安排试点时，最好使两个试点关于[a ,b ]的中心 2b a 对称.为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同. 黄金分割常数：251+-，用ω表示. 试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法.由于215-是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值0.618.相应地，也把黄金分割法叫做0.618法.二、黄金分割法——0.618法例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g 到2000g 之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？人我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值 叫做精度，即n 次试验后的精度为原始的因素范围次试验后的存优范围n n =δ 用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ一般地，给定精度δ，为了达到这个精度，所要做的试验次数n 满足,1618.01<≤-δn即.0lg 618.0lg )1(<≤-δn 所以.1618.0lg lg +≥δn 黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.课后作业1.阅读教材P. 5-P.10；2.《学案》第一讲第三课时.。
三 黄金分割法——0.618法（一）一、基础达标1.有一优选问题，存优范围为[10，20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10，20]的中点15对称，所以第二个试点最好为14. 答案 C2.在存优范围[10，100]安排两个实验点x 1，x 2，则x 1，x 2关于( )对称. A.0.618 B.65.62 C.55 D.61.8解析 x ＝x 1＋x 22＝10＋1002＝55.答案 C3.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的( ) A.0.6182B.0.6183C.0.6184D.0.6185解析 由黄金分割法知：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等，故4次试验后，存优范围缩小为原来的0.6183. 答案 B4.假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上.解析 如图所示：因为峰值在(0，0.1)内，故应舍去区间[0.2，1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0，0.2]上. 答案 [0，0.2]5.人体的正常体温为36～37 ℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1 ℃)解析 36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8. 答案 22.2～22.86.一个身高为170 cm 的人，肚脐离地面的最佳高度为__________ cm(精确到 1 cm).解析 由170×0.618＝105.06≈105. 答案 105 二、能力提升7.已知一种材料的最佳加入量在110 g 到210 g 之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.解析 根据0.618法可知，第一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或110＋210－171.8＝148.2(g) 答案 171.8或148.28.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加入某元素的量在1 000 g 到2 000 g 之间，假设最佳点在1 400 g ，如果用0.618法试验，求第三个试验点.解 由0.618法知x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618(g)，x 2＝1 000＋2 000－x 1＝1 382(g).由于1 382 g 接近1 400 g ，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236(g).9.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 为长轴的右端点，B 当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆为“黄金椭圆”. (1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.(2)设AB 为黄金双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的弦，M 为AB 的中点，若AB ，OM 的斜率存在，求k OM ·k AB .解 (1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF ⊥AB . 则BO ＝b ，FO ＝c ，OA ＝a ，在Rt△ABF 中，b 2＝ac . 又∵b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca－1＝0.∴e ＝c a ＝1±52.又e ＞1，∴e ＝1＋52.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ②由①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2. ∵M 是AB 的中点，且x 1≠x 2， ∴x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 0y 0.故k OM ·k AB ＝y 0x 0·y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2＝1＋52.三、探究与创新10.已知线段AB ，怎样作出它的黄金分割点？解 法一 在AB 的端点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝12AB ，连接AD ，在AD 上截取DE ＝DB ，再在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图1.事实上，由作法可知AD ＝52AB ，则AC ＝AE ＝AD －DB ＝AD －12AB ＝5－12AB ， 即证.图1法二 在AB 上作正方形ABMN ，在AN 上取中点E ，在NA 的延长线上取EF ＝EB .以AF 为一边作正方形ACDF ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图2. 事实上，由AC ＝AF ＝EF －AE ＝EB －AE ＝AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2－12AB＝5－12AB ，即证.图2附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
三 黄金分割法0.618法（一）一、基础达标1.有一优选问题，存优范围为[10，20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10，20]的中点15对称，所以第二个试点最好为14. 答案 C2.在存优范围[10，100]安排两个实验点x 1，x 2，则x 1，x 2关于( )对称. A.0.618 B.65.62 C.55 D.61.8解析 x ＝x 1＋x 22＝10＋1002＝55.答案 C3.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的( ) A.0.6182B.0.6183C.0.6184D.0.6185解析 由黄金分割法知：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等，故4次试验后，存优范围缩小为原来的0.6183. 答案 B4.假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上.解析 如图所示：因为峰值在(0，0.1)内，故应舍去区间[0.2，1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0，0.2]上. 答案 [0，0.2]5.人体的正常体温为36～37 ℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1 ℃)解析 36×0.618到37×0.618，即.2～.8. 答案 .2～.86.一个身高为170 cm 的人，肚脐离地面的最佳高度为__________ cm(精确到 1 cm).解析 由170×0.618＝105.06≈105. 答案 105 二、能力提升7.已知一种材料的最佳加入量在110 g 到210 g 之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.解析 根据0.618法可知，第一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或110＋210－171.8＝148.2(g) 答案 171.8或148.28.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加入某元素的量在1 000 g 到2 000 g 之间，假设最佳点在1 400 g ，如果用0.618法试验，求第三个试验点.解 由0.618法知x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618(g)，x 2＝1 000＋2 000－x 1＝1 382(g).由于 1 382 g 接近 1 400 g ，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236(g).9.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 为长轴的右端点，B 点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆为“黄金椭圆”. (1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.(2)设AB 为黄金双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的弦，M 为AB 的中点，若AB ，OM 的斜率存在，求k OM ·k AB .解 (1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF ⊥AB . 则BO ＝b ，FO ＝c ，OA ＝a ，在Rt△ABF 中，b 2＝ac . 又∵b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca－1＝0.∴e ＝c a ＝1±52.又e ＞1，∴e ＝1＋52.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ②由①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2. ∵M 是AB 的中点，且x 1≠x 2， ∴x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 0y 0.故k OM ·k AB ＝y 0x 0·y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2＝1＋52.三、探究与创新10.已知线段AB ，怎样作出它的黄金分割点？解 法一 在AB 的端点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝12AB ，连接AD ，在AD 上截取DE ＝DB ，再在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图1.事实上，由作法可知AD ＝52AB ，则AC ＝AE ＝AD －DB ＝AD －12AB ＝5－12AB ， 即证.图1法二 在AB 上作正方形ABMN ，在AN 上取中点E ，在NA 的延长线上取EF ＝EB .以AF 为一边作正方形ACDF ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图2. 事实上，由AC ＝AF ＝EF －AE ＝EB －AE ＝AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2－12AB＝5－12AB ，即证.图2。
三黄金分割法——0.618法〔二〕一、根底达标1.假设因素区间为[1，2]，用0.618法选取的第一个试点是( )C.1.382D.1.618或1.382解析用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382答案 D2.现决定优选加工温度，假定最正确温度在60 ℃到70 ℃之间，用0.618法进行优选，那么第二次试点温度为( )A.63.82 ℃B.66.18 ℃C.63.82 ℃或66.18 ℃D.65 ℃解析假设第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，那么第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.假设第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，那么第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案 C3.用0.618法优选寻找最正确点时，到达精度0.001所做试验的次数至少为( )(lg0.618＝－0.209)A.16B.15选A.答案 A4.用0.618法进行优选时，假设某次存优范围[2，b]上的一个好点是 2.382.那么b＝( )C.3.618D.3或2.618解析由2.382＝2＋(b－2)×(1－0.618)或2.382＝2＋(b－2)×0.618，解得b＝2.618或b＝3，选D.答案 D5.配制某种注射用药剂，每瓶需要参加葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最正确参加量时，假设第1试点是差点，第2试点是好点，那么第三次试验时葡萄糖的参加量为________mL.解析 由黄金分割法可知，第一个试点为x 1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为x 2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x 2是好点，故第三次试验时葡萄糖的参加量为10＋71.8－48.2＝33.6 mL. 答案 33.66.用0.618法进行单因素优选时，假设在试验范围[1，2] 的0.382处与0.618处的试验结果一样，那么存优范围是________________________________________.解析 最正确点应在1＋0.382与1＋0.618之间，故存优范围为[1.382，1.618]. 答案 [1.382，1.618]二、能力提升7.某试验的因素范围是[3 000，4 000].用0.618法求最正确值.a n 表示第n 次试验参加量(结果取整数)，那么a 3＝________.解析 a 1＝3 000＋0.618×(4 000－3 000)＝3 618，a 2＝3 000＋4 000－3 618＝3 382.假设a 2为好点，那么a 3＝3 000＋3 618－3 382＝3 236；假设a 1为好点，那么a 3＝3 382＋4 000－3 618＝3 764.答案 3 236或3 7648.某产品生产的过程中，温度的最正确点可能在1 000～2 000 ℃之间.某人用0.618法试验得到最正确温度为 1 001 ℃.试问：此人做了多少次试验？并依次给出各次试验的温度.解 因最正确温度为1001 ℃.试验范围为2 000－1 000＝1 000(℃)可知，到达精度为0.001，那么用0.618法寻找最正确点的次数n ≥lg 0.001lg 0.618＋1≈－3－0.209＋1≈15.4.知应安排16次试验.各次试验的温度分别为1 618 ℃、1 382 ℃、1 236 ℃、1 146 ℃、1 090 ℃、1 056 ℃、1 034 ℃、1 022 ℃、1 012 ℃、1 010 ℃、1 002 ℃、1 008 ℃、1 006 ℃、1 004 ℃、1 003 ℃、1 001 ℃.9.假设目标函数是单峰函数，在用0.618法在因素范围[m ，n ]内进行最正确点探求时，设第n 次试验参加量为a n ，其对应的试验结果值用b n 表示，如果b n －1＞b n (n ＞1)，我们就。
