第20课时 矩形菱形、正方形 精炼

《矩形、菱形、正方形》学习要点一、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形首先是平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件．1．矩形的性质(1)具有平行四边形的所有性质．(2) 特有性质：四个角都是直角，对角线相等．矩形是轴对称图形.2. 矩形的判定矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其它几种判定矩形的方法．(1)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．(2)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件，即一是有一个角是直角；二是平行四边形，也就是说有一角是直角的四边形，不是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形.②用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．也就说明：两务对角线相等的四边形不是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形.二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．2．菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质.(2)菱形的四条边都相等.(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.(4)菱形是轴对称图形.(5)菱形面积=底×高=对角线乘积的一半.3．菱形的判定(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形．(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意：对角线互相垂直的四边形不是菱形，必须加上平行四边形这个条件，它才是菱形.三、正方形1. 定义：正方形的定义我们可以分成两部分来理解：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．2．正方形性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.(1)边——四边相等，邻边垂直.(2)角——四角都是直角.(3)对角线——①相等②互相垂直平分③每条对角线平分一组对角.(4)是轴对称图形，有4条对称轴.3．正方形的判定方法：(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两条：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线垂直.②先证它是菱形，再证它有一个角为直角或对角线相等.四、正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，其中正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图.五、中点四边形与原四边形的关系：依次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；依次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形；依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系有关．六、利用特殊平行四边形的性质和判定可以解决哪些问题?可解决证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直、证明一个四边形是特殊平行四边形及有关计算等问题．。

第20课时 矩形、菱形、正方形特殊平行四边形的性质1.（2019·百色中考）如图，菱形ABCD 的周长为12 cm ，BC 的垂直平分线EF 经过点A ，则对角线BD 的长是 3 3 cm.特殊平行四边形的判定2.（2019·百色中考）如图，已知点E ，F 在四边形ABCD 的对角线延长线上，AE ＝CF ，D E ∥BF ，∠1＝∠2.（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若AD⊥CD，四边形ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由.（1）证明：∵DE∥BF， ∴∠E ＝∠F.在△AED 和△CFB 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠E＝∠F，∠1＝∠2，AE ＝CF ，∴△AED ≌△CFB （AAS ）； （2）解：四边形ABCD 是矩形. 理由：∵△AED≌△CFB， ∴AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF， ∴∠DAC ＝∠BCA，∴AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵AD⊥CD，∴四边形AB CD 是矩形.核心考点解读矩形及其性质与判定 定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有 2 条对称轴判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形 面积S ＝ ab （a ，b 表示矩形的长和宽）菱形及其性质与判定定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线都平分一组对角； （3）菱形既是中心对称图形，又是 轴 对称图形，有 2 条对称轴判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 面积S ＝l 1l 22（l 1，l 2表示菱形两条对角线的长）正方形及其性质与判定定义有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形性质（1）正方形的对边平行，四条边都相等； （2）正方形的四个角都是直角；（3）对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角判定（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 面积S ＝ a 2（a 表示正方形的边长）；S ＝ l22（l 表示正方形的对角线长）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系1.（2019·株洲中考）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交点O ，AC ＝10，P ，Q 分别为AO ，AD的中点，则PQ的长度为 2.5 .2.（2019·淮安中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ A ）A.20B.24C.40D.48,（第2题图）,（第3题图）3.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ D ）A.若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C.若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形4.（2019·武汉中考）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°Ｗ.5.如图，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为 5 Ｗ.6.（2019·柳州中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC＝2，求BD的长.解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴菱形ABCD的周长为2×4＝8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2，∴AC⊥BD，AO＝1，∴BO＝AB2－AO2＝22－12＝3，∴BD＝2BO＝2 3.典题精讲精练矩形的性质与判定例1 已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ C ）A.∠BAC＝∠DCAB.∠BAC＝∠DACC.∠BAC＝∠ABDD.∠BAC＝∠ADB【解析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案.A.不能判断四边形ABCD是矩形；B.能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C.能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D.不能判断四边形ABCD是矩形.菱形的性质与判定例2 （2019·北部湾中考）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积.【解析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明AB＝AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线BD的长即可解决问题.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形；（2）连接BD交AC于O.∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝12×6＝3.∵AB＝5，∴OB＝AB2－OA2＝52－32＝4，∴BD＝2OB＝8，∴S▱ABCD＝12×AC×BD＝24.正方形的性质与判定例3 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形.【解析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，又由AD∥BC可推出BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD是菱形；（2）由BE＝BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE＝∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠ABE ＝45°，可得∠ABC＝90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形.【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠ADE ＝∠CDE. ∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CB D ， ∴∠CDE ＝∠CBD，∴BC ＝CD. ∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形. ∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）∵BE＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC. ∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3， ∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝∠CBE＝45°， ∴∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形.,1.（2019·玉林中考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＞BC ，点E ，F ，G ，H 分别是边DA ，AB ，BC ，CD 的中点，连接EG ，HF ，则图中矩形的个数共有（ C ）A.5个B.8个C.9个D.11个2.（2019·北部湾中考）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE ＝DF.（1）求证：AE ＝CF ；（2）若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积. （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∠ABC ＝90°. ∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE ≌△COF （SAS ）， ∴AE ＝CF ；（2）解：∵OA＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ， ∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝∠COD＝60°，∴△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝AB ＝6，∴AC ＝2OA ＝12. 在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝63， ∴矩形ABCD 的面积为AB·BC＝6×63＝36 3.3.（2019·广州中考）如图，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（3，0），（－2，0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是 （－5，4） Ｗ.,（第3题图） ,（第4题图）4.（2019·宿迁中考）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为边CD 的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD ＝60°，则△OCE 的面积是（ A ）A. 3B.2C.2 3D.45.（2019·贺州中考）如图，在△ABC 中，∠A CB ＝90°，O ，D 分别是边AC ，AB 的中点，过点C 作CE ∥AB 交DO 的延长线于点E ，连接AE.（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若四边形AE CD 的面积为24，tan ∠BAC ＝34，求BC 的长.（1）证明：∵点O 是AC 的中点，∴OA ＝OC.∵CE ∥AB ，∴∠DAO ＝∠ECO. 又∵∠AOD＝∠COE，∴△AOD ≌△COE （ASA ），∴AD ＝CE ， ∴四边形AECD 是平行四边形. 又∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线， ∴CD ＝AD ＝12AB ，∴四边形AECD 是菱形；（2）由（1）知，四边形AECD 是菱形，∴AC ⊥ED. 在Rt △AOD 中，tan ∠DAO ＝OD OA ＝tan ∠BAC ＝34， 可设OD ＝3x ，OA ＝4x ， 则ED ＝2OD ＝6x ，AC ＝2OA ＝8x.由题意可得12·6x·8x＝24，∴x ＝1，∴OD ＝3.∵O ，D 分别是AC ，AB 的中点， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴BC ＝2OD ＝6.6.（2019·柳州中考）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 边上的点，BE ，AF 交于点O ，且AE＝DF.（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若BO＝4，OE＝2，求正方形ABCD的面积.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°.又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS）；（2）∵△ABE≌△DAF，∴∠FAD＝∠ABE.∵∠FAD＋∠BAO＝90°，∴∠ABO＋∠BAO＝90°，即∠AOB＝∠BAE＝90°.∵∠ABO＝∠EBA，∴△ABO∽△EBA，∴AB∶BE＝BO∶AB，即A B∶6＝4∶AB，∴AB2＝24.故正方形ABCD面积是24.请完成精练本第35～36页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，3)，将点A 绕原点O 顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是( ) A.(﹣3，1) B.(3，﹣1) C.(﹣1，3)D.(1，﹣3)2．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个根，则k 的取值范围是（ ） A.4k <-B.4k ≤-C.4k <D.4k ≤3．若k ＞0，点P （﹣k ，k ）在第（ ）象限． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆 (2)各边相等的圆外切多边形是正多边形 (3)各角相等的圆内接多边形是正多边形 (4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)正n 边形的中心角360n a n︒=，且与每一个外角相等 其中真命题有( ) A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个5．如图，将矩形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH ，设AB ＝a ，BC ＝b ，若AH ＝1，则（ ）A ．a 2＝4b ﹣4B ．a 2＝4b+4C ．a ＝2b ﹣1D ．a ＝2b+16．若关于x 的不等式组27412x x x k ++⎧⎨-⎩＜＜的解集为x ＜3，则k 的取值范围为（ ）A.k ＞1B.k ＜1C.k≥1D.k≤17．一元二次方程24x x =的解为（ ） A ．4x =B ．10x =，24x =C ．12x =，22x =-D ．10x =，24x =-8．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．22423a a a += C ．236(2)2a a -=-D ．422()a a a ÷-=9．下列计算正确的是（ ） A ．3362a a a +=B ．236()a a -=C ．623a a a ÷=D ．538a a a ⋅=10．将一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，则CD 的长为（ ）A ．43B ．12﹣43C ．12﹣63D ．6311．若2(2)3a b -++＝0，则（a+b ）2011的值是（ ） A ．﹣2011B ．2011C ．﹣1D ．112．如图，将曲线c 1：y ＝kx（x ＞0）绕原点O 逆时针旋转60°得到曲线c 2，A 为直线y ＝3x 上一点，P 为曲线c 2上一点，PA ＝PO ，且△PAO 的面积为63，直线y ＝3x 交曲线c 1于点B ，则OB 的长（ ）A ．26B ．5C ．33D ．532二、填空题13．抛物线y ＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标是_____．14．不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <，则k 的取值范围为_____．15．将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线的函数表达式为_____． 16．计算：112--+=________.17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣2X（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝kx（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是__．18．在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点．若整点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，则m的值为_____．三、解答题19．已知a，b互为相反数，（1）计算：a+b，a2-b2，a3+b3，a4-b4，……的值．（2）用数学式子写出（1）中的规律，并证明．20．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作射线EF．（1）若∠DAB＝60°，EF∥AB交BC于点H，请在图1中补全图形，并判断四边形ABHE的形状；（2）如图2，若∠DAB＝90°，EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG，请在图2中补全图形，并证明点A，E，B，G在同一个圆上；（3）如图3，若∠DAB＝α（0°＜α＜90°），EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．请在图3中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹），直接写出线段EG，AG，BG之间的数量关系（用含α的式子表示）．21．直觉的误差：有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个13cm×5cm的长方形，面积是65cm2，面积多了1cm2，这是为什么？小明给出如下证明：如图2，可知，tan∠CEF＝83，tan∠EAB＝52，∵tan∠CEF＞tan∠EAB，∴∠CEF＞∠EAB，∵EF∥AB，∴∠EAB+∠AEF＝180°，∴CEF+∠AEF＞180°，因此A、E、C三点不共线．同理A、G、C三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm2（1）小红给出的证明思路为：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成她的证明；（2）将13cmx13cm的正方形按上述方法剪开拼合，是否可以拼合成一个长方形，但面积少了1cm2？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由．22．某校为了解高一年级住校生在校期间的月生活支出情况，从高一年级600名住校学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的生活支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表：组别月生活支出x（单位：元）频数（人数）频率第一组x＜300 4 0.10第二组300≤x＜350 2 0.05第三组350≤x＜400 16 n第四组400≤x＜450 m 0.30第五组450≤x＜500 4 0.10第六组x≥500 2 0.05请根据图表中所给的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中共随机抽取了名学生，图表中的m＝，n ；（2）请估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数；（3）现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，经过进一步核实，确认高一（2）班有A，B，C三名学生家庭困难，其中A，B为女生，C为男生．李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从A，B，C三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助，请用列表法（或树状图法）求恰好抽到A，B两名女生的概率．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y＝mx在第二象限内的图象交于点C，CE⊥x轴，tan∠ABO＝12，OB＝4，OE＝2．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标．24．如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A，C，M，N均为格点.AN与CM交于点P.MP CP的值为_________.[1].:∠大[2].现只有无刻度的直尺，请在给定的网格中作出一个格点三角形.要求：①三角形中含有与CPN∠的三角函数值.请并在横线上简单说明你的作图方小相等的角；②可借助该三角形求得CPN法.____________．25．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．（1）求证：AC＝DF；（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D B A A C B D D B C A二、填空题13．（﹣1，3）．14．k≥115．y＝﹣2（x﹣1）2+316．1 217．P（3，43）18．﹣1或0．三、解答题19．（1）a+b=0，a2-b2==0，a3+b3=0，a4-b4=0，……；（2）若a=-b，a n+（-1）n+1b n=0成立，见解析. 【解析】【分析】（1）用平方差公式计算a2-b2 、a4-b4，用降次的方法将a3+b3化为（a+b）（a2-ab+b2）的形式求解；（2）总结代数式的规律为a n+（-1）n+1b n=0，然后分n为奇偶数讨论证明即可．【详解】解：（1）∵a=-b，∴a+b=0，a2-b2=（a+b）（a-b）=0，a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=0，a4-b4=（a2-b2）（a2+b2）=（a+b）（a-b）（a2+b2）=0…（2）通过上面的计算可得：a n+（-1）n+1b n=0证明：①当n为奇数时，a n+（-1）n+1b n=a n+b n，∵由杨辉三角知a n+b n总可以表示为（a+b）乘以一个整式的积的形式，∴a n+b n=0，②当n为偶数时，设n=2m，m为整数，a n+（-1）n+1b n=a n-b n=a2m-b2m=（a m）2-（b m）2=（a m-b m）（a m+b m）而（a m-b m）（a m+b m）也是最终总可以表示为（a+b）和一个整式的乘积，∴若a=-b，a n+（-1）n+1b n=0成立．【点睛】本题考查了两个数的奇数次和偶数次差总可以表示为这两个数相加再乘以一个代数式的形式，这是一个规则，也是解答此题的关键所在．20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）先判断出四边形ABHE 是平行四边形，即可得出结论；（2）先构造出△ABG ≌△AEG'，进而AG=AG'，∠BAG=∠EAG'，即可判断出△AGG'是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）先构造出△ABG ≌△AEG'，进而AG=AG'，∠BAG=∠EAG'，即可判断出△AGG'是等腰三角形，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】（1）四边形ABHE 的形状：菱形，理由：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∵EF ∥AB ，∴四边形ABHE 是平行四边形， ∵AE=AB ， ∴▱ABHE 是菱形；（2）补全图形如图2所示，EG=BG+2AG ， 理由：在EF 上截取EG'=BG ，连接AG'，∵∠EGB=∠EAB ， ∴∠ABG=∠AEG'， 在△ABG 和△AEG'中，AB AE ABG AEG BG EG ＝＝＝⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩，∴△ABG ≌△AEG'， ∴AG=AG'，∠BAG=∠EAG'，∴∠GAG'=∠BAG+∠BAG'=∠EAG'+∠BAG'=∠BAD=90°， ∴GG'=2AG ， ∴EG-EG'=2AG ， 即：EG=BG+2AG ； （3）2sin2EG BG AG α=+，如图3，作△AEB 的外接圆，此圆与EF 的交点为点G ，在EF 上截取EG'=BG ，连接AG'，∵∠EGB=∠EAB ， ∴∠ABG=∠AEG'， 在△ABG 和△AEG'中，AB AE ABG AEG BG EG ＝＝＝⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩， ∴△ABG ≌△AEG'， ∴AG=AG'，∠BAG=∠EAG'，∴∠GAG'=∠BAG+∠BAG'=∠EAG'+∠BAG'=∠BAD=α， 过点A 作AH ⊥GG'， ∴∠HAG=12∠GAG'=2α，GG'=2HG 在Rt △HAG 中，HG=AG×sin 2α，∴EG=EG'+2GH=BG+2AG•sin 2α，即：EG=BG+2AG•sin 2α．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰直角三角形的判定，锐角三角函数，构造全等三角形是解本题的关键． 21．(1) 见解析；(2) 5cm 【解析】【分析】(1)以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △EFC 中，求出EC 的长，在直角梯形ABFE 中，求出AE 长，若A 、E 、C 三点共线，则在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出AC 长，比较AC 与AE+EC 的大小即可得出结论；(2)设剪开的长方形短边长为xcm ，根据题意可得关于x 的方程，解方程即可求得答案. 【详解】(1)以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 在Rt △EFC 中，EC ＝223873+=，在直角梯形ABFE 中，过点E 作EM ⊥AB ，则四边形BFEM 是矩形， ∴BM=EF=3， ∴AM=5-3=2，∴AE ＝225229+=，若A 、E 、C 三点共线，则在Rt △ABC 中， AC ＝()22558194++=， ∵1947329≠+，∴A 、E 、C 三点共线不共线， ∴所以拼合的长方形内部有空隙；(2)设剪开的长方形短边长为xcm ， 根据题意可得：(13﹣x)(13+13﹣x)＝13×13﹣1， ∴x 2﹣39x+170＝0， ∴x ＝5或x ＝34(舍)，∴可以拼成成一个长方形，但面积少了1cm 2，剪开的三角形的短边长是5cm. 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质，正方形性质，一元二次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.22．（1）40、12、＝0.40；（2）90；（3）13．【解析】【分析】（1）由第一组的频数及其频率可得总人数，再根据频率＝频数÷总数可得m、n的值；（2）用总人数乘以样本中第一、二组频率之和即可得；（3）画树状图得出所有等可能结果，然后根据概率公式计算即可得解．【详解】（1）本次调查的学生总人数为4÷0.1＝40人，m＝40×0.3＝12、n＝16÷40＝0.40，故答案为：40、12、＝0.40；（2）600×（0.10+0.05）＝600×0.15＝90（人），答：估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数为90；（3）画树状图如下：由树状图知共有6种等可能结果，其中恰好抽到A，B两名女生的结果数为2，所以恰好抽到A、B两名女生的概率21 ()63P A==；【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．也考查了列表法与树状图法求概率．23．（1）6yx=-，122y x=-+；（2）D（32，﹣4）．【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标．【详解】解：（1）∵tan∠ABO＝12，∴A1OB2O=，且OB＝4，∴OA＝2，∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，∴AO BOCE BE=，即2442CE=+，解得CE＝3，∴C（﹣2，3），∴m＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝6x -；∵OA＝2，OB＝4，∴A（0，2），B（4，0），代入y＝kx+b得240bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b2⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y＝12x-+2；（2）设D（x，6x -），∵D在第四象限，∴DF＝x，OF＝6x，∴S△DFO＝12DF•OF＝1632xx⋅=，由（1）可知OA＝2，∴AF＝2+6x，∴S△BAF＝12AF•OB16624222x x⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵S△BAF＝4S△DFO，∴2（2+6x）＝4×3，解得x＝32，当x＝32时，6x-的值为﹣4，∴D（32，﹣4）．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数的解析式、三角形的面积鞥，用D点坐标表示出△BAF和△DFO的面积是解题的关键．24．2:3取格点D，连结CD，DM，则CDM∆即为所求.（或者取格点E，连结AE，EN，则AEN ∆即为所求.）【解析】 【分析】[1].设AN 与网格的交点为D ，根据DM//BC 证出AMD ~ABN 和PMD ~PCN ,得出比例式，再根据CN=BN 即可得出MP:CP 的值[2]. .过点N 作NG CM ⊥, 过点P 作PH CN ⊥,垂足分别为G 、H ，根据MP:CP 2:3=求出CP 的长，再根据PCH ~MCB 求出PH 的长，根据等积法求出NG,再用勾股定理得出GC 的长，从而求出PG=GN,得出CPN 45∠=︒，所以在网格中找出等腰直角三角形就符合题意． 【详解】[1].设AN 与网格的交点为D ，∵DM//BC ， ∴AMD ~ABN ，PMD ~PCN ,∴MD:BN AM:AB 2:3==,MD:CN MP:CP = ∵CN=BN,∴MP:CP AM:AB 2:3==, 故答案为：2:3[2] 过点N 作NG CM ⊥, 过点P 作PH CN ⊥,垂足分别为G 、H,根据勾股定理得：CM=5, ∵MP:CP 2:3= ∴3CP 55=∵PH CN ⊥, ∴PH //MB ∴PCH ~MCB∴PH:BM 3:5PH:1==，∴3PH 5=, ∵CPN11SPC NG CN PH 22=⨯=⨯∴5NG5=,根据勾股定理得：25GC5=,∴PG=PC-GC=55=NG,∴PNG是等腰直角三角形，∴CPN45∠=︒法一：取格点D，连结CD，DM，可得CDM是等腰直角三角形，则CDM∆即为所求.法二：取格点E，连结AE，EN，可得AEN是等腰直角三角形，则AEN∆即为所求.【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．25．（1）详见解析；（2）42°.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再结合题意根据SAS判断△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，再根据角平分线的性质进行计算即可得到答案.【详解】证明：（1）∵AD＝BE∴AB＝DE∵BC∥EF∴∠ABC＝∠DEF，且AB＝BE，BC＝EF∴△ABC≌△DEF（SAS）∴AC＝DF（2）∵△ABC≌△DEF∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝84°∵CD为∠ACB的平分线∴∠ACD＝42°＝∠BCD∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠EDF∴∠CDF＝42°【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质的综合运用.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2；④当y1＞0且y2＞0时，﹣a＜x＜4．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图 1，动点 K 从△ABC 的顶点 A 出发，沿 AB﹣BC 匀速运动到点 C 停止．在动点 K 运动过程中，线段 AK 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，其中点 Q 为曲线部分的最低点，若△ABC 的面积是 10 ,则 a 的值为( )A.5B.35C.7D.453．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE交与点G．则下列结论中：①AF⊥DE；②AD＝BG；③GE+GF＝2GC；④S△AGB＝2S四边形ECFG．其中正确的是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（）A. B. C. D.5．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知空气的单位体积质量为31.3410⨯-克/厘米3，将31.3410⨯-用小数表示为（ ） A.0.000134B.0.0134C.0.00134-D.0.001347．如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y ＝1k x和y ＝2kx 的一支上，分别过点A ，C 作x 轴的垂线垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：①ON ＝OM ；②△OMA ≌△ONC ；③阴影部分面积是12（k 1+k 2）；④四边形OABC 是菱形，则图中曲线关于y 轴对称其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ．②③C ．①③④D ．①④8．如图所示，是两木杆在同一时刻的影子，请问它们是太阳光线还是灯光下的投影？请问这一时刻是上午还是下午？（ ） 北东 西南 A ．太阳光线，上午 B ．太阳光线，下午 C ．灯光，上午D ．灯光，下午9．若0＜m ＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m ）（x+3m ）＝3mx+37根的情况是（ ） A ．无实数根 B ．有两个正根C ．有两个根，且都大于﹣3mD ．有两个根，其中一根大于﹣m10．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)ky k x=≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．25D ．611．如图所示，90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列运算中，正确的是（ ） A ．a 6÷a 3＝a 2 B ．（﹣a+b ）（﹣a ﹣b ）＝b 2﹣a 2 C ．2a+3b ＝5ab D ．﹣a （2﹣a ）＝a 2﹣2a二、填空题13．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于_____度． 14．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，给出下列说法：①abc ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1、x 2＝3；③当x ＞1时，y 随x 值的增大而减小；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3．其中正确的说法是_____． A ．①；B ．①②；C ．①②③；D ．①②③④15．计算：|1﹣2|=_____．16．在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，则tan∠DBE的值是________．17．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．18．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．三、解答题19．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示（1）甲的速度为______千米/分，乙的速度为______千米/分（2）当乙到达终点A后，甲还需______分钟到达终点B（3）请通过计算回答：当甲、乙之间的距离为10千米时，甲出发了多少分钟？20．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据:从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70（2）整理描述数据:按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x人数50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100班级甲班 1 3 3 2 1乙班 2 1 m 2 n在表中：m=______，n=______．（3）分析数据:①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：班级平均数中位数众数甲班72 x 75乙班72 70 y在表中：x=______，y=______．②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有______人．③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．21．2018年，广州国际龙舟邀请赛于6月23日在中山大学北门广场至广州大桥之间的珠江河段举行．上午8时，参赛龙舟同时出发，甲、乙两队在比赛中，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，甲队在上午11时30分到达终点．（1）在比赛过程中，乙队何时追上甲队？（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？22．（1）计算：(-2）2+ 12-（23）0．（2）化简：（a+2)(a-2)-a（a-4)．23．如图1，有一个“z”字图形，其中AB∥CD，AB：CD：BC＝1：2：3．（1）如图2，若以BC为直径的⊙O恰好经过点D，连结AO．①求cosC．②当AB ＝2时，求AO 的长．（2）如图3，当A ，B ，C ，D 四点恰好在同一个圆上时．求∠C 的度数．24．已知AB 为O 的直径，EF 切O 于点D ，过点B 作BH EF ⊥于点H ，交O 于点C ，连接BD .(Ⅰ)如图①，若BDH 65∠=︒，求ABH ∠的大小； (Ⅱ)如图②，若C 为BD 的中点，求ABH ∠的大小.25．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D B D D D A A B CD二、填空题 13．1440 14．D 15．21- 16．17．2102-. 18．-1三、解答题19．（1）16，43；（2） 78；（3）283或60分钟【解析】【分析】（1）根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度；（2）根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案；（3）根据题意列方程即可解答．【详解】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，甲的速度是1÷6=16千米/分钟，由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得10x+16×16=16，解得x=43，即乙的速度为43米/分钟．故答案为：16；43；（2）甲、乙相遇时，乙所行驶的路程：4401033⨯=（千米）相遇后乙到达A站还需1416263⎛⎫⨯÷=⎪⎝⎭（分钟），相遇后甲到达B站还需411036⎛⎫⨯÷⎪⎝⎭=80分钟，当乙到达终点A时，甲还需80-2=78分钟到达终点B．故答案为：78；（3）110606÷=（分钟），设甲出发了x分钟后，甲、乙之间的距离为10千米时，根据题意得，16x+43（x-6）=16-10，解得x=283，答：甲出发了283或60分钟后，甲、乙之间的距离为10千米时．【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键．20．（2）3、2（3）①75、70②20③1 2【解析】【分析】（2）根据数据可以得到答案（3）①根据中位数性质和众数性质即可解答②按照抽查的百分比乘以总人数，即可得到答案③列出表格即可解答【详解】(2)由收集的数据得知m=3、n=2故答案为:3、2；(3)①甲班成绩为:50、60、65、65、75、75、75、80、85、90，∴甲班成绩的中位数x=75+752=75，乙班成绩70分出现次数最多，所以的众数y=70故答案为:75、70；②估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有50410=20人③列表如下由表可知，共有6种等可能结果，其中抽到的2名同学是1男1女的有3种结果，所以抽到的2名同学是1男1女的概率为36=12【点睛】此题考查了随机抽样调查，中位数，众数，平均数等，综合性比较大，解题关键在于熟练掌握其性质，运算方法21．（1）出发1小时40分（或者说上午10点40分）时，乙队追上甲队（2）在比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午9时）相距最远．【解析】【分析】（1）从图象看，甲队是OA和AB段，乙队是OC段，分别通过相关点的坐标，求出它们的解析式，联立。

第20课时矩形、菱形、正方形【课时目标】1．理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系．2．探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理以及它们的判定定理，会利用这些性质定理与判定定理进行计算与推理．【知识梳理】1．矩形的概念、性质和判定：(1)定义：有一个内角为_______的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形．(2)性质：由于矩形是特殊的平行四边形，所以它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：①矩形的四个角都是_______；②矩形的对角线________．(3)判定：①有一个角是_______的平行四边形是矩形；②四个角_______（或有三个角是_______）的四边形是矩形；③对角线_______的平行四边形是矩形．2．菱形的概念、性质和判定：(1)定义：一组邻边_______的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形．(2)性质：由于菱形是特殊的平行四边形，所以菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：菱形的四条边________，两条对角线_______，每一条对角线________．(3)判定：①一组邻边_______的平行四边形是菱形；②四条边_______的四边形是菱形；③对角线_______的平行四边形是菱形．3．正方形的概念、性质和判定：(1)定义：一组邻边_______的矩形叫做正方形．(2)性质：具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，如：四个角都是_______；四条边都_______；两条对角线互相_______，每一条对角线_______等．(3)判定：①一组邻边_______且有一个角是_______的平行四边形是正方形；②有一个角是_______的菱形是正方形；③有一组邻边_______的矩形是正方形．【考点例析】考点一矩形的性质和判定例1如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为 ( )A cmB ．2cmC ．．4cm提示 由矩形的性质得OA ＝OB ＝OC ＝OD ，再由∠AOD ＝120°，得到∠AOB ＝60°，从而得△AOB 是等边三角形，求出AB ＝12AC ． 例2 如图，O 是菱形ABC D 对角线AC 和BD 的交点，CD ＝5 cm ，OD ＝3 cm ．过点C 作C ∥DB ，过点B 作BE ∥AC ，CE 与BE 相交于点F ．(1)求OC 的长；(2)求证：四边形OBEC 为矩形：(3)求矩形OBEC 的面积．提示 (1)根据菱形的对角线互相垂直，得出BD ⊥AC ，再根据勾股定理求出OC 的长；(2)根据CE ∥OB ，OC ∥BE ，易得出四边形OBEC 是平行四边形，再由BD ⊥AC 可得出四边形OBEC 是矩形；(3)矩形的面积＝长×宽，根据菱形的对角线互相平分可得出OB ＝OD ，OC 已求出，故易求得矩形的面积．考点二 菱形的性质和判定例3如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E 若∠ADC ＝130°，则∠AOE 的度数为 ( )A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°提示 由菱形的性质可以知道菱形的对角线互相垂直平分，得到∠AOB ＝90°．由AB ∥CD ，得到∠BAD ＝50°，再由菱形的对角线平分每一组对角，得到∠OAB ＝25°，从而求出∠AOE 的度数．例4如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm．将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A、B、C的对应点分别是D、E、F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．提示由题意，可知AD＝10 cm，又由勾股定理，可得AC＝10 cm．这样容易得到四边形ACFD的四边都等于10 cm，从而得证．考点三正方形的性质和判定例5 如图，正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE ＝_______．提示过点E作EF⊥CD于F，设对角线交点为O，可得到OE＝EF＝DF．设EF＝x，则DF＝x，且DE x，利用勾股定理列出方程求解即可．例6 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．(1)求证：DE＝DF；(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AF DE是怎样的四边形，并证明你的结论．提示 (1)利用直角三角形特有的HL定理，判断出Rt△DBF和Rt△DCE全等，从而得出结论；(2)利用一组邻边相等的矩形是正方形来判断：首先通过∠A、∠AFD、∠AED为直角判定四边形AFDE是矩形，再通过DF＝DE判定其为正方形．【反馈练习】1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是 ( )A．4 B．6 C．8 D．102．如图，在菱形ABCD中．AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于 ( )A．20 B．15 C．10 D．53．如图，在□ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是 ( )A．AE＝AF B．EFL．ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使AIE＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为( )A－1 B．3C＋1 D－15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是_______．6．如图，在矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：(1) △ABF≌△DEA；(2) DF是∠EDC的平分线．7．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？参考答案【考点例析】1.D2.12(cm2)3.B4.略5－1 6.四边形AFDE是正方形．【反馈练习】1．C 2．B 3．C 4．D 5 6．略7．(1)略 (2)当AF＝75时，四边形BCEF是菱形。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形 矩形 菱形 正方形 图形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 对称性 只是中心对称图形 既是轴对称图形，又是中心对称图形面积 ah =S ab =S 2121S d d =（注：d 1,d 2为菱形两条对角线的长度。

） 2S a = 2. 判定方法小结：(1) 平行四边形：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(2) 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形； ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

(3) 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边都相等的四边形是菱形； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

(4) 正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；③有一组邻边相等的矩形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形；⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

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性质正方形的一：矩形、菱形、考点1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90 C．270 D．180：，BEBD相交于点O⊥BD于点E，对角线AC与2 例如图，矩形ABCD中，AE，求AC的长。

：3，AB＝6cmED＝1，AOD=120°∠∠BAD，对角线的交点，例3 如图，O是矩形ABCD AE平分AEO 的度数。

求∠。

，两邻角的比为菱形的周长为40cm1:2，则较短对角线的长例4DEBF∥于，AGDE⊥AGE，连接BCGABCD如图，例5 在正方形中，是上任意一点，、、，探究线段于交AGFAFBFEF三者之间的数量关系，并说明理由．考点二：矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

菱形的判定方法2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；①对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②四条边都相等四边形是菱形；③对角线垂直平分的四边形是菱形。

④3.正方形的判定矩形的一条特征；+①菱形矩形的一条特征；②菱形+一组邻边相等。

九年级数学平行四边形及矩形、菱形、正方形冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：平行四边形及矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质定理和判定定理1. 能够运用综合法证明平行四边形的性质定理判定定理及相关结论．2. 能够用综合法证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论．3. 运用等腰三角形和平行四边形的某些定理和公理，证明等腰梯形的性质定理和判定定理．4. 进一步理解证明的意义，掌握综合法证明的格式，感受公理化思想．二. 知识要点：1. 平行四边形的性质定理和判定定理（1）平行四边形的性质定理1 平行四边形的对边相等．定理2 平行四边形的对角相等．定理3 平行四边形的对角线互相平分．（2）平行四边形的判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．2. 矩形的性质定理和判定定理定理1 矩形的四个角都是直角．定理2 矩形的对角线相等．推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．定理对角线相等的平行四边形是矩形．定理有三个角是直角的四边形是矩形．3. 菱形的性质定理和判定定理定理1 菱形的四条边都相等．定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理四条边都相等的四边形是菱形．4. 等腰梯形的性质定理和判定定理定理等腰梯形在同一底上的两角相等．定理同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形．5. 反证法先假设结论不成立，再从这个假设出发，推出矛盾的结果，从而证明命题成立．这种证明命题的方法叫做反证法．三. 重点难点：重点：证明与平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形等有关的性质定理及判定定理，并能证明其他相关的结论．难点：对平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法的正确理解和熟练应用，以及最简单的推理方式的掌握．四. 考点分析：近几年中考中对平面图形的证明主要考查：（1）平行四边形的性质定理及判定定理的应用；（2）特殊的平行四边形－矩形、菱形、正方形的性质及判定的应用；（3）等腰三角形的性质及判定，主要以选择题、填空题、解答题的形式出现．【典型例题】例1. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，过A 作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠EAF ＝60°．求：（1）∠B 和∠C 的度数；（2）若AE ＝2cm ，AF ＝3cm ，求平行四边形的面积．分析：在四边形AECF 中，由两个直角可发现∠C 与∠EAF 之间的关系为互补关系，从而∠C 可求；又因为平行四边形一组邻角互补，∠B 也可求．而要求平行四边形ABCD 的面积，只需求出BC 即可，BC ＝AD ，在R t △ADF 中，由∠D 的度数可求出AD 的值．ABCEFD60°解：（1）∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°．∵∠AEC ＋∠AFC ＋∠C ＋∠EAF ＝360°， ∴∠EAF ＋∠C ＝180°．∵∠EAF ＝60°，∴∠C ＝120°．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ． ∴∠B ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝60°．（2）在R t △ADF 中，∵∠D ＝60°，∴DF ＝12AD ．设DF ＝x ，AD ＝2x ，∵x 2＋32＝(2x )2， ∴x ＝3．∴AD ＝BC ＝23（cm ）． ∴S 平行四边形ABCD ＝23×2＝43（cm 2）． ∴平行四边形ABCD 的面积为43cm 2．评析：这是一个变式练习题，应用了平行四边形的性质及直角三角形的一些性质，很多四边形的问题可以转化为三角形来解决．例2. 如图所示，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为题中出现了中点，所以可考虑构造三角形的中位线．A BC D E F GH解：连结BD ．∵E 为AD 中点，F 为AB 中点，∴EF ∥BD ，EF ＝12BD ．∵G 为BC 中点，H 为CD 中点．∴GH ∥BD ，GH ＝12BD ．∴EF ∥＝GH ． ∴四边形EFGH 为平行四边形．评析：①易知所得的四边形的形状与对角线有关；②所以连结BD ，使用三角形中位线定理．例3. 如图所示，直线CF 垂直且平分AD 于点E ，四边形ADCB 是菱形，BA 的延长线交CF 于点F ，连接AC ．（1）图中有几对全等三角形？请把它们都写出来； （2）证明：△ABC 为正三角形．分析：根据菱形的四边相等及线段垂直平分线的性质易得出结论．ABC DFE解：（1）图中有4对全等三角形，分别为△ABC ≌△CDA ，△AEF ≌△DEC ，△DEC ≌△AEC ，△AEF ≌△AEC ．（2）∵CF 垂直平分AD ，∴AC ＝CD ． 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ， ∴AB ＝BC ＝AC ，即△ABC 为正三角形．例4. 如图所示，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，求证：AP ＝EF ．分析：欲证AP ＝EF ，应通过证明AP ，EF 所在的两个三角形全等，但图中没有符合全等的三角形，需构造，延长FP 交AB 于M ，关键是证明四边形BEPM 为正方形，得到PM ＝PE ．证明：延长FP 交AB 于M ，则FM ⊥AB ． ∵∠ABE ＝∠PEB ＝90°， ∴四边形PEBM 是矩形．∵∠PBE ＝∠BPE ＝45°，∴PE ＝BE ．∴四边形PMBE 是正方形，∴BE ＝BM ＝PE ＝PM ． 又∵AB ＝BC ，∴AB －BM ＝BC －BE ，∴AM ＝EC ．又∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∴四边形PECF 是矩形， ∴FC ＝PE ，∴FC ＝PM ．∴R t △AMP ≌R t △ECF ，∴AP ＝EF ．评析：从结论入手，要证AP ＝EF ，关键是添加辅助线以构造出全等三角形，为此依托正方形的特殊性得到某些对应边相等，为全等创造条件．例5. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥CD 于G ，且EF ＝EG ，则梯形ABCD 是等腰梯形吗？说明理由．A BCD EF G分析：由已知条件可得△BEF ≌△CGE ，所以∠B ＝∠C ，所以梯形ABCD 是等腰梯形． 解：∵E 是BC 中点，∴BE ＝EC ． ∵EF ⊥AB 于F ，EG ⊥CD 于G ， ∴∠BFE ＝∠CGE ＝90°． ∴R t △BFE ≌R t △CGE （HL ）．∴∠B ＝∠C （全等三角形对应角相等）． ∴四边形ABCD 是等腰梯形．评析：判定等腰梯形只有这一种方法，因此要从判定方法的条件上去考虑解决．例6. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，DE ⊥BC 于E ．求证：DE ＝12（AD ＋BC ）． A BCED分析：由等腰梯形可知，AC ＝BD ，又因为AC ⊥BD ，过D 点作DF ∥AC ，交BC 的延长线于F ，则△BDF 为等腰直角三角形，所以BF ＝BC ＋AD ＝2DE ．证明：过点D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于F ，则四边形ACFD 是平行四边形． ∴AC ＝DF ，AD ＝CF ．∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ，∴FD ＝BD ． 又∵AC ⊥BD ，∴BD ⊥FD ．∵DE ⊥BC ，∴DE ＝12BF ＝12（AD ＋BC ）．A BCE FD评析：当对角线相等或垂直时，常过某个顶点作梯形对角线的平行线，构造平行四边形，等腰三角形或直角三角形．【方法总结】1. 证明命题时，可以从命题发现过程、图形变换、题设和结论间关系的角度探索证明的思路和方法．从题设和结论的关系探求证明的方法时，可以“执因索果”，即由已知条件出发，导出可以成立的结论，直至要证明的结论；也可以“执果索因”，即从要证明的结论出发，探索使其成立的条件，直至已知条件；还可将上述二者结合．2. 证明某些命题，有时需要进行图形的转化．如在证明“等腰梯形两底角相等”时，将等腰梯形转化为等腰三角形；在证明三角形的中位线定理时，将三角形转化为平行四边形等．这种思路体现了转化的数学思想．【预习导学案】（33.1用列举法求概率）一. 预习前知1. 什么叫概率？2. 求简单事件A的概率，首先要知道实验共有多少个__________，以及事件A包含的可能结果的__________．二. 预习导学1. 用列举法将“抛两枚硬币，出现正反面”的所有等可能的结果写出来．2. 如图所示，准备两组相同的牌，每组两X，两X牌的牌面数字分别是5和2，从每组牌中各摸出一X，称为一次试验．（1）一次试验中两X牌的牌面数字和可能有哪些值？（2）两X牌的牌面数字和为7的概率有多大？反思：（1）说一说概率的含义以及获得概率的方法？（2）如何用列举法求简单事件的概率？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 如图，平行四边形ABCD的周长是28㎝，△ABC的周长是22㎝，则AC的长为（）A．6㎝B．12㎝C．4㎝D．8㎝ADB C2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直3. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是（ ）A ．AC ⊥BDB ．OA ＝OCC ．AC ＝BDD ．AO ＝ODABCDO4. 下列说法不正确的是（ ）A ．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B ．每组邻边都相等的四边形是菱形C ．四个角相等的四边形是矩形D ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形*5. 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．10cm 2B ．20cm 2C ．40cm 2D ．80cm 2ABD**6. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∠B ＋∠C ＝90°，若AD ＝4cm ，BC ＝10cm ，则MN ＝（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cmA BCDM N二. 填空题1. 如果一个梯形中有两个角相等，那么这个梯形是__________．2. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ，若∠A ＝110°，则∠C ＝__________．ABCD3. 如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且AC ＝EC ，则∠E ＝__________．A BCDE*4. 如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 点任一直线交AD 于E ，交BC 于F ，那么，不包括已知的相等关系，你还能得到哪些相等关系，请你任意写出三个：__________，__________，__________．ABCDEFO*5. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________． *6. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD 的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD 可以是__________．三. 解答题1. 如图，将平行四边形ABCD 的对角线BD 向两个方向延长至点E 和点F ，使BE ＝DF ，求证四边形AECF 是平行四边形．A FC EB D2. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，P 为梯形ABCD 外一点，PA 、PD 分别交线段BC 于点E 、F ，且PA ＝PD ．（1）图中除了△ABE ≌△DCF 外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）．（2）求证：△ABE ≌△DCF ．DCFE A BP*3. 在△ABC 和△DCB 中，AB ＝DC ，AC ＝DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，与BN 交于点N ，试判断线段BN 与的数量关系，并证明你的结论．BCADM**4. 如图，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割为四个小矩形，EF 与GH 交于点P ．（1）若AG ＝AE ，证明：AF ＝AH ；（2）若∠FAH ＝45°，证明：AG ＋AE ＝FH ．试题答案一. 选择题1. D2. C3. B4. D5. A6. A二. 填空题1. 等腰梯形或直角梯形2. 110°° 4. AE ＝CF ，DE ＝BF ，OE ＝OF 等 5. AC ＝BD 或者有一个内角等于90度． 6. 正方形（对角线互相垂直的四边形均可）三. 解答题1. 连接AC ，设AC 与BD 交于点O ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，又∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF ．∴四边形AECF 是平行四边形．2. （1）△ABP ≌△DCP ；△BEP ≌△CFP ；△BFP ≌△CEP ．（2）∵AD ∥BC ，AB ＝DC ，∴梯形ABCD 为等腰梯形．∴∠BAD ＝∠CDA ，∠ABE ＝∠DCF ．又∵PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠PDA ，∴∠BAD －∠PAD ＝∠CDA －∠PDA ．即∠BAP ＝∠CDP ．在△ABE 和△DCF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAP ＝∠CDPAB ＝DC ∠ABE ＝∠DCF，∴△ABE ≌△DCF ．3.（1）如图，在△ABC 和△DCB 中，∵AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB ．（2）据已知有BN ＝．证明如下：∵∥BD ，BN ∥AC ，∴四边形BM 是平行四边形．由（1）知，∠MBC ＝∠MCB ，∴BM ＝CM ，∴四边形BM 是菱形．∴BN ＝．4. （1）ΔABF ≌ΔADH ，所以AF ＝AH （2）如图，将ΔADH 绕点A 顺时针旋转90度，易证ΔAFH ≌ΔAFM ，得FH ＝MB ＋BF ，即：FH ＝AG ＋AE ．。

矩形、菱形与正方形专题一：知识要点1、矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：（1）边的性质：对边平行且相等。

（2）角的性质：四个角都是直角。

（3）对角线的性质：两条对角线互相平分且相等。

•（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．也是中心对称图形称。

矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等的平行四边形是矩形．（3）有三个角是直角的四边形是矩形．2、菱形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等。

（2）角的性质：对角相等，邻角互补。

（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角。

（4）对称性：是轴对称图形，有两条对称轴．也是中心对称图形。

菱形的判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（3）四条边都相等的四边形是菱形。

3、正方形正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等。

（2）角的性质：四个角都是直角。

（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角。

（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴。

正方形的判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形。

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（3）对角线相等的菱形是正方形。

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。

4、平行四边形与特殊平行四边形的关系：5、方法总结：（1）矩形和菱形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定。

如果是从一般的四边形出发来判断，可先判断是平行四边形，进而在判断为矩形或是菱形。

常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理．遇到具体题目，可根据条件灵活选用恰当的方法．（2）判断一个四边形是正方形，需要先判断为菱形或是矩形，然后在分别个有两种方法判断为正方形，这需要根据题干条件来选择最优的方法。