高等数学(二)第二次作业

高一数学暑期数学基础检测（集合函数三角）班级____________ 姓名____________一、填空题：每小题题5分，共80分．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则集合(∁U A )∩B 等于____________．2．若P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可能取值组成的集合_______．3．f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，则f (x )=____________．4．函数f (x )＝ x x －1的定义域为____________．5．函数f (x )＝x ＋1x在(0，＋∞)上最小值为____________．6．352log (24)⨯=____________．7．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．8．函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为____________．9．已知方程210x x =-的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________．10．若sin α＝－45，且α是第三象限角，则cos α =____________．11．已知tan α＝2，则2sin α－2cos α4sin α－9cos α=____________．12．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调减区间为____________．13．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[0，π2]的值域为____________．14．sin y x x =+的值域为____________．15．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为____________．16．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2 ，C ＝15°，则A=____________．第7题二、解答题：每小题题10分，共20分．17．求证：函数()2log(1)2x f x x =++-有且只有一个零点．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2b − c )cos A – a cos C = 0．（1）求证：π=3A ∠； （2）若a = 2，求△ABC 的面积S 的最大值．参考答案一、填空题：每小题题5分，共80分．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则集合(C U A )∩B 等于____________．答案：{x |0≤x <2}2．若P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可能取值组成的集合_______． 答案：11{0}32-，，3．f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，则f (x )=____________．答案：f (x )＝x ＋34．函数f (x )＝x x －1的定义域为____________． 答案：{x |x ≥0且x ≠1}.5．函数f (x )＝x ＋1x在(0,＋∞)上最小值为____________． 答案：26．352log (24)⨯=____________．答案：138．函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为____________．答案：x ＝1或x ＝109．已知方程210x x =-的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝____________．答案：210．若sin α＝－45，且α是第三象限角，则cos α =____________． 答案：3-511．已知tan α＝2，则2sin α－2cos α4sin α－9cos α=____________． 答案：−212．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调减区间为____________． 答案：5π11π[,]1212k k k ππ++∈Z ，13．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[0，π2]的值域为____________．答案：[2]14．sin y x x =+的最大值为____________．答案：215．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为____________．16．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2 ，C ＝15°，则A=____________． 答案：30°二、解答题：每小题题10分，共20分．17．求证：函数()2log(1)2xf x x =++-有且只有一个零点．答案：略18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2b − c )cos A – a cos C = 0．（1）求角A 的大小；（2）若a = 2，求△ABC 的面积S 的最大值．解：（1）因为(2b －c )cos A －a cos C ＝0．可得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0，即2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin B ,∵0＜B ＜π,sin B ≠0．∴cos A ＝12, ∵0＜A ＜π,∴A ＝π3;（2）由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2cb cos A ,∴a 2＝b 2＋c 2－bc ．即4＋bc ＝b 2＋c 2≥2bc ,当且仅当b ＝c 时取等号．∴bc ≤4,那么：△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤ 12×4×sin π3＝3． 此时△ABC 为等边三角形，∴△ABC 的面积S 的最大值为3．。

高等数学Ⅱ第二章习题课习题1（导数的定义）（1）设函数()y f x =在1x =处可导，且0(13)(1)1lim 3x f x f x ∆→+∆-=∆，求(1)f '。

（2）设函数()y f x =在0x =处连续，且0()lim x f x x →存在，求0(2)lim x f x x→。

【解】：（1）00(13)(1)(13)(1)1lim3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆， 所以 1(1)9f '=（2）因为0()lim x f x x→存在，故0lim ()0x f x →=，又函数()y f x =在0x =处连续，从而0(0)lim ()0x f f x →==，所以00(2)(2)(0)()(0)lim2lim 2lim 2(0)200x x t f x f x f f t f f x x t →→→--'===--2（求导法则）（1）设函数21()(1)(1)f x x x=+-，求()f x '； （2）设函数3()(1)cot f x x arc x =+，求(0)f '； （3）设3ln 1x xy x=+，求y '. 【解】：（1）21()1f x x x x =-++-， 21()21f x x x'=-+-（2）33()(1)cot (1)(cot )f x x arc x x arc x '''=+++32213cot 1x x arc x x +=-+所以 (0)1f '=-（3）33323232(ln )(1)(ln )(1)(1ln )(1)(ln )(3)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x ''+-+++-'==++ 33321ln (12)(1)x x x x ++-=+3（一元复合函数求导）（1）设函数()lnsin f x x =，求()f x '；（2）设函数ln y =y '； （3）设(4)ln f x x =，求()f x '；（4）设cos2f x =，求()f x '. 【解】：（1）2cos ()sin xf x x'=+（2）y '==（3）在(4)ln f x x =两边同时对x 求导，得 14(4)f x x '=，从而1(4)4f x x'= 所以 1()f x x'=（4）在cos2f x =两边同时对x 求导，得 2sin 2f x '=-，从而2f x '⋅=-所以 2()4sin 2f x x x '=-4（分段函数求导）（1）设函数212()2ax x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩在2x =处可导，求,a b ；（2）设函数20()20x ae x f x bx x ⎧<=⎨-≥⎩处处可导，求,a b 及()f x '；【解】：（1）函数在2x =处可导，在2x =处必连续。

2010年秋季学期高等数学（II-2）第一次作业一、单项选择题（共10题、总分30分、得分30分）1. 点（ 0 ， 0 ）是函数 z=xy 的（）A、驻点B、极大值点C、极小值点D、间断点正确答案： A2. 对于函数f(x,y)=x2+y2，则点（0，0）（）A、不是驻点B、是驻点而非极值点C、是极大值点D、是极小值点正确答案： D3. 极限lim（x,y）→(0,0)x2yx4+y2A、等于0B、等于0.5C、不存在D、存在但不等于0或0.5正确答案： C4. 点 P(x0,y0) 是函数 z=f(x,y)的驻点，则（）A、P 是 f(x,y) 的极大值点B、P是f(x,y)的极小值点C、P不是f(x,y)的极值点D、不能确定P是否为f(x,y)的极值点正确答案： D5. 函数的可能极值点有（）A、（0，0），（1，1）B、（0，1），（1，1）C、（0，0），（0，1），（1，0）D、（1，1），（0，1），（1，0）正确答案： C6.设u=ln(x+y2+z3)，则=（）A、B、C、D、正确答案： A7.如果函数z=f(x,y)的偏导数y在点（x，y）连续，则函数在该点( )A、不一定可微B、一定可微C、不一定连续D、不能确定情况正确答案： B8. 函数 f(x,y)=xy(x+y-9) 的极值点是（）A、（0，0）B、（9，0）C、（0，9）D、（3，3）正确答案： D9.极限的含义是( )A、B、C、D、正确答案： C10.极限( )A、B、2C、0D、不存在正确答案： A二、判断题（共2题、总分12分、得分12分）1. 点 (0,0) 是函数 z=x2-y2的驻点。

(本题分数：6 分，本题得分：6 分。

)A、正确B、错误正确答案： A2. 函数 z=x2-y2 在点 (0,0) 取极大值 (本题分数：6 分，本题得分：6 分。

)A、正确B、错误正确答案： B三、填空题（共11题、总分33分、得分27分）1. 已知函数1正确答案：2. 函数 z = e x y 的全微分为 1正确答案： e x ydx+e x dy3. 设z=ln&ApplyFunction;(x+y2)，则dz|(1,0)= 1正确答案： dx4. 设u=xy+x2，则u在点(1,0)处的全微分du|(1,0)= 1正确答案： 2dx+dy5. 函数f(x,y)=xy-xy2-x2 y的可能极值点有 1正确答案： (0，0），（0，1），（1，0）；6. 函数z=x22p+y22q(pq≠0)的驻点为 1正确答案：（0，0）7.若 u=xy+y3，则= 1正确答案： 6y8.= 1正确答案： 29.设u=e x siny,x=2st,y=t+s2，则= 1 (本题分数：3 分，本题得分：0 分。

高数II-2一、单项选择1、级数为( )• A、发散• B、条件收敛但不绝对收敛• C、绝对收敛但不条件收敛• D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线在t=2处的切向量是（）。

• A、(2,1, 4)•B、(4,3, 4)•C、0•D、(−4,3, 4)参考答案 A3、在)处均存在是在处连续的（）条件。

• A、充分• B、必要• C、充分必要• D、既不充分也不必要参考答案 D4、设a为常数，则级数( )• A、绝对收敛• B、条件收敛• C、发散• D、敛散性与a的值有关参考答案 A5、二元函数的定义域是（）。

• A、• B、• C、• D、参考答案 A6、方程表示的曲面是（）。

• A、圆• B、椭球• C、抛物面• D、球面参考答案 D7、有且仅有一个间断点的函数是（）。

• A、• B、• C、• D、参考答案 B8、下列级数中,收敛级数是()• A、• B、• C、• D、参考答案 A9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。

已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（）分钟。

• A、50•B、51•C、52•D、53参考答案 C10、平面4y－7z=0的位置特点是（）• A、平行于z轴• B、垂直于x轴• C、平行于y轴• D、通过x轴参考答案 D11、若满足，则交错级数。

• A、一定发散• B、一定收敛• C、可收敛也可发散• D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是（）。

• A、• B、• C、• D、参考答案 C13、下列说法正确的是（）。

• A、两直线之间的夹角范围在• B、两平面之间的夹角范围在• C、两向量之间的夹角范围在• D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案 C14、级数收敛，则参数a满足条件（）• A、a>e•B、a<e•C、a=e•D、a为任何实数参考答案 A15、下列方程中( )是表示母线平行于y轴的双曲柱面。

1. 计算⎰Γ+s y x d )(22，其中Γ螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos 上从0=t 到π2=t 的一段弧。

1.解：原积分= = 2. 求幂级数∑∞=+-⋅-11212)1(n nn n n x 的收敛域及收敛半径。

2.解：收敛区间为 ，收敛半径当，级数为，其中，应用Leibniz 判别法，级数收敛 （2分）当， 级数为 ， 其中，应用Leibniz 判别法，级数收敛此幂级数的收敛域dt t z t y t x ds 222))(())(())(('+'+'=,sin )(t a t x -=',cos )(t a t y ='b t z =')(dt b a ds 22+=dtb a a 22202+⎰π2222b a a+π122)1(2)1()1(lim 2121132<=-+-+-++∞→x n x n x n n n n n nn )2,2(-2=r 2=x ∑∞=--112)1(n n n 0}2{↓n 2-=x n n n 2)1(1∑∞=-0}2{↓n ]2,2[-=E3. 求曲面zx y z ln+=在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程。

3. 解：令z x y z zx y z z y x F ln ln ln ),,(+--=--= 则x F x 1-=；1-=y F ；z F z 11+=； 所以1)1,1,1(-=x F ；1)1,1,1(-=y F ；2)1,1,1(=z F ；所以切平面方程为0)1)(1,1,1()1)(1,1,1()1)(1,1,1(=-+-+-z F y F x F z y x即0)1(2)1()1(1=-+----z y x 法平面方程为211111-=--=--z y x 4. 求微分方程032=-'-''y y y 的通解。

高等数学（2）第二次作业一、单项选择题1、若 f(x,y=xy, 则 f(x+y,x-y=(A. (x+y2B.(x-y2C.x2+y2D.x2-y22、若z=xy,则(A. eB.C. 1D. 03、若 z=exsiny, 则dz=(A. exsinydx+excosydyB. excosydxdyC. exsinydxD. exsinydy+excosydx4、若y-xey=0,则(A. B. C. D.5、函数的定义域为（）A. x+y>0B. ln(x+y≠0C. x+y>1D. x+y≠1二、填空题1、函数的定义域是___________2、可微函数f(x,y在点(x0,y0达到极值，则必有________________3、曲线x=t(sint-1,y=t-cost,z=t2+1,当t=0时的切线方程为_____________4、曲面x2+x+y+z2=0过点(0,0,0的切平面方程为____________________5、设,其中u=ex,v=x+x2，则____________6、二元函数z=yx2+exy，则= ____________三、计算题1、,求 ,2、 ,求 ,3、 ,求dz4、 ,求u在点(1,1,1处的全微分5、设，求dz6、设，求 ,7、设exyz +lnz+lnx=1，求,8、求曲线x=acost,y=asint,z=bt（a,b都是常数）平行于平面x+y=4的切平面方程和此时的法平面方程(0t9、求曲面z=x2-y2平行于平面x+3y+z+9=0的切平面方程和此时的法线方程10、求原点到(x-y2-z2=1的最短距离。