【数学】2011版《3年高考2年模拟》： 第1章 集合与常用逻辑用语 第二节 常用逻辑用语

2011年高考数学试题分类汇编一、集合与常用逻辑用语一、选择题1．（重庆理2）“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】A2．（天津理2）设则“且”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A3．（浙江理7）若为实数，则“”是的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A4．（四川理5）函数，在点处有定义是在点处连续的A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】连续必定有定义，有定义不一定连续。

5．（陕西理1）设是向量，命题“若，则∣∣= ∣∣”的逆命题是A．若，则∣∣∣∣B．若，则∣∣∣∣C．若∣∣∣∣，则D．若∣∣=∣∣，则= -【答案】D6．（陕西理7）设集合M={y|y=x—x|,x∈R},N={x||x—|<,i为虚数单位，x∈R},则M∩N为A．（0,1）B．（0,1] C．[0,1）D．[0,1]【答案】C7．（山东理1）设集合M ={x|}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N = A．[1,2）B．[1,2] C．（2,3] D．[2,3]【答案】A8．（山东理5）对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B9．（全国新课标理10）已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中真命题是（A）（B）（C）（D）【答案】A10．（辽宁理2）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则（A）M（B）N（C）I（D）【答案】A11．（江西理8）已知，，是三个相互平行的平面．平面，之间的距离为，平面，之间的距离为．直线与，，分别相交于，，，那么“=”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C12．（湖南理2）设集合则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A13．（湖北理9）若实数a,b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．即不充分也不必要的条件【答案】C14．（湖北理2）已知,则= A．B．C．D．【答案】A15．（广东理2）已知集合∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A．0B．1C．2D．3【答案】C16．（福建理1）i是虚数单位，若集合S=，则A．B．C．D．【答案】B17．（福建理2）若a R，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件C．既不充分又不必要条件【答案】A18．（北京理1）已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是A．(-∞, -1] B．[1, +∞）C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C19．（安徽理7）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定是（A）所有不能被2整除的数都是偶数（B）所有能被2整除的整数都不是偶数（C）存在一个不能被2整除的数都是偶数（D）存在一个能被2整除的数都不是偶数【答案】D20．（广东理8）设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是A．中至少有一个关于乘法是封闭的B．中至多有一个关于乘法是封闭的C．中有且只有一个关于乘法是封闭的D．中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A二、填空题21．（陕西理12）设,一元二次方程有正数根的充要条件是=【答案】3或422．（安徽理8）设集合则满足且的集合为（A）57 （B）56 （C）49 （D）8【答案】B23．（上海理2）若全集，集合，则。

第一章集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念及运算已知数集A＝{0，1，x＋2}，那么x的取值集合为() A．{x⎪⎪⎪x≠－2} B．{x⎪⎪⎪x≠－1}C．{x⎪⎪⎪x≠－2且x≠－1} D．x∈R下列判断正确的命题个数为()①a∈{a}; ②{a}∈{a，b}；③{a，b}⊆{b，a}; ④∅⊆{0}；A．1个B．2个C．3个D．4个集合A＝{1，2，3}的非空真子集的个数为()A．3个B．6个C．7个D．8个设全集U＝R，A＝{x⎪⎪x<1}，B＝{x⎪⎪x>m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围为()A．m<1 B．m≤1 C．m>1 D．m≥1已知{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，则集合A的个数为____________ .设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝____________；A∪B＝____________；A∪∁U B＝____________．【知识导图】【知识梳理】集合与元素(1)集合中元素的三个特征：______、______、______．(2)元素与集合的关系是____或______两种，用符号__或____表示． (3)集合的表示法：______、______、______． (4)常见数集的记法集合间的基本关系集合的基本运算知识点一 集合的含义与表示已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为____________．【跟踪反馈】(2020·江苏模拟)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a2019＋b2019＝____________.若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.92 B.98C．0D．0或98知识点二集合的基本关系(2019·安徽三模)已知集合A＝{x|x(x－2)<0}, B＝{x⎪⎪ln x>0}，则A∩B是( )A．{x|1<x<2} B．{x|0<x<2}C．{x⎪⎪x>0} D．{x⎪⎪x>2}【跟踪反馈】(2019·广东三模)已知集合A＝{x|x2＋x－2<0}，集合B＝{x|x>0}，则集合A∪B＝( )A．{x|x<1} B．{x|x>－2}C．{x|0<x<1} D．{x|－2<x<1}已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为____________．知识点三集合中的新定义问题(1)(2020·武汉模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝() A．{0，1} B．{1，2}C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}(2)若对任意的x∈A，有1x∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为____________．【跟踪反馈】设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝____________.若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6＜0}，B ＝{x |2x ＜1}，则如图1-1-1所示阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |－1＜x ≤0}C ．{x |0≤x ＜6}D ．{x |x ＜－1}图1-1-1一、选择题已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( ) A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B(2019·石嘴山三模)已知集合P＝{－1，1}，集合Q＝{x∈N|x<3}，则P∪Q ＝( )A．{－1，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}(2019·海南三模)设集合A＝{a，a＋1}，B＝{1，2，3}，若A∪B的元素个数为4，则a的取值集合为( )A．{0} B．{0，3}C．{0，1，3} D．{1，2，3}已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0＋∞)(2020·沈阳模拟)已知全集U ＝{1，3，5，7}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则如图1-1-2所示阴影区域表示的集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3，7}D ．{1，3，5}图1-1-2(多选)设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x |1x ＜2，则下列结论中正确的是()A ．NM B ．M NC ．M ∩N ＝M D. M ∩N ＝N二、填空题(2020·江苏模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝____________.(2019·江苏卷)集合{－1，0，1}共有____________个子集．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则实数m的值为____________．(2019·江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B ＝____________，A∩B的子集个数为____________．三、解答题(2020·江苏模拟)已知全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，∁U A ＝{5}，求实数a的值．(2020·江苏模拟)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．【B 组】 提升篇一、选择题(2019·安徽三模)设集合A ＝{x ∈N |x 2－4x －5<0}，集合B ＝{y |y ＝4－x ，x∈[2，4]}，则A ∩B 等于( )A ．{1，2}B ．{3，4}C ．∅D ．{0，1，2}(2020·湖南模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝( )A ．[－3，1)B ．(－∞，－3]∪(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)(多选)已知集合P ＝{2，3，4，5，6}，Q ＝{3，5，7}．若M ＝P ∩Q ，则下列结论正确的有( )A ．集合M 中有2个元素B ．集合M 的真子集个数为3C ．集合M 的子集个数为3D ．集合M 的子集个数为4二、填空题若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，集合B ＝{x |5－m ＜x ＜2m －1}，若全集U＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，则实数m 的取值范围是____________．若＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a ＝____________，a2020＋b2020的值为____________．三、解答题若集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0，x∈R}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0，0≤x≤2}，当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．C因为集合的元素满足互异性，所以x＋2≠0且x＋2≠1，得x≠－2且x≠－1，故选C.C①集合的表示方法，正确；②两个集合之间的关系，不正确；③正确；④∅是任何集合的子集，正确，故选C.B若一个集合的元素个数为n，则其子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空子集的个数为2n－1，则非空真子集的个数为2n－2，故选B.A因为集合A＝{x⎪⎪x<1}，所以集合∁U A＝{x⎪⎪⎪x≥1}，又∁U A⊆B，所以m<1，故选A.，全集与补集的性质．8问题可转化为求集合{3，4，5}的子集个数，即集合A的个数为8.{x|2＜x≤3}；{x|1≤x＜4}；{x|x≤3或x≥4}在数轴上分别表示出集合A，B，∁U B，即得∁U B＝{x≤2或x≥4}．交集与并集的概念；②交集与并集的运算和性质．集合与元素确定性、互异性、无序性．属于或不属于∈或∈/列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合间的基本关系A B(或B A)集合的基本运算知识点一 集合的含义与表示－32因为3∈A ，所以m ＋2＝3或者2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3时，m ＝1，此时m ＋2＝2m 2＋m ，不成立，舍去．当2m 2＋m ＝3时，m ＝1(舍去)或者m ＝－32 ，此时集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3.综上所述，满足条件的实数m ＝－32.确定元素与集合之间的关系，注意检验集合是否满足元素的互异性． 【跟踪反馈】－1由条件得ba ＝0，所以b ＝0.因此{a ，0，1}＝{a 2，a ，0}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠1，所以a ＝－1.所以a2019＋b2019＝－1.D知识点二 集合的基本关系A因为集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x ⎪⎪x >1}，所以A ∩B ＝{x ⎪⎪1<x <2}，故答案选A.判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【跟踪反馈】B因为集合A ＝{x |－2<x <1}，所以A ∪B ＝{x ⎪⎪⎪x >－2}，故选B.m ≤1当m ≤0时，B ＝∅；当m ＞0时， ⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，－m ≥－1，得0＜m ≤1.所以m ≤1.知识点三 集合中的新定义问题(1)D ；(2)7(1)A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |2<x <5}，所以A －B ＝{0，1，2，5}． (2)具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，{－1，1}，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，12，2，共7个．(1)紧扣“新”定义，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚．(2)把握“新”性质，要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．(3)遵守“新”法则，准确把握新定义的运算法则【跟踪反馈】{0}∪[2，＋∞)A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}，则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞).CA＝{x|－1＜x＜6}，B＝{x|x＜0}，阴影表示数字集合A∩(∁U B)，而∁U B＝{x|x≥0}，所以A∩(∁U B)＝{x|0≤x＜6}．故选C.C因为集合A＝{y|y≥－1}，所以A∩B＝{x|x≥2}＝B，A∪B＝{x|x≥－1}＝A，故选C.B因为集合Q＝{0，1，2}，所以P∪Q＝{－1，0，1，2}，故选B.B若a＝0，则A∪B＝{0，1，2，3}共4个元素；若a＝1，则A∪B＝{1，2，3}共3个元素；若a ＝2，则A ∪B ＝{1，2，3}共3个元素；若a ＝3，则A ∪B ＝{1，2，3，4}共4个元素．所以a ＝0或a ＝3，故选B.D因为A ⊆B ，则a >0，故选D.B将元素按要求填入相应区域可得阴影区域表示的集合为{7}．故选B.BC因为集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12或x ≤0，所以M N ，故选B ，C二、填空题0或98因为集合A 只有一个元素，所以a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，（－3）2－8a ＝0，得a ＝0或a＝98.8元素个数为n的集合的子集个数为2n.－32∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3；当m＋2＝3时，m＝1，2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性，m＝1不合题意(舍去)；当2m2＋m＝3时，m＝1(舍去)或m＝－32，m＝－32时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3，符合题意，综上m＝－3 2.{1，6}；4因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，故A∩B＝{1，6}．三、解答题2因为∁U A ＝{5}，∴5∈U ， ∴a 2＋2a －3＝5，a 2＋2a －8＝0，∴a ＝2或a ＝－4.a ＝2时，|2a －1|＝3满足题设；a ＝－4时，|2a －1|＝9∈/ U ，舍去．所以a 的值为2.(1){x |－2<x <3}；(2)(－∞，－2]；(3)[0，＋∞)(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B知⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，由A ∩B ＝∅得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．【B 组】 提升篇一、选择题D因为集合A ＝{0，1，2，3，4}，集合B ＝{x ⎪⎪⎪0≤x ≤2}，则A ∩B ＝{0，1，2}，故选D.D由x ＋31－x≥0，得(x ＋3)(x －1)≤0且x ≠1，∴A ＝{x |－3≤x ＜1}，∴∁R A ＝(－∞，－3)∪[1，＋∞)．故选D.ABD因为P ∩Q ＝{3，5}，所以集合M 的子集个数为4，真子集个数为3.故选A ，B ，D .二、填空题(－∞，3]∵集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |5－m ＜x ＜2m －1}，全集U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ≤5－m 或x ≥2m －1}，∵A ∩(∁U B )＝A ，∴A ⊆∁U B ，∴当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜2m －1，5－m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜2m －1，2m －1≤－4，解得2＜m ≤3；当B ＝∅时，5－m ≥2m －1，m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，3]．1；1因为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，故a 2020＋b 2020＝1.三、解答题m ∈(－∞，－1]∵集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0，x ∈R }＝{(x ，y )|y ＝x 2＋mx ＋2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0，0≤x ≤2}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，0≤x ≤2}，∴A ∩B ≠∅等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋mx ＋2，y ＝x ＋1在x ∈[0，2]上有解，即x 2＋mx ＋2＝x ＋1在[0，2]上有解，即x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0，2]上有解，显然，x ＝0不是该方程的解，从而问题等价于－(m －1)＝x ＋1x 在(0，2]上有解．又∵当x ∈(0，2]时，1x ＋x ≥2(当且仅当1x ＝x ，即x ＝1时取“＝”)，∴－(m －1)≥2，∴m ≤－1，即m ∈(－∞，－1]．。

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·某某，6)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·某某，5)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·某某，6)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015·某某，5)若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤05.(2015·某某，4)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.(2015·某某，2)“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7.(2015·某某，12)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8.(2015·某某，3)设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( ) A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9.(2015·某某，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10.(2015·某某，3)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11.(2015·某某，3)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12.(2014·某某，8)原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假13.(2014·新课标全国Ⅱ，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件14.(2014·，5)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15.(2014·某某，7)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件16.(2015·某某，15)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设 m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有________(写出所有真命题的序号)．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某师X 大学附属中学第七次月考)若p ：φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，q ：f (x )＝sin(x＋φ)是偶函数，则p 是q 的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·某某市高三一诊)命题“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”的逆命题是( ) A.若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab B.若x ≥a 2＋b 2，则x ＜2ab C.若x ＜2ab ，则x ＜a 2＋b2D.若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 23.(2016·某某三市一调)若x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A.|x |>|y | B.x 2>y 2C.x >yD.x 3>y 34.(2016·某某重点中学盟校一联)b ＝－1是直线y ＝x ＋b 过抛物线y 2＝4x 焦点的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2015·某某市一调)命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是( ) A.若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B.若－1＜x ＜1，则x 2＜1 C.若x ＞1或x ＜－1，则x 2＞1D.若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥16.(2015·某某市高三摸底)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(2016·某某九校联考)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值X 围为________. 8.(2015·某某模拟)对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件； ④“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件. 其中真命题的序号是________.9.(2016·某某诊断)已知命题p ：关于x 的方程4x 2－2ax ＋2a ＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，某某数m 的取值X 围.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A. 答案 A2.解析 当11x y >>，时，+2x y >一定成立，即p q ⇒； 当+2x y >时，可以=-1=4x y ，，即q p ⇒， 故p 是q 的充分不必要条件. 答案 A3.解析 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，f (x )min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋b 22－b24，当b ＜0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A. 答案 A4.解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”． ∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”． 答案 D5.解析 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A. 答案 A6.解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜31＜x ＜2，故选A.答案 A7.解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件． 答案 A8.解析 ∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x ＜x ⇔∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，k ＜2x sin 2x ，令f (x )＝2x －sin 2x .∴f ′(x )＝2－2cos 2x ＞0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，∴f (x )＞f (0)＝0. ∴2x ＞sin 2x ，∴2xsin 2x ＞1，∴k ≤1，故选B.答案 B 9.解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.答案 C10.解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α sin α＝cos α，故选A. 答案 A11.解析 由x ＞1知，x 3＞1；由x 3＞1可推出x ＞1.故选C. 答案 C12.解析 当a ＝3，b ＝－1时，a ＋b ＞0，但ab ＜0，故充分性不成立；当a＝－1，b＝－2时，ab＞0，而a＋b＜0.故必要性不成立．故选D.答案 D13.解析设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.答案 C14.解析可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足a＞b，但不满足a2＞b2，即条件“a＞b”不能推出结论“a2＞b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2＞b2，但不满足a＞b，即结论“a2＞b2”不能推出条件“a＞b”．故选D.答案 D15.解析由正弦定理，得asin A＝bsin B，故a≤b⇔sin A≤sin B，选A.答案 A16.解析设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①：从y＝2x的图象可看出，m＝k AB＞0恒成立，故正确；对于②：直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确；对于③：由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln 2－2x－a，由h′(x)＝0，∴2x·ln 2＝2x＋a，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n；对于④：由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2x ln 2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2x ln 2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，得m＝－n.故①④正确．答案①④B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 当φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π＋π2＝cos x ， 当f (x )＝sin(x ＋φ)是偶函数时，φ＝k π＋π2(k ∈Z ).所以p 是q 的充分不必要条件. 答案 B2.解析 原命题条件和结论对换得到逆命题，可知选D. 答案 D3.解析 由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A ，B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C. 答案 C4.解析 抛物线的焦点坐标为(1，0)，y ＝x ＋b 过点(1，0)⇔b ＝－1，所以是充要条件，故选C. 答案 C5.解析 根据原命题和逆否命题条件和结论的关系，可知命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题为“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”. 答案 D6.解析 由两直线平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3×1，a ×1≠3×1，即a ＝－1，当a ＝－1时，两直线分别为x －3y －3＝0和x －3y ＋1＝0，可知两直线平行.答案 C7.解析 不等式x 2＋x －6<0的解集为A ＝(－3，2)，函数y ＝lg(x －a )的定义域为B ＝(a ，＋∞).由“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，得实数a 的取值X 围为(－∞，－3]. 答案 (－∞，－3]8.解析 ①中“a ＝b ”可得ac ＝bc ，但c ＝0时ac ＝bc ⇒a ＝b ，所以不是充要条件； ②正确；③中a ＞b 时a 2＞b 2不一定成立，所以③错误；④中“a ＜5”得不到“a ＜3”，但“a ＜3”可得出“a ＜5”，“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，正确. 答案 ②④9.解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件.对于命题p ，依题意知Δ＝(－2a )2－4·4(2a ＋5)＝4(a 2－8a －20)≤0， ∴－2≤a ≤10，令p ：P ＝{a |－2≤a ≤10}，q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 由题意知PQ ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.因此实数m 的取值X 围是{m |m ≥9}.。

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件与必要条件1．(2019·昆山中学检测)下列有关命题的说法不正确的有________个．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案：32．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案：充要3．(2019·南通中学检测)命题“若x2＋y2≤1，则x＋y＜2”的否命题为________________．答案：若x 2＋y 2＞1，则x ＋y ≥24．“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的________条件．解析：若x ＞0，则x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，显然[1，＋∞) (0，＋∞)，所以x ≥1是x ＋1x≥2的充分不必要条件．答案：充分不必要1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且AB )两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·海门中学检测)已知α，β表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线，则“α∥β”是“m ∥β”的________条件．答案：充分不必要2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角 考点一 四种命题相互关系及真假判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·启东中学期末检测)能够说明“设a ，b 是任意实数，若a 2＜b 2，则a ＜b ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________．解析：可令a ＝1，b ＝－2，满足a 2＜b 2，但a ＞b . 答案：1，－2(答案不唯一)2．(2019·常州一中测试)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________．解析：命题的条件是p ：α＝π4，结论是q ：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：tan α≠1，非p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案：若tan α≠1，则α≠π43．给出以下四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，但a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p ，则q ”，则否命题是“若綈p ，则綈q ”，而命题的否定是“若p ，则綈q ”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写． (3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提． 考点二 充分、必要条件的判定重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·泰州中学高三学情调研)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的________条件．解析：当a ＝0时，f (x )＝x 3，所以函数f (x )是奇函数，当函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数时，f (－x )＝－x 3＋ax 2＝－f (x )＝－x 3－ax 2，所以2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．答案：充要2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的____________条件． 解析：因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2， 綈q ：x ＝－1且y ＝－1， 因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要[由题悟法]充分、必要条件的3种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．[即时应用]1．(2018·苏州新区实验中学测试)在△ABC 中，“A ≠60°”是“cos A ≠12”的________条件．解析：当A ＝60°时，可以推得cos A ＝12；当cos A ＝12时，由于A ∈(0，π)，也可以推得A ＝60°，故“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件. 即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件．答案：充要2．设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的______条件．解析：因为x 2－x －20＞0，所以x ＞5或x ＜－4，所以p ：x ＞5或x ＜－4.因为log 2(x －5)＜2，所以0＜x －5＜4，即5＜x ＜9，所以q ：5＜x ＜9，因为{x |5＜x ＜9}{x |x ＞5或x ＜－4}，所以p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的________________条件．解析：因为m ＝λn ，所以m ·n ＝λn ·n ＝λ|n|2. 当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m||n|cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 答案：充分不必要考点三 充分、必要条件的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知A ＝{x |x ＜4}，且A B ，所以a ＞4. 答案：(4，＋∞)2．(2019·响水中学检测)设p ：x 2－2x ＜0，q ：(x －m )(x －m －3)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．解析：由x 2－2x ＜0，得0＜x ＜2，即p ：0＜x ＜2， 由(x －m )(x －m －3)≤0，得m ≤x ≤m ＋3， 即q ：m ≤x ≤m ＋3，若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，m ＋3≥2，即－1≤m ≤0.答案：[－1,0][由题悟法]根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点(1)先合理转化条件，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2018·兴化三校联考)已知p ：x ≥a ，q ：x 2－2x －3≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由x 2－2x －3≥0，得x ≤－1或x ≥3， 若p 是q 的充分不必要条件，则{x |x ≥a }⊆{x |x ≤－1或x ≥3}，所以a ≥3. 答案：[3，＋∞)2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ， 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)3．(2019·高邮中学检测)若关于x 的不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立的一个充分条件是1＜x ＜4，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立的一个充分条件是1＜x ＜4， ∴当1＜x ＜4时，不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立． 设f (x )＝x 2－2x ＋3－a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧f1≤0，f4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2＋3－a ≤0，16－8＋3－a ≤0，解得a ≥11.答案：[11，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·张家港外国语学校检测)命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是________________________．答案：若x≠3，则x2－4x＋3≠02．(2019·苏州实验中学检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.命题甲：A＋C＝2B，且a＋c＝2b；命题乙：△ABC是正三角形，则命题甲是命题乙的________条件．答案：充要3．“m＝3”是“两直线l1：mx＋3y＋2＝0和l2：x＋(m－2)y＋m－1＝0平行”的________条件．答案：充要4．(2018·南京模拟)有下列命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．答案：②③5．若x＞5是x＞a的充分条件，则实数a的取值范围为____________．解析：由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}，所以a≤5.答案：(－∞，5]6．(2018·苏州中学检测)已知集合A＝{x|x(x－3)＜0}，B＝{x||x－1|＜2}，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．解析：因为集合A＝(0,3)，集合B＝(－1,3)，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．答案：充分不必要二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________．解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”2．(2018·南通中学高三测试)已知a，b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x ＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的________条件．解析：圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的圆心为(a ，b )，半径r ＝2，直线x ＋y ＝0与圆相切，则圆心到直线的距离d ＝|a ＋b |1＋1＝2，解得|a ＋b |＝2.即a ＋b ＝±2，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要3．(2018·南通模拟)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的________条件．解析：因为3a ＞3b＞3，所以a ＞b ＞1，此时log a 3＜log b 3；反之，若log a 3＜log b 3，则不一定得到3a ＞3b ＞3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3＜log b 3成立，但推不出a ＞b ＞1.故“3a＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2019·无锡一中检测)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B ＞sin C 是B ＞C 的充要条件”是真命题； ③x ≤3是|x |≤3的充分不必要条件；④命题“若x ＜－1，则x 2－2x －3＞0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． 解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＞sin C ⇔b ＞c ⇔B ＞C ，②正确；对于③，因为|x |≤3x ≤3，所以x ≤3是|x |≤3的必要不充分条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④5．(2018·南通一中高三测试)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}． 因为p 是q 的充分不必要条件，所以MN ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＋1＜4，解得0＜a ＜3.答案：(0,3)6．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的________条件．解析：p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2＞－3，但22＜32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2＞(－2)2，但－3＜2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．(2018·常熟中学测试)给定下列命题： ①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零”的否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①因为Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”是真命题．答案：①②④9．(2018·天一中学期末)已知p ：|x －1|＞2，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|x －1|＞2，得x －1＞2或x －1＜－2，即x ＞3或x ＜－1. 由x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，得[x －(1－a )][x －(1＋a )]≥0， 即x ≥1＋a 或x ≤1－a ，a ＞0. 若q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤3，1－a ≥－1，解得0＜a ≤2.答案：(0,2]10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，所以a 3＋a 4＝a 1＋a 2，所以q 2＝1⇔|q |＝1，所以“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要11．(2019·南师大附中检测)设p ：实数x 满足x 2＋2ax －3a 2＜0(a ＞0)，q ：实数x 满足x 2＋2x －8＜0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：由x 2＋2ax －3a 2＜0(a ＞0)，得－3a ＜x ＜a ，即p ：－3a ＜x ＜a . 由x 2＋2x －8＜0，得－4＜x ＜2，即q ：－4＜x ＜2. 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p 能推出q ，q 不能推出p ， 所以{x |－3a ＜x ＜a }{x |－4＜x ＜2}， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3a ≥－4，a ＜2，a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＞－4，a ≤2，a ＞0，解得0＜a ≤43，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43.12．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫mx －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x ＞1}，命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件．若命题p ，q ，r 都是真命题，求实数m 的值．解：因为命题p 是真命题， 所以0＜m ＜6，m ∈N ，① 所以A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫mx －1x ＜0＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜1m .由题意知，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x ＞1＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜12.因为命题q ，r 都是真命题，所以A B ，C A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1m ≤4，1m ＞12.②由①②得m ＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的________条件． 解析：当等比数列{a n }的首项a 1＜0，公比q ＞1时，如a n ＝－2n是递减数列，所以充分性不成立；反之，若等比数列{a n }为递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＜0，0＜q ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＞0，q ＞1，所以必要性不成立，即“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要2．(2018·苏州木渎中学测试)若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a ＜0，综上，实数a 的取值范围为[－3,0]．答案：[－3,0]3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}＝{x |2＜x ＜4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题意， 则⎩⎨⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4. 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，则a ≤2或a ≥43，即a ＜0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于,记为∈；不属于,记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ,且存在x 0∈B ,x 0∉AA B 或B A相等 集合A ,B 的元素完全相同 A ⊆B ,B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集任意的x ,x ∉∅,∅⊆A∅3．集合的基本运算表示 运算 文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,且x ∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元{x |x ∈U ,且x ∉A }∁U A素组成的集合4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集,即A ⊆A ； (2)子集关系的传递性,即A ⊆B ,B ⊆C ⇒A ⊆C ； (3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ,A ∪∅＝A ,A ∩∅＝∅,∁U U ＝∅,∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ,A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]1．已知集合A ＝{1,2},B ＝{x |0＜x ＜5,x ∈N },则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{2,4,5},则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案：53．(江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8},B ＝{－1,1,6,8},那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}． 答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(浙江名校联考)已知∁R M ＝{x |ln|x |＞1},N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x ＞0,则M ∪N ＝( ) A ．(0,e] B ．[－e,＋∞) C ．(－∞,－e]∪(0,＋∞)D ．[－e,e]解析：选B 由ln|x |＞1得|x |＞e,∴M ＝[－e,e]．N ＝(0,＋∞),∴M ∪N ＝[－e,＋∞)．故选B.2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5},B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1},且B ⊆A ,则由m 的可能取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1,即m ＜2时,B ＝∅,满足B ⊆A ；若B ≠∅,且满足B ⊆A ,如图所示,则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3,即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{0, x ＋1,x 2－5x },若－4∈A ,则实数x 的值为________． 解析：∵－4∈A ,∴x ＋1＝－4或x 2－5x ＝－4. ∴x ＝－5或x ＝1或x ＝4.若x ＝1,则A ＝{0, 2,－4},满足条件； 若x ＝4,则A ＝{0, 5,－4},满足条件； 若x ＝－5,则A ＝{0,－4,50},满足条件． 所以x ＝1或x ＝4或－5. 答案：1或4或－5考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(x ,y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1,32,64,⎪⎪⎪⎪－12,0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A 由题意得,①不满足集合的确定性,故错误；②两个集合,一个是数集,一个是点集,故错误；③中⎪⎪⎪⎪－12＝0.5,出现了重复,不满足集合的互异性,故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点,还可表示原点,故错误．综上,没有正确命题,故选A.2．已知a ＞0,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0,a 2},则a 2＋b 2的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 由已知得a ≠0,则ba ＝0,所以b ＝0,于是a 2＝4,即a ＝2或a ＝－2,因为a ＞0,所以a ＝2,故a 2＋b 2＝22＋02＝4.3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素,则a 等于( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时,x ＝23,符合题意．当a ≠0时,由Δ＝(－3)2－8a ＝0,得a ＝98,所以a 的值为0或98.4．(易错题)(江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3},B ＝{2,3,4} ,M ＝{x |x ＝ab ,a ∈A ,b ∈B },则M 中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12},据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4},则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( ) A ．8个 B ．4个 C ．3个D ．2个解析：选B 由题意,得P ＝{3,4},所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0},B ＝{x |ax ＝1},若B ⊆A ,则a ＝( ) A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：选D 集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}．当x ＝－2时,－2a ＝1,解得a ＝－12；当x ＝1时,a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意,这时a ＝0,故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a ,b ,c ,d ,e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30D ．29解析：选B 因为集合有5个元素,所以其子集的个数为25＝32个,其真子集的个数为25－1＝31个． 2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3},B ＝{x |－m ＜x ＜m },若B ⊆A ,则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时,B ＝∅,显然B ⊆A . 当m ＞0时,∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时,在数轴上标出两集合,如图,∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞,1]． 答案：(－∞,1]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(北京高考)已知集合A ＝{x ||x |＜2},B ＝{－2,0,1,2},则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选A ∵A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2},B＝{－2,0,1,2},∴A∩B＝{0,1}．故选A.2．(全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0},则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B∵x2－x－2＞0,∴(x－2)(x＋1)＞0,∴x＞2或x＜－1,即A＝{x|x＞2或x＜－1}．则∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.角度二：利用集合运算求参数3．(浙江联盟校联考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1},Q＝{x|0＜x＜a},若P∪Q＝{x|－1＜x＜2},则实数a的值为()A．1 B．2C．12D．32解析：选B因为P＝{x|－1＜x＜1},Q＝{x|0＜x＜a},所以当a≤1时,P∪Q＝{x|－1＜x＜1},不符合题意；当a＞1时,P∪Q＝{x|－1＜x＜a},结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2},可得a＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A,B,同时满足A∪B＝{1,2,3,4},A∩B＝{1},A≠{1},B≠{1},就称有序集对(A,B)为“好集对”．这里有序集对(A,B)是指当A≠B时,(A,B)和(B,A)是不同的集对,那么“好集对”一共有()个() A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4},A∩B＝{1},A≠{1},B≠{1},所以当A＝{1,2}时,B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时,B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时,B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时,B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时,B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时,B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个,故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1．(浙江十校联盟适考)已知集合A＝{x|1＜x＜4},B＝{x∈Z|x2－6x＜0},则(∁R A)∩B＝()A．{1,4} B．{4,5}C．{1,4,5} D．{2,3}解析：选C法一：由x2－6x＜0可得0＜x＜6,所以B＝{1,2,3,4,5},又∁R A＝{x|x≤1或x≥4},所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁R A)∩B,故排除D,又1,5∈∁R A,1,5∈B,故选C.2．(长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2－3x＋a＝0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为()A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B当a＝1时,x2－3x＋1＝0,无整数解,则A∩B＝∅；当a＝2时,B＝{1,2},A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时,B＝∅,A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(杭州高三四校联考)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0,a∈R},B＝{x|(x－1)(x－4)＝0},则A∪B的子集个数最多为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选D由题意可知,要使A∪B的子集个数最多,则需A∪B中的元素个数最多,此时a≠1,a≠3,且a≠4,即集合A＝{3,a},B＝{1,4},A∪B＝{1,3,4,a},故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x,y∈R,A＝{x|y＝2x－x2},B＝{y|y＝3x,x＞0},则A B为()A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2},B＝{y|y＞1},A∪B＝{x|x≥0},A∩B＝{x|1＜x≤2},所以A B＝∁A∪(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2},故选D.B一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(浙江考前热身联考)已知集合M＝{x|y＝2x－x2},N＝{x|－1＜x＜1},则M∪N＝()A．[0,1)B．(－1,2)C．(－1,2] D．(－∞,0]∪(1,＋∞)解析：选C法一：易知M＝{x|0≤x≤2},又N＝{x|－1＜x＜1},所以M∪N＝(－1,2]．故选C.法二：取x＝2,则2∈M,所以2∈M∪N,排除A、B；取x＝3,则3∉M,3∉N,所以3∉M∪N,排除D,故选C.2．(浙江三地联考)已知集合P＝{x|||x＜2},Q＝{x|－1≤x≤3},则P∩Q＝()A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：选A由|x|＜2,可得－2＜x＜2,所以P＝{x|－2＜x＜2},所以P∩Q＝[－1,2)．3．(嘉兴期末测试)已知集合P＝{x|x＜1},Q＝{x|x＞0},则()A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P ⊆∁R QD ．∁R P ⊆Q解析：选D 由已知可得∁R P ＝[1,＋∞),所以∁R P ⊆Q .故选D.4．(浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M ＝{0,1,2,3,4},N ＝{2,4,6},P ＝M ∩N ,则P 的子集有________个． 解析：集合M ＝{0,1,2,3,4},N ＝{2,4,6},P ＝M ∩N ＝{2,4},则P 的子集有∅,{2},{4},{2,4},共4个. 答案：45．已知集合A ＝{x |x ≥3},B ＝{x |x ≥m },且A ∪B ＝A ,则实数m 的取值范围是________． 解析：因为集合A ＝{x |x ≥3},B ＝{x |x ≥m },且A ∪B ＝A ,所以B ⊆A ,如图所示,所以m ≥3. 答案：[3,＋∞)二保高考,全练题型做到高考达标1．(杭州七校联考)已知集合A ＝{x |x 2＞1},B ＝{x |(x 2－1)(x 2－4)＝0},则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B A ＝{x |x ＜－1或x ＞1},B ＝{－2,－1,1,2},A ∩B ＝{－2,2},故选B.2．(浙江六校联考)已知集合U ＝{x |y ＝3x },A ＝{x |y ＝log 9x },B ＝{y |y ＝－2x }则A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．R C ．{x |x ＞0}D ．{0}解析：选C 由题意得,U ＝R ,A ＝{x |x ＞0},因为y ＝－2x ＜0,所以B ＝{y |y ＜0},所以∁U B ＝{x |x ≥0},故A ∩(∁U B )＝{x |x ＞0}．故选C.3．(永康模拟)设集合M ＝{x |x 2－2x －3≥0},N ＝{x |－3＜x ＜3},则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∪N ＝RD ．M ∩N ＝∅解析：选C 由x 2－2x －3≥0,解得x ≥3或x ≤－1,所以M ＝{x |x ≤－1或x ≥3},所以M ∪N ＝R . 4．(宁波六校联考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0},B ＝{1,a },且A ∩B 有4个子集,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞,1)∪(3,＋∞)解析：选B ∵A ∩B 有4个子集,∴A ∩B 中有2个不同的元素,∴a ∈A ,∴a 2－3a ＜0,解得0＜a ＜3且a ≠1,即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选B.5．(镇海中学期中)若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－x x ,N ＝{x |x ＜1},则M ∪N ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(－∞,2)D ．(0,＋∞)解析：选C 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ＝{x |0＜x ＜2},N ＝{x |x ＜1}．M ∪N ＝{x |x ＜2}＝(－∞,2)．故选C.6．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0},B ＝{x |x ＜1,且x ∈Z },则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2},因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1,x ∈Z }＝{－1,0}． 答案：{－1,0}7．(嘉兴二模)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2},B ＝{x |x 2－4x ≤0},则A ∪B ＝________,A ∩(∁R B )＝________. 解析：因为B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4},所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}；因为∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞4},所以A ∩(∁R B )＝{x |－1≤x ＜0}．答案：{x |－1≤x ≤4} {x |－1≤x ＜0}8．设集合A ＝{(x ,y )|y ≥|x －2|,x ≥0},B ＝{(x ,y )|y ≤－x ＋b },A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(x ,y )∈A ∩B ,且x ＋2y 的最大值为9,则b 的值是________． 解析：由图可知,当y ＝－x 往右移动到阴影区域时,才满足条件,所以b ≥2；要使z ＝x＋2y 取得最大值,则过点(0,b ),有0＋2b ＝9⇒b ＝92.答案：(1)[2,＋∞) (2)929．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16},B ＝[a ,b ],若A ⊆B ,则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4],因为A ⊆B ,所以a ≤2,b ≥4,所以a －b ≤2－4＝－2,即实数a －b 的取值范围是(－∞,－2]．答案：(－∞,－2]10．已知集合A ＝{x |(x ＋2m )(x －m ＋4)＜0},其中m ∈R ,集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0.(1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅,求实数m 的取值范围．解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1－xx ＋2＞0＝{x |－2＜x ＜1}． 当A ＝∅时,m ＝43,不符合题意．当A ≠∅时,m ≠43.①当－2m ＜m －4,即m ＞43时,A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4},又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，－2m ≤－2，m －4≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞43，m ≥1，m ≥5，所以m ≥5.②当－2m ＞m －4,即m ＜43时,A ＝{x |m －4＜x ＜－2m },又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，－2m ≥1，m －4≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，m ≤－12，m ≤2，所以m ≤－12.综上所述,实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5,＋∞)． (2)由(1)知,B ＝{x |－2＜x ＜1}． 当A ＝∅时,m ＝43,符合题意．当A ≠∅时,m ≠43.①当－2m ＜m －4,即m ＞43时,A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4},又因为A ∩B ＝∅,所以－2m ≥1或者m －4≤－2, 即m ≤－12或者m ≤2,所以43＜m ≤2.②当－2m ＞m －4,即m ＜43时,A ＝{x |m －4＜x ＜－2m },又因为A ∩B ＝∅,所以m －4≥1或者－2m ≤－2, 即m ≥5或者m ≥1,所以1≤m ＜43.综上所述,实数m 的取值范围为[1,2]． 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．对于复数a ,b ,c ,d ,若集合S ＝{a ,b ,c ,d }具有性质“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”,则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时,b ＋c＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ,b ,c ,d },由集合中元素的互异性可知当a ＝1时,b ＝－1,c 2＝－1,∴c ＝±i,由“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”知±i ∈S ,∴c ＝i,d ＝－i 或c ＝－i,d ＝i,∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.2．对于集合M ,N ,定义M －N ＝{x |x ∈M ,且x ∉N },M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M ),设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ,B ＝{x |x ＜0,x ∈R },则A ⊕B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－94，0B.⎣⎡⎭⎫－94，0C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0,＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0,＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{x |x ≥0,x ∈R },B －A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－94，x ∈R ,故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0,＋∞)．故选C.3．已知函数f (x )＝x －3－17－x的定义域为集合A ,且B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10},C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}．(1)求：A 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ,求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )＝x －3－17－x, 应满足x －3≥0,且7－x ＞0,解得3≤x ＜7, 则A ＝{x |3≤x ＜7}, 得到∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7},而B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}, 所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1},要使A ∪C ＝R , 则有a ≥3,且a ＋1＜7,解得3≤a ＜6. 故实数a 的取值范围为[3,6)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ,q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集 集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p ⇒/ q 且q ⇒pB 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔q A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/pA ,B 互不包含[小题体验]1．下列命题是真命题的是( )A ．若log 2a ＞0,则函数f (x )＝log a x (a ＞0,a ≠1)在其定义域上是减函数B ．命题“若xy ＝0,则x ＝0”的否命题C ．“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0垂直”的充要条件D ．命题“若cos x ＝cos y ,则x ＝y ”的逆否命题 答案：B2．(温州高考适应性测试)已知α,β∈R ,则“α＞β”是“cos α＞cos β ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＞β ⇒/ cos α＞cos β,如α＝π3,β＝π6,π3＞π6,而cos π3＜cos π6；cos α＞cos β ⇒/ α＞β,如α＝π6,β＝π3,cos π6＞cos π3,而π6＜π3.故选D. 3．设a ,b 是向量,则命题“若a ＝－b ,则|a |＝| b |”的逆否命题为：________. 答案：若|a |≠|b |,则a ≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论． 2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．(杭州模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC中,若∠C＝90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC中,∠C＝90°,结论：∠A,∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2＞b2,则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2,则a≤b B．若a2≤b2,则a≤bC．若a≤b,则a2＞b2D．若a≤b,则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”．该题中,p为a2＞b2,q为a＞b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2,则a≤b.2．命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4,则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4,则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4,则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4,则x2－3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2－3x－4＝0,所以x＝4或－1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1,则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数,则a,b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x＋y＝0”,显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题；③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题；④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a＝－1,b＝－3,故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写；(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(杭州高三四校联考)“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若x2＋ax＋14＞0(x∈R),则a2－1＜0,即－1＜a＜1,所以“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的必要不充分条件．故选A.2．(杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*),则“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝kn＋2(n∈N*),所以当k＞2时,a n＋1－a n＝k＞2,则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列,则a n＋1－a n＝k＞0即可,所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.法二：根据一次函数y＝kx＋b的单调性知,“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k＞0”,所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a ＞0,b ＞0,则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为a ＞0,b ＞0,所以a ＋b ＞0,ab ＋1＞0,故不等式a ＋b ≥ab ＋1成立的充要条件是(ab ＋1)2≤(a ＋b )2,即a 2＋b 2≥a 2b 2＋1.显然,若a 2＋b 2≥a 2b 2＋1,则必有a 2＋b 2≥1,反之则不成立,所以a 2＋b 2≥1是a 2＋b 2≥a 2b 2＋1成立的必要不充分条件,即a 2＋b 2≥1是a ＋b ≥ab ＋1成立的必要不充分条件．2．(浙江期初联考)若a ,b ∈R ,使|a |＋|b |＞4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b ＜－4解析：选D 对选项A,若a ＝b ＝2,则|a |＋|b |＝2＋2≥4,不能推出|a |＋|b |＞4；对选项B,若a ＝4≥4,b ＝0,此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C,若a ＝2≥2,b ＝2≥2,此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D,由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4,但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.3．(宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形,AB ∥CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰AD ,BC ”是“l 垂直于两底AB ,DC ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为四边形ABCD 是梯形,且AB ∥CD ,所以腰AD ,BC 是交线,由直线与平面垂直的判定定理可知,当l 垂直于两腰AD ,BC 时,l 垂直于ABCD 所在平面,所以l 垂直于两底AB ,CD ,所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ,CD ,由于AB ∥CD ,所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面,所以l 不一定垂直于两腰AD ,BC ,所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12,则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －m ＋1x －2m ＜0,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的充分不必要条件是13＜x ＜12,所以B ⊆A .①当m －1＜2m ,即m ＞－1时,A ＝{x |m －1＜x ＜2m }．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43；②当m －1＝2m ,即m ＝－1时,A ＝∅,不满足B ⊆A ；③当m －1＞2m ,即m ＜－1时,A ＝{x |2m ＜x ＜m －1}．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13，m－1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上,m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43.答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(杭州名校大联考)已知条件p ：|x ＋1|＞2,条件q ：x ＞a ,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A ．[1,＋∞)B ．(－∞,1]C ．[－3,＋∞)D ．(－∞,－3]解析：选A 由|x ＋1|＞2,可得x ＞1或x ＜－3,所以綈p ：－3≤x ≤1；又綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件,所以a ≥1.2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m , 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件, 所以m ＋3≤－4或m ≥1, 故m ≤－7或m ≥1. 答案：(－∞,－7]∪[1,＋∞)一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0,则x ＝12或x ＝0,即不一定是x ＝0；若x ＝0,则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x－1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ,b ∈R ,则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3,知a ＞b ,由ab ＜0,知a ＞0＞b ,所以此时有1a ＞1b ,故充分性成立；当1a ＞1b 时,若a ,b 同号,则a ＜b ,若a ,b 异号,则a ＞b ,所以必要性不成立．故选A. 3．设φ∈R ,则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若φ＝0,则f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数,则φ＝k π(k ∈Z )．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p ：“若x 2＜1,则x ＜1”的逆命题为q ,则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：选B q ：若x ＜1,则x 2＜1. ∵p ：x 2＜1,则－1＜x ＜1.∴p 真,当x ＜1时,x 2＜1不一定成立,∴q 假,故选B.5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件,则实数a 的取值范围为( ) A ．(5,＋∞) B ．[5,＋∞) C ．(－∞,5)D ．(－∞,5] 解析：选D 由x ＞5是x ＞a 的充分条件知,{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a },∴a ≤5,故选D. 二保高考,全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数” C ．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”解析：选B 依题意得,原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”．2．命题“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3解析：选C 即由“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”．因为x ∈[1,2],所以x 2∈[1,4],x 2－a ≤0恒成立,即x 2≤a ,因此a ≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若x ＋y ＞0,则x ＞0且y ＞0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1,则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数,则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0,则x ＋y ＞0”为真,故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题； ③的逆命题为,若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ,则m ≥1. ∵当m ＝0时,解集不是R ,∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.∴③是真命题；④原命题为真,逆否命题也为真．4．(浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ,倾斜角为θ,则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时,0＜k ≤1；反之,当k ≤1时,0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件,故选A.5．命题“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题,只需要a ≥4,∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a ,b ∈R )”,否命题的真假性为________． 解析：命题的否命题为“若a ≤b ,则ac 2≤bc 2”． 若c ＝0,结论成立．若c ≠0,不等式ac 2≤bc 2也成立． 故否命题为真命题．答案：真 7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2,且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ,故①不正确； ②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |,故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ,且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ,故③正确． 答案：②③8．已知α,β∈(0,π),则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β,所以若sin α＋sin β＜13,则有sin(α＋β)＜13,故充分性成立；当α＝β＝π2时,有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13,而sin α＋sin β＝1＋1＝2,不满足sin α＋sin β＜13,故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件．答案：充分不必要 9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0),q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0,m 2－7am ＋12a 2＜0,得3a ＜m ＜4a ,即p ：3a ＜m ＜4a ,a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆,可得2－m ＞m －1＞0,解得1＜m ＜32,即q ：1＜m ＜32.因为p 是q 的充分不必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38,所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38. 答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2,B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2, ∴716≤y ≤2, ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1,得x ≥1－m 2, ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, ∴A ⊆B ,∴1－m 2≤716, 解得m ≥34或m ≤－34,故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1．已知p ：x ≥k ,q ：3x ＋1＜1,如果p 是q 的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( ) A ．[2,＋∞) B ．(2,＋∞) C ．[1,＋∞)D ．(－∞,－1]解析：选B 由3x ＋1＜1得,3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0,即(x －2)(x ＋1)＞0,解得x ＜－1或x ＞2,由p 是q 的充分不必要条件知,k ＞2,故选B.2．在整数集Z 中,被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z },k ＝0,1,2,3,则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ,b 满足a ∈[1],b ∈[2],则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z },k ＝0,1,2,3,可知,只要整数m ＝4n ＋k ,n ∈Z ,k ＝0,1,2,3,则m ∈[k ],对于①中,2 018＝4×504＋2,所以2 018∈[2],所以符合题意；对于②中,－1＝4×(－1)＋3,所以符合题意；对于③中,所有的整数按被4除所得的余数分为四类,即余数分别为0,1,2,3的整数,即四“类”[0],[1],[2],[3],所以Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3],所以符合题意；对于④中,原命题成立,但逆命题不成立,因为若a ＋b ∈[3],不妨设a ＝0,b ＝3,则此时a ∉[1]且b ∉[2],所以逆命题不成立,所以不符合题意；对于⑤中,因为“整数a ,b 属于同一类”,不妨设a ＝4m ＋k ,b ＝4n ＋k ,m ,n ∈Z ,且k ＝0,1,2,3,则a －b ＝4(m －n )＋0,所以a －b ∈[0]；反之,不妨设a ＝4m ＋k 1,b ＝4n ＋k 2,m ,n ∈Z ,k 1＝0,1,2,3,k 2＝0,1,2,3,则a －b ＝4(m －n )＋(k 1－k 2),若a －b ∈[0],则k 1－k 2＝0,即k 1＝k 2,所以整数a ,b 属于同一类,故“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”,所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ,非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0,B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0,命题p ：x ∈A ,命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时,若p 真q 假,求x 的取值范围； (2)若q 是p 的必要条件,求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时,A ＝{x |2＜x ＜37},B ＝{x |12＜x ＜146},因为p 真q 假． 所以(∁U B )∩A ＝{x |2＜x ≤12},所以x 的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件,即p ⇒q ,可知A ⊆B .因为a 2＋2＞a ,所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．当3a ＋1＞2,即a ＞13时,A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}, 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52； 当3a ＋1＝2,即a ＝13时,A ＝∅,不符合题意； 当3a ＋1＜2,即a ＜13时,A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}, 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13； 综上所述,实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一 集合及其运算1．(浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},则∁U A ＝( )A ．∅B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},∴∁U A ＝{2,4,5}．2．(天津高考)设全集为R ,集合A ＝{x |0＜x ＜2},B ＝{x |x ≥1},则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ,B ＝{x |x ≥1},∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2},∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．3．(浙江高考)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1},Q ＝{x |0＜x ＜2},那么P ∪Q ＝( )A ．(－1,2)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义,得P ∪Q ＝(－1,2)．4．(全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0},B ＝{0,1,2},则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1},B ＝{0,1,2},∴A ∩B ＝{1,2}．5．(全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：选A 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ,y 全部列举出来,即(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(0,－1),(0,0),(0,1),(1,－1),(1,0),(1,1),共有9个．故选A.6．(江苏高考)已知集合A ＝{1,2},B ＝{a ,a 2＋3}．若A ∩B ＝{1},则实数a 的值为________．解析：因为a 2＋3≥3,所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1,即实数a 的值为1.答案：1命题点二 充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ,则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24,当x ＝－b 2时,f (x )min ＝－b 24,又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24,当f (x )＝－b 2时,f (f (x ))min ＝－b 24,当－b 2≥－b 24时,f (f (x ))可以取到最小值－b 24,即b 2－2b ≥0,解得b ≤0或b ≥2,故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列,所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ,S 4＋S 6－2S 5＝d ,所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ,b 是实数,则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10,b ＝－1时,a ＋b ＞0,ab ＜0,故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2,b ＝－1时,ab ＞0,但a ＋b ＜0,所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(天津高考)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12,得0＜x ＜1,则0＜x 3＜1,即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1,得x ＜1,当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x －12≥12,即“x 3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．5．(天津高考)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12,得0＜θ＜π6,故sin θ＜12.由sin θ＜12,得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π,k ∈Z ,推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”．故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12,而当sin θ＜12时,取θ＝－π6,⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12.故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件．6．(北京高考)设a ,b 均为单位向量,则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |,得(a －3b )2＝(3a ＋b )2,即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .又a ,b 均为单位向量,所以a 2＝b 2＝1,所以a ·b ＝0,能推出a ⊥b .由a ⊥b ,得|a －3b |＝10,|3a ＋b |＝10,能推出|a －3b |＝|3a ＋b |,所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．命题点三 四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ,命题“若m ＞0,则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是() A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义,命题“若m ＞0,则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ≤0”．2．(北京高考)能说明“若a ＞b ,则1a ＜1b”为假命题的一组a ,b 的值依次为________． 解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时,1a ＞0＞1b .答案：1,－1(答案不唯一)3．(北京高考)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数．若a ＞b ＞c ,则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为________．解析：因为“设a ,b ,c 是任意实数．若a ＞b ＞c ,则a ＋b ＞c ”是假命题,则它的否定“设存在实数a ,b ,c .若a ＞b ＞c ,则a ＋b ≤c ”是真命题．由于a ＞b ＞c ,所以a ＋b ＞2c ,又a ＋b ≤c ,所以c ＜0.因此a ,b ,c 依次可取整数－1,－2,－3,满足a ＋b ≤c .答案：－1,－2,－3(答案不唯一)。